സങ്കലനം, വ്യവകലനം, ഗുണനം എന്നിവയുടെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് സംഖ്യകളും അക്ഷര വേരിയബിളുകളും ചേർന്ന ഒരു ഗണിത പദപ്രയോഗമാണ് പൂർണ്ണസംഖ്യ പദപ്രയോഗം. പൂർണ്ണസംഖ്യകളിൽ പൂജ്യം അല്ലാതെ മറ്റേതെങ്കിലും സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കൽ ഉൾപ്പെടുന്ന പദപ്രയോഗങ്ങളും ഉൾപ്പെടുന്നു.

ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ എക്സ്പ്രഷൻ എന്ന ആശയം

അക്കങ്ങളും അക്ഷര വേരിയബിളുകളും ഉപയോഗിച്ച് നടത്തുന്ന സങ്കലനം, വ്യവകലനം, ഗുണനം എന്നിവയുടെ പ്രവർത്തനങ്ങൾക്ക് പുറമേ, പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലാത്ത ഒരു സംഖ്യകൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ, അക്ഷര വേരിയബിളുകളുള്ള എക്സ്പ്രഷനുകളായി വിഭജനം ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു ഗണിത പദപ്രയോഗമാണ് ഫ്രാക്ഷണൽ എക്സ്പ്രഷൻ.

യുക്തിസഹമായ പദപ്രയോഗങ്ങൾ എല്ലാം പൂർണ്ണവും ഭിന്നവുമായ പദപ്രയോഗങ്ങളാണ്. യുക്തിസഹമായ സമവാക്യങ്ങൾഇടത് വലത് വശങ്ങൾ യുക്തിസഹമായ പദപ്രയോഗങ്ങളായ സമവാക്യങ്ങളാണ്. ഒരു യുക്തിസഹമായ സമവാക്യത്തിൽ ഇടത് വലത് വശങ്ങൾ പൂർണ്ണ സംഖ്യകളാണെങ്കിൽ, അത്തരം യുക്തിസഹമായ സമവാക്യത്തെ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഒരു യുക്തിസഹമായ സമവാക്യത്തിൽ ഇടത് അല്ലെങ്കിൽ വലത് വശങ്ങൾ ഫ്രാക്ഷണൽ എക്സ്പ്രഷനുകളാണെങ്കിൽ, അത്തരമൊരു യുക്തിസഹമായ സമവാക്യത്തെ ഫ്രാക്ഷണൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ എക്സ്പ്രഷനുകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ

1. x-3/x = -6*x+19

2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2)

3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))

ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള സ്കീം

1. സമവാക്യത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന എല്ലാ ഭിന്നസംഖ്യകളുടെയും പൊതുവിഭാഗം കണ്ടെത്തുക.

2. സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും ഒരു പൊതു ഛേദം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.

3. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മുഴുവൻ സമവാക്യവും പരിഹരിക്കുക.

4. വേരുകൾ പരിശോധിച്ച് പൊതു വിഭജനം അപ്രത്യക്ഷമാകുന്നവ ഒഴിവാക്കുക.

നമ്മൾ ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനാൽ, ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ഡിനോമിനേറ്ററുകളിൽ വേരിയബിളുകൾ ഉണ്ടാകും. ഇതിനർത്ഥം അവർ ഒരു പൊതു വിഭാഗമായിരിക്കും എന്നാണ്. അൽഗോരിതത്തിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ പോയിൻ്റിൽ ഞങ്ങൾ ഒരു പൊതു ഡിനോമിനേറ്റർ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു, തുടർന്ന് ബാഹ്യ വേരുകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടാം. അതിൽ പൊതുവിഭാഗം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും, അതായത് അത് കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നത് അർത്ഥശൂന്യമായിരിക്കും. അതിനാൽ, അവസാനം ലഭിച്ച വേരുകൾ പരിശോധിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം:

ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).

ഞങ്ങൾ ഉറച്ചുനിൽക്കും പൊതു പദ്ധതി: ആദ്യം നമുക്ക് എല്ലാ ഭിന്നസംഖ്യകളുടെയും പൊതുവിഭാഗം കണ്ടെത്താം. നമുക്ക് x*(x-5) ലഭിക്കും.

ഓരോ ഭിന്നസംഖ്യയും ഒരു പൊതു ഡിനോമിനേറ്റർ കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മുഴുവൻ സമവാക്യവും എഴുതുക.

(x-3)/(x-5) * (x*(x-5))= x*(x+3);
1/x * (x*(x-5)) = (x-5);
(x+5)/(x*(x-5)) * (x*(x-5)) = (x+5);
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);

ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യം നമുക്ക് ലളിതമാക്കാം. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;
x^2+3*x-10=0;

നമുക്ക് ഒരു ലളിതമായ ചുരുക്കിയ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ലഭിക്കും. ഞങ്ങൾ അത് ഏതെങ്കിലും ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കുന്നു അറിയപ്പെടുന്ന രീതികൾ, നമുക്ക് x=-2, x=5 എന്നീ വേരുകൾ ലഭിക്കും.

ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ലഭിച്ച പരിഹാരങ്ങൾ പരിശോധിക്കുന്നു:

അക്കങ്ങൾ -2, 5 എന്നിവ പൊതു വിഭാഗത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക. x=-2-ൽ, പൊതുവിഭാഗം x*(x-5) അപ്രത്യക്ഷമാകുന്നില്ല, -2*(-2-5)=14. ഇതിനർത്ഥം യഥാർത്ഥ ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് സംഖ്യ -2 ആയിരിക്കും എന്നാണ്.

x=5-ൽ പൊതുവിഭാഗം x*(x-5) പൂജ്യമാകുന്നു. അതിനാൽ, ഈ സംഖ്യ യഥാർത്ഥ ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് അല്ല, കാരണം പൂജ്യം കൊണ്ട് ഒരു വിഭജനം ഉണ്ടാകും.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് ഞങ്ങൾ ഇതിനകം പഠിച്ചു. ഇപ്പോൾ നമുക്ക് പഠിച്ച രീതികൾ യുക്തിസഹമായ സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് വ്യാപിപ്പിക്കാം.

എന്താണ് യുക്തിസഹമായ ആവിഷ്കാരം? ഈ ആശയം ഞങ്ങൾ ഇതിനകം നേരിട്ടു. യുക്തിസഹമായ ആവിഷ്കാരങ്ങൾസംഖ്യകൾ, വേരിയബിളുകൾ, അവയുടെ ശക്തികൾ, ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ചിഹ്നങ്ങൾ എന്നിവയാൽ നിർമ്മിച്ച പദപ്രയോഗങ്ങളാണ്.

അതനുസരിച്ച്, യുക്തിസഹമായ സമവാക്യങ്ങൾ ഫോമിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങളാണ്: , എവിടെ - യുക്തിസഹമായ പദപ്രയോഗങ്ങൾ.

മുമ്പ്, രേഖീയമായി ചുരുക്കാൻ കഴിയുന്ന യുക്തിസഹമായ സമവാക്യങ്ങൾ മാത്രമാണ് ഞങ്ങൾ പരിഗണിച്ചത്. ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ക്വാഡ്രാറ്റിക് ആയി ചുരുക്കാൻ കഴിയുന്ന യുക്തിസഹമായ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഗണിക്കാം.

ഉദാഹരണം 1

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക: .

പരിഹാരം:

ഒരു അംശം 0 ന് തുല്യമാണെങ്കിൽ മാത്രം 0 ന് തുല്യമാണ്, അതിൻ്റെ ഡിനോമിനേറ്റർ 0 ന് തുല്യമല്ല.

ഞങ്ങൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന സിസ്റ്റം ലഭിക്കുന്നു:

സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ആദ്യ സമവാക്യം ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യമാണ്. അത് പരിഹരിക്കുന്നതിന് മുമ്പ്, അതിൻ്റെ എല്ലാ ഗുണകങ്ങളെയും 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

നമുക്ക് രണ്ട് വേരുകൾ ലഭിക്കും: ; .

2 ഒരിക്കലും 0 ന് തുല്യമാകാത്തതിനാൽ, രണ്ട് നിബന്ധനകൾ പാലിക്കേണ്ടതുണ്ട്: . മുകളിൽ ലഭിച്ച സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളൊന്നും രണ്ടാമത്തെ അസമത്വം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ലഭിച്ച വേരിയബിളിൻ്റെ അസാധുവായ മൂല്യങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടാത്തതിനാൽ, അവ രണ്ടും ഈ സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരങ്ങളാണ്.

ഉത്തരം:.

അതിനാൽ, യുക്തിസഹമായ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് നമുക്ക് ഒരു അൽഗോരിതം രൂപപ്പെടുത്താം:

1. എല്ലാ നിബന്ധനകളും ഇടതുവശത്തേക്ക് നീക്കുക, അങ്ങനെ വലതുഭാഗം 0-ൽ അവസാനിക്കും.

2. ഇടത് വശം രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുകയും ലളിതമാക്കുകയും ചെയ്യുക, എല്ലാ ഭിന്നസംഖ്യകളും കുറയ്ക്കുക പൊതു വിഭജനം.

3. ഇനിപ്പറയുന്ന അൽഗോരിതം ഉപയോഗിച്ച് തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഭിന്നസംഖ്യ 0 ലേക്ക് തുല്യമാക്കുക: .

4. ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ ലഭിച്ച വേരുകൾ എഴുതുകയും ഉത്തരത്തിലെ രണ്ടാമത്തെ അസമത്വം തൃപ്തിപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്യുക.

മറ്റൊരു ഉദാഹരണം നോക്കാം.

ഉദാഹരണം 2

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക: .

പരിഹാരം

തുടക്കത്തിൽ തന്നെ, ഞങ്ങൾ എല്ലാ നിബന്ധനകളും ഇടത്തേക്ക് നീക്കുന്നു, അങ്ങനെ 0 വലതുവശത്ത് തുടരും:

ഇനി നമുക്ക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശം ഒരു പൊതു വിഭാഗത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരാം:

ഈ സമവാക്യം സിസ്റ്റത്തിന് തുല്യമാണ്:

സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ആദ്യ സമവാക്യം ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യമാണ്.

ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ: . ഞങ്ങൾ വിവേചനം കണക്കാക്കുന്നു:

നമുക്ക് രണ്ട് വേരുകൾ ലഭിക്കും: ; .

ഇനി നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ അസമത്വം പരിഹരിക്കാം: ഘടകങ്ങളിലൊന്നും 0 ന് തുല്യമല്ലെങ്കിൽ മാത്രം ഘടകങ്ങളുടെ ഗുണനം 0 ന് തുല്യമല്ല.

രണ്ട് നിബന്ധനകൾ പാലിക്കണം: . ആദ്യത്തെ സമവാക്യത്തിൻ്റെ രണ്ട് വേരുകളിൽ ഒന്ന് മാത്രം അനുയോജ്യമാണ് - 3.

ഉത്തരം:.

ഈ പാഠത്തിൽ, ഒരു യുക്തിസഹമായ പദപ്രയോഗം എന്താണെന്ന് ഞങ്ങൾ ഓർത്തു, കൂടാതെ യുക്തിസഹമായ സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്നും പഠിച്ചു, അത് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് ചുരുക്കുന്നു.

അടുത്ത പാഠത്തിൽ നമ്മൾ യഥാർത്ഥ സാഹചര്യങ്ങളുടെ മാതൃകകളായി യുക്തിസഹമായ സമവാക്യങ്ങൾ നോക്കും, കൂടാതെ ചലന പ്രശ്നങ്ങളും നോക്കാം.

റഫറൻസുകൾ

1. ബഷ്മാകോവ് എം.ഐ. ബീജഗണിതം, എട്ടാം ക്ലാസ്. - എം.: വിദ്യാഭ്യാസം, 2004.
2. ഡോറോഫീവ് ജി.വി., സുവോറോവ എസ്.ബി., ബുനിമോവിച്ച് ഇ.എ. മറ്റുള്ളവ ആൾജിബ്ര, 8. 5th ed. - എം.: വിദ്യാഭ്യാസം, 2010.
3. നിക്കോൾസ്കി എസ്.എം., പൊട്ടപോവ് എം.എ., റെഷെറ്റ്നിക്കോവ് എൻ.എൻ., ഷെവ്കിൻ എ.വി. ആൾജിബ്ര, എട്ടാം ക്ലാസ്. വേണ്ടിയുള്ള ട്യൂട്ടോറിയൽ വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങൾ. - എം.: വിദ്യാഭ്യാസം, 2006.

1. ഉത്സവം പെഡഗോഗിക്കൽ ആശയങ്ങൾ "തുറന്ന പാഠം" ().
2. School.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

ഹോം വർക്ക്

നമുക്ക് സംസാരിക്കുന്നത് തുടരാം സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു. ഈ ലേഖനത്തിൽ നമ്മൾ വിശദമായി പരിഗണിക്കും യുക്തിസഹമായ സമവാക്യങ്ങൾഒരു വേരിയബിൾ ഉപയോഗിച്ച് യുക്തിസഹമായ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള തത്വങ്ങളും. ആദ്യം, ഏത് തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങളാണ് യുക്തിസഹമെന്ന് വിളിക്കുന്നതെന്ന് നമുക്ക് കണ്ടെത്താം, സമ്പൂർണ്ണ യുക്തിസഹവും ഫ്രാക്ഷണൽ യുക്തിസഹവുമായ സമവാക്യങ്ങളുടെ നിർവചനം നൽകുക, ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകുക. അടുത്തതായി, യുക്തിസഹമായ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതങ്ങൾ ഞങ്ങൾ നേടും, കൂടാതെ, ആവശ്യമായ എല്ലാ വിശദീകരണങ്ങളോടും കൂടിയ സാധാരണ ഉദാഹരണങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും.

പേജ് നാവിഗേഷൻ.

പ്രസ്താവിച്ച നിർവചനങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, യുക്തിസഹമായ സമവാക്യങ്ങളുടെ നിരവധി ഉദാഹരണങ്ങൾ ഞങ്ങൾ നൽകുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, x=1, 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0, , എന്നിവയെല്ലാം യുക്തിസഹമായ സമവാക്യങ്ങളാണ്.

കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ഉദാഹരണങ്ങളിൽ നിന്ന്, യുക്തിസഹമായ സമവാക്യങ്ങളും മറ്റ് തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങളും ഒരു വേരിയബിളിലോ രണ്ട്, മൂന്ന് മുതലായവയിലോ ആകാം എന്ന് വ്യക്തമാണ്. വേരിയബിളുകൾ. ഇനിപ്പറയുന്ന ഖണ്ഡികകളിൽ ഒരു വേരിയബിൾ ഉപയോഗിച്ച് യുക്തിസഹമായ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ച് നമ്മൾ സംസാരിക്കും. രണ്ട് വേരിയബിളുകളിൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നുഅവരുടെ വലിയ സംഖ്യ പ്രത്യേക ശ്രദ്ധ അർഹിക്കുന്നു.

അജ്ഞാത വേരിയബിളുകളുടെ എണ്ണം കൊണ്ട് യുക്തിസഹമായ സമവാക്യങ്ങളെ ഹരിക്കുന്നതിനു പുറമേ, അവയെ പൂർണ്ണസംഖ്യയായും ഭിന്നസംഖ്യയായും തിരിച്ചിരിക്കുന്നു. നമുക്ക് അനുയോജ്യമായ നിർവചനങ്ങൾ നൽകാം.

നിർവ്വചനം.

യുക്തിസഹമായ സമവാക്യം വിളിക്കുന്നു മുഴുവൻ, അതിൻ്റെ ഇടതും വലതും രണ്ടും പൂർണ്ണസംഖ്യ യുക്തിപരമായ പദപ്രയോഗങ്ങളാണെങ്കിൽ.

നിർവ്വചനം.

യുക്തിസഹമായ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഭാഗങ്ങളിലൊന്നെങ്കിലും ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ എക്സ്പ്രഷൻ ആണെങ്കിൽ, അത്തരമൊരു സമവാക്യത്തെ വിളിക്കുന്നു ഭാഗികമായി യുക്തിസഹമായ(അല്ലെങ്കിൽ ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ).

മുഴുവൻ സമവാക്യങ്ങളിലും ഒരു വേരിയബിളിൻ്റെ വിഭജനം അടങ്ങിയിട്ടില്ലെന്ന് വ്യക്തമാണ്, മറിച്ച്, ഫ്രാക്ഷണൽ യുക്തിസഹമായ സമവാക്യങ്ങളിൽ ഒരു വേരിയബിൾ (അല്ലെങ്കിൽ ഡിനോമിനേറ്ററിലെ ഒരു വേരിയബിൾ) വിഭജനം ഉണ്ടായിരിക്കണം. അതിനാൽ 3 x+2=0 ഒപ്പം (x+y)·(3·x 2 -1)+x=−y+0.5- ഇവ മുഴുവൻ യുക്തിസഹമായ സമവാക്യങ്ങളാണ്, അവയുടെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളും മുഴുവൻ പദപ്രയോഗങ്ങളാണ്. A, x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങളാണ്.

ഈ പോയിൻ്റ് അവസാനിപ്പിക്കുമ്പോൾ, ഈ പോയിൻ്റ് വരെ അറിയപ്പെടുന്ന രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളും ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളും മുഴുവൻ യുക്തിസഹമായ സമവാക്യങ്ങളാണെന്ന വസ്തുതയിലേക്ക് നമുക്ക് ശ്രദ്ധിക്കാം.

മുഴുവൻ സമവാക്യങ്ങളും പരിഹരിക്കുന്നു

മുഴുവൻ സമവാക്യങ്ങളും പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രധാന സമീപനങ്ങളിലൊന്ന് അവയെ തുല്യമായവയിലേക്ക് ചുരുക്കുക എന്നതാണ് ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങൾ. സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇനിപ്പറയുന്ന തുല്യമായ പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തി ഇത് എല്ലായ്പ്പോഴും ചെയ്യാൻ കഴിയും:

• ആദ്യം, യഥാർത്ഥ പൂർണ്ണസംഖ്യ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വലതുവശത്ത് നിന്നുള്ള പദപ്രയോഗം ഇടതുവശത്തേക്ക് മാറ്റുന്നു വിപരീത ചിഹ്നംവലതുവശത്ത് പൂജ്യം ലഭിക്കാൻ;
• ഇതിനുശേഷം, സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്ത് ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോം.

യഥാർത്ഥ പൂർണ്ണസംഖ്യ സമവാക്യത്തിന് തുല്യമായ ഒരു ബീജഗണിത സമവാക്യമാണ് ഫലം. അതിനാൽ, ഏറ്റവും ലളിതമായ സന്ദർഭങ്ങളിൽ, മുഴുവൻ സമവാക്യങ്ങളും പരിഹരിക്കുന്നത് ലീനിയർ അല്ലെങ്കിൽ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിലേക്ക് ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു. പൊതുവായ കേസ്- ഡിഗ്രി n ൻ്റെ ബീജഗണിത സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ. വ്യക്തതയ്ക്കായി, ഉദാഹരണത്തിനുള്ള പരിഹാരം നോക്കാം.

ഉദാഹരണം.

മുഴുവൻ സമവാക്യത്തിൻ്റെയും വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3.

പരിഹാരം.

ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ മുഴുവൻ പരിഹാരവും തുല്യമായ ബീജഗണിത സമവാക്യത്തിൻ്റെ പരിഹാരത്തിലേക്ക് ചുരുക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ആദ്യം, ഞങ്ങൾ എക്സ്പ്രഷൻ വലതുവശത്ത് നിന്ന് ഇടത്തേക്ക് മാറ്റുന്നു, അതിൻ്റെ ഫലമായി ഞങ്ങൾ സമവാക്യത്തിൽ എത്തിച്ചേരുന്നു 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0. രണ്ടാമതായി, ഇടതുവശത്ത് രൂപംകൊണ്ട പദപ്രയോഗം ആവശ്യമായത് പൂർത്തിയാക്കി സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോമിൻ്റെ ബഹുപദമായി ഞങ്ങൾ പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നു: 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 -9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 -5 x−6. അങ്ങനെ, യഥാർത്ഥ പൂർണ്ണസംഖ്യ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പരിഹാരം പരിഹാരത്തിലേക്ക് ചുരുങ്ങുന്നു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം x 2 -5 x−6=0 .

അതിൻ്റെ വിവേചനം ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു D=(-5) 2 −4·1·(−6)=25+24=49, ഇത് പോസിറ്റീവ് ആണ്, അതായത് സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് യഥാർത്ഥ വേരുകളുണ്ട്, അത് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾക്കായുള്ള ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:

പൂർണ്ണമായും ഉറപ്പിക്കാൻ, നമുക്ക് അത് ചെയ്യാം സമവാക്യത്തിൻ്റെ കണ്ടെത്തിയ വേരുകൾ പരിശോധിക്കുന്നു. ആദ്യം നമ്മൾ റൂട്ട് 6 പരിശോധിക്കുക, യഥാർത്ഥ പൂർണ്ണസംഖ്യ സമവാക്യത്തിലെ x എന്ന വേരിയബിളിന് പകരം അത് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3, അത് സമാനമാണ്, 63=63. ഇതൊരു സാധുവായ സംഖ്യാ സമവാക്യമാണ്, അതിനാൽ x=6 എന്നത് തീർച്ചയായും സമവാക്യത്തിൻ്റെ മൂലമാണ്. ഇപ്പോൾ നമ്മൾ റൂട്ട് −1 പരിശോധിക്കുന്നു, നമുക്കുണ്ട് 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3, എവിടെ നിന്ന്, 0=0 . x=−1 ആകുമ്പോൾ, യഥാർത്ഥ സമവാക്യവും ശരിയായ സംഖ്യാ സമത്വമായി മാറുന്നു, അതിനാൽ, x=-1 എന്നത് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു റൂട്ട് കൂടിയാണ്.

ഉത്തരം:

6 , −1 .

"മുഴുവൻ സമവാക്യത്തിൻ്റെയും ഡിഗ്രി" എന്ന പദം ഒരു ബീജഗണിത സമവാക്യത്തിൻ്റെ രൂപത്തിൽ ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ പ്രതിനിധാനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു എന്നതും ഇവിടെ ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. നമുക്ക് അനുയോജ്യമായ നിർവചനം നൽകാം:

നിർവ്വചനം.

മുഴുവൻ സമവാക്യത്തിൻ്റെയും ശക്തിഒരു തത്തുല്യ ബീജഗണിത സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഡിഗ്രി എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഈ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, മുമ്പത്തെ ഉദാഹരണത്തിൽ നിന്നുള്ള മുഴുവൻ സമവാക്യത്തിനും രണ്ടാം ഡിഗ്രി ഉണ്ട്.

ഒരു കാര്യത്തിനല്ലെങ്കിൽ, ഇത് മുഴുവൻ യുക്തിസഹമായ സമവാക്യങ്ങളും പരിഹരിക്കുന്നതിൻ്റെ അവസാനമാകുമായിരുന്നു. അറിയപ്പെടുന്നതുപോലെ, രണ്ടാമത്തേതിന് മുകളിലുള്ള ബിരുദത്തിൻ്റെ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് കാര്യമായ ബുദ്ധിമുട്ടുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, കൂടാതെ നാലാമത്തേതിന് മുകളിലുള്ള ഡിഗ്രിയുടെ സമവാക്യങ്ങൾക്ക് പൊതുവായ റൂട്ട് ഫോർമുലകളൊന്നുമില്ല. അതിനാൽ, മൂന്നാമത്തെയും നാലാമത്തെയും അതിലധികവും സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഉയർന്ന ഡിഗ്രികൾപലപ്പോഴും നിങ്ങൾ മറ്റ് പരിഹാര മാർഗ്ഗങ്ങൾ അവലംബിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ, അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള മുഴുവൻ യുക്തിസഹമായ സമവാക്യങ്ങളും പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു സമീപനം ഫാക്റ്ററൈസേഷൻ രീതി. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന അൽഗോരിതം പാലിക്കുന്നു:

• ആദ്യം, സമവാക്യത്തിൻ്റെ വലതുവശത്ത് ഒരു പൂജ്യം ഉണ്ടെന്ന് അവർ ഉറപ്പാക്കുന്നു, ഇത് മുഴുവൻ സമവാക്യത്തിൻ്റെയും വലതുവശത്ത് നിന്ന് ഇടത്തേക്ക് മാറ്റുന്നു;
• തുടർന്ന്, ഇടതുവശത്ത് ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗം നിരവധി ഘടകങ്ങളുടെ ഒരു ഉൽപ്പന്നമായി അവതരിപ്പിക്കുന്നു, ഇത് നിരവധി ലളിതമായ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടത്തിലേക്ക് നീങ്ങാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു.

ഫാക്‌ടറൈസേഷനിലൂടെ ഒരു മുഴുവൻ സമവാക്യവും പരിഹരിക്കുന്നതിന് നൽകിയിരിക്കുന്ന അൽഗോരിതം ആവശ്യമാണ് വിശദമായ വിശദീകരണംഉദാഹരണത്തിലൂടെ.

ഉദാഹരണം.

മുഴുവൻ സമവാക്യവും പരിഹരിക്കുക (x 2 −1)·(x 2 -10·x+13)= 2 x (x 2 -10 x+13) .

പരിഹാരം.

ആദ്യം, പതിവുപോലെ, ഞങ്ങൾ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വലതുവശത്ത് നിന്ന് ഇടതുവശത്തേക്ക് എക്സ്പ്രഷൻ മാറ്റുന്നു, ചിഹ്നം മാറ്റാൻ മറക്കാതെ, നമുക്ക് ലഭിക്കും (x 2 -1)·(x 2 -10·x+13)− 2 x (x 2 -10 x+13)=0 . തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടത് വശം സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോമിൻ്റെ ഒരു ബഹുപദമാക്കി മാറ്റുന്നത് ഉചിതമല്ല എന്നത് ഇവിടെ വളരെ വ്യക്തമാണ്, കാരണം ഇത് ഫോമിൻ്റെ നാലാം ഡിഗ്രിയുടെ ബീജഗണിത സമവാക്യം നൽകും. x 4 -12 x 3 +32 x 2 -16 x−13=0, അതിൻ്റെ പരിഹാരം ബുദ്ധിമുട്ടാണ്.

മറുവശത്ത്, ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്ത് നമുക്ക് x 2 −10·x+13 നൽകാം, അതുവഴി അതിനെ ഒരു ഉൽപ്പന്നമായി അവതരിപ്പിക്കാം. നമുക്ക് ഉണ്ട് (x 2 -10 x+13) (x 2 -2 x−1)=0. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യം യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ ഇത് രണ്ട് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടം x 2 -10·x+13=0, x 2 -2·x−1=0 എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം. ഒരു വിവേചനത്തിലൂടെ അറിയപ്പെടുന്ന റൂട്ട് ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് അവയുടെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല; അവ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ആവശ്യമുള്ള വേരുകളാണ്.

ഉത്തരം:

മുഴുവൻ യുക്തിസഹമായ സമവാക്യങ്ങളും പരിഹരിക്കുന്നതിനും ഉപയോഗപ്രദമാണ് ഒരു പുതിയ വേരിയബിൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള രീതി. ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ, യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഡിഗ്രിയേക്കാൾ കുറവുള്ള സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് നീങ്ങാൻ ഇത് നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം.

യുക്തിസഹമായ സമവാക്യത്തിൻ്റെ യഥാർത്ഥ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

പരിഹാരം.

ഈ മുഴുവൻ യുക്തിസഹമായ സമവാക്യവും ഒരു ബീജഗണിത സമവാക്യത്തിലേക്ക് ചുരുക്കുന്നത് വളരെ നല്ല ആശയമല്ല, കാരണം ഈ സാഹചര്യത്തിൽ യുക്തിസഹമായ വേരുകളില്ലാത്ത ഒരു നാലാം-ഡിഗ്രി സമവാക്യം പരിഹരിക്കേണ്ടതിൻ്റെ ആവശ്യകതയിലേക്ക് ഞങ്ങൾ എത്തിച്ചേരും. അതിനാൽ, നിങ്ങൾ മറ്റൊരു പരിഹാരം തേടേണ്ടിവരും.

ഇവിടെ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു പുതിയ വേരിയബിൾ y അവതരിപ്പിക്കാനും x 2 +3·x എന്ന പദപ്രയോഗം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാനും കഴിയും. ഈ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ നമ്മെ മുഴുവൻ സമവാക്യത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു (y+1) 2 +10=−2·(y−4) , അത് −2·(y−4) എന്ന പദപ്രയോഗം ഇടതുവശത്തേക്കും തുടർന്നുള്ള പദ പരിവർത്തനത്തിനും ശേഷം അവിടെ രൂപം കൊള്ളുന്നു, y 2 +4·y+3=0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യമായി ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു. ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ y=−1, y=−3 എന്നിവയുടെ വേരുകൾ കണ്ടെത്താൻ എളുപ്പമാണ്, ഉദാഹരണത്തിന്, വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ വിപരീത സിദ്ധാന്തത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി അവ തിരഞ്ഞെടുക്കാം.

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ ഒരു പുതിയ വേരിയബിൾ അവതരിപ്പിക്കുന്ന രീതിയുടെ രണ്ടാം ഭാഗത്തേക്ക് നീങ്ങുന്നു, അതായത്, ഒരു റിവേഴ്സ് റീപ്ലേസ്മെൻ്റ് നടത്തുന്നതിന്. റിവേഴ്സ് സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ നടത്തിയ ശേഷം, x 2 +3 x=−1, x 2 +3 x=−3 എന്നീ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ നമുക്ക് ലഭിക്കും, അത് x 2 +3 x+1=0, x 2 +3 x+3 എന്നിങ്ങനെ മാറ്റിയെഴുതാം. =0. ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾക്കായുള്ള ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച്, ആദ്യ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. രണ്ടാമത്തെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് യഥാർത്ഥ വേരുകളില്ല, കാരണം അതിൻ്റെ വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആണ് (D=3 2 -4·3=9−12=−3 ).

ഉത്തരം:

പൊതുവേ, ഉയർന്ന ഡിഗ്രികളുടെ മുഴുവൻ സമവാക്യങ്ങളും ഞങ്ങൾ കൈകാര്യം ചെയ്യുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ എല്ലായ്പ്പോഴും തിരയാൻ തയ്യാറായിരിക്കണം നിലവാരമില്ലാത്ത രീതിഅല്ലെങ്കിൽ അവ പരിഹരിക്കാനുള്ള കൃത്രിമ രീതി.

ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

ആദ്യം, p(x), q(x) എന്നിവ പൂർണ്ണമായ യുക്തിസഹമായ പദപ്രയോഗങ്ങളായ ഫോമിൻ്റെ ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് മനസിലാക്കുന്നത് ഉപയോഗപ്രദമാകും. സൂചിപ്പിച്ച തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരത്തിലേക്ക് മറ്റ് അംശപരമായ യുക്തിസഹമായ സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം എങ്ങനെ കുറയ്ക്കാമെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണിക്കും.

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു സമീപനം ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രസ്താവനയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്: സംഖ്യാ അംശം u/v, ഇവിടെ v പൂജ്യമല്ലാത്ത സംഖ്യയാണ് (അല്ലെങ്കിൽ നമ്മൾ അഭിമുഖീകരിക്കും , അത് നിർവചിച്ചിട്ടില്ല), അതിൻ്റെ ന്യൂമറേറ്റർ ആണെങ്കിൽ മാത്രം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, അപ്പോൾ u=0 ആണെങ്കിൽ മാത്രം. ഈ പ്രസ്താവനയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ, സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നത് p(x)=0, q(x)≠0 എന്നീ രണ്ട് വ്യവസ്ഥകൾ നിറവേറ്റുന്നതിലേക്ക് ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു.

ഈ നിഗമനം ഇനിപ്പറയുന്നവയുമായി യോജിക്കുന്നു ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം. ഫോമിൻ്റെ ഫ്രാക്ഷണൽ യുക്തിസഹമായ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾക്ക് ഇത് ആവശ്യമാണ്

• മുഴുവൻ യുക്തിസഹമായ സമവാക്യവും പരിഹരിക്കുക p(x)=0 ;
• കണ്ടെത്തുന്ന ഓരോ റൂട്ടിനും q(x)≠0 എന്ന വ്യവസ്ഥ തൃപ്തികരമാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കുക
• ശരിയാണെങ്കിൽ, ഈ റൂട്ട് യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ മൂലമാണ്;
• ഇത് തൃപ്തികരമല്ലെങ്കിൽ, ഈ റൂട്ട് ബാഹ്യമാണ്, അതായത്, ഇത് യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ മൂലമല്ല.

ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ പ്രഖ്യാപിച്ച അൽഗോരിതം ഉപയോഗിക്കുന്നതിൻ്റെ ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം.

ഉദാഹരണം.

സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം.

ഇതൊരു ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ സമവാക്യമാണ്, കൂടാതെ ഫോം , ഇവിടെ p(x)=3·x−2, q(x)=5·x 2 −2=0.

ഈ തരത്തിലുള്ള ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം അനുസരിച്ച്, നമ്മൾ ആദ്യം 3 x−2=0 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഇത് രേഖീയ സമവാക്യം, അതിൻ്റെ റൂട്ട് x=2/3 ആണ്.

ഈ റൂട്ട് പരിശോധിക്കാൻ അവശേഷിക്കുന്നു, അതായത്, ഇത് 5 x 2 −2≠0 എന്ന അവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നുണ്ടോയെന്ന് പരിശോധിക്കുക. x ന് പകരം 5 x 2 -2 എന്ന പദപ്രയോഗത്തിലേക്ക് 2/3 എന്ന സംഖ്യ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു, നമുക്ക് ലഭിക്കും. വ്യവസ്ഥ പാലിക്കപ്പെട്ടു, അതിനാൽ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് x=2/3 ആണ്.

ഉത്തരം:

2/3 .

അല്പം വ്യത്യസ്തമായ സ്ഥാനത്ത് നിന്ന് ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ യുക്തിസഹമായ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നത് നിങ്ങൾക്ക് സമീപിക്കാം. ഈ സമവാക്യം യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ x എന്ന വേരിയബിളിലെ p(x)=0 എന്ന പൂർണ്ണസംഖ്യ സമവാക്യത്തിന് തുല്യമാണ്. അതായത്, നിങ്ങൾക്ക് ഇതിൽ ഉറച്ചുനിൽക്കാം ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം :

• p(x)=0 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക;
• വേരിയബിൾ x ൻ്റെ ODZ കണ്ടെത്തുക;
• സ്വീകാര്യമായ മൂല്യങ്ങളുടെ മേഖലയിൽ ഉൾപ്പെടുന്ന വേരുകൾ എടുക്കുക - അവ യഥാർത്ഥ ഫ്രാക്ഷണൽ യുക്തിസഹമായ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ആവശ്യമുള്ള വേരുകളാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്, ഈ അൽഗോരിതം ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കാം.

ഉദാഹരണം.

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

പരിഹാരം.

ആദ്യം, നമ്മൾ x 2 -2·x−11=0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു. നമുക്കുള്ള രണ്ടാമത്തെ ഗുണകത്തിൻ്റെ റൂട്ട് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് അതിൻ്റെ വേരുകൾ കണക്കാക്കാം D 1 =(-1) 2 −1·(-11)=12, ഒപ്പം.

രണ്ടാമതായി, യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിനായി x വേരിയബിളിൻ്റെ ODZ കണ്ടെത്തുന്നു. x 2 +3·x≠0, x·(x+3)≠0, എവിടെനിന്ന് x≠0, x≠−3 എന്നതിന് തുല്യമായ എല്ലാ സംഖ്യകളും ഇതിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽ കണ്ടെത്തിയ വേരുകൾ ODZ-ൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ടോ എന്ന് പരിശോധിക്കാൻ അവശേഷിക്കുന്നു. അതെ എന്ന് വ്യക്തം. അതിനാൽ, യഥാർത്ഥ ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്.

ഉത്തരം:

ODZ കണ്ടെത്താൻ എളുപ്പമാണെങ്കിൽ, ഈ സമീപനം ആദ്യത്തേതിനേക്കാൾ കൂടുതൽ ലാഭകരമാണെന്നും p(x) = 0 എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ യുക്തിരഹിതമാണെങ്കിൽ പ്രത്യേകിച്ചും പ്രയോജനകരമാണ്, ഉദാഹരണത്തിന്, അല്ലെങ്കിൽ യുക്തിസഹമാണ്, പക്ഷേ ഒരു വലിയ ന്യൂമറേറ്ററും /അല്ലെങ്കിൽ ഡിനോമിനേറ്റർ, ഉദാഹരണത്തിന്, 127/1101, −31/59. അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ, q(x)≠0 എന്ന അവസ്ഥ പരിശോധിക്കുന്നതിന് കാര്യമായ കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ പ്രയത്നം ആവശ്യമായി വരും, കൂടാതെ ODZ ഉപയോഗിച്ച് പുറമേയുള്ള വേരുകൾ ഒഴിവാക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ് എന്നതാണ് ഇതിന് കാരണം.

മറ്റു സന്ദർഭങ്ങളിൽ, സമവാക്യം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, പ്രത്യേകിച്ചും p(x) = 0 എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ പൂർണ്ണസംഖ്യകളാണെങ്കിൽ, നൽകിയിരിക്കുന്ന അൽഗോരിതങ്ങളിൽ ആദ്യത്തേത് ഉപയോഗിക്കുന്നത് കൂടുതൽ ലാഭകരമാണ്. അതായത്, p(x)=0 എന്ന മുഴുവൻ സമവാക്യത്തിൻ്റെയും വേരുകൾ ഉടനടി കണ്ടെത്തുന്നതാണ് ഉചിതം, തുടർന്ന് ODZ കണ്ടെത്തുന്നതിന് പകരം q(x)≠0 എന്ന അവസ്ഥ അവർക്ക് തൃപ്തികരമാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കുക, തുടർന്ന് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക. ഈ ODZ-ൽ p(x)=0 . അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ DZ കണ്ടെത്തുന്നതിനേക്കാൾ സാധാരണയായി പരിശോധിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ് എന്നതാണ് ഇതിന് കാരണം.

നിർദ്ദിഷ്ട സൂക്ഷ്മതകൾ വ്യക്തമാക്കുന്നതിന് രണ്ട് ഉദാഹരണങ്ങളുടെ പരിഹാരം നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം.

ഉദാഹരണം.

സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം.

ആദ്യം, നമുക്ക് മുഴുവൻ സമവാക്യത്തിൻ്റെയും വേരുകൾ കണ്ടെത്താം (2 x−1) (x−6) (x 2 -5 x+14) (x+1)=0, ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് രചിച്ചത്. ഇടത് വശംഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു ഉൽപ്പന്നമാണ്, വലതു കൈ പൂജ്യമാണ്, അതിനാൽ, ഫാക്‌ടറൈസേഷനിലൂടെ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്ന രീതി അനുസരിച്ച്, ഈ സമവാക്യം നാല് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടത്തിന് തുല്യമാണ് 2 x−1=0 , x−6=0 , x 2 −5 x+14= 0 , x+1=0 . ഇവയിൽ മൂന്ന് സമവാക്യങ്ങൾ രേഖീയമാണ്, ഒന്ന് ചതുരാകൃതിയിലുള്ളതാണ്; ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നമ്മൾ x=1/2, രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് - x=6, മൂന്നാമത്തേതിൽ നിന്ന് - x=7, x=−2, നാലാമത്തേതിൽ നിന്ന് - x=−1.

കണ്ടെത്തിയ വേരുകൾ ഉപയോഗിച്ച്, യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്തുള്ള ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ അപ്രത്യക്ഷമാകുന്നുണ്ടോ എന്ന് പരിശോധിക്കുന്നത് വളരെ എളുപ്പമാണ്, എന്നാൽ ODZ നിർണ്ണയിക്കുന്നത്, നേരെമറിച്ച്, അത്ര ലളിതമല്ല, ഇതിനായി നിങ്ങൾ ഒരു പരിഹാരം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. അഞ്ചാം ഡിഗ്രിയുടെ ബീജഗണിത സമവാക്യം. അതിനാൽ, വേരുകൾ പരിശോധിക്കുന്നതിന് അനുകൂലമായി ODZ കണ്ടെത്തുന്നത് ഞങ്ങൾ ഉപേക്ഷിക്കും. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, എക്സ്പ്രഷനിലെ x എന്ന വേരിയബിളിന് പകരം ഞങ്ങൾ അവയെ ഒന്നൊന്നായി മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു x 5 -15 x 4 +57 x 3 -13 x 2 +26 x+112, പകരം വയ്ക്കുന്നതിന് ശേഷം ലഭിച്ചു, അവയെ പൂജ്യവുമായി താരതമ്യം ചെയ്യുക: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0 ;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0;
(−2) 5 -15·(-2) 4 +57·(-2) 3 -13·(-2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 -15·(-1) 4 +57·(-1) 3 -13·(-1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

അങ്ങനെ, 1/2, 6, −2 എന്നിവ യഥാർത്ഥ ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ആവശ്യമുള്ള വേരുകളാണ്, കൂടാതെ 7 ഉം -1 ഉം പുറമേയുള്ള വേരുകളാണ്.

ഉത്തരം:

1/2 , 6 , −2 .

ഉദാഹരണം.

ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം.

ആദ്യം, നമുക്ക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്താം (5 x 2 -7 x−1) (x−2)=0. ഈ സമവാക്യം രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടത്തിന് തുല്യമാണ്: ചതുരം 5·x 2 -7·x−1=0, രേഖീയം x−2=0. ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾക്കായുള്ള ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് രണ്ട് വേരുകൾ കണ്ടെത്താം, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് x=2 ഉണ്ട്.

x ൻ്റെ കണ്ടെത്തിയ മൂല്യങ്ങളിൽ ഡിനോമിനേറ്റർ പൂജ്യത്തിലേക്ക് പോകുന്നുണ്ടോ എന്ന് പരിശോധിക്കുന്നത് തികച്ചും അരോചകമാണ്. യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിലെ x വേരിയബിളിൻ്റെ അനുവദനീയമായ മൂല്യങ്ങളുടെ പരിധി നിർണ്ണയിക്കുന്നത് വളരെ ലളിതമാണ്. അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ODZ വഴി പ്രവർത്തിക്കും.

ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, ഒറിജിനൽ ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ x വേരിയബിളിൻ്റെ ODZ-ൽ x 2 +5·x−14=0 എന്ന വ്യവസ്ഥ തൃപ്‌തിപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നവ ഒഴികെ എല്ലാ സംഖ്യകളും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. ഈ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ x=−7, x=2 എന്നിവയാണ്, അതിൽ നിന്ന് നമ്മൾ ODZ-നെ കുറിച്ച് ഒരു നിഗമനത്തിലെത്തുന്നു: അതിൽ എല്ലാ x-ഉം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

കണ്ടെത്തിയ റൂട്ടുകളും x=2 ഉം സ്വീകാര്യമായ മൂല്യങ്ങളുടെ ശ്രേണിയിൽ പെട്ടതാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കേണ്ടതുണ്ട്. വേരുകൾ ഉൾപ്പെടുന്നു, അതിനാൽ, അവ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളാണ്, കൂടാതെ x=2 ഉൾപ്പെടുന്നില്ല, അതിനാൽ, ഇത് ഒരു ബാഹ്യ മൂലമാണ്.

ഉത്തരം:

ഫോമിൻ്റെ ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ സമവാക്യത്തിൽ ന്യൂമറേറ്ററിൽ ഒരു സംഖ്യ ഉണ്ടാകുമ്പോൾ, അതായത്, p(x) ചില സംഖ്യകളാൽ പ്രതിനിധീകരിക്കുമ്പോൾ, പ്രത്യേകം ശ്രദ്ധിക്കുന്നതും ഉപയോഗപ്രദമാകും. അതേസമയത്ത്

• ഈ സംഖ്യ പൂജ്യമല്ലെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ല, കാരണം ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, അതിൻ്റെ ന്യൂമറേറ്റർ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ മാത്രം;
• ഈ സംഖ്യ പൂജ്യമാണെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് ODZ-ൽ നിന്നുള്ള ഏതെങ്കിലും സംഖ്യയാണ്.

ഉദാഹരണം.

പരിഹാരം.

സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്തുള്ള ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററിൽ പൂജ്യമല്ലാത്ത സംഖ്യ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നതിനാൽ, ഏത് x നും ഈ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ മൂല്യം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കില്ല. അതിനാൽ, ഈ സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ല.

ഉത്തരം:

വേരുകളില്ല.

ഉദാഹരണം.

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

പരിഹാരം.

ഈ ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്തുള്ള ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററിൽ പൂജ്യം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, അതിനാൽ ഈ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ മൂല്യം അത് അർത്ഥമാക്കുന്ന ഏത് x നും പൂജ്യമാണ്. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഈ വേരിയബിളിൻ്റെ ODZ-ൽ നിന്നുള്ള x ൻ്റെ ഏതെങ്കിലും മൂല്യമാണ് ഈ സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരം.

സ്വീകാര്യമായ മൂല്യങ്ങളുടെ ഈ ശ്രേണി നിർണ്ണയിക്കാൻ അവശേഷിക്കുന്നു. x 4 +5 x 3 ≠0 ആയ x ൻ്റെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും ഇതിൽ ഉൾപ്പെടുന്നു. x 4 +5 x 3 =0 എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ പരിഹാരങ്ങൾ 0 ഉം −5 ഉം ആണ്, കാരണം ഈ സമവാക്യം x 3 (x+5)=0 എന്ന സമവാക്യത്തിന് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ ഇത് x എന്ന രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളുടെ സംയോജനത്തിന് തുല്യമാണ്. 3 =0, x +5=0, ഈ വേരുകൾ ദൃശ്യമാകുന്നിടത്ത് നിന്ന്. അതിനാൽ, x=0, x=−5 എന്നിവ ഒഴികെയുള്ള ഏതെങ്കിലും x ആണ് സ്വീകാര്യമായ മൂല്യങ്ങളുടെ ആവശ്യമുള്ള ശ്രേണി.

അങ്ങനെ, ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ സമവാക്യത്തിന് അനന്തമായ നിരവധി പരിഹാരങ്ങളുണ്ട്, അവ പൂജ്യവും മൈനസ് അഞ്ച് ഒഴികെയുള്ള സംഖ്യകളുമാണ്.

ഉത്തരം:

അവസാനമായി, അനിയന്ത്രിതമായ രൂപത്തിൻ്റെ ഫ്രാക്ഷണൽ യുക്തിസഹമായ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കേണ്ട സമയമാണിത്. അവ r(x)=s(x) എന്ന് എഴുതാം, ഇവിടെ r(x), s(x) എന്നിവ യുക്തിസഹമായ പദപ്രയോഗങ്ങളാണ്, അവയിലൊന്നെങ്കിലും ഭിന്നസംഖ്യയാണ്. മുന്നോട്ട് നോക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ഇതിനകം പരിചിതമായ ഫോമിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിലേക്ക് അവരുടെ പരിഹാരം വരുന്നു എന്ന് പറയാം.

സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു ഭാഗത്ത് നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്ക് വിപരീത ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു പദത്തെ മാറ്റുന്നത് തുല്യമായ ഒരു സമവാക്യത്തിലേക്ക് നയിക്കുമെന്ന് അറിയാം, അതിനാൽ r(x)=s(x) എന്ന സമവാക്യം r(x)−s(x എന്ന സമവാക്യത്തിന് തുല്യമാണ്. )=0.

ഈ പദപ്രയോഗത്തിന് തുല്യമായ ഏതെങ്കിലും, സാധ്യമാണെന്നും ഞങ്ങൾക്കറിയാം. അങ്ങനെ, r(x)−s(x)=0 എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്തുള്ള യുക്തിസഹമായ പദപ്രയോഗം ഫോമിൻ്റെ തുല്യമായ യുക്തിസഹമായ ഭിന്നസംഖ്യയാക്കി മാറ്റാം.

അതിനാൽ നമ്മൾ യഥാർത്ഥ ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് r(x)=s(x) സമവാക്യത്തിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു, അതിൻ്റെ പരിഹാരം, മുകളിൽ കണ്ടെത്തിയതുപോലെ, p(x)=0 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിലേക്ക് ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു.

എന്നാൽ ഇവിടെ r(x)−s(x)=0 എന്നത് മാറ്റി പകരം p(x)=0 എന്നാക്കി മാറ്റുമ്പോൾ x എന്ന വേരിയബിളിൻ്റെ അനുവദനീയമായ മൂല്യങ്ങളുടെ പരിധി വികസിക്കുമെന്ന വസ്തുത കണക്കിലെടുക്കേണ്ടതുണ്ട്. .

തൽഫലമായി, യഥാർത്ഥ സമവാക്യം r(x)=s(x) ഉം p(x)=0 എന്ന സമവാക്യവും അസമമായി മാറിയേക്കാം, p(x)=0 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിലൂടെ നമുക്ക് വേരുകൾ ലഭിക്കും. അത് യഥാർത്ഥ സമവാക്യമായ r(x)=s(x) ൻ്റെ ബാഹ്യമായ വേരുകളായിരിക്കും. ഒരു പരിശോധന നടത്തിയോ അല്ലെങ്കിൽ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ODZ-ലേത് എന്ന് പരിശോധിച്ചോ നിങ്ങൾക്ക് ഉത്തരത്തിൽ അധിക വേരുകൾ തിരിച്ചറിയാനും ഉൾപ്പെടുത്താതിരിക്കാനും കഴിയും.

ഈ വിവരങ്ങൾ നമുക്ക് സംഗ്രഹിക്കാം ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം r(x)=s(x). r(x)=s(x) എന്ന ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾക്ക് ഇത് ആവശ്യമാണ്

• എതിർ ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് വലതുവശത്ത് നിന്ന് എക്സ്പ്രഷൻ നീക്കി വലതുവശത്ത് പൂജ്യം നേടുക.
• സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്തുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകളും ബഹുപദങ്ങളും ഉപയോഗിച്ച് പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുക, അതുവഴി അതിനെ ഫോമിൻ്റെ യുക്തിസഹമായ അംശമാക്കി മാറ്റുക.
• p(x)=0 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.
• ബാഹ്യമായ വേരുകൾ തിരിച്ചറിയുകയും ഇല്ലാതാക്കുകയും ചെയ്യുക, അവ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റി സ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെയോ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ODZ-ൽ അവ ഉൾപ്പെട്ടതാണോ എന്ന് പരിശോധിച്ച് കൊണ്ടോ ആണ് ഇത് ചെയ്യുന്നത്.

കൂടുതൽ വ്യക്തതയ്ക്കായി, ഫ്രാക്ഷണൽ യുക്തിസഹമായ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള മുഴുവൻ ശൃംഖലയും ഞങ്ങൾ കാണിക്കും:
.

നൽകിയിരിക്കുന്ന വിവരങ്ങളുടെ ബ്ലോക്ക് വ്യക്തമാക്കുന്നതിന് പരിഹാര പ്രക്രിയയുടെ വിശദമായ വിശദീകരണത്തോടെ നിരവധി ഉദാഹരണങ്ങളുടെ പരിഹാരങ്ങൾ നോക്കാം.

ഉദാഹരണം.

ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

പരിഹാരം.

ഇപ്പോൾ ലഭിച്ച പരിഹാര അൽഗോരിതം അനുസരിച്ച് ഞങ്ങൾ പ്രവർത്തിക്കും. ആദ്യം നമ്മൾ പദങ്ങൾ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വലതുവശത്ത് നിന്ന് ഇടത്തേക്ക് നീക്കുന്നു, അതിൻ്റെ ഫലമായി ഞങ്ങൾ സമവാക്യത്തിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു.

രണ്ടാമത്തെ ഘട്ടത്തിൽ, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്തുള്ള ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷ്യൽ എക്സ്പ്രഷൻ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുടെ രൂപത്തിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ യുക്തിസഹമായ ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഒരു പൊതു വിഭാഗത്തിലേക്ക് ചുരുക്കുകയും ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു: . അതിനാൽ ഞങ്ങൾ സമവാക്യത്തിലേക്ക് വരുന്നു.

അടുത്ത ഘട്ടത്തിൽ, നമ്മൾ −2·x−1=0 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്. നമ്മൾ x=−1/2 കണ്ടെത്തുന്നു.

കണ്ടെത്തിയ സംഖ്യ −1/2 യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ അധികമൂലമല്ലേ എന്ന് പരിശോധിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾക്ക് യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ x വേരിയബിളിൻ്റെ VA പരിശോധിക്കാം അല്ലെങ്കിൽ കണ്ടെത്താം. രണ്ട് സമീപനങ്ങളും നമുക്ക് പ്രകടിപ്പിക്കാം.

നമുക്ക് പരിശോധിക്കുന്നതിലൂടെ ആരംഭിക്കാം. x എന്ന വേരിയബിളിന് പകരം യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിലേക്ക് −1/2 എന്ന സംഖ്യ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു, നമുക്ക് അതേ കാര്യം ലഭിക്കും, −1=-1. പകരം വയ്ക്കുന്നത് ശരിയായ സംഖ്യാ സമത്വം നൽകുന്നു, അതിനാൽ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് x=-1/2 ആണ്.

ODZ വഴി അൽഗോരിതത്തിൻ്റെ അവസാന പോയിൻ്റ് എങ്ങനെ നിർവഹിക്കപ്പെടുന്നുവെന്ന് ഇപ്പോൾ നമ്മൾ കാണിക്കും. യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ സ്വീകാര്യമായ മൂല്യങ്ങളുടെ പരിധി -1, 0 എന്നിവ ഒഴികെയുള്ള എല്ലാ സംഖ്യകളുടെയും ഗണമാണ് (x=−1, x=0 എന്നിവയിൽ ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ അപ്രത്യക്ഷമാകുന്നു). മുമ്പത്തെ ഘട്ടത്തിൽ കണ്ടെത്തിയ റൂട്ട് x=−1/2 ODZ-ൻ്റെതാണ്, അതിനാൽ, യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് x=-1/2 ആണ്.

ഉത്തരം:

−1/2 .

മറ്റൊരു ഉദാഹരണം നോക്കാം.

ഉദാഹരണം.

സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം.

നമുക്ക് ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ യുക്തിസഹമായ സമവാക്യം പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്, അൽഗോരിതത്തിൻ്റെ എല്ലാ ഘട്ടങ്ങളിലൂടെയും നമുക്ക് പോകാം.

ആദ്യം, നമ്മൾ പദം വലതുവശത്ത് നിന്ന് ഇടത്തേക്ക് നീക്കുന്നു, നമുക്ക് ലഭിക്കും .

രണ്ടാമതായി, ഇടതുവശത്ത് രൂപംകൊണ്ട എക്സ്പ്രഷൻ ഞങ്ങൾ രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുന്നു: . തൽഫലമായി, നമ്മൾ x=0 എന്ന സമവാക്യത്തിൽ എത്തിച്ചേരുന്നു.

അതിൻ്റെ റൂട്ട് വ്യക്തമാണ് - ഇത് പൂജ്യമാണ്.

നാലാമത്തെ ഘട്ടത്തിൽ, കണ്ടെത്തിയ റൂട്ട് യഥാർത്ഥ ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ സമവാക്യത്തിന് പുറത്താണോ എന്ന് കണ്ടെത്താൻ അവശേഷിക്കുന്നു. യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിലേക്ക് അത് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, എക്സ്പ്രഷൻ ലഭിക്കും. വ്യക്തമായും, ഇത് അർത്ഥമാക്കുന്നില്ല, കാരണം അതിൽ പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. എവിടെ നിന്നാണ് 0 എന്നത് ഒരു ബാഹ്യമൂലമാണെന്ന് നാം നിഗമനം ചെയ്യുന്നു. അതിനാൽ, യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ല.

7, ഇത് സമവാക്യത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു. ഇതിൽ നിന്ന് നമുക്ക് നിഗമനം ചെയ്യാം, ഇടതുവശത്തെ ഡിനോമിനേറ്ററിലെ പദപ്രയോഗം വലത് വശത്ത് തുല്യമായിരിക്കണം, അതായത്, . ഇപ്പോൾ നമ്മൾ ട്രിപ്പിൾ രണ്ട് വശങ്ങളിൽ നിന്നും കുറയ്ക്കുന്നു: . സാമ്യമനുസരിച്ച്, എവിടെ നിന്ന്, കൂടാതെ.

കണ്ടെത്തിയ രണ്ട് വേരുകളും യഥാർത്ഥ ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളാണെന്ന് പരിശോധന കാണിക്കുന്നു.

ഉത്തരം:

റഫറൻസുകൾ.

• ബീജഗണിതം:പാഠപുസ്തകം എട്ടാം ക്ലാസിന്. പൊതു വിദ്യാഭ്യാസം സ്ഥാപനങ്ങൾ / [യു. എൻ.മക്കാരിച്ചേവ്, എൻ.ജി.മിൻഡ്യൂക്ക്, കെ.ഐ.നെഷ്കോവ്, എസ്.ബി.സുവോറോവ]; എഡിറ്റ് ചെയ്തത് എസ്.എ. ടെലിയാക്കോവ്സ്കി. - 16-ാം പതിപ്പ്. - എം.: വിദ്യാഭ്യാസം, 2008. - 271 പേ. : അസുഖം. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• മൊർഡ്കോവിച്ച് എ.ജി.ബീജഗണിതം. എട്ടാം ക്ലാസ്. 2 മണിക്കൂറിനുള്ളിൽ ഭാഗം 1. പൊതു വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങളുടെ വിദ്യാർത്ഥികൾക്കുള്ള പാഠപുസ്തകം / A. G. Mordkovich. - 11-ാം പതിപ്പ്, മായ്‌ച്ചു. - എം.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• ബീജഗണിതം:ഒമ്പതാം ക്ലാസ്: വിദ്യാഭ്യാസം. പൊതുവിദ്യാഭ്യാസത്തിന് സ്ഥാപനങ്ങൾ / [യു. എൻ.മക്കാരിച്ചേവ്, എൻ.ജി.മിൻഡ്യൂക്ക്, കെ.ഐ.നെഷ്കോവ്, എസ്.ബി.സുവോറോവ]; എഡിറ്റ് ചെയ്തത് എസ്.എ. ടെലിയാക്കോവ്സ്കി. - 16-ാം പതിപ്പ്. - എം.: വിദ്യാഭ്യാസം, 2009. - 271 പേ. : അസുഖം. - ISBN 978-5-09-021134-5.

ലളിതമായി പറഞ്ഞാൽ, ഡിനോമിനേറ്ററിൽ കുറഞ്ഞത് ഒരു വേരിയബിളെങ്കിലും ഉള്ള സമവാക്യങ്ങളാണ് ഇവ.

ഉദാഹരണത്തിന്:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

ഉദാഹരണം അല്ലഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ സമവാക്യങ്ങൾ:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെയാണ് പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നത്?

ഫ്രാക്ഷണൽ യുക്തിസഹമായ സമവാക്യങ്ങളെക്കുറിച്ച് ഓർമ്മിക്കേണ്ട പ്രധാന കാര്യം നിങ്ങൾ അവയിൽ എഴുതേണ്ടതുണ്ട് എന്നതാണ്. വേരുകൾ കണ്ടെത്തിയ ശേഷം, അവ സ്വീകാര്യതയ്ക്കായി പരിശോധിക്കുന്നത് ഉറപ്പാക്കുക. അല്ലെങ്കിൽ, ബാഹ്യമായ വേരുകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടാം, മുഴുവൻ തീരുമാനവും തെറ്റായി പരിഗണിക്കും.

ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം:

ODZ എഴുതി "പരിഹരിക്കുക".

സമവാക്യത്തിലെ ഓരോ പദത്തെയും പൊതു വിഭാഗത്താൽ ഗുണിച്ച് ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഭിന്നസംഖ്യകൾ റദ്ദാക്കുക. ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ അപ്രത്യക്ഷമാകും.

പരാൻതീസിസുകൾ തുറക്കാതെ സമവാക്യം എഴുതുക.

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

ODZ ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തിയ വേരുകൾ പരിശോധിക്കുക.

ഘട്ടം 7-ലെ പരീക്ഷയിൽ വിജയിച്ച വേരുകൾ നിങ്ങളുടെ ഉത്തരത്തിൽ എഴുതുക.

അൽഗോരിതം, 3-5 പരിഹരിച്ച സമവാക്യങ്ങൾ മനഃപാഠമാക്കരുത്, അത് സ്വയം ഓർമ്മിക്കപ്പെടും.

ഉദാഹരണം . ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

പരിഹാരം:

ഉത്തരം: \(3\).

ഉദാഹരണം . ഫ്രാക്ഷണൽ റേഷണൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക \(=0\)

പരിഹാരം:

ഉത്തരം: \(\frac(1)(2)\).

"പോളിനോമിയലുകളുമായുള്ള യുക്തിസഹമായ സമവാക്യങ്ങൾ" എന്നത് ഏറ്റവും പതിവായി അഭിമുഖീകരിക്കുന്ന വിഷയങ്ങളിലൊന്നാണ് പരീക്ഷണ ചുമതലകൾഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷ. ഇക്കാരണത്താൽ, അവ ആവർത്തിക്കുന്നത് മൂല്യവത്താണ് പ്രത്യേക ശ്രദ്ധ. പല വിദ്യാർത്ഥികൾക്കും വിവേചനം കണ്ടെത്തുന്നതിനും സൂചകങ്ങൾ വലത് വശത്ത് നിന്ന് ഇടത്തേക്ക് മാറ്റുന്നതിനും സമവാക്യം ഒരു പൊതു വിഭാഗത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരുന്നതിനുമുള്ള പ്രശ്നം അഭിമുഖീകരിക്കുന്നു, അതിനാലാണ് അത്തരം ജോലികൾ പൂർത്തിയാക്കുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നത്. ഞങ്ങളുടെ വെബ്‌സൈറ്റിലെ ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയ്ക്കുള്ള തയ്യാറെടുപ്പിൽ യുക്തിസഹമായ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് ഏത് സങ്കീർണ്ണതയുടെയും പ്രശ്‌നങ്ങളെ വേഗത്തിൽ നേരിടാനും മികച്ച നിറങ്ങളോടെ ടെസ്റ്റ് വിജയിക്കാനും നിങ്ങളെ സഹായിക്കും.

ഏകീകൃത ഗണിത പരീക്ഷയ്ക്ക് വിജയകരമായി തയ്യാറെടുക്കാൻ Shkolkovo വിദ്യാഭ്യാസ പോർട്ടൽ തിരഞ്ഞെടുക്കുക!

അജ്ഞാതരെ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ അറിയുന്നതിനും എളുപ്പത്തിൽ നേടുന്നതിനും ശരിയായ ഫലങ്ങൾ, ഞങ്ങളുടെ ഓൺലൈൻ സേവനം ഉപയോഗിക്കുക. Shkolkovo പോർട്ടൽ ഒരു തരത്തിലുള്ള പ്ലാറ്റ്‌ഫോമാണ്, അതിൽ തയ്യാറാക്കാൻ ആവശ്യമായ എല്ലാം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷാ സാമഗ്രികൾ. ഞങ്ങളുടെ അധ്യാപകർ എല്ലാ ഗണിത നിയമങ്ങളും ചിട്ടപ്പെടുത്തുകയും മനസ്സിലാക്കാവുന്ന രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിക്കുകയും ചെയ്തു. കൂടാതെ, സ്റ്റാൻഡേർഡ് യുക്തിസഹമായ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് അവരുടെ കൈകൾ പരീക്ഷിക്കാൻ ഞങ്ങൾ സ്കൂൾ കുട്ടികളെ ക്ഷണിക്കുന്നു, അതിൻ്റെ അടിസ്ഥാനം നിരന്തരം അപ്ഡേറ്റ് ചെയ്യുകയും വിപുലീകരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

പരിശോധനയ്ക്കായി കൂടുതൽ ഫലപ്രദമായ തയ്യാറെടുപ്പിനായി, ഞങ്ങളുടെ പ്രത്യേക രീതി പിന്തുടരാനും നിയമങ്ങൾ ആവർത്തിക്കാനും ലളിതമായ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനും ആരംഭിക്കാനും ക്രമേണ കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായവയിലേക്ക് നീങ്ങാനും ഞങ്ങൾ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു. അങ്ങനെ, ബിരുദധാരിക്ക് തനിക്ക് ഏറ്റവും ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള വിഷയങ്ങൾ തിരിച്ചറിയാനും അവ പഠിക്കുന്നതിൽ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കാനും കഴിയും.

ഇന്ന് Shkolkovo അവസാന ടെസ്റ്റിനായി തയ്യാറെടുക്കാൻ ആരംഭിക്കുക, ഫലങ്ങൾ വരാൻ അധികനാളില്ല! ഏറ്റവും കൂടുതൽ തിരഞ്ഞെടുക്കുക എളുപ്പമുള്ള ഉദാഹരണംനിർദ്ദേശിച്ചവരിൽ നിന്ന്. നിങ്ങൾ പദപ്രയോഗം വേഗത്തിൽ പ്രാവീണ്യം നേടിയെങ്കിൽ, കൂടുതലിലേക്ക് നീങ്ങുക ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള ജോലി. ഒരു പ്രത്യേക തലത്തിൽ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ USE ടാസ്ക്കുകൾ പരിഹരിക്കുന്നത് വരെ നിങ്ങളുടെ അറിവ് മെച്ചപ്പെടുത്താൻ ഇതുവഴി നിങ്ങൾക്ക് കഴിയും.

മോസ്കോയിൽ നിന്നുള്ള ബിരുദധാരികൾക്ക് മാത്രമല്ല, മറ്റ് നഗരങ്ങളിൽ നിന്നുള്ള സ്കൂൾ കുട്ടികൾക്കും പരിശീലനം ലഭ്യമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, ഞങ്ങളുടെ പോർട്ടലിൽ പഠിക്കാൻ ദിവസത്തിൽ കുറച്ച് മണിക്കൂർ ചെലവഴിക്കുക, വളരെ വേഗം നിങ്ങൾക്ക് ഏത് സങ്കീർണ്ണതയുടെയും സമവാക്യങ്ങളെ നേരിടാൻ കഴിയും!