اوه-او-او-او-اوه... خوب، سخت است، انگار که داشت یک جمله را برای خودش می خواند =) با این حال، آرامش بعدا کمک خواهد کرد، به خصوص که امروز لوازم جانبی مناسب را خریدم. بنابراین، بیایید به بخش اول برویم، امیدوارم تا پایان مقاله روحیه شادی را حفظ کنم.

موقعیت نسبی دو خط

این مورد زمانی است که مخاطب به صورت کر همراهی می کند. دو خط مستقیم می تواند:

1) مطابقت؛

2) موازی باشد: ;

3) یا در یک نقطه قطع شوند: .

کمک برای آدمک ها : لطفا علامت تقاطع ریاضی را به خاطر بسپارید، اغلب ظاهر می شود. علامت گذاری به این معنی است که خط با خط در نقطه قطع می شود.

چگونه موقعیت نسبی دو خط را تعیین کنیم؟

بیایید با مورد اول شروع کنیم:

دو خط منطبق هستند اگر و فقط در صورتی که ضرایب متناظر آنها متناسب باشد، یعنی یک عدد "لامبدا" وجود دارد که برابری ها برآورده می شود

بیایید خطوط مستقیم را در نظر بگیریم و از ضرایب مربوطه سه معادله ایجاد کنیم: . از هر معادله نتیجه می شود که بنابراین، این خطوط بر هم منطبق هستند.

در واقع، اگر تمام ضرایب معادله ضرب در -1 (علائم تغییر)، و تمام ضرایب معادله برش 2، معادله یکسان را بدست می آورید: .

حالت دوم، زمانی که خطوط موازی هستند:

دو خط موازی هستند اگر و فقط در صورتی که ضرایب آنها از متغیرها متناسب باشد: ، ولی.

به عنوان مثال، دو خط مستقیم را در نظر بگیرید. تناسب ضرایب مربوطه را برای متغیرها بررسی می کنیم:

با این حال، کاملاً بدیهی است که.

و مورد سوم، هنگامی که خطوط قطع می شوند:

دو خط اگر و فقط در صورتی قطع می شوند که ضرایب متغیرهای آنها متناسب نباشدیعنی هیچ مقداری از "لامبدا" وجود ندارد که برابری ها برآورده شوند

بنابراین، برای خطوط مستقیم، ما یک سیستم ایجاد خواهیم کرد:

از معادله اول نتیجه می شود که , و از معادله دوم: که به معنی سیستم ناسازگار است(بدون راه حل). بنابراین، ضرایب متغیرها متناسب نیستند.

نتیجه: خطوط همدیگر را قطع می کنند

در مسائل عملی، می توانید از طرح راه حلی که قبلاً در مورد آن بحث شد استفاده کنید. به هر حال، بسیار یادآور الگوریتم بررسی بردارها برای همخطی بودن است که در کلاس به آن نگاه کردیم. مفهوم وابستگی خطی (نا)بردارها. اساس بردارها. اما بسته بندی متمدن تری وجود دارد:

مثال 1

موقعیت نسبی خطوط را پیدا کنید:

راه حلبر اساس مطالعه بردارهای جهت دهنده خطوط مستقیم:

الف) از معادلات بردارهای جهت خطوط را پیدا می کنیم: .

یعنی بردارها خطی نیستند و خطوط همدیگر را قطع می کنند.

در هر صورت، سنگی با علائم سر چهارراه می گذارم:

بقیه از روی سنگ می پرند و ادامه می دهند، مستقیم به کشچه ای جاودانه =)

ب) بردارهای جهت خطوط را بیابید:

خطوط بردار جهت یکسانی دارند، به این معنی که آنها یا موازی هستند یا همزمان. در اینجا نیازی به شمارش تعیین کننده نیست.

بدیهی است که ضرایب مجهولات متناسب هستند و .

بیایید دریابیم که آیا برابری درست است یا خیر:

بدین ترتیب،

ج) بردارهای جهت خطوط را بیابید:

بیایید دترمینان تشکیل شده از مختصات این بردارها را محاسبه کنیم:
بنابراین، بردارهای جهت خطی هستند. خطوط یا موازی هستند یا همزمان.

ضریب تناسب "لامبدا" مستقیماً از نسبت بردارهای جهت خطی قابل مشاهده است. با این حال، می توان آن را از طریق ضرایب خود معادلات نیز یافت: .

حالا بیایید دریابیم که آیا برابری درست است یا خیر. هر دو عبارت رایگان صفر هستند، بنابراین:

مقدار حاصل این معادله را برآورده می کند (به طور کلی هر عددی آن را برآورده می کند).

بنابراین، خطوط منطبق هستند.

پاسخ:

خیلی زود یاد خواهید گرفت (یا حتی قبلاً یاد گرفته اید) مشکلی را که به صورت شفاهی مورد بحث قرار گرفته است را در عرض چند ثانیه حل کنید. در این زمینه هیچ فایده ای برای ارائه چیزی نمی بینم تصمیم مستقل، بهتر است یک آجر مهم دیگر را در فونداسیون هندسی بگذارید:

چگونه یک خط موازی با یک خط داده شده بسازیم؟

به خاطر بی اطلاعی از این موضوع ساده ترین کاربلبل دزد به شدت مجازات می کند.

مثال 2

خط مستقیم با معادله به دست می آید. برای خط موازی که از نقطه عبور می کند معادله بنویسید.

راه حل: خط مجهول را با حرف نشان می دهیم. شرایط در مورد او چه می گوید؟ خط مستقیم از نقطه عبور می کند. و اگر خطوط موازی باشند، بدیهی است که بردار جهت خط مستقیم "tse" برای ساخت خط مستقیم "de" نیز مناسب است.

بردار جهت را از معادله خارج می کنیم:

پاسخ:

هندسه مثال ساده به نظر می رسد:

تست تحلیلی شامل مراحل زیر است:

1) بررسی می کنیم که خطوط بردار جهت یکسانی داشته باشند (اگر معادله خط به درستی ساده نشده باشد، بردارها هم خط خواهند بود).

2) بررسی کنید که آیا نقطه معادله حاصل را برآورده می کند یا خیر.

در بیشتر موارد، تست تحلیلی را می توان به راحتی به صورت شفاهی انجام داد. به دو معادله نگاه کنید، بسیاری از شما به سرعت موازی خطوط را بدون هیچ ترسیمی تعیین خواهید کرد.

مثال هایی برای راه حل های مستقل امروز خلاقانه خواهد بود. زیرا شما همچنان باید با بابا یاگا رقابت کنید و او، می دانید، عاشق انواع معماها است.

مثال 3

برای خطی که از نقطه ای موازی با خط if می گذرد معادله بنویسید

یک راه منطقی و نه چندان منطقی برای حل آن وجود دارد. کوتاه ترین راه در پایان درس است.

ما کمی با خطوط موازی کار کردیم و بعداً به آنها باز خواهیم گشت. مورد خطوط منطبق چندان جالب نیست، بنابراین بیایید مشکلی را که برای شما آشناست در نظر بگیریم برنامه آموزشی مدرسه:

چگونه نقطه تلاقی دو خط را پیدا کنیم؟

اگر مستقیم در نقطه ای قطع می شود، سپس مختصات آن راه حل هستند سیستم های معادلات خطی

چگونه نقطه تلاقی خطوط را پیدا کنیم؟ سیستم را حل کنید.

بفرمایید معنای هندسی سیستم دو معادلات خطیبا دو مجهول- این دو خط متقاطع (اغلب) در یک هواپیما هستند.

مثال 4

نقطه تلاقی خطوط را پیدا کنید

راه حل: دو راه برای حل وجود دارد - گرافیکی و تحلیلی.

روش گرافیکی این است که به سادگی خطوط داده شده را رسم کنید و نقطه تقاطع را مستقیماً از نقاشی پیدا کنید:

نکته ما اینجاست: . برای بررسی، باید مختصات آن را در هر معادله خط جایگزین کنید. به عبارت دیگر مختصات یک نقطه راه حلی برای سیستم است. در اصل، ما به یک راه حل گرافیکی نگاه کردیم سیستم های معادلات خطیبا دو معادله، دو مجهول.

روش گرافیکی البته بد نیست، اما معایب قابل توجهی دارد. نه، نکته این نیست که دانش آموزان کلاس هفتم اینگونه تصمیم می گیرند، نکته این است که ایجاد یک نقاشی صحیح و دقیق زمان می برد. علاوه بر این، ساختن برخی از خطوط مستقیم چندان آسان نیست، و خود نقطه تقاطع ممکن است جایی در سی ام پادشاهی خارج از برگه دفترچه یادداشت قرار داشته باشد.

بنابراین بهتر است نقطه تقاطع را با روش تحلیلی جستجو کرد. بیایید سیستم را حل کنیم:

برای حل سیستم از روش جمع ترم به ترم معادلات استفاده شد. برای توسعه مهارت های مرتبط، یک درس بخوانید چگونه یک سیستم معادلات را حل کنیم؟

پاسخ:

بررسی بی اهمیت است - مختصات نقطه تقاطع باید هر معادله سیستم را برآورده کند.

مثال 5

نقطه تلاقی خطوط را در صورت قطع آنها پیدا کنید.

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. تقسیم کار به چند مرحله راحت است. تجزیه و تحلیل وضعیت نشان می دهد که لازم است:
1) معادله خط مستقیم را بنویسید.
2) معادله یک خط مستقیم ایجاد کنید.
3) موقعیت نسبی خطوط را پیدا کنید.
4) اگر خطوط همدیگر را قطع کنند، نقطه تلاقی را پیدا کنید.

توسعه یک الگوریتم عمل برای بسیاری از مسائل هندسی معمولی است، و من بارها بر این موضوع تمرکز خواهم کرد.

حل کامل و پاسخ در پایان درس:

قبل از اینکه به بخش دوم درس برسیم، حتی یک جفت کفش کهنه نشده بود:

خطوط عمود بر هم. فاصله از یک نقطه تا یک خط.
زاویه بین خطوط مستقیم

بیایید با یک کار معمولی و بسیار مهم شروع کنیم. در قسمت اول یاد گرفتیم که چگونه یک خط مستقیم به موازات این خط بسازیم و اکنون کلبه روی پای مرغ 90 درجه خواهد چرخید:

چگونه یک خط عمود بر یک معین بسازیم؟

مثال 6

خط مستقیم با معادله به دست می آید. معادله ای عمود بر خطی که از نقطه عبور می کند بنویسید.

راه حل: به شرط معلوم است که . خوب است که بردار هدایت خط را پیدا کنید. از آنجایی که خطوط عمود هستند، ترفند ساده است:

از معادله، بردار نرمال: را حذف می کنیم که بردار هدایت کننده خط مستقیم خواهد بود.

بیایید با استفاده از یک نقطه و یک بردار جهت، معادله یک خط مستقیم را بسازیم:

پاسخ:

بیایید طرح هندسی را گسترش دهیم:

هوم... آسمان نارنجی، دریای نارنجی، شتر نارنجی.

بررسی تحلیلی راه حل:

1) بردارهای جهت را از معادلات خارج می کنیم و با کمک حاصل ضرب اسکالر بردارهاما به این نتیجه می رسیم که خطوط در واقع عمود هستند: .

به هر حال، می توانید از بردارهای معمولی استفاده کنید، حتی ساده تر است.

2) بررسی کنید که آیا نقطه معادله حاصل را برآورده می کند یا خیر .

آزمایش، دوباره، به راحتی به صورت شفاهی انجام می شود.

مثال 7

اگر معادله مشخص باشد، نقطه تلاقی خطوط عمود بر هم را بیابید و دوره

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. مشکل چندین عمل دارد، بنابراین فرموله کردن راه حل نقطه به نقطه راحت است.

سفر هیجان انگیز ما ادامه دارد:

فاصله از نقطه به خط

ما یک نوار مستقیم رودخانه در مقابل خود داریم و وظیفه ما این است که از کوتاه ترین مسیر به آن برسیم. هیچ مانعی وجود ندارد و بهینه ترین مسیر حرکت در امتداد عمود خواهد بود. یعنی فاصله یک نقطه تا یک خط طول پاره عمود بر هم است.

فاصله در هندسه به طور سنتی با حرف یونانی "rho" نشان داده می شود، به عنوان مثال: - فاصله از نقطه "em" تا خط مستقیم "de".

فاصله از نقطه به خط با فرمول بیان می شود

مثال 8

فاصله یک نقطه تا یک خط را پیدا کنید

راه حل: تنها کاری که باید انجام دهید این است که اعداد را با دقت در فرمول جایگزین کرده و محاسبات را انجام دهید:

پاسخ:

بیایید نقاشی را انجام دهیم:

فاصله یافت شده از نقطه تا خط دقیقاً به اندازه طول قطعه قرمز است. اگر نقاشی را روی کاغذ شطرنجی در مقیاس 1 واحد بکشید. = 1 سانتی متر (2 سلول)، سپس فاصله را می توان با یک خط کش معمولی اندازه گیری کرد.

بیایید کار دیگری را بر اساس همان نقاشی در نظر بگیریم:

وظیفه یافتن مختصات نقطه ای است که با نقطه نسبت به خط مستقیم متقارن است . من پیشنهاد می‌کنم مراحل را خودتان انجام دهید، اما یک الگوریتم راه‌حل با نتایج متوسط ​​را شرح می‌دهم:

1) خطی را پیدا کنید که عمود بر خط باشد.

2) نقطه تلاقی خطوط را پیدا کنید: .

هر دو عمل به تفصیل در این درس مورد بحث قرار می گیرند.

3) نقطه نقطه وسط قطعه است. مختصات وسط و یکی از انتها را می دانیم. توسط فرمول مختصات نقطه وسط یک قطعهما پیدا می کنیم .

بهتر است بررسی کنید که فاصله نیز 2.2 واحد باشد.

در اینجا ممکن است مشکلاتی در محاسبات ایجاد شود، اما یک ریز حساب کمک بزرگی در برج است و به شما امکان می دهد محاسبه کنید. کسرهای رایج. من بارها به شما توصیه کرده ام و دوباره به شما توصیه می کنم.

چگونه فاصله بین دو خط موازی را پیدا کنیم؟

مثال 9

فاصله بین دو خط موازی را پیدا کنید

این مثال دیگری برای تصمیم گیری شماست. من یک اشاره کوچک به شما می دهم: راه های بی نهایت زیادی برای حل این مشکل وجود دارد. خلاصه در پایان درس، اما بهتر است سعی کنید خودتان حدس بزنید، فکر می کنم نبوغ شما به خوبی توسعه یافته است.

زاویه بین دو خط مستقیم

هر گوشه ای یک چوب است:


در هندسه، زاویه بین دو خط مستقیم، زاویه کوچکتر در نظر گرفته می شود، که از آن به طور خودکار نتیجه می شود که نمی تواند مبهم باشد. در شکل، زاویه نشان داده شده با قوس قرمز، زاویه بین خطوط متقاطع در نظر گرفته نمی شود. و همسایه "سبز" او یا مخالف جهت گیریگوشه "تمشک".

اگر خطوط عمود باشند، هر یک از 4 زاویه را می توان به عنوان زاویه بین آنها در نظر گرفت.

زاویه ها چگونه متفاوت است؟ گرایش. اولاً، جهتی که در آن زاویه "پیمایش" می شود اساساً مهم است. ثانیا، یک زاویه جهت منفی با علامت منفی نوشته می شود، برای مثال اگر .

چرا این را به شما گفتم؟ به نظر می رسد که می توانیم با مفهوم معمول زاویه کنار بیاییم. واقعیت این است که فرمول هایی که با آنها زاویه پیدا می کنیم به راحتی می توانند نتیجه منفی داشته باشند و این نباید شما را غافلگیر کند. زاویه ای با علامت منفی بدتر نیست و معنای هندسی بسیار خاصی دارد. در طراحی، برای زاویه منفی، حتما جهت آن را با یک فلش (در جهت عقربه های ساعت) نشان دهید.

چگونه زاویه بین دو خط مستقیم را پیدا کنیم؟دو فرمول کار وجود دارد:

مثال 10

زاویه بین خطوط را پیدا کنید

راه حلو روش یک

بیایید دو خط مستقیم را در نظر بگیریم که با معادلات به صورت کلی تعریف شده اند:

اگر مستقیم عمود نیست، آن جهت دارزاویه بین آنها را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد:

بیایید به مخرج بسیار توجه کنیم - این دقیقاً همین است حاصلضرب عددیبردارهای جهت دهنده خطوط مستقیم:

اگر، مخرج فرمول صفر می شود و بردارها متعامد و خطوط عمود می شوند. به همین دلیل است که در مورد عمود نبودن خطوط مستقیم در فرمول بندی قید شد.

بر اساس موارد فوق، رسمی کردن راه حل در دو مرحله راحت است:

1) بیایید حاصل ضرب اسکالر بردارهای جهت خطوط را محاسبه کنیم:
یعنی خطوط عمود نیستند.

2) زاویه بین خطوط مستقیم را با استفاده از فرمول پیدا کنید:

با استفاده از تابع معکوس، به راحتی می توان خود زاویه را پیدا کرد. در این مورد، ما از عجیب و غریب بودن مماس قوس استفاده می کنیم (نگاه کنید به. نمودارها و خواص توابع ابتدایی):

پاسخ:

در پاسخ، مقدار دقیق و همچنین مقدار تقریبی (ترجیحاً در هر دو درجه و رادیان) را که با استفاده از ماشین حساب محاسبه می شود، نشان می دهیم.

خوب، منهای، منهای، چیز مهمی نیست. در اینجا یک تصویر هندسی است:

تعجب آور نیست که زاویه دارای جهت منفی است، زیرا در بیان مسئله، عدد اول یک خط مستقیم است و "باز کردن" زاویه دقیقاً با آن آغاز شد.

اگر واقعاً می خواهید زاویه مثبت بگیرید، باید خطوط را عوض کنید، یعنی ضرایب را از معادله دوم بگیرید. و ضرایب را از معادله اول بگیرید. به طور خلاصه، شما باید با یک مستقیم شروع کنید .

فاصله یک نقطه تا یک خط، طول عمود رسم شده از نقطه به خط است. در هندسه توصیفی با استفاده از الگوریتم زیر به صورت گرافیکی تعیین می شود.

الگوریتم

1. خط مستقیم به موقعیتی منتقل می شود که در آن موازی با هر صفحه نمایشی باشد. برای این منظور از روش های تبدیل برآمدگی های متعامد استفاده می شود.
2. از یک نقطه عمود بر یک خط رسم کنید. این ساختار بر اساس قضیه در مورد طرح زاویه قائمه است.
3. طول یک عمود با تبدیل برجستگی های آن یا با استفاده از روش مثلث قائم الزاویه تعیین می شود.

شکل زیر نشان می دهد نقاشی پیچیدهنقطه M و خط b توسط قطعه CD تعریف شده است. باید فاصله بین آنها را پیدا کنید.

طبق الگوریتم ما، اولین کاری که باید انجام دهیم این است که خط را به موقعیتی موازی با صفحه طرح ریزی منتقل کنیم. درک این نکته مهم است که پس از انجام تبدیل ها، فاصله واقعی بین نقطه و خط نباید تغییر کند. به همین دلیل است که در اینجا استفاده از روش جایگزینی هواپیما، که شامل حرکات ارقام در فضا نیست، راحت است.

نتایج مرحله اول ساخت در زیر نشان داده شده است. شکل نشان می دهد که چگونه یک صفحه جلوی اضافی P 4 به موازات b معرفی می شود. که در سیستم جدید(P 1, P 4) نقاط C"" 1، D"" 1، M"" 1 در همان فاصله از محور X 1 قرار دارند که C"، D"، M"" از محور X.

با اجرای بخش دوم الگوریتم، از M"" 1 عمود بر M"" 1 N"" 1 را به خط مستقیم b"" 1 پایین می آوریم، زیرا زاویه راست MND بین b و MN بر روی صفحه P پیش بینی می شود. 4 اینچ اندازه زندگی. با استفاده از خط ارتباطی، موقعیت نقطه N" را تعیین می کنیم و طرح M"N" قطعه MN را انجام می دهیم.

در مرحله نهایی، باید اندازه بخش MN را از پیش بینی های آن M"N" و M"" 1 N"" 1 تعیین کنید. برای این ما در حال ساختن هستیم راست گوشه M"" 1 N"" 1 N 0، که پایه آن N"" 1 N 0 برابر است با اختلاف (Y M 1 – Y N 1) فاصله نقاط M" و N" از محور X 1. طول هیپوتانوز M"" 1 N 0 مثلث M"" 1 N"" 1 N 0 با فاصله مورد نظر از M تا b مطابقت دارد.

راه حل دوم

• به موازات CD، ما یک صفحه فرونتال جدید P 4 را معرفی می کنیم. P 1 را در امتداد محور X 1 و X 1 ∥C"D را قطع می کند. مطابق با روش جایگزینی صفحات، پیش بینی نقاط C"" 1، D"" 1 و M"" 1 را همانطور که در شکل نشان داده شده است تعیین می کنیم.
• عمود بر C"" 1 D"" 1 یک اضافی می سازیم صفحه افقی P 5 که روی آن خط مستقیم b به نقطه C پیش بینی می شود" 2 = b" 2.
• فاصله بین نقطه M و خط b با طول قطعه M" 2 C" 2 که با رنگ قرمز مشخص شده است تعیین می شود.

وظایف مشابه:

این مقاله در مورد موضوع صحبت می کند « فاصله از یک نقطه تا یک خط », در مورد تعریف فاصله از نقطه تا خط با مثال های مصور با استفاده از روش مختصات بحث می کند. هر بلوک تئوری در پایان نمونه هایی از حل مسائل مشابه را نشان داده است.

Yandex.RTB R-A-339285-1

فاصله یک نقطه تا یک خط با تعیین فاصله از نقطه به نقطه به دست می آید. بیایید نگاه دقیق تری بیندازیم.

بگذارید یک خط a و یک نقطه M 1 وجود داشته باشد که به خط داده شده تعلق ندارد. یک خط مستقیم b را از طریق آن ترسیم می کنیم که عمود بر خط مستقیم a قرار دارد. نقطه تقاطع خطوط را H 1 در نظر بگیریم. ما دریافتیم که M 1 H 1 یک عمود است که از نقطه M 1 به خط مستقیم a کاهش یافته است.

تعریف 1

فاصله از نقطه M 1 تا خط مستقیم aفاصله بین نقاط M 1 و H 1 نامیده می شود.

تعاریفی وجود دارد که شامل طول عمود می شود.

تعریف 2

فاصله از یک نقطه تا یک خططول عمود رسم شده از یک نقطه به یک خط معین است.

تعاریف معادل هستند. شکل زیر را در نظر بگیرید.

معلوم است که فاصله از یک نقطه تا یک خط کوچکترین فاصله ممکن است. بیایید با یک مثال به این موضوع نگاه کنیم.

اگر نقطه Q را که روی یک خط مستقیم a قرار دارد، که با نقطه M 1 منطبق نیست، بگیریم، در می یابیم که قطعه M 1 Q یک پاره مایل نامیده می شود که از M 1 به یک خط مستقیم a پایین آمده است. لازم به ذکر است که عمود از نقطه M 1 کمتر از هر خط مایل دیگری است که از نقطه به خط مستقیم کشیده شده است.

برای اثبات این موضوع، مثلث M 1 Q 1 H 1 را در نظر بگیرید که در آن M 1 Q 1 افت فشار است. مشخص است که طول آن همیشه از طول هر یک از پاها بیشتر است. این بدان معناست که ما M 1 H 1 را داریم< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

داده های اولیه برای یافتن از یک نقطه به یک خط به شما امکان می دهد از چندین روش حل استفاده کنید: از طریق قضیه فیثاغورث، تعیین سینوس، کسینوس، مماس زاویه و غیره. اکثر وظایف از این نوع در مدرسه در طول درس هندسه حل می شود.

هنگامی که هنگام یافتن فاصله از یک نقطه تا یک خط، امکان معرفی یک سیستم مختصات مستطیلی وجود داشته باشد، از روش مختصات استفاده می شود. در این پاراگراف، دو روش اصلی برای یافتن فاصله مورد نیاز از یک نقطه معین را در نظر خواهیم گرفت.

روش اول شامل جستجوی فاصله به صورت یک عمود کشیده شده از M 1 به خط مستقیم a است. روش دوم از معادله معمولی خط مستقیم a برای یافتن فاصله مورد نیاز استفاده می کند.

اگر نقطه ای در صفحه با مختصات M 1 (x 1 , y 1) در یک سیستم مختصات مستطیلی، خط مستقیم a وجود دارد و باید فاصله M 1 H 1 را پیدا کنید، می توانید محاسبه را در دو صورت انجام دهید. راه ها. بیایید به آنها نگاه کنیم.

راه اول

اگر مختصات نقطه H 1 برابر با x 2، y 2 باشد، فاصله نقطه تا خط با استفاده از مختصات فرمول M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2) محاسبه می شود. - y 1) 2.

اکنون به سراغ یافتن مختصات نقطه H 1 می رویم.

مشخص است که یک خط مستقیم در O x y با معادله یک خط مستقیم در صفحه مطابقت دارد. بیایید روش تعریف خط مستقیم a را با نوشتن یک معادله کلی از یک خط مستقیم یا یک معادله با ضریب زاویه ای در نظر بگیریم. معادله خط مستقیمی را می سازیم که از نقطه M 1 عمود بر یک خط مستقیم معین a می گذرد. بیایید خط مستقیم را با حرف b نشان دهیم. H 1 نقطه تلاقی خطوط a و b است، به این معنی که برای تعیین مختصات لازم است از مقاله ای استفاده کنید که در آن ما در مورددر مورد مختصات نقاط تقاطع دو خط.

مشاهده می شود که الگوریتم برای یافتن فاصله از نقطه معین M 1 (x 1, y 1) تا خط مستقیم a با توجه به نقاط زیر انجام می شود:

تعریف 3

• پیدا کردن معادله کلی یک خط مستقیم a با شکل A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 یا معادله ای با ضریب زاویه که به شکل y = k 1 x + b 1 است.
• به دست آوردن یک معادله کلی از خط b، به شکل A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 یا معادله ای با ضریب زاویه ای y = k 2 x + b 2، اگر خط b نقطه M 1 را قطع کند و عمود بر آن باشد. یک خط داده شده a;
• تعیین مختصات x 2, y 2 نقطه H 1 که نقطه تلاقی a و b است، برای این منظور سیستم معادلات خطی حل می شود A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 یا y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2 ;
• محاسبه فاصله مورد نیاز از یک نقطه تا یک خط با استفاده از فرمول M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

راه دوم

این قضیه می تواند به پاسخ به سؤال یافتن فاصله از یک نقطه معین تا یک خط مستقیم معین در یک صفحه کمک کند.

قضیه

سیستم مختصات مستطیلی دارای O x y دارای یک نقطه M 1 (x 1, y 1) است که از آن یک خط مستقیم به صفحه رسم می شود که با معادله نرمال صفحه به شکل cos α x + cos β y به دست می آید. - p = 0، برابر با مقدار مطلق بدست آمده در سمت چپ معادله عادی خط، محاسبه شده در x = x 1، y = y 1، به این معنی است که M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p.

اثبات

خط a مطابق با معادله نرمال صفحه است که به شکل cos α x + cos β y - p = 0 است، سپس n → = (cos α، cos β) بردار نرمال خط a در فاصله از مبدا به خط a با واحد p . لازم است تمام داده ها را در شکل نمایش دهید، یک نقطه با مختصات M 1 (x 1، y 1) اضافه کنید، که در آن بردار شعاع نقطه M 1 - O M 1 → = (x 1، y 1) است. لازم است یک خط مستقیم از یک نقطه به یک خط مستقیم بکشیم که آن را M 1 H 1 نشان می دهیم. لازم است برآمدگی های M 2 و H 2 نقاط M 1 و H 2 را بر روی یک خط مستقیم که از نقطه O با بردار جهت به شکل n → = (cos α, cos β) می گذرد نشان داده و نشان دهیم. طرح عددی بردار به صورت O M 1 → = (x 1, y 1) به جهت n → = (cos α , cos β) به صورت n p n → O M 1 → .

تغییرات به محل خود نقطه M1 بستگی دارد. بیایید به شکل زیر نگاه کنیم.

ما نتایج را با استفاده از فرمول M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p ثابت می کنیم. سپس تساوی را به این شکل M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p می آوریم تا n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 به دست آوریم.

حاصل ضرب اسکالر بردارها منجر به فرمول تبدیل شده ای به شکل n →، O M → 1 = n → · n p n → O M 1 → = 1 · n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → است که یک ضرب به شکل مختصات است. از شکل n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . این بدان معنی است که ما دریافت می کنیم که n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . نتیجه می شود که M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p. قضیه ثابت شده است.

متوجه شدیم که برای یافتن فاصله از نقطه M 1 (x 1, y 1) تا خط مستقیم a در هواپیما، باید چندین عمل را انجام دهید:

تعریف 4

• به دست آوردن معادله عادی خط مستقیم a cos α · x + cos β · y - p = 0، مشروط بر اینکه در کار نباشد.
• محاسبه عبارت cos α · x 1 + cos β · y 1 - p، که در آن مقدار حاصل M 1 H 1 می گیرد.

بیایید از این روش ها برای حل مسائل مربوط به یافتن فاصله از یک نقطه تا یک صفحه استفاده کنیم.

مثال 1

فاصله نقطه با مختصات M 1 (- 1، 2) تا خط مستقیم 4 x - 3 y + 35 = 0 را پیدا کنید.

راه حل

بیایید از روش اول برای حل استفاده کنیم.

برای انجام این کار باید پیدا کنید معادله کلیخط b، که از نقطه معین M 1 (- 1، 2)، عمود بر خط 4 x - 3 y + 35 = 0 عبور می کند. از شرط مشخص می شود که خط مستقیم b بر خط مستقیم a عمود است، سپس بردار جهت آن دارای مختصاتی برابر با (4، - 3) است. بنابراین، ما این فرصت را داریم که معادله متعارف خط b را روی صفحه بنویسیم، زیرا مختصاتی از نقطه M 1 وجود دارد که متعلق به خط b است. بیایید مختصات بردار جهت دهنده خط مستقیم b را تعیین کنیم. دریافت می کنیم که x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3. معادله متعارف حاصل باید به یک معادله عمومی تبدیل شود. سپس ما آن را دریافت می کنیم

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 · (x + 1) = 4 · (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

اجازه دهید مختصات نقاط تقاطع خطوط را پیدا کنیم که به عنوان نام H 1 در نظر می گیریم. تحولات به این صورت است:

4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

از آنچه در بالا نوشته شد، داریم که مختصات نقطه H 1 برابر است با (- 5; 5).

محاسبه فاصله نقطه M 1 تا خط مستقیم a ضروری است. مختصات نقاط M 1 (- 1, 2) و H 1 (- 5, 5) را داریم، سپس آنها را در فرمول جایگزین می کنیم تا فاصله را پیدا کنیم و بدست آوریم که

M 1 H 1 = (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 = 25 = 5

راه حل دوم

برای حل به روشی دیگر، باید معادله عادی خط را بدست آوریم. مقدار ضریب نرمال کننده را محاسبه کرده و دو طرف معادله را 4 x - 3 y + 35 = 0 ضرب می کنیم. از اینجا دریافت می کنیم که ضریب نرمال کننده برابر است با - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5، و معادله نرمال به شکل - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 خواهد بود. ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .

با توجه به الگوریتم محاسبه، لازم است معادله عادی خط را به دست آوریم و آن را با مقادیر x = - 1، y = 2 محاسبه کنیم. سپس ما آن را دریافت می کنیم

4 5 · - 1 + 3 5 · 2 - 7 = - 5

از این نتیجه دریافت می کنیم که فاصله از نقطه M 1 (- 1، 2) تا خط مستقیم داده شده 4 x - 3 y + 35 = 0 دارای مقدار - 5 = 5 است.

پاسخ: 5 .

مشاهده می شود که در این روش استفاده از معادله عادی خط مهم است، زیرا این روش کوتاه ترین است. اما روش اول به دلیل سازگاری و منطقی بودن آن راحت است، اگرچه امتیازات محاسبه بیشتری دارد.

مثال 2

در صفحه یک سیستم مختصات مستطیلی O x y با نقطه M 1 (8، 0) و خط مستقیم y = 1 2 x + 1 وجود دارد. فاصله یک نقطه معین تا یک خط مستقیم را پیدا کنید.

راه حل

حل به روش اول شامل کاهش یک معادله داده شده با شیب به معادله است نمای کلی. برای ساده‌تر شدن، می‌توانید آن را متفاوت انجام دهید.

اگر حاصل ضرب ضرایب زاویه ای خطوط مستقیم عمود بر یک مقدار باشد، آنگاه شیبخط عمود بر یک داده شده y = 1 2 x + 1 مقدار 2 را دارد. اکنون معادله خطی را که از نقطه ای با مختصات M 1 (8, 0) می گذرد به دست می آوریم. داریم که y - 0 = - 2 · (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .

ما به یافتن مختصات نقطه H 1، یعنی نقاط تقاطع y = - 2 x + 16 و y = 1 2 x + 1 ادامه می دهیم. ما یک سیستم معادلات می سازیم و به دست می آوریم:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 · 6 + 1 x = 6 = y = 4 x = 6 ⇒ H 1 (6، 4)

نتیجه این است که فاصله از نقطه با مختصات M 1 (8, 0) تا خط مستقیم y = 1 2 x + 1 برابر است با فاصله از نقطه شروع و نقطه پایان با مختصات M 1 (8, 0) و H 1 (6، 4). بیایید محاسبه کنیم و پیدا کنیم که M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5.

راه حل در راه دوم این است که از یک معادله با ضریب به شکل عادی آن حرکت کنیم. یعنی y = 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 = 0 را دریافت می کنیم، سپس مقدار ضریب نرمال کننده - 1 1 2 2 + (- 1) 2 = - 2 5 خواهد بود. نتیجه می شود که معادله عادی خط به شکل - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 است. بیایید محاسبه را از نقطه M 1 8، 0 تا یک خط به شکل - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 انجام دهیم. ما گرفتیم:

M 1 H 1 = - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 = - 10 5 = 2 5

پاسخ: 2 5 .

مثال 3

لازم است فاصله از نقطه با مختصات M 1 (- 2، 4) تا خطوط 2 x - 3 = 0 و y + 1 = 0 محاسبه شود.

راه حل

معادله شکل عادی خط مستقیم 2 x - 3 = 0 را به دست می آوریم:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

سپس به محاسبه فاصله از نقطه M 1 - 2، 4 تا خط مستقیم x - 3 2 = 0 ادامه می دهیم. ما گرفتیم:

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

معادله خط مستقیم y + 1 = 0 دارای ضریب نرمال کننده با مقدار -1 است. این بدان معنی است که معادله به شکل - y - 1 = 0 خواهد بود. ما به محاسبه فاصله از نقطه M 1 (- 2، 4) تا خط مستقیم - y - 1 = 0 ادامه می دهیم. متوجه می شویم که برابر است با - 4 - 1 = 5.

پاسخ: 3 1 2 و 5.

بیایید نگاهی دقیق تر به یافتن فاصله از یک نقطه معین در هواپیما به آن بیندازیم محورهای مختصات O x و O y.

در یک سیستم مختصات مستطیلی، محور O دارای معادله ای از یک خط مستقیم است که ناقص است و به شکل x = 0 و Ox - y = 0 است. معادلات برای محورهای مختصات نرمال است، سپس باید فاصله نقطه با مختصات M 1 x 1، y 1 تا خطوط را پیدا کرد. این بر اساس فرمول های M 1 H 1 = x 1 و M 1 H 1 = y 1 انجام می شود. بیایید به شکل زیر نگاه کنیم.

مثال 4

فاصله نقطه M 1 (6, - 7) تا خطوط مختصات واقع در صفحه O x y را بیابید.

راه حل

از آنجایی که معادله y = 0 به خط O x مربوط می شود، می توانیم فاصله M 1 s را پیدا کنیم. مختصات داده شده، به این خط مستقیم با استفاده از فرمول. ما می گیریم که 6 = 6.

از آنجایی که معادله x = 0 به خط مستقیم O y اشاره دارد، می توانید فاصله M 1 تا این خط مستقیم را با استفاده از فرمول پیدا کنید. سپس دریافت می کنیم که - 7 = 7.

پاسخ:فاصله M 1 تا O x دارای مقدار 6 و از M 1 تا O y دارای مقدار 7 است.

وقتی در فضای سه بعدی نقطه ای با مختصات M 1 (x 1, y 1, z 1) داریم، لازم است فاصله نقطه A تا خط مستقیم a را پیدا کنیم.

بیایید دو روش را در نظر بگیریم که به شما امکان می دهد فاصله یک نقطه تا یک خط مستقیم a واقع در فضا را محاسبه کنید. مورد اول فاصله نقطه M 1 تا یک خط را در نظر می گیرد که در آن نقطه ای از خط H 1 نامیده می شود و پایه عمودی است که از نقطه M 1 به خط a کشیده شده است. مورد دوم نشان می دهد که نقاط این صفحه را باید به عنوان ارتفاع متوازی الاضلاع جستجو کرد.

راه اول

از این تعریف داریم که فاصله از نقطه M 1 واقع در خط مستقیم a طول عمود بر M 1 H 1 است، سپس به دست می آوریم که با مختصات یافت شده نقطه H 1، سپس فاصله بین M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) و H 1 (x 1 , y 1 , z 1) بر اساس فرمول M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.

متوجه شدیم که کل جواب به سمت یافتن مختصات قاعده عمود رسم شده از M 1 به خط مستقیم a می رود. این کار به صورت زیر انجام می شود: H 1 نقطه ای است که خط مستقیم a با صفحه ای که از نقطه داده شده می گذرد قطع می شود.

این بدان معنی است که الگوریتم تعیین فاصله از نقطه M 1 (x 1، y 1، z 1) تا خط a در فضا متضمن چندین نقطه است:

تعریف 5

• ترسیم معادله صفحه χ به عنوان معادله صفحه ای که از نقطه معینی عمود بر خط می گذرد.
• تعیین مختصات (x 2, y 2, z 2) متعلق به نقطه H 1 که نقطه تلاقی خط مستقیم a و صفحه χ است.
• محاسبه فاصله از یک نقطه تا یک خط با استفاده از فرمول M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.

راه دوم

از شرطی که یک خط مستقیم داریم، سپس می توانیم بردار جهت a → = a x، a y، a z را با مختصات x 3، y 3، z 3 و یک نقطه M 3 متعلق به راست a تعیین کنیم. اگر مختصات نقاط M 1 (x 1، y 1) و M 3 x 3، y 3، z 3 را دارید، می توانید M 3 M 1 → محاسبه کنید:

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3، y 1 - y 3، z 1 - z 3)

باید بردارهای a → = a x، a y، a z و M 3 M 1 → = x 1 - x 3، y 1 - y 3، z 1 - z 3 را از نقطه M 3 کنار بگذاریم، آنها را به هم وصل کرده و متوازی الاضلاع به دست آوریم. شکل. M 1 H 1 ارتفاع متوازی الاضلاع است.

بیایید به شکل زیر نگاه کنیم.

داریم که ارتفاع M 1 H 1 فاصله مورد نیاز است، سپس باید با استفاده از فرمول آن را پیدا کرد. یعنی ما به دنبال M 1 H 1 هستیم.

اجازه دهید مساحت متوازی الاضلاع را با حرف S نشان دهیم که با فرمول با استفاده از بردار a → = (a x, a y, a z) و M 3 M 1 → = x 1 - x 3 یافت می شود. y 1 - y 3، z 1 - z 3. فرمول مساحت S = a → × M 3 M 1 → است. همچنین مساحت شکل برابر با حاصل ضرب طول اضلاع و ارتفاع آن است که با a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 به دست می آید که S = a → · M 1 H 1 طول بردار a → = (a x , a y , a z) است که برابر با ضلع متوازی الاضلاع است. این بدان معنی است که M 1 H 1 فاصله نقطه تا خط است. با استفاده از فرمول M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → یافت می شود.

برای یافتن فاصله از نقطه ای با مختصات M 1 (x 1، y 1، z 1) تا یک خط مستقیم a در فضا، باید چندین مرحله از الگوریتم را انجام دهید:

تعریف 6

• تعیین بردار جهت خط مستقیم a - a → = (a x, a y, a z);
• محاسبه طول بردار جهت a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ;
• به دست آوردن مختصات x 3 , y 3 , z 3 متعلق به نقطه M 3 واقع در خط مستقیم a.
• محاسبه مختصات بردار M 3 M 1 → ;
• یافتن حاصل ضرب برداری بردارهای a → (a x, a y , a z) و M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 به صورت a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 برای بدست آوردن طول با استفاده از فرمول a → × M 3 M 1 → .
• محاسبه فاصله از یک نقطه تا یک خط M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

حل مسائل یافتن فاصله از یک نقطه معین تا یک خط معین در فضا

فاصله نقطه با مختصات M 1 2, - 4, - 1 تا خط x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 را بیابید.

راه حل

روش اول با نوشتن معادله صفحه χ که از M 1 می گذرد و بر یک نقطه معین عمود می شود شروع می شود. ما عبارتی مانند این را دریافت می کنیم:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

لازم است مختصات نقطه H 1 را که نقطه تقاطع با صفحه χ به خط مشخص شده توسط شرط است، پیدا کنید. شما باید از نمای متعارف به نمای متقاطع حرکت کنید. سپس یک سیستم معادلات به شکل زیر بدست می آوریم:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 · (x + 1) = 2 · y 5 · (x + 1) = 2 · (z + 5) 5 · y = - 1 · (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

محاسبه سیستم x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 ضروری است. 2 x - y + 5 z = 3 با روش کرامر، سپس به این نتیجه می رسیم:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 - 60 = 0

از اینجا ما آن H 1 (1, - 1, 0) را داریم.

M 1 H 1 = 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 = 11

روش دوم باید با جستجوی مختصات در معادله متعارف آغاز شود. برای این کار باید به مخرج کسر توجه کنید. سپس a → = 2، - 1، 5 بردار جهت خط x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 است. لازم است طول را با استفاده از فرمول a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30 محاسبه کنید.

واضح است که خط مستقیم x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 نقطه M 3 (- 1 , 0 , - 5) را قطع می کند، از این رو داریم که بردار با مبدا M 3 (- 1 , 0 , - 5) و انتهای آن در نقطه M 1 2, - 4, - 1 M 3 M 1 → = 3, - 4, 4 است. حاصلضرب برداری a → = (2، - 1، 5) و M 3 M 1 → = (3، - 4، 4) را بیابید.

عبارتی به شکل a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 · j → = 16 · i → + 7 · j → - 5 · k →

در می یابیم که طول حاصلضرب بردار برابر با → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330 است.

ما تمام داده ها را برای استفاده از فرمول برای محاسبه فاصله از یک نقطه برای یک خط مستقیم داریم، بنابراین بیایید آن را اعمال کنیم و دریافت کنیم:

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

پاسخ: 11 .

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید