1
/
5
Normaliojo skirstinio svarba daugelyje mokslo sričių (pavyzdžiui, matematinės statistikos ir statistinės fizikos) išplaukia iš centrinės tikimybių teorijos ribinės teoremos. Jei stebėjimo rezultatas yra daugelio atsitiktinių, silpnai tarpusavyje susijusių dydžių, kurių kiekvienas įneša nedidelį indėlį į bendrą sumą, suma, tada didėjant terminų skaičiui, centruoto ir normalizuoto rezultato pasiskirstymas paprastai būna normalus. Šis tikimybių teorijos dėsnis lemia plačiai paplitusį normaliojo skirstinio pasiskirstymą, o tai buvo viena iš jo pavadinimo priežasčių.
Savybės
Akimirkos
Jei atsitiktiniai dydžiai X 1 (\displaystyle X_(1)) Ir X 2 (\displaystyle X_(2)) yra nepriklausomi ir turi normalųjį pasiskirstymą su matematiniais lūkesčiais μ 1 (\displaystyle \mu _(1)) Ir μ 2 (\displaystyle \mu _(2)) ir dispersijos σ 1 2 (\displaystyle \sigma _(1)^(2)) Ir σ 2 2 (\displaystyle \sigma _(2)^(2)) atitinkamai tada X 1 + X 2 (\displaystyle X_(1)+X_(2)) taip pat turi normalųjį skirstinį su matematiniais lūkesčiais μ 1 + μ 2 (\displaystyle \mu _(1)+\mu _(2)) ir dispersija σ 1 2 + σ 2 2 . (\displaystyle \sigma _(1)^(2)+\sigma _(2)^(2). Iš to išplaukia, kad normalus atsitiktinis dydis gali būti pavaizduotas kaip savavališko skaičiaus nepriklausomų normalių atsitiktinių dydžių suma.
Maksimali entropija
Normalusis skirstinys turi didžiausią diferencinę entropiją tarp visų nuolatinių skirstinių, kurių dispersija neviršija tam tikros vertės.
Normalių pseudoatsitiktinių kintamųjų modeliavimas
Paprasčiausi apytiksliai modeliavimo metodai yra pagrįsti centrine ribine teorema. Būtent, jei pridėsite kelis nepriklausomus identiškai paskirstytus dydžius su baigtine dispersija, tada suma bus paskirstyta maždaug gerai. Pavyzdžiui, jei standartiškai pridedate 100 nepriklausomų tolygiai paskirstytų atsitiktinių dydžių, tada sumos skirstinys bus apytikslis normalus.
Norint programiškai generuoti normaliai paskirstytus pseudoatsitiktinius kintamuosius, geriau naudoti Box-Muller transformaciją. Tai leidžia jums sukurti vieną normaliai paskirstytą vertę, pagrįstą viena tolygiai paskirstyta verte.
Normalus pasiskirstymas gamtoje ir panaudojimas
Normalus pasiskirstymas dažnai randamas gamtoje. Pavyzdžiui, šie atsitiktiniai dydžiai yra gerai modeliuojami normaliuoju skirstiniu:
- nuokrypis šaudant.
- matavimo paklaidos (tačiau kai kurių matavimo priemonių paklaidos neturi normaliųjų skirstinių).
- kai kurios populiacijos gyvų organizmų savybės.
Šis skirstinys yra toks plačiai paplitęs, nes tai yra be galo dalomas ištisinis skirstinys su baigtine dispersija. Todėl kai kurie kiti priartėja prie jo ribose, pavyzdžiui, dvinario ir Puasono. Šis skirstinys modeliuoja daugybę nedeterministinių fizinių procesų.
Ryšys su kitais paskirstymais
- Normalus skirstinys yra Pearsono XI tipo skirstinys.
- Nepriklausomų standartinių normaliai paskirstytų atsitiktinių dydžių poros santykis turi Koši skirstinį. Tai yra, jei atsitiktinis kintamasis X (\displaystyle X) reprezentuoja santykį X = Y / Z (\displaystyle X = Y/Z)(Kur Y (\displaystyle Y) Ir Z (\displaystyle Z)- nepriklausomi standartiniai normalūs atsitiktiniai dydžiai), tada jis turės Koši skirstinį.
- Jeigu z 1 , … , z k (\displaystyle z_(1),\ldots ,z_(k))- bendrai nepriklausomi standartiniai normalieji atsitiktiniai dydžiai, ty z i ∼ N (0 , 1) (\displaystyle z_(i)\sim N\left(0,1\right)), tada atsitiktinis dydis x = z 1 2 + … + z k 2 (\displaystyle x=z_(1)^(2)+\ldots +z_(k)^(2)) turi chi kvadrato skirstinį su k laisvės laipsniais.
- Jei atsitiktinis dydis X (\displaystyle X) yra lognormaliojo skirstinio, tada jo natūralusis logaritmas turi normalųjį skirstinį. Tai yra, jei X ∼ L o g N (μ , σ 2) (\displaystyle X\sim \mathrm (LogN) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right)), Tai Y = ln (X) ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y=\ln \left(X\right)\sim \mathrm (N) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right )). Ir atvirkščiai, jei Y ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y\sim \mathrm (N) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right)), Tai X = exp (Y) ∼ L o g N (μ , σ 2) (\displaystyle X=\exp \left(Y\right)\sim \mathrm (LogN) \left(\mu ,\sigma ^(2) \teisingai)).
- Dviejų standartinių normaliųjų atsitiktinių dydžių kvadratų santykis turi
Normalus pasiskirstymo dėsnis (dažnai vadinamas Gauso dėsniu) vaidina nepaprastai svarbų vaidmenį tikimybių teorijoje ir užima ypatingą vietą tarp kitų pasiskirstymo dėsnių. Tai dažniausiai praktikoje sutinkamas platinimo įstatymas. Pagrindinis bruožas, išskiriantis įprastą dėsnį nuo kitų įstatymų, yra tai, kad tai yra ribojantis dėsnis, prie kurio labai įprastomis tipinėmis sąlygomis priartėja kiti skirstymo dėsniai.
Galima įrodyti, kad pakankamai didelio skaičiaus nepriklausomų (arba silpnai priklausomų) atsitiktinių dydžių suma, kuriai galioja bet kokie pasiskirstymo dėsniai (taikant kai kuriuos labai laisvus apribojimus), apytiksliai paklūsta normaliajam dėsniui, ir tai yra teisinga tiksliau, didesnis atsitiktinių dydžių, kurie sumuojami, skaičius. Daugumą praktikoje sutinkamų atsitiktinių dydžių, tokių kaip, pavyzdžiui, matavimo paklaidos, fotografavimo klaidos ir kt., galima pavaizduoti kaip labai daug santykinai mažų terminų – elementarių paklaidų, kurių kiekvieną sukelia atskira priežastis, nepriklausoma nuo kitų. Kad ir kokie skirstymo dėsniai būtų pavaldūs atskiroms elementarioms paklaidoms, šių skirstinių ypatybės daugelio narių sumoje išlyginamos, ir paaiškėja, kad sumai galioja artimas normaliai dėsnis. Pagrindinis sumuojamų klaidų apribojimas yra tas, kad visos jos vienodai vaidina santykinai nedidelį vaidmenį sumoje. Jei ši sąlyga neįvykdyta ir, pavyzdžiui, viena iš atsitiktinių paklaidų pasirodys stipriai dominuojanti savo įtakoje sumai prieš visas kitas, tada šios vyraujančios klaidos pasiskirstymo dėsnis darys savo įtaką sumai ir nustatys jos įtaką. pagrindiniai paskirstymo įstatymo bruožai.
Teoremos, nustatančios normalųjį dėsnį kaip nepriklausomų vienodai mažų atsitiktinių narių sumos ribą, bus išsamiau aptartos 13 skyriuje.
Normalaus skirstinio dėsnis apibūdinamas formos tikimybių tankiu:
Normalaus pasiskirstymo kreivė turi simetrišką kalvos formą (6.1.1 pav.). Didžiausia kreivės ordinatė, lygi , atitinka tašką ; Kai tolstate nuo taško, pasiskirstymo tankis mažėja, o kreivė asimptotiškai artėja prie abscisės.
Išsiaiškinkime skaitinių parametrų, įtrauktų į normaliojo dėsnio (6.1.1) išraišką, reikšmę; Įrodykime, kad reikšmė yra ne kas kita, kaip matematinis lūkestis, o reikšmė yra standartinis vertės nuokrypis. Norėdami tai padaryti, apskaičiuojame pagrindines skaitines kiekio charakteristikas - matematinį lūkestį ir sklaidą.
Naudojant kintamąjį keitimą
Nesunku patikrinti, ar pirmasis iš dviejų (6.1.2) formulės intervalų yra lygus nuliui; antrasis yra garsusis Eulerio-Puasono integralas:
. (6.1.3)
Vadinasi,
tie. parametras parodo matematinį vertės lūkestį. Šis parametras, ypač fotografuojant, dažnai vadinamas sklaidos centru (sutrumpintai kaip c.r.).
Apskaičiuokime kiekio dispersiją:
.
Dar kartą pritaikome kintamojo pakeitimą
Integruodami dalimis gauname:
Pirmasis narys garbanotuose skliaustuose yra lygus nuliui (nes at mažėja greičiau nei bet kokia galia didėja), antrasis narys pagal (6.1.3) formulę yra lygus , iš kur
Vadinasi, parametras formulėje (6.1.1) yra ne kas kita, kaip standartinis vertės nuokrypis.
Išsiaiškinkime parametrų reikšmę ir normalųjį skirstinį. Iš (6.1.1) formulės iš karto aišku, kad skirstinio simetrijos centras yra dispersijos centras. Tai aišku iš to, kad pakeitus skirtumo ženklą, išraiška (6.1.1) nekinta. Jei pakeisite dispersijos centrą, pasiskirstymo kreivė pasislinks išilgai abscisių ašies, nekeičiant jos formos (6.1.2 pav.). Dispersijos centras apibūdina pasiskirstymo padėtį abscisių ašyje.
Sklaidos centro matmuo yra toks pat, kaip ir atsitiktinio dydžio.
Parametras apibūdina ne vietą, o pačią pasiskirstymo kreivės formą. Tai yra dispersijos savybė. Didžiausia pasiskirstymo kreivės ordinatė yra atvirkščiai proporcinga; jums didėjant, maksimali ordinatė mažėja. Kadangi pasiskirstymo kreivės plotas visada turi išlikti lygus vienybei, didėjant pasiskirstymo kreivė tampa plokštesnė, besitęsianti išilgai x ašies; priešingai, mažėjant, pasiskirstymo kreivė driekiasi aukštyn, kartu susispaudžia iš šonų ir tampa adatiškesnė. Pav. 6.1.3 rodo tris normalias kreives (I, II, III) ties ; iš jų I kreivė atitinka didžiausią, o III kreivė – mažiausią reikšmę. Parametrų keitimas prilygsta pasiskirstymo kreivės skalės keitimui – mastelio didinimas išilgai vienos ašies ir toks pat mažėjimas išilgai kitos.
Atsitiktinių dydžių, paskirstytų pagal įprastą dėsnį, pavyzdžiai yra žmogaus ūgis ir sugautų tos pačios rūšies žuvų masė. Normalus pasiskirstymas reiškia štai ką
: yra žmogaus ūgio, tos pačios rūšies žuvų masės vertės, kurios intuityviai suvokiamos kaip „normalios“ (ir iš tikrųjų – suvidurkintos), o pakankamai didelėje imtyje jos randamos daug dažniau nei tos, kurios skiriasi aukštyn arba žemyn.
Įprastą ištisinio atsitiktinio dydžio (kartais Gauso skirstinio) tikimybių pasiskirstymą galima pavadinti varpo pavidalu dėl to, kad šio skirstinio tankio funkcija, simetriška vidurkiui, yra labai panaši į varpo pjūvį (raudona kreivė). aukščiau esančiame paveikslėlyje).
Tikimybė, kad imtyje susidurs su tam tikromis reikšmėmis, yra lygi figūros plotui po kreive, o esant normaliam pasiskirstymui matome, kad po „varpelio“ viršumi, kuris atitinka reikšmes. linkęs į vidurkį, plotas, taigi ir tikimybė, yra didesnė nei po kraštais. Taigi gauname tą patį, kas jau buvo pasakyta: tikimybė sutikti „normalaus“ ūgio žmogų ir sugauti „normalaus“ svorio žuvį yra didesnė nei vertėms, kurios skiriasi aukštyn ar žemyn. Daugeliu praktinių atvejų matavimo paklaidos pasiskirsto pagal dėsnį, artimą normaliam.
Dar kartą pažiūrėkime į pamokos pradžioje esantį paveikslą, kuriame parodyta normaliojo skirstinio tankio funkcija. Šios funkcijos grafikas gautas apskaičiavus tam tikrą duomenų pavyzdį programiniame pakete STATISTIKA. Ant jo histogramos stulpeliai vaizduoja imties reikšmių intervalus, kurių pasiskirstymas yra artimas (arba, kaip įprasta statistikoje, labai nesiskiria nuo) tikrojo normalaus pasiskirstymo tankio funkcijos grafiko, kuris yra raudona kreivė. . Grafikas rodo, kad ši kreivė iš tiesų yra varpo formos.
Normalusis skirstinys yra vertingas daugeliu atžvilgių, nes žinant tik numatomą nuolatinio atsitiktinio kintamojo vertę ir jo standartinį nuokrypį, galite apskaičiuoti bet kokią tikimybę, susijusią su tuo kintamuoju.
Normalus paskirstymas taip pat turi pranašumą, nes yra vienas iš lengviausiai naudojamų. statistiniai testai, naudojami statistinėms hipotezėms tikrinti – Stjudento t testas- gali būti naudojamas tik tuo atveju, jei imties duomenys atitinka normalaus skirstinio dėsnį.
Ištisinio atsitiktinio dydžio normaliojo skirstinio tankio funkcija galima rasti naudojant formulę:
,
Kur x- kintančio dydžio vertė, - vidutinė vertė, - standartinis nuokrypis, e=2,71828... - natūraliojo logaritmo pagrindas, =3,1416...
Normaliojo pasiskirstymo tankio funkcijos savybės
Vidurkio pokyčiai perkelia normalaus tankio funkcijos kreivę link ašies Jautis. Jei jis didėja, kreivė juda į dešinę, jei mažėja, tada į kairę.
Pasikeitus standartiniam nuokrypiui, pasikeičia kreivės viršaus aukštis. Kai standartinis nuokrypis didėja, kreivės viršus yra aukščiau, o kai mažėja – žemesnis.
Tikimybė, kad normaliai pasiskirstęs atsitiktinis dydis patenka į tam tikrą intervalą
Jau šioje pastraipoje pradėsime spręsti praktines problemas, kurių prasmė nurodyta pavadinime. Pažiūrėkime, kokias galimybes teorija suteikia problemoms spręsti. Pradinė sąvoka skaičiuojant tikimybę, kad normaliai paskirstytas atsitiktinis dydis patenka į tam tikrą intervalą, yra normaliojo skirstinio kaupiamoji funkcija.
Kaupiamoji normalaus pasiskirstymo funkcija:
.
Tačiau sunku gauti lenteles kiekvienam įmanomam vidurkio ir standartinio nuokrypio deriniui. Todėl vienas iš paprastų būdų, kaip apskaičiuoti tikimybę, kad normaliai paskirstytas atsitiktinis dydis pateks į tam tikrą intervalą, yra standartizuoto normaliojo skirstinio tikimybių lentelių naudojimas.
Normalus skirstinys vadinamas standartizuotu arba normalizuotu., kurio vidurkis yra , o standartinis nuokrypis yra .
Standartizuota normalaus pasiskirstymo tankio funkcija:
.
Standartizuoto normaliojo skirstinio kumuliacinė funkcija:
.
Žemiau esančiame paveikslėlyje parodyta standartizuoto normaliojo skirstinio integrali funkcija, kurios grafikas gautas apskaičiavus tam tikrą duomenų pavyzdį programiniame pakete STATISTIKA. Pats grafikas yra raudona kreivė, o imties reikšmės artėja prie jos.
Norėdami padidinti paveikslėlį, galite spustelėti jį kairiuoju pelės mygtuku.
Atsitiktinio dydžio standartizavimas reiškia perėjimą nuo pradinių užduotyje naudojamų vienetų prie standartizuotų vienetų. Standartizavimas atliekamas pagal formulę
Praktiškai visos galimos atsitiktinio dydžio reikšmės dažnai nežinomos, todėl vidurkio ir standartinio nuokrypio reikšmės negali būti tiksliai nustatytos. Jie pakeičiami stebėjimų aritmetiniu vidurkiu ir standartiniu nuokrypiu s. Didumas z išreiškia atsitiktinio dydžio reikšmių nuokrypius nuo aritmetinio vidurkio matuojant standartinius nuokrypius.
Atviras intervalas
Standartizuoto normaliojo skirstinio tikimybių lentelėje, kurią galima rasti beveik bet kurioje statistikos knygoje, yra tikimybė, kad atsitiktinis kintamasis turi standartinį normalųjį pasiskirstymą. Z bus mažesnė už tam tikrą skaičių z. Tai yra, jis pateks į atvirą intervalą nuo minus begalybės iki z. Pavyzdžiui, tikimybė, kad kiekis Z mažesnis nei 1,5, lygus 0,93319.
1 pavyzdys.Įmonė gamina dalis, kurių tarnavimo laikas paprastai pasiskirsto 1000 valandų vidurkiu ir 200 valandų standartiniu nuokrypiu.
Atsitiktinai parinktai detalei apskaičiuokite tikimybę, kad jos tarnavimo laikas bus mažiausiai 900 valandų.
Sprendimas. Pristatykime pirmąjį užrašą:
Norima tikimybė.
Atsitiktinių dydžių reikšmės yra atvirame intervale. Bet mes žinome, kaip apskaičiuoti tikimybę, kad atsitiktinis dydis įgis mažesnę reikšmę nei duotoji, ir pagal uždavinio sąlygas turime rasti tokią, kuri būtų lygi arba didesnė už duotąją. Tai yra kita erdvės dalis po normalaus tankio kreive (varpeliu). Todėl norint rasti norimą tikimybę, iš vienybės reikia atimti minėtą tikimybę, kad atsitiktinis dydis įgis mažesnę nei nurodyta 900 reikšmę:
Dabar atsitiktinis dydis turi būti standartizuotas.
Mes ir toliau pristatome užrašą:
z = (X ≤ 900)
;
x= 900 - nurodyta atsitiktinio dydžio reikšmė;
μ
= 1000 - vidutinė vertė;
σ
= 200 – standartinis nuokrypis.
Naudodami šiuos duomenis gauname problemos sąlygas:
.
Pagal standartizuotų atsitiktinių dydžių lenteles (intervalo ribą) z= –0,5 atitinka tikimybę 0,30854. Atimkite jį iš vienybės ir gaukite tai, ko reikia problemos teiginyje:
Taigi tikimybė, kad detalės tarnavimo laikas bus bent 900 valandų, yra 69%.
Šią tikimybę galima gauti naudojant MS Excel funkciją NORM.DIST (integralinė reikšmė – 1):
P(X≥900) = 1 - P(X≤900) = 1 - NORM..SKIRSTYMAS(900; 1000; 200; 1) = 1 - 0,3085 = 0,6915.
Apie skaičiavimus MS Excel - vienoje iš tolesnių šios pamokos pastraipų.
2 pavyzdys. Tam tikrame mieste vidutinės metinės šeimos pajamos yra normaliai pasiskirstęs atsitiktinis dydis, kurio vidurkis yra 300 000, o standartinis nuokrypis yra 50 000. Yra žinoma, kad 40% šeimų pajamos yra mažesnės nei A. Raskite vertę A.
Sprendimas. Šioje užduotyje 40% yra ne kas kita, kaip tikimybė, kad atsitiktinis kintamasis paims reikšmę iš atviro intervalo, kuris yra mažesnis už tam tikrą reikšmę, pažymėtą raide A.
Norėdami rasti vertę A, pirmiausia sudarome integralią funkciją:
Pagal problemos sąlygas
μ
= 300000 - vidutinė vertė;
σ
= 50000 - standartinis nuokrypis;
x = A- kiekis, kurį reikia rasti.
Lygybės sudarymas
.
Iš statistinių lentelių matome, kad tikimybė 0,40 atitinka intervalo ribos reikšmę z = −0,25
.
Todėl mes kuriame lygybę
ir rasti sprendimą:
A = 287300
.
Atsakymas: 40% šeimų pajamos mažesnės nei 287 300.
Uždaras intervalas
Daugelyje problemų reikia rasti tikimybę, kad normaliai paskirstytas atsitiktinis kintamasis įgis reikšmę intervale nuo z 1 iki z 2. Tai yra, jis pateks į uždarą intervalą. Norint išspręsti tokias problemas, lentelėje reikia rasti tikimybes, atitinkančias intervalo ribas, o tada rasti skirtumą tarp šių tikimybių. Tam reikia atimti mažesnę vertę iš didesnės. Toliau pateikiami šių bendrų problemų sprendimų pavyzdžiai. Jūsų prašoma jas išspręsti patiems, o tada pamatysite teisingus sprendimus ir atsakymus.
3 pavyzdys.Įmonės pelnas per tam tikrą laikotarpį yra atsitiktinis dydis, kuriam taikomas normalaus paskirstymo įstatymas, kurio vidutinė vertė yra 0,5 mln. o standartinis nuokrypis 0,354. Dviejų skaitmenų po kablelio tikslumu nustatykite tikimybę, kad įmonės pelnas bus nuo 0,4 iki 0,6 c.u.
4 pavyzdys. Pagamintos detalės ilgis yra atsitiktinis dydis, paskirstytas pagal normalųjį dėsnį su parametrais μ
=10 ir σ
=0,071. Raskite defektų tikimybę dviejų skaitmenų po kablelio tikslumu, jei leistinieji detalės matmenys turi būti 10±0,05.
Užuomina: šioje užduotyje, be tikimybės, kad atsitiktinis dydis pateks į uždarą intervalą (tikimybė gauti nedefektinę dalį), reikia atlikti dar vieną veiksmą.
leidžia nustatyti tikimybę, kad standartizuota vertė Z ne mažiau -z ir ne daugiau +z, Kur z- savavališkai parinkta standartizuoto atsitiktinio dydžio reikšmė.
Apytikslis skirstinio normalumo tikrinimo metodas
Apytikslis mėginių reikšmių pasiskirstymo normalumo tikrinimo metodas yra pagrįstas taip normaliojo pasiskirstymo savybė: kreivumo koeficientas β
1
ir kurtozės koeficientas β
2
yra lygūs nuliui.
Asimetrijos koeficientas β
1
skaitiniu būdu apibūdina empirinio skirstinio simetriją vidurkio atžvilgiu. Jei kreivumo koeficientas lygus nuliui, tai aritmetrinis vidurkis, mediana ir moda yra lygūs: ir pasiskirstymo tankio kreivė yra simetriška vidurkio atžvilgiu. Jei asimetrijos koeficientas mažesnis už nulį (β
1
< 0
), tada aritmetinis vidurkis yra mažesnis už medianą, o mediana, savo ruožtu, yra mažesnė už režimą () ir kreivė pasislenka į dešinę (palyginti su normaliu pasiskirstymu). Jei asimetrijos koeficientas didesnis už nulį (β
1
> 0
), tada aritmetinis vidurkis yra didesnis nei mediana, o mediana, savo ruožtu, yra didesnė už režimą () ir kreivė pasislenka į kairę (palyginti su normaliu pasiskirstymu).
Kurtozės koeficientas β
2
apibūdina empirinio skirstinio koncentraciją aplink aritmetinį vidurkį ašies kryptimi Oy ir pasiskirstymo tankio kreivės smailės laipsnį. Jei kurtozės koeficientas yra didesnis už nulį, tada kreivė yra pailgesnė (palyginti su normaliu pasiskirstymu) išilgai ašies Oy(grafikas yra labiau smailus). Jei kurtozės koeficientas yra mažesnis už nulį, tada kreivė yra labiau išlyginta (palyginti su normaliu pasiskirstymu) išilgai ašies Oy(grafikas bukas).
Asimetrijos koeficientą galima apskaičiuoti naudojant MS Excel SKOS funkciją. Jei tikrinate vieną duomenų masyvą, tada viename langelyje „Skaičius“ turite įvesti duomenų diapazoną.
Kurtozės koeficientą galima apskaičiuoti naudojant MS Excel KURTESS funkciją. Tikrinant vieną duomenų masyvą, taip pat pakanka įvesti duomenų diapazoną viename langelyje „Skaičius“.
Taigi, kaip jau žinome, esant normaliam pasiskirstymui, pasvirimo ir kurtozės koeficientai yra lygūs nuliui. O kas, jei gautume pasvirumo koeficientus -0,14, 0,22, 0,43 ir kurtozės koeficientus 0,17, -0,31, 0,55? Klausimas yra gana teisingas, nes praktikoje kalbame tik apie apytiksles, pavyzdines asimetrijos ir kurtozės vertes, kurios yra neišvengiamos, nekontroliuojamos sklaidos. Todėl negalima reikalauti, kad šie koeficientai būtų griežtai lygūs nuliui. Bet ką reiškia pakankamai?
Gautas empirines vertes reikia palyginti su priimtinomis vertėmis. Norėdami tai padaryti, turite patikrinti šias nelygybes (palyginkite modulio koeficientų reikšmes su kritinėmis reikšmėmis - hipotezės tikrinimo srities ribomis).
Dėl asimetrijos koeficiento β
1
.
) vaidina ypač svarbų vaidmenį tikimybių teorijoje ir dažniausiai naudojamas sprendžiant praktines problemas. Pagrindinis jo bruožas yra tai, kad tai yra ribojantis dėsnis, prie kurio labai įprastomis tipinėmis sąlygomis priartėja kiti platinimo dėsniai. Pavyzdžiui, pakankamai didelio skaičiaus nepriklausomų (arba silpnai priklausomų) atsitiktinių dydžių suma apytiksliai paklūsta normaliajam dėsniui, ir tai tiesa, kuo tiksliau, kuo daugiau atsitiktinių dydžių sumuojama.
Eksperimentiškai įrodyta, kad matavimo paklaidoms, pastato konstrukcijų elementų geometrinių matmenų ir padėties nuokrypiams juos gaminant ir montuojant, medžiagų fizikinių ir mechaninių charakteristikų kintamumui bei apkrovoms, veikiančioms pastato konstrukcijas, galioja įprastas dėsnis.
Beveik visi atsitiktiniai dydžiai yra priklausomi nuo Gauso skirstinio, kurio nukrypimą nuo vidutinių verčių lemia daugybė atsitiktinių veiksnių, kurių kiekvienas yra atskirai nereikšmingas. (centrinės ribos teorema).
Normalus skirstinys vadinamas atsitiktinio tolydžio dydžio skirstiniu, kurio tikimybių tankis turi formą (18.1 pav.).
Ryžiai. 18.1. Normalus paskirstymo įstatymas 1< a 2 .
kur a ir yra pasiskirstymo parametrai.
Atsitiktinio dydžio, paskirstyto pagal normalųjį dėsnį, tikimybinės charakteristikos yra lygios:
Matematinis lūkestis (18,2)
Nuokrypis (18,3)
Standartinis nuokrypis (18,4)
Asimetrijos koeficientas A = 0(18.5)
Perteklius E= 0. (18.6)
Parametras σ, įtrauktas į Gauso skirstinį, yra lygus atsitiktinio dydžio vidutiniam kvadratiniam santykiui. Didumas A nustato paskirstymo centro padėtį (žr. 18.1 pav.), ir reikšmę A— paskirstymo plotis (18.2 pav.), t.y. statistinis pasiskirstymas aplink vidutinę vertę.
Ryžiai. 18.2. Normaliojo pasiskirstymo dėsnis esant σ 1< σ 2 < σ 3
Tikimybę pakliūti į tam tikrą intervalą (nuo x 1 iki x 2) normaliam pasiskirstymui, kaip ir visais atvejais, lemia tikimybės tankio integralas (18.1), kuris neišreiškiamas elementariomis funkcijomis ir yra pavaizduotas kaip speciali funkcija, vadinama Laplaso funkcija (tikimybinis integralas).
Vienas iš tikimybių integralo atvaizdų:
Didumas Ir paskambino kvantilis
Galima pastebėti, kad Ф(х) yra nelyginė funkcija, ty Ф(-х) = -Ф(х) .
Šios funkcijos reikšmės apskaičiuojamos ir pateikiamos lentelių pavidalu techninėje ir mokomojoje literatūroje.
Normaliojo dėsnio pasiskirstymo funkcija (18.3 pav.) gali būti išreikšta tikimybių integralu:
Ryžiai. 18.2. Normalaus pasiskirstymo funkcija.
Tikimybė, kad atsitiktinis dydis, paskirstytas pagal normalųjį dėsnį, pateks į intervalą nuo X. iki x, nustatoma pagal išraišką:
Reikėtų pažymėti, kad
Ф(0) = 0; Ф(∞) = 0,5; Ф(-∞) = -0,5.
Sprendžiant praktines problemas, susijusias su skirstiniu, dažnai reikia atsižvelgti į tikimybę patekti į intervalą, kuris yra simetriškas matematinio lūkesčio atžvilgiu, jei šio intervalo ilgis, t.y. jei pats intervalas turi ribą nuo iki , turime:
Sprendžiant praktines problemas, atsitiktinių dydžių nuokrypių ribos išreiškiamos per standartą, standartinį nuokrypį, padaugintą iš tam tikro koeficiento, kuris lemia atsitiktinio dydžio nuokrypių srities ribas.
Paėmę ir taip pat naudodami formulę (18.10) ir lentelę Ф(х) (priedas Nr. 1), gauname
Šios formulės rodo kad jeigu atsitiktinis dydis turi normalųjį skirstinį, tai tikimybė, kad jis nukryps nuo jo vidutinės reikšmės ne daugiau kaip σ, yra 68,27%, ne daugiau kaip 2σ yra 95,45% ir ne daugiau kaip 3σ - 99,73%.
Kadangi 0,9973 reikšmė yra artima vienetui, laikoma, kad normaliam atsitiktinio dydžio skirstiniui nukrypti nuo matematinio lūkesčio daugiau nei 3σ praktiškai neįmanoma. Ši taisyklė, galiojanti tik normaliajam pasiskirstymui, vadinama trijų sigmų taisykle. Tikėtinas jo pažeidimas P = 1 – 0,9973 = 0,0027. Ši taisyklė naudojama nustatant gaminių ir konstrukcijų geometrinių charakteristikų leistinų nuokrypių ribas.
Atsitiktinai, jei eksperimento rezultatas su tam tikromis tikimybėmis gali įgyti realias vertes. Išsamiausia, visapusiškiausia atsitiktinio dydžio charakteristika yra pasiskirstymo dėsnis. Pasiskirstymo dėsnis – tai funkcija (lentelė, grafikas, formulė), leidžianti nustatyti tikimybę, kad atsitiktinis kintamasis X įgaus tam tikrą reikšmę xi arba pateks į tam tikrą intervalą. Jei atsitiktinis dydis turi duotą pasiskirstymo dėsnį, tada sakoma, kad jis yra paskirstytas pagal šį dėsnį arba paklūsta šiam pasiskirstymo dėsniui.
kas paskirstymo įstatymas yra funkcija, visiškai apibūdinanti atsitiktinį kintamąjį tikimybiniu požiūriu. Praktikoje apie atsitiktinio dydžio X tikimybių pasiskirstymą dažnai tenka spręsti tik iš testo rezultatų.
Normalus skirstinys
Normalus skirstinys, dar vadinamas Gauso skirstiniu, yra tikimybių skirstinys, kuris vaidina svarbų vaidmenį daugelyje žinių sričių, ypač fizikoje. Fizinis dydis atitinka normalųjį pasiskirstymą, kai jį veikia daugybė atsitiktinių triukšmų. Akivaizdu, kad tokia situacija yra itin dažna, todėl galime teigti, kad iš visų skirstinių normalusis skirstinys yra labiausiai paplitęs gamtoje – taigi ir vienas iš jo pavadinimų.
Normalus skirstinys priklauso nuo dviejų parametrų – poslinkio ir mastelio, tai yra matematiniu požiūriu tai ne vienas skirstinys, o visa jų šeima. Parametrų reikšmės atitinka vidurkio (matematinio lūkesčio) ir sklaidos (standartinis nuokrypis) reikšmes.
Standartinis normalusis skirstinys yra normalusis skirstinys, kurio matematinė prognozė yra 0 ir standartinis nuokrypis 1.
Asimetrijos koeficientas
Pasvirumo koeficientas yra teigiamas, jei skirstinio dešinė uodega ilgesnė už kairę, o kitaip – neigiama.
Jei skirstinys yra simetriškas matematinio lūkesčio atžvilgiu, tai jo asimetrijos koeficientas lygus nuliui.
Mėginio iškrypimo koeficientas naudojamas simetrijos pasiskirstymui patikrinti, taip pat apytikriam preliminariam normalumo bandymui. Tai leidžia atmesti, bet neleidžia priimti normalumo hipotezės.
Kurtozės koeficientas
Kurtozės koeficientas (pikumo koeficientas) yra atsitiktinio dydžio pasiskirstymo smailės ryškumo matas.
„Minus trys“ formulės pabaigoje įvedamas taip, kad normaliojo skirstinio kurtozės koeficientas būtų lygus nuliui. Teigiama, jei pasiskirstymo aplink matematinius lūkesčius smailė yra aštri, ir neigiama, jei smailė yra lygi.
Atsitiktinio dydžio momentai
Atsitiktinio dydžio momentas yra skaitinė tam tikro atsitiktinio dydžio skirstinio charakteristika.
