هنگام مطالعه استریومتری یکی از مباحث اصلی «سیلندر» است. مساحت سطح جانبی، اگر فرمول اصلی نباشد، در هنگام حل مسائل هندسی در نظر گرفته می شود. با این حال، یادآوری تعاریف مهم است که به شما کمک می کند تا در مثال ها و هنگام اثبات قضایای مختلف پیمایش کنید.

مفهوم سیلندر

تعاریف متعددی وجود دارد که ابتدا باید در نظر گرفت. فقط پس از مطالعه آنها می توان به بررسی فرمول مساحت سطح جانبی استوانه پرداخت. عبارات دیگر را می توان بر اساس این رکورد محاسبه کرد.

• سطح استوانه‌ای به عنوان صفحه‌ای است که توسط ژنراتیکس توصیف می‌شود، حرکت می‌کند و به موازات یک جهت معین باقی می‌ماند و در امتداد یک منحنی موجود می‌لغزد.
• همچنین یک تعریف دوم وجود دارد: یک سطح استوانه ای توسط مجموعه ای از خطوط مستقیم موازی که یک منحنی معین را قطع می کنند تشکیل می شود.
• ژنراتیکس معمولاً ارتفاع سیلندر نامیده می شود. وقتی آن را حول محوری که از مرکز پایه می گذرد حرکت دهید، بدنه هندسی تعیین شده را به دست می آورید.
• محور خط مستقیمی است که از هر دو پایه شکل می گذرد.
• استوانه یک جسم استریومتریک است که توسط سطوح جانبی متقاطع و 2 صفحه موازی محدود شده است.

انواع مختلفی از این شکل سه بعدی وجود دارد:

1. منظور از دایره، استوانه ای است که راهنمای آن دایره است. اجزای اصلی آن شعاع پایه و ژنراتیکس هستند. دومی برابر با ارتفاع شکل است.
2. یک استوانه مستقیم وجود دارد. نام خود را به دلیل عمود بودن ژنراتیکس به پایه های شکل گرفته است.
3. نوع سوم استوانه ای اریب است. در کتاب های درسی می توانید نام دیگر آن «استوانه دایره ای با پایه اریب» را نیز بیابید. این شکل با شعاع پایه، حداقل و حداکثر ارتفاع تعیین می شود.
4. استوانه متساوی الاضلاع به جسمی گفته می شود که ارتفاع و قطر یک صفحه دایره ای برابر دارد.

نمادها

به طور سنتی، "اجزای" اصلی سیلندر معمولا به شرح زیر نامیده می شود:

• شعاع پایه - R (همچنین جایگزین همان اندازه شکل استریومتریک می شود).
• شکل دهنده - L.
• قد - H.
• مساحت پایه S اصلی است (به عبارت دیگر، لازم است پارامتر مشخص شده دایره را پیدا کنید).
• ارتفاع سیلندر اریب - h 1، h 2 (حداقل و حداکثر).
• سطح جانبی ضلع S است (اگر آن را باز کنید، نوعی مستطیل خواهید داشت).
• حجم شکل استریومتریک V است.
• سطح کل - S.

شکل استریومتریک "اجزا"

هنگامی که یک استوانه مطالعه می شود، سطح جانبی نقش مهمی ایفا می کند. این به این دلیل است که این فرمول در چندین فرمول پیچیده دیگر گنجانده شده است. بنابراین، شما باید در تئوری به خوبی آشنا باشید.

اجزای اصلی شکل عبارتند از:

1. سطح جانبی. همانطور که می دانید در اثر حرکت ژنراتور در طول یک منحنی مشخص به دست می آید.
2. سطح کل شامل پایه های موجود و صفحه جانبی است.
3. مقطع یک استوانه معمولاً مستطیلی موازی با محور شکل است. در غیر این صورت به آن هواپیما می گویند. به نظر می رسد که طول و عرض بخشی از ترکیب چهره های دیگر است. بنابراین، به طور معمول، طول مقطع ژنراتور هستند. عرض - آکوردهای موازی یک شکل استریومتریک.
4. بخش محوری به معنای محل قرارگیری هواپیما از مرکز بدن است.
5. و در نهایت یک تعریف نهایی. صفحه مماس صفحه ای است که از ژنراتیکس استوانه عبور می کند و با قسمت محوری زاویه قائم دارد. در این صورت یک شرط باید رعایت شود. ژنراتیکس مشخص شده باید وارد صفحه قسمت محوری شود.

فرمول های اساسی برای کار با سیلندر

برای پاسخ به این سوال که چگونه می توان سطح یک استوانه را پیدا کرد، باید "اجزای" اصلی شکل استریومتریک و فرمول های یافتن آنها را مطالعه کرد.

این فرمول ها از این جهت متفاوت هستند که ابتدا عبارات برای یک استوانه کج شده و سپس برای یک استوانه مستقیم داده می شود.

نمونه هایی با محلول جدا شده

شما باید مساحت سطح جانبی سیلندر را بدانید. با توجه به قطر مقطع AC = 8 سانتی متر (و محوری است). هنگام تماس با ژنراتیکس، معلوم می شود< ACD = 30°

راه حل. از آنجایی که مقادیر مورب و زاویه مشخص است، در این مورد:

• CD = AC * cos 30 درجه.

یک نظر. مثلث ACD، در مثال خاص، مستطیل شکل. این بدان معناست که ضریب CD و AC = کسینوس زاویه موجود است. معنی توابع مثلثاتیرا می توان در یک جدول خاص یافت.

به طور مشابه، می توانید مقدار AD را پیدا کنید:

• AD = AC * گناه 30 درجه

اکنون باید نتیجه مورد نظر را طبق فرمول زیر محاسبه کرد: مساحت سطح جانبی استوانه برابر با دو برابر حاصل ضرب "pi"، شعاع شکل و ارتفاع آن است. فرمول دیگری باید استفاده شود: مساحت پایه سیلندر. برابر است با حاصل ضرب "پی" در مربع شعاع. و در نهایت آخرین فرمول: مساحت کلسطح برابر است با مجموع دو ناحیه قبلی.

سیلندر داده می شود. حجم آنها = 128 * n cm³. کدام استوانه کمترین مساحت کل را دارد؟

راه حل. ابتدا باید از فرمول هایی برای یافتن حجم شکل و ارتفاع آن استفاده کنید.

از آنجایی که مساحت کل استوانه از نظر تئوری مشخص است، لازم است فرمول آن اعمال شود.

اگر فرمول به دست آمده را تابعی از مساحت سیلندر در نظر بگیریم، حداقل "شاخص" در نقطه منتهی به دست می آید. برای به دست آوردن آخرین مقدار، باید از تمایز استفاده کنید.

فرمول ها را می توان در یک جدول ویژه برای یافتن مشتقات مشاهده کرد. در آینده، نتیجه یافت شده برابر با صفر می شود و جواب معادله پیدا می شود.

پاسخ: S min در h = 1/32 سانتی متر، R = 64 سانتی متر به دست می آید.

یک شکل استریومتریک داده شده است - یک استوانه و یک بخش. دومی به گونه ای انجام می شود که موازی با محور بدنه استریومتریک باشد. سیلندر دارای پارامترهای زیر است: VK = 17 سانتی متر، h = 15 سانتی متر، R = 5 سانتی متر لازم است فاصله بین مقطع و محور را پیدا کنید.

از آنجایی که سطح مقطع سیلندر یک VSCM است، یعنی یک مستطیل، پس ضلع آن BM = h است. در نظر گرفتن آی یو دی ضروری است. مثلث مستطیل است. بر اساس این گزاره، می توان این فرض درست را استنباط کرد که MK = BC.

VK² = VM² + MK²

MK² = VK² - VM²

MK² = 17² - 15²

از این رو، می توان نتیجه گرفت که MK = BC = 8 سانتی متر.

مرحله بعدی برش پایه شکل است. لازم است صفحه حاصل را در نظر بگیرید.

AD قطر شکل استریومتریک است. موازی با بخش ذکر شده در بیانیه مشکل است.

قبل از میلاد - یک خط مستقیم واقع در صفحه مستطیل موجود.

ABCD یک ذوزنقه است. در یک مورد خاص، متساوی الساقین در نظر گرفته می شود، زیرا یک دایره در اطراف آن توصیف شده است.

اگر ارتفاع ذوزنقه حاصل را بیابید، می توانید پاسخی را که در ابتدای مسئله مطرح شده است، دریافت کنید. یعنی: یافتن فاصله بین محور و مقطع ترسیم شده.

برای این کار لازم است مقادیر AD و OC را پیدا کنید.

پاسخ: مقطع در فاصله 3 سانتی متری از محور قرار دارد.

وظایف برای ادغام مواد

یک سیلندر داده شده است. سطح جانبی در محلول بعدی استفاده می شود. پارامترهای دیگر شناخته شده است. مساحت پایه Q است، مساحت بخش محوری M است. باید S را پیدا کرد. به عبارت دیگر، مساحت کل استوانه است.

یک سیلندر داده شده است. سطح جانبی باید در یکی از مراحل حل مشکل پیدا شود. مشخص است که ارتفاع = 4 سانتی متر، شعاع = 2 سانتی متر است. لازم است مساحت کل شکل استریومتریک را پیدا کنید.

وظایف زیادی در ارتباط با یک سیلندر وجود دارد. آنها باید شعاع و ارتفاع بدن یا نوع مقطع آن را پیدا کنند. به علاوه، گاهی اوقات باید مساحت یک سیلندر و حجم آن را محاسبه کنید.

کدام بدنه استوانه ای است؟

میدانم برنامه آموزشی مدرسهدایره، یعنی در قاعده بودن، استوانه مورد مطالعه قرار می گیرد. اما آنها همچنین ظاهر بیضوی این شکل را برجسته می کنند. از نام آن مشخص است که پایه آن بیضی یا بیضی خواهد بود.

سیلندر دو پایه دارد. آنها با یکدیگر برابر هستند و توسط بخش های خطی که با نقاط پایه مربوطه مطابقت دارند به هم متصل می شوند. آنها ژنراتیکس سیلندر نامیده می شوند. همه ژنراتورها موازی با یکدیگر و برابر هستند. آنها هستند که سطح جانبی بدن را تشکیل می دهند.

V مورد کلیسیلندر یک بدنه شیبدار است. اگر ژنراتورها با پایه ها زاویه ای قائم ایجاد کنند، آنگاه در حال حاضر در مورد یک شکل مستقیم صحبت می کنند.

جالب اینجاست که یک استوانه مدور بدنه ای از چرخش است. با چرخاندن یک مستطیل به دور یکی از اضلاع آن به دست می آید.

عناصر اصلی سیلندر

عناصر اصلی سیلندر به شرح زیر است.

1. ارتفاع این کمترین فاصله بین پایه های سیلندر است. اگر مستقیم باشد، ارتفاع با ژنراتیکس منطبق است.
2. شعاع. همان چیزی که در پایه می توان ترسیم کرد.
3. محور. این یک خط مستقیم است که مرکز هر دو پایه را در بر می گیرد. محور همیشه با همه ژنراتورها موازی است. در یک استوانه مستقیم بر پایه ها عمود است.
4. بخش محوری. زمانی تشکیل می شود که صفحه حاوی محور استوانه را قطع کند.
5. هواپیمای مماس. از یکی از ژنراتیکس ها عبور می کند و عمود بر قسمت محوری است که از این ژنراتیکس کشیده شده است.

چگونه استوانه با منشوری که در آن حک شده یا در اطراف آن توصیف شده است به هم متصل می شود؟

گاهی اوقات مشکلاتی وجود دارد که در آنها لازم است مساحت یک استوانه محاسبه شود و برخی از عناصر منشور مرتبط با آن شناخته شده است. این ارقام چگونه به هم مرتبط هستند؟

اگر منشوری در یک استوانه حک شده باشد، پایه های آن چند ضلعی مساوی هستند. علاوه بر این، آنها در پایه های سیلندر مربوطه حک شده اند. لبه های جانبی منشور با ژنراتیکس منطبق است.

منشور توصیف شده دارای چندضلعی های منظم در پایه است. آنها در اطراف دایره های استوانه، که پایه های آن هستند، توصیف شده اند. صفحاتی که دارای وجه های منشور هستند، استوانه را در امتداد ژنراتیکس لمس می کنند.

در مورد مساحت سطح جانبی و پایه برای یک استوانه دایره ای مستقیم

اگر سطح جانبی را باز کنید، یک مستطیل می گیرید. اضلاع آن با ژنراتیکس و محیط پایه منطبق خواهد بود. بنابراین مساحت جانبی سیلندر برابر حاصلضرب این دو مقدار خواهد بود. اگر فرمول را یادداشت کنید، موارد زیر را دریافت خواهید کرد:

سمت S = l * n،

جایی که n مولد، l محیط است.

علاوه بر این، آخرین پارامتر با فرمول محاسبه می شود:

l = 2 π * r،

در اینجا r شعاع دایره است، π عدد "pi" برابر با 3.14 است.

از آنجایی که پایه یک دایره است، مساحت آن با استفاده از عبارت زیر محاسبه می شود:

S اصلی = π * r 2.

در مورد مساحت کل سطح یک استوانه دایره ای مستقیم

از آنجایی که توسط دو پایه و یک سطح جانبی تشکیل شده است، باید این سه مقدار را اضافه کنید. یعنی مساحت کل سیلندر با فرمول محاسبه می شود:

طبقه S = 2 π * r * n + 2 π * r 2.

اغلب به شکل دیگری نوشته می شود:

طبقه S = 2 π * r (n + r).

در مورد نواحی یک استوانه دایره ای مایل

در مورد پایه ها، همه فرمول ها یکسان هستند، زیرا آنها هنوز دایره هستند. اما سطح جانبی دیگر مستطیل نمی دهد.

برای محاسبه مساحت سطح جانبی یک استوانه شیبدار، باید مقادیر ژنراتیکس و محیط مقطع را که عمود بر ژنراتیکس انتخاب شده است ضرب کنید.

فرمول به شکل زیر است:

سمت S = x * P،

که در آن x طول ژنراتیکس سیلندر است، P محیط مقطع است.

به هر حال، بهتر است بخشی را انتخاب کنید تا بیضی شکل بگیرد. سپس محاسبات محیط آن ساده می شود. طول بیضی با استفاده از فرمولی که جواب تقریبی می دهد محاسبه می شود. اما اغلب برای وظایف دوره مدرسه کافی است:

l = π * (a + b)،

که در آن "a" و "b" نیم محورهای بیضی هستند، یعنی فاصله از مرکز تا نزدیکترین و دورترین نقاط آن.

مساحت کل سطح باید با استفاده از عبارت زیر محاسبه شود:

طبقه S = 2 π * r 2 + x * R.

چند بخش از یک استوانه دایره ای راست برابر است؟

هنگامی که مقطع از محور عبور می کند، مساحت آن به عنوان حاصل ضرب ژنراتیکس و قطر پایه تعیین می شود. این به دلیل این واقعیت است که شبیه یک مستطیل است که اضلاع آن با عناصر تعیین شده منطبق است.

برای یافتن سطح مقطع استوانه ای که موازی با محوری است، به فرمولی برای مستطیل نیز نیاز دارید. در این شرایط، یک طرف آن همچنان با ارتفاع منطبق است، در حالی که طرف دیگر برابر با وتر پایه است. دومی با خط مقطع در پایه منطبق است.

هنگامی که مقطع عمود بر محور باشد، مانند یک دایره به نظر می رسد. علاوه بر این، مساحت آن مانند پایه شکل است.

تقاطع در یک زاویه معین نسبت به محور نیز امکان پذیر است. سپس در قسمت بیضی یا قسمتی از آن به دست می آید.

نمونه هایی از وظایف

کار شماره 1.با توجه به یک استوانه مستقیم، مساحت پایه آن 12.56 سانتی متر مربع است. اگر ارتفاع سیلندر 3 سانتی متر باشد، باید مساحت کل سیلندر را محاسبه کرد.

راه حل. استفاده از فرمول برای مساحت کل یک استوانه دایره ای مستقیم ضروری است. اما فاقد داده است، یعنی شعاع پایه. اما مساحت دایره مشخص است. محاسبه شعاع از روی آن آسان است.

معلوم می شود که برابر است با جذر ضریب که با تقسیم مساحت پایه بر پی بدست می آید. بعد از تقسیم 12.56 بر 3.14 عدد 4 بیرون می آید. ریشه دوماز 4 برابر 2 است. بنابراین، شعاع دقیقاً این مقدار را خواهد داشت.

جواب: کف S = 50.24 سانتی متر مربع.

کار شماره 2.استوانه ای به شعاع 5 سانتی متر توسط صفحه ای موازی با محور قطع می شود. فاصله مقطع تا محور 3 سانتی متر ارتفاع استوانه 4 سانتی متر است لازم است سطح مقطع را پیدا کنید.

راه حل. شکل مقطع - مستطیل. یک طرف آن با ارتفاع استوانه منطبق است و طرف دیگر برابر با وتر است. اگر مقدار اول شناخته شده باشد، دومی باید پیدا شود.

برای این، یک ساخت و ساز اضافی باید ساخته شود. دو قسمت در پایه رسم کنید. هر دوی آنها از مرکز دایره شروع می شوند. اولی در مرکز وتر به پایان می رسد و با فاصله شناخته شده با محور برابر است. دومی در پایان آکورد است.

شما یک مثلث قائم الزاویه خواهید داشت. هیپوتنوز و یکی از پاها در آن شناخته شده است. هیپوتونوس با شعاع مطابقت دارد. پای دوم برابر با نیمی از وتر است. پای مجهول که در 2 ضرب شود، طول وتر مورد نظر را به دست می دهد. بیایید ارزش آن را محاسبه کنیم.

برای پیدا کردن پای مجهول باید هپوتنوس و پای معلوم را مربع کنید، دومی را از اولی کم کنید و ریشه دوم را استخراج کنید. مربع ها 25 و 9 هستند اختلاف آنها 16 است پس از استخراج ریشه 4 عدد باقی می ماند این پای مورد نظر است.

آکورد 4 * 2 = 8 (سانتی متر) خواهد بود. اکنون می توانید سطح مقطع را محاسبه کنید: 8 * 4 = 32 (cm 2).

پاسخ: مقطع S برابر با 32 سانتی متر مربع است.

کار شماره 3.محاسبه مساحت بخش محوری سیلندر ضروری است. معلوم است که مکعبی با لبه 10 سانتی متر در آن حک شده است.

راه حل. بخش محوری استوانه منطبق بر مستطیلی است که از چهار رأس مکعب می گذرد و شامل مورب های پایه های آن است. طرف مکعب ژنراتیکس استوانه است و قطر پایه با قطر منطبق است. حاصلضرب این دو مقدار ناحیه ای را که باید در مسئله بدانید را به دست می دهد.

برای پیدا کردن قطر، باید از دانش استفاده کنید که در قاعده مکعب یک مربع است و مورب آن یک مثلث قائم الزاویه متساوی الاضلاع را تشکیل می دهد. هیپوتانوز آن قطر شکل مورد نیاز است.

برای محاسبه آن به فرمول قضیه فیثاغورث نیاز دارید. شما باید ضلع مکعب را مربع کنید، آن را در 2 ضرب کنید و ریشه مربع را استخراج کنید. ده تا درجه دوم صد است. ضرب در 2 - دویست. جذر 200 برابر 10√2 است.

این بخش دوباره یک مستطیل با اضلاع 10 و 10√2 است. مساحت آن را می توان به راحتی با ضرب این مقادیر محاسبه کرد.

پاسخ. بخش S = 100√2 سانتی متر مربع.

مساحت سطح جانبی استوانه برابر با مساحت مستطیل است که قاعده آن 2π است. r، و ارتفاع برابر با ارتفاع استوانه است ساعت، یعنی 2π rh.

سطح کل سیلندر: 2π r 2 + 2π rh= 2π r(r+ ساعت).

مساحت سطح جانبی سیلندر به عنوان در نظر گرفته می شود منطقه اسکنسطح جانبی آن

بنابراین، مساحت سطح جانبی یک استوانه دایره ای مستقیم برابر با مساحت مستطیل مربوطه است (شکل) و با فرمول محاسبه می شود.

S b.ts. = 2πRH، (1)

اگر مساحت دو پایه آن را به سطح جانبی استوانه اضافه کنیم، مساحت کل سطح استوانه را به دست می آوریم.

اس پر = 2πRH + 2πR 2 = 2πR (H + R).

حجم سیلندر مستقیم

که در آن Q مساحت پایه و H ارتفاع استوانه است.

از آنجایی که مساحت قاعده استوانه Q است، دنباله هایی از چندضلعی های محصور و محاطی با مساحت Q وجود دارد. nو س' nبه طوری که

\ (\ lim_ (n \ پیکان راست \ infty) \) Q n= \ (\ lim_ (n \ فلش راست \ infty) \) Q n= س.

اجازه دهید دنباله ای از منشورها بسازیم که پایه های آن چند ضلعی های توصیف شده و محاط شده در بالا هستند و لبه های کناری موازی با ژنراتیکس استوانه داده شده و دارای طول H هستند. این منشورها برای این استوانه توصیف و حکاکی شده اند. حجم آنها با فرمول ها پیدا می شود

V n= س n H و V n= Q' nاچ.

از این رو،

V = \ (\ lim_ (n \ پیکان راست \ infty) \) Q n H = \ (\ lim_ (n \ فلش راست \ infty) \) Q n H = QH.

نتیجه.
حجم یک استوانه دایره ای مستقیم با فرمول محاسبه می شود

V = π R 2 H

که در آن R شعاع پایه و H ارتفاع استوانه است.

از آنجایی که پایه یک استوانه دایره ای دایره ای به شعاع R است، پس Q = π R 2، و بنابراین

بدنه های انقلابی که در مدرسه مورد مطالعه قرار می گیرند، یک استوانه، یک مخروط و یک توپ هستند.

اگر در یک مشکل در امتحان ریاضیات باید حجم یک مخروط یا مساحت یک کره را محاسبه کنید - خود را خوش شانس بدانید.

فرمول های حجم و سطح را برای استوانه، مخروط و توپ اعمال کنید. همه آنها در جدول ما هستند. با جان و دل یاد گرفتن. اینجاست که دانش استریومتری آغاز می شود.

گاهی اوقات ترسیم نمای بالا ایده خوبی است. یا، مانند این مشکل، از پایین.

2. حجم یک مخروط توصیف شده در مورد هرم چهار گوش منتظم چند بار بیشتر از حجم مخروطی است که در این هرم حک شده است؟

ساده است - یک نمای پایین بکشید. می بینیم که شعاع یک دایره بزرگتربرابر بزرگتر از شعاع کوچکتر ارتفاع هر دو مخروط یکسان است. در نتیجه، حجم مخروط بزرگتر دو برابر بزرگتر خواهد بود.

یکی دیگر نکته مهم... به یاد داشته باشید که در وظایف قسمت B گزینه های امتحاندر ریاضیات پاسخ به صورت عدد صحیح یا نهایی نوشته می شود اعشاری... بنابراین، در قسمت B نباید هیچ یا در پاسخ شما وجود داشته باشد. نیازی نیست مقدار تقریبی عدد را هم جایگزین کنید! باید به هر طریقی کاهش یابد!. برای این، در برخی از مسائل، کار به عنوان مثال به صورت زیر فرموله می شود: "مساحت سطح جانبی استوانه تقسیم بر" را پیدا کنید.

و فرمول های حجم و سطح بدنه های چرخش کجا دیگر اعمال می شود؟ البته در مسئله C2 (16). ما نیز در مورد آن به شما خواهیم گفت.

استوانه (برگرفته از زبان یونانی، از کلمات "غلتک"، "غلتک") جسمی هندسی است که در خارج با سطحی به نام استوانه و دو صفحه محدود شده است. این صفحات سطح شکل را قطع می کنند و موازی یکدیگر هستند.

سطح استوانه ای به سطحی گفته می شود که با یک خط مستقیم در فضا به دست می آید. این حرکات به گونه ای است که نقطه انتخاب شده از این خط مستقیم در امتداد یک منحنی از نوع صاف حرکت می کند. چنین خط مستقیمی ژنراتیکس و خط منحنی راهنما نامیده می شود.

استوانه از یک جفت پایه و یک طرف تشکیل شده است سطح استوانه ای... انواع مختلفی از سیلندر وجود دارد:

1. استوانه دایره ای و مستقیم. برای چنین سیلندری، پایه و راهنما بر خط ژنراتیکس عمود هستند و وجود دارد

2. سیلندر شیبدار. زاویه آن بین خط تولید و پایه درست نیست.

3. سیلندر از شکل های مختلف. هایپربولیک، بیضوی، سهمی و دیگران.

مساحت استوانه و همچنین مساحت کل هر استوانه با اضافه کردن مساحت پایه های این شکل و مساحت سطح جانبی بدست می آید.

فرمول محاسبه مساحت کل یک استوانه برای یک استوانه دایره ای و مستقیم:

Sp = 2p Rh + 2p R2 = 2p R (h + R).

مساحت سطح جانبی کمی دشوارتر از مساحت استوانه به عنوان یک کل است؛ با ضرب طول خط تولید در محیط مقطع تشکیل شده توسط صفحه ای که عمود است محاسبه می شود. به خط تولید

یک استوانه معین برای یک استوانه دایره ای و مستقیم با باز شدن این جسم تشخیص داده می شود.

الگوی مسطح مستطیلی است که دارای ارتفاع h و طول P برابر با محیط قاعده است.

از این رو نتیجه می شود که ناحیه جانبی سیلندر است مساحت مساویجارو کردن و با استفاده از این فرمول قابل محاسبه است:

اگر یک استوانه دایره ای و مستقیم بگیریم، برای آن:

P = 2p R و Sb = 2p Rh.

اگر استوانه مایل باشد، سطح جانبی باید برابر با حاصل ضرب طول خط ژنراتیکس آن و محیط مقطعی باشد که بر این خط ژنراتیکس عمود است.

متأسفانه هیچ فرمول ساده ای برای بیان سطح جانبی یک استوانه شیبدار بر حسب ارتفاع و پارامترهای پایه آن وجود ندارد.

برای محاسبه سیلندر، باید چند واقعیت را بدانید. اگر مقطعی با صفحه اش پایه ها را قطع کند، چنین مقطعی همیشه یک مستطیل است. اما این مستطیل ها بسته به موقعیت مقطع متفاوت خواهند بود. یکی از اضلاع قسمت محوری شکل که بر پایه ها عمود است برابر با ارتفاع و دیگری با قطر پایه استوانه است. و مساحت چنین مقطعی به ترتیب برابر است با حاصلضرب یک ضلع مستطیل در طرف دیگر عمود بر اولی یا حاصل ضرب ارتفاع این شکل با قطر قاعده آن.

اگر مقطع عمود بر پایه های شکل باشد، اما از محور چرخش عبور نکند، مساحت این مقطع برابر با ضرب ارتفاع این استوانه و یک وتر معین خواهد بود. برای به دست آوردن یک وتر، باید یک دایره در پایه استوانه بسازید، یک شعاع بکشید و فاصله ای که بخش در آن قرار دارد را رسم کنید. و از این نقطه باید عمود بر شعاع از تقاطع با دایره رسم کنید. نقاط تقاطع به مرکز متصل هستند. و قاعده مثلث مورد نظر است که جستجو می شود، به این صورت صدا می کند: "مجموع مربع های دو پایه برابر است با فرضیه مربع":

C2 = A2 + B2.

اگر قسمت با پایه استوانه تماس نداشته باشد و خود استوانه دایره ای و مستقیم باشد، مساحت این قسمت به عنوان مساحت دایره در نظر گرفته می شود.

مساحت دایره عبارت است از:

S env. = 2p R2.

برای پیدا کردن R، باید طول آن را بر 2n تقسیم کنید:

R \ u003d C \ 2п، که در آن n عدد پی است، یک ثابت ریاضی محاسبه شده برای کار با داده های دایره و برابر با 3.14.