Mēs teicām, ka otrās kārtas algebrisko līkni nosaka otrās pakāpes algebriskais vienādojums attiecībā pret X Un plkst. Kopumā šis vienādojums ir uzrakstīts šādi:

A X 2 + V xy+ C plkst 2 +D x+ E y+ F = 0, (6)

un A 2 + B 2 + C 2 ¹ 0 (tas ir, skaitļi A, B, C vienlaikus nepārvēršas par nulli). Sastāvdaļas A X 2, V xy, AR plkst 2 sauc par vienādojuma vadošajiem noteikumiem, skaitli

sauca diskriminējošsšis vienādojums. Vienādojumu (6) sauc vispārējais vienādojums otrās kārtas līkne.

Iepriekš apskatītajām līknēm mums ir:

Elipse: Þ A = , B = 0, C = , D = E = 0, F = –1,

aplis X 2 + plkst 2 = A 2 Þ A = C = 1, B = D = E = 0, F = – A 2, d = 1>0;

Hiperbola: Þ A = , B = 0, C = – , D = E = 0, F = –1,

d = – .< 0.

Parabola: plkst 2 = 2pxÞ A = B = 0, C = 1, D = –2 r, E = F = 0, d = 0,

X 2 = 2ruÞ A = 1B = C = D = 0, E = –2 r, F = 0, d = 0.

Līknes, kas dotas ar vienādojumu (6), sauc centrālais līknes, ja d¹0. Ja d> 0, tad līkne eliptisks veids, ja d<0, то кривая hiperbolisks veids. Līknes, kurām d = 0, ir līknes parabolisks veids.

Ir pierādīts, ka otrā pasūtījuma rinda iekšā jebkura Dekarta koordinātu sistēmu nosaka otrās kārtas algebriskais vienādojums. Tikai vienā sistēmā vienādojumam ir sarežģīta forma (piemēram, (6)), bet otrā tam ir vienkāršāka forma, piemēram, (5). Tāpēc ir ērti apsvērt koordinātu sistēmu, kurā pētāmā līkne ir uzrakstīta ar visvienkāršāko (piemēram, kanonisko) vienādojumu. Tiek saukta pāreja no vienas koordinātu sistēmas, kurā līkne tiek dota ar formas (6) vienādojumu uz citu, kur tās vienādojumam ir vienkāršāka forma. koordinātu transformācija.

Apskatīsim galvenos koordinātu transformāciju veidus.

es Veikt transformāciju koordinātu asis (ar virziena saglabāšanu). Ļaujiet punktam M sākotnējā XOU koordinātu sistēmā ir koordinātes ( X, plkstX¢, plkst¢). No zīmējuma redzams, ka punkta M koordinātas dažādās sistēmās ir saistītas ar attiecībām

(7) vai (8).

Formulas (7) un (8) sauc par koordinātu transformācijas formulām.

II. Rotācijas transformācija koordinātu asis pēc leņķa a. Ja sākotnējā XOU koordinātu sistēmā punktam M ir koordinātes ( X, plkst), un jaunajā koordinātu sistēmā ХО¢У tai ir koordinātes ( X¢, plkst¢). Tad savienojumu starp šīm koordinātām izsaka ar formulām

, (9)

vai

Izmantojot koordinātu transformāciju, vienādojumu (6) var reducēt uz vienu no šiem kanonisks vienādojumi.

1) - elipse,

2) - hiperbola,

3) plkst 2 = 2px, X 2 = 2ru- parabola

4) A 2 X 2 – b 2 y 2 = 0 – krustojošu līniju pāris (att. a)

5) y 2 – a 2 = 0 – paralēlu līniju pāris (b zīm.)

6) x 2 –a 2 = 0 – paralēlu līniju pāris (c att.)

7) y 2 = 0 – sakrīt taisnas līnijas (OX ass)

8)x 2 = 0 — sakrīt taisnas līnijas (OA ass)

9) a 2 X 2 + b 2 y 2 = 0 — punkts (0, 0)

10) iedomātā elipse

11) g 2 + a 2 = 0 – iedomātu līniju pāris

12) x 2 + a 2 = 0 iedomātu līniju pāris.

Katrs no šiem vienādojumiem ir otrās kārtas līnijas vienādojums. Tiek izsauktas līnijas, kas noteiktas ar vienādojumu 4–12 deģenerēts otrās kārtas līknes.

Apskatīsim piemērus līknes vispārējā vienādojuma pārveidošanai kanoniskā formā.

1) 9X 2 + 4plkst 2 – 54X + 8plkst+ 49 = 0 Þ (9 X 2 – 54X) + (4plkst 2 + 8plkst) + 49 = 0 Þ

9(X 2 – 6X+ 9) + 4(plkst 2 + 2plkst+ 1) – 81 – 4 + 49 = 0 Þ 9( X –3) 2 + 4(plkst+ 1) = 36, Þ

.

Liekam X¢ = X – 3, plkst¢ = plkst+ 1, iegūstam elipses kanonisko vienādojumu . Vienlīdzības X¢ = X – 3, plkst¢ = plkst+ 1 nosaka koordinātu sistēmas pārnešanas transformāciju uz punktu (3, –1). Pēc vecās un jaunās koordinātu sistēmas izveidošanas šo elipsi nav grūti attēlot.

2) 3plkst 2 +4X– 12plkst+8 = 0. Transformācija:

(3plkst 2 – 12plkst)+ 4 X+8 = 0

3(plkst 2 – 4plkst+4) – 12 + 4 X +8 = 0

3(y – 2) 2 + 4(X –1) = 0

(plkst – 2) 2 = – (X – 1) .

Liekam X¢ = X – 1, plkst¢ = plkst– 2, iegūstam parabolas vienādojumu plkst¢ 2 = – X¢. Izvēlētais aizvietotājs atbilst koordinātu sistēmas pārnešanai uz punktu O¢(1,2).

Šajā rakstā mēs aplūkosim plaknes taisnes vispārīgo vienādojumu. Sniegsim piemērus taisnes vispārīgā vienādojuma konstruēšanai, ja ir zināmi divi šīs taisnes punkti vai ir zināms viens punkts un šīs taisnes normālvektors. Iesniegsim metodes vienādojuma pārveidošanai vispārīgā formā kanoniskās un parametriskās formās.

Dota patvaļīga Dekarta taisnstūra koordinātu sistēma Oxy. Apsveriet pirmās pakāpes vai lineāro vienādojumu:

Kur A, B, C− dažas konstantes un vismaz viens no elementiem A Un B atšķiras no nulles.

Mēs parādīsim, ka lineārs vienādojums plaknē definē taisni. Pierādīsim šādu teorēmu.

Teorēma 1. Patvaļīgā Dekarta taisnstūra koordinātu sistēmā plaknē katru taisni var norādīt ar lineāru vienādojumu. Un otrādi, katrs lineārais vienādojums (1) patvaļīgā Dekarta taisnstūra koordinātu sistēmā plaknē definē taisni.

Pierādījums. Pietiek pierādīt, ka taisne L tiek noteikts ar lineāru vienādojumu jebkurai Dekarta taisnstūra koordinātu sistēmai, jo tad tas tiks noteikts ar lineāru vienādojumu jebkurai Dekarta taisnstūra koordinātu sistēmas izvēlei.

Ļaujiet plaknē norādīt taisnu līniju L. Izvēlēsimies koordinātu sistēmu tā, lai ass Vērsis sakrita ar taisnu līniju L, un ass Oy bija tai perpendikulāra. Tad līnijas vienādojums L būs šādā formā:

Visi punkti uz līnijas L apmierinās lineāro vienādojumu (2), un visi punkti, kas atrodas ārpus šīs līnijas, neapmierinās (2) vienādojumu. Teorēmas pirmā daļa ir pierādīta.

Dota Dekarta taisnstūra koordinātu sistēma un lineārs vienādojums (1), kur vismaz viens no elementiem A Un B atšķiras no nulles. Atradīsim to punktu ģeometrisko lokusu, kuru koordinātas atbilst (1) vienādojumam. Tā kā vismaz viens no koeficientiem A Un B atšķiras no nulles, tad vienādojumam (1) ir vismaz viens risinājums M(x 0 ,y 0). (Piemēram, kad A≠0, punkts M 0 (−C/A, 0) pieder pie dotā punktu ģeometriskā lokusa). Aizvietojot šīs koordinātas ar (1), mēs iegūstam identitāti

Atņemsim identitāti (3) no (1):

Acīmredzot (4) vienādojums ir līdzvērtīgs (1) vienādojumam. Tāpēc pietiek pierādīt, ka (4) definē noteiktu līniju.

Tā kā mēs aplūkojam Dekarta taisnstūra koordinātu sistēmu, no vienādības (4) izriet, ka vektors ar komponentiem ( x-x 0 , y-y 0 ) vektoram ortogonāli n ar koordinātām ( A, B}.

Apskatīsim kādu taisnu līniju L, kas iet caur punktu M 0 (x 0 , y 0) un perpendikulāri vektoram n(1. att.). Ļaujiet punktu M(x,y) pieder rindai L. Tad vektors ar koordinātām x-x 0 , y-y 0 perpendikulāri n un vienādojums (4) ir izpildīts (vektoru skalārais reizinājums). n un vienāds ar nulli). Un otrādi, ja punkts M(x,y) neatrodas uz līnijas L, tad vektors ar koordinātām x-x 0 , y-y 0 nav ortogonāls vektoram n un vienādojums (4) nav izpildīts. Teorēma ir pierādīta.

Pierādījums. Tā kā līnijas (5) un (6) nosaka vienu un to pašu līniju, tad normālie vektori n 1 ={A 1 ,B 1) un n 2 ={A 2 ,B 2) kolineārs. Tā kā vektori n 1 ≠0, n 2 ≠0, tad ir šāds skaitlis λ , Kas n 2 =n 1 λ . No šejienes mums ir: A 2 =A 1 λ , B 2 =B 1 λ . Pierādīsim to C 2 =C 1 λ . Acīmredzot sakrītošām līnijām ir kopīgs punkts M 0 (x 0 , y 0). Reizinot vienādojumu (5) ar λ un atņemot no tā vienādojumu (6), mēs iegūstam:

Tā kā pirmās divas vienādības no izteiksmēm (7) ir izpildītas, tad C 1 λ −C 2 = 0. Tie. C 2 =C 1 λ . Piezīme ir pierādīta.

Ņemiet vērā, ka vienādojums (4) definē taisnes vienādojumu, kas iet caur punktu M 0 (x 0 , y 0) un kam ir normāls vektors n={A, B). Tāpēc, ja ir zināms taisnes normālvektors un šai taisnei piederošais punkts, tad taisnes vispārīgo vienādojumu var izveidot, izmantojot vienādojumu (4).

Piemērs 1. Taisne iet caur punktu M=(4,−1) un tam ir normāls vektors n=(3, 5). Izveidojiet vispārīgo taisnes vienādojumu.

Risinājums. Mums ir: x 0 =4, y 0 =−1, A=3, B=5. Lai izveidotu taisnas līnijas vispārējo vienādojumu, šīs vērtības aizstājam vienādojumā (4):

Atbilde:

Vektors ir paralēls taisnei L un tāpēc perpendikulāri taisnes normālajam vektoram L. Konstruēsim normālu taisnes vektoru L, ņemot vērā, ka vektoru skalārais reizinājums n un vienāds ar nulli. Mēs varam rakstīt, piemēram, n={1,−3}.

Lai izveidotu taisnas līnijas vispārīgo vienādojumu, mēs izmantojam formulu (4). Aizstāsim punkta koordinātas ar (4) M 1 (varam ņemt arī punkta koordinātas M 2) un normāls vektors n:

Punktu koordinātu aizstāšana M 1 un M 2 in (9), mēs varam pārliecināties, ka taisne, kas dota vienādojumā (9) iet caur šiem punktiem.

Atbilde:

Atņemiet (10) no (1):

Mēs esam ieguvuši taisnes kanonisko vienādojumu. Vektors q={−B, A) ir līnijas (12) virziena vektors.

Skatiet apgriezto konvertēšanu.

3. piemērs. Taisni uz plaknes attēlo šāds vispārīgs vienādojums:

Pārvietosim otro biedru pa labi un sadalīsim abas vienādojuma puses ar 2·5.

Otrās kārtas līkne— punktu ģeometriskais izvietojums plaknē, taisnstūra koordinātas

kas apmierina formas vienādojumu:

kurā vismaz viens no koeficientiem a 11, a 12, a 22 nav vienāds ar nulli.

Otrās kārtas līkņu invarianti.

Līknes forma ir atkarīga no 4 tālāk norādītajiem invariantiem:

Invarianti attiecībā uz koordinātu sistēmas rotāciju un nobīdi:

Invariants attiecībā uz koordinātu sistēmas rotāciju ( daļēji nemainīgs):

Lai izpētītu otrās kārtas līknes, apsveriet produktu A*S.

Ģenerālis otrās kārtas līknes vienādojums izskatās šādi:

Axe 2 +2Bxy+Cy 2 +2Dx+2Ey+F=0

Ja A*C > 0 elipsveida tips. Jebkura eliptiska

vienādojums ir vai nu parastas elipses, vai deģenerētas elipses (punkta) vai iedomātas elipses vienādojums

elipse (šajā gadījumā vienādojums nedefinē vienu ģeometrisku attēlu plaknē);

Ja A*C< 0 , tad vienādojums iegūst vienādojuma formu hiperbolisks tips. Jebkura hiperboliska

vienādojums izsaka vai nu vienkāršu hiperbolu, vai deģenerētu hiperbolu (divas krustojošas līnijas);

Ja A*C = 0, tad otrās kārtas rinda nebūs centrālā. Šāda veida vienādojumus sauc

vienādojumi paraboliskais tips un izsaka plaknē vai nu vienkāršu parabolu, vai 2 paralēlas

(vai sakrītošas) taisnas līnijas vai plaknē neizsaka vienu ģeometrisku attēlu;

Ja A*C ≠ 0, otrās kārtas līkne būs

Otrās kārtas līknes vispārīgajam vienādojumam plaknē ir šāda forma:

Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ak + F = 0, (39)

Kur A 2 + B 2 + C 2 0, (A, B, C, D, E, F) R. Tas nosaka visas iespējamās konusveida sekcijas, kas patvaļīgi atrodas plaknē.

No vienādojuma (39) koeficientiem mēs veidojam divus determinantus:

Zvanīja vienādojuma diskriminants(39) un - vienādojuma vadošo terminu diskriminants. Pie 0 vienādojums (39) nosaka: > 0 - elipse;< 0 - гиперболу; = 0 - параболу. В случае = 0 кривые вырождаются в точку или прямые линии.

No vispārējā vienādojuma (39) varam pāriet uz kanonisko vienādojumu, ja likvidējam lineāros un krusteniskos vārdus, pārejot uz jaunu koordinātu sistēmu, kas sakrīt ar figūras simetrijas asīm. Aizstāsim (39) x ieslēgts x + a Un y ieslēgts y + b, Kur a, b dažas konstantes. Pierakstīsim iegūtos koeficientus par X Un y un pielīdziniet tos 0

(Aa + Bb + D)x = 0, (Cb + Ba + E)y = 0. (41)

Rezultātā vienādojumam (39) būs šāda forma:

A(x) 2 + 2B(x)(y) + C(y) 2 + F = 0, (42)

kur ir koeficienti A, B, C nav mainījušies, bet F= / . Vienādojumu sistēmas (41) risinājums noteiks figūras simetrijas centra koordinātas:

Ja B= 0, tad a = -D/A, b = -E/C un ir ērti izslēgt lineāros terminus no (39) ar reducēšanas metodi līdz perfektam kvadrātam:

Ax 2 + 2Dx = A(x 2 + 2xD/A + (D/A) 2 - (D/A) 2) = A(x + D/A) 2 - D 2 /A.

Vienādojumā (42) mēs pagriežam koordinātas par leņķi a (38). Pierakstīsim iegūto šķērstermiņa koeficientu xy un iestatiet to vienādu ar 0

xy = 0. (44)

Nosacījums (44) nosaka nepieciešamo koordinātu asu griešanās leņķi, līdz tās sakrīt ar figūras simetrijas asīm, un iegūst šādu formu:

(42) vienādojumam ir šāda forma:

A+X2+ C + Y 2 + F = 0 (46)

no kura ir viegli pāriet uz līknes kanonisko vienādojumu:

Likmes A + , C+ , saskaņā ar nosacījumu (45), var attēlot kā papildu kvadrātvienādojuma saknes:

t 2 - (A + C)t + = 0. (48)

Rezultātā tiek noteikts figūras simetrijas asu stāvoklis un virziens, tās pusass:

un to var konstruēt ģeometriski.

Gadījumā = 0 mums ir parabola. Ja tā simetrijas ass ir paralēla asij Ak, tad vienādojums samazinās līdz:

ja nē, tad paskaties:

kur izteiksmes iekavās, kas vienādas ar 0, nosaka jauno koordinātu asu līnijas: , .

Kopīgu problēmu risināšana

15. piemērs. Dodiet vienādojumu 2 x 2 + 3y 2 - 4x + 6y- 7 = 0, lai izveidotu kanonisko formu un izveidotu līkni.

Risinājums. B= 0, = -72 0, = 6 > 0 elipse.

Veicam samazināšanu līdz perfektam kvadrātam:

2(x - 1) 2 + 3(y + 1) 2 - 12 = 0.

Simetrijas centra koordinātas (1; -1), lineārā transformācija X = x - 1, Y = y+ 1 vienādojumu iegūst kanoniskā formā.

16. piemērs. Dodiet vienādojumu 2 xy = a 2, lai izveidotu kanonisku formu un izveidotu līkni.

Risinājums. B = 1, = a 2 0, = -1 < 0 гипербола .

Koordinātu sistēmas centrs atrodas līknes simetrijas centrā, jo vienādojumā nav lineāru terminu. Pagriezīsim asis par leņķi a. Saskaņā ar formulu (45) mums ir tan2a = B/(A - C) = , t.i. a = 45°. Kanoniskā vienādojuma (46) koeficienti A + , C+ nosaka vienādojums (48): t 2 = 1 vai t 1,2 = 1 A + = 1, C+ = -1, t.i.
X 2 - Y 2 = a 2 vai . Tātad 2. vienādojums xy = A 2 apraksta hiperbolu ar simetrijas centru (0; 0). Simetrijas asis atrodas gar koordinātu leņķu bisektriecēm, koordinātu asis kalpo kā asimptotes, hiperbolas pusasis ir vienādas A.y - 9 =0;

9x 2 + y 2 - 18x + 2y + 1 = 0;

2x 2 + 4X + y - 2 = 0;

3x 2 - 6X - y + 2 = 0;

- x 2 + 4y 2 - 8x - 9y + 16 = 0;

4x 2 + 8X - y - 5 = 0;

9x 2 - y 2 + 18x + 2y - 1 = 0;

9x 2 - 4y 2 + 36x + 16y - 16 = 0.

Izveidosim taisnstūra koordinātu sistēmu plaknē un apsvērsim otrās pakāpes vispārējo vienādojumu

kurā
.

Tiek izsaukta visu plaknes punktu kopa, kuru koordinātas atbilst (8.4.1.) vienādojumam greizs (līniju) otrais pasūtījums.

Jebkurai otrās kārtas līknei ir taisnstūra koordinātu sistēma, ko sauc par kanonisko, kurā šīs līknes vienādojumam ir viena no šādām formām:

1)
(elipse);

2)
(iedomātā elipse);

3)
(pāris iedomātu krustojošu līniju);

4)
(hiperbola);

5)
(pāris krustojošu līniju);

6)
(parabola);

7)
(pāris paralēlu līniju);

8)
(pāris iedomātu paralēlu līniju);

9)
(pāris sakrītošu līniju).

Tiek izsaukti vienādojumi 1)–9). otrās kārtas līkņu kanoniskie vienādojumi.

Lai atrisinātu problēmu, kas saistīta ar līknes otrās kārtas vienādojuma samazināšanu līdz kanoniskajai formai, ir jāatrod līknes kanoniskais vienādojums un kanoniskā koordinātu sistēma. Reducēšana uz kanonisku formu ļauj aprēķināt līknes parametrus un noteikt tās atrašanās vietu attiecībā pret sākotnējo koordinātu sistēmu. Pāreja no sākotnējās taisnstūra koordinātu sistēmas
uz kanonisku
veic, pagriežot sākotnējās koordinātu sistēmas asis ap punktu PAR uz noteiktu leņķi  un sekojošu koordinātu sistēmas paralēlo translāciju.

Otrās kārtas līknes invarianti(8.4.1) ir tādas tā vienādojuma koeficientu funkcijas, kuru vērtības nemainās, pārejot no vienas taisnstūra koordinātu sistēmas uz citu tās pašas sistēmas koordinātu sistēmu.

Otrās kārtas līknei (8.4.1.) kvadrātu koordinātu koeficientu summa

,

determinants, kas sastāv no vadošo terminu koeficientiem

un trešās kārtas determinants

ir invarianti.

Ar invariantu s, ,  vērtību var noteikt tipu un sastādīt otrās kārtas līknes kanonisko vienādojumu (8.1. tabula).

8.1. tabula

Otrās kārtas līkņu klasifikācija, pamatojoties uz invariantiem

Apskatīsim tuvāk elipsi, hiperbolu un parabolu.

Elipse(8.1. att.) ir plaknes punktu ģeometriskais lokuss, kuram ir attālumu summa līdz diviem fiksētiem punktiem
šī lidmašīna, saukta elipses perēkļi, ir nemainīga vērtība (lielāka par attālumu starp fokusiem). Šajā gadījumā nav izslēgta elipses perēkļu sakritība. Ja perēkļi sakrīt, tad elipse ir aplis.

Pussumma attālumiem no elipses punkta līdz tā perēkļiem tiek apzīmēta ar A, puse attāluma starp fokusiem - Ar. Ja taisnstūra koordinātu sistēma plaknē ir izvēlēta tā, lai elipses perēkļi atrodas uz ass PARx simetriski ap izcelsmi, tad šajā koordinātu sistēmā elipse tiek dota ar vienādojumu

, (8.4.2)

sauca kanoniskais elipses vienādojums, Kur
.

Rīsi. 8.1

Ar norādīto taisnstūra koordinātu sistēmas izvēli elipse ir simetriska attiecībā pret koordinātu asīm un sākumpunktu. Elipses simetrijas asis tiek sauktas cirvji, un simetrijas centrs ir elipses centrs. Tajā pašā laikā elipses asis bieži sauc par skaitļiem 2 a un 2 b, un skaitļi a Un b – liels Un mazā ass attiecīgi.

Tiek saukti elipses krustošanās punkti ar tās asīm elipses virsotnes. Elipses virsotnēm ir koordinātes ( A, 0), (–A, 0), (0, b), (0, –b).

Elipses ekscentriskums izsauktais numurs

. (8.4.3)

Kopš 0  c < a, elipses ekscentriskums 0  < 1, причем у окружности  = 0. Перепишем равенство (8.4.3) в виде

.

Tas parāda, ka ekscentriskums raksturo elipses formu: jo tuvāk  ir nullei, jo vairāk elipse atgādina apli; palielinoties , elipse kļūst iegarena.

Ļaujiet
- patvaļīgs elipses punkts,
Un
- attālums no punkta M pirms trikiem F 1 un F 2 attiecīgi. Skaitļi r 1 un r 2 tiek saukti punkta fokusa rādiusi M elipse un tiek aprēķināti, izmantojot formulas

Direktores atšķiras no apļa elipse ar kanonisko vienādojumu (8.4.2.) tiek izsauktas divas taisnes

.

Elipses virzieni atrodas ārpus elipses (8.1. att.).

Fokālā rādiusa attiecība punktusMelipses līdz attālumam  no šīs elipses (fokuss un virziens tiek uzskatīti par atbilstošiem, ja tie atrodas vienā elipses centra pusē).

Hiperbola(8.2. att.) ir to punktu ģeometriskais lokuss plaknē, kuram attālumu starpības modulis līdz diviem fiksētiem punktiem Un šī lidmašīna, saukta hiperbolu triki, ir nemainīga vērtība (nav vienāda ar nulli un mazāka par attālumu starp fokusiem).

Ļaujiet attālumam starp fokusiem būt 2 Ar, un norādītais attāluma starpības modulis ir vienāds ar 2 A. Izvēlēsimies taisnstūra koordinātu sistēmu tāpat kā elipsei. Šajā koordinātu sistēmā hiperbolu nosaka vienādojums

, (8.4.4)

sauca kanoniskais hiperbolas vienādojums, Kur
.

Rīsi. 8.2

Izvēloties taisnstūra koordinātu sistēmu, koordinātu asis ir hiperbolas simetrijas asis, un izcelsme ir tās simetrijas centrs. Tiek sauktas hiperbolas simetrijas asis cirvji, un simetrijas centrs ir hiperbolas centrs. Taisnstūris ar malām 2 a un 2 b, kas atrodas, kā parādīts attēlā. 8.2, zvanīja hiperbolas pamata taisnstūris. 2. skaitļi a un 2 b ir hiperbolas asis un skaitļi a Un b- viņa asu vārpstas. Veidojas taisnas līnijas, kas ir galvenā taisnstūra diagonāļu turpinājumi hiperbolas asimptoti

.

Hiperbolas krustošanās punkti ar asi Vērsis tiek saukti hiperbolas virsotnes. Hiperbolas virsotnēm ir koordinātas ( A, 0), (–A, 0).

Hiperbolas ekscentriskums izsauktais numurs

. (8.4.5)

Jo Ar > a, hiperbolas ekscentriskums  > 1. Pārrakstīsim vienādību (8.4.5) formā

.

Tas parāda, ka ekscentriskums raksturo galvenā taisnstūra formu un līdz ar to arī pašas hiperbolas formu: jo mazāks , jo vairāk tiek pagarināts galvenais taisnstūris un pēc tam pati hiperbola pa asi. Vērsis.

Ļaujiet
- patvaļīgs hiperbolas punkts,
Un
- attālums no punkta M pirms trikiem F 1 un F 2 attiecīgi. Skaitļi r 1 un r 2 tiek saukti punkta fokusa rādiusi M hiperbolas un tiek aprēķināti, izmantojot formulas

Direktores hiperbolas ar kanonisko vienādojumu (8.4.4.) tiek izsauktas divas taisnes

.

Hiperbolas virzieni krusto galveno taisnstūri un iet starp hiperbolas centru un atbilstošo virsotni (8.2. att.).

PAR fokusa rādiusa attiecība punktusM hiperbolas uz attālumu no šī punkta uz to, kas atbilst fokusam Directrix ir vienāds ar ekscentriskumu šīs hiperbolas (fokuss un virziens tiek uzskatīti par atbilstošiem, ja tie atrodas vienā un tajā pašā hiperbolas centra pusē).

Parabola(8.3. att.) ir plaknes punktu ģeometriskais lokuss, kuram attālums līdz kādam fiksētam punktam F (parabolas fokuss) no šīs plaknes ir vienāds ar attālumu līdz kādai fiksētai taisnei ( parabolas virzieni), kas atrodas arī aplūkojamajā plaknē.

Izvēlēsimies sākumu PAR taisnstūra koordinātu sistēma segmenta vidū [ FD], kas ir nefokusēts perpendikuls F uz virziena (tiek pieņemts, ka fokuss nepieder virzienam), un asīm Vērsis Un Oy Novirzīsim to, kā parādīts attēlā. 8.3. Lai segmenta garums [ FD] ir vienāds lpp. Pēc tam izvēlētajā koordinātu sistēmā
Un kanoniskais parabolas vienādojums izskatās

. (8.4.6)

Lielums lpp sauca parabolas parametrs.

Parabolai ir simetrijas ass, ko sauc parabolas ass. Tiek saukts parabolas un tās asi krustošanās punkts parabolas virsotne. Ja parabolu uzrāda ar tās kanonisko vienādojumu (8.4.6.), tad parabolas ass ir ass Vērsis. Acīmredzot parabolas virsotne ir izcelsme.

1. piemērs. Punkts A= (2, –1) pieder elipsei, punkts F= (1, 0) ir tā fokuss, atbilstošais F virzienu dod vienādojums
. Uzrakstiet šīs elipses vienādojumu.

Risinājums. Mēs uzskatīsim, ka koordinātu sistēma ir taisnstūrveida. Tad attālums no punkta A pie direktores
saskaņā ar attiecību (8.1.8.), kurā


, vienāds

.

Attālums no punkta A lai koncentrētos F vienāds

,

kas ļauj noteikt elipses ekscentriskumu

.

Ļaujiet M = (x, y) ir patvaļīgs elipses punkts. Tad attālums
no punkta M pie direktores
saskaņā ar formulu (8.1.8.) vienāds

un attālums no punkta M lai koncentrētos F vienāds

.

Tā kā jebkuram elipses punktam attiecības ir nemainīgs lielums, kas vienāds ar elipses ekscentriskumu, tāpēc mums ir

,

2. piemērs. Līkni dod vienādojums

taisnstūra koordinātu sistēmā. Atrodiet šīs līknes kanonisko koordinātu sistēmu un kanonisko vienādojumu. Nosakiet līknes veidu.

Risinājums. Kvadrātiskā forma
ir matrica

.

Tam raksturīgais polinoms

ir saknes  1 = 4 un  2 = 9. Tāpēc matricas īpašvektoru ortonormālajā bāzē A aplūkotajai kvadrātveida formai ir kanoniskā forma

.

Turpināsim konstruēt mainīgo ortogonālās transformācijas matricu, apskatot kvadrātisko formu uz norādīto kanonisko formu. Lai to izdarītu, mēs izveidosim fundamentālas risinājumu sistēmas viendabīgām vienādojumu sistēmām
un tos ortonormalizēt.

Plkst
izskatās šī sistēma

Tās vispārējais risinājums ir
. Šeit ir viens brīvs mainīgais. Tāpēc pamata risinājumu sistēma sastāv no viena vektora, piemēram, vektora
. Normalizējot to, mēs iegūstam vektoru

.

Plkst
konstruēsim arī vektoru

.

Vektori Un jau ir ortogonāli, jo tie attiecas uz dažādām simetriskās matricas īpatnējām vērtībām A. Tie veido noteiktas kvadrātiskās formas kanonisko ortonormālo pamatu. Nepieciešamā ortogonālā matrica (rotācijas matrica) tiek konstruēta no to koordinātu kolonnām

.

Pārbaudīsim, vai matrica ir atrasta pareizi R saskaņā ar formulu
, Kur
– kvadrātiskās formas matrica bāzē
:

Matrica R atrasts pareizi.

Pārveidosim mainīgos

un uzrakstiet šīs līknes vienādojumu jaunā taisnstūra koordinātu sistēmā ar vecajiem centra un virziena vektoriem
:

Kur
.

Mēs ieguvām elipses kanonisko vienādojumu

.

Sakarā ar to, ka iegūto taisnstūra koordinātu transformāciju nosaka formulas

,

,

kanoniskā koordinātu sistēma
ir sākums
un virziena vektori
.

3. piemērs. Izmantojot invariantu teoriju, nosakiet veidu un izveidojiet līknes kanonisko vienādojumu

Risinājums. Jo

,

saskaņā ar tabulu. 8.1 secinām, ka tā ir hiperbola.

Tā kā s = 0, matricas raksturīgais polinoms ir kvadrātveida

Tās saknes
Un
ļauj mums uzrakstīt līknes kanonisko vienādojumu

Kur AR tiek atrasts no stāvokļa

,

.

Nepieciešamais kanoniskais līknes vienādojums

.

Šīs sadaļas uzdevumos koordinātasx, ytiek pieņemts, ka tie ir taisnstūrveida.

8.4.1. Elipsēm
Un
atrast:

a) asu vārpstas;

b) triki;

c) ekscentriskums;

d) virziena vienādojumi.

8.4.2. Uzrakstiet elipses vienādojumus, zinot tās fokusu
, kas atbilst direktorei x= 8 un ekscentriskums . Atrodiet elipses otro fokusu un otro virzienu.

8.4.3. Uzrakstiet vienādojumu elipsei, kuras fokusiem ir koordinātas (1, 0) un (0, 1) un kuras galvenā ass ir divas.

8.4.4. Dota hiperbola
. Atrast:

a) asu vārpstas a Un b;

b) triki;

c) ekscentriskums;

d) asimptotu vienādojumi;

e) virziena vienādojumi.

8.4.5. Dota hiperbola
. Atrast:

a) asu vārpstas A Un b;

b) triki;

c) ekscentriskums;

d) asimptotu vienādojumi;

e) virziena vienādojumi.

8.4.6. Punkts
pieder pie hiperbolas, kuras fokuss
, un atbilstošais virziens tiek dots ar vienādojumu
. Uzrakstiet šīs hiperbolas vienādojumu.

8.4.7. Uzrakstiet parabolas vienādojumu, ņemot vērā tās fokusu
un direktore
.

8.4.8. Dota parabolas virsotne
un virziena vienādojums
. Uzrakstiet šīs parabolas vienādojumu.

8.4.9. Uzrakstiet vienādojumu parabolai, kuras fokuss ir

un virzienu nosaka vienādojums
.

8.4.10. Uzrakstiet līknes otrās kārtas vienādojumu, zinot tās ekscentriskumu
, fokuss
un atbilstošā direktore
.

8.4.11. Nosakiet otrās kārtas līknes veidu, izveidojiet tā kanonisko vienādojumu un atrodiet kanonisko koordinātu sistēmu:

G)
;

8.4.12.

ir elipse. Atrodiet šīs elipses pusasu garumus un ekscentriskumu, centra un fokusa koordinātas, izveidojiet vienādojumus asīm un virzieniem.

8.4.13. Pierādīt, ka vienādojuma dotā otrās kārtas līkne

ir hiperbola. Atrodiet šīs hiperbolas pusasu garumus un ekscentriskumu, centra un fokusa koordinātas, izveidojiet vienādojumus asīm, virzieniem un asimptotiem.

8.4.14. Pierādīt, ka vienādojuma dotā otrās kārtas līkne

,

ir parabola. Atrodiet šīs parabolas parametru, virsotņu koordinātas un fokusējiet, uzrakstiet ass un virziena vienādojumus.

8.4.15. Reducējiet katru no šiem vienādojumiem līdz kanoniskajai formai. Uzzīmējiet zīmējumā atbilstošo otrās kārtas līkni attiecībā pret sākotnējo taisnstūra koordinātu sistēmu:

8.4.16. Izmantojot invariantu teoriju, nosakiet veidu un izveidojiet līknes kanonisko vienādojumu.