Այսօր մենք կուսումնասիրենք միատարր եռանկյունաչափական հավասարումները։ Նախ, եկեք նայենք տերմինաբանությանը. ինչ է միատարր եռանկյունաչափական հավասարումը: Այն ունի հետևյալ բնութագրերը.

1. այն պետք է պարունակի մի քանի տերմին.
2. բոլոր պայմանները պետք է ունենան նույն աստիճանը.
3. Միատարր եռանկյունաչափական ինքնության մեջ ներառված բոլոր գործառույթները պետք է անպայման ունենան նույն արգումենտը:

Լուծման ալգորիթմ

Եկեք ընտրենք պայմանները

Եվ եթե առաջին կետով ամեն ինչ պարզ է, ապա արժե ավելի մանրամասն խոսել երկրորդի մասին: Ի՞նչ է նշանակում ունենալ տերմինների նույն աստիճանը: Դիտարկենք առաջին խնդիրը.

3cosx+5sinx=0

3\cos x+5\sin x=0

Այս հավասարման առաջին անդամն է 3 cosx 3\cos x. Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ այստեղ կա միայն մեկ եռանկյունաչափական ֆունկցիա. cosx\cos x - և ոչ ուրիշ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներայստեղ չկա, ուստի այս տերմինի աստիճանը 1 է։ Նույնը երկրորդի դեպքում՝ 5 սինքս 5\sin x - այստեղ կա միայն սինուս, այսինքն՝ այս տերմինի աստիճանը նույնպես հավասար է մեկին։ Այսպիսով, մենք մեր առջև ունենք երկու տարրից բաղկացած ինքնություն, որոնցից յուրաքանչյուրը պարունակում է եռանկյունաչափական ֆունկցիա և միայն մեկը։ Սա առաջին աստիճանի հավասարումն է։

Անցնենք երկրորդ արտահայտությանը.

4մեղք2 x+sin2x−3=0

4((\sin )^(2))x+\sin 2x-3=0

Այս շինարարության առաջին անդամն է 4մեղք2 x 4((\sin )^(2))x.

Այժմ մենք կարող ենք գրել հետևյալ լուծումը.

մեղք2 x=sinx⋅sinx

((\sin )^(2))x=\sin x\cdot \sin x

Այլ կերպ ասած, առաջին անդամը պարունակում է երկու եռանկյունաչափական ֆունկցիա, այսինքն՝ նրա աստիճանը երկու է։ Եկեք զբաղվենք երկրորդ տարրով. sin2x\ sin 2x. Հիշենք այս բանաձևը՝ կրկնակի անկյան բանաձևը.

sin2x=2sinx⋅cosx

\sin 2x=2\sin x\cdot \cos x

Եվ կրկին ստացված բանաձեւում մենք ունենք երկու եռանկյունաչափական ֆունկցիա՝ սինուս եւ կոսինուս։ Այսպիսով, այս շինարարական տերմինի հզորության արժեքը նույնպես հավասար է երկուսի:

Անցնենք երրորդ տարրին՝ 3. Մաթեմատիկայի դասընթացից ավագ դպրոցՄենք հիշում ենք, որ ցանկացած թիվ կարելի է բազմապատկել 1-ով, ուստի գրում ենք այն.

˜ 3=3⋅1

Եվ միավորը կարող է գրվել՝ օգտագործելով հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունը հետևյալ ձևով.

1=մեղք2 x⋅ cos2 x

1=((\ sin )^(2))x\cdot ((\cos)^(2))x

Հետևաբար, մենք կարող ենք 3-ը վերաշարադրել հետևյալ կերպ.

3=3(մեղք2 x⋅ cos2 x)=3մեղք2 x+3 cos2 x

3=3\left(((\sin )^(2))x\cdot ((\cos)^(2))x \աջ)=3((\sin )^(2))x+3(( \cos )^(2))x

Այսպիսով, մեր 3-րդ տերմինը բաժանված է երկու տարրի, որոնցից յուրաքանչյուրը միատարր է և ունի երկրորդ աստիճան։ Առաջին տերմինի սինուսը տեղի է ունենում երկու անգամ, երկրորդի կոսինուսը նույնպես երկու անգամ: Այսպիսով, 3-ը կարող է ներկայացվել նաև որպես տերմին երկուսի հզորության աստիճանով:

Նույնը երրորդ արտահայտության դեպքում.

մեղք3 x+ մեղք2 xcosx=2 cos3 x

Եկեք տեսնենք. Առաջին տերմինն է մեղք3 x((\sin )^(3))x-ը երրորդ աստիճանի եռանկյունաչափական ֆունկցիա է։ Երկրորդ տարր - մեղք2 xcosx((\sin )^(2))x\cos x.

մեղք2 ((\sin )^(2))-ը երկու անգամ բազմապատկած հզորության արժեքով կապ է cosx\cos x-ն առաջին անդամն է: Ընդհանուր առմամբ, երրորդ տերմինը նույնպես ունի երեք հզորության արժեք: Վերջապես, աջ կողմում կա ևս մեկ հղում. 2cos3 x 2((\cos )^(3))x-ը երրորդ աստիճանի տարր է։ Այսպիսով, մենք ունենք երրորդ աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարում։

Մենք ունենք տարբեր աստիճանի երեք ինքնություն գրված: Կրկին ուշադրություն դարձրեք երկրորդ արտահայտությանը. Բնօրինակ արձանագրության մեջ անդամներից մեկը վիճաբանություն ունի 2x 2x. Մենք ստիպված ենք ձերբազատվել այս փաստարկից՝ այն փոխակերպելով կրկնակի անկյան սինուսի բանաձևի միջոցով, քանի որ մեր ինքնության մեջ ներառված բոլոր գործառույթները պետք է անպայման ունենան նույն արգումենտը։ Եվ սա միատարր եռանկյունաչափական հավասարումների պահանջ է։

Մենք օգտագործում ենք հիմնական եռանկյունաչափական ինքնության բանաձևը և գրում վերջնական լուծումը

Պայմանները դասավորել ենք, անցնենք լուծմանը։ Անկախ հզորության աստիճանից, այս տիպի հավասարումների լուծումը միշտ կատարվում է երկու քայլով.

1) ապացուցել դա

cosx≠0

\cos x\ne 0. Դա անելու համար բավական է հիշել հիմնական եռանկյունաչափական ինքնության բանաձևը. (մեղք2 x⋅ cos2 x=1)\left(((\sin )^(2))x\cdot ((\cos)^(2))x=1 \աջ) և փոխարինել այս բանաձևով cosx=0\cos x=0. Մենք կստանանք հետևյալ արտահայտությունը.

մեղք2 x=1sinx=±1

\սկիզբ (հավասարեցնել)& ((\sin )^(2))x=1 \\& \sin x=\pm 1 \\\վերջ (հավասարեցնել)

Ստացված արժեքները փոխարինելով, այսինքն՝ փոխարենը cosx\cos x-ը զրո է, և փոխարենը sinx\sin x — 1 կամ -1, սկզբնական արտահայտության մեջ կստանանք սխալ թվային հավասարություն։ Սա է այն հիմնավորումը, որ

cosx≠0

2) երկրորդ քայլը տրամաբանորեն բխում է առաջինից. Որովհետև

cosx≠0

\cos x\ne 0, մենք կառուցվածքի մեր երկու կողմերն էլ բաժանում ենք cosn x((\cos )^(n))x, որտեղ n n-ն ինքնին միատարր եռանկյունաչափական հավասարման հզորության ցուցիչն է: Ի՞նչ է սա մեզ տալիս.

\[\սկիզբ(զանգված)(·(35)(l))

sinxcosx=tgxcosxcosx=1

\սկիզբ (հավասարեցնել)& \frac(\sin x)(\cos x)=tgx \\& \frac(\cos x)(\cos x)=1 \\\վերջ (հավասարեցնել) \\() \\ \վերջ (զանգված)\]

Դրա շնորհիվ մեր ծանր նախնական շինարարությունը կրճատվում է մինչև հավասարման n n-աստիճան շոշափողի նկատմամբ, որի լուծումը հեշտությամբ կարելի է գրել փոփոխականի փոփոխության միջոցով: Դա ամբողջ ալգորիթմն է: Տեսնենք, թե ինչպես է այն աշխատում գործնականում:

Մենք լուծում ենք իրական խնդիրներ

Առաջադրանք թիվ 1

3cosx+5sinx=0

3\cos x+5\sin x=0

Մենք արդեն պարզել ենք, որ սա միատարր եռանկյունաչափական հավասարում է՝ մեկին հավասար հզորության ցուցիչով։ Հետևաբար, առաջին հերթին եկեք պարզենք դա cosx≠0\cos x\ne 0. Ենթադրենք հակառակը, որ

cosx=0→sinx=±1

\cos x=0\ to \sin x=\pm 1.

Ստացված արժեքը փոխարինում ենք մեր արտահայտության մեջ, ստանում ենք.

3⋅0+5⋅(±1) =0±5=0

\սկիզբ (հավասարեցնել)& 3\cdot 0+5\cdot \ձախ(\pm 1 \աջ)=0 \\& \pm 5=0 \\\վերջ (հավասարեցնել)

Սրանից ելնելով կարելի է ասել, որ cosx≠0\cos x\ne 0. Մեր հավասարումը բաժանեք cosx\cos x քանի որ մեր ամբողջ արտահայտությունն ունի մեկ հզորության արժեք: Մենք ստանում ենք.

3(cosxcosx) +5(sinxcosx) =0 3+5tgx=0tgx=− 3 5

\սկիզբ(հավասարեցնել)& 3\ձախ(\frac(\cos x)(\cos x) \աջ)+5\ձախ(\frac(\sin x)(\cos x) \աջ)=0 \\& 3+5tgx=0 \\& tgx=-\frac(3)(5) \\\վերջ (հավասարեցնել)

Սա աղյուսակի արժեք չէ, ուստի պատասխանը կներառի arctgx arctgx:

x=arctg (−3 5 ) + π n,n∈Z

x=arctg\left(-\frac(3)(5) \right)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n,n\in Z

Որովհետև arctg arctg arctg-ը կենտ ֆունկցիա է, մենք կարող ենք արգումենտից հանել «մինուսը» և դնել arctg-ի դիմաց: Մենք ստանում ենք վերջնական պատասխանը.

x=−arctg 3 5 + π n,n∈Z

x=-arctg\frac(3)(5)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n,n\in Z

Առաջադրանք թիվ 2

4մեղք2 x+sin2x−3=0

4((\sin )^(2))x+\sin 2x-3=0

Ինչպես հիշում եք, նախքան այն լուծելը, դուք պետք է որոշ փոխակերպումներ կատարեք: Մենք իրականացնում ենք վերափոխումները.

4մեղք2 x+2sinxcosx−3 (մեղք2 x+ cos2 x)=0 4մեղք2 x+2sinxcosx−3 մեղք2 x−3 cos2 x=0մեղք2 x+2sinxcosx−3 cos2 x=0

\սկիզբ (հավասարեցնել)& 4((\sin )^(2)x+2\sin x\cos x-3\left(((\sin )^(2))x+((\cos)^(2 ))x \աջ)=0 \\& 4((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3((\sin )^(2))x-3(\cos )^(2))x=0 \\& ((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3((\cos)^(2)x=0 \\\վերջ (հավասարեցնել)

Մենք ստացանք երեք տարրերից բաղկացած կառուցվածք. Առաջին կիսամյակում մենք տեսնում ենք մեղք2 ((\sin )^(2)), այսինքն նրա հզորության արժեքը երկու է: Երկրորդ ժամկետում մենք տեսնում ենք sinx\սին խ եւ cosx\cos x - կրկին երկու ֆունկցիա կա, դրանք բազմապատկվում են, ուստի ընդհանուր աստիճանը կրկին երկու է: Երրորդ հղումում մենք տեսնում ենք cos2 x((\cos )^(2))x - նման է առաջին արժեքին:

Ապացուցենք դա cosx=0\cos x=0 այս կառուցման լուծումը չէ: Դա անելու համար ենթադրենք հակառակը.

\[\սկիզբ(զանգված)(·(35)(l))

\cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\1+2\cdot \left(\pm 1 \աջ)\cdot 0-3\cdot 0=0 \\1+0-0=0 \ \1=0 \\\վերջ (զանգված)\]

Մենք դա ապացուցել ենք cosx=0\cos x=0 չի կարող լուծում լինել: Անցնենք երկրորդ քայլին՝ մեր ամբողջ արտահայտությունը բաժանենք վրա cos2 x((\cos )^(2))x. Ինչու քառակուսի: Քանի որ այս միատարր հավասարման հզորության աստիճանը հավասար է երկուսի.

մեղք2 xcos2 x+2sinxcosxcos2 x−3=0 տ է2 x+2tgx−3=0

\սկիզբ(հավասարեցնել)& \frac(((\sin )^(2))x)((\cos)^(2))x)+2\frac(\sin x\cos x)((\ cos )^(2))x)-3=0 \\& t((g)^(2))x+2tgx-3=0 \\\վերջ (հավասարեցնել)

Հնարավո՞ր է այս արտահայտությունը լուծել դիսկրիմինանտի միջոցով: Իհարկե կարող ես։ Բայց ես առաջարկում եմ հիշել թեորեմը. թեորեմի հակադարձՎիետա, և մենք ստանում ենք, որ մենք ներկայացնում ենք այս բազմանդամը երկու պարզ բազմանդամների տեսքով, այն է՝

(tgx+3) (tgx−1) =0tgx=−3→x=−arctg3+ π n,n∈Ztgx=1→x= π 4 + π k,k∈Z

\սկիզբ (հավասարեցնել)& \ձախ (tgx+3 \աջ)\ ձախ (tgx-1 \աջ)=0 \\& tgx=-3\ դեպի x=-arctg3+\տեքստ ( )\!\!\pi\ !\!\text( )n,n\in Z \\& tgx=1\to x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\ text( )\!\!\pi\!\!\text( )k,k\in Z \\\end(align)

Շատ ուսանողներ հարցնում են՝ արժե՞ ինքնության լուծումների յուրաքանչյուր խմբի համար առանձին գործակիցներ գրել, թե՞ չանհանգստացնել ու ամենուր նույնը գրել։ Անձամբ ես կարծում եմ, որ ավելի լավ ու վստահելի է օգտագործել տարբեր տառեր, որպեսզի եթե լուրջ տեխնիկական համալսարան ընդունվես մաթեմատիկայի լրացուցիչ թեստերով, քննիչները պատասխանի մեջ մեղք չգտնեն։

Առաջադրանք թիվ 3

մեղք3 x+ մեղք2 xcosx=2 cos3 x

((\sin )^(3))x+((\sin )^(2))x\cos x=2((\cos)^(3))x

Մենք արդեն գիտենք, որ սա երրորդ աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարում է, հատուկ բանաձևեր պետք չեն, և մեզանից պահանջվում է ընդամենը տերմինը տեղափոխել։ 2cos3 x 2((\cos)^(3))x դեպի ձախ: Եկեք վերաշարադրենք.

մեղք3 x+ մեղք2 xcosx−2 cos3 x=0

((\sin )^(3))x+((\sin )^(2))x\cos x-2((\cos)^(3))x=0

Մենք տեսնում ենք, որ յուրաքանչյուր տարր պարունակում է երեք եռանկյունաչափական ֆունկցիա, ուստի այս հավասարումն ունի երեք հզորության արժեք: Եկեք լուծենք այն: Առաջին հերթին պետք է դա ապացուցել cosx=0\cos x=0 արմատ չէ.

\[\սկիզբ(զանգված)(·(35)(l))

\cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\\վերջ (զանգված)\]

Եկեք այս թվերը փոխարինենք մեր սկզբնական կառուցման մեջ.

(±1)3 +1⋅0−2⋅0=0 ±1+0−0=0±1=0

\սկիզբ (հավասարեցնել)& ((\ ձախ (\pm 1 \աջ))^(3))+1\cdot 0-2\cdot 0=0 \\& \pm 1+0-0=0 \\& \pm 1=0 \\\վերջ (հավասարեցնել)

Հետևաբար, cosx=0\cos x=0 լուծում չէ։ Մենք դա ապացուցել ենք cosx≠0\cos x\ne 0. Այժմ, երբ մենք դա ապացուցեցինք, եկեք մեր սկզբնական հավասարումը բաժանենք. cos3 x((\cos )^(3))x. Ինչու՞ խորանարդի մեջ: Քանի որ մենք պարզապես ապացուցեցինք, որ մեր սկզբնական հավասարումն ունի երրորդ հզորություն.

մեղք3 xcos3 x+մեղք2 xcosxcos3 x−2=0 տ է3 x+t է2 x−2=0

\սկիզբ(հավասարեցնել)& \frac(((\sin )^(3))x)((\cos)^(3))x)+\frac(((\sin )^(2))x\ cos x)(((\cos)^(3))x)-2=0 \\& t((g)^(3))x+t((g)^(2))x-2=0 \\\վերջ (հավասարեցնել)

Ներկայացնենք նոր փոփոխական.

tgx=t

Եկեք վերաշարադրենք շինարարությունը.

տ3 +տ2 −2=0

((t)^(3))+((t)^(2))-2=0

Մեր առաջ խորանարդ հավասարում. Ինչպե՞ս լուծել այն: Սկզբում, երբ ես նոր էի հավաքում այս վիդեո ձեռնարկը, նախատեսում էի նախ խոսել բազմանդամների ֆակտորինգի և այլ տեխնիկայի մասին: Բայց ներս այս դեպքումամեն ինչ շատ ավելի պարզ է. Նայեք մեր տրված ինքնությանը, որի ամենաբարձր աստիճան ունեցող տերմինը 1 է: Բացի այդ, բոլոր գործակիցները ամբողջ թվեր են: Սա նշանակում է, որ մենք կարող ենք օգտագործել Բեզութի թեորեմի հետևանքը, որն ասում է, որ բոլոր արմատները -2 թվի բաժանարարներն են, այսինքն՝ ազատ անդամը։

Հարց է առաջանում՝ ինչի՞ վրա է բաժանվում -2-ը։ Քանի որ 2-ը պարզ թիվ է, տարբերակները շատ չեն: Սրանք կարող են լինել հետևյալ թվերը՝ 1; 2; -1; -2. Բացասական արմատները անմիջապես անհետանում են: Ինչո՞ւ։ Քանի որ երկուսն էլ բացարձակ արժեքով 0-ից մեծ են, հետևաբար տ3 ((t)^(3)) մոդուլով ավելի մեծ կլինի, քան տ2 ((տ)^(2)). Եվ քանի որ խորանարդը կենտ ֆունկցիա է, հետևաբար խորանարդի թիվը կլինի բացասական, և տ2 ((t)^(2)) - դրական, և այս ամբողջ շինարարությունը, հետ t=−1 t=-1 և t=−2 t=-2, չի լինի 0-ից ավելի: Դրանից հանեք -2 և ստացեք 0-ից փոքր թիվ: Եկեք փոխարինենք այս թվերից յուրաքանչյուրը:

˜ t=1→ 1+1−2=0→0=0

˜t=1\to \text( )1+1-2=0\to 0=0

Մենք ստացել ենք ճիշտ թվային հավասարություն։ Հետևաբար, t=1 t=1 արմատն է։

t=2→8+4−2=0→10≠0

t=2\մինչև 8+4-2=0\մինչև 10\ne 0

t=2 t=2 արմատ չէ։

Ըստ հետևության և նույն Բեզութի թեորեմի՝ ցանկացած բազմանդամ, որի արմատն է x0 ((x)_(0)), ներկայացրեք այն ձևով.

Q(x)=(x= x0 )P(x)

Q(x)=(x=((x)_(0)))P(x)

Մեր դեպքում՝ դերում x x-ը փոփոխական է տտ, և դերում x0 ((x)_(0)) 1-ի հավասար արմատ է: Ստանում ենք.

տ3 +տ2 −2=(t−1)⋅P(t)

((t)^(3))+((t)^(2))-2=(t-1)\cdot P(t)

Ինչպես գտնել բազմանդամը Պ (t) P\ձախ (t\աջ): Ակնհայտ է, որ դուք պետք է անեք հետևյալը.

P(t)= տ3 +տ2 −2 t−1

P(t)=\frac(((t)^(3))+((t)^(2))-2)(t-1)

Փոխարինենք.

տ3 +տ2 +0⋅t−2t−1=տ2 +2տ+2

\frac(((t)^(3))+((t)^(2))+0\cdot t-2)(t-1)=((t)^(2))+2t+2

Այսպիսով, մեր սկզբնական բազմանդամը բաժանվում է առանց մնացորդի։ Այսպիսով, մենք կարող ենք վերաշարադրել մեր սկզբնական հավասարությունը հետևյալ կերպ.

(t−1) ( տ2 +2տ+2)=0

(t-1)(((t)^(2))+2t+2)=0

Արտադրյալը զրո է, երբ գործոններից առնվազն մեկը զրո է: Մենք արդեն դիտարկել ենք առաջին բազմապատկիչը: Դիտարկենք երկրորդը.

տ2 +2t+2=0

((t)^(2))+2t+2=0

Փորձառու ուսանողները հավանաբար արդեն հասկացել են դա այս դիզայնըարմատներ չունի, բայց եկեք դեռ հաշվարկենք դիսկրիմինանտը։

D=4−4⋅2=4−8=−4

D=4-4\cdot 2=4-8=-4

Տարբերիչը 0-ից փոքր է, հետևաբար արտահայտությունն արմատներ չունի։ Ընդհանուր առմամբ, հսկայական շինարարությունը նվազեցվեց սովորական հավասարության.

\[\սկիզբ(զանգված)(·(35)(l))

t=\text( )1 \\tgx=\text( )1 \\x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\text( ) \!\!\pi\!\!\text( )k,k\in Z \\\ end(array)\]

Եզրափակելով, ես կցանկանայի ավելացնել մի քանի մեկնաբանություն վերջին առաջադրանքի վերաբերյալ.

1. պայմանը միշտ կբավարարվի՞ cosx≠0\cos x\ne 0, և արժե՞ ընդհանրապես իրականացնել այս ստուգումը: Իհարկե, ոչ միշտ: Այն դեպքերում, երբ cosx=0\cos x=0-ը մեր հավասարության լուծումն է, այն պետք է հանենք փակագծերից, այնուհետև փակագծերում կմնա լրիվ միատարր հավասարումը։
2. Ի՞նչ է բազմանդամը բազմանդամի բաժանելը: Իսկապես, դպրոցներից շատերը դա չեն ուսումնասիրում, և երբ աշակերտներն առաջին անգամ են տեսնում նման ձևավորում, նրանք փոքր ցնցում են ապրում: Բայց, փաստորեն, դա պարզ է և հաճելի ողջույն, որը մեծապես հեշտացնում է հավասարումների լուծումը ավելի բարձր աստիճաններ. Իհարկե, դրան նվիրված կլինի առանձին տեսադասընթաց, որը կհրապարակեմ մոտ ապագայում։

Հիմնական կետերը

Միատարր եռանկյունաչափական հավասարումները սիրված թեմա են բոլոր տեսակի համար թեստեր. Դրանք կարելի է լուծել շատ պարզ՝ միայն մեկ անգամ պարապել: Որպեսզի հասկանալի լինի, թե ինչի մասին է խոսքը, ներկայացնենք նոր սահմանում։

Միատարր եռանկյունաչափական հավասարումը այն հավասարումն է, որտեղ յուրաքանչյուր ոչ զրոյական անդամ բաղկացած է նույն թվով եռանկյունաչափական գործոններից: Սրանք կարող են լինել սինուսներ, կոսինուսներ կամ դրանց համակցություններ. լուծման մեթոդը միշտ նույնն է:

Միատարր եռանկյունաչափական հավասարման աստիճանը եռանկյունաչափական գործոնների քանակն է, որոնք ներառված են ոչ զրոյական տերմիններում.

sinx+15 cos x=0

\sin x+15\text( cos )x=0 - 1-ին աստիճանի ինքնություն;

2 sin2x+5sinxcosx−8cos2x=0

2\text( sin)2x+5\sin xcosx-8\cos 2x=0 - 2-րդ աստիճան;

sin3x+2sinxcos2x=0

\sin 3x+2\sin x\cos 2x=0 - 3-րդ աստիճան;

sinx+cosx=1

\sin x+\cos x=1 - և այս հավասարումը միատարր չէ, քանի որ աջ կողմում կա միավոր՝ ոչ զրոյական անդամ, որտեղ եռանկյունաչափական գործակիցներ չկան.

sin2x+2sinx−3=0

\sin 2x+2\sin x-3=0 նույնպես ոչ միատարր հավասարում է։ Տարր sin2x\sin 2x-ը երկրորդ աստիճանի է (քանի որ այն կարող է ներկայացվել

sin2x=2sinxcosx

\sin 2x=2\sin x\cos x), 2սինքս 2\sin x-ն առաջինն է, իսկ 3 տերմինը հիմնականում զրո է, քանի որ դրանում չկան սինուսներ կամ կոսինուսներ:

Լուծման ընդհանուր սխեմա

Լուծման սխեման միշտ նույնն է.

Ենթադրենք, որ cosx=0\cos x=0. Հետո sinx=±1\sin x=\pm 1 - սա բխում է հիմնական ինքնությունից: Եկեք փոխարինենք sinx\սին խ եւ cosx\cos x սկզբնական արտահայտության մեջ, և եթե արդյունքը անհեթեթ է (օրինակ՝ արտահայտությունը 5=0 5=0), անցեք երկրորդ կետին;

Մենք ամեն ինչ բաժանում ենք կոսինուսի հզորությամբ՝ cosx, cos2x, cos3x... - կախված է հավասարման հզորության արժեքից։ Ստանում ենք սովորական հավասարություն շոշափողներով, որը կարելի է ապահով լուծել tgx=t-ին փոխարինելուց հետո։

tgx=tԳտնված արմատները կլինեն սկզբնական արտահայտության պատասխանը:

Դասի թեման՝ «Համասեռ եռանկյունաչափական հավասարումներ».

(10-րդ դասարան)

Թիրախ: ներկայացնել I և II աստիճանների միատարր եռանկյունաչափական հավասարումների հայեցակարգը. ձևակերպել և մշակել I և II աստիճանների միատարր եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման ալգորիթմ. սովորեցնել ուսանողներին լուծել I և II աստիճանների միատարր եռանկյունաչափական հավասարումներ. զարգացնել օրինաչափությունները նույնականացնելու և ընդհանրացնելու ունակությունը. խթանել հետաքրքրությունը առարկայի նկատմամբ, զարգացնել համերաշխության և առողջ մրցակցության զգացում:

Դասի տեսակը. նոր գիտելիքների ձևավորման դաս.

Ձև: աշխատել խմբերով.

Սարքավորումներ: համակարգիչ, մուլտիմեդիա տեղադրում

Դասի առաջընթաց

Կազմակերպչական պահ

Ողջույն ուսանողներին, մոբիլիզացնելով ուշադրությունը.

Դասին գիտելիքների գնահատման վարկանիշային համակարգ (ուսուցիչը բացատրում է գիտելիքների գնահատման համակարգը՝ լրացնելով գնահատման թերթիկը ուսուցչի կողմից ուսանողներից ընտրված անկախ փորձագետի կողմից): Դասը ուղեկցվում է շնորհանդեսով։ .

Հիմնական գիտելիքների թարմացում:

Տնային աշխատանքը ստուգվում և գնահատվում է անկախ փորձագետի և խորհրդատուների կողմից դասից առաջ և ավարտվում է միավորների թերթիկը:

Ուսուցիչը ամփոփում է տնային աշխատանքը.

Ուսուցիչ: Շարունակում ենք ուսումնասիրել «Եռանկյունաչափական հավասարումներ» թեման։ Այսօր դասի ընթացքում մենք ձեզ կծանոթացնենք եռանկյունաչափական հավասարումների մեկ այլ տեսակի և դրանց լուծման մեթոդների հետ, հետևաբար մենք կկրկնենք մեր սովորածը: Բոլոր տեսակի եռանկյունաչափական հավասարումներ լուծելիս դրանք կրճատվում են ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումների լուծմանը։

Ստուգվում են խմբերով կատարված անհատական ​​տնային աշխատանքները: «Ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումների լուծումները» շնորհանդեսի պաշտպանությունը

(Խմբի աշխատանքը գնահատվում է անկախ փորձագետի կողմից)

Սովորելու մոտիվացիա.

Ուսուցիչ: Մենք անելիքներ ունենք խաչբառը լուծելու համար։ Լուծելով այն՝ մենք կիմանանք նոր տեսակի հավասարումների անվանումը, որը կսովորենք լուծել այսօր դասարանում։

Հարցերը նախագծված են գրատախտակին: Ուսանողները կռահում են, և անկախ փորձագետը նշում է այն ուսանողների միավորները, ովքեր պատասխանում են գնահատականների թերթիկում:

Խաչբառը լուծելով՝ երեխաները կկարդան «միատարր» բառը:

Նոր գիտելիքների յուրացում.

Ուսուցիչ: Դասի թեման է «Համասեռ եռանկյունաչափական հավասարումներ»:

Եկեք գրենք դասի թեման տետրում: Միատարր եռանկյունաչափական հավասարումները լինում են առաջին և երկրորդ աստիճանի։

Եկեք գրենք առաջին աստիճանի միատարր հավասարման սահմանումը: Ես ցույց եմ տալիս այս տիպի հավասարումների լուծման օրինակ, դուք ստեղծում եք առաջին աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարման լուծման ալգորիթմ:

Ձևի հավասարումը Ա sinx + բ cosx = 0 կոչվում է առաջին աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարում:

Դիտարկենք հավասարման լուծումը, երբ գործակիցները ԱԵվ Վտարբերվում են 0-ից:

Օրինակ՝ sinx + cosx = 0

Ռ հավասարման անդամի երկու կողմերը բաժանելով cosx-ի վրա՝ ստանում ենք

Ուշադրություն. Դուք կարող եք բաժանել 0-ի միայն այն դեպքում, եթե այս արտահայտությունը ոչ մի տեղ չի վերածվում 0-ի: Եթե ​​կոսինուսը հավասար է 0-ի, ապա սինուսը նույնպես հավասար կլինի 0-ի, հաշվի առնելով, որ գործակիցները տարբերվում են 0-ից, բայց մենք գիտենք, որ սինուսը և կոսինուսը տարբեր կետերում զրոյի են գնում։ Հետեւաբար, այս գործողությունը կարող է իրականացվել այս տեսակի հավասարումը լուծելիս:

Առաջին աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարման լուծման ալգորիթմ. հավասարման երկու կողմերը բաժանել cosx, cosx 0-ով

Ձևի հավասարումը Ա sin mx +բ cos mx = 0կոչվում է նաև առաջին աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարում և նաև լուծել հավասարման երկու կողմերի բաժանումը կոսինուսով mx:

Ձևի հավասարումը ա մեղք 2 x+բ sinx cosx +գ cos2x = 0կոչվում է միատարր եռանկյունաչափական հավասարումերկրորդ աստիճան.

Օրինակ : մեղք 2 x + 2sinx cosx – 3cos 2 x = 0

a գործակիցը տարբերվում է 0-ից և հետևաբար, ինչպես նախորդ հավասարումը, cosx-ը հավասար չէ 0-ի, հետևաբար կարող եք օգտագործել հավասարման երկու կողմերը cos 2 x-ով բաժանելու մեթոդը։

Մենք ստանում ենք tg 2 x + 2tgx – 3 = 0

Մենք լուծում ենք՝ ներմուծելով նոր փոփոխական, թող tgx = a, այնուհետև ստանում ենք հավասարումը

a 2 + 2a – 3 = 0

D = 4 – 4 (–3) = 16

a 1 = 1 a 2 = –3

Վերադարձ դեպի փոխարինում

Պատասխան.

Եթե ​​գործակիցը a = 0, ապա հավասարումը ստանում է 2sinx cosx – 3cos2x = 0 ձևը, այն լուծում ենք փակագծերից հանելով cosx ընդհանուր գործակիցը։ Եթե ​​c = 0 գործակիցը, ապա հավասարումը ընդունում է sin2x +2sinx cosx = 0 ձևը, այն լուծում ենք փակագծերից հանելով sinx ընդհանուր գործակիցը։ Առաջին աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարման լուծման ալգորիթմ.

Տեսեք, արդյոք հավասարումը պարունակում է asin2 x անդամ:

Եթե ​​asin2 x տերմինը պարունակվում է հավասարման մեջ (այսինքն՝ a 0), ապա հավասարումը լուծվում է՝ հավասարման երկու կողմերը բաժանելով cos2x-ի և այնուհետև ներմուծելով նոր փոփոխական։

Եթե ​​asin2 x տերմինը չի պարունակում հավասարման մեջ (այսինքն a = 0), ապա հավասարումը լուծվում է ֆակտորիզացիայի միջոցով. cosx-ը հանվում է փակագծերից: Նույն կերպ են լուծվում a sin2m x + b sin mx cos mx + c cos2mx = 0 ձևի միատարր հավասարումները.

Միատարր եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման ալգորիթմը գրված է 102-րդ էջի դասագրքում։

Ֆիզիկական դաստիարակության րոպե

Միատարր եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման հմտությունների ձևավորում

Խնդրի գրքերի բացում էջ 53

1-ին եւ 2-րդ խմբերը որոշում են թիվ 361-վ

3-րդ և 4-րդ խմբերը որոշում են թիվ 363-վ

Լուծումը ցույց տվեք գրատախտակին, բացատրեք, լրացրեք: Անկախ փորձագետը գնահատում է.

Օրինակների լուծում թիվ 361-վ խնդրագրքից
sinx – 3cosx = 0
հավասարման երկու կողմերը բաժանում ենք cosx 0-ով, ստանում ենք

թիվ 363-վ
sin2x + sinxcosx – 2cos2x = 0
հավասարման երկու կողմերը բաժանում ենք cos2x-ի, ստանում ենք tg2x + tanx – 2 = 0

լուծել՝ ներմուծելով նոր փոփոխական
թող tgx = a, ապա մենք ստանում ենք հավասարումը
a2 + a – 2 = 0
D = 9
a1 = 1 a2 = –2
վերադարձ դեպի փոխարինում

Անկախ աշխատանք.

Լուծե՛ք հավասարումները։

2 cosx – 2 = 0

2cos2x – 3cosx +1 = 0

3 sin2x + sinx cosx – 2 cos2x = 0

Ավարտելուց հետո անկախ աշխատանքփոխել աշխատատեղերը և փոխադարձ ստուգում: Ճիշտ պատասխանները նախագծված են գրատախտակին:

Հետո վարձով են տալիս անկախ փորձագետ.

Կատարեք ինքներդ լուծում

Ամփոփելով դասը.

Ի՞նչ տեսակի եռանկյունաչափական հավասարումներ ենք սովորել դասարանում:

Առաջին և երկրորդ աստիճանի եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման ալգորիթմ.

Տնային աշխատանք. § 20.3 կարդալ. Թիվ 361(գ), 363(բ), լրացուցիչ դժվարություն թիվ 380(ա):

Խաչբառ.

Ճիշտ բառեր մուտքագրելու դեպքում կստանաք եռանկյունաչափական հավասարումների տեսակներից մեկի անունը։

Փոփոխականի արժեքը, որը ճիշտ է դարձնում հավասարումը: (արմատ)

Անկյունների չափման միավոր? (Ռադիան)

Թվային գործոն արտադրանքի մեջ: (գործակից)

Մաթեմատիկայի ճյուղ, որն ուսումնասիրում է եռանկյունաչափական ֆունկցիաները: (Եռանկյունաչափություն)

Ի՞նչ մաթեմատիկական մոդել է անհրաժեշտ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները ներմուծելու համար: (Շրջանակ)

Ո՞ր եռանկյունաչափական ֆունկցիան է զույգ։ (Կոսինուս)

Ինչ է կոչվում իսկական հավասարություն: (Ինքնությունը)

Հավասարություն փոփոխականի հետ? (Հավասարում)

Հավասարումներ, որոնք ունեն նույն արմատները. (համարժեք)

Հավասարման արմատների բազմություն ? (Լուծում)

Միավորների թերթիկ

№
n\n

Ուսուցչի ազգանունը, անունը

Տնային աշխատանք

Ներկայացում

Ճանաչողական գործունեություն
ուսումնասիրելով

Հավասարումների լուծում

Անկախ
Աշխատանք

Տնային աշխատանք – 12 միավոր (տնային առաջադրանքների համար նշանակվել է 3 հավասարում 4 x 3 = 12)

Ներկայացում – 1 միավոր

Ուսանողների գործունեություն – 1 պատասխան – 1 միավոր (առավելագույնը 4 միավոր)

Հավասարումների լուծում 1 միավոր

Անկախ աշխատանք – 4 միավոր

Խմբային վարկանիշ.

«5» – 22 միավոր կամ ավելի
«4» – 18 – 21 միավոր
«3» – 12 – 17 միավոր

Կանգ առեք Փորձենք հասկանալ այս ծանր բանաձևը.

Որոշ գործակից ունեցող հզորության առաջին փոփոխականը պետք է լինի առաջինը: Մեր դեպքում դա այդպես է

Մեր դեպքում դա այդպես է. Ինչպես պարզեցինք, սա նշանակում է, որ առաջին փոփոխականի աստիճանը համընկնում է: Իսկ առաջին աստիճանի երկրորդ փոփոխականը տեղում է: Գործակից.

Մենք ունենք այն:

Առաջին փոփոխականը հզորություն է, իսկ երկրորդ փոփոխականը քառակուսի է՝ գործակցով։ Սա հավասարման վերջին անդամն է:

Ինչպես տեսնում եք, մեր հավասարումը համապատասխանում է սահմանմանը բանաձևի տեսքով:

Դիտարկենք սահմանման երկրորդ (բանավոր) մասը.

Ունենք երկու անհայտ և. Այն համախմբվում է այստեղ:

Դիտարկենք բոլոր պայմանները. Դրանցում անհայտների աստիճանների գումարը պետք է լինի նույնը։

Աստիճանների գումարը հավասար է։

Հզորությունների գումարը հավասար է (at և at):

Աստիճանների գումարը հավասար է։

Ինչպես տեսնում եք, ամեն ինչ տեղավորվում է!!!

Հիմա եկեք զբաղվենք սահմանելով միատարր հավասարումներ.

Որոշի՛ր, թե որ հավասարումներն են միատարր.

Միատարր հավասարումներ - թվերով հավասարումներ.

Դիտարկենք հավասարումը առանձին։

Եթե ​​յուրաքանչյուր անդամ բաժանենք յուրաքանչյուր անդամի ֆակտորինգով, կստանանք

Եվ այս հավասարումն ամբողջությամբ ընկնում է միատարր հավասարումների սահմանման տակ։

Ինչպե՞ս լուծել միատարր հավասարումներ:

Օրինակ 2.

Բաժանենք հավասարումը.

Ըստ մեր պայմանի՝ y-ը չի կարող հավասար լինել։ Հետեւաբար, մենք կարող ենք ապահով կերպով բաժանել

Կատարելով փոխարինում, մենք ստանում ենք պարզ քառակուսային հավասարում:

Քանի որ սա կրճատված քառակուսի հավասարում է, մենք օգտագործում ենք Վիետայի թեորեմը.

Հակադարձ փոխարինումը կատարելուց հետո ստանում ենք պատասխանը

Պատասխան.

Օրինակ 3.

Բաժանենք հավասարումը (ըստ պայմանի).

Պատասխան.

Օրինակ 4.

Գտեք, եթե.

Այստեղ դուք պետք է ոչ թե բաժանեք, այլ բազմապատկեք: Եկեք բազմապատկենք ամբողջ հավասարումը հետևյալով.

Կատարենք փոխարինում և լուծենք քառակուսի հավասարումը.

Հակադարձ փոխարինումը կատարելով՝ ստանում ենք պատասխանը.

Պատասխան.

Միատարր եռանկյունաչափական հավասարումների լուծում.

Միատարր եռանկյունաչափական հավասարումների լուծումը չի տարբերվում վերը նկարագրված լուծման մեթոդներից: Միայն այստեղ, ի թիվս այլ բաների, դուք պետք է իմանաք մի փոքր եռանկյունաչափություն: Եվ կարողանալ լուծել եռանկյունաչափական հավասարումներ (դրա համար կարող եք կարդալ բաժինը):

Դիտարկենք նման հավասարումներ՝ օգտագործելով օրինակներ։

Օրինակ 5.

Լուծե՛ք հավասարումը.

Մենք տեսնում ենք տիպիկ միատարր հավասարում. և անհայտ են, և յուրաքանչյուր անդամում նրանց հզորությունների գումարը հավասար է:

Նման միատարր հավասարումները դժվար չէ լուծել, բայց նախքան հավասարումները բաժանելը, հաշվի առեք այն դեպքը, երբ.

Այս դեպքում հավասարումը կունենա հետևյալ ձևը. Բայց սինուսն ու կոսինուսը չեն կարող միաժամանակ հավասար լինել, քանի որ ըստ հիմնական եռանկյունաչափական ինքնության. Այսպիսով, մենք կարող ենք ապահով կերպով բաժանել այն.

Քանի որ տրված է հավասարումը, ուրեմն Վիետայի թեորեմի համաձայն.

Պատասխան.

Օրինակ 6.

Լուծե՛ք հավասարումը.

Ինչպես օրինակում, դուք պետք է բաժանեք հավասարումը: Դիտարկենք այն դեպքը, երբ.

Բայց սինուսն ու կոսինուսը չեն կարող միաժամանակ հավասար լինել, քանի որ ըստ հիմնական եռանկյունաչափական ինքնության. Ահա թե ինչու։

Կատարենք փոխարինում և լուծենք քառակուսի հավասարումը.

Եկեք կատարենք հակառակ փոխարինումը և գտնենք և.

Պատասխան.

Միատարր էքսպոնենցիալ հավասարումների լուծում.

Միատարր հավասարումները լուծվում են այնպես, ինչպես վերը քննարկվածները: Եթե ​​մոռացել եք, թե ինչպես լուծել էքսպոնենցիալ հավասարումները, նայեք համապատասխան բաժինը ():

Դիտարկենք մի քանի օրինակ։

Օրինակ 7.

Լուծե՛ք հավասարումը

Եկեք պատկերացնենք այսպես.

Մենք տեսնում ենք տիպիկ միատարր հավասարում, երկու փոփոխականներով և հզորությունների գումարով: Եկեք բաժանենք հավասարումը.

Ինչպես տեսնում եք, փոխարինումը կատարելով, մենք ստանում ենք ստորև բերված քառակուսի հավասարումը (զրոյի բաժանելու մասին անհանգստանալու կարիք չկա. այն միշտ խիստ մեծ է զրոյից).

Վիետայի թեորեմի համաձայն.

Պատասխան. .

Օրինակ 8.

Լուծե՛ք հավասարումը

Եկեք պատկերացնենք այսպես.

Եկեք բաժանենք հավասարումը.

Կատարենք փոխարինում և լուծենք քառակուսի հավասարումը.

Արմատը չի բավարարում պայմանը։ Կատարենք հակառակ փոխարինումը և գտնենք.

Պատասխան.

ՀԱՄԱՍԵՆ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ. ՄԻՋԻՆ ՄԱՐԴԱԿ

Նախ, մեկ խնդրի օրինակով հիշեցնեմ որո՞նք են միատարր հավասարումները և ո՞րն է միատարր հավասարումների լուծումը:

Լուծել խնդիրը.

Գտեք, եթե.

Այստեղ դուք կարող եք նկատել մի հետաքրքիր բան. եթե յուրաքանչյուր տերմինը բաժանենք, ապա կստանանք.

Այսինքն, այժմ չկան առանձին և, - այժմ փոփոխականը հավասարման մեջ է պահանջվող քանակ. Եվ սա սովորական քառակուսի հավասարում է, որը կարելի է հեշտությամբ լուծել Վիետայի թեորեմի միջոցով՝ արմատների արտադրյալը հավասար է, իսկ գումարը թվերն են և.

Պատասխան.

Ձևի հավասարումներ

կոչվում է միատարր: Այսինքն՝ սա երկու անհայտներով հավասարություն է, որոնց յուրաքանչյուր անդամ ունի այս անհայտների հզորությունների նույն գումարը։ Օրինակ, վերը նշված օրինակում այս գումարը հավասար է. Միատարր հավասարումները լուծվում են այս աստիճանի անհայտներից մեկի վրա բաժանելով.

Եվ փոփոխականների հետագա փոխարինումը. Այսպիսով, մենք ստանում ենք հզորության հավասարում մեկ անհայտով.

Ամենից հաճախ մենք կհանդիպենք երկրորդ աստիճանի (այսինքն՝ քառակուսի) հավասարումների, և մենք գիտենք, թե ինչպես լուծել դրանք.

Նկատի ունեցեք, որ մենք կարող ենք ամբողջ հավասարումը բաժանել (և բազմապատկել) փոփոխականով միայն այն դեպքում, եթե համոզված լինենք, որ այս փոփոխականը չի կարող հավասար լինել զրոյի: Օրինակ, եթե մեզ խնդրեն գտնել, մենք անմիջապես հասկանում ենք դա, քանի որ հնարավոր չէ բաժանել։ Այն դեպքերում, երբ դա այնքան էլ ակնհայտ չէ, անհրաժեշտ է առանձին ստուգել այն դեպքը, երբ այս փոփոխականը հավասար է զրոյի։ Օրինակ.

Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում:

Այստեղ մենք տեսնում ենք տիպիկ միատարր հավասարում. և անհայտ են, և յուրաքանչյուր անդամում նրանց հզորությունների գումարը հավասար է:

Բայց նախքան քառակուսի հավասարման հարաբերականը բաժանելը և ստանալը, պետք է դիտարկել այն դեպքը, երբ. Այս դեպքում հավասարումը կունենա հետևյալ ձևը՝ , ինչը նշանակում է. Բայց սինուսը և կոսինուսը չեն կարող միաժամանակ հավասար լինել զրոյի, քանի որ ըստ հիմնական եռանկյունաչափական նույնության. Այսպիսով, մենք կարող ենք ապահով կերպով բաժանել այն.

Հուսով եմ, որ այս լուծումը լիովին պարզ է: Եթե ​​ոչ, կարդացեք բաժինը: Եթե ​​պարզ չէ, թե որտեղից է այն եկել, դուք պետք է ավելի շուտ վերադառնաք՝ բաժին:

Ինքներդ որոշեք.

1. Գտեք, եթե.
2. Գտեք, եթե.
3. Լուծե՛ք հավասարումը.

Այստեղ ես ուղղակիորեն կգրեմ միատարր հավասարումների լուծումը.

Լուծումներ:

Պատասխան.

Բայց այստեղ մենք պետք է բազմապատկենք, քան բաժանենք.

Պատասխան.

Եթե ​​դեռ չեք վերցրել եռանկյունաչափական հավասարումները, կարող եք բաց թողնել այս օրինակը:

Քանի որ այստեղ մենք պետք է բաժանենք, նախ համոզվենք, որ հարյուրը հավասար չէ զրոյի.

Իսկ դա անհնար է։

Պատասխան.

ՀԱՄԱՍԵՆ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ. ՀԱՄԱՌՈՏ ԳԼԽԱՎՈՐԻ ՄԱՍԻՆ

Բոլոր միատարր հավասարումների լուծումը կրճատվում է բաժանման անհայտներից մեկով հզորության և փոփոխականների հետագա փոփոխության:

Ալգորիթմ:

Այս տեսադասով ուսանողները կկարողանան ուսումնասիրել միատարր եռանկյունաչափական հավասարումների թեման։

Տանք սահմանումներ.

1) առաջին աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարումը նման է մեղք x + b cos x = 0;

2) երկրորդ աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարումը նման է մեղքի 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0:

Դիտարկենք a sin x + b cos x = 0 հավասարումը: Եթե a-ն հավասար է զրոյի, ապա հավասարումը կունենա b cos x = 0; եթե b-ը հավասար է զրոյի, ապա հավասարումը նման կլինի մեղքի x = 0: Սրանք այն հավասարումները, որոնք մենք անվանել ենք ամենապարզը և լուծվել են ավելի վաղ նախորդ թեմաներում:

Այժմ դիտարկենք այն տարբերակը, երբ a-ն և b-ն հավասար չեն զրոյի: Հավասարման մասերը բաժանելով x կոսինուսի վրա՝ կատարում ենք փոխակերպումը։ Մենք ստանում ենք tg x + b = 0, ապա tg x-ը հավասար կլինի - b/a-ի:

Վերոնշյալից հետևում է, որ a sin mx + b cos mx = 0 հավասարումը I աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարում է։ Հավասարումը լուծելու համար դրա մասերը բաժանեք cos mx-ով:

Դիտարկենք օրինակ 1. Լուծեք 7 sin (x/2) - 5 cos (x/2) = 0: Նախ հավասարման մասերը բաժանեք կոսինուսով (x/2): Իմանալով, որ կոսինուսի վրա բաժանված սինուսը շոշափելի է, ստանում ենք 7 թան (x/2) - 5 = 0։ Արտահայտությունը փոխակերպելով՝ գտնում ենք, որ թանի (x/2) արժեքը հավասար է 5/7-ի։ Այս հավասարման լուծումն ունի x = արկտան a + πn ձևը, մեր դեպքում x = 2 արկտան (5/7) + 2πn:

Դիտարկենք a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 հավասարումը:

1) զրոյի հավասարությամբ հավասարումը նման կլինի b sin x cos x + c cos 2 x = 0: Փոխակերպելով՝ մենք ստանում ենք cos x արտահայտությունը (b sin x + c cos x) = 0 և անցնում ենք երկուսի լուծմանը: հավասարումներ։ Հավասարման մասերը x կոսինուսով բաժանելուց հետո ստանում ենք b tg x + c = 0, ինչը նշանակում է tg x = - c/b: Իմանալով, որ x = արկտան a + πn, ապա լուծումն այս դեպքում կլինի x = արկտան (- с/b) + πn:

2) եթե a-ն հավասար չէ զրոյի, ապա հավասարման մասերը կոսինուսի քառակուսու վրա բաժանելով՝ ստանում ենք շոշափող պարունակող հավասարում, որը կլինի քառակուսի։ Այս հավասարումը կարելի է լուծել՝ ներմուծելով նոր փոփոխական։

3) երբ c-ը հավասար է զրոյի, ապա հավասարումը կստանա a sin 2 x + b sin x cos x = 0 ձևը: Այս հավասարումը կարելի է լուծել՝ x սինուսը փակագծից հանելով:

1. տեսեք, արդյոք հավասարումը պարունակում է մեղք 2 x;

2. Եթե հավասարումը պարունակում է a sin 2 x տերմինը, ապա հավասարումը կարելի է լուծել՝ երկու կողմերը բաժանելով կոսինուսի քառակուսու վրա և այնուհետև ներմուծելով նոր փոփոխական։

3. Եթե հավասարումը չի պարունակում sin 2 x, ապա հավասարումը կարելի է լուծել՝ փակագծերից հանելով cosx:

Դիտարկենք օրինակ 2. Փակագծերից հանենք կոսինուսը և ստացենք երկու հավասարում: Առաջին հավասարման արմատը x = π/2 + πn է: Երկրորդ հավասարումը լուծելու համար այս հավասարման մասերը բաժանում ենք x կոսինուսի վրա և փոխակերպմամբ ստանում ենք x = π/3 + πn։ Պատասխան՝ x = π/2 + πn և x = π/3 + πn:

Լուծենք օրինակ 3՝ 3 sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + 3 cos 2 2x = 2 ձևի հավասարումը և գտնենք դրա արմատները, որոնք պատկանում են - π-ից π հատվածին։ Որովհետև Այս հավասարումը անհամասեռ է, անհրաժեշտ է այն հասցնել միատարր ձևի։ Օգտագործելով sin 2 x + cos 2 x = 1 բանաձևը, մենք ստանում ենք sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + cos 2 2x = 0: Հավասարման բոլոր մասերը բաժանելով cos 2 x-ի, մենք ստանում ենք tg 2 2x +: 2tg 2x + 1 = 0 Օգտագործելով z = tan 2x նոր փոփոխականի մուտքագրումը, մենք լուծում ենք այն հավասարումը, որի արմատը z = 1 է: Այնուհետև tan 2x = 1, ինչը ենթադրում է, որ x = π/8 + (πn)/2: . Որովհետև ըստ խնդրի պայմանների՝ պետք է գտնել - π-ից π հատվածին պատկանող արմատները, լուծումը կունենա՝ π ձևը.< x <π. Подставляя найденное значение x в данное выражение и преобразовывая его, получим - 2,25 < n < 1,75. Т.к. n - это целые числа, то решению уравнения удовлетворяют значения n: - 2; - 1; 0; 1. При этих значениях n получим корни решения исходного уравнения: x = (- 7π)/8, x = (- 3π)/8, x =π/8, x = 5π/8.

ՏԵՔՍՏԻ վերծանում.

Միատարր եռանկյունաչափական հավասարումներ

Այսօր մենք կանդրադառնանք, թե ինչպես են լուծվում «Համասեռ եռանկյունաչափական հավասարումները»: Սրանք հատուկ տեսակի հավասարումներ են։

Եկեք ծանոթանանք սահմանմանը.

Ձևի հավասարումը և մեղք x+բcosx = 0 (իսկ սինուս x-ին գումարած կոսինուս x-ը հավասար է զրոյի) կոչվում է առաջին աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարում.

ձևի հավասարումը եւ մեղք 2 x+բմեղք xcosx+scos 2 x= 0 (և սինուսի քառակուսին x գումարած լինի սինուս x կոսինուս x գումարած se կոսինուս քառակուսին x հավասար է զրոյի) կոչվում է երկրորդ աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարում։

Եթե a=0, ապա հավասարումը ստանում է ձև բcosx = 0.

Եթե բ = 0 , ապա մենք ստանում ենք և մեղք x= 0:

Այս հավասարումները տարրական եռանկյունաչափական են, և դրանց լուծումը մենք քննարկել ենք մեր նախորդ թեմաներում

Եկեք դիտարկենքայն դեպքը, երբ երկու գործակիցներն էլ հավասար չեն զրոյի։ Եկեք բաժանենք հավասարման երկու կողմերը Ամեղքx+ բcosx = 0 անդամ առ անդամ cosx.

Մենք կարող ենք դա անել, քանի որ x-ի կոսինուսը զրոյական չէ: Ի վերջո, եթե cosx = 0 , ապա հավասարումը Ամեղքx+ բcosx = 0 կընդունի ձևը Ամեղքx = 0 , Ա≠ 0, հետևաբար մեղքx = 0 . Ինչն անհնար է, քանի որ ըստ հիմնական եռանկյունաչափական ինքնության մեղք 2 x+cos 2 x=1 .

Հավասարման երկու կողմերը բաժանելով Ամեղքx+ բcosx = 0 անդամ առ անդամ cosx, ստանում ենք՝ + =0

Կատարենք վերափոխումները.

1. Քանի որ = tg x, ապա =և tg x

2 կրճատել ըստ cosx, Հետո

Այսպիսով մենք ստանում ենք հետևյալ արտահայտությունը և tg x + b =0.

Կատարենք վերափոխումը.

1.բ-ն հակառակ նշանով տեղափոխել արտահայտության աջ կողմ

և tg x =- բ

2. Եկեք ազատվենք բազմապատկիչից և հավասարման երկու կողմերը բաժանելով ա

tan x= -.

Եզրակացություն. Ձևի հավասարում մեղքմx+բcosmx = 0 (և սինուս em x գումարած լինել կոսինուս em x հավասար է զրոյի) կոչվում է նաև առաջին աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարում։ Լուծելու համար երկու կողմերն էլ բաժանեք cosmx.

ՕՐԻՆԱԿ 1. Լուծե՛ք 7 sin - 5 cos = 0 հավասարումը (յոթ սինուս x երկուսի վրա հանած հինգ կոսինուս x երկուսի վրա հավասար է զրոյի)

Լուծում. Հավասարման անդամի երկու կողմերը cos-ի բաժանելով՝ ստանում ենք

1. = 7 tan (քանի որ սինուսի և կոսինուսի հարաբերակցությունը շոշափելի է, ապա յոթ սինուս x-ը երկուսի բաժանված է կոսինուս x-ի վրա երկուսի վրա, հավասար է 7 tan x-ի երկուսի)

2. -5 = -5 (cos հապավումով)

Այս կերպ մենք ստացանք հավասարումը

7tg - 5 = 0, Փոխակերպենք արտահայտությունը, տեղափոխենք մինուս հինգ աջ կողմ՝ փոխելով նշանը։

Մենք հավասարումը կրճատել ենք tg t = a ձևով, որտեղ t=, a =: Եվ քանի որ այս հավասարումը լուծում ունի ցանկացած արժեքի համար Ա և այս լուծումներն ունեն ձև

x = arctan a + πn, ապա մեր հավասարման լուծումը կունենա ձև.

Arctg + πn, գտեք x

x=2 արկտան + 2πn.

Պատասխան՝ x=2 արկտան + 2πn.

Անցնենք երկրորդ աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարմանը

Ամեղք 2 x+b մեղք x cos x +Հետcos 2 x= 0.

Դիտարկենք մի քանի դեպք.

I. Եթե a=0, ապա հավասարումը ստանում է ձև բմեղքxcosx+scos 2 x= 0.

Լուծելիս էլԱյնուհետև օգտագործում ենք հավասարումների ֆակտորացման մեթոդը։ Մենք այն կհանենք cosxփակագծերից դուրս մենք ստանում ենք. cosx(բմեղքx+scosx)= 0 . Որտեղ cosx= 0 կամ

b sin x +Հետcos x= 0.Եվ մենք արդեն գիտենք, թե ինչպես լուծել այս հավասարումները:

Եկեք հավասարման անդամի երկու կողմերը բաժանենք cosх-ով, ստացվում է

1 (քանի որ սինուսի և կոսինուսի հարաբերակցությունը շոշափող է):

Այսպիսով, մենք ստանում ենք հավասարումը. բ tg x+c=0

Մենք հավասարումը կրճատել ենք tg t = a ձևով, որտեղ t= x, a =: Եվ քանի որ այս հավասարումը լուծում ունի ցանկացած արժեքի համար Աև այս լուծումներն ունեն ձև

x = arctan a + πn, ապա մեր հավասարման լուծումը կլինի.

x = արկտան + πn, .

II. Եթե a≠0, ապա հավասարման երկու կողմերն էլ անդամ առ անդամ բաժանում ենք cos 2 x.

(Նման կերպ վիճելով, ինչպես առաջին աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարման դեպքում, կոսինուս x-ը չի կարող զրոյի հասնել):

III. Եթե c=0, ապա հավասարումը ստանում է ձև Ամեղք 2 x+ բմեղքxcosx= 0. Այս հավասարումը կարելի է լուծել ֆակտորիզացիայի մեթոդով (մենք հանում ենք մեղքxփակագծից դուրս):

Սա նշանակում է, որ հավասարումը լուծելիս Ամեղք 2 x+ բմեղքxcosx+scos 2 x= 0 կարող եք հետևել ալգորիթմին.

ՕՐԻՆԱԿ 2. Լուծե՛ք sinxcosx - cos 2 x= 0 հավասարումը (սինուս x անգամ կոսինուս x հանած եռապատիկ կոսինուսի x-ի արմատը հավասար է զրո):

Լուծում. Եկեք ֆակտորիզացնենք (փակագծերից դուրս դնենք cosx): Մենք ստանում ենք

cos x(sin x - cos x)= 0, այսինքն. cos x=0 կամ sin x - cos x= 0:

Պատասխան՝ x =+ πn, x= + πn:

ՕՐԻՆԱԿ 3. Լուծեք 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 հավասարումը (երեք սինուս քառակուսի երկու X հանած սինուսի արտադրյալը երկու X անգամ կոսինուս երկու X գումարած երեք կոսինուս քառակուսի երկու X) և գտեք դրա արմատները, որոնք պատկանում են. միջակայքը (- π; π).

Լուծում. Այս հավասարումը միատարր չէ, ուստի եկեք որոշ փոխակերպումներ կատարենք։ Մենք հավասարման աջ կողմում պարունակվող 2 թիվը փոխարինում ենք 2 1 արտադրյալով

Քանի որ հիմնական եռանկյունաչափական նույնությամբ sin 2 x + cos 2 x =1, ուրեմն

2 ∙ 1= 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) = բացելով փակագծերը ստանում ենք՝ 2 sin 2 x + 2 cos 2 x:

2 ∙ 1= 2 ∙ (մեղք 2 x + cos 2 x) =2 մեղք 2 x + 2 cos 2 x

Սա նշանակում է, որ 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 հավասարումը կունենա հետևյալ ձևը.

3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +3cos 2 2x = 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.

3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +3cos 2 2x - 2 sin 2 x - 2 cos 2 x=0,

sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +cos 2 2x =0.

Ստացանք երկրորդ աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարում։ Եկեք կիրառենք տերմին առ անդամ բաժանման մեթոդը cos 2-ով 2x:

tg 2 2x - 2tg 2x + 1 = 0:

Ներկայացնենք z= tan2х նոր փոփոխական:

Մենք ունենք z 2 - 2 z + 1 = 0: Սա քառակուսի հավասարում է: Նկատելով ձախ կողմում կրճատված բազմապատկման բանաձևը՝ տարբերության քառակուսին (), մենք ստանում ենք (z - 1) 2 = 0, այսինքն. z = 1. Վերադառնանք հակադարձ փոխարինմանը.

Մենք հավասարումը կրճատել ենք tg t = a ձևով, որտեղ t= 2x, a =1: Եվ քանի որ այս հավասարումը լուծում ունի ցանկացած արժեքի համար Աև այս լուծումներն ունեն ձև

x = արկտան x a + πn, ապա մեր հավասարման լուծումը կլինի.

2х= արկտան1 + πn,

x = + , (x-ը հավասար է pi-ի ութ անգամի և pi en-ի երկուսի գումարին):

Մեզ մնում է միայն գտնել x-ի արժեքները, որոնք պարունակվում են միջակայքում

(- π; π), այսինքն. բավարարել կրկնակի անհավասարությունը՝ π x π. Որովհետև

x= +, ապա - π + π. Այս անհավասարության բոլոր մասերը բաժանեք π-ի և բազմապատկեք 8-ով, ստանում ենք

տեղափոխեք մեկը դեպի աջ և ձախ՝ փոխելով նշանը մինուս մեկ

բաժանում ենք չորսի, ստանում ենք.

Հարմարության համար ամբողջ մասերը բաժանում ենք կոտորակներով

-

Այս անհավասարությունը բավարարում է հետևյալ n ամբողջ թիվը՝ -2, -1, 0, 1:

Վերջին մանրամասնությունը, թե ինչպես լուծել C1 առաջադրանքները մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննությունից. միատարր եռանկյունաչափական հավասարումների լուծում.Մենք ձեզ կասենք, թե ինչպես լուծել դրանք այս վերջին դասում:

Որո՞նք են այս հավասարումները: Եկեք դրանք գրենք ընդհանուր ձևով:

$$a\sin x + b\cos x = 0,$$

որտեղ «a»-ն և «b»-ն որոշ հաստատուններ են: Այս հավասարումը կոչվում է առաջին աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարում։

Առաջին աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարում

Նման հավասարումը լուծելու համար անհրաժեշտ է այն բաժանել «\cos x»-ի: Այնուհետև այն կվերցնի ձևը

$$\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))) a \tg x + b = 0.$$

Նման հավասարման պատասխանը հեշտությամբ գրվում է արկտանգենսի միջոցով:

Նկատի ունեցեք, որ «\cos x ≠0»: Սա ստուգելու համար կոսինուսի փոխարեն հավասարման մեջ մենք փոխարինում ենք զրո և գտնում ենք, որ սինուսը նույնպես պետք է հավասար լինի զրոյի: Սակայն դրանք միաժամանակ չեն կարող հավասար լինել զրոյի, ինչը նշանակում է, որ կոսինուսը զրո չէ։

Այս տարվա իրական քննության որոշ խնդիրներ ներառում էին միատարր եռանկյունաչափական հավասարում: Հետևեք հղմանը դեպի. Մենք կվերցնենք խնդրի մի փոքր պարզեցված տարբերակը:

Առաջին օրինակ. Առաջին աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարման լուծում

$$\sin x + \cos x = 0.$$

Բաժանել «\cos x»-ի վրա:

$$\tg x + 1 = 0, $$

$$x = -\frac(\pi)(4)+\pi k.$$

Կրկնում եմ, նմանատիպ առաջադրանքը եղել է միասնական պետական ​​քննության ժամանակ :) իհարկե, դեռ պետք է ընտրել արմատները, բայց դա նույնպես չպետք է հատուկ դժվարություններ առաջացնի:

Այժմ անցնենք հաջորդ տեսակի հավասարումների:

Երկրորդ աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարում

Ընդհանուր առմամբ, այն կարծես հետևյալն է.

$$a\sin^2 x + b\sin x \cos x + c\cos^2 x =0,$$

որտեղ «a, b, c»-ն որոշ հաստատուններ են:

Նման հավասարումները լուծվում են՝ բաժանելով «\cos^2 x»-ի (որը դարձյալ զրո չէ): Անմիջապես նայենք օրինակին:

Երկրորդ օրինակ. Երկրորդ աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարման լուծում

$$\sin^2 x - 2\sin x \, \cos x - 3\cos^2 x = 0.$$

Բաժանել «\cos^2 x»-ի:

$$(\tg)^2 x - 2\tg x -3 =0.$$

Փոխարինենք «t = \tg x»-ը:

$$t^2 - 2t -3 = 0,$$

$$t_1 = 3,\t_2 = -1.$$

Հակադարձ փոխարինում

$$\tg x = 3, \text( կամ ) \tg x = -1,$$

$$x = \arctan(3)+\pi k, \text( կամ ) x= -\frac(\pi)(4)+ \pi k.$$

Պատասխանը ստացվել է.

Երրորդ օրինակ. Երկրորդ աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարման լուծում

$$-\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - 3\cos^2 x = -2.$$

Ամեն ինչ լավ կլիներ, բայց այս հավասարումը միատարր չէ. աջ կողմի «-2»-ը խանգարում է մեզ: Ի՞նչ անել։ Եկեք օգտագործենք հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունը և գրենք «-2»՝ օգտագործելով այն:

$$-\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - 3\cos^2 x = -2(\sin^2 x + \cos^2 x ), $$

$$-\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - 3\cos^2 x + 2\sin^2 x + 2\cos^2 x = 0, $$

$$\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - \cos^2 x = 0.$$

Բաժանել «\cos^2 x»-ի:

$$(\tg)^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3) \tg x - 1 = 0,$$

Փոխարինում `t= \tg x`:

$$t^2 + \frac(2\sqrt(2))(3) t - 1 = 0,$$

$$t_1 = \frac(\sqrt(3))(3),\ t_2 = -\sqrt(3).$$

Կատարելով հակադարձ փոխարինում, մենք ստանում ենք.

$$\tg x = \frac(\sqrt(3))(3) \text(կամ ) \tg x = -\sqrt(3).$$

$$x =-\frac(\pi)(3) + \pi k,\ x = \frac(\pi)(6)+ \pi k.$$

Սա այս ձեռնարկի վերջին օրինակն է:

Ինչպես միշտ, հիշեցնեմ. մարզումները մեզ համար ամեն ինչ են։ Անկախ նրանից, թե որքան փայլուն է մարդը, առանց մարզումների հմտությունները չեն զարգանա: Քննության ժամանակ սա հղի է անհանգստությամբ, սխալներով և ժամանակի կորստով (այս ցանկը ինքներդ շարունակեք): Համոզվեք, որ ուսումնասիրեք:

Վերապատրաստման առաջադրանքներ

Լուծե՛ք հավասարումները.

• `10^(\sin x) = 2^(\sin x) \cdot 5^(-\cos x)`: Սա առաջադրանք է 2013 թվականի իրական միասնական պետական ​​քննությունից: Ոչ ոք չեղյալ չի հայտարարել աստիճանների հատկությունների մասին գիտելիքները, բայց եթե մոռացել եք, նայեք;
• `\sqrt(3) \sin x + \sin^2 \frac(x)(2) = \cos^2 \frac(x)(2)`: Յոթերորդ դասի բանաձևը օգտակար կլինի:
• `\sqrt(3) \sin 2x + 3 \cos 2x = 0`:

Այսքանը: Եվ ինչպես միշտ, վերջապես. հարցեր տվեք մեկնաբանություններում, հավանեք, դիտեք տեսանյութեր, սովորեք, թե ինչպես լուծել միասնական պետական ​​քննությունը: