L'aire de la surface latérale d'une pyramide arbitraire est égale à la somme des aires de ses faces latérales. Il est logique de donner une formule spéciale pour exprimer cette aire dans le cas d'une pyramide régulière. Soit donc une pyramide régulière, à la base de laquelle se trouve un n-gone régulier de côté égal à a. Soit h la hauteur de la face latérale, également appelée apothème pyramides. La superficie d'une face latérale est de 1/2ah, et la totalité surface latérale La pyramide a une aire égale à n/2ha Puisque na est le périmètre de la base de la pyramide, on peut écrire la formule trouvée sous la forme :

Surface latérale d’une pyramide régulière est égal au produit de son apothème par la moitié du périmètre de la base.

Concernant superficie totale, puis on ajoute simplement l'aire de la base à celle du côté.

Sphère et boule inscrites et circonscrites. Il est à noter que le centre de la sphère inscrite dans la pyramide se situe à l'intersection des plans bissecteurs des angles dièdres internes de la pyramide. Le centre de la sphère décrite près de la pyramide se situe à l'intersection de plans passant par les milieux des arêtes de la pyramide et perpendiculaires à ceux-ci.

Pyramide tronquée. Si une pyramide est coupée par un plan parallèle à sa base, alors la partie comprise entre le plan de coupe et la base est appelée pyramide tronquée. La figure montre une pyramide ; en écartant sa partie située au-dessus du plan de coupe, on obtient une pyramide tronquée. Il est clair que la petite pyramide écartée est homothétique à la grande pyramide dont le centre d’homothétie est au sommet. Le coefficient de similarité est égal au rapport des hauteurs : k=h 2 /h 1, ou bords latéraux, ou autres correspondants dimensions linéaires les deux pyramides. Nous savons que les aires de figures semblables sont liées comme des carrés de dimensions linéaires ; donc les aires des bases des deux pyramides (c'est-à-dire l'aire des bases de la pyramide tronquée) sont liées comme

Ici S 1 est l'aire de la base inférieure, et S 2 est l'aire de la base supérieure de la pyramide tronquée. Les surfaces latérales des pyramides sont dans le même rapport. Une règle similaire existe pour les volumes.

Volumes de corps similaires sont liés comme des cubes par leurs dimensions linéaires ; par exemple, les volumes des pyramides sont liés comme le produit de leurs hauteurs et de l'aire des bases, à partir de laquelle notre règle est immédiatement obtenue. Elle est d'un caractère tout à fait général et découle directement du fait que le volume a toujours une dimension à la puissance trois de la longueur. En utilisant cette règle, nous dérivons une formule exprimant le volume d'une pyramide tronquée par la hauteur et l'aire des bases.

Soit une pyramide tronquée de hauteur h et d'aires de base S 1 et S 2. Si nous imaginons qu'il soit étendu à une pyramide complète, alors le coefficient de similarité entre la pyramide complète et la petite pyramide est facile à trouver comme racine du rapport S 2 /S 1 . La hauteur d'une pyramide tronquée est exprimée par h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k). Nous avons maintenant pour le volume d'une pyramide tronquée (V 1 et V 2 désignent les volumes des pyramides pleines et petites)

formule pour le volume d'une pyramide tronquée

Dérivons la formule de l'aire S de la surface latérale d'une pyramide tronquée régulière passant par les périmètres P 1 et P 2 des bases et la longueur de l'apothème a. Nous raisonnons exactement de la même manière que pour dériver la formule du volume. Compléter la pyramide la partie supérieure, on a P 2 = kP 1, S 2 =k 2 S 1, où k est le coefficient de similarité, P 1 et P 2 sont les périmètres des bases, et S 1 et S 2 sont les aires des surfaces latérales de la totalité de la pyramide résultante et sa partie supérieure, respectivement. Pour la surface latérale on trouve (a 1 et a 2 sont des apothèmes des pyramides, a = a 1 - a 2 = a 1 (1-k))

formule pour la surface latérale d'une pyramide tronquée régulière

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Un cylindre est un corps géométrique délimité par deux plans parallèles et surface cylindrique. Dans l'article, nous expliquerons comment trouver l'aire d'un cylindre et, en utilisant la formule, nous résoudrons plusieurs problèmes à titre d'exemple.

Un cylindre a trois surfaces : un dessus, une base et une surface latérale.

Le sommet et la base d’un cylindre sont des cercles et sont faciles à identifier.

On sait que l'aire d'un cercle est égale à πr 2. Par conséquent, la formule pour l'aire de deux cercles (le sommet et la base du cylindre) sera πr 2 + πr 2 = 2πr 2.

La troisième surface latérale du cylindre est la paroi incurvée du cylindre. Afin de mieux imaginer cette surface, essayons de la transformer pour obtenir une forme reconnaissable. Imaginez que le cylindre soit ordinaire étain, qui n'a ni couvercle supérieur ni fond. Faisons une coupe verticale sur la paroi latérale du haut vers le bas de la boîte (étape 1 sur la figure) et essayons d'ouvrir (redresser) la figure obtenue autant que possible (étape 2).

Une fois le pot obtenu complètement ouvert, nous verrons une figure familière (étape 3), il s'agit d'un rectangle. L'aire d'un rectangle est facile à calculer. Mais avant cela, revenons un instant au cylindre d’origine. Le sommet du cylindre d'origine est un cercle, et on sait que la circonférence est calculée par la formule : L = 2πr. Il est marqué en rouge sur la figure.

Lorsque la paroi latérale du cylindre est complètement ouverte, nous voyons que la circonférence devient la longueur du rectangle résultant. Les côtés de ce rectangle seront la circonférence (L = 2πr) et la hauteur du cylindre (h). L'aire d'un rectangle est égale au produit de ses côtés - S = longueur x largeur = L x h = 2πr x h = 2πrh. En conséquence, nous avons obtenu une formule pour calculer l'aire de la surface latérale du cylindre.

Formule pour la surface latérale d'un cylindre
Côté S = 2πrh

Surface totale d'un cylindre

Enfin, si nous additionnons l'aire des trois surfaces, nous obtenons la formule de la surface totale d'un cylindre. L'aire de la surface d'un cylindre est égale à l'aire du sommet du cylindre + l'aire de la base du cylindre + l'aire de la surface latérale du cylindre ou S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Parfois, cette expression s'écrit à l'identique de la formule 2πr (r + h).

Formule pour la surface totale d'un cylindre
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – rayon du cylindre, h – hauteur du cylindre

Exemples de calcul de la surface d'un cylindre

Pour comprendre les formules ci-dessus, essayons de calculer la surface d'un cylindre à l'aide d'exemples.

1. Le rayon de la base du cylindre est 2, la hauteur est 3. Déterminez l'aire de la surface latérale du cylindre.

La surface totale est calculée selon la formule : côté S. = 2πrh

Côté S = 2 * 3,14 * 2 * 3

Côté S = 6,28 * 6

Côté S = 37,68

La surface latérale du cylindre est de 37,68.

2. Comment trouver l'aire d'un cylindre si la hauteur est de 4 et le rayon est de 6 ?

La surface totale est calculée à l'aide de la formule : S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4

S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24

• Problème 1. Trouver la surface totale de la pyramide
• Problème 2. Trouver la surface latérale d'une pyramide triangulaire régulière

Problème 1. Trouver la surface totale d'une pyramide régulière

Solution.

À la base d’une pyramide triangulaire régulière se trouve un triangle équilatéral.
Par conséquent, pour résoudre le problème, nous utiliserons les propriétés d’un triangle régulier :

Nous connaissons la hauteur du triangle, d’où nous pouvons déterminer son aire.
h = √3/2a
une = h / (√3/2)
une = 3 / (√3/2)
une = 6 / √3

D'où l'aire de la base sera égale à :
S = √3/4 une 2
S = √3/4 (6 / √3) 2
S = 3√3

Afin de trouver l'aire de la face latérale, on calcule la hauteur KM. Selon le problème, l'angle OKM est de 45 degrés.
Ainsi:
OK/MK = cos 45
Utilisons le tableau des valeurs des fonctions trigonométriques et remplaçons les valeurs connues.

OK / MK = √2/2

Prenons en compte que OK est égal au rayon du cercle inscrit. Alors
OK = √3/6a
D'accord = √3/6 * 6/√3 = 1

Alors
OK / MK = √2/2
1/MK = √2/2
MK = 2/√2

L'aire de la face latérale est alors égale à la moitié du produit de la hauteur et de la base du triangle.
Côté = 1/2 (6 / √3) (2/√2) = 6/√6

Ainsi, la surface totale de la pyramide sera égale à
S = 3√3 + 3 * 6/√6
S = 3√3 + 18/√6

Répondre: 3√3 + 18/√6

Problème 2. Trouver la surface latérale d'une pyramide régulière

Solution.

Puisque la base d’une pyramide triangulaire régulière est un triangle équilatéral, AO est le rayon du cercle circonscrit autour de la base.
(Cela découle de)

Le rayon d'un cercle circonscrit autour d'un triangle équilatéral peut être trouvé à partir de ses propriétés

D’où la longueur des arêtes d’une pyramide triangulaire régulière sera égale à :
AM 2 = MO 2 + AO 2
la hauteur de la pyramide est connue par condition (10 cm), AO = 16√3/3
SUIS 2 = 100 + 256/3
UN M = √(556/3)

Chaque côté de la pyramide est un triangle isocèle. Carré triangle isocèle on retrouve de la première formule présentée ci-dessous

S = 1/2 * 16 carrés ((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
S = 8 carrés ((556/3) - 64)
S = 8 carrés (364/3)
S = 16 m² (91/3)

Puisque les trois faces d’une pyramide régulière sont égales, la surface latérale sera égale à
3S = 48 √(91/3)

Répondre: 48 √(91/3)

Problème 3. Trouver la surface totale d'une pyramide régulière

Le côté d’une pyramide triangulaire régulière mesure 3 cm et l’angle entre la face latérale et la base de la pyramide est de 45 degrés. Trouver la surface totale de la pyramide.

Solution.
La pyramide étant régulière, il y a à sa base un triangle équilatéral. L’aire de la base est donc


Donc = 9 * √3/4

Afin de trouver l'aire de la face latérale, on calcule la hauteur KM. Selon le problème, l'angle OKM est de 45 degrés.
Ainsi:
OK/MK = cos 45
Profitons

est une figure à multiples facettes dont la base est un polygone et les faces restantes sont représentées par des triangles avec un sommet commun.

Si la base est un carré, alors la pyramide s'appelle quadrangulaire, si un triangle – alors triangulaire. La hauteur de la pyramide est tirée de son sommet perpendiculairement à la base. Également utilisé pour calculer la superficie apothème– la hauteur de la face latérale, abaissée depuis son sommet.
La formule de l'aire de la surface latérale d'une pyramide est la somme des aires de ses faces latérales, qui sont égales entre elles. Cependant, cette méthode de calcul est très rarement utilisée. Fondamentalement, l'aire de la pyramide est calculée à travers le périmètre de la base et de l'apothème :

Considérons un exemple de calcul de l'aire de la surface latérale d'une pyramide.

Soit une pyramide de base ABCDE et de sommet F. AB =BC =CD =DE =EA =3 cm Apothème a = 5 cm Trouvez l'aire de la surface latérale de la pyramide.
Trouvons le périmètre. Puisque toutes les arêtes de la base sont égales, le périmètre du pentagone sera égal à :
Vous pouvez maintenant trouver la zone latérale de la pyramide :

Aire d'une pyramide triangulaire régulière

Une pyramide triangulaire régulière se compose d’une base dans laquelle se trouve un triangle régulier et trois faces latérales de même superficie.
La formule de la surface latérale d'une pyramide triangulaire régulière peut être calculée différentes façons. Vous pouvez appliquer la formule de calcul habituelle en utilisant le périmètre et l'apothème, ou vous pouvez trouver l'aire d'une face et la multiplier par trois. Puisque la face d'une pyramide est un triangle, nous appliquons la formule de l'aire d'un triangle. Il faudra un apothème et la longueur de la base. Considérons un exemple de calcul de la surface latérale d'une pyramide triangulaire régulière.

Étant donné une pyramide avec un apothème a = 4 cm et une face de base b = 2 cm. Trouvez l'aire de la surface latérale de la pyramide.
Tout d’abord, trouvez l’aire de l’une des faces latérales. DANS dans ce cas Elle sera:
Remplacez les valeurs dans la formule :
Puisque dans une pyramide régulière, tous les côtés sont les mêmes, l'aire de la surface latérale de la pyramide sera égale à la somme des aires des trois faces. Respectivement:

Aire d'une pyramide tronquée

Tronqué Une pyramide est un polyèdre formé d’une pyramide et sa section transversale est parallèle à la base.
La formule de la surface latérale d'une pyramide tronquée est très simple. L'aire est égale au produit de la moitié de la somme des périmètres des bases et de l'apothème :