Loogiline on liikuda edasi rääkimise juurde tehted algebraliste murdudega. Määratletud algebraliste murdudega järgmised sammud: liitmine, lahutamine, korrutamine, jagamine ja suurendamine loomulik kraad. Pealegi on kõik need toimingud suletud selles mõttes, et nende täitmise tulemusena saadakse algebraline murd. Vaatame igaüks neist järjekorras.

Jah, tasub kohe märkida, et algebraliste murdudega toimingud on vastavate tegevuste üldistused tavaliste murdudega. Seetõttu langevad vastavad reeglid peaaegu sõna-sõnalt kokku liitmise ja lahutamise, korrutamise, jagamise ja astendamise sooritamise reeglitega tavalised murrud.

Leheküljel navigeerimine.

Algebraliste murdude liitmine

Mis tahes algebraliste murdude liitmine sobib ühele kahest järgmisest juhtumist: esimesel juhul murrud samad nimetajad, teises - erinevatega. Alustame sarnaste nimetajatega murdude liitmise reegliga.

Sarnaste nimetajatega algebraliste murdude lisamiseks lisage lugejad ja jätate nimetaja samaks.

Väljakuulutatud reegel võimaldab liikuda algebraliste murdude liitmiselt lugejates leitud polünoomide liitmisele. Näiteks .

Algebraliste murdude lisamiseks koos erinevad nimetajad peate tegutsema järgmise reegli järgi: juhatage nad selle juurde ühisnimetaja, seejärel lisage saadud murrud samade nimetajatega.

Näiteks algebraliste murdude lisamisel tuleb need esmalt viia ühise nimetajani, mille tulemusel saavad need kuju Ja vastavalt, mille järel tehakse nende samade nimetajatega murdude liitmine: .

Lahutamine

Järgmine toiming, algebraliste murdude lahutamine, sooritatakse sarnaselt liitmisele. Kui algsete algebraliste murdude nimetajad on samad, peate lihtsalt lugejate polünoomid lahutama ja nimetaja samaks jätma. Kui nimetajad on erinevad, siis esmalt teostatakse taandamine ühiseks nimetajaks, mille järel lahutatakse saadud samade nimetajatega murrud.

Toome näiteid.

Lahutame algebralised murded ja , Nende nimetajad on samad, seega . Saadud algebralist murdosa saab veelgi vähendada: .

Nüüd lahutame murdosast murdosa. Nendel algebralistel murdudel on erinevad nimetajad, seetõttu viime need kõigepealt ühise nimetaja juurde, mis antud juhul on 5·x·(x-1) , meil on Ja . Kõik, mis jääb tegemata, on lahutada:

Algebraliste murdude korrutamine

Algebralisi murde saab korrutada. See toiming viiakse läbi sarnaselt tavaliste murdude korrutamisega vastavalt järgmisele reeglile: algebraliste murdude korrutamiseks peate korrutama lugejad eraldi ja nimetajad eraldi.

Toome näite. Korrutame algebralise murru murdosaga . Vastavalt väljatoodud reeglile on meil . Jääb üle saadud murdosa teisendada algebraline murd, selleks peate sel juhul korrutama monoomi ja polünoomi (ja sisse üldine juhtum- polünoomide korrutamine) lugejas ja nimetajas: .

Väärib märkimist, et enne algebraliste murdude korrutamist on soovitatav arvestada nende lugejates ja nimetajates leiduvad polünoomid. See on tingitud võimalusest vähendada saadud fraktsiooni. Näiteks
.

Seda toimingut käsitletakse artiklis üksikasjalikumalt.

Jaoskond

Liigume edasi algebraliste murdudega tehte juurde. Järgmine on algebraliste murdude jagamine. Järgmine reegel taandab algebraliste murdude jagamise korrutamiseks: ühe algebralise murru teisega jagamiseks peate korrutama esimese murru teise pöördarvuga.

Algebraline murd, antud murru pöördväärtus, on murd, mille lugeja ja nimetaja on vahetatud. Teisisõnu peetakse kahte algebralist murdu vastastikku pöördvõrdeliseks, kui nende korrutis on identselt võrdne ühega (analoogia alusel).

Toome näite. Teeme jagamise . Jagaja pöördmurd on . Seega,.

Täpsema teabe saamiseks vaadake eelmises lõigus mainitud artiklit: algebraliste murdude korrutamine ja jagamine.

Algebralise murru tõstmine astmeni

Lõpuks liigume algebraliste murdudega viimase toimingu juurde – loomuliku astmeni tõstmise juurde. , samuti viis, kuidas me algebraliste murdude korrutamist defineerisime, võimaldab meil kirja panna algebralise murru astmeks tõstmise reegli: peate eraldi tõstma lugeja selle astmeni ja eraldi nimetaja.

Näitame selle toimingu sooritamise näidet. Tõstame algebralise murru teise astmeni. Vastavalt ülaltoodud reeglile on meil . Jääb üle tõsta lugeja monoom astmeni ja ka nimetaja polünoomi tõsta astmeks, mis annab vormi algebralise murdosa .

Teiste tüüpiliste näidete lahendust on näidatud artiklis, mis tõstab algebralise murru astmeni.

Viited.

• Algebra:õpik 8. klassi jaoks. üldharidus institutsioonid / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindjuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toimetanud S. A. Teljakovski. - 16. väljaanne. - M.: Haridus, 2008. - 271 lk. : haige. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovitš A.G. Algebra. 8. klass. Kell 14 1. osa Õpik õpilastele haridusasutused/ A. G. Mordkovitš. - 11. väljaanne, kustutatud. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 lk.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusev V. A., Mordkovitš A. G. Matemaatika (juhend tehnikutesse astujatele): Proc. abiraha.- M.; Kõrgem kool, 1984.-351 lk, ill.

Autoriõigus nutikatele õpilastele

Kõik õigused kaitstud.
Autoriõiguse seadusega kaitstud. Ükski osa www.saidist, sealhulgas sisemised materjalid ja välimust ei tohi mingil kujul reprodutseerida ega kasutada ilma autoriõiguste valdaja eelneva kirjaliku loata.

Eesmärgid: korrake tavaliste murdude korrutamise reeglit ja õpetage, kuidas seda reeglit rakendada mis tahes murdude korrutamiseks; kinnistada harjutuste käigus murdude vähendamise oskusi ja samade alustega astmete omadusi.

Tunni edenemine

I. Kontrolltöö analüüs.

1. Märkige õpilaste poolt testis tehtud vead.

2. Lahenda õpilastele raskusi tekitanud ülesandeid.

II. Suuline töö.

1. Korrake kraadide omadusi samade alustega:

2. Esitleda väena alusega

Vaadake üle murdude põhiomadus ja kasutage seda omadust murdude vähendamiseks.

III. Uue materjali selgitused.

1. Tõestame, et võrdsus

kehtib muutujate mis tahes lubatud väärtuste puhul, st b≠0 ja d≠0 puhul.

2. Reegel: murdosa korrutamiseks murdosaga peate korrutama nende lugejad ja nimetajad ning kirjutama esimese korrutise lugejaks ja teise murdosa nimetajaks.

3. Mõelge õpiku lk 26-27 näidete 1, 2, 3 ja 4 lahendusele.

4. Murdude korrutamise reegel kehtib kolme või enama teguri korrutisele.

Näiteks:

1. Lahenda nr 108 (suuliselt).

2. Lahendage tahvlil ja vihikutes nr 109 (a, c, e).

Õpilased otsustavad ise, seejärel kontrollitakse lahendust.

3. Lahenda nr 112 (c; d; f).

Kodutöö ülesanne: uurige lõiget 5 (1–4); lahendus nr 109 (b; d; f),

nr 112 (a; b; d), nr 118 (a; c; d), nr 119 (b; d), nr 120 (a; c).

2. õppetund

Eesmärgid: tuletada reegel murdarvu astmele tõstmiseks ja õpetada õpilasi seda reeglit harjutuste sooritamisel rakendama; kinnistada murdude korrutamise reeglit ja murdude vähendamise oskusi, arendada õpilaste loogilist mõtlemist.

Tunni edenemine

I. Suuline töö.

4. Kontrollige kodutöö valikuliselt märkmikest.

II. Uue materjali õppimine.

1. Mõelge murdosa astmeks tõstmise küsimusele. Tõestame seda

2. Reegel. Murru tõstmiseks astmeni peate tõstma lugeja ja nimetaja selle astmeni ning kirjutama esimese tulemuse lugejasse ja teise murdosa nimetajasse.

3. Analüüsige õpiku lk 28 näite 5 lahendust:

III. Harjutuste tegemine.

1. Lahenda nr 115 suuliselt.

2. Lahenda nr 116 ise kohapeal kontrollimise või kommenteerimisega.

IV. Iseseisev töö (10 min).

V. Tunni kokkuvõte.

1. Moodusta murdude korrutamise reegel.

2. Moodusta reegel murdarvu astmeks tõstmiseks.

Kodutöö:õppida tundma lõike 5 reegleid; lahendada nr 117, nr 121 (a; d), nr 122 (a; c), nr 123 (a), nr 124, nr 130 (a; b).

On ilmne, et astmetega numbreid saab liita nagu teisigi suurusi , lisades need üksteise järel oma märkidega.

Seega on a 3 ja b 2 summa a 3 + b 2.
A 3 - b n ja h 5 -d 4 summa on a 3 - b n + h 5 - d 4.

Koefitsiendid identsete muutujate võrdsed astmed saab liita või lahutada.

Seega on 2a 2 ja 3a 2 summa 5a 2.

Samuti on ilmne, et kui võtta kaks ruutu a, kolm ruutu a või viis ruutu a.

Aga kraadid erinevaid muutujaid Ja erinevad kraadid identsed muutujad, tuleb koostada, lisades need koos nende märkidega.

Seega on 2 ja 3 summa 2 + 3 summa.

On ilmne, et ruut a ja kuup a ei võrdu mitte kahekordse a ruuduga, vaid kahekordse a kuubikuga.

A 3 b n ja 3a 5 b 6 summa on a 3 b n + 3a 5 b 6.

Lahutamine volitusi teostatakse samamoodi nagu liitmist, välja arvatud see, et alamlahendi märke tuleb vastavalt muuta.

Või:
2a 4 – (-6a 4) = 8a 4
3 h 2 b 6 - 4 h 2 b 6 = -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6

Võimude korrutamine

Pädevustega numbreid saab korrutada, nagu ka teisi suurusi, kirjutades need üksteise järel, kas korrutusmärgiga või ilma.

Seega saadakse a 3 korrutamisel b 2-ga a 3 b 2 ehk aaabb.

Või:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 a

Viimase näite tulemuse saab järjestada identsete muutujate lisamisega.
Väljend on kujul: a 5 b 5 y 3.

Võrreldes mitut arvu (muutujat) astmetega, näeme, et kui neist kaks korrutada, on tulemuseks arv (muutuja), mille võimsus on võrdne summa terminite astmed.

Niisiis, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Siin on 5 korrutamise tulemuse võimsus, mis võrdub 2 + 3, liikmete astmete summa.

Niisiis, a n .a m = a m+n .

A n korral võetakse a tegurina sama mitu korda kui n võimsus;

Ja m võetakse tegurina nii mitu korda, kui aste m on võrdne;

Sellepärast, samade alustega astmeid saab korrutada, liites astmete eksponendid.

Niisiis, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Ja x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Või:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Korrutage (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Vastus: x 4 - y 4.
Korrutage (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

See reegel kehtib ka arvude kohta, mille eksponendid on negatiivne.

1. Niisiis, a -2 .a -3 = a -5 . Seda saab kirjutada kujul (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Kui a + b korrutada a - b-ga, on tulemuseks a 2 - b 2: see on

Kahe arvu summa või erinevuse korrutamise tulemus on võrdne nende ruutude summa või erinevusega.

Kui korrutada kahe arvu summa ja vahe, mis on tõstetud ruut, on tulemus võrdne nende arvude summa või erinevusega neljas kraadid.

Niisiis, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 – y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 – y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Kraadide jaotus

Pädevustega numbreid saab jagada nagu teisigi numbreid, lahutades dividendist või paigutades need murdosa kujul.

Seega on a 3 b 2 jagatud b 2-ga võrdne 3-ga.

Või:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

5 jagatuna 3-ga kirjutades näeb välja selline $\frac(a^5)(a^3)$. Kuid see on võrdne 2-ga. Numbrite reas
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
mis tahes arvu saab jagada teisega ja astendaja on võrdne erinevus jaguvate arvude näitajad.

Kraadide jagamisel sama alusega lahutatakse nende eksponendid..

Niisiis, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. See tähendab, $\frac(yyy)(yy) = y$.

Ja a n+1:a = a n+1-1 = a n . See tähendab, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Või:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

Reegel kehtib ka numbrite puhul koos negatiivne kraadide väärtused.
-5 jagamisel -3-ga saadakse -2.
Samuti $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 või $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Korrutamist ja võimsuste jagamist on vaja väga hästi valdada, kuna selliseid tehteid kasutatakse algebras väga laialdaselt.

Näiteid näidete lahendamisest astmetega numbreid sisaldavate murdudega

1. Vähendage eksponente $\frac(5a^4)(3a^2)$ võrra. Vastus: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Vähendage eksponente $\frac(6x^6)(3x^5)$ võrra. Vastus: $\frac(2x)(1)$ või 2x.

3. Vähendage eksponendid a 2 /a 3 ja a -3 /a -4 ning viige ühise nimetajani.
a 2 .a -4 on -2 esimene lugeja.
a 3 .a -3 on 0 = 1, teine ​​lugeja.
a 3 .a -4 on -1, ühine lugeja.
Pärast lihtsustamist: a -2 /a -1 ja 1/a -1 .

4. Vähendage eksponendid 2a 4 /5a 3 ja 2 /a 4 ja viige ühise nimetajani.
Vastus: 2a 3 /5a 7 ja 5a 5 /5a 7 või 2a 3 /5a 2 ja 5/5a 2.

5. Korrutage (a 3 + b)/b 4 arvuga (a - b)/3.

6. Korrutage (a 5 + 1)/x 2 arvuga (b 2 - 1)/(x + a).

7. Korrutage b 4 /a -2 arvuga h -3 /x ja a n /y -3 .

8. Jagage 4 /a 3 3 /a 2-ga. Vastus: a/y.

9. Jagage (h 3 – 1)/d 4 arvuga (d n + 1)/h.

Kraadivalemid kasutatakse keeruliste avaldiste taandamise ja lihtsustamise protsessis, võrrandite ja võrratuste lahendamisel.

Number c on n-arvu aste a Millal:

Tehted kraadidega.

1. Kraadide korrutamisel sama alusega liidetakse nende näitajad:

a m·a n = a m + n .

2. Kraadide jagamisel sama alusega lahutatakse nende eksponendid:

3. Kahe või enama teguri korrutis on võrdne nende tegurite astmete korrutisega:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Murru aste võrdub dividendi ja jagaja astmete suhtega:

(a/b) n = a n/bn.

5. Tõsttes astme astmeks, korrutatakse eksponendid:

(a m) n = a m n .

Kõik ülaltoodud valemid kehtivad vasakult paremale ja vastupidi.

Näiteks. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operatsioonid juurtega.

1. Mitme teguri korrutis on võrdne nende tegurite juurte korrutisega:

2. Suhtarvu juur võrdub dividendi ja juurte jagaja suhtega:

3. Juure tõstmisel astmele piisab radikaalarvu tõstmisest selle astmeni:

4. Kui suurendate juure astet n kord ja samal ajal sisse ehitada n aste on radikaalarv, siis juure väärtus ei muutu:

5. Kui vähendate juure astet n eemaldage samal ajal juur n-radikaalarvu astmes, siis juure väärtus ei muutu:

Negatiivse astendajaga kraad. Teatud mittepositiivse (täisarvulise) astendajaga arvu aste on defineeritud kui see, mis on jagatud sama arvu astmega, mille astendaja on võrdne absoluutväärtus mittepositiivne indikaator:

Valem a m:a n =a m - n saab kasutada mitte ainult m> n, aga ka koos m< n.

Näiteks. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Valemile a m:a n =a m - n muutus õiglaseks, kui m = n, on vajalik null kraadi olemasolu.

Kraad nullindeksiga. Iga arvu, mis ei ole võrdne nulliga ja mille astendaja on null, aste on võrdne ühega.

Näiteks. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Kraad murdarvulise astendajaga. Tõsta reaalarvu A kraadini m/n, peate juure ekstraheerima n aste m-selle arvu aste A.

Tund teemal: "Samade ja erinevate astendajatega võimude korrutamise ja jagamise reeglid. Näited"

Lisamaterjalid
Kallid kasutajad, ärge unustage jätta oma kommentaare, ülevaateid, soove. Kõik materjalid on viirusetõrjeprogrammiga kontrollitud.

Õppevahendid ja simulaatorid Integrali veebipoes 7. klassile
Käsiraamat õpiku Yu.N. Makarycheva käsiraamat õpiku jaoks, autor A.G. Mordkovitš

Tunni eesmärk: õppida sooritama tehteid arvude astmetega.

Kõigepealt meenutagem mõistet "arvu võimsus". Avaldist kujul $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ saab esitada kui $a^n$.

Tõsi on ka vastupidine: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

Seda võrdsust nimetatakse "kraadi registreerimiseks tootena". See aitab meil otsustada, kuidas võimeid korrutada ja jagada.
Pidage meeles:
a– kraadi alus.
n– eksponent.
Kui n = 1, mis tähendab numbrit A võttis üks kord ja vastavalt: $a^n= 1$.
Kui n = 0, siis $a^0= 1$.

Miks see nii juhtub, saame teada, kui tutvume võimude korrutamise ja jagamise reeglitega.

Korrutamise reeglid

Näide.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Seda omadust on mugav kasutada töö lihtsustamiseks, kui tõstate arvu suuremale astmele.
Näide.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Kui korrutada erinevate alustega, kuid sama astendajaga astmed.
$a^n * b^n$ saamiseks kirjutame astmed korrutisena: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b ) _(m )$.
Kui vahetame tegurid ja loendame saadud paarid, saame: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

Seega $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Näide.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

Jagamise reeglid

Niisiis, me vajame $\frac(a^n)(a^m)$, Kus n>m.

Kirjutame kraadid murdarvuna:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

Nüüd vähendame murdosa.

Selgub: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
Tähendab, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

See omadus aitab selgitada olukorda numbri tõstmisel nullastmeni. Oletame, et n=m, siis $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

Näited.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

b) Kraadi alused on erinevad, näitajad samad.
Oletame, et vajame $\frac(a^n)( b^n)$. Kirjutame arvude astmed murdudena:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

Näide.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.