Üsna sageli on võimalik isoleerida olulised omadused liikumine mehaaniline süsteem ilma süsteemiintegratsiooni kasutamata diferentsiaalvõrrandid liigutused. See saavutatakse üldiste dünaamikateoreemide rakendamisega.

5.1. Põhimõisted ja määratlused

Välised ja sisemised jõud. Iga mehaanilise süsteemi punktile mõjuv jõud on tingimata kas aktiivne jõud või sidestusreaktsioon. Kogu süsteemi punktidele mõjuvate jõudude kogumi võib erinevalt jagada kahte klassi: välisjõud ja sisejõud (indeksid e ja i – ladinakeelsetest sõnadest externus – väline ja internus – sisemine). Välised jõud on need, mis mõjuvad süsteemi punktidele punktidest ja kehadest, mis ei kuulu vaadeldavasse süsteemi. Vaadeldava süsteemi punktide ja kehade vastastikmõju jõude nimetatakse sisemiseks.

See jaotus oleneb sellest, milliseid materiaalseid punkte ja kehasid uurija vaadeldavasse mehaanilisse süsteemi kaasab. Kui laiendada süsteemi koostist lisapunktide ja kehade lisamisega, siis võivad mõned eelmise süsteemi jaoks välised jõud muutuda laiendatud süsteemi jaoks sisemiseks.

Sisejõudude omadused. Kuna need jõud on süsteemi osade vastasmõju jõud, sisenevad nad sisejõudude terviklikku süsteemi "kahekaupa", mis on organiseeritud vastavalt tegevus-reaktsiooni aksioomile. Igal sellisel "kahel" on tugevad küljed

põhivektor ja põhipunkt suvalise keskpunkti suhtes on võrdsed nulliga. Kuna sisejõudude terviklik süsteem koosneb ainult “kahetest”, siis

1) sisejõudude süsteemi põhivektor on null,

2) sisejõudude süsteemi põhimoment suvalise punkti suhtes on võrdne nulliga.

Süsteemi massi nimetatakse aritmeetiline summa Kõigi süsteemi moodustavate punktide ja kehade massid tk:

Massikese mehaanilise süsteemi (inertsi keskpunkt) on geomeetriline punkt C, mille raadiuse vektor ja koordinaadid määratakse valemitega

kus on süsteemi moodustavate punktide raadiusvektorid ja koordinaadid.

Sest tahke, mis paikneb ühtlases raskusväljas, massikeskme ja raskuskeskme asukohad langevad kokku, muudel juhtudel on tegemist erinevate geomeetriliste punktidega.

Koos inertsiaalse referentssüsteemiga vaadeldakse sageli üheaegselt translatsiooniliselt liikuvat mitteinertsiaalset referentssüsteemi. Selle koordinaatteljed (Königi teljed) on valitud nii, et alguspunkt C langeb pidevalt kokku mehaanilise süsteemi massikeskmega. Definitsiooni kohaselt on massikese Koenigi telgedes paigal ja asub koordinaatide alguspunktis.

Süsteemi inertsmoment telje suhtes on skalaarsuurus, mis on võrdne süsteemi kõigi punktide masside mk korrutistega nende teljega kauguste ruutudega:

Kui mehaaniline süsteem on jäik korpus, saate 12 leidmiseks kasutada valemit

kus on tihedus, keha poolt hõivatud ruumala.

VALGEVENE VABARIIGI PÕLLUMAJANDUS- JA TOIDUMINISTEERIUM

Õppeasutus "VALGEVENE RIIK PÕLLUMAJANDUS

TEHNILINE ÜLIKOOL"

Teoreetilise mehaanika ning mehhanismide ja masinate teooria osakond

TEOREETILINE MEHAANIKA

metoodiline kompleks erialade üliõpilastele

74 06 Agrotehnika

2 osas 1. osa

UDC 531.3(07) BBK 22.213ya7 T 33

Koostanud:

Füüsikaliste ja matemaatikateaduste kandidaat, dotsent Yu. S. Biza, kandidaat tehnikateadused, dotsent N. L. Rakova, vanemõppejõud. A. Tarasevitš

Arvustajad:

Õppeasutuse "Valgevene Riiklik Tehnikaülikool" teoreetilise mehaanika osakond (juhataja

BNTU teoreetilise mehaanika osakond füüsika- ja matemaatikateaduste doktor, professor A. V. Chigarev);

Riigi Teadusinstituudi Ühendatud Masinaehitusinstituudi mehaaniliste süsteemide vibratsioonikaitse labori juhtivteadur

Valgevene NAS", tehnikateaduste kandidaat, dotsent A. M. Goman

Teoreetiline mehaanika. Jaotis "Dünaamika": hariv

T33 meetod. keeruline. 2 osas 1. osa / koostanud: Yu S. Biza, N. L. Rakova, I. A. Tarasevitš. – Minsk: BGATU, 2013. – 120 lk.

ISBN 978-985-519-616-8.

Haridus- ja metoodikas kompleks pakub materjale "Dünaamika" sektsiooni 1. osa õppimiseks, mis on osa distsipliinist "Teoreetiline mehaanika". Sisaldab loengute kursust, esinemise algmaterjale praktilised tunnid, ülesanded ja ülesannete näidised iseseisvaks tööks ja kontrolliks haridustegevus täis- ja osakoormusega üliõpilased.

UDC 531.3(07) BBK 22.213a7

SISSEJUHATUS

Teoreetiline mehaanika on teadus materiaalsete kehade mehaanilise liikumise, tasakaalu ja vastastikmõju üldistest seadustest.

See on üks põhilisi üldteaduslikke füüsikalis-matemaatilisi distsipliine. See on kaasaegse tehnoloogia teoreetiline alus.

Teoreetilise mehaanika õpe koos teiste füüsikaliste ja matemaatiliste distsipliinidega aitab laiendada teaduslikku silmaringi, arendab konkreetse ja abstraktse mõtlemise võimet ning aitab parandada tulevase spetsialisti üldist tehnilist kultuuri.

Teoreetiline mehaanika, mis on kõikide tehniliste distsipliinide teaduslik alus, aitab kaasa oskuste arendamisele ratsionaalseid otsuseid Põllumajandus- ja maaparandusmasinate ja -seadmete käitamise, remondi ja projekteerimisega seotud inseneriülesanded.

Vaadeldavate probleemide iseloomust lähtuvalt jaotatakse mehaanika staatikaks, kinemaatikaks ja dünaamikaks. Dünaamika on teoreetilise mehaanika haru, mis uurib materiaalsete kehade liikumist rakendatud jõudude mõjul.

IN hariduslik ja metoodiline kompleks (UMK) esitleb materjale “Dünaamika” sektsiooni õppimiseks, mis sisaldab loengukursust, läbiviimise alusmaterjale. praktiline töö, ülesanded ja täitmise näidised jaoks iseseisev töö ning täis- ja osakoormusega üliõpilaste õppetegevuse jälgimine.

IN "Dünaamika" sektsiooni õppimise tulemusena peab õpilane õppima teoreetilised alused dünaamika ja valdama dünaamikaülesannete lahendamise põhimeetodeid:

Teadma dünaamikaülesannete lahendamise meetodeid, üldised teoreemid dünaamika, mehaanika põhimõtted;

Oskab määrata keha liikumise seaduspärasusi sõltuvalt sellele mõjuvatest jõududest; rakendada ülesannete lahendamisel mehaanika seadusi ja teoreeme; määrata kehade liikumist piiravate ühenduste staatilisi ja dünaamilisi reaktsioone.

Distsipliini „Teoreetiline mehaanika“ õppekava näeb ette auditoorsete tundide koguarvu – 136, sealhulgas 36 tundi „Dünaamika“ sektsiooni õppimiseks.

1. HARIDUS- JA METOODILISE KOMPLEKSI TEADUSLIKU JA TEOREETILINE SISU

1.1. Sõnastik

Staatika on mehaanika osa, mis sätestab jõudude üldise doktriini ja uurib redutseerimist keerulised süsteemid jõud kõige lihtsama vormi ja tasakaalutingimused erinevaid süsteeme tugevus

Kinemaatika on teoreetilise mehaanika haru, mis uurib materiaalsete objektide liikumist olenemata seda liikumist põhjustavatest põhjustest, s.t sõltumata nendele objektidele mõjuvatest jõududest.

Dünaamika on teoreetilise mehaanika haru, mis uurib materiaalsete kehade (punktide) liikumist rakendatud jõudude toimel.

Materiaalne punkt– materiaalne keha, mille punktide liikumise erinevus on ebaoluline.

Keha mass on skalaarne positiivne suurus, mis sõltub antud kehas sisalduva aine kogusest ja määrab selle inertsi mõõtme translatsioonilise liikumise ajal.

Võrdlussüsteem on kehaga seotud koordinaatsüsteem, mille suhtes uuritakse teise keha liikumist.

Inertsiaalsüsteem– süsteem, milles on täidetud dünaamika esimene ja teine ​​seadus.

Jõuimpulss on teatud aja jooksul jõu mõju vektormõõt.

Materiaalse punkti hoog – selle liikumise vektormõõt, mis on võrdne punkti massi ja kiirusvektori korrutisega.

Kineetiline energia– mehaanilise liikumise skalaarmõõt.

Elementaarne jõutöö on lõpmata väike skalaarsuurus, mis on võrdne jõu vektori ja jõu rakenduspunkti lõpmatu väikese nihke vektori skalaarkorrutisega.

Kineetiline energia– mehaanilise liikumise skalaarmõõt.

Materiaalse punkti kineetiline energia on skalaarenergia

positiivne suurus, mis võrdub poolega punkti massi ja selle kiiruse ruudu korrutisest.

Mehaanilise süsteemi kineetiline energia - aritme-

Selle süsteemi kõigi materiaalsete punktide kineetiliste energiate tic summa.

Jõud on kehade mehaanilise vastasmõju mõõt, mis iseloomustab selle intensiivsust ja suunda.

1.2. Loengute teemad ja sisu

1. jagu. Sissejuhatus dünaamikasse. Põhimõisted

klassikaline mehaanika

Teema 1. Materiaalse punkti dünaamika

Materiaalse punkti dünaamika seadused (Galileo – Newtoni seadused). Materiaalse punkti liikumise diferentsiaalvõrrandid. Materiaalse punkti kaks peamist dünaamika probleemi. Dünaamika teise ülesande lahendus; integreerimise konstandid ja nende määramine algtingimustega.

Kirjandus:, lk 180-196, , lk 12-26.

Teema 2. Materjali suhtelise liikumise dünaamika

Materiaalse punkti suhteline liikumine. Punkti suhtelise liikumise diferentsiaalvõrrandid; kaasaskantavad ja Coriolise inertsjõud. Relatiivsusteooria põhimõte klassikalises mehaanikas. Suhtelise rahu juhtum.

Kirjandus: , lk 180-196, , lk 127-155.

Teema 3. Masside geomeetria. Mehaanilise süsteemi massikese

Süsteemi mass. Süsteemi massikese ja selle koordinaadid.

Kirjandus:, lk 86-93, lk 264-265

Teema 4. Jäiga keha inertsimomendid

Jäiga keha inertsmomendid telje ja pooluse suhtes. Inertsiraadius. Teoreem paralleeltelgede inertsmomentide kohta. Mõnede kehade aksiaalsed inertsmomendid.

Tsentrifugaalsed inertsimomendid keha asümmeetria tunnusena.

Kirjandus: , lk 265-271, , lk 155-173.

2. jagu. Üldteoreemid materiaalse punkti dünaamika kohta

ja mehaaniline süsteem

Teema 5. Teoreem süsteemi massikeskme liikumise kohta

Teoreem süsteemi massikeskme liikumise kohta. Järeldused teoreemist süsteemi massikeskme liikumise kohta.

Kirjandus: , lk 274-277, , lk 175-192.

Teema 6. Materiaalse punkti hoog

ja mehaaniline süsteem

Materiaalse punkti ja mehaanilise süsteemi liikumise hulk. Elementaarne impulss ja jõuimpulss piiratud aja jooksul. Teoreem punkti ja süsteemi impulsi muutumise kohta diferentsiaal- ja integraalkujul. Impulsi jäävuse seadus.

Kirjandus: , lk 280-284, , lk 192-207.

Teema 7. Materiaalse punkti hoog

ja mehaaniline süsteem keskpunkti ja telje suhtes

Punkti impulsimoment keskpunkti ja telje suhtes. Teoreem punkti nurkimpulsi muutumise kohta. Mehaanilise süsteemi kineetiline moment keskpunkti ja telje suhtes.

Pöörleva jäiga keha kineetiline moment ümber pöörlemistelje. Teoreem süsteemi nurkimpulsi muutumise kohta. Nurkmomendi jäävuse seadus.

Kirjandus: , lk 292-298, , lk 207-258.

Teema 8. Jõudude töö ja jõud

Elementaarne jõutöö, selle analüütiline väljendus. Jõuga tehtud töö viimasel teel. Raskusjõu töö, elastsusjõud. Tahkes kehas mõjuvate sisejõudude tehtud töö summa on võrdne nulliga. Ümber fikseeritud telje pöörlevale jäigale kehale rakendatud jõudude töö. Võimsus. Tõhusus.

Kirjandus: , lk 208-213, , lk 280-290.

Teema 9. Materiaalse punkti kineetiline energia

ja mehaaniline süsteem

Materiaalse punkti ja mehaanilise süsteemi kineetiline energia. Jäiga keha kineetilise energia arvutamine selle erinevatel liikumisjuhtudel. Koenigi teoreem. Teoreem punkti kineetilise energia muutumise kohta diferentsiaal- ja integraalkujul. Teoreem mehaanilise süsteemi kineetilise energia muutumisest diferentsiaal- ja integraalkujul.

Kirjandus: , lk 301-310, , lk 290-344.

Teema 10. Potentsiaalne jõuväli ja potentsiaal

Jõuvälja mõiste. Potentsiaalne jõuväli ja jõufunktsioon. Jõu töö punkti lõplikul nihkel potentsiaalses jõuväljas. Potentsiaalne energia.

Kirjandus: , lk 317-320, , lk 344-347.

Teema 11. Jäiga keha dünaamika

Jäiga keha translatsioonilise liikumise diferentsiaalvõrrandid. Jäiga keha pöörleva liikumise diferentsiaalvõrrand ümber fikseeritud telje. Füüsiline pendel. Jäiga keha tasapinnalise liikumise diferentsiaalvõrrandid.

Kirjandus: , lk 323-334, , lk 157-173.

1. jagu. Sissejuhatus dünaamikasse. Põhimõisted

klassikaline mehaanika

Dünaamika on teoreetilise mehaanika haru, mis uurib materiaalsete kehade (punktide) liikumist rakendatud jõudude toimel.

materiaalne keha- keha, millel on mass.

Materiaalne punkt– materiaalne keha, mille punktide liikumise erinevus on ebaoluline. See võib olla kas keha, mille mõõtmeid liikumise ajal võib tähelepanuta jätta, või piiratud mõõtmetega keha, kui see liigub translatsiooniliselt.

Materiaalseid punkte nimetatakse ka osakesteks, milleks tahke keha mõne selle dünaamilise karakteristiku määramisel vaimselt laguneb. Näited materiaalsetest punktidest (joon. 1): a – Maa liikumine ümber Päikese. Maa on materiaalne punkt b – jäiga keha translatsiooniline liikumine. Tugev keha – ema

al punkt, sest V B = V A ; a B = a A; c – keha pöörlemine ümber telje.

Keha osake on materiaalne punkt.

Inerts on materiaalsete kehade omadus muuta oma liikumise kiirust rakendatud jõudude mõjul kiiremini või aeglasemalt.

Keha mass on skalaarne positiivne suurus, mis sõltub antud kehas sisalduva aine kogusest ja määrab selle inertsi mõõtme translatsioonilise liikumise ajal. Klassikalises mehaanikas on mass konstantne suurus.

Jõud on kehade või keha (punkti) ja välja (elektriline, magnetiline jne) vahelise mehaanilise vastasmõju kvantitatiivne mõõt.

Jõud on vektorsuurus, mida iseloomustavad suurusjärk, rakenduspunkt ja suund (mõjujoon) (joon. 2: A – rakenduspunkt; AB – jõu mõjujoon).

Riis. 2

Dünaamikas on koos konstantsete jõududega ka muutlikud jõud, mis võivad sõltuda ajast t, kiirusestϑ, distantsist või nende suuruste kombinatsioonist, s.t.

F = const;

F = F(t);

F = F(ϑ);

F = F(r);

F = F(t, r, ϑ) .

elektrivedur; c − F = F (r) – tsentrist O tõrjuv jõud või tõmbejõud selle poole.

Võrdlussüsteem on kehaga seotud koordinaatsüsteem, mille suhtes uuritakse teise keha liikumist.

Inertsiaalsüsteem on süsteem, milles dünaamika esimene ja teine ​​seadus on täidetud. See on fikseeritud koordinaatsüsteem või ühtlaselt ja lineaarselt liikuv süsteem.

Liikumine mehaanikas on keha asukoha muutumine ruumis ja ajas teiste kehade suhtes.

Klassikalise mehaanika ruum on kolmemõõtmeline, järgides eukleidilist geomeetriat.

Aeg on skalaarne suurus, mis voolab võrdselt mis tahes võrdlussüsteemis.

Mõõtühikute süsteem on mõõtühikute kogum füüsikalised kogused. Kõigi mehaaniliste suuruste mõõtmiseks piisab kolmest põhiühikust: pikkuse, aja, massi või jõu ühikutest.

Kõik muud mehaaniliste suuruste mõõtühikud tuletatakse nendest. Kasutatakse kahte tüüpi ühikute süsteeme: rahvusvahelist ühikute süsteemi SI (või väiksemat - GHS) ja ühikute tehnilist süsteemi - ICGSS.

Teema 1. Materiaalse punkti dünaamika

1.1. Materiaalse punkti dünaamika seadused (Galileo-Newtoni seadused)

Esimene seadus (inertsiseadus).

Välismõjudest isoleeritud materiaalne punkt säilitab oma puhkeseisundi või liigub ühtlaselt ja sirgjooneliselt, kuni rakendatud jõud sunnivad seda seisundit muutma.

Liikumist, mida punkt sooritab jõudude puudumisel või tasakaalustatud jõudude süsteemi toimel, nimetatakse liikumiseks inertsi teel.

Näiteks keha liikumine sujuvalt (hõõrdejõud on null)

horisontaalne pind (joon. 4: G – kehamass; N – normaaltasandi reaktsioon).

Kuna G = − N, siis G + N = 0.

Kui ϑ 0 ≠ 0, liigub keha sama kiirusega; kui ϑ 0 = 0 on keha puhkeasendis (ϑ 0 on algkiirus).

Teine seadus (dünaamika põhiseadus).

Punkti massi ja antud jõu mõjul saadava kiirenduse korrutis on suuruselt võrdne selle jõuga ja selle suund langeb kokku kiirenduse suunaga.

a b

Matemaatiliselt väljendatakse seda seadust vektori võrdsusega

Kui F = 0,a 0 = 0 = ϑ 0 = const – punkt liigub ühtlaselt ja sirgjooneliselt või ϑ 0 = 0 juures – ta on puhkeasendis (inertsiseadus). Teiseks

seadus lubab meil luua seose maapinna lähedal asuva keha massi m ja selle massi vahel G .G = mg, kusg on

gravitatsiooni kiirendus.

Kolmas seadus (tegevuse ja reaktsiooni võrdsuse seadus). Kaks materiaalset punkti mõjutavad teineteist võrdsete jõududega, mis on suunatud piki ühendavat sirgjoont

need punktid on vastupidises suunas.

Kuna jõud F 1 = − F 2 rakenduvad erinevatele punktidele, ei ole jõudude süsteem (F 1, F 2) tasakaalus, st (F 1 , F 2 )≈ 0 (joonis 6).

interakteeruvate punktide massid on pöördvõrdelised nende kiirendustega.

Neljas seadus (jõudude toime sõltumatuse seadus). Punkti võrra saadud kiirendus, kui sellele samal ajal mõjuda

vaid mitu jõudu, mis on võrdne nende kiirenduste geomeetrilise summaga, mille punkt saaks, kui iga jõud rakendataks sellele eraldi.

Selgitus (joon. 7).

t a n

a 1 a kF n

Tulemusjõud R (F 1 ,...F k ,...F n ) .

Kuna ma = R,F 1 = ma 1, ...,F k = ma k, ...,F n = mees, siis

a = a 1 + ...+ a k + ...+ a n = ∑ a k, st neljas seadus on samaväärne

k = 1

jõudude liitmise reegel.

1.2. Materiaalse punkti liikumise diferentsiaalvõrrandid

Olgu materiaalses punktis korraga mitu jõudu, mille hulgas on nii konstantne kui ka muutuv jõud.

Kirjutame dünaamika teise seaduse vormi

punktid, siis (1.2) sisaldab r-i tuletisi ja on materiaalse punkti liikumise diferentsiaalvõrrand vektori kujul või materiaalse punkti dünaamika põhivõrrand.

Vektori võrdsuse (1.2) projektsioonid: - ristkoordinaatide teljel (joon. 8, a)

Loodusteljel (joonis 8, b)

mab = m0 = ∑ Fk b

k = 1

M t oM oa

Võrrandid (1.3) ja (1.4) on materiaalse punkti liikumise diferentsiaalvõrrandid vastavalt Descartes'i koordinaattelgedel ja naturaalsetel telgedel, st looduslikud diferentsiaalvõrrandid, mida tavaliselt kasutatakse punkti kõverjooneliseks liikumiseks, kui punkt ja selle kõverusraadius on teada.

1.3. Materiaalse punkti kaks peamist dünaamika probleemi ja nende lahendus

Esimene (otsene) ülesanne.

Teades liikumisseadust ja punkti massi, määrake punktile mõjuv jõud.

Selle probleemi lahendamiseks peate teadma punkti kiirendust. Seda tüüpi ülesannetes saab seda otse täpsustada või punkti liikumisseadust, mille järgi seda määrata.

1. Seega, kui punkti liikumine on määratud ristkoordinaatides

x = f 1 (t), y = f 2 (t) ja z = f 3 (t), siis määratakse kiirenduse projektsioonid

Massikeskme liikumise teoreem. Mehaanilise süsteemi liikumise diferentsiaalvõrrandid. Teoreem mehaanilise süsteemi massikeskme liikumise kohta. Massikeskme liikumise jäävuse seadus.

Teoreem impulsi muutumise kohta. Materiaalse punkti liikumise maht. Elementaarne jõuimpulss. Jõuimpulss piiratud ajaperioodiks ja selle projektsioon sellele koordinaatteljed. Teoreem materiaalse punkti impulsi muutumise kohta diferentsiaal- ja lõplikel vormidel.

Mehaanilise süsteemi liikumise maht; selle väljendus läbi süsteemi massi ja selle massikeskme kiiruse. Teoreem mehaanilise süsteemi impulsi muutumise kohta diferentsiaal- ja lõplikel vormidel. Mehaanilise impulsi jäävuse seadus

(Keha ja muutuva massiga punkti mõiste. Meshchersky võrrand. Tsiolkovski valem.)

Teoreem nurkimpulsi muutumise kohta. Materiaalse punkti impulsi moment keskpunkti ja telje suhtes. Materiaalse punkti nurkimpulsi muutumise teoreem. Keskvõim. Materiaalse punkti nurkimpulsi säilimine keskjõu korral. (Sektori kiiruse mõiste. Pindalade seadus.)

Mehaanilise süsteemi impulsi või kineetilise momendi põhimoment keskpunkti ja telje suhtes. Pöörleva jäiga keha kineetiline moment ümber pöörlemistelje. Teoreem mehaanilise süsteemi kineetilise momendi muutumise kohta. Mehaanilise süsteemi impulsimomendi jäävuse seadus. (Teoreem mehaanilise süsteemi kineetilise momendi muutumise kohta suhteline liikumine massikeskme suhtes.)

Kineetilise energia muutumise teoreem. Materiaalse punkti kineetiline energia. Elementaarne jõutöö; elementaartöö analüütiline väljendus. Töö, mida teeb jõud selle rakenduspunkti lõplikul nihutamisel. Gravitatsiooni, elastsusjõu ja gravitatsioonijõu töö. Teoreem materiaalse punkti kineetilise energia muutumise kohta diferentsiaal- ja lõplikel vormidel.

Mehaanilise süsteemi kineetiline energia. Valemid jäiga keha kineetilise energia arvutamiseks translatsioonilise liikumise ajal, pöörlemisel ümber fikseeritud telje ja üldine juhtum liikumine (eriti tasapinnalise paralleelse liikumisega). Teoreem mehaanilise süsteemi kineetilise energia muutumisest diferentsiaal- ja lõplikel vormidel. Tahke keha sisejõudude poolt tehtud töö summa on võrdne nulliga. Kindla telje ümber pöörlevale jäigale kehale rakendatavate jõudude töö ja võimsus.

Jõuvälja mõiste. Potentsiaalne jõuväli ja jõufunktsioon. Jõuprojektsioonide väljendamine jõufunktsiooni kaudu. Võrdse potentsiaaliga pinnad. Jõu töö punkti lõplikul nihkel potentsiaalses jõuväljas. Potentsiaalne energia. Näited potentsiaalsed jõud uued väljad: ühtlane gravitatsiooniväli ja gravitatsiooniväli. Mehaanilise energia jäävuse seadus.

Jäik keha dünaamika. Jäiga keha translatsioonilise liikumise diferentsiaalvõrrandid. Diferentsiaalvõrrand jäiga keha pöörlemiseks ümber fikseeritud telje. Füüsiline pendel. Jäiga keha tasapinnalise liikumise diferentsiaalvõrrandid.

D'Alemberti põhimõte. D'Alemberti põhimõte materiaalse punkti jaoks; inertsiaalne jõud. D'Alemberti põhimõte mehaanilise süsteemi jaoks. Jäiga keha punktide inertsjõudude viimine keskmesse; inertsjõudude peavektor ja põhimoment.

(Laagrite dünaamiliste reaktsioonide määramine jäiga keha pöörlemisel ümber fikseeritud telje. Juhtum, kui pöörlemistelg on kere peamine keskne inertsitelg.)

Võimalike liikumiste põhimõte ja dünaamika üldvõrrand. Mehaanilisele süsteemile pandud ühendused. Materiaalse punkti ja mehaanilise süsteemi võimalikud (või virtuaalsed) liikumised. Süsteemi vabadusastmete arv. Ideaalsed ühendused. Võimalike liigutuste põhimõte. Üldvõrrand kõlarid.

Süsteemi liikumisvõrrandid üldistatud koordinaatides (Lagrange'i võrrandid). Süsteemi üldistatud koordinaadid; üldistatud kiirused. Elementaartöö väljendamine üldistatud koordinaatides. Üldised jõud ja nende arvutamine; potentsiaaliga jõudude puhul. Süsteemi tasakaalu tingimused üldistatud koordinaatides. Süsteemi liikumise diferentsiaalvõrrandid üldistatud koordinaatides või 2. tüüpi Lagrange'i võrrandid. Lagrange'i võrrandid potentsiaalsete jõudude korral; Lagrange'i funktsioon (kineetiline potentsiaal).

Tasakaalu stabiilsuse mõiste. Ühe vabadusastmega mehaanilise süsteemi väikesed vabavõnked süsteemi stabiilse tasakaalu positsiooni lähedal ja nende omadused.

Mõjuteooria elemendid. Mõju nähtus. Löögijõud ja löögiimpulss. Löögijõu mõju materiaalsele punktile. Teoreem mehaanilise süsteemi impulsi muutumise kohta kokkupõrkel. Kere otsene tsentraalne löök statsionaarsele pinnale; elastsed ja mitteelastsed löögid. Löögi taastumise koefitsient ja selle eksperimentaalne määramine. Kahe keha otsene keskne mõju. Carnot’ teoreem.

VIITED

Põhiline

Butenin N.V., Lunts Ya-L., Merkin D.R. Teoreetilise mehaanika kursus. T. 1, 2. M., 1985 ja varasemad väljaanded.

Dobronravov V.V., Nikitin N.N. Teoreetilise mehaanika kursus. M., 1983.

Staržinski V.M. Teoreetiline mehaanika. M., 1980.

Targ S.M. Teoreetilise mehaanika lühikursus. M., 1986 ja varasemad väljaanded.

Yablonsky A. A., Nikiforova V. M. Teoreetilise mehaanika kursus. 1. osa. M., 1984 ja eelmised väljaanded.

Yablonsky A. A. Teoreetilise mehaanika kursus. 2. osa. M., 1984 ja eelmised väljaanded.

Meshchersky I. V. Teoreetilise mehaanika ülesannete kogu. M., 1986 ja varasemad väljaanded.

Teoreetilise mehaanika ülesannete kogu/Toim. K. S. Kolesnikova. M., 1983.

Täiendav

Bat M. I., Dzhanelidze G. Yu., Kelzon A. S. Teoreetiline mehaanika näidetes ja ülesannetes. Osad 1, 2. M., 1984 ja eelmised väljaanded.

Ülesannete kogumik teoreetilise mehaanika kohta/5razhnichen/so N. A., Kan V. L., Mintzberg B. L. ja teised, 1987.

Novožilov I. V., Zatsepin M. F. Tüüpilised arvutipõhised arvutused teoreetilises mehaanikas. M., 1986,

Ülesannete kogumik kursusetöö teoreetilisest mehaanikast / Toim. A. A. Yablonsky. M., 1985 ja varasemad väljaanded (sisaldab näiteid probleemide lahendamisest).

Ravikindlustuse kasutamine probleemide lahendamisel on seotud teatud raskustega. Seetõttu luuakse liikumisomaduste ja jõudude vahel tavaliselt täiendavad seosed, mis on mugavamad praktiline rakendus. Sellised suhted on dünaamika üldteoreemid. Need, olles OMS-i tagajärjed, loovad seosed mõne spetsiaalselt kasutusele võetud liikumismõõdu muutumise kiiruse ja välisjõudude omaduste vahel.

Teoreem impulsi muutumise kohta. Tutvustame materiaalse punkti impulsi vektori (R. Descartes) mõistet (joonis 3.4):

I i = t V G (3.9)

Riis. 3.4.

Süsteemi jaoks tutvustame kontseptsiooni süsteemi impulsi põhivektor geomeetrilise summana:

Q = Y, m "V r

Vastavalt OZMS-ile: Xu, -^=i) või X

R (E) .

Arvestades, et /w, = const saame: -Ym,!" = R(E)

või lõplikul kujul

dO/di = A (E (3.11)

need. süsteemi impulsi põhivektori esimene tuletis aja suhtes on võrdne välisjõudude peavektoriga.

Massikeskme liikumise teoreem. Süsteemi massikese nimetatakse geomeetriliseks punktiks, mille asukoht sõltub T, jne. massijaotusest /g/, süsteemis ja määratakse massikeskme raadiusvektori avaldisega (joonis 3.5):

Kus g s - massikeskme raadiuse vektor.

Riis. 3.5.

Helistame = t süsteemi massiga. Pärast avaldise korrutamist

rakendades (3.12) nimetajale ja eristades saadud tulemuse mõlemad pooled

meil on väärtuslik võrdsus: g s t s = ^t.U. = 0 või 0 = t s U s.

Seega on süsteemi peamine impulsi vektor võrdne süsteemi massi ja massikeskme kiiruse korrutisega. Kasutades teoreemi impulsi muutuse kohta (3.11), saame:

t s dU s / dі = A (E) , või

Valem (3.13) väljendab teoreemi massikeskme liikumise kohta: süsteemi massikese liigub materiaalse punktina, millel on süsteemi mass, millele mõjub välisjõudude põhivektor.

Teoreem nurkimpulsi muutumise kohta. Tutvustame materiaalse punkti nurkimpulsi mõistet kui selle raadiusvektori ja impulsi vektorkorrutist:

et oh = bl X et, (3.14)

Kus OI-le - materiaalse punkti impulsi moment fikseeritud punkti suhtes KOHTA(joonis 3.6).

Nüüd määratleme mehaanilise süsteemi nurkimpulsi geomeetrilise summana:

К() = X ko, = ШУ, ? O-15>

Diferentseerides (3.15) saame:

Ґ sek--- X t i U. + g u X t i

Arvestades seda = U G U i X t i u i= 0 ja valemiga (3.2) saame:

сіК а /с1ї - ї 0 .

Teise avaldise (3.6) põhjal saame lõpuks teoreemi süsteemi nurkimpulsi muutumise kohta:

Mehaanilise süsteemi impulsimomendi esimene tuletis fikseeritud keskpunkti O suhtes on võrdne sellele süsteemile mõjuvate välisjõudude põhimomendiga sama keskpunkti suhtes.

Seose (3.16) tuletamisel eeldati, et KOHTA- fikseeritud punkt. Küll aga saab näidata, et paljudel muudel juhtudel seose vorm (3.16) ei muutu, eriti kui tasapinnalisel liikumisel valitakse momendipunkt massikeskmes, kiiruste või kiirenduste hetkekeskmes. Lisaks, kui punkt KOHTA langeb kokku liikuva materiaalse punktiga, selle punkti jaoks kirjutatud võrdus (3.16) muutub identiteediks 0 = 0.

Kineetilise energia muutumise teoreem. Kui mehaaniline süsteem liigub, muutub nii süsteemi “väline” kui ka siseenergia. Kui sisejõudude, põhivektori ja põhimomendi karakteristikud ei mõjuta põhivektori ja kiirenduste arvu põhimomendi muutumist, siis süsteemi energiaseisundi protsesside hindamisse saab kaasata sisejõude. Seetõttu tuleb süsteemi energia muutuste käsitlemisel arvestada üksikute punktide liikumistega, millele rakenduvad ka sisemised jõud.

Materiaalse punkti kineetiline energia on defineeritud kui suurus

T^tuTsg. (3.17)

Mehaanilise süsteemi kineetiline energia on võrdne süsteemi materiaalsete punktide kineetiliste energiate summaga:

Pange tähele, et T > 0.

Määratleme jõu võimsuse jõuvektori ja kiirusvektori skalaarkorrutisena:

Vaatleme teatud materiaalsete objektide süsteemi liikumist fikseeritud koordinaatsüsteemi suhtes. Kui süsteem ei ole vaba, siis võib seda pidada vabaks, kui loobume süsteemile pealesunnitud seostest ja asendame nende tegevuse vastavate reaktsioonidega.

Jagagem kõik süsteemile rakendatavad jõud välisteks ja sisemisteks; mõlemad võivad hõlmata äraviskamise reaktsioone

ühendused. Olgu ja tähistatakse välisjõudude põhivektorit ja põhimomenti punkti A suhtes.

1. Teoreem impulsi muutumise kohta. Kui on süsteemi liikumise hulk, siis (vt)

see tähendab, et teoreem kehtib: süsteemi impulsi ajatuletis on võrdne kõigi välisjõudude peavektoriga.

Asendades vektori selle avaldise kaudu, kus on süsteemi mass, on massikeskme kiirus, saab võrrandi (4.1) anda erineva kuju:

See võrdsus tähendab, et süsteemi massikese liigub nagu materiaalne punkt, mille mass on võrdne süsteemi massiga ja millele rakendub jõud, mis on geomeetriliselt võrdne süsteemi kõigi välisjõudude peavektoriga. Viimast väidet nimetatakse teoreemiks süsteemi massikeskme (inertskeskme) liikumise kohta.

Kui siis (4.1) järeldub, et impulsi vektor on suuruselt ja suunalt konstantne. Projekteerides selle koordinaatide teljele, saame kolm skalaarset esimest integraali, süsteemi topeltkorgi diferentsiaalvõrrandit:

Neid integraale nimetatakse impulsi integraalideks. Kui massikeskme kiirus on konstantne, see tähendab, et see liigub ühtlaselt ja sirgjooneliselt.

Kui välisjõudude peavektori projektsioon ükskõik millisele teljele, näiteks teljele, on võrdne nulliga, siis on meil üks esimene integraal või kui põhivektori kaks projektsiooni on võrdsed nulliga, siis on kaks impulsi integraalid.

2. Lause nurkimpulsi muutumise kohta. Olgu A mingi suvaline punkt ruumis (liikuv või paigalseisev), mis ei pruugi kogu liikumisaja jooksul ühtida süsteemi ühegi konkreetse materiaalse punktiga. Selle kiirust fikseeritud koordinaatsüsteemis tähistame teoreemiga materjali süsteemi kineetilise momendi muutumise kohta punkti A suhtes on kujul

Kui punkt A on fikseeritud, saab võrdus (4.3) lihtsama kuju:

See võrdsus väljendab teoreemi süsteemi nurkimpulsi muutumise kohta fikseeritud punkti suhtes: süsteemi nurkimpulsi ajatuletis, mis on arvutatud mõne fikseeritud punkti suhtes, on võrdne kõigi välisjõudude suhtelise põhimomendiga. selle punktini.

Kui siis vastavalt (4.4) nurkmomendi vektor on suuruselt ja suunalt konstantne. Projekteerides selle koordinaattelgedele, saame topeltsüsteemi diferentsiaalvõrrandite skalaarsed esimesed integraalid:

Neid integraale nimetatakse impulsi integraalideks või pindalaintegraalideks.

Kui punkt A ühtib süsteemi massikeskmega, siis esimene liige võrdsuse (4.3) paremal küljel kaob ja teoreem nurkimpulsi muutumise kohta on samasuguse kirjavormiga (4.4) kui süsteemi puhul. fikseeritud punkt A. Märkus (vt lk 4 p 3), et vaadeldaval juhul saab süsteemi absoluutse nurkimpulsi võrdsuse (4.4) vasakul poolel asendada süsteemi võrdse nurkimpulssiga. oma liikumises massikeskme suhtes.

Olgu mingi konstantne telg või konstantse suuna telg, mis läbib süsteemi massikeskpunkti, ja olgu süsteemi kineetiline moment selle telje suhtes. (4.4) järeldub, et

kus on välisjõudude moment telje suhtes. Kui kogu liikumise ajal on meil esimene integraal

S.A. Chaplygini töödes saadi teoreemi kineetilise impulsi muutumise kohta mitu üldistust, mida seejärel rakendati mitmete veerevate kuulide probleemide lahendamiseks. Töödes on toodud teoreemi edasised üldistused mehaanilise momendi muutumise kohta ja nende rakendused jäiga keha dünaamika probleemides. Nende tööde peamised tulemused on seotud teoreemiga kineetilise impulsi muutumise kohta liikuva impulsi suhtes, mis läbib pidevalt mõnda liikuvat punkti A. Olgu piki seda telge suunatud ühikvektor. Korrutades skalaarselt võrdsuse mõlema poolega (4.3) ja liites selle liikme kahele osale, saame

Kui kinemaatiline tingimus on täidetud

Võrrand (4.5) tuleneb (4.7). Ja kui tingimus (4.8) on täidetud kogu liikumise vältel, siis on esimene integraal (4.6) olemas.

Kui süsteemi ühendused on ideaalsed ja võimaldavad virtuaalsete nihete hulgas süsteemi kui jäiga keha pöörlemist ümber telje ja siis reaktsioonide põhimoment telje suhtes ja on võrdne nulliga ning siis väärtus võrrandi (4.5) parem pool kujutab kõigi väliste aktiivjõudude põhimomenti telje ja . Selle momendi võrdsus nulliga ja seose (4.8) kehtivus on vaadeldaval juhul piisavad tingimused integraali (4.6) olemasoluks.

Kui telje ja suund on konstantne, kirjutatakse vormile tingimus (4.8).

See võrdsus tähendab, et massikeskme kiiruse ja punkti A kiiruse projektsioonid teljel ja sellega risti asetseval tasapinnal on paralleelsed. S.A. Chaplygini töös (4,9) asemel vähem kui üldine seisund kus X on suvaline konstantne väärtus.

Pange tähele, et tingimus (4.8) ei sõltu punkti valikust . Tõepoolest, olgu P suvaline punkt teljel. Siis

ja seetõttu

Kokkuvõtteks märgime ära Rézali võrrandite (4.1) ja (4.4) geomeetrilise tõlgenduse: vektorite otste absoluutsed kiirusvektorid ja on võrdsed vastavalt põhivektori ja kõigi välisjõudude põhimomendiga punkti A suhtes. .