കൂടെ പ്രവർത്തിക്കാം ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ. ഇവ വളരെ ജനപ്രിയമായ സമവാക്യങ്ങളാണ്! വളരെ പൊതുവായ കാഴ്ചക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

ഉദാഹരണത്തിന്:

ഇവിടെ എ =1; ബി = 3; സി = -4

ഇവിടെ എ =2; ബി = -0,5; സി = 2,2

ഇവിടെ എ =-3; ബി = 6; സി = -18

ശരി, നിങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുന്നു ...

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം?ഈ രൂപത്തിൽ നിങ്ങൾക്ക് മുന്നിൽ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ഉണ്ടെങ്കിൽ, എല്ലാം ലളിതമാണ്. ഓർക്കാം മാന്ത്രിക വാക്ക് വിവേചനം . അപൂർവ്വമായി ഒരു ഹൈസ്കൂൾ വിദ്യാർത്ഥി ഈ വാക്ക് കേട്ടിട്ടില്ല! "ഞങ്ങൾ ഒരു വിവേചനത്തിലൂടെ പരിഹരിക്കുന്നു" എന്ന വാചകം ആത്മവിശ്വാസവും ഉറപ്പും പ്രചോദിപ്പിക്കുന്നു. കാരണം വിവേചനക്കാരിൽ നിന്ന് തന്ത്രങ്ങൾ പ്രതീക്ഷിക്കേണ്ടതില്ല! ഇത് ഉപയോഗിക്കാൻ ലളിതവും കുഴപ്പമില്ലാത്തതുമാണ്. അതിനാൽ, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

റൂട്ടിൻ്റെ ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള പദപ്രയോഗം ഒന്നാണ് വിവേചനം. നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, X കണ്ടെത്താൻ, ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു എ, ബി, സി എന്നിവ മാത്രം. ആ. ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൽ നിന്നുള്ള ഗുണകങ്ങൾ. മൂല്യങ്ങൾ ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക എ, ബി, സിഇതാണ് ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്ന ഫോർമുല. നമുക്ക് പകരം വയ്ക്കാം നിങ്ങളുടെ സ്വന്തം അടയാളങ്ങളോടെ! ഉദാഹരണത്തിന്, ആദ്യ സമവാക്യത്തിന് എ =1; ബി = 3; സി= -4. ഇവിടെ ഞങ്ങൾ അത് എഴുതുന്നു:

ഉദാഹരണം ഏതാണ്ട് പരിഹരിച്ചു:

അത്രയേയുള്ളൂ.

ഈ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ എന്ത് കേസുകൾ സാധ്യമാണ്? മൂന്ന് കേസുകൾ മാത്രമാണുള്ളത്.

1. വിവേചനം പോസിറ്റീവ് ആണ്. ഇതിനർത്ഥം അതിൽ നിന്ന് റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുക്കാൻ കഴിയും എന്നാണ്. റൂട്ട് നന്നായി വേർതിരിച്ചെടുത്തോ മോശമായോ എന്നത് മറ്റൊരു ചോദ്യമാണ്. തത്വത്തിൽ എന്താണ് വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്നത് എന്നതാണ് പ്രധാനം. അപ്പോൾ നിങ്ങളുടെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്. രണ്ട് വ്യത്യസ്ത പരിഹാരങ്ങൾ.

2. വിവേചനം പൂജ്യമാണ്. അപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു പരിഹാരമുണ്ട്. കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, ഇത് ഒരു റൂട്ടല്ല, മറിച്ച് സമാനമായ രണ്ട്. എന്നാൽ ഇത് അസമത്വങ്ങളിൽ ഒരു പങ്ക് വഹിക്കുന്നു, അവിടെ ഞങ്ങൾ പ്രശ്നം കൂടുതൽ വിശദമായി പഠിക്കും.

3. വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആണ്. നിന്ന് നെഗറ്റീവ് നമ്പർ സ്ക്വയർ റൂട്ട്വേർതിരിച്ചെടുത്തിട്ടില്ല. ഓ, കൊള്ളാം. ഇതിനർത്ഥം പരിഹാരങ്ങൾ ഇല്ല എന്നാണ്.

ഇത് വളരെ ലളിതമാണ്. എന്താണ്, ഒരു തെറ്റ് ചെയ്യുന്നത് അസാധ്യമാണെന്ന് നിങ്ങൾ കരുതുന്നുണ്ടോ? ശരി, അതെ, എങ്ങനെ...
ചിഹ്ന മൂല്യങ്ങളുമായുള്ള ആശയക്കുഴപ്പമാണ് ഏറ്റവും സാധാരണമായ തെറ്റുകൾ എ, ബി, സി. അല്ലെങ്കിൽ, അവരുടെ അടയാളങ്ങൾ കൊണ്ടല്ല (എവിടെ ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാകും?), പക്ഷേ വേരുകൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുലയിലേക്ക് നെഗറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക. ഇവിടെ സഹായിക്കുന്നത് നിർദ്ദിഷ്ട സംഖ്യകളുള്ള ഫോർമുലയുടെ വിശദമായ റെക്കോർഡിംഗ് ആണ്. കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ പ്രശ്നങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ, അത് ചെയ്യുക!

ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണം നമുക്ക് പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ടെന്ന് കരുതുക:

ഇവിടെ a = -6; b = -5; c = -1

നിങ്ങൾക്ക് ആദ്യമായി ഉത്തരങ്ങൾ ലഭിക്കുന്നത് അപൂർവമാണെന്ന് നിങ്ങൾക്കറിയാമെന്ന് പറയാം.

ശരി, മടിയനാകരുത്. ഒരു അധിക വരിയും പിശകുകളുടെ എണ്ണവും എഴുതാൻ ഏകദേശം 30 സെക്കൻഡ് എടുക്കും കുത്തനെ കുറയും. അതിനാൽ എല്ലാ ബ്രാക്കറ്റുകളും അടയാളങ്ങളും ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ വിശദമായി എഴുതുന്നു:

വളരെ ശ്രദ്ധയോടെ എഴുതുന്നത് അവിശ്വസനീയമാംവിധം ബുദ്ധിമുട്ടാണെന്ന് തോന്നുന്നു. പക്ഷേ അങ്ങനെ മാത്രമേ തോന്നൂ. ഒന്നു ശ്രമിച്ചു നോക്കൂ. ശരി, അല്ലെങ്കിൽ തിരഞ്ഞെടുക്കുക. എന്താണ് നല്ലത്, വേഗതയേറിയതോ ശരിയോ? കൂടാതെ, ഞാൻ നിങ്ങളെ സന്തോഷിപ്പിക്കും. കുറച്ചുകാലം കഴിയുമ്പോൾ, എല്ലാം വളരെ ശ്രദ്ധയോടെ എഴുതേണ്ട ആവശ്യമില്ല. ഇത് സ്വന്തമായി പ്രവർത്തിക്കും. പ്രത്യേകിച്ചും നിങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ പ്രായോഗിക വിദ്യകൾ, താഴെ വിവരിച്ചിരിക്കുന്നു. ഒരു കൂട്ടം മൈനസുകളുള്ള ഈ ദുഷിച്ച ഉദാഹരണം എളുപ്പത്തിലും പിശകുകളില്ലാതെയും പരിഹരിക്കാനാകും!

അതിനാൽ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാംവിവേചനത്തിലൂടെ ഞങ്ങൾ ഓർത്തു. അല്ലെങ്കിൽ അവർ പഠിച്ചു, അതും നല്ലതാണ്. എങ്ങനെ ശരിയായി നിർണ്ണയിക്കണമെന്ന് നിങ്ങൾക്കറിയാം എ, ബി, സി. എങ്ങനെയെന്നറിയാമോ? ശ്രദ്ധയോടെഅവയെ റൂട്ട് ഫോർമുലയിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക ശ്രദ്ധയോടെഫലം എണ്ണുക. ഇവിടെ പ്രധാന പദമാണെന്ന് നിങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുന്നു ശ്രദ്ധയോടെ?

എന്നിരുന്നാലും, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പലപ്പോഴും അല്പം വ്യത്യസ്തമായി കാണപ്പെടുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ഇതുപോലെ:

ഇത് അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ . ഒരു വിവേചനത്തിലൂടെയും അവ പരിഹരിക്കാനാകും. അവ ഇവിടെ തുല്യമാണെന്ന് നിങ്ങൾ ശരിയായി മനസ്സിലാക്കേണ്ടതുണ്ട്. എ, ബി, സി.

നിങ്ങൾ അത് മനസ്സിലാക്കിയിട്ടുണ്ടോ? ആദ്യ ഉദാഹരണത്തിൽ a = 1; b = -4;എ സി? അത് അവിടെ ഇല്ല! അതെ, അത് ശരിയാണ്. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ ഇതിനർത്ഥം c = 0 ! അത്രയേയുള്ളൂ. പകരം പൂജ്യം ഫോർമുലയിലേക്ക് മാറ്റുക സി,ഞങ്ങൾ വിജയിക്കുകയും ചെയ്യും. രണ്ടാമത്തെ ഉദാഹരണവും സമാനമാണ്. ഇവിടെ നമുക്ക് പൂജ്യമില്ല കൂടെ, എ ബി !

എന്നാൽ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ വളരെ ലളിതമായി പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും. യാതൊരു വിവേചനവുമില്ലാതെ. ആദ്യത്തെ അപൂർണ്ണമായ സമവാക്യം പരിഗണിക്കാം. ഇടതുവശത്ത് നിങ്ങൾക്ക് എന്തുചെയ്യാൻ കഴിയും? നിങ്ങൾക്ക് ബ്രാക്കറ്റിൽ നിന്ന് X എടുക്കാം! നമുക്ക് അത് പുറത്തെടുക്കാം.

അപ്പോൾ ഇതെന്തുപറ്റി? ഏതെങ്കിലും ഘടകങ്ങൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ മാത്രമേ ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാകൂ എന്ന വസ്തുതയും! എന്നെ വിശ്വസിക്കുന്നില്ലേ? ശരി, പൂജ്യമല്ലാത്ത രണ്ട് സംഖ്യകൾ കൊണ്ടുവരിക, ഗുണിക്കുമ്പോൾ പൂജ്യം ലഭിക്കും!
പ്രവർത്തിക്കുന്നില്ലേ? അത്രയേയുള്ളൂ...
അതിനാൽ, നമുക്ക് ആത്മവിശ്വാസത്തോടെ എഴുതാം: x = 0, അല്ലെങ്കിൽ x = 4

എല്ലാം. ഇവ നമ്മുടെ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളായിരിക്കും. രണ്ടും അനുയോജ്യമാണ്. അവയിലേതെങ്കിലും യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിലേക്ക് പകരം വയ്ക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ശരിയായ ഐഡൻ്റിറ്റി 0 = 0 ലഭിക്കും. നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, വിവേചനം ഉപയോഗിക്കുന്നതിനേക്കാൾ വളരെ ലളിതമാണ് പരിഹാരം.

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യവും ലളിതമായി പരിഹരിക്കാവുന്നതാണ്. 9 വലത് വശത്തേക്ക് നീക്കുക. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

9 ൽ നിന്ന് റൂട്ട് എക്‌സ്‌ട്രാക്റ്റുചെയ്യുക മാത്രമാണ് അവശേഷിക്കുന്നത്, അത്രമാത്രം. ഇത് മാറും:

കൂടാതെ രണ്ട് വേരുകൾ . x = +3, x = -3.

അപൂർണ്ണമായ എല്ലാ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളും പരിഹരിക്കുന്നത് ഇങ്ങനെയാണ്. ഒന്നുകിൽ ബ്രാക്കറ്റുകൾക്ക് പുറത്ത് X സ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ, അല്ലെങ്കിൽ ലളിതമായ കൈമാറ്റംഅക്കങ്ങൾ വലത്തോട്ട് തുടർന്ന് റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്നു.
ഈ സാങ്കേതികതകളെ ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കുന്നത് വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്. ലളിതമായി പറഞ്ഞാൽ, ആദ്യ സന്ദർഭത്തിൽ നിങ്ങൾക്ക് X ൻ്റെ റൂട്ട് എക്‌സ്‌ട്രാക്‌റ്റ് ചെയ്യേണ്ടിവരും, അത് എങ്ങനെയെങ്കിലും മനസ്സിലാക്കാൻ കഴിയില്ല, രണ്ടാമത്തെ സാഹചര്യത്തിൽ ബ്രാക്കറ്റിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കാൻ ഒന്നുമില്ല ...

പിശകുകളുടെ എണ്ണം ഗണ്യമായി കുറയ്ക്കുന്ന പ്രായോഗിക സാങ്കേതിക വിദ്യകൾ ഇപ്പോൾ ശ്രദ്ധിക്കുക. അശ്രദ്ധ മൂലമുണ്ടാകുന്ന അതേവ... അതിന് പിന്നീട് വേദനാജനകവും കുറ്റകരവുമായി മാറുന്നു...

ആദ്യ നിയമനം. ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന് മുമ്പ് അലസത കാണിക്കരുത്, അത് സാധാരണ രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരിക. എന്താണിതിനർത്ഥം?
എല്ലാ പരിവർത്തനങ്ങൾക്കും ശേഷം നിങ്ങൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന സമവാക്യം ലഭിക്കുമെന്ന് നമുക്ക് പറയാം:

റൂട്ട് ഫോർമുല എഴുതാൻ തിരക്കുകൂട്ടരുത്! നിങ്ങൾക്ക് മിക്കവാറും സാധ്യതകൾ കലർന്നുപോകും എ, ബി, സി.ഉദാഹരണം ശരിയായി നിർമ്മിക്കുക. ആദ്യം, X ചതുരം, പിന്നെ ചതുരം ഇല്ലാതെ, പിന്നെ സ്വതന്ത്ര പദം. ഇതുപോലെ:

വീണ്ടും, തിരക്കുകൂട്ടരുത്! ഒരു എക്സ് സ്ക്വയറിന് മുന്നിലുള്ള ഒരു മൈനസ് നിങ്ങളെ ശരിക്കും വിഷമിപ്പിച്ചേക്കാം. മറക്കാൻ എളുപ്പമാണ്... മൈനസ് ഒഴിവാക്കുക. എങ്ങനെ? അതെ, മുമ്പത്തെ വിഷയത്തിൽ പഠിപ്പിച്ചതുപോലെ! നമുക്ക് മുഴുവൻ സമവാക്യവും -1 കൊണ്ട് ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട്. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

എന്നാൽ ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് വേരുകൾക്കായുള്ള ഫോർമുല സുരക്ഷിതമായി എഴുതാനും വിവേചനം കണക്കാക്കാനും ഉദാഹരണം പരിഹരിക്കാനും കഴിയും. സ്വയം തീരുമാനിക്കുക. നിങ്ങൾക്ക് ഇപ്പോൾ 2 ഉം -1 ഉം വേരുകൾ ഉണ്ടായിരിക്കണം.

സ്വീകരണം രണ്ടാമത്.വേരുകൾ പരിശോധിക്കുക! വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം അനുസരിച്ച്. ഭയപ്പെടേണ്ട, ഞാൻ എല്ലാം വിശദീകരിക്കും! പരിശോധിക്കുന്നു അവസാനത്തേത്സമവാക്യം. ആ. റൂട്ട് ഫോർമുല എഴുതാൻ ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചത്. എങ്കിൽ (ഈ ഉദാഹരണത്തിലെന്നപോലെ) ഗുണകം a = 1, വേരുകൾ പരിശോധിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്. അവയെ ഗുണിച്ചാൽ മതി. ഫലം ഒരു സ്വതന്ത്ര അംഗമായിരിക്കണം, അതായത്. ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ -2. ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക, 2 അല്ല, -2! സ്വതന്ത്ര അംഗം നിങ്ങളുടെ അടയാളം ഉപയോഗിച്ച് . ഇത് പ്രവർത്തിക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ, അതിനർത്ഥം നിങ്ങൾ ഇതിനകം എവിടെയെങ്കിലും സ്ക്രൂ ചെയ്തിട്ടുണ്ടെന്നാണ്. തെറ്റ് അന്വേഷിക്കുക. ഇത് പ്രവർത്തിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ വേരുകൾ ചേർക്കേണ്ടതുണ്ട്. അവസാനത്തേതും അവസാനത്തേതുമായ പരിശോധന. ഗുണകം ആയിരിക്കണം ബികൂടെ എതിർവശത്ത് പരിചിതമായ. ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ -1+2 = +1. ഒരു ഗുണകം ബി, X ന് മുമ്പുള്ളത് -1 ന് തുല്യമാണ്. അതിനാൽ, എല്ലാം ശരിയാണ്!
x ചതുരം ശുദ്ധമായ, ഒരു ഗുണകം ഉള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾക്ക് മാത്രം ഇത് വളരെ ലളിതമാണ് എന്നത് ഖേദകരമാണ് a = 1.എന്നാൽ കുറഞ്ഞത് അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾ പരിശോധിക്കുക! എല്ലാം കുറവ് പിശകുകൾചെയ്യും.

സ്വീകരണം മൂന്നാമത്. നിങ്ങളുടെ സമവാക്യത്തിന് ഫ്രാക്ഷണൽ ഗുണകങ്ങൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഒഴിവാക്കുക! സമവാക്യം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക പൊതു വിഭജനം, മുമ്പത്തെ വിഭാഗത്തിൽ വിവരിച്ചതുപോലെ. ഭിന്നസംഖ്യകളുമായി പ്രവർത്തിക്കുമ്പോൾ, ചില കാരണങ്ങളാൽ പിശകുകൾ ഇഴയുന്നു...

വഴിയിൽ, ഒരു കൂട്ടം മൈനസുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ദുഷിച്ച ഉദാഹരണം ലളിതമാക്കാൻ ഞാൻ വാഗ്ദാനം ചെയ്തു. ദയവായി! അവൻ ഇതാ.

മൈനസുകളാൽ ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാകാതിരിക്കാൻ, ഞങ്ങൾ സമവാക്യത്തെ -1 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

അത്രയേയുള്ളൂ! പരിഹരിക്കുന്നത് ഒരു സന്തോഷമാണ്!

അതിനാൽ, നമുക്ക് വിഷയം സംഗ്രഹിക്കാം.

പ്രായോഗിക ഉപദേശം:

1. പരിഹരിക്കുന്നതിന് മുമ്പ്, ഞങ്ങൾ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം സ്റ്റാൻഡേർഡ് രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവന്ന് അത് നിർമ്മിക്കുന്നു ശരിയാണ്.

2. X സ്ക്വയറിന് മുന്നിൽ ഒരു നെഗറ്റീവ് കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് ഉണ്ടെങ്കിൽ, മുഴുവൻ സമവാക്യവും -1 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് ഞങ്ങൾ അത് ഇല്ലാതാക്കുന്നു.

3. ഗുണകങ്ങൾ ഫ്രാക്ഷണൽ ആണെങ്കിൽ, മുഴുവൻ സമവാക്യത്തെയും അനുബന്ധ ഘടകം കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് ഞങ്ങൾ ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഇല്ലാതാക്കുന്നു.

4. x ചതുരം ശുദ്ധമാണെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ ഗുണകം ഒന്നിന് തുല്യമാണ്, വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് പരിഹാരം എളുപ്പത്തിൽ പരിശോധിക്കാവുന്നതാണ്. ചെയ്യൂ!

ഫ്രാക്ഷണൽ സമവാക്യങ്ങൾ. ODZ.

ഞങ്ങൾ സമവാക്യങ്ങൾ മാസ്റ്റർ ചെയ്യുന്നത് തുടരുന്നു. ലീനിയർ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുമായി എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കണമെന്ന് ഞങ്ങൾക്ക് ഇതിനകം അറിയാം. അവശേഷിക്കുന്ന അവസാന കാഴ്ച - ഫ്രാക്ഷണൽ സമവാക്യങ്ങൾ. അല്ലെങ്കിൽ അവരെ കൂടുതൽ മാന്യമായി വിളിക്കുന്നു - ഫ്രാക്ഷണൽ യുക്തിസഹമായ സമവാക്യങ്ങൾ . അതുതന്നെയാണ് കാര്യം.

ഫ്രാക്ഷണൽ സമവാക്യങ്ങൾ.

പേര് സൂചിപ്പിക്കുന്നത് പോലെ, ഈ സമവാക്യങ്ങളിൽ ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഉണ്ടായിരിക്കണം. എന്നാൽ ഭിന്നസംഖ്യകൾ മാത്രമല്ല, ഉള്ള ഭിന്നസംഖ്യകളും ഡിനോമിനേറ്ററിൽ അജ്ഞാതം. കുറഞ്ഞത് ഒന്നിലെങ്കിലും. ഉദാഹരണത്തിന്:

ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ മാത്രമാണെങ്കിൽ ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ സംഖ്യകൾ, ഇവ രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളാണ്.

എങ്ങനെ തീരുമാനിക്കും ഫ്രാക്ഷണൽ സമവാക്യങ്ങൾ? ഒന്നാമതായി, ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഒഴിവാക്കുക! ഇതിനുശേഷം, സമവാക്യം മിക്കപ്പോഴും ലീനിയർ അല്ലെങ്കിൽ ക്വാഡ്രാറ്റിക് ആയി മാറുന്നു. എന്നിട്ട് എന്തുചെയ്യണമെന്ന് നമുക്കറിയാം... ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ അത് 5=5 പോലെയോ അല്ലെങ്കിൽ 7=2 പോലെയുള്ള തെറ്റായ പദപ്രയോഗമായി മാറുകയോ ചെയ്യാം. എന്നാൽ ഇത് അപൂർവ്വമായി സംഭവിക്കുന്നു. ഞാൻ ഇത് ചുവടെ പരാമർശിക്കും.

എന്നാൽ ഭിന്നസംഖ്യകളെ എങ്ങനെ ഒഴിവാക്കാം!? വളരെ ലളിതം. സമാന രൂപാന്തരങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കുന്നു.

മുഴുവൻ സമവാക്യവും ഒരേ പദപ്രയോഗത്താൽ ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട്. അങ്ങനെ എല്ലാ ഡിനോമിനേറ്ററുകളും കുറയുന്നു! എല്ലാം ഉടനടി എളുപ്പമാകും. ഒരു ഉദാഹരണത്തിലൂടെ ഞാൻ വിശദീകരിക്കാം. നമുക്ക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്:

പഠിപ്പിച്ചതുപോലെ ജൂനിയർ ക്ലാസുകൾ? ഞങ്ങൾ എല്ലാം ഒരു വശത്തേക്ക് നീക്കുന്നു, ഒരു പൊതു വിഭാഗത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരുന്നു, മുതലായവ. എങ്ങനെയെന്ന് മറക്കുക മോശം സ്വപ്നം! ഭിന്നസംഖ്യകൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുകയോ കുറയ്ക്കുകയോ ചെയ്യുമ്പോൾ നിങ്ങൾ ചെയ്യേണ്ടത് ഇതാണ്. അല്ലെങ്കിൽ നിങ്ങൾ അസമത്വങ്ങളുമായി പ്രവർത്തിക്കുന്നു. സമവാക്യങ്ങളിൽ, എല്ലാ ഡിനോമിനേറ്ററുകളും (അതായത്, സാരാംശത്തിൽ, ഒരു പൊതു ഡിനോമിനേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച്) കുറയ്ക്കാൻ അവസരം നൽകുന്ന ഒരു പദപ്രയോഗത്തിലൂടെ ഞങ്ങൾ ഉടൻ തന്നെ ഇരുവശങ്ങളെയും ഗുണിക്കുന്നു. പിന്നെ എന്താണ് ഈ പ്രയോഗം?

ഇടതുവശത്ത്, ഡിനോമിനേറ്റർ കുറയ്ക്കുന്നതിന് ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട് x+2. വലതുവശത്ത്, 2 കൊണ്ട് ഗുണനം ആവശ്യമാണ് എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം 2(x+2). ഗുണിക്കുക:

ഇത് ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ഒരു സാധാരണ ഗുണനമാണ്, പക്ഷേ ഞാൻ ഇത് വിശദമായി വിവരിക്കും:

ഞാൻ ഇതുവരെ ബ്രാക്കറ്റ് തുറക്കുന്നില്ലെന്ന് ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക (x + 2)! അതിനാൽ, പൂർണ്ണമായി, ഞാൻ ഇത് എഴുതുന്നു:

ഇടതുവശത്ത് അത് പൂർണ്ണമായും ചുരുങ്ങുന്നു (x+2), വലതുവശത്ത് 2. എന്താണ് ആവശ്യമായിരുന്നത്! കുറച്ചതിനുശേഷം നമുക്ക് ലഭിക്കും രേഖീയമായസമവാക്യം:

എല്ലാവർക്കും ഈ സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും! x = 2.

കുറച്ചുകൂടി സങ്കീർണ്ണമായ മറ്റൊരു ഉദാഹരണം പരിഹരിക്കാം:

നമ്മൾ 3 = 3/1 എന്ന് ഓർക്കുന്നുവെങ്കിൽ, ഒപ്പം 2x = 2x/ 1, നമുക്ക് എഴുതാം:

നമുക്ക് ശരിക്കും ഇഷ്ടപ്പെടാത്തവ വീണ്ടും ഞങ്ങൾ ഒഴിവാക്കുന്നു - ഭിന്നസംഖ്യകൾ.

X ഉപയോഗിച്ച് ഡിനോമിനേറ്റർ കുറയ്ക്കുന്നതിന്, ഭിന്നസംഖ്യയെ ഗുണിക്കണമെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണുന്നു (x - 2). ചിലർ നമുക്ക് തടസ്സമല്ല. ശരി, നമുക്ക് ഗുണിക്കാം. എല്ലാംഇടത് വശവും എല്ലാംവലത് വശം:

വീണ്ടും പരാൻതീസിസ് (x - 2)ഞാൻ വെളിപ്പെടുത്തുന്നില്ല. ബ്രാക്കറ്റ് മൊത്തത്തിൽ ഒരു നമ്പർ പോലെ ഞാൻ പ്രവർത്തിക്കുന്നു! ഇത് എല്ലായ്പ്പോഴും ചെയ്യണം, അല്ലാത്തപക്ഷം ഒന്നും കുറയ്ക്കില്ല.

ആഴത്തിലുള്ള സംതൃപ്തിയുടെ വികാരത്തോടെ ഞങ്ങൾ കുറയ്ക്കുന്നു (x - 2)കൂടാതെ, നമുക്ക് ഭിന്നസംഖ്യകളില്ലാതെ, ഒരു ഭരണാധികാരിയോടൊപ്പം ഒരു സമവാക്യം ലഭിക്കും!

ഇനി നമുക്ക് ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കാം:

ഞങ്ങൾ സമാനമായവ കൊണ്ടുവരുന്നു, എല്ലാം ഇടതുവശത്തേക്ക് നീക്കി നേടുക:

ക്ലാസിക് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം. എന്നാൽ മുന്നിലുള്ള മൈനസ് നല്ലതല്ല. -1 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചോ ഹരിച്ചോ നിങ്ങൾക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും ഇത് ഒഴിവാക്കാനാകും. എന്നാൽ നിങ്ങൾ ഉദാഹരണം സൂക്ഷ്മമായി നോക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഈ സമവാക്യത്തെ -2 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതാണ് നല്ലതെന്ന് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കും! ഒറ്റയടിക്ക്, മൈനസ് അപ്രത്യക്ഷമാകും, സാധ്യതകൾ കൂടുതൽ ആകർഷകമാകും! -2 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക. ഇടതുവശത്ത് - ടേം പ്രകാരം ടേം, വലതുവശത്ത് - പൂജ്യത്തെ -2, പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ നമുക്ക് ലഭിക്കും:

ഞങ്ങൾ വിവേചനത്തിലൂടെ പരിഹരിക്കുകയും വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് പരിശോധിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു x = 1, x = 3. രണ്ട് വേരുകൾ.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ആദ്യ സന്ദർഭത്തിൽ പരിവർത്തനത്തിന് ശേഷമുള്ള സമവാക്യം രേഖീയമായിത്തീർന്നു, എന്നാൽ ഇവിടെ അത് ക്വാഡ്രാറ്റിക് ആയി മാറുന്നു. ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഒഴിവാക്കിയ ശേഷം, എല്ലാ X-കളും കുറയുന്നു. 5=5 പോലെ ചിലത് അവശേഷിക്കുന്നു. എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം x എന്തും ആകാം. എന്തായാലും ഇനിയും കുറയും. അത് ശുദ്ധമായ സത്യമായി മാറുന്നു, 5=5. പക്ഷേ, ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഒഴിവാക്കിയ ശേഷം, അത് 2=7 പോലെ പൂർണ്ണമായും അസത്യമായി മാറിയേക്കാം. ഇത് അർത്ഥമാക്കുന്നത് പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല! ഏത് എക്‌സും അസത്യമായി മാറുന്നു.

പ്രധാന പരിഹാരം തിരിച്ചറിഞ്ഞു ഫ്രാക്ഷണൽ സമവാക്യങ്ങൾ ? ഇത് ലളിതവും യുക്തിസഹവുമാണ്. ഞങ്ങൾ യഥാർത്ഥ പദപ്രയോഗം മാറ്റുന്നു, അങ്ങനെ നമുക്ക് ഇഷ്ടപ്പെടാത്തതെല്ലാം അപ്രത്യക്ഷമാകും. അല്ലെങ്കിൽ അത് ഇടപെടുന്നു. IN ഈ സാഹചര്യത്തിൽഇവ ഭിന്നസംഖ്യകളാണ്. ലോഗരിതം, സൈനുകൾ, മറ്റ് ഭീകരതകൾ എന്നിവയുള്ള എല്ലാത്തരം സങ്കീർണ്ണമായ ഉദാഹരണങ്ങളിലും ഞങ്ങൾ ഇത് ചെയ്യും. ഞങ്ങൾ എപ്പോഴുംഇതെല്ലാം നമുക്ക് ഒഴിവാക്കാം.

എന്നിരുന്നാലും, നമുക്ക് ആവശ്യമുള്ള ദിശയിൽ യഥാർത്ഥ പദപ്രയോഗം മാറ്റേണ്ടതുണ്ട് നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, അതെ... ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയ്ക്കുള്ള തയ്യാറെടുപ്പാണ് ഇതിൻ്റെ വൈദഗ്ദ്ധ്യം. അതിനാൽ ഞങ്ങൾ അത് മാസ്റ്റേഴ്സ് ചെയ്യുന്നു.

ഒരെണ്ണം എങ്ങനെ മറികടക്കാമെന്ന് ഇപ്പോൾ നമ്മൾ പഠിക്കും ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിലെ പ്രധാന പതിയിരുന്ന്! എന്നാൽ ആദ്യം, നിങ്ങൾ അതിൽ വീഴുമോ ഇല്ലയോ എന്ന് നോക്കാം?

നമുക്ക് ഒരു ലളിതമായ ഉദാഹരണം നോക്കാം:

കാര്യം ഇതിനകം പരിചിതമാണ്, ഞങ്ങൾ രണ്ട് വശങ്ങളും ഗുണിക്കുന്നു (x - 2), നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ബ്രാക്കറ്റുകളോടെ ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കുന്നു (x - 2)ഒരു അവിഭാജ്യ പദപ്രയോഗം പോലെ ഞങ്ങൾ പ്രവർത്തിക്കുന്നു!

ഇവിടെ ഞാൻ ഇനി ഡിനോമിനേറ്ററുകളിൽ ഒരെണ്ണം എഴുതിയിട്ടില്ല, അത് മാന്യതയില്ലാത്തതാണ്... കൂടാതെ ഡിനോമിനേറ്ററുകളിൽ ഞാൻ ബ്രാക്കറ്റുകൾ വരച്ചിട്ടില്ല, അല്ലാതെ x - 2ഒന്നുമില്ല, നിങ്ങൾ വരയ്ക്കേണ്ടതില്ല. നമുക്ക് ചുരുക്കാം:

പരാൻതീസിസുകൾ തുറക്കുക, എല്ലാം ഇടത്തേക്ക് നീക്കുക, സമാനമായവ നൽകുക:

ഞങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു, പരിശോധിക്കുക, നമുക്ക് രണ്ട് വേരുകൾ ലഭിക്കും. x = 2ഒപ്പം x = 3. കൊള്ളാം.

റൂട്ട് എഴുതാൻ അസൈൻമെൻ്റ് പറയുന്നു, അല്ലെങ്കിൽ ഒന്നിൽ കൂടുതൽ റൂട്ടുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ അവയുടെ തുക. നമ്മൾ എന്താണ് എഴുതാൻ പോകുന്നത്?

ഉത്തരം 5 ആണെന്ന് നിങ്ങൾ തീരുമാനിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ പതിയിരുന്ന് ആക്രമിക്കപ്പെട്ടു. ചുമതല നിങ്ങൾക്ക് ക്രെഡിറ്റ് ചെയ്യപ്പെടില്ല. അവർ വെറുതെ ജോലി ചെയ്തു... ശരിയായ ഉത്തരം 3 ആണ്.

എന്താണ് കാര്യം?! നിങ്ങൾ ഒരു പരിശോധന നടത്താൻ ശ്രമിക്കുക. അജ്ഞാതമായ മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക ഒറിജിനൽഉദാഹരണം. ഒപ്പം ആണെങ്കിൽ x = 3എല്ലാം ഒരുമിച്ച് വളരും, നമുക്ക് 9 = 9 ലഭിക്കും, പിന്നെ എപ്പോൾ x = 2ഇത് പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കും! നിങ്ങൾക്ക് തീർത്തും ചെയ്യാൻ കഴിയാത്തത്. അർത്ഥമാക്കുന്നത് x = 2ഒരു പരിഹാരമല്ല, ഉത്തരത്തിൽ കണക്കിലെടുക്കുന്നില്ല. ഇത് ബാഹ്യമായ അല്ലെങ്കിൽ അധിക റൂട്ട് എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നതാണ്. ഞങ്ങൾ അത് വെറുതെ കളയുന്നു. അവസാന റൂട്ട് ഒന്നാണ്. x = 3.

എന്തുകൊണ്ട് അങ്ങനെ?! - രോഷാകുലമായ ആശ്ചര്യങ്ങൾ ഞാൻ കേൾക്കുന്നു. ഒരു സമവാക്യം ഒരു പദപ്രയോഗം കൊണ്ട് ഗുണിക്കാമെന്ന് ഞങ്ങൾ പഠിപ്പിച്ചു! ഇത് സമാനമായ പരിവർത്തനമാണ്!

അതെ, സമാനമാണ്. ഒരു ചെറിയ അവസ്ഥയിൽ - നമ്മൾ ഗുണിക്കുന്ന (വിഭജിക്കുന്ന) പദപ്രയോഗം - പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്. എ x - 2ചെയ്തത് x = 2പൂജ്യത്തിന് തുല്യം! അതിനാൽ എല്ലാം ന്യായമാണ്.

അപ്പോൾ നമ്മൾ ഇപ്പോൾ എന്താണ് ചെയ്യേണ്ടത്?! ഭാവം കൊണ്ട് ഗുണിക്കരുത്? ഓരോ തവണയും ഞാൻ പരിശോധിക്കേണ്ടതുണ്ടോ? വീണ്ടും വ്യക്തമല്ല!

ശാന്തമായി! പരിഭ്രാന്തി വേണ്ട!

ഈ വിഷമകരമായ സാഹചര്യത്തിൽ, മൂന്ന് മാന്ത്രിക അക്ഷരങ്ങൾ നമ്മെ രക്ഷിക്കും. നിങ്ങൾ എന്താണ് ചിന്തിക്കുന്നതെന്ന് എനിക്കറിയാം. ശരിയാണ്! ഇത് ODZ . സ്വീകാര്യമായ മൂല്യങ്ങളുടെ മേഖല.

ഇത് സമത്വ കോടാലി 2 + bx + c = o എന്നതിൻ്റെ ഒരു പ്രത്യേക പതിപ്പാണെന്ന് അറിയാം, ഇവിടെ a, b, c എന്നിവ അജ്ഞാതമായ x ൻ്റെ യഥാർത്ഥ ഗുണകങ്ങളാണ്, കൂടാതെ a ≠ o, b, c എന്നിവ പൂജ്യങ്ങളായിരിക്കും - ഒരേസമയം അല്ലെങ്കിൽ പ്രത്യേകം. ഉദാഹരണത്തിന്, c = o, b ≠ o അല്ലെങ്കിൽ തിരിച്ചും. ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ നിർവചനം ഞങ്ങൾ മിക്കവാറും ഓർമ്മിച്ചു.

രണ്ടാം ഡിഗ്രി ട്രൈനോമിയൽ പൂജ്യമാണ്. അതിൻ്റെ ആദ്യ ഗുണകം a ≠ o, b, c എന്നിവയ്ക്ക് ഏത് മൂല്യവും എടുക്കാം. x എന്ന വേരിയബിളിൻ്റെ മൂല്യം പകരം വയ്ക്കുന്നത് അതിനെ ശരിയായ സംഖ്യാ സമത്വമാക്കി മാറ്റുമ്പോൾ ആയിരിക്കും. നമുക്ക് യഥാർത്ഥ വേരുകളിൽ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കാം, സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരങ്ങളും ഒരു സമവാക്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നത് പതിവാണ്, അതിൽ ഗുണകങ്ങളൊന്നും o, a ≠ o, b ≠ o, c ≠ o എന്നിവയ്ക്ക് തുല്യമല്ല.
നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം പരിഹരിക്കാം. 2x 2 -9x-5 = ഓ, ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു
D = 81+40 = 121,
D എന്നത് പോസിറ്റീവ് ആണ്, അതായത് വേരുകൾ ഉണ്ട്, x 1 = (9+√121):4 = 5, രണ്ടാമത്തേത് x 2 = (9-√121):4 = -o.5. അവ ശരിയാണോയെന്ന് പരിശോധിക്കുന്നത് സഹായിക്കും.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിനുള്ള ഒരു ഘട്ടം ഘട്ടമായുള്ള പരിഹാരം ഇതാ

വിവേചനം ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് ഇടതുവശത്തുള്ള ഏത് സമവാക്യവും പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും, അതിൽ ≠ o എന്നതിന് അറിയപ്പെടുന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രൈനോമിയൽ ഉണ്ട്. ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ. 2x 2 -9x-5 = 0 (ax 2 +in+s = o)

രണ്ടാം ഡിഗ്രിയുടെ അപൂർണ്ണമായ സമവാക്യങ്ങൾ എന്തൊക്കെയാണെന്ന് നമുക്ക് നോക്കാം

1. കോടാലി 2 +ഇൻ = ഒ. സ്വതന്ത്ര പദം, x 0-ലെ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് c, ഇവിടെ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, ≠ o.
   ഈ തരത്തിലുള്ള ഒരു അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം? നമുക്ക് x ബ്രാക്കറ്റിൽ നിന്ന് എടുക്കാം. രണ്ട് ഘടകങ്ങളുടെ ഗുണനം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാകുമ്പോൾ നമുക്ക് ഓർക്കാം.
   x(ax+b) = o, ഇത് x = o അല്ലെങ്കിൽ ax+b = o ആയിരിക്കുമ്പോൾ ആകാം.
   രണ്ടാമത്തേത് പരിഹരിച്ചതിന് ശേഷം നമുക്ക് x = -в/а.
   തൽഫലമായി, x 2 = -b/a എന്ന കണക്കുകൂട്ടലുകൾ അനുസരിച്ച് നമുക്ക് x 1 = 0 വേരുകൾ ഉണ്ട്.
2. ഇപ്പോൾ x ൻ്റെ ഗുണകം o ന് തുല്യമാണ്, c തുല്യമല്ല (≠) o.
   x 2 +c = o. നമുക്ക് c സമത്വത്തിൻ്റെ വലതുവശത്തേക്ക് നീക്കാം, നമുക്ക് x 2 = -с ലഭിക്കും. ഈ സമവാക്യത്തിന് യഥാർത്ഥ വേരുകൾ ഉണ്ടാകുമ്പോൾ -c പോസിറ്റീവ് നമ്പർ(‹o കൂടെ),
   x 1 അപ്പോൾ യഥാക്രമം √(-c) ന് തുല്യമാണ്, x 2 -√(-c) ആണ്. അല്ലെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ല.
3. അവസാന ഓപ്ഷൻ: b = c = o, അതായത്, ax 2 = o. സ്വാഭാവികമായും, അത്തരമൊരു ലളിതമായ സമവാക്യത്തിന് ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ട്, x = o.

പ്രത്യേക കേസുകൾ

ഒരു അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് ഞങ്ങൾ നോക്കി, ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ഏതെങ്കിലും തരങ്ങൾ എടുക്കാം.

• ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൽ, x ൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ ഗുണകം ഒരു ഇരട്ട സംഖ്യയാണ്.
  k = o.5b എന്ന് അനുവദിക്കുക. വിവേചനവും വേരുകളും കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഞങ്ങളുടെ പക്കലുണ്ട്.
  D/4 = k 2 - ac, വേരുകൾ x 1,2 = (-k±√(D/4))/a എന്നതിന് D › o ആയി കണക്കാക്കുന്നു.
  x = -k/a at D = o.
  D‹ എന്നതിന് വേരുകളൊന്നുമില്ല.
• ചതുരാകൃതിയിലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ നൽകിയിട്ടുണ്ട്, x ചതുരത്തിൻ്റെ ഗുണകം 1 ആയിരിക്കുമ്പോൾ, അവ സാധാരണയായി x 2 + рх + q = o എന്ന് എഴുതുന്നു. മുകളിലുള്ള എല്ലാ ഫോർമുലകളും അവർക്ക് ബാധകമാണ്, പക്ഷേ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ കുറച്ച് ലളിതമാണ്.
  ഉദാഹരണം, x 2 -4x-9 = 0. D: 2 2 +9, D = 13 കണക്കാക്കുക.
  x 1 = 2+√13, x 2 = 2-√13.
• കൂടാതെ, നൽകിയിരിക്കുന്നവയിൽ പ്രയോഗിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്, സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ ആകെത്തുക -p, മൈനസുള്ള രണ്ടാമത്തെ ഗുണകം (അർത്ഥം. വിപരീത ചിഹ്നം), കൂടാതെ ഇതേ വേരുകളുടെ ഗുണനഫലം സ്വതന്ത്ര പദമായ q ന് തുല്യമായിരിക്കും. ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ വാക്കാൽ നിർണ്ണയിക്കുന്നത് എത്ര എളുപ്പമാണെന്ന് കാണുക. കുറയ്ക്കാത്ത ഗുണകങ്ങൾക്ക് (പൂജ്യം തുല്യമല്ലാത്ത എല്ലാ ഗുണകങ്ങൾക്കും), ഈ സിദ്ധാന്തം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ ബാധകമാണ്: തുക x 1 + x 2 -b/a ന് തുല്യമാണ്, ഉൽപ്പന്നം x 1 ·x 2 c/a ന് തുല്യമാണ്.

c എന്ന സ്വതന്ത്ര പദത്തിൻ്റെയും ആദ്യ ഗുണകം aയുടെയും ആകെത്തുക ഗുണകം b ന് തുല്യമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സമവാക്യത്തിന് കുറഞ്ഞത് ഒരു റൂട്ടെങ്കിലും ഉണ്ട് (തെളിയിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്), ആദ്യത്തേത് നിർബന്ധമായും -1 ന് തുല്യമാണ്, രണ്ടാമത്തേത് -c/a, അത് നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ. അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് പരിശോധിക്കാം. ഇത് കൂടുതൽ ലളിതമായിരിക്കില്ല. ഗുണകങ്ങൾ പരസ്പരം ചില ബന്ധങ്ങളിൽ ആയിരിക്കാം

• x 2 +x = o, 7x 2 -7 = o.
• എല്ലാ ഗുണകങ്ങളുടെയും ആകെത്തുക ഒ.
  അത്തരമൊരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ 1, c/a എന്നിവയാണ്. ഉദാഹരണം, 2x 2 -15x+13 = o.
  x 1 = 1, x 2 = 13/2.

വിവിധ രണ്ടാം ഡിഗ്രി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് മറ്റ് നിരവധി മാർഗങ്ങളുണ്ട്. ഇവിടെ, ഉദാഹരണത്തിന്, നൽകിയിരിക്കുന്ന ബഹുപദത്തിൽ നിന്ന് ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ചതുരം വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു രീതിയാണ്. നിരവധി ഗ്രാഫിക്കൽ രീതികൾ ഉണ്ട്. നിങ്ങൾ പലപ്പോഴും അത്തരം ഉദാഹരണങ്ങൾ കൈകാര്യം ചെയ്യുമ്പോൾ, വിത്തുകൾ പോലെ "ക്ലിക്ക്" ചെയ്യാൻ നിങ്ങൾ പഠിക്കും, കാരണം എല്ലാ രീതികളും യാന്ത്രികമായി മനസ്സിൽ വരും.

IN ആധുനിക സമൂഹംഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള വേരിയബിൾ അടങ്ങിയ സമവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്താനുള്ള കഴിവ് പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ പല മേഖലകളിലും ഉപയോഗപ്രദമാകും, ഇത് ശാസ്ത്രീയവും സാങ്കേതികവുമായ സംഭവവികാസങ്ങളിൽ പ്രായോഗികമായി വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കപ്പെടുന്നു. കടലിൻ്റെയും നദിയുടെയും പാത്രങ്ങൾ, വിമാനങ്ങൾ, റോക്കറ്റുകൾ എന്നിവയുടെ രൂപകല്പനയിൽ ഇതിന് തെളിവുകൾ കണ്ടെത്താനാകും. അത്തരം കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ഉപയോഗിച്ച്, ഏറ്റവും കൂടുതൽ ചലനത്തിൻ്റെ പാതകൾ വ്യത്യസ്ത ശരീരങ്ങൾ, ബഹിരാകാശ വസ്തുക്കൾ ഉൾപ്പെടെ. ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരമുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ സാമ്പത്തിക പ്രവചനത്തിലും കെട്ടിടങ്ങളുടെ രൂപകൽപ്പനയിലും നിർമ്മാണത്തിലും മാത്രമല്ല, ഏറ്റവും സാധാരണമായ ദൈനംദിന സാഹചര്യങ്ങളിലും ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഹൈക്കിംഗ് ട്രിപ്പുകൾ, കായിക ഇവൻ്റുകൾ, വാങ്ങലുകൾ നടത്തുമ്പോൾ സ്റ്റോറുകളിലും മറ്റ് വളരെ സാധാരണമായ സാഹചര്യങ്ങളിലും അവ ആവശ്യമായി വന്നേക്കാം.

പദപ്രയോഗത്തെ അതിൻ്റെ ഘടക ഘടകങ്ങളായി വിഭജിക്കാം

സമവാക്യത്തിൻ്റെ അളവ് നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു പരമാവധി മൂല്യംഈ പദപ്രയോഗം ഉൾക്കൊള്ളുന്ന വേരിയബിളിൻ്റെ ഡിഗ്രി. ഇത് 2 ന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, അത്തരമൊരു സമവാക്യത്തെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

നമ്മൾ സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ ഭാഷയിലാണ് സംസാരിക്കുന്നതെങ്കിൽ, സൂചിപ്പിച്ച പദപ്രയോഗങ്ങൾ, അവ എങ്ങനെ നോക്കിയാലും, എല്ലായ്പ്പോഴും ഫോമിലേക്ക് കൊണ്ടുവരാൻ കഴിയും ഇടത് വശംപദപ്രയോഗം മൂന്ന് പദങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. അവയിൽ: ax 2 (അതായത്, അതിൻ്റെ ഗുണകത്തോടുകൂടിയ ഒരു വേരിയബിൾ), bx (അതിൻ്റെ ഗുണകത്തോടുകൂടിയ ഒരു ചതുരം ഇല്ലാത്ത ഒരു അജ്ഞാതം), c (ഒരു സ്വതന്ത്ര ഘടകം, അതായത് ഒരു സാധാരണ നമ്പർ). വലതുവശത്തുള്ള ഇതെല്ലാം 0 ന് തുല്യമാണ്. അത്തരം ഒരു പോളിനോമിയലിന് അതിൻ്റെ ഘടക പദങ്ങളിലൊന്ന് ഇല്ലെങ്കിൽ, കോടാലി 2 ഒഴികെ, അതിനെ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അത്തരം പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ, കണ്ടെത്താൻ എളുപ്പമുള്ള വേരിയബിളുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ ആദ്യം പരിഗണിക്കണം.

പദപ്രയോഗത്തിന് വലതുവശത്ത് രണ്ട് പദങ്ങൾ ഉണ്ടെന്ന് തോന്നുന്നുവെങ്കിൽ, കൂടുതൽ കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, ax 2 ഉം bx ഉം, ബ്രാക്കറ്റിൽ നിന്ന് വേരിയബിൾ ഇടുക എന്നതാണ് x കണ്ടെത്താനുള്ള എളുപ്പവഴി. ഇപ്പോൾ നമ്മുടെ സമവാക്യം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും: x(ax+b). അടുത്തതായി, ഒന്നുകിൽ x=0, അല്ലെങ്കിൽ പ്രശ്നം ഇനിപ്പറയുന്ന എക്സ്പ്രഷനിൽ നിന്ന് ഒരു വേരിയബിൾ കണ്ടെത്തുന്നതിലേക്കാണ് വരുന്നത് എന്ന് വ്യക്തമാകും: ax+b=0. ഗുണനത്തിൻ്റെ സവിശേഷതകളിൽ ഒന്ന് ഇത് നിർണ്ണയിക്കുന്നു. രണ്ട് ഘടകങ്ങളുടെ ഗുണനഫലം അവയിലൊന്ന് പൂജ്യമാണെങ്കിൽ മാത്രമേ 0യിൽ ഫലമുണ്ടാകൂ എന്ന് നിയമം പറയുന്നു.

ഉദാഹരണം

x=0 അല്ലെങ്കിൽ 8x - 3 = 0

തൽഫലമായി, നമുക്ക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ രണ്ട് വേരുകൾ ലഭിക്കും: 0, 0.375.

ഇത്തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾക്ക് ഗുരുത്വാകർഷണത്തിൻ്റെ സ്വാധീനത്തിലുള്ള ശരീരങ്ങളുടെ ചലനത്തെ വിവരിക്കാൻ കഴിയും, ഇത് കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ഉത്ഭവമായി എടുത്ത ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് നീങ്ങാൻ തുടങ്ങി. ഇവിടെ ഗണിതശാസ്ത്ര നൊട്ടേഷൻ ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപമെടുക്കുന്നു: y = v 0 t + gt 2/2. ആവശ്യമായ മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ, വലതുവശത്തെ 0 ലേക്ക് തുല്യമാക്കുന്നതിലൂടെയും സാധ്യമായ അജ്ഞാതങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിലൂടെയും, ശരീരം ഉയരുന്ന നിമിഷം മുതൽ വീഴുന്ന നിമിഷം വരെ കടന്നുപോകുന്ന സമയവും മറ്റ് നിരവധി അളവുകളും നിങ്ങൾക്ക് കണ്ടെത്താനാകും. എന്നാൽ ഞങ്ങൾ ഇതിനെക്കുറിച്ച് പിന്നീട് സംസാരിക്കും.

ഒരു എക്സ്പ്രഷൻ ഫാക്റ്ററിംഗ്

മുകളിൽ വിവരിച്ച നിയമം ഈ പ്രശ്നങ്ങൾ കൂടുതൽ പരിഹരിക്കുന്നത് സാധ്യമാക്കുന്നു ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കേസുകൾ. ഇത്തരത്തിലുള്ള ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം.

X 2 - 33x + 200 = 0

ഇത് ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ത്രിപദംപൂർണ്ണമാണ്. ആദ്യം, നമുക്ക് എക്സ്പ്രഷൻ രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുകയും അതിനെ ഫാക്ടർ ചെയ്യുകയും ചെയ്യാം. അവയിൽ രണ്ടെണ്ണം ഉണ്ട്: (x-8), (x-25) = 0. ഫലമായി, നമുക്ക് 8 ഉം 25 ഉം രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ട്.

ഗ്രേഡ് 9 ലെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ രണ്ടാമത്തേതിൻ്റെ മാത്രമല്ല, മൂന്നാമത്തെയും നാലാമത്തെയും ഓർഡറുകളിൽ പോലും എക്സ്പ്രഷനുകളിൽ ഒരു വേരിയബിൾ കണ്ടെത്താൻ ഈ രീതിയെ അനുവദിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. ഒരു വേരിയബിൾ ഉപയോഗിച്ച് വലത് വശത്തെ ഘടകങ്ങളാക്കി മാറ്റുമ്പോൾ, അവയിൽ മൂന്നെണ്ണം ഉണ്ട്, അതായത് (x+1), (x-3), (x+) 3).

തൽഫലമായി, ഈ സമവാക്യത്തിന് മൂന്ന് വേരുകളുണ്ടെന്ന് വ്യക്തമാകും: -3; -1; 3.

സ്ക്വയർ റൂട്ട്

മറ്റൊരു കേസ് അപൂർണ്ണമായ സമവാക്യംരണ്ടാമത്തെ ക്രമം അക്ഷരങ്ങളുടെ ഭാഷയിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന ഒരു പദപ്രയോഗമാണ്, അത്തരത്തിൽ വലതുഭാഗം കോടാലി 2, c എന്നീ ഘടകങ്ങളിൽ നിന്ന് നിർമ്മിക്കപ്പെടുന്നു. ഇവിടെ, വേരിയബിളിൻ്റെ മൂല്യം ലഭിക്കുന്നതിന്, സ്വതന്ത്ര പദം വലതുവശത്തേക്ക് മാറ്റുന്നു, അതിനുശേഷം സമത്വത്തിൻ്റെ രണ്ട് വശങ്ങളിൽ നിന്നും സ്ക്വയർ റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ സാധാരണയായി സമവാക്യത്തിൻ്റെ രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ടെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. വേരിയബിൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായ, വലത് വശം നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കുമ്പോൾ എക്സ്പ്രഷനുകളുടെ വകഭേദങ്ങളുള്ള ഒരു പദവും അടങ്ങിയിട്ടില്ലാത്ത തുല്യതകൾ മാത്രമാണ് ഒഴിവാക്കലുകൾ. പിന്നീടുള്ള സന്ദർഭത്തിൽ, മേൽപ്പറഞ്ഞ പ്രവർത്തനങ്ങൾ വേരുകൾ ഉപയോഗിച്ച് നടത്താൻ കഴിയാത്തതിനാൽ, പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല. ഈ തരത്തിലുള്ള ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഗണിക്കണം.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ -4 ഉം 4 ഉം ആയിരിക്കും.

ഭൂപ്രദേശത്തിൻ്റെ കണക്കുകൂട്ടൽ

ഇത്തരത്തിലുള്ള കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ ആവശ്യകത പുരാതന കാലത്ത് പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു, കാരണം ആ വിദൂര കാലത്തെ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ വികസനം ഭൂരിഭാഗം പ്ലോട്ടുകളുടെ പ്രദേശങ്ങളും ചുറ്റളവുകളും ഏറ്റവും കൃത്യതയോടെ നിർണ്ണയിക്കേണ്ടതിൻ്റെ ആവശ്യകതയാണ്.

ഇത്തരത്തിലുള്ള പ്രശ്‌നങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങളും നാം പരിഗണിക്കണം.

അതിനാൽ, ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ഭൂമി ഉണ്ടെന്ന് നമുക്ക് പറയാം, അതിൻ്റെ നീളം വീതിയേക്കാൾ 16 മീറ്റർ കൂടുതലാണ്. സൈറ്റിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം 612 മീ 2 ആണെന്ന് നിങ്ങൾക്കറിയാമെങ്കിൽ അതിൻ്റെ നീളം, വീതി, ചുറ്റളവ് എന്നിവ നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തണം.

ആരംഭിക്കുന്നതിന്, ആദ്യം ആവശ്യമായ സമവാക്യം സൃഷ്ടിക്കാം. നമുക്ക് പ്രദേശത്തിൻ്റെ വീതി x കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കാം, അപ്പോൾ അതിൻ്റെ നീളം (x+16) ആയിരിക്കും. എഴുതിയതിൽ നിന്ന്, ഏരിയ നിർണ്ണയിക്കുന്നത് x(x+16) എന്ന പദപ്രയോഗത്തിലൂടെയാണ്, അത് നമ്മുടെ പ്രശ്നത്തിൻ്റെ വ്യവസ്ഥകൾ അനുസരിച്ച് 612 ആണ്. ഇതിനർത്ഥം x(x+16) = 612 എന്നാണ്.

സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു, ഈ പദപ്രയോഗം അതേ രീതിയിൽ ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല. എന്തുകൊണ്ട്? ഇടതുവശത്ത് ഇപ്പോഴും രണ്ട് ഘടകങ്ങൾ അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിലും, അവയുടെ ഉൽപ്പന്നം 0 ന് തുല്യമല്ല, അതിനാൽ വ്യത്യസ്ത രീതികൾ ഇവിടെ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

വിവേചനം

ആദ്യം, നമുക്ക് ആവശ്യമായ പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്താം, തുടർന്ന് രൂപംഈ പദപ്രയോഗം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും: x 2 + 16x - 612 = 0. ഇതിനർത്ഥം, മുമ്പ് വ്യക്തമാക്കിയ സ്റ്റാൻഡേർഡിന് അനുയോജ്യമായ ഒരു ഫോമിൽ ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു എക്സ്പ്രഷൻ ലഭിച്ചു എന്നാണ്, ഇവിടെ a=1, b=16, c=-612.

ഒരു വിവേചനം ഉപയോഗിച്ച് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണമാണിത്. ഇവിടെ ആവശ്യമായ കണക്കുകൂട്ടലുകൾസ്കീം അനുസരിച്ച് നിർമ്മിക്കപ്പെടുന്നു: D = b 2 - 4ac. ഈ സഹായ അളവ് ഒരു രണ്ടാം ഓർഡർ സമവാക്യത്തിൽ ആവശ്യമായ അളവുകൾ കണ്ടെത്തുന്നത് സാധ്യമാക്കുന്നു മാത്രമല്ല, അത് അളവ് നിർണ്ണയിക്കുന്നു സാധ്യമായ ഓപ്ഷനുകൾ. D>0 ആണെങ്കിൽ, അവയിൽ രണ്ടെണ്ണം ഉണ്ട്; D=0 ന് ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ട്. കേസിൽ ഡി<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

വേരുകളെക്കുറിച്ചും അവയുടെ സൂത്രവാക്യങ്ങളെക്കുറിച്ചും

ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, വിവേചനം ഇതിന് തുല്യമാണ്: 256 - 4(-612) = 2704. ഇത് സൂചിപ്പിക്കുന്നത് ഞങ്ങളുടെ പ്രശ്നത്തിന് ഉത്തരമുണ്ടെന്ന്. നിങ്ങൾക്ക് k അറിയാമെങ്കിൽ, താഴെയുള്ള ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം തുടരണം. വേരുകൾ കണക്കാക്കാൻ ഇത് നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു.

ഇതിനർത്ഥം അവതരിപ്പിച്ച സാഹചര്യത്തിൽ: x 1 =18, x 2 =-34. ഈ ധർമ്മസങ്കടത്തിലെ രണ്ടാമത്തെ ഓപ്ഷൻ ഒരു പരിഹാരമാകില്ല, കാരണം ഭൂമിയുടെ അളവുകൾ നെഗറ്റീവ് അളവിൽ അളക്കാൻ കഴിയില്ല, അതായത് x (അതായത്, പ്ലോട്ടിൻ്റെ വീതി) 18 മീറ്റർ ആണ് +16=34, ചുറ്റളവ് 2(34+ 18)=104(m2).

ഉദാഹരണങ്ങളും ചുമതലകളും

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനം ഞങ്ങൾ തുടരുന്നു. അവയിൽ പലതിൻ്റെയും ഉദാഹരണങ്ങളും വിശദമായ പരിഹാരങ്ങളും ചുവടെ നൽകും.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

നമുക്ക് സമത്വത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്തേക്ക് എല്ലാം നീക്കാം, ഒരു പരിവർത്തനം നടത്താം, അതായത്, സാധാരണയായി സ്റ്റാൻഡേർഡ് എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ തരം നമുക്ക് ലഭിക്കും, അത് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കും.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

സമാനമായവ ചേർക്കുന്നത്, ഞങ്ങൾ വിവേചനം നിർണ്ണയിക്കുന്നു: D = 49 - 48 = 1. ഇതിനർത്ഥം നമ്മുടെ സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ടായിരിക്കും എന്നാണ്. മുകളിലുള്ള ഫോർമുല അനുസരിച്ച് നമുക്ക് അവയെ കണക്കാക്കാം, അതായത് അവയിൽ ആദ്യത്തേത് 4/3 നും രണ്ടാമത്തേത് 1 നും തുല്യമായിരിക്കും.

2) ഇനി നമുക്ക് മറ്റൊരു തരത്തിലുള്ള നിഗൂഢതകൾ പരിഹരിക്കാം.

ഇവിടെ x 2 - 4x + 5 = 1 വേരുകൾ ഉണ്ടോ എന്ന് നോക്കാം? ഒരു സമഗ്രമായ ഉത്തരം ലഭിക്കുന്നതിന്, നമുക്ക് പോളിനോമിയലിനെ അനുബന്ധ സാധാരണ രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുക്കി വിവേചനം കണക്കാക്കാം. മുകളിലുള്ള ഉദാഹരണത്തിൽ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല, കാരണം ഇത് പ്രശ്നത്തിൻ്റെ സാരാംശമല്ല. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, D = 16 - 20 = -4, അതായത് യഥാർത്ഥത്തിൽ വേരുകൾ ഇല്ല.

വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾമേൽപ്പറഞ്ഞ സൂത്രവാക്യങ്ങളിലൂടെയും വിവേചനത്തിലൂടെയും പരിഹരിക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്, രണ്ടാമത്തേതിൻ്റെ മൂല്യത്തിൽ നിന്ന് വർഗ്ഗമൂല്യം എടുക്കുമ്പോൾ. എന്നാൽ ഇത് എല്ലായ്പ്പോഴും സംഭവിക്കുന്നില്ല. എന്നിരുന്നാലും, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ വേരിയബിളുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ നേടുന്നതിന് നിരവധി മാർഗങ്ങളുണ്ട്. ഉദാഹരണം: വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു. 16-ആം നൂറ്റാണ്ടിൽ ഫ്രാൻസിൽ ജീവിക്കുകയും അദ്ദേഹത്തിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ കഴിവുകൾക്കും കോടതിയിലെ ബന്ധങ്ങൾക്കും നന്ദി പറയുകയും ചെയ്ത ഒരാളുടെ പേരിലാണ് അവൾക്ക് ഈ പേര് നൽകിയിരിക്കുന്നത്. അദ്ദേഹത്തിൻ്റെ ഛായാചിത്രം ലേഖനത്തിൽ കാണാം.

പ്രശസ്ത ഫ്രഞ്ചുകാരൻ ശ്രദ്ധിച്ച പാറ്റേൺ ഇപ്രകാരമായിരുന്നു. സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ സംഖ്യാപരമായി -p=b/a ലേക്ക് കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നുവെന്നും അവയുടെ ഉൽപ്പന്നം q=c/a എന്നതിനോട് യോജിക്കുന്നുവെന്നും അദ്ദേഹം തെളിയിച്ചു.

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് നിർദ്ദിഷ്ട ജോലികൾ നോക്കാം.

3x 2 + 21x - 54 = 0

ലാളിത്യത്തിനായി, നമുക്ക് പദപ്രയോഗം രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം:

x 2 + 7x - 18 = 0

നമുക്ക് വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കാം, ഇത് നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്നവ നൽകും: വേരുകളുടെ ആകെത്തുക -7 ആണ്, അവയുടെ ഉൽപ്പന്നം -18 ആണ്. സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ -9 ഉം 2 ഉം ആണെന്ന് ഇവിടെ നിന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു. പരിശോധിച്ച ശേഷം, ഈ വേരിയബിൾ മൂല്യങ്ങൾ പദപ്രയോഗവുമായി ശരിക്കും യോജിക്കുന്നുവെന്ന് ഞങ്ങൾ ഉറപ്പാക്കും.

പരവലയ ഗ്രാഫും സമവാക്യവും

ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്ഷൻ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ എന്നിവയുടെ ആശയങ്ങൾ പരസ്പരം ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ഇതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ നേരത്തെ നൽകിയിട്ടുണ്ട്. ഇനി നമുക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ ചില കടങ്കഥകൾ കുറച്ചുകൂടി വിശദമായി നോക്കാം. വിവരിച്ച തരത്തിലുള്ള ഏത് സമവാക്യവും ദൃശ്യപരമായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം. ഒരു ഗ്രാഫ് ആയി വരച്ച അത്തരം ബന്ധത്തെ പരവലയം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അതിൻ്റെ വിവിധ തരങ്ങൾ ചുവടെയുള്ള ചിത്രത്തിൽ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.

ഏതൊരു പരവലയത്തിനും ഒരു ശീർഷകമുണ്ട്, അതായത്, അതിൻ്റെ ശാഖകൾ പുറത്തുവരുന്ന ഒരു ബിന്ദു. a>0 ആണെങ്കിൽ, അവ അനന്തതയിലേക്ക് ഉയരുന്നു, എപ്പോൾ a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

ഫംഗ്ഷനുകളുടെ വിഷ്വൽ പ്രാതിനിധ്യം ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഉൾപ്പെടെയുള്ള ഏത് സമവാക്യങ്ങളും പരിഹരിക്കാൻ സഹായിക്കുന്നു. ഈ രീതിയെ ഗ്രാഫിക്കൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഗ്രാഫ് ലൈൻ 0x മായി വിഭജിക്കുന്ന പോയിൻ്റുകളിലെ abscissa കോർഡിനേറ്റാണ് x എന്ന വേരിയബിളിൻ്റെ മൂല്യം. x 0 = -b/2a നൽകിയിരിക്കുന്ന സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് ശീർഷകത്തിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്താനാകും. ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മൂല്യം ഫംഗ്ഷൻ്റെ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ, നിങ്ങൾക്ക് y 0 കണ്ടെത്താനാകും, അതായത്, ഓർഡിനേറ്റ് അക്ഷത്തിൽ പെടുന്ന പരാബോളയുടെ ശീർഷകത്തിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ കോർഡിനേറ്റ്.

abscissa axis ഉള്ള ഒരു പരവലയത്തിൻ്റെ ശാഖകളുടെ വിഭജനം

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് ധാരാളം ഉദാഹരണങ്ങളുണ്ട്, പക്ഷേ പൊതുവായ പാറ്റേണുകളും ഉണ്ട്. നമുക്ക് അവരെ നോക്കാം. a>0 എന്നതിനുള്ള 0x അക്ഷത്തോടുകൂടിയ ഗ്രാഫിൻ്റെ വിഭജനം 0 നെഗറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾ എടുത്താൽ മാത്രമേ സാധ്യമാകൂ എന്ന് വ്യക്തമാണ്. ഒപ്പം എ<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. അല്ലെങ്കിൽ ഡി<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

പരവലയത്തിൻ്റെ ഗ്രാഫിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾക്ക് വേരുകൾ നിർണ്ണയിക്കാനും കഴിയും. വിപരീതവും ശരിയാണ്. അതായത്, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു വിഷ്വൽ ഇമേജ് ലഭിക്കുകയാണെങ്കിൽ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള പ്രവർത്തനംഇത് എളുപ്പമല്ല, നിങ്ങൾക്ക് പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ വലതുഭാഗം 0 ലേക്ക് തുല്യമാക്കുകയും ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുകയും ചെയ്യാം. 0x അച്ചുതണ്ടുമായി വിഭജിക്കുന്ന പോയിൻ്റുകൾ അറിയുന്നത്, ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്.

ചരിത്രത്തിൽ നിന്ന്

ചതുരാകൃതിയിലുള്ള വേരിയബിൾ അടങ്ങിയ സമവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, പഴയ കാലത്ത് അവർ ഗണിതശാസ്ത്ര കണക്കുകൂട്ടലുകൾ മാത്രമല്ല, ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങളുടെ മേഖലകൾ നിർണ്ണയിക്കുകയും ചെയ്തു. ഭൗതികശാസ്ത്രം, ജ്യോതിശാസ്ത്രം എന്നീ മേഖലകളിലെ മഹത്തായ കണ്ടെത്തലുകൾക്കും ജ്യോതിഷ പ്രവചനങ്ങൾ നടത്തുന്നതിനും പുരാതന ആളുകൾക്ക് അത്തരം കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ആവശ്യമായിരുന്നു.

ആധുനിക ശാസ്ത്രജ്ഞർ സൂചിപ്പിക്കുന്നത് പോലെ, ചതുരാകൃതിയിലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ ആദ്യമായി പരിഹരിച്ചവരിൽ ബാബിലോണിലെ നിവാസികളായിരുന്നു. നമ്മുടെ കാലഘട്ടത്തിന് നാല് നൂറ്റാണ്ടുകൾക്ക് മുമ്പ് ഇത് സംഭവിച്ചു. തീർച്ചയായും, അവരുടെ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നിലവിൽ അംഗീകരിക്കപ്പെട്ടതിൽ നിന്ന് തികച്ചും വ്യത്യസ്തവും കൂടുതൽ പ്രാകൃതവും ആയിരുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, മെസൊപ്പൊട്ടേമിയൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെ അസ്തിത്വത്തെക്കുറിച്ച് അറിയില്ലായിരുന്നു. ഏതൊരു ആധുനിക സ്കൂൾ കുട്ടിക്കും അറിയാവുന്ന മറ്റ് സൂക്ഷ്മതകളും അവർക്ക് അപരിചിതമായിരുന്നു.

ഒരുപക്ഷേ ബാബിലോണിലെ ശാസ്ത്രജ്ഞരേക്കാൾ നേരത്തെ തന്നെ, ഇന്ത്യയിൽ നിന്നുള്ള ബൗധയാമ സന്യാസി ചതുരാകൃതിയിലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ തുടങ്ങി. ക്രിസ്തുവിൻ്റെ കാലഘട്ടത്തിന് ഏകദേശം എട്ട് നൂറ്റാണ്ടുകൾക്ക് മുമ്പാണ് ഇത് സംഭവിച്ചത്. ശരിയാണ്, അദ്ദേഹം നൽകിയ രണ്ടാമത്തെ ഓർഡർ സമവാക്യങ്ങൾ, പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ, ഏറ്റവും ലളിതമായിരുന്നു. അദ്ദേഹത്തെ കൂടാതെ, ചൈനീസ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്കും പഴയ കാലത്ത് സമാനമായ ചോദ്യങ്ങളിൽ താൽപ്പര്യമുണ്ടായിരുന്നു. യൂറോപ്പിൽ, 13-ആം നൂറ്റാണ്ടിൻ്റെ തുടക്കത്തിൽ മാത്രമാണ് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ തുടങ്ങിയത്, എന്നാൽ പിന്നീട് ന്യൂട്ടൺ, ഡെസ്കാർട്ടസ് തുടങ്ങിയ മഹാനായ ശാസ്ത്രജ്ഞർ അവരുടെ കൃതികളിൽ ഉപയോഗിച്ചു.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം - പരിഹരിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്! *ഇനിമുതൽ "KU" എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു.സുഹൃത്തുക്കളേ, ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ അത്തരമൊരു സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനേക്കാൾ ലളിതമൊന്നുമില്ലെന്ന് തോന്നുന്നു. എന്നാൽ പലർക്കും അവനുമായി പ്രശ്‌നങ്ങളുണ്ടെന്ന് എന്തോ എന്നോട് പറഞ്ഞു. Yandex പ്രതിമാസം എത്ര ഓൺ-ഡിമാൻഡ് ഇംപ്രഷനുകൾ നൽകുന്നുവെന്ന് കാണാൻ ഞാൻ തീരുമാനിച്ചു. എന്താണ് സംഭവിച്ചതെന്ന് ഇതാ, നോക്കൂ:

എന്താണ് ഇതിനർത്ഥം? ഇതിനർത്ഥം പ്രതിമാസം 70,000 പേർ ഈ വിവരങ്ങൾക്കായി തിരയുന്നു, ഇത് വേനൽക്കാലമാണ്, സ്കൂൾ വർഷത്തിൽ എന്ത് സംഭവിക്കും - ഇരട്ടി അഭ്യർത്ഥനകൾ ഉണ്ടാകും. ഇത് ആശ്ചര്യകരമല്ല, കാരണം വളരെക്കാലം മുമ്പ് സ്കൂളിൽ നിന്ന് ബിരുദം നേടിയവരും ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയ്ക്ക് തയ്യാറെടുക്കുന്നവരുമായ ആൺകുട്ടികളും പെൺകുട്ടികളും ഈ വിവരങ്ങൾക്കായി തിരയുന്നു, കൂടാതെ സ്കൂൾ കുട്ടികളും അവരുടെ മെമ്മറി പുതുക്കാൻ ശ്രമിക്കുന്നു.

ഈ സമവാക്യം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് നിങ്ങളോട് പറയുന്ന ധാരാളം സൈറ്റുകൾ ഉണ്ടെങ്കിലും, മെറ്റീരിയൽ സംഭാവന ചെയ്യാനും പ്രസിദ്ധീകരിക്കാനും ഞാൻ തീരുമാനിച്ചു. ഒന്നാമതായി, ഈ അഭ്യർത്ഥനയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ സന്ദർശകർ എൻ്റെ സൈറ്റിലേക്ക് വരണമെന്ന് ഞാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു; രണ്ടാമതായി, മറ്റ് ലേഖനങ്ങളിൽ, "KU" എന്ന വിഷയം വരുമ്പോൾ, ഈ ലേഖനത്തിലേക്കുള്ള ഒരു ലിങ്ക് ഞാൻ നൽകും; മൂന്നാമതായി, മറ്റ് സൈറ്റുകളിൽ സാധാരണയായി പ്രസ്താവിക്കുന്നതിനേക്കാൾ കുറച്ചുകൂടി അവൻ്റെ പരിഹാരത്തെക്കുറിച്ച് ഞാൻ നിങ്ങളോട് പറയും. നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം!ലേഖനത്തിൻ്റെ ഉള്ളടക്കം:

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം രൂപത്തിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യമാണ്:

എവിടെ ഗുണകങ്ങൾ a,ബിc എന്നിവ a≠0 ഉള്ള അനിയന്ത്രിതമായ സംഖ്യകളാണ്.

IN സ്കൂൾ കോഴ്സ്മെറ്റീരിയൽ ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു - സമവാക്യങ്ങൾ പരമ്പരാഗതമായി മൂന്ന് ക്ലാസുകളായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു:

1. അവയ്ക്ക് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്.

2. *ഒരു റൂട്ട് മാത്രമേയുള്ളൂ.

3. അവയ്ക്ക് വേരുകളില്ല. അവയ്ക്ക് യഥാർത്ഥ വേരുകളില്ല എന്നത് ഇവിടെ പ്രത്യേകം ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്

വേരുകൾ എങ്ങനെയാണ് കണക്കാക്കുന്നത്? വെറുതെ!

ഞങ്ങൾ വിവേചനം കണക്കാക്കുന്നു. ഈ "ഭയങ്കരമായ" വാക്കിന് കീഴിൽ വളരെ ലളിതമായ ഒരു ഫോർമുല ഉണ്ട്:

റൂട്ട് ഫോർമുലകൾ ഇപ്രകാരമാണ്:

*ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ നിങ്ങൾ ഹൃദയത്തിൽ അറിയേണ്ടതുണ്ട്.

നിങ്ങൾക്ക് ഉടനടി എഴുതി പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും:

ഉദാഹരണം:

1. D > 0 ആണെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്.

2. D = 0 ആണെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ട്.

3. ഡി എങ്കിൽ< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

നമുക്ക് സമവാക്യം നോക്കാം:

എഴുതിയത് ഈ അവസരത്തിൽ, വിവേചനം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാകുമ്പോൾ, സ്കൂൾ കോഴ്സ് ഫലം ഒരു റൂട്ട് ആണെന്ന് പറയുന്നു, ഇവിടെ അത് ഒമ്പതിന് തുല്യമാണ്. എല്ലാം ശരിയാണ്, അങ്ങനെയാണ്, പക്ഷേ ...

ഈ ആശയം കുറച്ച് തെറ്റാണ്. വാസ്തവത്തിൽ, രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ട്. അതെ, അതെ, ആശ്ചര്യപ്പെടരുത്, നിങ്ങൾക്ക് രണ്ട് തുല്യ വേരുകൾ ലഭിക്കും, ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, ഉത്തരം രണ്ട് വേരുകൾ എഴുതണം:

x 1 = 3 x 2 = 3

എന്നാൽ ഇത് അങ്ങനെയാണ് - ഒരു ചെറിയ വ്യതിചലനം. സ്‌കൂളിൽ അത് എഴുതിവെച്ച് ഒറ്റമൂലിയുണ്ടെന്ന് പറയാം.

ഇനി അടുത്ത ഉദാഹരണം:

നമുക്കറിയാവുന്നതുപോലെ, ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ റൂട്ട് എടുക്കാൻ കഴിയില്ല, അതിനാൽ ഈ കേസിൽ ഒരു പരിഹാരവുമില്ല.

അതാണ് മുഴുവൻ തീരുമാന പ്രക്രിയയും.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് പ്രവർത്തനം.

പരിഹാരം ജ്യാമിതീയമായി എങ്ങനെ കാണപ്പെടുന്നുവെന്ന് ഇത് കാണിക്കുന്നു. ഇത് മനസ്സിലാക്കേണ്ടത് വളരെ പ്രധാനമാണ് (ഭാവിയിൽ, ഒരു ലേഖനത്തിൽ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് അസമത്വത്തിനുള്ള പരിഹാരം ഞങ്ങൾ വിശദമായി വിശകലനം ചെയ്യും).

ഇത് ഫോമിൻ്റെ പ്രവർത്തനമാണ്:

ഇവിടെ x, y എന്നിവ വേരിയബിളുകളാണ്

a, b, c - നൽകിയിരിക്കുന്ന സംഖ്യകൾ, ≠ 0

ഗ്രാഫ് ഒരു പരവലയമാണ്:

അതായത്, പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായ “y” ഉള്ള ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിലൂടെ, x അക്ഷവുമായി പരാബോളയുടെ വിഭജന പോയിൻ്റുകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. ഈ പോയിൻ്റുകളിൽ രണ്ടെണ്ണം (വിവേചനം പോസിറ്റീവ് ആണ്), ഒന്ന് (വിവേചനം കാണിക്കുന്നയാൾ പൂജ്യം) ഒന്നുമില്ല (വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആണ്). ക്വാഡ്രാറ്റിക് പ്രവർത്തനത്തെക്കുറിച്ചുള്ള വിശദാംശങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് നോക്കാംഇന്ന ഫെൽഡ്മാൻ്റെ ലേഖനം.

നമുക്ക് ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം:

ഉദാഹരണം 1: പരിഹരിക്കുക 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

ഉത്തരം: x 1 = 8 x 2 = –12

*സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടത് വലത് വശങ്ങൾ ഉടനടി 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാകും, അതായത് അത് ലളിതമാക്കുക. കണക്കുകൂട്ടലുകൾ എളുപ്പമാകും.

ഉദാഹരണം 2: തീരുമാനിക്കുക x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

x 1 = 11 ഉം x 2 = 11 ഉം ആണെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി

ഉത്തരത്തിൽ x = 11 എന്ന് എഴുതുന്നത് അനുവദനീയമാണ്.

ഉത്തരം: x = 11

ഉദാഹരണം 3: തീരുമാനിക്കുക x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആണ്, യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളിൽ പരിഹാരമില്ല.

ഉത്തരം: പരിഹാരമില്ല

വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആണ്. ഒരു പരിഹാരമുണ്ട്!

ഒരു നെഗറ്റീവ് വിവേചനം ലഭിക്കുമ്പോൾ കേസിൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ച് നമ്മൾ ഇവിടെ സംസാരിക്കും. സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളെക്കുറിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് എന്തെങ്കിലും അറിയാമോ? അവർ എന്തിന്, എവിടെയാണ് ഉണ്ടായത്, ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ അവരുടെ പ്രത്യേക പങ്കും ആവശ്യകതയും എന്താണെന്നതിനെ കുറിച്ച് ഞാൻ ഇവിടെ വിശദമായി പറയുന്നില്ല.

ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെ ആശയം.

ഒരു ചെറിയ സിദ്ധാന്തം.

ഒരു സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യ z എന്നത് ഫോമിൻ്റെ ഒരു സംഖ്യയാണ്

z = a + bi

a, b എന്നിവ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളാണെങ്കിൽ, i സാങ്കൽപ്പിക യൂണിറ്റ് എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു.

a+bi – ഇതൊരു സിംഗിൾ നമ്പറാണ്, ഒരു കൂട്ടിച്ചേർക്കലല്ല.

സാങ്കൽപ്പിക യൂണിറ്റ് മൈനസ് ഒന്നിൻ്റെ റൂട്ടിന് തുല്യമാണ്:

ഇപ്പോൾ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക:

നമുക്ക് രണ്ട് സംയോജിത വേരുകൾ ലഭിക്കും.

അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം.

നമുക്ക് പ്രത്യേക കേസുകൾ പരിഗണിക്കാം, ഇത് "ബി" അല്ലെങ്കിൽ "സി" എന്ന ഗുണകം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാകുമ്പോൾ (അല്ലെങ്കിൽ രണ്ടും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്). യാതൊരു വിവേചനവുമില്ലാതെ അവ എളുപ്പത്തിൽ പരിഹരിക്കാനാകും.

കേസ് 1. ഗുണകം b = 0.

സമവാക്യം മാറുന്നു:

നമുക്ക് രൂപാന്തരപ്പെടാം:

ഉദാഹരണം:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

കേസ് 2. ഗുണകം c = 0.

സമവാക്യം മാറുന്നു:

നമുക്ക് രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുകയും ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്യുകയും ചെയ്യാം:

*ഘടകങ്ങളിലൊന്നെങ്കിലും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാകുമ്പോൾ ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്.

ഉദാഹരണം:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 അല്ലെങ്കിൽ x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

കേസ് 3. ഗുണകങ്ങൾ b = 0, c = 0.

സമവാക്യത്തിൻ്റെ പരിഹാരം എപ്പോഴും x = 0 ആയിരിക്കുമെന്ന് ഇവിടെ വ്യക്തമാണ്.

ഗുണകങ്ങളുടെ ഉപയോഗപ്രദമായ ഗുണങ്ങളും പാറ്റേണുകളും.

വലിയ ഗുണകങ്ങളുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്ന പ്രോപ്പർട്ടികൾ ഉണ്ട്.

എx 2 + bx+ സി=0 സമത്വം നിലനിർത്തുന്നു

എ + ബി+ സി = 0,അത്

- സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾക്കാണെങ്കിൽ എx 2 + bx+ സി=0 സമത്വം നിലനിർത്തുന്നു

എ+ എസ് =ബി, അത്

ഈ ഗുണങ്ങൾ തീരുമാനിക്കാൻ സഹായിക്കുന്നു ഒരു പ്രത്യേക തരംസമവാക്യങ്ങൾ

ഉദാഹരണം 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

സാധ്യതകളുടെ ആകെത്തുക 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, അതായത്

ഉദാഹരണം 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

സമത്വം നിലനിർത്തുന്നു എ+ എസ് =ബി, അർത്ഥമാക്കുന്നത്

ഗുണകങ്ങളുടെ ക്രമങ്ങൾ.

1. ax 2 + bx + c = 0 എന്ന സമവാക്യത്തിൽ "b" എന്ന ഗുണകം (a 2 +1) ന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, "c" എന്ന ഗുണകം സംഖ്യാപരമായി "a" എന്ന ഗുണകത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ വേരുകൾ തുല്യമാണ്

ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

ഉദാഹരണം. 6x 2 + 37x + 6 = 0 എന്ന സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. ax 2 – bx + c = 0 എന്ന സമവാക്യത്തിൽ “b” എന്ന ഗുണകം (a 2 +1) ന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, “c” എന്ന ഗുണകം സംഖ്യാപരമായി “a” എന്ന ഗുണകത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ വേരുകൾ തുല്യമാണ്.

ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

ഉദാഹരണം. 15x 2 –226x +15 = 0 എന്ന സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. സമനിലയിലാണെങ്കിൽ. ax 2 + bx - c = 0 ഗുണകം "b" തുല്യമാണ് (a 2 - 1), കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് "സി" സംഖ്യാപരമായി "a" എന്ന ഗുണകത്തിന് തുല്യമാണ്, അപ്പോൾ അതിൻ്റെ വേരുകൾ തുല്യമാണ്

ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

ഉദാഹരണം. 17x 2 +288x – 17 = 0 എന്ന സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. ax 2 – bx – c = 0 എന്ന സമവാക്യത്തിൽ “b” എന്ന ഗുണകം (a 2 – 1) ന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, c ഗുണകം “a” എന്ന ഗുണകത്തിന് സംഖ്യാപരമായി തുല്യമാണെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ വേരുകൾ തുല്യമാണ്

ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

ഉദാഹരണം. 10x 2 – 99x –10 = 0 എന്ന സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം.

പ്രശസ്ത ഫ്രഞ്ച് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ഫ്രാങ്കോയിസ് വിയറ്റയുടെ പേരിലാണ് വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം അറിയപ്പെടുന്നത്. വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച്, ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ KU-യുടെ വേരുകളുടെ ആകെത്തുകയും ഉൽപ്പന്നവും അതിൻ്റെ ഗുണകങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ നമുക്ക് പ്രകടിപ്പിക്കാം.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

മൊത്തത്തിൽ, 14 എന്ന സംഖ്യ 5 ഉം 9 ഉം മാത്രം നൽകുന്നു. ഇവ വേരുകളാണ്. ഒരു പ്രത്യേക വൈദഗ്ദ്ധ്യം ഉപയോഗിച്ച്, അവതരിപ്പിച്ച സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് നിരവധി ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ വാമൊഴിയായി ഉടനടി പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും.

വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം, കൂടാതെ. സാധാരണ രീതിയിൽ (ഒരു വിവേചനത്തിലൂടെ) ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിച്ച ശേഷം, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വേരുകൾ പരിശോധിക്കാൻ കഴിയുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്. ഇത് എല്ലായ്പ്പോഴും ചെയ്യാൻ ഞാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു.

ഗതാഗത രീതി

ഈ രീതി ഉപയോഗിച്ച്, "എ" എന്ന ഗുണകം സ്വതന്ത്ര പദത്താൽ ഗുണിക്കുന്നു, അതിലേക്ക് "എറിഞ്ഞത്" പോലെയാണ്, അതിനാലാണ് ഇതിനെ വിളിക്കുന്നത്. "കൈമാറ്റം" രീതി.വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടെത്താൻ കഴിയുമ്പോൾ, ഏറ്റവും പ്രധാനമായി, വിവേചനം ഒരു കൃത്യമായ ചതുരമാകുമ്പോൾ ഈ രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നു.

എങ്കിൽ എ± ബി+സി≠ 0, തുടർന്ന് ട്രാൻസ്ഫർ ടെക്നിക് ഉപയോഗിക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്:

2എക്സ് 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => എക്സ് 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

സമവാക്യത്തിൽ (2) വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് x 1 = 10 x 2 = 1 എന്ന് നിർണ്ണയിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്

സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഫലമായ വേരുകൾ 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കണം (രണ്ടും x 2 ൽ നിന്ന് "എറിഞ്ഞത്"), നമുക്ക് ലഭിക്കും

x 1 = 5 x 2 = 0.5.

എന്താണ് യുക്തി? എന്താണ് സംഭവിക്കുന്നതെന്ന് നോക്കൂ.

(1), (2) സമവാക്യങ്ങളുടെ വിവേചനങ്ങൾ തുല്യമാണ്:

നിങ്ങൾ സമവാക്യങ്ങളുടെ വേരുകൾ നോക്കുകയാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് വ്യത്യസ്ത ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ മാത്രമേ ലഭിക്കൂ, ഫലം കൃത്യമായി x 2 ൻ്റെ ഗുണകത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു:

രണ്ടാമത്തേതിന് (പരിഷ്കരിച്ചത്) 2 മടങ്ങ് വലിയ വേരുകളുണ്ട്.

അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ഫലം 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.

*ഞങ്ങൾ മൂന്ന് റോൾ ചെയ്താൽ, ഞങ്ങൾ ഫലം 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കും.

ഉത്തരം: x 1 = 5 x 2 = 0.5

ചതുരശ്ര. ur-ie, ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷ.

അതിൻ്റെ പ്രാധാന്യത്തെക്കുറിച്ച് ഞാൻ നിങ്ങളോട് സംക്ഷിപ്തമായി പറയും - നിങ്ങൾക്ക് വേഗത്തിലും ചിന്തിക്കാതെയും തീരുമാനിക്കാൻ കഴിയണം, വേരുകളുടെയും വിവേചനങ്ങളുടെയും സൂത്രവാക്യങ്ങൾ നിങ്ങൾ ഹൃദയത്തിൽ അറിയേണ്ടതുണ്ട്. ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷാ ജോലികളിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുള്ള പല പ്രശ്നങ്ങളും ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം (ജ്യാമിതീയവും ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്) പരിഹരിക്കുന്നതിലേക്ക് വരുന്നു.

ശ്രദ്ധിക്കേണ്ട കാര്യം!

1. ഒരു സമവാക്യം എഴുതുന്നതിൻ്റെ രൂപം "വ്യക്തമായത്" ആകാം. ഉദാഹരണത്തിന്, ഇനിപ്പറയുന്ന എൻട്രി സാധ്യമാണ്:

15+ 9x 2 - 45x = 0 അല്ലെങ്കിൽ 15x+42+9x 2 - 45x=0 അല്ലെങ്കിൽ 15 -5x+10x 2 = 0.

നിങ്ങൾ ഇത് ഒരു സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോമിലേക്ക് കൊണ്ടുവരേണ്ടതുണ്ട് (പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാകാതിരിക്കാൻ).

2. x എന്നത് ഒരു അജ്ഞാത അളവാണെന്നും അത് മറ്റേതെങ്കിലും അക്ഷരങ്ങളാൽ സൂചിപ്പിക്കാമെന്നും ഓർക്കുക - t, q, p, h എന്നിവയും മറ്റുള്ളവയും.

ഈ ലേഖനത്തിൽ നമ്മൾ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് നോക്കും.

എന്നാൽ ആദ്യം, ക്വാഡ്രാറ്റിക് എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ ആവർത്തിക്കാം. ax 2 + bx + c = 0 എന്ന രൂപത്തിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യം, ഇവിടെ x ഒരു വേരിയബിളാണ്, കൂടാതെ a, b, c എന്നീ ഗുണകങ്ങൾ ചില സംഖ്യകളാണ്, a ≠ 0 എന്നിവയെ വിളിക്കുന്നു. ചതുരം. നമ്മൾ കാണുന്നതുപോലെ, x 2 ൻ്റെ ഗുണകം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ല, അതിനാൽ x അല്ലെങ്കിൽ സ്വതന്ത്ര പദത്തിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ നമുക്ക് ഒരു അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ലഭിക്കും.

അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ മൂന്ന് തരത്തിലുണ്ട്:

1) b = 0, c ≠ 0 ആണെങ്കിൽ, കോടാലി 2 + c = 0;

2) b ≠ 0, c = 0 എങ്കിൽ, കോടാലി 2 + bx = 0;

3) b = 0, c = 0 എങ്കിൽ, കോടാലി 2 = 0.

• എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് നമുക്ക് നോക്കാം ax 2 + c = 0 എന്ന രൂപത്തിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങൾ.

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, സി എന്ന സ്വതന്ത്ര പദം സമവാക്യത്തിൻ്റെ വലതുവശത്തേക്ക് നീക്കുന്നു, നമുക്ക് ലഭിക്കും

കോടാലി 2 = ‒s. a ≠ 0 ആയതിനാൽ, നമ്മൾ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും a കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു, തുടർന്ന് x 2 = ‒c/a.

‒с/а > 0 ആണെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്

x = ±√(–c/a) .

എങ്കിൽ ‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് മനസിലാക്കാൻ ശ്രമിക്കാം.

ഉദാഹരണം 1. 2x 2 ‒ 32 = 0 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

ഉത്തരം: x 1 = - 4, x 2 = 4.

ഉദാഹരണം 2. 2x 2 + 8 = 0 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

ഉത്തരം: സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരങ്ങളില്ല.

• അത് എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് നമുക്ക് നോക്കാം ax 2 + bx = 0 എന്ന രൂപത്തിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങൾ.

ax 2 + bx = 0 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ, നമുക്ക് അതിനെ ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്യാം, അതായത്, ബ്രാക്കറ്റിൽ നിന്ന് x എടുക്കുക, നമുക്ക് x(ax + b) = 0 ലഭിക്കും. കുറഞ്ഞത് ഒരു ഘടകമെങ്കിലും തുല്യമാണെങ്കിൽ ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. പൂജ്യത്തിലേക്ക്. അപ്പോൾ ഒന്നുകിൽ x = 0, അല്ലെങ്കിൽ ax + b = 0. ax + b = 0 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ax = - b, എവിടെ നിന്ന് x = - b/a ലഭിക്കും. ax 2 + bx = 0 എന്ന രൂപത്തിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യത്തിന് എപ്പോഴും x 1 = 0, x 2 = ‒ b/a എന്നീ രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്. ഈ തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരം ഡയഗ്രാമിൽ എങ്ങനെയുണ്ടെന്ന് കാണുക.

ഒരു പ്രത്യേക ഉദാഹരണത്തിലൂടെ നമ്മുടെ അറിവ് ഏകീകരിക്കാം.

ഉദാഹരണം 3. 3x 2 - 12x = 0 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

x(3x ‒ 12) = 0

x= 0 അല്ലെങ്കിൽ 3x – 12 = 0

ഉത്തരം: x 1 = 0, x 2 = 4.

• മൂന്നാമത്തെ തരം കോടാലി 2 = 0 ൻ്റെ സമവാക്യങ്ങൾവളരെ ലളിതമായി പരിഹരിച്ചിരിക്കുന്നു.

കോടാലി 2 = 0 ആണെങ്കിൽ, x 2 = 0. സമവാക്യത്തിന് x 1 = 0, x 2 = 0 എന്നീ രണ്ട് തുല്യ വേരുകളുണ്ട്.

വ്യക്തതയ്ക്കായി, നമുക്ക് ഡയഗ്രം നോക്കാം.

ഉദാഹരണം 4 പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഇത്തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ വളരെ ലളിതമായി പരിഹരിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് ഉറപ്പാക്കാം.

ഉദാഹരണം 4. 7x 2 = 0 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

ഉത്തരം: x 1, 2 = 0.

ഏത് തരത്തിലുള്ള അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യമാണ് നമുക്ക് പരിഹരിക്കേണ്ടതെന്ന് എല്ലായ്പ്പോഴും പെട്ടെന്ന് വ്യക്തമല്ല. ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കുക.

ഉദാഹരണം 5.സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

നമുക്ക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശവും ഒരു പൊതു ഡിനോമിനേറ്റർ കൊണ്ട് ഗുണിക്കാം, അതായത് 30 കൊണ്ട്

നമുക്ക് അത് വെട്ടിമാറ്റാം

5(5x 2 + 9) – 6(4x 2 – 9) = 90.

നമുക്ക് ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കാം

25x 2 + 45 – 24x 2 + 54 = 90.

സമാനമായി നൽകാം

നമുക്ക് 99 സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്ത് നിന്ന് വലത്തേക്ക് നീക്കാം, ചിഹ്നം വിപരീതമായി മാറ്റാം

ഉത്തരം: വേരുകളില്ല.

അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നുവെന്ന് ഞങ്ങൾ നോക്കി. അത്തരം ജോലികളിൽ ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ ഉണ്ടാകില്ലെന്ന് ഞാൻ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു. അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ തരം നിർണ്ണയിക്കുമ്പോൾ ശ്രദ്ധിക്കുക, അപ്പോൾ നിങ്ങൾ വിജയിക്കും.

ഈ വിഷയത്തിൽ നിങ്ങൾക്ക് ചോദ്യങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ, എൻ്റെ പാഠങ്ങൾക്കായി സൈൻ അപ്പ് ചെയ്യുക, ഞങ്ങൾ ഒരുമിച്ച് ഉണ്ടാകുന്ന പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കും.

വെബ്‌സൈറ്റ്, മെറ്റീരിയൽ പൂർണ്ണമായോ ഭാഗികമായോ പകർത്തുമ്പോൾ, ഉറവിടത്തിലേക്കുള്ള ഒരു ലിങ്ക് ആവശ്യമാണ്.