병진 운동과 회전 운동을 고려하면 이들 사이의 유사성을 확립할 수 있습니다. 병진 운동의 운동학은 경로를 사용합니다. 에스, 속도  그리고 가속도 에이. 회전 운동에서 이들의 역할은 회전 각도 , 각속도  및 각가속도 ε에 의해 수행됩니다. 병진 운동의 역학에서는 힘과 질량의 개념이 사용됩니다. 티그리고 추진력 회전운동에서 힘의 역할은 모멘트에 의해 이루어진다
힘, 질량의 역할 - 관성 모멘트 나 z와 운동량의 역할 - 각운동량 병진 운동의 공식을 알면 회전 운동의 공식을 쉽게 쓸 수 있습니다. 예를 들어, 등속 운동의 경우 이동 거리는 다음 공식으로 계산됩니다. 에스 =  티, 그리고 회전 회전 각도 - 공식에 따라  =  티. 뉴턴의 제2법칙
그리고
회전 운동의 역학의 기본 법칙은 다음과 같습니다.
그리고
병진 운동 동안 신체의 운동량은 다음과 같습니다.
회전 운동 중에 각운동량은 다음과 같습니다.
이 비유는 더 계속될 수 있습니다.

병진 운동 중 힘의 작용. 힘

일정한 힘의 작용하에 몸체(재료점)를 두십시오. , 이동 방향과 일정한 각도 를 만들어 일부 기준 시스템에서 직선으로 이동하고 경로를 통과합니다. 엘. 그런 다음 학교 물리학 과정에서 알려진 바와 같이 작업은 에이이 힘은 다음 공식으로 구됩니다.

에이= 플로리다· 왜냐하면  = 에프 엘 엘, (1)

이제 물체가 가변적인 힘의 영향을 받아 곡선 경로를 따라 병진 이동할 때 일을 계산하는 일반적인 경우를 고려해 보겠습니다. 가는 중 엘초등학교 섹션을 선택하세요 DL, 그 안에서 힘이 고려될 수 있다 각도 는 상수 값이고 단면 자체는 직선입니다. 그럼 일해 다이 섹션에서는 공식 (1)을 사용하여 찾습니다. 다 = 에프· DL· 왜냐하면. 직업 에이전체 경로를 따라 작업의 합계와 같습니다 다, 즉.

(2)

상 엘통합이란 전체 경로를 따라 통합이 수행됨을 의미합니다. 엘.

벡터의 스칼라 곱을 사용하면 식 (2)는 다른 형태로 주어질 수 있습니다. 그런 다음 적분 다다음과 같은 형식으로 작성됩니다. 다 = 에프· DL· cos=
어디 는 기본 변위의 벡터이고,

(3)

공식 (1)에서 일은 대수적 양이라는 것이 분명합니다. 작품의 부호는 각도 에 따라 달라집니다. 각도 가 예각이면 cos  > 0이고 일은 양수이지만 각도 가 둔각이면 일은 음수입니다.

SI 작업 단위는 줄(J)입니다. 이는 cos  = 1 J로 가정되는 공식 (1)에서 도입됩니다. 힘의 방향과 변위의 방향이 일치할 때 1m의 경로에 1N의 힘이 한 일.

작업 속도를 특성화하기 위해 단위 시간당 수행되는 작업과 동일한 전력 개념이 도입됩니다. 초등학교 시절이라면 dt기본적인 작업이 완료되었습니다 다, 그러면 힘 아르 자형같음

(4)

SI 단위에서 전력은 와트(W)로 측정됩니다. (4)에서 다음과 같이 1W = 1J/1s, 즉 1W- 이는 1J의 일이 1초 동안 수행되는 힘입니다.

회전 운동 중 힘의 작용

가변적인 힘이 작용하는 강체를 생각해 보세요. 축을 중심으로 회전 지어떤 각도에서. 이 힘은 토크를 생성합니다. 중 z, 몸을 회전시킵니다. 힘은 힘의 적용 지점이 움직이는 원에 접선 방향으로 향합니다. 따라서 각도 = 0입니다. 이를 고려하여 기계적 작업 공식((2) 참조)과 유사하게 회전 운동 중 작업을 계산하는 표현식을 찾습니다.

(5)

힘의 접선 성분 방향이 회전 방향과 일치하면 일은 양수이고, 반대 방향이면 음수입니다.

강의개요

관성 모멘트.

힘의 순간. 회전 운동의 역학에 대한 기본 방정식.

충동의 순간. 각운동량 보존의 법칙.

회전 운동 중 일과 운동 에너지.

1. 관성 모멘트.

회전 운동을 고려할 때 관성 모멘트, 힘 모멘트, 충격 모멘트 등 새로운 물리적 개념을 도입할 필요가 있습니다.

관성 모멘트는 신체가 회전 운동하는 동안 신체의 관성을 측정한 것입니다.

관성 모멘트고정 회전축에 대한 재료 점의 질량과 고려 중인 회전축까지의 거리의 제곱을 곱한 것과 같습니다(그림 1).

회전축에 대한 재료 점의 질량과 위치에만 의존하며 회전 자체의 존재 여부에는 의존하지 않습니다.

관성 모멘트는 스칼라 및 추가 수량이므로 몸체의 관성 모멘트는 모든 점의 관성 모멘트의 합과 같습니다.

.

연속적인 질량 분포의 경우 이 합은 적분으로 줄어듭니다.

,

작은 몸의 질량은 어디에 있습니까?
, - 신체 밀도, - 요소로부터의 거리
회전축에.

관성 모멘트는 회전 운동 중 질량과 유사합니다. 몸체의 관성 모멘트가 클수록 회전하는 몸체의 각속도를 변경하는 것이 더 어려워집니다. 관성 모멘트는 회전축의 특정 위치에만 의미가 있습니다. 단순히 "관성 모멘트"에 대해 이야기하는 것은 의미가 없습니다. 상황에 따라 다릅니다.

1) 회전축 위치에서;

2) 회전축에 대한 체질량 분포, 즉 신체의 모양과 크기에 따라.

이에 대한 실험적 증거는 롤링 실린더를 사용한 실험입니다.

일부 균질한 물체를 적분하면 다음 공식을 얻을 수 있습니다(회전축이 물체의 질량 중심을 통과함).

후프(벽 두께는 무시함) 또는 속이 빈 원통의 관성 모멘트:

반경 R의 디스크 또는 솔리드 원통의 관성 모멘트:

.

공의 관성 모멘트

막대의 관성 모멘트

이자형 질량 중심을 통과하는 축에 대한 관성 모멘트가 물체에 대해 알려진 경우 첫 번째 축에 평행한 축에 대한 관성 모멘트는 다음 식에 따라 구됩니다. 슈타이너의 정리: 임의의 축에 대한 신체의 관성 모멘트는 주어진 축에 평행하고 신체의 질량 중심을 통과하는 축에 대한 관성 모멘트 J 0과 동일하며 체중의 곱에 추가됩니다. 축 사이의 거리의 제곱입니다.

어디 디질량 중심으로부터의 거리 에 대한회전축에 연결합니다(그림 2).

질량 중심- 주어진 몸체의 질량 분포를 특징 짓는 위치의 가상 지점. 물체의 질량 중심은 동일한 질량의 물질 점이 주어진 물체에 작용하는 모든 외부 힘의 영향을 받아 움직이는 것과 같은 방식으로 움직입니다.

관성 모멘트의 개념은 18세기 중반 국내 과학자 오일러(L. Euler)에 의해 역학에 도입된 이후 강체 동역학의 많은 문제를 해결하는 데 널리 사용되었습니다. 실제로 다양한 회전 부품 및 시스템(플라이휠, 터빈, 전기 모터 로터, 자이로스코프)을 계산할 때 관성 모멘트 값을 알아야 합니다. 관성 모멘트는 신체(선박, 비행기, 발사체 등)의 운동 방정식에 포함됩니다. 외부 교란(돌풍 등)의 영향을 받아 질량 중심 주위의 항공기 회전 운동 매개변수를 알고 싶을 때 결정됩니다.

인체의 움직임(걷기, 뛰기, 뛰기 등)과 같은 복잡한 움직임을 관찰할 때 모든 지점의 움직임을 설명하는 것은 어렵거나 심지어 불가능해 보입니다. 그러나 이러한 움직임을 분석하면 병진 및 회전 운동과 같은 더 간단한 움직임으로 구성되어 있음을 알 수 있습니다.

병진 운동의 메커니즘은 독자들에게 알려져 있으므로 이 섹션은 회전 운동에 대한 고려로 시작됩니다. 가장 간단한 것은 고정된 축을 중심으로 강체를 회전시키는 것입니다. 이 사례를 통해 회전 운동의 세부 사항, 용어 및 법칙에 익숙해질 수 있습니다.

5.1. 고정된 축을 중심으로 하는 완전 강체의 회전 운동의 운동학

절대 강체는 두 점 사이의 거리가 일정한 몸체입니다.

절대 강체의 크기와 모양은 움직일 때 변하지 않습니다.

"완전히 강체"라는 개념은 물리적인 추상화입니다. 모든 신체는 변형이 가능하기 때문입니다. 그러나 많은 경우 변형은 무시될 수 있습니다.

절대 강체의 회전 운동의 가장 간단한 경우는 고정된 축을 중심으로 한 회전입니다. 이것은 신체의 여러 지점이 원을 그리며 움직이는 운동이며, 그 중심은 회전축이라고 불리는 직선 위에 있습니다.

어떤 경우에는 신체의 움직임을 특성화하기 위해 모든 지점의 움직임을 나타낼 필요가 없는 것으로 알려져 있습니다. 예를 들어 병진 운동에서는 신체의 어느 한 지점의 움직임을 나타내는 것만으로도 충분합니다.

축을 중심으로 회전하는 동안 몸체의 점은 서로 다른 궤적을 따라 이동하지만 동시에 모든 점과 몸체 자체는 동일한 각도로 회전합니다. 회전특성의 경우

특정 점에 대한 반경 벡터를 축에 수직인 평면에 그립니다. 나(그림 5.1). 일부 선택된 방향 OX에 대한 반경 벡터의 회전 각도 α의 시간 의존성은 고정 축을 중심으로 한 강체의 회전 운동 방정식입니다.

몸체의 회전 속도는 시간에 대한 반경 벡터의 회전 각도의 1차 미분과 동일한 각속도를 특징으로 합니다.

각속도는 회전축을 따라 향하는 벡터이며 오른쪽 나사의 법칙에 따라 회전 방향과 관련됩니다(그림 5.2). 각속도 벡터는 속도 및 힘 벡터와 달리 슬라이딩됩니다. 특정 적용 지점이 없으며 회전축의 어느 곳에나 위치할 수 있습니다. 따라서 벡터 Ω를 지정하면 회전축의 위치, 회전 방향 및 각속도의 크기를 나타냅니다.

각속도의 변화율은 시간에 따른 각속도의 1차 미분과 동일한 각가속도를 특징으로 합니다.

또는 벡터 형식으로:

(5.4)에서 각가속도 벡터는 각속도 벡터 dΩ의 기본적이고 다소 작은 변화와 방향이 일치한다는 것이 분명합니다. 가속 회전의 경우 각가속도는 각속도와 동일한 방향으로 향하고 느린 회전에서는 반대 방향으로 향합니다.

절대 강체의 모든 점의 각도 변위는 동일하므로 (5.2)와 (5.3)에 따르면 동시에 몸체의 모든 점은 동일한 각속도와 동일한 각가속도를 갖습니다. 선형 특성(변위, 속도, 가속도)은 지점마다 다릅니다. 반경의 원에서 움직이는 i번째 점에 대한 선형 특성과 각도 특성 사이의 관계를 독립적으로 유도할 수 있는 관계를 스칼라 형식으로 나타냅니다. 나는:

쌀. 5.3

결론적으로, 우리는 해당 표현식을 통합하여 얻은 고정 축 주위의 강체 회전 운동의 운동학에 대한 공식을 제시합니다.

등속 회전 운동 방정식[cm. (5.2)]:

등속 회전 운동에서 시간에 대한 각속도의 의존성[cm. (5.3)]:

균일하게 교번하는 회전 운동 방정식[cm. (5.1) 및 (5.6)]:

이러한 공식을 병진 운동에 대한 유사한 종속성과 비교하는 것이 유용합니다.

5.2. 기본 개념. 회전 운동의 역학에 대한 방정식

힘의 순간_

어느 시점까지 보자 나강체에 가해지는 힘 에^,회전축에 수직인 평면에 놓여 있습니다(그림 5.4).

회전축에 대한 힘의 순간은 점 i의 반경 벡터와 힘의 벡터 곱입니다.

확장하면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

어디 β - 벡터 사이의 각도 나는그리고 F 나는 .어깨부터 힘차게 나는 = 나는 sinβ(그림 5.4 참조)

힘이 회전 평면에 대해 특정 각도 α로 작용하면(그림 5.5) 두 가지 구성 요소로 분해될 수 있습니다. 그 중 하나는 회전축에 수직인 평면에 있고 다른 하나는 이 축과 평행하며 몸체의 회전에 영향을 미치지 않습니다(실제 경우 베어링에만 작용합니다). 또한, 회전축에 수직인 평면에 작용하는 힘만 고려됩니다.

쌀. 5.4

쌀. 5.5

회전 운동으로 작업

무력의 작용을 받자 나는(그림 5.4 참조) 몸체는 충분히 작은 각도 dα로 회전합니다. 이 힘이 한 일을 찾아보자.

이 경우 고등학교에서 알려진 무력 행사에 대한 표현은 다음과 같이 작성되어야 합니다.

그래서,

회전 운동에서 기본 힘의 일은 힘의 순간과 신체의 기본 회전 각도의 곱과 같습니다.

여러 힘이 물체에 작용하는 경우 모든 힘이 수행하는 기본 일은 (5.12)과 유사하게 결정됩니다.

어디 중- 신체에 작용하는 모든 외부 힘의 총 순간.

몸체가 회전할 때 반경 벡터의 위치가 α 1에서 α 2로 변경되면 식(5.13)을 통합하여 외부 힘의 작업을 찾을 수 있습니다.

관성 모멘트

병진 운동 중 물체의 관성의 척도는 질량입니다. 회전 운동 중 몸체의 관성은 질량뿐만 아니라 축을 기준으로 한 공간 분포에 따라 달라집니다. 회전하는 동안 몸체의 관성 측정은 회전축에 대한 몸체의 관성 모멘트를 특징으로 합니다. 먼저 그 점을 지적하자.

회전축에 대한 재료 점의 관성 모멘트는 점의 질량과 축으로부터의 거리의 제곱을 곱한 값과 같습니다.

축에 대한 몸체의 관성 모멘트는 몸체를 구성하는 모든 재료 점의 관성 모멘트의 합입니다.

예를 들어, 우리는 공식을 유도합니다 얇고 균질한 막대의 관성 모멘트길이 엘그리고 질량 티막대에 수직이고 중앙을 통과하는 축을 기준으로 합니다(그림 5.6). 길이가 있는 막대의 충분히 작은 부분을 선택합시다. dx그리고 질량 디엠,축 00"에서 거리만큼 떨어져 있음 엑스.이 영역이 작기 때문에 중요한 점, 관성 모멘트로 간주할 수 있습니다 [참조. (5.15)]는 다음과 같습니다:

기본 단면의 질량은 선형 밀도의 곱과 같습니다 t/l,기본 섹션의 길이를 곱합니다. DM= (m/l) dx 이 식을 (5.18)에 대입하면 다음을 얻습니다.

막대 전체의 관성 모멘트를 찾기 위해 막대 전체에 대한 식(5.19)을 통합합니다. 즉, -1/2 ~ +1/2 범위:

다양한 대칭 질량체의 관성 모멘트에 대한 표현을 제시해 보겠습니다. 티:

중공 균질 실린더(후프) 내부 반경 있음 아르 자형그리고 외부 아르 자형원통의 기하학적 축과 일치하는 축 OO"를 기준으로 합니다(그림 5.7).

연속적인 균질 실린더(r = 0) 또는 디스크 [참조 (5.21)]:

균질한 공 중심을 통과하는 축을 기준으로:

직육면체 베이스 평면에 수직인 중심을 통과하는 축 OO"를 기준으로 합니다(그림 5.8).

위의 모든 예에서 회전축은 신체의 질량 중심을 통과합니다. 질량 중심을 통과하지 않는 축에 대한 몸체의 관성 모멘트를 결정하기 위해 문제를 풀 때 호이겐스의 정리를 사용할 수 있습니다. 이 정리에 따르면 일부 축 OO"에 대한 신체의 관성 모멘트는 다음과 같습니다.

여기서 J 0는 몸체 OO"의 질량 중심을 통과하는 평행축에 대한 관성 모멘트입니다. 티- 체중; 디- 두 평행 축 사이의 거리(그림 5.9) 관성모멘트의 단위는 킬로그램 미터 제곱(kg-m2).

기세

충동의 순간(각운동량)특정 축을 중심으로 회전하는 물질 점을 회전축으로부터의 거리에 있는 점의 운동량의 곱과 동일한 값이라고 합니다.

특정 축을 중심으로 회전하는 물체의 각운동량은 물체를 구성하는 점의 각운동량의 합과 같습니다.

강체의 모든 점의 각속도는 동일하므로 합의 부호에서 Ω를 빼십시오 [참조. (5.29)], 우리는 다음을 얻습니다:

(/ - 축에 대한 몸체의 관성 모멘트) 또는 벡터 형식:

따라서 각운동량은 점의 관성 모멘트와 각속도의 곱과 같습니다. 각운동량과 각속도 벡터의 방향이 일치합니다. 각운동량의 단위는 킬로그램-미터 제곱/초(kg? m2? s -1).

병진 운동의 운동량에 대한 유사한 공식과 공식(5.31)을 비교하는 것이 유용합니다.

회전체의 운동에너지

신체가 회전할 때 운동 에너지는 신체의 개별 지점의 운동 에너지로 구성됩니다. 고체의 경우:

식(5.32)을 병진 운동에 대한 유사한 식과 비교하는 것이 유용합니다.

(5.32)를 미분하면 회전 운동에서 운동 에너지의 기본 변화를 얻습니다.

회전 운동의 역학에 대한 기본 방정식

외력에 의해 작용한 강체를 충분히 작은 각도 da로 회전시키십시오. 그러한 회전 동안 모든 외부 힘의 기본 작업을 동일시합시다 [참조. (5.13)] 운동 에너지의 기본 변화에 [참조. (5.33)]: 중 dα =JΩ dΩ , 여기서:

이것이다 기초적인회전 운동의 역학 방정식.(5.35)에서 관성 모멘트는 회전 운동에서 몸체의 관성 특성을 특징으로 한다는 것이 분명합니다. 외부 힘의 작용 하에서 몸체의 각가속도는 더 크고 몸체의 관성 모멘트는 더 작습니다.

회전 운동의 기본 방정식은 병진 운동에 대한 뉴턴의 제2법칙과 동일한 역할을 합니다. 이 방정식에 포함된 물리량은 각각 힘, 질량, 가속도와 유사합니다.

에서 (5.34) 다음과 같습니다.

시간에 대한 물체의 각운동량의 미분은 모든 외부 힘의 합력 모멘트와 같습니다.

힘의 순간과 관성 모멘트에 대한 각가속도의 의존성은 다음과 같이 증명할 수 있습니다.

그림에 표시된 장치의 전원을 사용합니다. 5.10. 부하가 걸린 상태 1, 블록 위에 던져진 실에 매달린 십자가는 빠르게 회전합니다. 가중치 이동 2 회전축으로부터 다른 거리에서 가로대의 관성 모멘트를 변경할 수 있습니다. 부하 변경, 즉 힘의 모멘트와 관성 모멘트를 통해 힘의 모멘트가 증가하거나 관성 모멘트가 감소함에 따라 각가속도가 증가하는 것을 확인할 수 있습니다.

5.3. 운동량 보존의 법칙

외부 힘의 총 모멘트가 0인 회전 운동의 특별한 경우를 고려해 보겠습니다. (5.37)에서 볼 수 있듯이, dL/dt= 0 남 = 0, 어디서부터

이 조항은 다음과 같이 알려져 있습니다. 각운동량 보존의 법칙: 물체에 작용하는 모든 외부 힘의 총 모멘트가 0이면 이 물체의 각운동량은 일정하게 유지됩니다.

증명을 생략하면 각운동량 보존 법칙은 절대적으로 강체에만 적용되는 것이 아니라는 점에 주목합니다.

이 법칙의 가장 흥미로운 적용은 공통 축을 중심으로 신체 시스템의 회전과 관련됩니다. 이 경우 각운동량과 각속도의 벡터 특성을 고려할 필요가 있습니다. 따라서 다음으로 구성된 시스템의 경우 N공통 축을 중심으로 회전하는 몸체의 경우 각운동량 보존 법칙은 다음 형식으로 작성될 수 있습니다.

이 법칙을 설명하는 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

초기 단계에서 재주 넘기(그림 5.11)를 수행하는 체조 선수는 무릎을 구부려 가슴에 대고 이를 통해 관성 모멘트를 줄이고 질량 중심을 통과하는 수평 축 주위의 회전 각속도를 증가시킵니다. 점프가 끝나면 몸이 곧게 펴지고 관성 모멘트가 증가하며 각속도가 감소합니다. 회전 시작 시 수직축(그림 5.12)을 중심으로 회전하는 스케이터는 손을 몸에 더 가까이 가져가 관성 모멘트를 줄이고 각속도를 높입니다. 회전이 끝나면 반대 과정이 발생합니다. 팔을 움직일 때 관성 모멘트가 증가하고 각속도가 감소하여 정지하기 쉽습니다.

수직 축을 중심으로 낮은 마찰로 회전하는 경량 수평 플랫폼인 Zhukovsky 벤치에서도 동일한 현상이 입증될 수 있습니다. 손의 위치가 변하고 관성 모멘트와 각속도가 변하면(그림 5.13) 각운동량은 일정하게 유지됩니다. 시연 효과를 높이기 위해 사람의 손에 덤벨이 있습니다. Zhukovsky 벤치에서는 각운동량 보존 법칙의 벡터 특성을 보여줄 수 있습니다.

고정된 벤치에 서 있는 실험자는 보조자로부터 수직 축을 중심으로 회전하는 자전거 바퀴를 받습니다(그림 5.14, 왼쪽). 이 경우 사람과 플랫폼-바퀴 시스템의 각운동량은 바퀴의 각운동량에 의해서만 결정됩니다.

여기서 Jh는 사람과 플랫폼의 관성 모멘트입니다. J K 및 Ω κ - 바퀴의 관성 모멘트 및 각속도. 수직축에 대한 외력의 순간은 0이므로 엘보존됩니다(L = const).

실험자가 바퀴의 회전축을 180° 회전시키면(그림 5.14, 오른쪽) 바퀴의 각운동량은 원본과 반대 방향으로 J K Ω K와 같습니다. 바퀴의 각운동량 벡터는 변하고 시스템의 각운동량은 보존되므로 사람과 플랫폼의 각운동량은 필연적으로 변해야 하며 더 이상 0 1 과 같지 않습니다. 이 경우 시스템의 각운동량

1 바퀴 축과 플랫폼 회전 축 사이의 약간의 불일치는 무시할 수 있습니다.

공식 (5.42)을 사용하면 플랫폼과 함께 인체의 관성 모멘트를 대략적으로 추정할 수 있으며, 이를 위해서는 Ω κ, Ω 4를 측정하고 J k를 찾아야 합니다.

균일한 회전의 각속도를 측정하는 방법은 독자에게 알려져 있습니다. 바퀴의 질량을 알고 질량이 주로 림을 따라 분포한다고 가정하면 공식 (5.22)을 사용하여 J k를 결정할 수 있습니다.

오류를 줄이려면 자전거 바퀴에 특수 타이어를 장착하여 바퀴의 테두리를 더 무겁게 만들 수 있습니다. 사람은 회전축에 대칭으로 위치해야 합니다.

고려된 시연의 더 간단한 버전은 Zhukovsky 벤치에 서있는 사람이 직접 바퀴를 회전시켜 수직 축에 고정시키는 것입니다. 이 경우 사람과 플랫폼이 반대 방향으로 회전하기 시작합니다(그림 5.15).

5.4. 자유 회전축의 개념

고정 축을 중심으로 회전하는 몸체는 일반적으로 해당 축의 위치를 ​​일정하게 유지하는 베어링이나 기타 장치에 작용합니다. 높은 각속도와 관성 모멘트에서는 이러한 효과가 중요할 수 있습니다. 그러나 어떤 몸체에서든 특별한 장치 없이 회전하는 동안 방향이 유지되는 축을 선택할 수 있습니다. 이러한 축 선택이 어떤 조건을 충족해야 하는지 이해하려면 다음 예를 고려하십시오.

(5.43)을 질량 중심의 좌표와 비교하면 회전축이 질량 중심을 통과하면 축에 작용하는 힘이 균형을 이룬다는 것을 알 수 있습니다.

임의의 형상을 가진 물체는 항상 질량 중심을 통과하는 상호 수직인 축이 최소 3개 이상 있으며, 이는 자유 회전 축이 될 수 있습니다. 이 축을 관성의 주축이라고 합니다. 세 개의 주요 관성축은 모두 자유로우나 가장 안정적인 회전은 관성 모멘트가 가장 큰 축을 중심으로 회전하게 됩니다. 사실은 마찰과 같은 외부 힘의 불가피한 작용으로 인해 특정 축을 중심으로 회전을 정확하게 설정하기가 어렵기 때문에 나머지 자유 축을 중심으로 한 회전이 불안정하다는 것입니다.

어떤 경우에는 몸체가 작은 관성 모멘트로 자유 축을 중심으로 회전할 때 자체적으로 이 축을 가장 높은 모멘트를 갖는 축으로 변경합니다.

이 현상은 다음 실험으로 입증됩니다. 원통형 막대는 기하학적 축을 중심으로 회전할 수 있는 나사산에 의해 전기 모터에 매달려 있습니다(그림 5.17, a). 이 축에 대한 관성 모멘트 J 1 = mR 2 /2.충분히 높은 각속도에서 스틱의 위치가 변경됩니다(그림 5.17, b). 새 축에 대한 관성 모멘트는 다음과 같습니다. J 2 = ml 2/12. l 2 >6R 2이면 J 2 > J 1입니다. 새 축을 중심으로 한 회전은 안정적입니다.

독자는 던진 성냥갑의 회전이 큰 면에 수직인 축에 비해 안정적이고 다른 면에 수직인 축에 비해 불안정하거나 덜 안정적이라는 것을 경험을 통해 독립적으로 확인할 수 있습니다(그림 5.8 참조).

자유 비행 및 다양한 점프 중에 동물과 인간의 회전은 관성 모멘트가 가장 높거나 가장 낮은 자유 축을 중심으로 발생합니다. 질량 중심의 위치는 신체의 자세에 따라 달라지므로 자세에 따라 자유 축이 달라집니다.

5.5. 자유도의 개념

공간에서 자유 물질 점의 위치는 x, y, z의 세 가지 독립적인 좌표로 지정됩니다. 점이 자유롭지 않지만 예를 들어 일부 표면을 따라 움직이는 경우 세 좌표가 모두 독립적이지는 않습니다.

기계 시스템의 위치를 ​​특성화하는 독립 변수를 자유도라고 합니다.

자유 재료 점은 3개의 자유도를 가지며, 고려된 예에서는 2개의 자유도를 갖습니다. 단원자 기체의 분자는 물질점으로 간주될 수 있으므로 이러한 자유 분자도 3개의 자유도를 갖습니다.

몇 가지 예가 더 있습니다.

두 개의 재료 지점 1과 2가 서로 견고하게 연결되어 있습니다. 두 지점의 위치는 6개의 좌표로 지정됩니다. x1, y1, z1, x2, y2, z2,하나의 제약 조건과 하나의 연결이 적용되며 방정식의 형태로 수학적으로 표현됩니다.

물리적으로 이는 물질 지점 사이의 거리가 항상 엘.이 경우 자유도는 5입니다. 고려된 예는 이원자 분자 모델입니다.

세 개의 재료 지점 1, 2, 3이 서로 견고하게 연결되어 있습니다. 친구. 9개의 좌표는 이러한 시스템의 위치를 ​​특징짓습니다. x 1 , y 1 , z 1, x 2 , y 2 , z2, x 3와이 3 , 지 3 . 그러나 점 사이의 3개의 연결은 6개의 좌표의 독립성을 결정합니다. 시스템에는 6개의 자유도가 있습니다. 동일한 직선 위에 있지 않은 세 점의 위치가 강체의 위치를 ​​고유하게 결정하므로 강체는 6개의 자유도를 갖습니다.

3원자 분자와 다원자 분자는 단단한 구조로 간주되는 경우 동일한 자유도(6개)를 갖습니다.

1 (5.44)에서 종속 좌표에 대한 가상 값을 얻은 경우 이는 선택한 독립 좌표가 주어진 반경의 구에 위치한 어떤 점과도 일치하지 않음을 의미합니다.

실제 다원자 분자에서는 원자가 진동 운동을 하기 때문에 그러한 분자의 자유도는 6보다 큽니다.

자유도의 수는 기계 시스템의 위치를 ​​특징짓는 독립 변수의 수뿐만 아니라 매우 중요한 시스템의 독립적인 움직임의 수를 결정합니다. 따라서 자유 재료 점의 3 자유도는 점의 모든 움직임이 세 개의 좌표축을 따라 독립적인 움직임으로 분해될 수 있음을 의미합니다. 점에는 차원이 없으므로 회전에 관해 이야기하는 것은 의미가 없습니다. 따라서 물질점은 세 가지 병진 운동 자유도를 갖습니다. 평면, 구 또는 기타 표면의 재료 점은 병진 운동의 자유도가 2입니다. 곡선을 따라 물질 점의 이동(일반적인 예는 레일 위의 기차 이동)은 병진 운동의 자유도 1에 해당합니다.

고정된 축을 중심으로 회전하는 강체는 1개의 회전 운동 자유도를 갖습니다. 기차 바퀴에는 두 가지 자유도가 있습니다. 하나는 회전 운동이고 다른 하나는 병진 운동(레일을 따라 바퀴 축을 이동하는 것)입니다. 강체의 6자유도는 이 몸체의 모든 움직임이 구성요소로 분해될 수 있음을 의미합니다. 질량 중심의 움직임은 좌표축을 따른 세 가지 병진 움직임으로 분해되고 회전은 좌표축을 중심으로 한 세 가지 간단한 회전으로 구성됩니다. 질량 중심을 통과합니다.

그림에서. 5.18-5.20은 1, 2, 3 자유도에 해당하는 연결 조인트를 보여줍니다.

쌀. 5.18

쌀. 5.19

쌀. 5.20

5.6. 원심분리

원심분리는 회전으로 인해 이종 시스템(예: 입자가 위치한 액체로부터 입자)을 분리(분리)하는 프로세스입니다.

중력장에서 불균일한 시스템의 분리를 고려해 보겠습니다. 다양한 밀도의 입자로 구성된 수성 현탁액이 있다고 가정해 보겠습니다. 시간이 지남에 따라 중력과 부력의 작용으로 인해 FA입자 분리가 발생합니다. 물 싱크보다 밀도가 높은 입자, 물보다 밀도가 낮은 입자. 예를 들어, 밀도가 더 높은 개별 입자에 작용하는 합력은 다음과 같습니다.

어디 ρ 1 - 입자 물질 밀도; ρ - 물의 밀도; 다섯- 입자 부피.

ρ 1과 ρ의 값이 서로 거의 다르지 않으면 힘 Fp크기가 작고 분리(증착)가 매우 느리게 발생합니다. 원심분리기(분리기)에서는 분리된 매체를 회전시켜 강제로 분리를 수행합니다.

이 현상의 물리학을 고려해 봅시다.

원심분리기의 작업량(그림 5.21: a - 모양, b - 작업량 다이어그램)이 일부 균질한 액체로 완전히 채워지도록 합니다. 작은 볼륨을 정신적으로 선택하자 다섯이 액체는 멀리 떨어져 있다 아르 자형회전축 OO"에서. 원심분리기가 균일하게 회전하면 서로 균형을 이루는 중력과 부력 외에 선택한 부피에 구심력이 작용합니다. 이는 부피를 둘러싸고 있는 액체의 힘입니다. 자연스럽게 회전축을 향하며 다음과 같습니다.

어디 ρ는 액체의 밀도입니다.

이제 할당된 볼륨이 다섯물질 밀도가 ρ 1 (ρ 1 Φ ρ)인 분리된 입자입니다. 식(5.45)에서 볼 수 있듯이 주변 액체에서 입자에 작용하는 힘은 변하지 않습니다.

입자가 액체와 함께 회전하려면 다음과 같은 구심력이 작용해야 합니다.

어디 m 1는 입자의 질량이고 ρ 1은 해당 밀도입니다.

쌀. 5.21

만약에 에프> F1,그런 다음 입자는 회전축을 향해 이동합니다. 만약에 에프< F1,그러면 액체에서 입자에 미치는 영향은 원형 궤적을 유지하기에 충분하지 않으며 입자는 관성에 의해 주변으로 이동하기 시작합니다. 분리 효과는 과도한 힘에 의해 결정됩니다. 에프,원형 운동을 결정하는 구심력 F 1의 값 이상으로 선택된 입자의 액체 측면에서 작용합니다.

이 식은 원심분리의 효과가 클수록 분리된 입자와 액체의 밀도 차이가 커지고 회전 각속도 1에도 크게 의존함을 보여줍니다.

원심분리에 의한 분리와 중력을 이용한 분리를 비교해 보겠습니다.

1 중력과 부력은 회전축을 따라 향하고 원심분리에 근본적인 영향을 미치지 않기 때문에 공식(5.47)을 도출할 때 고려되지 않습니다.

초원심분리기는 액체에 부유하거나 용해된 100nm보다 작은 입자를 분리할 수 있습니다. 그들은 생물고분자, 바이러스 및 세포 이하 입자의 분리를 위한 생물의학 연구에서 폭넓은 응용을 발견했습니다.

시간이 지남에 따라 연구 대상의 상태가 크게 변할 수 있기 때문에 분리 속도는 생물학적 및 생물물리학 연구에서 특히 중요합니다.

기본 개념.

힘의 순간회전축을 기준으로 - 이것은 반경 벡터와 힘의 벡터 곱입니다.

(1.14)

힘의 순간은 벡터이다 , 방향은 몸체에 작용하는 힘의 방향에 따라 송곳(오른쪽 나사)의 법칙에 따라 결정됩니다. 힘의 순간은 회전축을 따라 전달되며 특정 적용 지점이 없습니다.

이 벡터의 수치는 다음 공식에 의해 결정됩니다.

M=r 에프 죄 (1.15),

여기서  - 반경 벡터와 힘의 방향 사이의 각도입니다.

만약에 =0 또는  , 힘의 순간 M=0, 즉. 회전축을 통과하거나 회전축과 일치하는 힘은 회전을 일으키지 않습니다.

힘이 특정 각도로 작용하면 가장 큰 모듈러스 토크가 생성됩니다.  =  /2(M 0) 또는  =3  /2(M 0).

레버리지 개념을 사용하여 디-이것은 회전 중심에서 힘의 작용선까지 낮아진 수직입니다.) 힘의 순간에 대한 공식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

, 어디
(1.16)

힘의 순간의 법칙(고정된 회전축을 갖는 물체의 평형 조건):

고정된 회전축을 가진 물체가 평형 상태에 있으려면 이 물체에 작용하는 힘 모멘트의 대수적 합이 0과 같아야 합니다.

 중 나 =0 (1.17)

힘의 순간의 SI 단위는 [Nm]입니다.

회전 운동 중에 물체의 관성은 질량뿐 아니라 회전축을 기준으로 한 공간 분포에 따라 달라집니다.

회전 중 관성은 회전축에 대한 신체의 관성 모멘트를 특징으로 합니다. J.

관성 모멘트회전축에 대한 재료 점의 값은 점의 질량과 회전축으로부터의 거리의 제곱을 곱한 값과 같습니다.

제이  =m   아르 자형  2 (1.18)

축에 대한 몸체의 관성 모멘트는 몸체를 구성하는 재료 점의 관성 모멘트의 합입니다.

J= 중   아르 자형  2 (1.19)

물체의 관성 모멘트는 물체의 질량과 모양, 그리고 회전축의 선택에 따라 달라집니다. 특정 축에 대한 신체의 관성 모멘트를 결정하기 위해 Steiner-Huygens 정리가 사용됩니다.

J=J 0 +m 디 2 (1.20),

어디 제이 0 – 몸체의 질량 중심을 통과하는 평행축에 대한 관성 모멘트, 디 – 두 평행 축 사이의 거리 . SI의 관성 모멘트는 [kgm 2 ] 단위로 측정됩니다.

인체의 회전 운동 중 관성 모멘트는 실험적으로 결정되고 실린더, 둥근 막대 또는 공에 대한 공식을 사용하여 대략적으로 계산됩니다.

질량 중심(인체의 질량 중심은 두 번째 천골 척추 약간 앞의 시상면에 위치함)을 통과하는 수직 회전축에 대한 사람의 관성 모멘트입니다. 사람의 위치는 다음과 같은 값을 갖습니다. 주의를 기울일 때 - 1.2 kg m 2; "아라베스크" 자세 ​​– 8 kgm 2; 수평 위치 - 17kg  m 2.

회전 운동으로 작업외부 힘의 영향으로 신체가 회전할 때 발생합니다.

회전 운동에서 기본 힘 작업은 힘의 순간과 신체의 기본 회전 각도의 곱과 같습니다.

다  =M   디 (1.21)

여러 힘이 몸체에 작용하는 경우 적용된 모든 힘의 결과에 대한 기본 작업은 다음 공식에 의해 결정됩니다.

dA=M 디 (1.22),

어디 중- 신체에 작용하는 모든 외부 힘의 총 순간.

회전체의 운동에너지여 에게몸체의 관성 모멘트와 회전 각속도에 따라 달라집니다.

(1.23)

각운동량(각운동량) – 신체의 운동량과 회전 반경의 곱과 수치적으로 동일한 양입니다.

L=p r=m 다섯 아르 자형 (1.24).

적절한 변환 후에 각운동량을 결정하는 공식을 다음 형식으로 작성할 수 있습니다.

(1.25).

기세 – 방향이 오른쪽 나사 규칙에 의해 결정되는 벡터입니다. 각운동량의 SI 단위는kgm 2 /s

회전 운동 역학의 기본 법칙.

회전 운동의 역학에 대한 기본 방정식:

회전 운동을 하는 물체의 각가속도는 모든 외부 힘의 총 모멘트에 정비례하고 물체의 관성 모멘트에 반비례합니다.

(1.26).

이 방정식은 뉴턴의 제2법칙이 병진 운동에 대해 설명하는 것과 마찬가지로 회전 운동을 설명하는 데에도 동일한 역할을 합니다. 방정식에서 외력의 작용 하에서 각가속도가 클수록 몸체의 관성 모멘트가 작아진다는 것이 분명합니다.

회전 운동의 역학에 대한 뉴턴의 제2법칙은 다른 형식으로 작성할 수 있습니다.

(1.27),

저것들. 시간에 대한 물체의 각운동량의 1차 미분은 주어진 물체에 작용하는 모든 외부 힘의 총 모멘트와 같습니다.

물체의 각운동량 보존 법칙:

물체에 작용하는 모든 외부 힘의 총 모멘트가 0인 경우, 즉

 중  =0 , 그 다음에 dL/dt=0 (1.28).

이것으로부터 다음과 같다
또는
(1.29).

이 진술은 신체의 각운동량 보존 법칙의 본질을 구성하며 다음과 같이 공식화됩니다.

회전하는 물체에 작용하는 외부 힘의 총 모멘트가 0이면 물체의 각운동량은 일정하게 유지됩니다.

이 법칙은 절대적으로 강체에만 적용되는 것이 아닙니다. 예를 들어 수직 축을 중심으로 회전하는 피겨 스케이터가 있습니다. 손을 누르면 스케이터는 관성 모멘트를 줄이고 각속도를 증가시킵니다. 회전 속도를 늦추기 위해 그는 반대로 팔을 넓게 벌립니다. 결과적으로 관성 모멘트가 증가하고 회전 각속도가 감소합니다.

결론적으로 우리는 병진 및 회전 운동의 역학을 특징짓는 주요 수량과 법칙에 대한 비교표를 제시합니다.

표 1.4.

강체 A(그림 1.19, a)가 고정된 축을 중심으로 회전할 수 있다고 가정해 보겠습니다. 몸체의 회전(각속도 변경)을 유발하려면 외부 영향이 필요합니다. 그러나 방향이 회전축을 통과하는 힘이나 회전축에 평행한 힘은 물체의 각속도를 변경할 수 없습니다.

따라서 몸체에 가해지는 외력으로부터 회전을 일으키지 않는 부품을 분리할 필요가 있다. 회전은 회전축에 수직인 평면에 놓여 있고 적용 지점에서 설명하는 원에 접선 방향으로 향하는 힘(회전력)에 의해서만 발생할 수 있습니다.

본체가 회전할 때 구성요소는 작업을 수행하지 않습니다. 왜냐하면 이러한 힘의 적용 지점이 해당 방향에 수직으로 이동하기 때문입니다. 작업은 회전력에 의해서만 수행됩니다. 이는 몸체에 작용하는 힘이 이 힘의 적용 지점의 이동 방향으로 투영되는 것입니다.

적용 지점이 반경 원을 따라 움직이는 경우 회전력에 의해 수행되는 작업량을 결정해 보겠습니다(그림 1.19, b). 힘의 크기는 일정하다고 가정하자. 그 다음에

회전력과 반경의 곱은 회전력의 모멘트 또는 주어진 몸체에 작용하는 토크이며 다음과 같이 표시됩니다. (어떤 축에 대한 주어진 힘의 모멘트는 이 힘의 곱입니다. 팔, 즉 지정된 수직선의 길이만큼

힘의 방향으로 축). 따라서 식 (2.8)에서

따라서 토크에 의해 수행된 일은 이 순간과 몸체의 회전 각도의 곱과 같습니다.

토크(힘 또는 힘)가 시간에 따라 변하는 경우 수행된 작업은 다음 합계로 결정됩니다.

회전력의 토크는 회전축과 일치하는 벡터로 표시됩니다. 이 벡터의 양의 방향은 이 순간에 회전된 오른쪽 나사가 움직이는 방향으로 선택됩니다.

몸체에 적용된 토크는 우리가 선택한 벡터의 방향에 따라 약간의 각가속도를 부여합니다. 벡터는 동일한 방향의 회전축을 따라 배향됩니다. 토크의 크기와 이에 의해 전달되는 각가속도의 크기 사이의 관계는 두 가지 방법으로 설정할 수 있습니다.

a) 추진력의 일은 이 힘이 적용되는 몸체의 운동 에너지 변화와 동일하다는 사실을 이용할 수 있습니다. 회전하는 몸체의 경우 공식 (2.9) 및 (2.4)에 따라 가지다

여기서는 회전 중에 몸체의 관성 모멘트가 변하지 않는다고 가정합니다. 이 방정식을 다음으로 나누고 줄이면 다음과 같습니다.

b) 회전력의 모멘트는 신체의 개별 구성 요소에 접선 가속도를 부여하는 힘의 모멘트의 합과 동일하며 해당 모멘트는 동일하다는 사실을 사용할 수 있습니다.

접선 가속도를 회전하는 몸체의 모든 입자에 대해 동일한 각가속도로 바꾸겠습니다(회전 중에 몸체가 변형되지 않는 경우).

공식 (2.12)은 고체(변형 불가능한) 몸체의 회전 운동 동역학의 기본 법칙을 표현합니다.

주어진 토크의 영향을 받아 몸체에 의해 획득된 각가속도는 이 순간의 크기에 정비례하고 회전축에 대한 몸체의 관성 모멘트에 반비례합니다.

벡터 형식으로 이 법칙은 다음과 같이 작성됩니다.

회전 중에 몸체가 변형되면 회전축에 대한 관성 모멘트가 변경됩니다. 많은 기본(점) 부분으로 구성된 회전체를 정신적으로 상상해 봅시다. 그러면 몸 전체의 변형은 신체의 이러한 부분에서 회전축까지의 거리가 변경됨을 의미합니다. 그러나 주어진 회전 각속도 co의 거리 변화는 이 입자의 선형 운동 속도의 변화, 즉 운동 에너지의 변화를 동반합니다. 따라서 신체의 일정한 회전 각속도에서 거리의 변화(따라서 신체의 관성 모멘트의 변화)는 전체 신체의 회전 운동 에너지의 변화를 동반합니다.

공식 (2.4)에서 변수를 가정하면 다음을 얻을 수 있습니다.

첫 번째 항은 (주어진 몸체의 관성 모멘트에서) 회전 각속도의 변화로 인해 발생하는 회전체의 운동 에너지 변화를 나타내고 두 번째 항은 운동 에너지의 변화를 나타냅니다. , 이는 (주어진 회전 각속도에서) 몸체의 관성 모멘트의 변화로 인해 발생했습니다.

그러나 점 몸체에서 회전축까지의 거리가 변경되면 이 몸체를 회전축과 연결하는 내부 힘이 작용합니다. 몸체가 멀어지면 음수이고 몸체가 회전축에 접근하면 양수입니다. 이 작업은 입자를 회전축에 연결하는 힘이 구심력과 수치적으로 동일하다고 가정하면 계산할 수 있습니다.

질량을 가진 많은 입자로 구성된 몸 전체에 대해 우리는 다음을 얻습니다.

일반적으로 외부 토크가 신체에 작용할 때 운동 에너지의 변화는 외부 토크와 내부 힘의 합과 동일해야 합니다. 가속 회전의 경우 값은 음수입니다.

기호(신체의 입자가 회전축에서 멀어지기 때문에); 그 다음에

여기에 식 (2.15)의 값을 대입하고 다음과 같이 바꾸면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

아니면 감량 후

이것은 고정된 축을 중심으로 회전하는 물체에 대한 기본 역학 법칙의 일반적인 형태입니다. 이는 변형하는 물체에도 적용됩니다. 공식 (2.16)이 공식 (2.14)로 변환되는 경우.

변형체의 경우 외부 토크가 없더라도 회전 각속도의 변화가 가능하다는 점에 유의하십시오. 실제로, 공식 (2.16)으로부터 우리는 다음을 얻습니다:

이 경우 회전 각속도는 내부 힘으로 인한 몸체 관성 모멘트의 변화로 인해 변경됩니다.