Me ütlesime, et teist järku algebraline kõver määratakse teise astme algebralise võrrandiga X Ja juures. Üldiselt on see võrrand kirjutatud järgmiselt:

A X 2 + V xy+ C juures 2 +D x+ E y+ F = 0, (6)

ja A 2 + B 2 + C 2 ¹ 0 (see tähendab, et arvud A, B, C ei muutu samal ajal nulliks). Komponendid A X 2, V xy, KOOS juures 2 nimetatakse võrrandi juhtliikmeteks, arvuks

helistas diskrimineeriv see võrrand. Nimetatakse võrrandit (6). üldvõrrand teist järku kõver.

Eelnevalt käsitletud kõverate jaoks on meil:

Ellips: Þ A = , B = 0, C = , D = E = 0, F = –1,

ring X 2 + juures 2 = A 2 Þ A = C = 1, B = D = E = 0, F = – A 2, d = 1>0;

Hüperbool: Þ A = , B = 0, C = – , D = E = 0, F = –1,

d = – .< 0.

Parabool: juures 2 = 2pxÞ A = B = 0, C = 1, D = –2 r, E = F = 0, d = 0,

X 2 = 2ruÞ A = 1B = C = D = 0, E = –2 r, F = 0, d = 0.

Nimetatakse võrrandiga (6) antud kõveraid keskne kõverad, kui d¹0. Kui d> 0, siis kõver elliptilised tüüp, kui d<0, то кривая hüperboolne tüüp. Kõverad, mille puhul d = 0 on kõverad paraboolne tüüp.

On tõestatud, et teise järjekorra rida sisse ükskõik milline Descartes'i koordinaatsüsteem on antud teist järku algebralise võrrandiga. Ainult ühes süsteemis on võrrandil keeruline vorm (näiteks (6)), teises aga lihtsam vorm, näiteks (5). Seetõttu on mugav kaaluda koordinaatsüsteemi, milles uuritav kõver on kirjutatud kõige lihtsama (näiteks kanoonilise) võrrandiga. Üleminekut ühest koordinaatsüsteemist, kus kõver on antud kujul (6) võrrandiga teise, kus selle võrrandil on lihtsam kuju, nimetatakse koordinaatide teisendus.

Vaatleme koordinaatide teisenduste peamisi tüüpe.

I. Kanna transformatsiooni koordinaatteljed (koos suuna säilitamisega). Olgu algses XOU koordinaatsüsteemis punktil M koordinaadid ( X, juuresX¢, juures¢). Jooniselt on näha, et punkti M koordinaadid erinevates süsteemides on omavahel seotud

(7) või (8).

Valemeid (7) ja (8) nimetatakse koordinaatide teisendusvalemiteks.

II. Rotatsiooni teisendus koordinaatteljed nurga a järgi. Kui algses XOU koordinaatsüsteemis on punktil M koordinaadid ( X, juures) ja uues koordinaatsüsteemis ХО¢У on sellel koordinaadid ( X¢, juures¢). Seejärel väljendatakse seos nende koordinaatide vahel valemitega

, (9)

või

Koordinaatide teisenduse abil saab võrrandi (6) taandada ühele järgmistest kanooniline võrrandid.

1) - ellips,

2) - hüperbool,

3) juures 2 = 2px, X 2 = 2ru- parabool

4) A 2 X 2 – b 2 y 2 = 0 – lõikuvate sirgete paar (joonis a)

5) y 2 – a 2 = 0 – paralleelsete joonte paar (joonis b)

6) x 2 –a 2 = 0 – paralleelsete joonte paar (joonis c)

7) y 2 = 0 – ühtivad sirged (OX-telg)

8) x 2 = 0 – kattuvad sirged (OA telg)

9) a 2 X 2 + b 2 y 2 = 0 – punkt (0, 0)

10) kujuteldav ellips

11) a 2 + a 2 = 0 – mõtteliste joonte paar

12) x 2 + a 2 = 0 paari mõttelisi jooni.

Kõik need võrrandid on teist järku joone võrrandid. Nimetatakse sirgeid, mis on määratletud võrranditega 4–12 degenereerunud teist järku kõverad.

Vaatleme näiteid kõvera üldvõrrandi kanooniliseks vormiks teisendamiseks.

1) 9X 2 + 4juures 2 – 54X + 8juures+ 49 = 0 Þ (9 X 2 – 54X) + (4juures 2 + 8juures) + 49 = 0 Þ

9(X 2 – 6X+ 9) + 4(juures 2 + 2juures+ 1) – 81 – 4 + 49 = 0 Þ 9( X –3) 2 + 4(juures+ 1) = 36, Þ

.

Paneme X¢ = X – 3, juures¢ = juures+ 1, saame ellipsi kanoonilise võrrandi . Võrdsused X¢ = X – 3, juures¢ = juures+ 1 määravad koordinaatsüsteemi punkti (3, –1) ülekande teisenduse. Olles konstrueerinud vana ja uue koordinaatsüsteemi, ei ole seda ellipsit raske kujutada.

2) 3juures 2 +4X– 12juures+8 = 0. Teisendus:

(3juures 2 – 12juures)+ 4 X+8 = 0

3(juures 2 – 4juures+4) – 12 + 4 X +8 = 0

3(y – 2) 2 + 4(X –1) = 0

(juures – 2) 2 = – (X – 1) .

Paneme X¢ = X – 1, juures¢ = juures– 2, saame parabooli võrrandi juures¢ 2 = – X¢. Valitud asendus vastab koordinaatsüsteemi ülekandmisele punkti O¢(1,2).

Selles artiklis käsitleme tasapinna sirgjoone üldist võrrandit. Toome näiteid sirge üldvõrrandi koostamise kohta, kui on teada selle sirge kaks punkti või kui on teada selle sirge üks punkt ja normaalvektor. Tutvustame meetodeid võrrandi teisendamiseks üldkujul kanooniliseks ja parameetriliseks vormiks.

Olgu antud suvaline Descartes'i ristkülikukujuline koordinaatsüsteem Oxy. Mõelge esimese astme või lineaarvõrrandile:

Kus A, B, C− mõned konstandid ja vähemalt üks element A Ja B nullist erinev.

Näitame, et tasapinnal olev lineaarvõrrand määratleb sirge. Tõestame järgmise teoreemi.

Teoreem 1. Tasapinnal asuvas suvalises Descartes'i ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis saab iga sirge määrata lineaarvõrrandiga. Ja vastupidi, iga lineaarvõrrand (1) suvalises tasapinnalises ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis määratleb sirge.

Tõestus. Piisab tõestada, et sirgjoon L on määratud ühe Descartes'i ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi lineaarvõrrandiga, kuna siis määratakse see lineaarvõrrandiga mis tahes Descartes'i ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi valiku jaoks.

Olgu tasapinnal antud sirge L. Valime koordinaatsüsteemi nii, et telg Ox langes kokku sirgjoonega L ja telg Oy oli sellega risti. Siis sirge võrrand L toimub järgmisel kujul:

Kõik punktid joonel L vastab lineaarvõrrandile (2) ja kõik väljaspool seda joont asuvad punktid ei vasta võrrandile (2). Teoreemi esimene osa on tõestatud.

Olgu antud Descartes'i ristkülikukujuline koordinaatsüsteem ja lineaarvõrrand (1), kus vähemalt üks elementidest A Ja B nullist erinev. Leiame nende punktide geomeetrilised lookused, mille koordinaadid vastavad võrrandile (1). Kuna vähemalt üks koefitsientidest A Ja B on nullist erinev, siis on võrrandil (1) vähemalt üks lahend M(x 0 ,y 0). (Näiteks millal A≠0, punkt M 0 (−C/A, 0) kuulub antud punktide geomeetrilisse asukohta). Asendades need koordinaadid punktiga (1), saame identiteedi

Lahutame identiteedi (3) väärtusest (1):

Ilmselt on võrrand (4) samaväärne võrrandiga (1). Seetõttu piisab tõestamisest, et (4) defineerib teatud sirge.

Kuna me käsitleme Descartes'i ristkülikukujulist koordinaatsüsteemi, järeldub võrdsusest (4), et vektor komponentidega ( x−x 0 , y-y 0 ) vektori suhtes ortogonaalne n koordinaatidega ( A,B}.

Vaatleme mõnda sirgjoont L, läbides punkti M 0 (x 0 , y 0) ja risti vektoriga n(joonis 1). Olgu punkt M(x,y) kuulub reale L. Siis vektor koordinaatidega x−x 0 , y-y 0 risti n ja võrrand (4) on täidetud (vektorite skalaarkorrutis). n ja võrdne nulliga). Ja vastupidi, kui punkt M(x,y) ei asu joonel L, siis vektor koordinaatidega x−x 0 , y-y 0 ei ole vektori suhtes ortogonaalne n ja võrrand (4) ei ole täidetud. Teoreem on tõestatud.

Tõestus. Kuna jooned (5) ja (6) määravad sama sirge, siis normaalvektorid n 1 ={A 1 ,B 1) ja n 2 ={A 2 ,B 2) kollineaarne. Kuna vektorid n 1 ≠0, n 2 ≠0, siis on selline arv λ , Mida n 2 =n 1 λ . Siit on meil: A 2 =A 1 λ , B 2 =B 1 λ . Tõestame seda C 2 =C 1 λ . Ilmselgelt on kattuvatel joontel ühine punkt M 0 (x 0 , y 0). Võrrandi (5) korrutamine λ ja lahutades sellest võrrandi (6), saame:

Kuna avaldistest (7) on täidetud kaks esimest võrdsust, siis C 1 λ −C 2 = 0. Need. C 2 =C 1 λ . Märkus on tõestatud.

Pange tähele, et võrrand (4) määratleb punkti läbiva sirge võrrandi M 0 (x 0 , y 0) ja millel on normaalvektor n={A,B). Seega, kui sirge normaalvektor ja sellele sirgele kuuluv punkt on teada, siis saab võrrandi (4) abil konstrueerida sirge üldvõrrandi.

Näide 1. Sirge läbib punkti M=(4,−1) ja sellel on normaalvektor n=(3, 5). Koostage sirge üldvõrrand.

Lahendus. Meil on: x 0 =4, y 0 =−1, A=3, B=5. Sirge üldvõrrandi koostamiseks asendame need väärtused võrrandiga (4):

Vastus:

Vektor on sirgega paralleelne L ja seetõttu risti joone normaalvektoriga L. Koostame normaaljoonvektori L, võttes arvesse, et vektorite skalaarkorrutis n ja võrdne nulliga. Võime kirjutada näiteks n={1,−3}.

Sirge üldvõrrandi koostamiseks kasutame valemit (4). Asendame punkti koordinaadid (4) M 1 (võime võtta ka punkti koordinaadid M 2) ja normaalvektor n:

Punktide koordinaatide asendamine M 1 ja M 2 punktis (9) saame veenduda, et võrrandiga (9) antud sirge läbib neid punkte.

Vastus:

Lahutage (10) väärtusest (1):

Oleme saanud sirge kanoonilise võrrandi. Vektor q={−B, A) on joone (12) suunavektor.

Vaadake pöördkonverteerimist.

Näide 3. Tasapinnal olev sirgjoon on esitatud järgmise üldvõrrandiga:

Liigutame teise liikme paremale ja jagame võrrandi mõlemad pooled 2·5-ga.

Teist järku kõver— punktide geomeetriline asukoht tasapinnal, ristkülikukujulised koordinaadid

mis vastavad järgmise vormi võrrandile:

milles vähemalt üks koefitsientidest a 11, a 12, a 22 ei ole võrdne nulliga.

Teist järku kõverate invariandid.

Kõvera kuju sõltub 4 allpool toodud invariandist:

Invariantid koordinaatsüsteemi pöörlemise ja nihke suhtes:

Invariant koordinaatsüsteemi pöörlemise suhtes ( poolinvariantne):

Teist järku kõverate uurimiseks kaaluge toodet A*S.

Kindral teist järku kõvera võrrand näeb välja selline:

Ax 2 +2Bxy+Cy 2 +2Dx+2Ey+F=0

Kui A*C > 0 elliptiline tüüp. Igasugune elliptiline

võrrand on kas tavalise ellipsi või degenereerunud ellipsi (punkti) või kujuteldava ellipsi võrrand

ellips (sel juhul ei määratle võrrand tasapinnal ühtki geomeetrilist kujutist);

Kui A*C< 0 , siis võtab võrrand võrrandi kuju hüperboolne tüüp. Igasugune hüperboolne

võrrand väljendab kas lihtsat hüperbooli või degenereerunud hüperbooli (kaks lõikuvat sirget);

Kui A*C = 0, siis ei ole teist järku rida keskne. Seda tüüpi võrrandeid nimetatakse

võrrandid paraboolne tüüp ja väljendage tasapinnal kas lihtsat parabooli või 2 paralleelset

(või kattuvad) sirgjooned või ei väljenda tasapinnal ühtki geomeetrilist kujutist;

Kui A*C ≠ 0, on teist järku kõver

Teist järku kõvera üldvõrrand tasapinnal on järgmine:

Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ei + F = 0, (39)

Kus A 2 + B 2 + C 2 0, (A, B, C, D, E, F) R. See määratleb kõik võimalikud tasapinnal meelevaldselt paiknevad koonilised lõigud.

Võrrandi (39) kordajatest moodustame kaks determinanti:

Helistas võrrandi diskriminant(39) ja - võrrandi juhtliikmete diskrimineerija. Kui 0, võrrand (39) määrab: > 0 - ellips;< 0 - гиперболу; = 0 - параболу. В случае = 0 кривые вырождаются в точку или прямые линии.

Üldvõrrandist (39) saame liikuda kanoonilisele võrrandile, kui elimineerime lineaar- ja ristliikmed, liikudes uude koordinaatsüsteemi, mis langeb kokku joonise sümmeetriatelgedega. Asendame sisse (39) x sisse x + a Ja y sisse y + b, Kus a, b mõned konstandid. Kirjutame üles saadud koefitsiendid jaoks X Ja y ja võrdsusta need 0-ga

(Aa + Bb + D)x = 0, (Cb + Ba + E)y = 0. (41)

Selle tulemusena on võrrand (39) järgmine:

A(x) 2 + 2B(x)(y) + C(y) 2 + F = 0, (42)

kus on koefitsiendid A, B, C pole muutunud, aga F= / . Võrrandisüsteemi (41) lahendus määrab joonise sümmeetriakeskme koordinaadid:

Kui B= 0, siis a = -D/A, b = -E/C ja lineaarseid termineid on mugav elimineerida punktis (39) täiuslikuks ruuduks taandamise meetodil:

Ax 2 + 2Dx = A(x 2 + 2xD/A + (D/A) 2 - (D/A) 2) = A(x + D/A) 2 - D 2 /A.

Võrrandis (42) pöörame koordinaate nurga a (38) võrra. Kirjutame üles ristliikme saadud koefitsiendi xy ja määrake see võrdseks 0-ga

xy = 0. (44)

Tingimus (44) määrab koordinaattelgede vajaliku pöördenurga, kuni need langevad kokku joonise sümmeetriatelgedega, ja võtab kuju:

Võrrand (42) on järgmisel kujul:

A+X2+ C + Y 2 + F = 0 (46)

millest on lihtne minna kõvera kanoonilisele võrrandile:

Koefitsiendid A + , C+ , tingimusel (45), saab esitada lisaruutvõrrandi juurtena:

t 2 - (A + C)t + = 0. (48)

Selle tulemusena määratakse kujundi sümmeetriatelgede asend ja suund, selle pooltelg:

ja seda saab konstrueerida geomeetriliselt.

Juhul = 0 on meil parabool. Kui selle sümmeetriatelg on paralleelne teljega Oh, siis taandub võrrand järgmiseks:

kui ei, siis vaata:

kus sulgudes olevad avaldised, mis on võrdsed 0-ga, määravad uute koordinaatide telgede read: , .

Levinud probleemide lahendamine

Näide 15. Esitage võrrand 2 x 2 + 3y 2 - 4x + 6y- 7 = 0 kanooniliseks vormiks ja kõvera konstrueerimiseks.

Lahendus. B= 0, = -72 0, = 6 > 0 ellips.

Teeme taandamise täiuslikuks ruuduks:

2(x - 1) 2 + 3(y + 1) 2 - 12 = 0.

Sümmeetriakeskme koordinaadid (1; -1), lineaarne teisendus X = x - 1, Y = y+ 1 toob võrrandi kanoonilisele kujule.

Näide 16. Esitage võrrand 2 xy = a 2 kanooniliseks vormiks ja kõvera konstrueerimiseks.

Lahendus. B = 1, = a 2 0, = -1 < 0 гипербола .

Koordinaatsüsteemi kese on kõvera sümmeetria keskpunktis, sest võrrandis pole lineaarseid termineid. Pöörame telgi nurga a võrra. Valemi (45) järgi on meil tan2a = B/(A - C) = , st. a = 45°. Kanoonilise võrrandi (46) koefitsiendid A + , C+ määratakse võrrandiga (48): t 2 = 1 või t 1,2 = 1 A + = 1, C+ = -1, st.
X 2 - Y 2 = a 2 või . Seega võrrand 2 xy = A 2 kirjeldab hüperbooli sümmeetriakesega (0; 0). Sümmeetriateljed paiknevad piki koordinaatnurkade poolitajaid, koordinaatteljed on asümptootid, hüperbooli poolteljed on võrdsed A.y - 9 =0;

9x 2 + y 2 - 18x + 2y + 1 = 0;

2x 2 + 4X + y - 2 = 0;

3x 2 - 6X - y + 2 = 0;

- x 2 + 4y 2 - 8x - 9y + 16 = 0;

4x 2 + 8X - y - 5 = 0;

9x 2 - y 2 + 18x + 2y - 1 = 0;

9x 2 - 4y 2 + 36x + 16y - 16 = 0.

Koostame tasapinnal ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi ja vaatleme teise astme üldvõrrandit

milles
.

Nimetatakse kõigi tasandi punktide hulk, mille koordinaadid vastavad võrrandile (8.4.1). kõverad (rida) teine ​​järjekord.

Iga teist järku kõvera jaoks on ristkülikukujuline koordinaatsüsteem, mida nimetatakse kanooniliseks ja mille võrrandil on üks järgmistest kujudest:

1)
(ellips);

2)
(kujuteldav ellips);

3)
(mõeldud ristuvate joonte paar);

4)
(hüperbool);

5)
(ristuvate joonte paar);

6)
(parabool);

7)
(paar paralleelset sirget);

8)
(paar mõttelist paralleelset sirget);

9)
(paar kokkulangevat joont).

Nimetatakse võrrandeid 1)–9). teist järku kõverate kanoonilised võrrandid.

Kõvera teist järku võrrandi kanooniliseks vormiks taandamise probleemi lahendamine hõlmab kõvera kanoonilise võrrandi ja kanoonilise koordinaatsüsteemi leidmist. Kanoonilisele vormile redutseerimine võimaldab arvutada kõvera parameetrid ja määrata selle asukoha algse koordinaatsüsteemi suhtes. Üleminek algsest ristkülikukujulisest koordinaatsüsteemist
kanooniliseks
teostatakse algse koordinaatsüsteemi telgede pööramisega ümber punkti KOHTA teatud nurgale  ja sellele järgnev koordinaatsüsteemi paralleelne translatsioon.

Teist järku kõvera invariandid(8.4.1) on selle võrrandi koefitsientide sellised funktsioonid, mille väärtused ühest ristkülikukujulisest koordinaatsüsteemist teise sama süsteemi liikudes ei muutu.

Teist järku kõvera (8.4.1) korral ruudukoordinaatide koefitsientide summa

,

juhtivate terminite koefitsientidest koosnev determinant

ja kolmandat järku determinant

on invariandid.

Invariantide s, ,  väärtust saab kasutada tüübi määramiseks ja teist järku kõvera kanoonilise võrrandi koostamiseks (tabel 8.1).

Tabel 8.1

Teist järku kõverate klassifitseerimine invariantide alusel

Vaatame lähemalt ellipsi, hüperbooli ja parabooli.

Ellips(joonis 8.1) on tasandi punktide geomeetriline asukoht, mille puhul on kahe fikseeritud punkti kauguste summa
see lennuk, nn ellipsi fookused, on konstantne väärtus (suurem kui fookuste vaheline kaugus). Sel juhul pole välistatud ka ellipsi fookuste kokkulangevus. Kui fookused langevad kokku, on ellips ring.

Ellipsi punkti ja selle fookuste kauguste poolsummat tähistatakse A, pool fookuste vahelisest kaugusest – Koos. Kui tasapinna ristkülikukujuline koordinaatsüsteem on valitud nii, et ellipsi fookused asuvad teljel KOHTAx sümmeetriliselt alguspunkti suhtes, siis selles koordinaatsüsteemis on ellips antud võrrandiga

, (8.4.2)

helistas kanooniline ellipsi võrrand, Kus
.

Riis. 8.1

Ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi määratud valiku korral on ellips sümmeetriline koordinaatide telgede ja alguspunkti suhtes. Ellipsi sümmeetriatelgedeks nimetatakse teljed, ja sümmeetriakese on ellipsi keskpunkt. Samal ajal nimetatakse ellipsi telgi sageli numbriteks 2 a ja 2 b ja numbrid a Ja b – suur Ja väiketelg vastavalt.

Ellipsi ja tema telgede lõikepunkte nimetatakse ellipsi tipud. Ellipsi tippudel on koordinaadid ( A, 0), (–A, 0), (0, b), (0, –b).

Ellipsi ekstsentrilisus helistatud number

. (8.4.3)

Alates 0  c < a, ellipsi ekstsentrilisus 0  < 1, причем у окружности  = 0. Перепишем равенство (8.4.3) в виде

.

See näitab, et ekstsentrilisus iseloomustab ellipsi kuju: mida lähemal  on nullile, seda enam meenutab ellips ringi;  suurenedes muutub ellips piklikumaks.

Lase
- suvaline ellipsi punkt,
Ja
- kaugus punktist M enne trikke F 1 ja F 2 vastavalt. Numbrid r 1 ja r 2 kutsutakse punkti fookusraadiused M ellips ja arvutatakse valemite abil

Koolijuhatajad erinevad ringist ellips kanoonilise võrrandiga (8.4.2) nimetatakse kahte sirget

.

Ellipsi suunad asuvad väljaspool ellipsi (joon. 8.1).

Fookusraadiuse suhe punktidMellips kauguseni  sellest ellipsist (fookus ja suund loetakse vastavaks, kui need asuvad ellipsi keskpunkti samal küljel).

Hüperbool(joonis 8.2) on punktide geomeetriline asukoht tasapinnal, mille puhul kahe fikseeritud punkti kauguste erinevuse moodul Ja see lennuk, nn hüperbooli trikid, on konstantne väärtus (ei ole võrdne nulliga ja väiksem kui fookuste vaheline kaugus).

Olgu fookuste vaheline kaugus 2 Koos, ja määratud kauguse erinevuse moodul on võrdne 2-ga A. Valime ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi samamoodi nagu ellipsi jaoks. Selles koordinaatsüsteemis on hüperbool antud võrrandiga

, (8.4.4)

helistas kanooniline hüperbooli võrrand, Kus
.

Riis. 8.2

Selle ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi valiku korral on koordinaatteljed hüperbooli sümmeetriateljed ja alguspunkt selle sümmeetriakese. Hüperbooli sümmeetriatelgedeks nimetatakse teljed, ja sümmeetriakese on hüperbooli keskpunkt. Ristkülik külgedega 2 a ja 2 b, mis asub nagu näidatud joonisel fig. 8.2, nn hüperbooli põhiristkülik. Numbrid 2 a ja 2 b on hüperbooli teljed ja arvud a Ja b- teda telje võllid. Moodustuvad sirgjooned, mis on põhiristküliku diagonaalide jätkud hüperbooli asümptoodid

.

Hüperbooli ja telje lõikepunktid Ox kutsutakse hüperbooli tipud. Hüperbooli tippudel on koordinaadid ( A, 0), (–A, 0).

Hüperbooli ekstsentrilisus helistatud number

. (8.4.5)

Sest Koos > a, hüperbooli ekstsentrilisus  > 1. Kirjutame võrdsuse (8.4.5) ümber kujul

.

See näitab, et ekstsentrilisus iseloomustab põhiristküliku kuju ja seega ka hüperbooli enda kuju: mida väiksem , seda rohkem pikeneb põhiristkülik ja pärast seda hüperbool ise piki telge. Ox.

Lase
- hüperbooli suvaline punkt,
Ja
- kaugus punktist M enne trikke F 1 ja F 2 vastavalt. Numbrid r 1 ja r 2 kutsutakse punkti fookusraadiused M hüperboolid ja arvutatakse valemite abil

Koolijuhatajad hüperboolid kanoonilise võrrandiga (8.4.4) nimetatakse kahte sirget

.

Hüperbooli suunad lõikuvad põhiristkülikuga ja läbivad hüperbooli keskpunkti ja vastava tipu vahelt (joon. 8.2).

KOHTA fookusraadiuse suhe punktidM hüperboolid kaugusele sellest punktist fookusele vastavasse Directrix võrdub ekstsentrilisusega sellest hüperboolist (fookus ja suund loetakse vastavaks, kui need asuvad hüperbooli keskpunktiga samal küljel).

Parabool(joonis 8.3) on tasandi punktide geomeetriline asukoht, mille kaugus mõnest fikseeritud punktist F (parabooli fookus) on võrdne kaugusega mingi kindla sirgjooneni ( parabooli suunad), mis asub samuti vaatlusalusel tasapinnal.

Valime alguse KOHTA ristkülikukujuline koordinaatsüsteem lõigu keskel [ FD], mis on perpendikulaar fookusest väljas F suunal (eeldatakse, et fookus ei kuulu sihikusse) ja telgedel Ox Ja Oy Suuname selle nii, nagu on näidatud joonisel fig. 8.3. Olgu lõigu pikkus [ FD] on võrdne lk. Seejärel valitud koordinaatsüsteemis
Ja kanooniline parabooli võrrand näeb välja nagu

. (8.4.6)

Suurusjärk lk helistas parabooli parameeter.

Paraboolil on sümmeetriatelg, mida nimetatakse parabooli telg. Parabooli ja tema telje lõikepunkti nimetatakse parabooli tipp. Kui parabool on antud selle kanoonilise võrrandiga (8.4.6), siis on parabooli telg telg Ox. Ilmselgelt on lähtepunkt parabooli tipp.

Näide 1. Punkt A= (2, –1) kuulub ellipsi, punkti F= (1, 0) on selle fookus, vastav F suund on antud võrrandiga
. Kirjutage selle ellipsi võrrand.

Lahendus. Koordinaatsüsteemi loeme ristkülikukujuliseks. Siis vahemaa punktist A direktori juurde
vastavalt seosele (8.1.8), milles


, võrdub

.

Kaugus punktist A keskenduda F võrdub

,

mis võimaldab meil määrata ellipsi ekstsentrilisust

.

Lase M = (x, y) on ellipsi suvaline punkt. Siis vahemaa
punktist M direktori juurde
valemi (8.1.8) järgi võrdub

ja vahemaa punktist M keskenduda F võrdub

.

Kuna ellipsi mis tahes punkti jaoks on seos on konstantne suurus, mis on võrdne ellipsi ekstsentrilisusega, seega on meil

,

Näide 2. Kõver on antud võrrandiga

ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis. Leidke selle kõvera kanooniline koordinaatsüsteem ja kanooniline võrrand. Määrake kõvera tüüp.

Lahendus. Ruutkujuline kuju
on maatriks

.

Sellele iseloomulik polünoom

on juured  1 = 4 ja  2 = 9. Seega maatriksi omavektorite ortonormaalses baasis A vaadeldaval ruutkujul on kanooniline vorm

.

Jätkame muutujate ortogonaalse teisenduse maatriksi konstrueerimisega, viies vaadeldava ruutvormi näidatud kanoonilise vormi juurde. Selleks konstrueerime homogeensetele võrrandisüsteemidele fundamentaalsed lahendussüsteemid
ja ortonormaliseerige need.

Kell
see süsteem näeb välja selline

Selle üldine lahendus on
. Siin on üks vaba muutuja. Seetõttu koosneb põhilahenduste süsteem ühest vektorist, näiteks vektorist
. Normaliseerides saame vektori

.

Kell
konstrueerime ka vektori

.

Vektorid Ja on juba ortogonaalsed, kuna need on seotud sümmeetrilise maatriksi erinevate omaväärtustega A. Need moodustavad antud ruutvormi kanoonilise ortonormaalse aluse. Vajalik ortogonaalmaatriks (rotatsioonimaatriks) konstrueeritakse nende koordinaatide veergudest

.

Kontrollime, kas maatriks leiti õigesti R valemi järgi
, Kus
– ruutvormi maatriks aluses
:

Maatriks Rõigesti leitud.

Teisendame muutujad

ja kirjutage selle kõvera võrrand uude ristkülikukujulisse koordinaatsüsteemi koos vanade kesk- ja suunavektoritega
:

Kus
.

Saime ellipsi kanoonilise võrrandi

.

Tulenevalt asjaolust, et saadud ristkülikukujuliste koordinaatide teisendus määratakse valemitega

,

,

kanooniline koordinaatsüsteem
on algus
ja suunavektorid
.

Näide 3. Invariantide teooria abil määrake kõvera tüüp ja looge kanooniline võrrand

Lahendus. Sest

,

vastavalt tabelile. 8.1 järeldame, et tegemist on hüperbooliga.

Kuna s = 0, on maatriksi iseloomulik polünoom ruutkujuline

Selle juured
Ja
võimaldab meil kirjutada kõvera kanoonilise võrrandi

Kus KOOS leitakse seisundist

,

.

Kõvera nõutav kanooniline võrrand

.

Selle jaotise ülesannetes koordinaadidx, yeeldatakse, et need on ristkülikukujulised.

8.4.1. Ellipside jaoks
Ja
leia:

a) teljevõllid;

b) trikid;

c) ekstsentrilisus;

d) suundvõrrandid.

8.4.2. Kirjutage ellipsi võrrandid, teades selle fookust
, mis vastab direktorile x= 8 ja ekstsentrilisus . Leidke ellipsi teine ​​fookus ja teine ​​suund.

8.4.3. Kirjutage võrrand ellipsi jaoks, mille fookustel on koordinaadid (1, 0) ja (0, 1) ning mille peatelg on võrdne kahega.

8.4.4. Antud hüperbool
. Leia:

a) teljevõllid a Ja b;

b) trikid;

c) ekstsentrilisus;

d) asümptootide võrrandid;

e) suundvõrrandid.

8.4.5. Antud hüperbool
. Leia:

a) teljevõllid A Ja b;

b) trikid;

c) ekstsentrilisus;

d) asümptootide võrrandid;

e) suundvõrrandid.

8.4.6. Punkt
kuulub hüperbooli, mille fookus
, ja vastav suund on antud võrrandiga
. Kirjutage selle hüperbooli võrrand.

8.4.7. Kirjutage parabooli võrrand, võttes arvesse selle fookust
ja direktorina
.

8.4.8. Arvestades parabooli tippu
ja suunavõrrand
. Kirjutage selle parabooli võrrand.

8.4.9. Kirjutage võrrand parabooli jaoks, mille fookus on punktis

ja suund on antud võrrandiga
.

8.4.10. Kirjutage kõvera jaoks teist järku võrrand, teades selle ekstsentrilisust
, keskenduda
ja vastav direktor
.

8.4.11. Määrake teist järku kõvera tüüp, koostage selle kanooniline võrrand ja leidke kanooniline koordinaatsüsteem:

G)
;

8.4.12.

on ellips. Leidke selle ellipsi pooltelgede pikkused ja ekstsentrilisus, keskpunkti ja fookuste koordinaadid, koostage telgede ja suundade võrrandid.

8.4.13. Tõesta, et võrrandiga antud teist järku kõver

on hüperbool. Leidke selle hüperbooli pooltelgede pikkused ja ekstsentrilisus, keskpunkti ja fookuste koordinaadid, koostage võrrandid telgede, suundade ja asümptoodide jaoks.

8.4.14. Tõesta, et võrrandiga antud teist järku kõver

,

on parabool. Leidke selle parabooli parameeter, tippude koordinaadid ja fookus, kirjutage telje ja suuna võrrandid.

8.4.15. Taandage kõik järgmised võrrandid kanooniliseks vormiks. Joonistage joonisele vastav teist järku kõver algse ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi suhtes:

8.4.16. Invariantide teooria abil määrake kõvera tüüp ja looge kanooniline võrrand.