Տրամաբանական է անցնել խոսակցությանը գործողություններ հանրահաշվական կոտորակներով. Սահմանված հանրահաշվական կոտորակներով հետևյալ գործողություններըգումարում, հանում, բազմապատկում, բաժանում և բարձրացում բնական աստիճան. Ընդ որում, այս բոլոր գործողությունները փակ են, այն առումով, որ դրանց կատարման արդյունքում ստացվում է հանրահաշվական կոտորակ։ Դիտարկենք դրանցից յուրաքանչյուրը ըստ հերթականության։

Այո, արժե անմիջապես նշել, որ հանրահաշվական կոտորակներով գործողությունները սովորական կոտորակների հետ համապատասխան գործողությունների ընդհանրացումն են: Հետևաբար, համապատասխան կանոնները բառ առ բառ համընկնում են գումարման և հանման, բազմապատկման, բաժանման և հզորացման կանոնների հետ։ սովորական կոտորակներ.

Էջի նավարկություն.

Հանրահաշվական կոտորակների գումարում

Ցանկացած հանրահաշվական կոտորակների գումարումը տեղավորվում է հետևյալ երկու դեպքերից մեկի մեջ. առաջինում՝ կոտորակներ նույն հայտարարները, երկրորդում՝ տարբերներով։ Սկսենք նման հայտարարներով կոտորակների գումարման կանոնից։

Նման հայտարարներով հանրահաշվական կոտորակներ ավելացնելու համար պետք է գումարել համարիչները, իսկ հայտարարը թողնել նույնը:

Հայտարարված կանոնը թույլ է տալիս հանրահաշվական կոտորակների գումարումից անցնել համարիչներում հայտնաբերված բազմանդամների գումարմանը։ Օրինակ, .

Հանրահաշվական կոտորակներ ավելացնելու համար տարբեր հայտարարներդուք պետք է գործեք հետևյալ կանոնի համաձայն՝ առաջնորդեք նրանց Ընդհանուր հայտարար, ապա ավելացրեք ստացված կոտորակները նույն հայտարարներով։

Օրինակ, հանրահաշվական կոտորակները գումարելիս և դրանք նախ պետք է բերել ընդհանուր հայտարարի, արդյունքում նրանք ձև կստանան. Եվ համապատասխանաբար, որից հետո կատարվում է նույն հայտարարներով այս կոտորակների գումարումը.

Հանում

Հաջորդ գործողությունը՝ հանելով հանրահաշվական կոտորակները, կատարվում է գումարման նմանությամբ։ Եթե ​​սկզբնական հանրահաշվական կոտորակների հայտարարները նույնն են, ապա պետք է պարզապես հանել համարիչների բազմանդամները, իսկ հայտարարը թողնել նույնը: Եթե ​​հայտարարները տարբեր են, ապա նախ կատարվում է կրճատում ընդհանուր հայտարարի, որից հետո հանվում են ստացված նույն հայտարարներով կոտորակները։

Բերենք օրինակներ.

Եկեք հանենք հանրահաշվական կոտորակները և դրանց հայտարարները նույնն են, հետևաբար . Ստացված հանրահաշվական կոտորակը կարող է հետագայում կրճատվել. .

Հիմա եկեք հանենք կոտորակը կոտորակից։ Այս հանրահաշվական կոտորակներն ունեն տարբեր հայտարարներ, հետևաբար, նախ դրանք բերում ենք ընդհանուր հայտարարի, որը այս դեպքում 5·x·(x-1) է, ունենք Եվ . Մնում է միայն հանել.

Հանրահաշվական կոտորակների բազմապատկում

Հանրահաշվական կոտորակները կարելի է բազմապատկել։ Այս գործողությունը կատարվում է այնպես, ինչպես սովորական կոտորակները բազմապատկելն ըստ հետևյալ կանոնի՝ հանրահաշվական կոտորակները բազմապատկելու համար անհրաժեշտ է համարիչները բազմապատկել առանձին, իսկ հայտարարները՝ առանձին։

Օրինակ բերենք. Եկեք հանրահաշվական կոտորակը բազմապատկենք կոտորակի վրա: Ըստ նշված կանոնի՝ ունենք . Մնում է ստացված կոտորակը վերափոխել դեպի հանրահաշվական կոտորակ, դա անելու համար այս դեպքում պետք է բազմապատկել միանդամը և բազմանդամը (և in ընդհանուր դեպք- բազմանդամների բազմապատկում) համարիչով և հայտարարով. .

Հարկ է նշել, որ հանրահաշվական կոտորակները բազմապատկելուց առաջ նպատակահարմար է հաշվի առնել դրանց համարիչների և հայտարարների մեջ հայտնաբերված բազմանդամները։ Դա պայմանավորված է ստացված ֆրակցիայի կրճատման հնարավորությամբ: Օրինակ,
.

Այս գործողությունը ավելի մանրամասն քննարկվում է հոդվածում:

Բաժանում

Անցնենք հանրահաշվական կոտորակներով գործողություններին։ Հաջորդը հանրահաշվական կոտորակների բաժանումն է: Հետևյալ կանոնը հանրահաշվական կոտորակների բաժանումը նվազեցնում է բազմապատկման՝ մեկ հանրահաշվական կոտորակը մյուսի վրա բաժանելու համար անհրաժեշտ է առաջին կոտորակը բազմապատկել երկրորդի փոխադարձությամբ։

Հանրահաշվական կոտորակը, տրված կոտորակի հակադարձը, այն կոտորակն է, որի համարիչը և հայտարարը փոխված են: Այլ կերպ ասած, երկու հանրահաշվական կոտորակները համարվում են փոխադարձաբար հակադարձ, եթե դրանց արտադրյալը նույնականորեն հավասար է մեկին (ի անալոգիա):

Օրինակ բերենք. Եկեք կատարենք բաժանումը . Բաժանարարի փոխադարձ կոտորակն է. Այսպիսով, .

Ավելի մանրամասն տեղեկությունների համար տե՛ս նախորդ պարբերությունում նշված հոդվածը՝ հանրահաշվական կոտորակների բազմապատկում և բաժանում։

Հանրահաշվական կոտորակը հասցնելու աստիճանի

Ի վերջո, մենք անցնում ենք վերջին գործողությանը հանրահաշվական կոտորակներով՝ բարձրացնելով բնական ուժի: , ինչպես նաև հանրահաշվական կոտորակների բազմապատկումը սահմանելու ձևը մեզ թույլ է տալիս գրել հանրահաշվական կոտորակը մինչև աստիճանի բարձրացնելու կանոնը. պետք է առանձին բարձրացնել համարիչը այս աստիճանի, իսկ առանձին՝ հայտարարը։

Եկեք ցույց տանք այս գործողության կատարման օրինակ: Հանրահաշվական կոտորակը բարձրացնենք երկրորդ աստիճանի։ Վերոնշյալ կանոնի համաձայն մենք ունենք . Մնում է համարիչի միանդամը հասցնել աստիճանի, ինչպես նաև հայտարարի բազմանդամը հասցնել աստիճանի, ինչը կտա ձևի հանրահաշվական կոտորակը: .

Այլ տիպիկ օրինակների լուծումը ներկայացված է հանրահաշվական կոտորակի աստիճանի բարձրացման հոդվածում:

Մատենագիտություն.

• Հանրահաշիվ:դասագիրք 8-րդ դասարանի համար. հանրակրթական հաստատություններ / [Յու. Ն. Մակարիչև, Ն. Գ. Մինդյուկ, Կ. Ի. Նեշկով, Ս. Բ. Սուվորովա]; խմբագրել է Ս.Ա.Տելյակովսկի. - 16-րդ հրատ. - Մ.: Կրթություն, 2008. - 271 էջ. : հիվանդ. - ISBN 978-5-09-019243-9 ։
• Մորդկովիչ Ա.Գ.Հանրահաշիվ. 8-րդ դասարան. Ժամը 14-ին Մաս 1. Դասագիրք ուսանողների համար ուսումնական հաստատություններ/ Ա.Գ.Մորդկովիչ. - 11-րդ հրատ., ջնջված։ - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 էջ: հիվանդ. ISBN 978-5-346-01155-2 ։
• Գուսև Վ. Ա., Մորդկովիչ Ա.Գ.Մաթեմատիկա (ձեռնարկ տեխնիկում ընդունողների համար). Պրոց. նպաստ.- Մ.; Ավելի բարձր դպրոց, 1984.-351 էջ, հղ.

Հեղինակային իրավունք խելացի ուսանողների կողմից

Բոլոր իրավունքները պաշտպանված են.
Պաշտպանված է հեղինակային իրավունքի մասին օրենքով: www.site-ի ոչ մի մաս, ներառյալ ներքին նյութերև արտաքին տեսքը չի կարող վերարտադրվել որևէ ձևով կամ օգտագործվել առանց հեղինակային իրավունքի սեփականատիրոջ նախնական գրավոր թույլտվության:

Նպատակները. կրկնել սովորական կոտորակները բազմապատկելու կանոնը և սովորեցնել, թե ինչպես կիրառել այս կանոնը ցանկացած կոտորակ բազմապատկելու համար. զորավարժությունների ընթացքում համախմբել կոտորակների և հզորությունների հատկությունների կրճատման հմտությունները նույն հիմքերով:

Դասերի ժամանակ

I. Թեստային աշխատանքի վերլուծություն.

1. Նշեք թեստում սովորողների թույլ տված սխալները:

2. Լուծել առաջադրանքներ, որոնք դժվարություններ են առաջացրել աշակերտների համար:

II. Բանավոր աշխատանք.

1. Կրկնել աստիճանների հատկությունները նույն հիմքերով.

2. Ներկայացրե՛ք որպես հիմք ունեցող ուժ

Վերանայեք կոտորակի հիմնական հատկությունը և օգտագործեք այս հատկությունը՝ կոտորակները փոքրացնելու համար:

III. Նոր նյութի բացատրություններ.

1. Փաստենք, որ հավասարությունը

ճիշտ է փոփոխականների ցանկացած թույլատրելի արժեքների համար, այսինքն՝ b≠0 և d≠0:

2. ԿանոնԿոտորակը կոտորակով բազմապատկելու համար անհրաժեշտ է բազմապատկել դրանց համարիչները և բազմապատկել նրանց հայտարարները և առաջին արտադրյալը գրել որպես համարիչ, իսկ երկրորդը որպես կոտորակի հայտարար:

3. Դիտարկենք դասագրքի 26-27 էջերի 1-ին, 2-րդ, 3-րդ և 4-րդ օրինակների լուծումը:

4. Կոտորակների բազմապատկման կանոնը կիրառվում է երեք կամ ավելի գործակիցների արտադրյալի վրա։

Օրինակ:

1. Լուծել թիվ 108 (բանավոր).

2. Թիվ 109 (ա, գ, ե) լուծել գրատախտակին և տետրերում։

Աշակերտներն ինքնուրույն են որոշում, հետո ստուգվում է լուծումը։

3. Լուծել թիվ 112 (գ; դ; զ).

Տնային առաջադրանքուսումնասիրել պարբերությունը 5 (1-4); լուծել թիվ 109 (բ; դ; զ),

Թիվ 112 (ա; բ; դ), թիվ 118 (ա; գ; դ), թիվ 119 (բ; դ), թիվ 120 (ա; գ):

Դաս 2

Նպատակները. բխում է կոտորակի աստիճանի բարձրացման կանոնը և սովորեցնում ուսանողներին կիրառել այս կանոնը վարժություններ կատարելիս. համախմբել կոտորակների բազմապատկման կանոնը և կոտորակները փոքրացնելու հմտությունները, զարգացնել ուսանողների տրամաբանական մտածողությունը:

Դասերի ժամանակ

I. Բանավոր աշխատանք.

4. Ստուգեք Տնային աշխատանքընտրովի նոթատետրից:

II. Նոր նյութ սովորելը.

1. Դիտարկենք կոտորակի բարձրացման հարցը: Ապացուցենք դա

2. Կանոն. Կոտորակը աստիճանի հասցնելու համար անհրաժեշտ է համարիչն ու հայտարարը հասցնել այս աստիճանի և առաջին արդյունքը գրել համարիչի մեջ, իսկ երկրորդը կոտորակի հայտարարի մեջ:

3. Վերլուծի՛ր դասագրքի 28-րդ էջի օրինակ 5-ի լուծումը.

III. Վարժություններ կատարելը.

1. Թիվ 115 լուծել բանավոր.

2. Ինքներդ լուծեք թիվ 116-ը՝ տեղում ստուգելով կամ մեկնաբանելով։

IV. Անկախ աշխատանք (10 րոպե):

V. Դասի ամփոփում.

1. Կոտորակների բազմապատկման կանոն կազմի՛ր:

2. Կոտորակը մեծացնելու կանոն կազմի՛ր:

Տնային աշխատանք:սովորել 5-րդ կետի կանոնները. լուծել թիվ 117, թիվ 121 (ա; դ), թիվ 122 (ա; գ), թիվ 123 (ա), թիվ 124, թիվ 130 (ա; բ).

Ակնհայտ է, որ հզորություններ ունեցող թվերը կարող են ավելացվել ինչպես մյուս մեծությունները , դրանք մեկը մյուսի հետեւից ավելացնելով իրենց նշաններով.

Այսպիսով, a 3-ի և b 2-ի գումարը 3 + b 2 է:
a 3 - b n-ի և h 5 -d 4-ի գումարը 3 - b n + h 5 - d 4 է:

Հնարավորություններ նույնական փոփոխականների հավասար հզորություններկարելի է գումարել կամ հանել։

Այսպիսով, 2a 2-ի և 3a 2-ի գումարը հավասար է 5a 2-ի:

Ակնհայտ է նաև, որ եթե վերցնենք երկու քառակուսի a, կամ երեք քառակուսի a, կամ հինգ քառակուսի a.

Բայց աստիճաններ տարբեր փոփոխականներԵվ տարբեր աստիճաններ նույնական փոփոխականներ, պետք է կազմվի՝ ավելացնելով դրանք իրենց նշաններով։

Այսպիսով, 2-ի և 3-ի գումարը 2 + a 3-ի գումարն է:

Ակնհայտ է, որ a-ի քառակուսին և a-ի խորանարդը հավասար է ոչ թե a-ի քառակուսու կրկնակիին, այլ a-ի կրկնապատիկին:

a 3 b n-ի և 3a 5 b 6-ի գումարը a 3 b n + 3a 5 b 6 է:

Հանումլիազորություններն իրականացվում են այնպես, ինչպես հավելումը, բացառությամբ այն բանի, որ ենթահողերի նշանները պետք է համապատասխանաբար փոխվեն:

Կամ:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5 (ա - ը) 6 - 2 (ա - ը) 6 = 3 (ա - ժ) 6

Բազմապատկվող ուժերը

Հզորություններով թվերը կարելի է բազմապատկել, ինչպես մյուս մեծությունները, գրելով դրանք մեկը մյուսի հետևից՝ նրանց միջև բազմապատկման նշան ունենալով կամ առանց դրա։

Այսպիսով, a 3-ը b 2-ով բազմապատկելու արդյունքը կլինի a 3 b 2 կամ aaabb:

Կամ:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Վերջին օրինակի արդյունքը կարելի է պատվիրել՝ ավելացնելով նույնական փոփոխականներ:
Արտահայտությունը կունենա հետևյալ ձևը՝ a 5 b 5 y 3:

Մի քանի թվեր (փոփոխականներ) հզորությունների հետ համեմատելով՝ կարող ենք տեսնել, որ եթե դրանցից երկուսը բազմապատկվեն, ապա ստացվում է մի թիվ (փոփոխական), որի հզորությունը հավասար է. գումարըտերմինների աստիճաններ.

Այսպիսով, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5:

Այստեղ 5-ը բազմապատկման արդյունքի հզորությունն է, որը հավասար է 2 + 3-ի, անդամների հզորությունների գումարը:

Այսպիսով, a n .a m = a m+n:

a n-ի համար a-ն ընդունվում է որպես գործակից այնքան անգամ, որքան n-ի հզորությունը;

Եվ a m-ն ընդունվում է որպես գործակից այնքան անգամ, որքան m աստիճանը հավասար է.

Ահա թե ինչու, Միևնույն հիմքերով հզորությունները կարելի է բազմապատկել՝ ավելացնելով հզորությունների ցուցիչները։

Այսպիսով, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8: Եվ x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6:

Կամ:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Բազմապատկել (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y):
Պատասխան՝ x 4 - y 4.
Բազմապատկել (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1):

Այս կանոնը ճիշտ է նաև այն թվերի համար, որոնց ցուցիչներն են բացասական.

1. Այսպիսով, a -2 .a -3 = a -5: Սա կարելի է գրել որպես (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa:

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Եթե ​​a + b-ը բազմապատկվում է a - b-ով, ապա արդյունքը կլինի a 2 - b 2. այսինքն

Երկու թվերի գումարը կամ տարբերությունը բազմապատկելու արդյունքը հավասար է նրանց քառակուսիների գումարին կամ տարբերությանը։

Եթե ​​բազմապատկեք երկու բարձրացված թվերի գումարը և տարբերությունը քառակուսի, արդյունքը հավասար կլինի այս թվերի գումարին կամ տարբերությանը չորրորդաստիճաններ։

Այսպիսով, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2:
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4:
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8:

Աստիճանների բաժանում

Հզորությամբ թվերը կարելի է բաժանել մյուս թվերի նման՝ դիվիդենտից հանելով կամ դրանք կոտորակային ձևով դնելով։

Այսպիսով, a 3 b 2-ը բաժանված b 2-ի վրա հավասար է a 3-ի:

Կամ:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

5-ը 3-ի վրա բաժանված գրելը կարծես $\frac(a^5)(a^3)$ է: Բայց սա հավասար է 2-ի: Մի շարք թվերով
a +4, a +3, a +2, a +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4:
ցանկացած թիվ կարելի է բաժանել մյուսի վրա, և ցուցանիշը հավասար կլինի տարբերությունըբաժանելի թվերի ցուցիչներ.

Նույն հիմքով աստիճանները բաժանելիս հանվում են դրանց չափորոշիչները:.

Այսպիսով, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1: Այսինքն՝ $\frac(yyyy)(yy) = y$։

Եվ a n+1:a = a n+1-1 = a n: Այսինքն՝ $\frac(aa^n)(a) = a^n$։

Կամ:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

Կանոնը ճիշտ է նաև հետ թվերի համար բացասականաստիճանների արժեքներ.
-5-ը -3-ի բաժանելու արդյունքը -2 է:
Նաև $\frac(1)(aaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 կամ $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Պետք է շատ լավ տիրապետել ուժերի բազմապատկմանը և բաժանմանը, քանի որ նման գործողությունները շատ լայնորեն կիրառվում են հանրահաշվում։

Հզոր թվեր պարունակող կոտորակներով օրինակներ լուծելու օրինակներ

1. Ցուցանիշները փոքրացրեք $\frac(5a^4)(3a^2)$-ով Պատասխան՝ $\frac(5a^2)(3)$:

2. Ցուցանիշները փոքրացրեք $\frac(6x^6)(3x^5)$-ով: Պատասխան՝ $\frac(2x)(1)$ կամ 2x:

3. Կրճատիր a 2 /a 3 և a -3 /a -4 չափիչները և հասցրու ընդհանուր հայտարարի:
a 2 .a -4-ը a -2 առաջին համարիչն է:
a 3 .a -3-ը 0 = 1 է, երկրորդ համարիչը:
a 3 .a -4-ը -1 է, ընդհանուր համարիչը:
Պարզեցումից հետո՝ a -2 /a -1 և 1/a -1:

4. Կրճատել 2a 4 /5a 3 և 2 /a 4 չափորոշիչները և բերել ընդհանուր հայտարարի:
Պատասխան՝ 2a 3 /5a 7 և 5a 5 /5a 7 կամ 2a 3 /5a 2 և 5/5a 2:

5. Բազմապատկել (a 3 + b)/b 4-ը (a - b)/3-ով:

6. Բազմապատկել (a 5 + 1)/x 2-ով (b 2 - 1)/(x + a):

7. Բազմապատկել b 4 /a -2-ը h -3 /x-ով և a n /y -3-ով:

8. 4 /y 3-ը բաժանեք 3/y 2-ի: Պատասխան՝ ա/տ.

9. Բաժանեք (h 3 - 1)/d 4-ը (d n + 1)/h-ի վրա:

Դիպլոմային բանաձևերօգտագործվում է բարդ արտահայտությունների կրճատման և պարզեցման գործընթացում, հավասարումներ և անհավասարություններ լուծելիս։

Թիվ գէ n- թվի-րդ հզորությունը աԵրբ:

Գործողություններ աստիճաններով.

1. Նույն հիմքով աստիճանները բազմապատկելով՝ դրանց ցուցանիշները գումարվում են.

մի մ·a n = a m + n.

2. Միևնույն հիմքով աստիճանները բաժանելիս հանվում են դրանց ցուցիչները.

3. 2 կամ ավելի գործակիցների արտադրյալի աստիճանը հավասար է այս գործոնների աստիճանների արտադրյալին.

(abc…) n = a n · b n · c n…

4. Կոտորակի աստիճանը հավասար է դիվիդենտի և բաժանարարի աստիճանների հարաբերությանը.

(a/b) n = a n /b n .

5. Բարձրացնելով հզորությունը հզորության՝ աստիճանները բազմապատկվում են.

(a m) n = a m n.

Վերը նշված յուրաքանչյուր բանաձև ճիշտ է ձախից աջ և հակառակ ուղղություններով:

Օրինակ. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Գործողություններ արմատներով.

1. Մի քանի գործոնների արտադրյալի արմատը հավասար է այս գործոնների արմատների արտադրյալին.

2. Հարաբերակցության արմատը հավասար է շահաբաժնի և արմատների բաժանարարի հարաբերությանը.

3. Արմատը դեպի հզորություն բարձրացնելիս բավական է արմատական ​​թիվը հասցնել այս հզորության.

4. Եթե բարձրացնեք արմատի աստիճանը ներս nմեկ անգամ և միևնույն ժամանակ կառուցվել nրդ հզորությունը արմատական ​​թիվ է, ապա արմատի արժեքը չի փոխվի.

5. Եթե դուք նվազեցնում եք արմատի աստիճանը ներս nմիաժամանակ հանեք արմատը n-արմատական ​​թվի թվի-րդ հզորությունը, ապա արմատի արժեքը չի փոխվի.

Բացասական ցուցիչով աստիճան:Ոչ դրական (ամբողջ) ցուցիչով որոշակի թվի հզորությունը սահմանվում է որպես մեկը, որը բաժանվում է նույն թվի ուժի վրա, որի ցուցիչը հավասար է բացարձակ արժեքոչ դրական ցուցանիշ.

Բանաձև մի մ:a n =a m - nկարող է օգտագործվել ոչ միայն մ> n, այլեւ հետ մ< n.

Օրինակ. ա4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Բանաձևին մի մ:a n =a m - nդարձավ արդար, երբ m=n, զրոյական աստիճանի առկայությունը պարտադիր է։

Զրո ինդեքսով աստիճան։Զրո ցուցիչով զրոյի չհավասարվող ցանկացած թվի հզորությունը հավասար է մեկի:

Օրինակ. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Աստիճան կոտորակային ցուցիչով:Իրական թիվ բարձրացնելու համար Աաստիճանին մ/ն, դուք պետք է հանեք արմատը n-րդ աստիճանի մ- այս թվի-րդ հզորությունը Ա.

Դաս «Միևնույն և տարբեր ցուցիչներով հզորությունների բազմապատկման և բաժանման կանոնները. Օրինակներ» թեմայով.

Լրացուցիչ նյութեր
Հարգելի օգտատերեր, մի մոռացեք թողնել ձեր մեկնաբանությունները, ակնարկները, ցանկությունները: Բոլոր նյութերը ստուգվել են հակավիրուսային ծրագրով։

Ուսումնական միջոցներ և սիմուլյատորներ Ինտեգրալ առցանց խանութում 7-րդ դասարանի համար
Ձեռնարկ դասագրքի համար Yu.N. Մակարիչևայի ձեռնարկ դասագրքի համար Ա.Գ. Մորդկովիչ

Դասի նպատակը՝ սովորել թվերի հզորությամբ գործողություններ կատարել։

Նախ հիշենք «թվի ուժ» հասկացությունը։ $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ ձևի արտահայտությունը կարող է ներկայացվել որպես $a^n$:

Հակառակը նույնպես ճիշտ է՝ $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$:

Այս հավասարությունը կոչվում է «աստիճանի գրանցում որպես արտադրյալ»: Դա կօգնի մեզ որոշել, թե ինչպես կարելի է բազմապատկել և բաժանել ուժերը:
Հիշեք.
ա- աստիճանի հիմքը.
n- ցուցիչ:
Եթե n=1, որը նշանակում է թիվը Ավերցրեց մեկ անգամ և համապատասխանաբար՝ $a^n= 1$։
Եթե n= 0, ապա $a^0= 1$։

Թե ինչու է դա տեղի ունենում, կարող ենք պարզել, երբ ծանոթանանք ուժերի բազմապատկման և բաժանման կանոններին։

Բազմապատկման կանոններ

Օրինակ.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Այս հատկությունը հարմար է օգտագործել աշխատանքը պարզեցնելու համար՝ թիվն ավելի բարձր հզորության բարձրացնելիս:
Օրինակ.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

բ) Եթե բազմապատկվում են տարբեր հիմքերով, բայց միևնույն ցուցիչով հզորությունները:
$a^n * b^n$ ստանալու համար աստիճանները գրում ենք որպես արտադրյալ՝ $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b ) _(մ)$.
Եթե ​​փոխենք գործոնները և հաշվենք ստացված զույգերը, ապա կստանանք՝ $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$:

Այսպիսով, $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Օրինակ.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

Բաժանման կանոններ

Այսպիսով, մեզ անհրաժեշտ է $\frac(a^n)(a^m)$, Որտեղ n>m.

Գրենք աստիճանները որպես կոտորակ.

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

Հիմա եկեք փոքրացնենք կոտորակը։

Ստացվում է՝ $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$:
Նշանակում է, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

Այս հատկությունը կօգնի բացատրել թվի զրոյական հզորության բարձրացման իրավիճակը: Ենթադրենք, որ n=m, ապա $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$:

Օրինակներ.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$:

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$:

բ) աստիճանի հիմքերը տարբեր են, ցուցանիշները՝ նույնը.
Ենթադրենք, մեզ անհրաժեշտ է $\frac(a^n)(b^n)$: Թվերի ուժերը գրենք որպես կոտորակներ.

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace(b * b * \ldots * b )_(n))$:

Օրինակ.
$\frac(4^3)(2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$: