Kaht punkti läbiva sirge võrrand. Artiklis" " Lubasin teil vaadata teist võimalust, kuidas lahendada esitatud tuletise leidmise probleeme, võttes arvesse funktsiooni graafikut ja selle graafiku puutujat. Me arutame seda meetodit artiklis , ära maga sellest ilma! Miks järgmises?

Fakt on see, et seal kasutatakse sirgjoone võrrandi valemit. Muidugi võiksime seda valemit lihtsalt näidata ja soovitada seda õppida. Kuid parem on selgitada, kust see pärineb (kuidas see tuletatakse). See on vajalik! Kui unustate selle, saate selle kiiresti taastadaei saa raske olema. Kõik on allpool üksikasjalikult kirjeldatud. Niisiis, meil on koordinaattasand seal on kaks punkti A(x 1;y 1) ja B(x 2;y 2) tõmmatakse läbi näidatud punktide sirgjoon:

Siin on otsene valem ise:

*See tähendab, et punktide konkreetsete koordinaatide asendamisel saame võrrandi kujul y=kx+b.

**Kui jätate selle valemi lihtsalt pähe, on tõenäosus, et aetakse indeksitega segi, kui X. Lisaks saab indekseid määrata erineval viisil, näiteks:

Sellepärast on oluline mõista tähendust.

Nüüd selle valemi tuletamine. See on väga lihtne!

Kolmnurgad ABE ja ACF on teravnurga poolest sarnased (esimene sarnasuse märk täisnurksed kolmnurgad). Sellest järeldub, et vastavate elementide suhted on võrdsed, see tähendab:

Nüüd väljendame neid segmente lihtsalt punktide koordinaatide erinevuse kaudu:

Muidugi ei teki viga, kui kirjutate elementide seosed erinevas järjekorras (peamine on säilitada järjepidevus):

Tulemuseks on sama sirge võrrand. See on kõik!

See tähendab, et olenemata sellest, kuidas punktid ise (ja nende koordinaadid) on määratud, leiate selle valemi mõistmisel alati sirgjoone võrrandi.

Valemit saab tuletada vektorite omaduste abil, kuid tuletamise põhimõte on sama, kuna me räägime nende koordinaatide proportsionaalsusest. Sel juhul töötab sama täisnurksete kolmnurkade sarnasus. Minu arvates on ülalkirjeldatud järeldus selgem)).

Vaadake väljundit vektorkoordinaatide kaudu >>>

Kaht etteantud punkti A(x 1;y 1) ja B(x 2;y 2) läbivale koordinaattasandile koostatakse sirge. Märgime suvalise punkti C sirgele koordinaatidega ( x; y). Samuti tähistame kahte vektorit:

On teada, et paralleelsetel joontel (või samal sirgel) asuvate vektorite puhul on nende vastavad koordinaadid võrdelised, see tähendab:

— kirjutame üles vastavate koordinaatide suhete võrdsuse:

Vaatame näidet:

Leidke kahte koordinaatidega (2;5) ja (7:3) punkti läbiva sirge võrrand.

Te ei pea isegi sirget ise ehitama. Rakendame valemit:

Suhtarvu koostamisel on oluline mõista kirjavahetust. Sa ei saa eksida, kui kirjutad:

Vastus: y=-2/5x+29/5 mine y=-0,4x+5,8

Veendumaks, et saadud võrrand leitakse õigesti, kontrollige kindlasti - asendage sellesse punktide seisukorras olevate andmete koordinaadid. Võrrandid peaksid olema õiged.

See on kõik. Loodan, et materjal oli teile kasulik.

Parimate soovidega, Aleksander.

P.S. Oleksin tänulik, kui räägiksite mulle saidi kohta sotsiaalvõrgustikes.

Olgu antud kaks punkti M 1 (x 1,y 1) Ja M 2 (x 2,y 2). Kirjutame sirge võrrandi kujul (5), kus k veel teadmata koefitsient:

Alates punktist M 2 kuulub antud reale, siis vastavad selle koordinaadid võrrandile (5): . Siit väljendades ja asendades selle võrrandiga (5), saame vajaliku võrrandi:

Kui selle võrrandi saab ümber kirjutada kujul, mis on meeldejätmiseks mugavam:

(6)

Näide. Kirjutage üles punkte M 1 (1,2) ja M 2 (-2,3) läbiva sirge võrrand.

Lahendus. . Kasutades proportsiooni omadust ja sooritades vajalikud teisendused, saame üldvõrrand otsene:

Nurk kahe sirge vahel

Mõelge kahele sirgjoonele l 1 Ja l 2:

l 1: , , Ja

l 2: , ,

φ on nendevaheline nurk (). Jooniselt 4 on selgelt näha: .

Siit , või

Valemi (7) abil saate määrata ühe sirgete vahelise nurga. Teine nurk on võrdne .

Näide. Kaks rida on antud võrranditega y=2x+3 ja y=-3x+2. leida nende joonte vaheline nurk.

Lahendus. Võrranditest on selge, et k 1 =2 ja k 2 =-3. Asendades need väärtused valemiga (7), leiame

. Seega on nende joonte vaheline nurk võrdne .

Kahe sirge paralleelsuse ja perpendikulaarsuse tingimused

Kui sirge l 1 Ja l 2 on siis paralleelsed φ=0 Ja tgφ=0. valemist (7) järeldub, et Kust k 2 = k 1. Seega on kahe sirge paralleelsuse tingimuseks nende nurkkoefitsientide võrdsus.

Kui sirge l 1 Ja l 2 on siis risti φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1 . . Seega on kahe sirge perpendikulaarsuse tingimuseks, et nende nurkkoefitsiendid on suuruselt pöördvõrdelised ja märgilt vastupidised.

Kaugus punktist jooneni

Teoreem. Kui on antud punkt M(x 0, y 0), siis määratakse kaugus sirgeni Ax + Bу + C = 0

Tõestus. Olgu punkt M 1 (x 1, y 1) punktist M antud sirgele langetatud risti alus. Seejärel punktide M ja M 1 vaheline kaugus:

Koordinaadid x 1 ja y 1 saab leida võrrandisüsteemi lahendamisega:

Süsteemi teine ​​võrrand on läbiva sirge võrrand see punkt M 0 on antud sirgega risti.

Kui teisendame süsteemi esimese võrrandi vormiks:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + 0 järgi + C = 0,

siis lahendades saame:

Asendades need avaldised võrrandisse (1), leiame:

Teoreem on tõestatud.

Näide. Määrake sirgete vaheline nurk: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k1 = -3; k 2 = 2 tanj= ; j = p/4.

Näide. Näidake, et sirged 3x – 5y + 7 = 0 ja 10x + 6y – 3 = 0 on risti.

Leiame: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, seega on sirged risti.

Näide. Antud on kolmnurga tipud A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Leidke tipust C tõmmatud kõrguse võrrand.

Leiame külje AB võrrandi: ; 4x = 6a – 6;

2x – 3a + 3 = 0;

Nõutav kõrgusvõrrand on kujul: Ax + By + C = 0 või y = kx + b.

k= . Siis y = . Sest kõrgus läbib punkti C, siis selle koordinaadid vastavad sellele võrrandile: kust b = 17. Kokku: .

Vastus: 3x + 2a – 34 = 0.

Punkti ja sirge kauguse määrab punktist sirgele tõmmatud risti pikkus.

Kui joon on paralleelne projektsioonitasandiga (h | | P 1), siis selleks, et määrata kaugus punktist A sirgjoonele h punktist on vaja risti langetada A horisontaalsele h.

Vaatleme keerukamat näidet, kui sirgjoon võtab üldine seisukoht. Olgu vaja määrata kaugus punktist M sirgjoonele Aüldine seisukoht.

Määramise ülesanne paralleelsete joonte vahelised kaugused lahendatakse sarnaselt eelmisele. Ühel sirgel võetakse punkt ja sellelt langetatakse risti teisele sirgele. Perpendikulaari pikkus võrdub paralleelsete sirgete vahelise kaugusega.

Teist järku kõver on sirge, mis on määratletud teise astme võrrandiga kehtivate Descartes'i koordinaatide suhtes. IN üldine juhtum Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,

kus A, B, C, D, E, F on reaalarvud ja vähemalt üks arvudest A 2 + B 2 + C 2 ≠0.

Ring

Ringi keskpunkt– see on punktide geomeetriline asukoht tasapinnal, mis on võrdsel kaugusel punktist C(a,b).

Ring on antud järgmise võrrandiga:

Kui x,y on ringi suvalise punkti koordinaadid, siis R on ringi raadius.

Ringjoone võrrandi märk

1. Termin x, y-ga puudub

2. Koefitsiendid x 2 ja y 2 jaoks on võrdsed

Ellips

Ellips nimetatakse tasandi punktide geomeetriliseks lookuseks, mille kummagi punkti kauguste summat selle tasandi kahest etteantud punktist nimetatakse fookusteks (konstantseks väärtuseks).

Ellipsi kanooniline võrrand:

X ja y kuuluvad ellipsi alla.

a – ellipsi poolsuurtelg

b – ellipsi pool-minoortelg

Ellipsil on 2 sümmeetriatelge OX ja OU. Ellipsi sümmeetriateljed on tema teljed, nende lõikepunktiks on ellipsi keskpunkt. Telge, millel fookused asuvad, nimetatakse fookustelg. Ellipsi lõikepunkt telgedega on ellipsi tipp.

Kokkusurumise (pinge) suhe: ε = s/a– ekstsentrilisus (iseloomustab ellipsi kuju), mida väiksem see on, seda vähem pikeneb ellips piki fookustelge.

Kui ellipsi keskpunktid ei asu keskpunktis C(α, β)

Hüperbool

Hüperbool nimetatakse tasapinna punktide geomeetriliseks asukohaks, absoluutväärtus kauguste erinevused, millest igaüks selle tasandi kahest antud punktist, mida nimetatakse fookusteks, on nullist erinev konstantne väärtus.

Kanooniline hüperbooli võrrand

Hüperboolil on 2 sümmeetriatelge:

a – tegelik sümmeetria pooltelg

b – kujuteldav sümmeetriapooltelg

Hüperbooli asümptoodid:

Parabool

Parabool on punktide asukoht tasapinnal, mis on võrdsel kaugusel antud punktist F, mida nimetatakse fookuseks, ja antud sirgjoonest, mida nimetatakse otsejooneks.

Parabooli kanooniline võrrand:

У 2 =2рх, kus р on kaugus fookusest suunani (parabooli parameeter)

Kui parabooli tipp on C (α, β), siis parabooli võrrand (y-β) 2 = 2р(x-α)

Kui võtta ordinaatteljeks fookustelg, saab parabooli võrrand järgmiselt: x 2 =2qу

Laske sirgel läbida punkte M 1 (x 1; y 1) ja M 2 (x 2; y 2). Punkti M 1 läbiva sirge võrrand on kujul y-y 1 = k (x - x 1), (10,6)

Kus k - siiani teadmata koefitsient.

Kuna sirge läbib punkti M 2 (x 2 y 2), peavad selle punkti koordinaadid vastama võrrandile (10.6): y 2 -y 1 = k (x 2 - x 1).

Siit leiame Leitud väärtuse asendamise k võrrandisse (10.6) saame punkte M 1 ja M 2 läbiva sirge võrrandi:

Eeldatakse, et selles võrrandis x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Kui x 1 = x 2, siis punkte M 1 (x 1,y I) ja M 2 (x 2,y 2) läbiv sirge on paralleelne ordinaatteljega. Selle võrrand on x = x 1 .

Kui y 2 = y I, siis saab sirge võrrandi kirjutada y = y 1, sirge M 1 M 2 on paralleelne abstsissteljega.

Sirge võrrand segmentides

Olgu sirgjoon lõikes Ox-telge punktis M 1 (a;0) ja Oy-telge punktis M 2 (0;b). Võrrand saab kujul:
need.
. Seda võrrandit nimetatakse sirgjoone võrrand lõikudes, sest numbrid a ja b näitavad, milliseid lõike joon koordinaattelgedel ära lõikab.

Antud punkti läbiva sirge võrrand, mis on risti antud vektoriga

Leiame sirge võrrandi, mis läbib antud punkti Mo (x O; y o), mis on risti antud nullist erineva vektoriga n = (A; B).

Võtame sirge suvalise punkti M(x; y) ja vaatleme vektorit M 0 M (x - x 0; y - y o) (vt joonis 1). Kuna vektorid n ja M o M on risti, on nende skalaarkorrutis võrdne nulliga: see on

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Nimetatakse võrrandit (10.8). sirge võrrand, mis läbib antud punkti, mis on risti antud vektoriga .

Vektorit n= (A; B), mis on risti sirgega, nimetatakse normaalseks selle sirge normaalvektor .

Võrrandi (10.8) saab ümber kirjutada kujul Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

kus A ja B on normaalvektori koordinaadid, C = -Ax o - Vu o on vaba liige. Võrrand (10.9) on sirge üldvõrrand(vt joonis 2).

Joon.1 Joon.2

Sirge kanoonilised võrrandid

,

Kus
- punkti koordinaadid, mida joon läbib, ja
- suunavektor.

Teist järku kõverad Circle

Ringjoon on kõigi antud punktist võrdsel kaugusel asuvate punktide kogum, mida nimetatakse keskpunktiks.

Raadiusringi kanooniline võrrand R tsentreeritud punkti
:

Täpsemalt, kui panuse keskpunkt langeb kokku koordinaatide alguspunktiga, näeb võrrand välja järgmine:

Ellips

Ellips on punktide kogum tasapinnal, millest igaühest kahe antud punktini on kauguste summa Ja , mida nimetatakse koldeks, on konstantne suurus
, suurem kui fookuste vaheline kaugus
.

Ellipsi kanooniline võrrand, mille fookused asuvad Härg-teljel ja koordinaatide alguspunkt fookuste vahel, on kujul
G de a poolsuurtelje pikkus; b – pool-minoortelje pikkus (joon. 2).

Sirge omadused eukleidilises geomeetrias.

Läbi mis tahes punkti saab tõmmata lõpmatu arvu sirgeid.

Kahe mittekattuvat punkti kaudu saab tõmmata ühe sirge.

Tasapinna kaks lahknevat sirget kas lõikuvad ühes punktis või on

paralleelne (järgneb eelmisest).

Kolmemõõtmelises ruumis on kahe joone suhtelise asukoha jaoks kolm võimalust:

• jooned ristuvad;

• sirged on paralleelsed;

• sirgjooned ristuvad.

Otse rida— esimest järku algebraline kõver: sirgjoon Descartes'i koordinaatsüsteemis

on antud tasapinnal esimese astme võrrandiga (lineaarvõrrand).

Sirge üldvõrrand.

Definitsioon. Mis tahes tasapinna sirget saab määrata esimest järku võrrandiga

Ax + Wu + C = 0,

ja pidev A, B ei ole samal ajal võrdsed nulliga. Seda esimest järku võrrandit nimetatakse üldine

sirgjoone võrrand. Sõltuvalt konstantide väärtustest A, B Ja KOOS Võimalikud on järgmised erijuhud:

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- alguspunkti läbib sirgjoon

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (+ C = 0)- teljega paralleelne sirgjoon Oh

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- teljega paralleelne sirgjoon Oh

. B = C = 0, A ≠0- sirgjoon ühtib teljega Oh

. A = C = 0, B ≠0- sirgjoon ühtib teljega Oh

Sirge võrrandit saab esitada kujul erinevates vormides olenevalt ükskõik millisest antud

esialgsed tingimused.

Punkti ja normaalvektori sirge võrrand.

Definitsioon. Descartes'i ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis vektor komponentidega (A, B)

võrrandiga antud sirgega risti

Ax + Wu + C = 0.

Näide. Leidke punkti läbiva sirge võrrand A(1, 2) vektoriga risti (3, -1).

Lahendus. Kui A = 3 ja B = -1, koostame sirgjoone võrrandi: 3x - y + C = 0. Koefitsiendi C leidmiseks

Asendame antud punkti A koordinaadid saadud avaldisesse Saame: 3 - 2 + C = 0, seega

C = -1. Kokku: nõutav võrrand: 3x - y - 1 = 0.

Kaht punkti läbiva sirge võrrand.

Olgu ruumis antud kaks punkti M 1 (x 1, y 1, z 1) Ja M2 (x 2, y 2, z 2), Siis sirge võrrand,

läbides neid punkte:

Kui mõni nimetajatest on null, tuleb vastav lugeja määrata nulliga. Sees

tasapinnal on ülaltoodud sirgjoone võrrand lihtsustatud:

Kui x 1 ≠ x 2 Ja x = x 1, Kui x 1 = x 2 .

Murd = k helistas kalle otsene.

Näide. Leidke punkte A(1, 2) ja B(3, 4) läbiva sirge võrrand.

Lahendus. Rakendades ülaltoodud valemit, saame:

Sirge võrrand punkti ja kalde abil.

Kui sirge üldvõrrand Ax + Wu + C = 0 viia selleni:

ja määrata , siis nimetatakse saadud võrrandit

sirge võrrand kaldega k.

Punkti ja suunavektori sirge võrrand.

Analoogiliselt punktiga, mis võtab arvesse normaalvektorit läbiva sirge võrrandit, saate ülesande sisestada

punkti läbiv sirge ja sirge suunav vektor.

Definitsioon. Iga nullist erinev vektor (α 1 , α 2), mille komponendid vastavad tingimusele

Aα 1 + Bα 2 = 0 helistas sirge suunav vektor.

Ax + Wu + C = 0.

Näide. Leidke sirge võrrand suunavektoriga (1, -1) ja läbib punkti A(1, 2).

Lahendus. Otsime soovitud rea võrrandit kujul: Ax + By + C = 0. Definitsiooni järgi,

koefitsiendid peavad vastama järgmistele tingimustele:

1 * A + (-1) * B = 0, st. A = B.

Siis on sirgjoone võrrandil järgmine kuju: Ax + Ay + C = 0, või x + y + C / A = 0.

juures x = 1, y = 2 saame C/A = -3, st. nõutav võrrand:

x + y - 3 = 0

Segmentides sirgjoone võrrand.

Kui sirge Ах + Ву + С = 0 С≠0 üldvõrrandis, siis -С-ga jagades saame:

või kus

Koefitsientide geomeetriline tähendus on see, et koefitsient a on lõikepunkti koordinaat

teljega sirge Oh, A b- sirge ja telje lõikepunkti koordinaat Oh.

Näide. Sirge üldvõrrand on antud x - y + 1 = 0. Leidke selle sirge võrrand segmentides.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Sirge normaalvõrrand.

Kui võrrandi mõlemad pooled Ax + Wu + C = 0 arvuga jagada mida nimetatakse

normaliseeriv tegur, siis saame

xcosφ + ysinφ - p = 0 -sirge normaalvõrrand.

Normaliseeriva teguri märk ± tuleb valida nii, et μ*C< 0.

r- risti pikkus, mis on langenud lähtepunktist sirgele,

A φ - nurk, mille see risti moodustab telje positiivse suunaga Oh.

Näide. Antud on sirge üldvõrrand 12x - 5a - 65 = 0. Kirjutamiseks kohustuslik erinevat tüüpi võrrandid

see sirgjoon.

Selle sirge võrrand segmentides:

Selle sirge võrrand kaldega: (jaga 5-ga)

Sirge võrrand:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Tuleb märkida, et mitte iga sirget ei saa esitada võrrandiga segmentides, näiteks sirged,

paralleelselt telgedega või läbides alguspunkti.

Tasapinna sirgjoonte vaheline nurk.

Definitsioon. Kui on antud kaks rida y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, See teravnurk nende ridade vahel

määratletakse kui

Kaks sirget on paralleelsed, kui k 1 = k 2. Kaks joont on risti

Kui k 1 = -1/ k 2 .

Teoreem.

Otsene Ax + Wu + C = 0 Ja A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 paralleelselt, kui koefitsiendid on proportsionaalsed

A1 = λA, B1 = λB. Kui ka С 1 = λС, siis jooned langevad kokku. Kahe sirge lõikepunkti koordinaadid

on leitud nende sirgete võrrandisüsteemi lahendusena.

Antud punkti läbiva sirge võrrand, mis on antud sirgega risti.

Definitsioon. Punkti läbiv sirge M 1 (x 1, y 1) ja joonega risti y = kx + b

mida esindab võrrand:

Kaugus punktist jooneni.

Teoreem. Kui punkt antakse M(x 0, y 0), siis kaugus sirgjooneni Ax + Wu + C = 0 määratletud kui:

Tõestus. Olgu punkt M 1 (x 1, y 1)- punktist langenud risti alus M antud jaoks

otsene. Siis punktide vaheline kaugus M Ja M 1:

(1)

Koordinaadid x 1 Ja kell 1 võib leida võrrandisüsteemi lahendusena:

Süsteemi teine ​​võrrand on antud punkti M 0 risti läbiva sirge võrrand

antud sirge. Kui teisendame süsteemi esimese võrrandi vormiks:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + 0 järgi + C = 0,

siis lahendades saame:

Asendades need avaldised võrrandisse (1), leiame:

Teoreem on tõestatud.