Вторият знак за равенство на триъгълниците

Ако страна и два съседни ъгъла на един триъгълник са съответно равни на страна и два съседни ъгъла на друг триъгълник, тогава тези триъгълници са еднакви.

MN = PR N = R M = P

Както при доказателството на първия знак, трябва да се уверите дали това е достатъчно, за да са равни триъгълниците, могат ли да се комбинират напълно?

1. Тъй като MN = PR, тогава тези сегменти се комбинират, ако крайните им точки са комбинирани.

2. Тъй като N = R и M = P, лъчите \(MK\) и \(NK\) ще припокриват лъчите \(PT\) и \(RT\), съответно.

3. Ако лъчите съвпадат, то техните пресечни точки \(K\) и \(T\) съвпадат.

4. Всички върхове на триъгълниците са комбинирани, т.е. Δ MNK и Δ PRT са напълно подравнени, което означава, че са равни.

Третият знак за равенство на триъгълниците

Ако три страни на един триъгълник са съответно равни на три страни на друг триъгълник, тогава тези триъгълници са еднакви.

MN = PR KN = TR MK = PT

Нека отново се опитаме да комбинираме триъгълниците Δ MNK и Δ PRT чрез припокриване и се уверим, че съответните равни страни гарантират, че съответните ъгли на тези триъгълници са равни и те ще съвпаднат напълно.

Нека комбинираме, например, еднакви сегменти \(MK\) и \(PT\). Да приемем, че точките \(N\) и \(R\) не съвпадат.

Нека \(O\) е средата на отсечката \(NR\). Според тази информация MN = PR, KN = TR. Триъгълниците \(MNR\) и \(KNR\) са равнобедрени с обща основа \(NR\).

Следователно техните медиани \(MO\) и \(KO\) са височини, което означава, че са перпендикулярни на \(NR\). Правите \(MO\) и \(KO\) не съвпадат, тъй като точките \(M\), \(K\), \(O\) не лежат на една права. Но през точката \(O\) на правата \(NR\) може да се начертае само една права, перпендикулярна на нея. Стигнахме до противоречие.

Доказано е, че върховете \(N\) и \(R\) трябва да съвпадат.

Третият знак ни позволява да наречем триъгълника много силна, стабилна фигура, понякога казват така триъгълник - твърда фигура . Ако дължините на страните не се променят, тогава и ъглите не се променят. Например, четириъгълник няма това свойство. Поради това различни опори и укрепвания са направени триъгълни.

Но хората отдавна оценяват и подчертават особената стабилност, стабилност и съвършенство на числото \(3\).

Приказките говорят за това.

Там срещаме “Три мечки”, “Три вятъра”, “Три прасенца”, “Трима другари”, “Трима братя”, “Трима късметлии”, “Трима занаятчии”, “Трима принцове”, “Трима приятели”, „Трима герои“ и др.

Там се дават “три опита”, “три съвета”, “три инструкции”, “три срещи”, изпълняват се “три желания”, трябва да се изтърпят “три дни”, “три нощи”, “три години”, да се премине през „три държави“, „три подземни царства“, издържат „три изпитания“, плават през „трите морета“.

Два триъгълника се наричат ​​еднакви, ако могат да бъдат събрани чрез припокриване. Фигура 1 показва еднакви триъгълници ABC и A 1 B 1 C 1. Всеки от тези триъгълници може да бъде насложен върху другия, така че да са напълно съвместими, тоест техните върхове и страни да са съвместими по двойки. Ясно е, че ъглите на тези триъгълници също ще съвпадат по двойки.

Така, ако два триъгълника са еднакви, тогава елементите (т.е. страни и ъгли) на единия триъгълник са съответно равни на елементите на другия триъгълник. Забележете това в равни триъгълници срещу съответно равни страни(т.е. припокриване при наслагване) лежат равни ъглии обратно: Равните страни лежат срещу съответно равни ъгли.

Така например в равни триъгълници ABC и A 1 B 1 C 1, показани на фигура 1, срещу равни страни AB и A 1 B 1, съответно, лежат равни ъгли C и C 1. Ще обозначим равенството на триъгълниците ABC и A 1 B 1 C 1, както следва: Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1. Оказва се, че равенството на два триъгълника може да се установи чрез сравняване на някои от техните елементи.

Теорема 1. Първият знак за равенство на триъгълниците.Ако две страни и ъгълът между тях на един триъгълник са съответно равни на две страни и ъгълът между тях на друг триъгълник, тогава такива триъгълници са еднакви (фиг. 2).

Доказателство. Да разгледаме триъгълници ABC и A 1 B 1 C 1, в които AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1 ∠ A = ∠ A 1 (виж фиг. 2). Нека докажем, че Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 .

Тъй като ∠ A = ∠ A 1, тогава триъгълник ABC може да бъде насложен върху триъгълник A 1 B 1 C 1 така, че върхът A да е подравнен с върха A 1, а страните AB и AC са съответно насложени върху лъчите A 1 B 1 и A 1 C 1. Тъй като AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, тогава страната AB ще се изравни със страната A 1 B 1 и страната AC ще се изравни със страната A 1 C 1; по-специално, точки B и B 1, C и C 1 ще съвпадат. Следователно страните BC и B 1 C 1 ще се изравнят. И така, триъгълниците ABC и A 1 B 1 C 1 са напълно съвместими, което означава, че са равни.

Теорема 2 се доказва по подобен начин чрез метода на суперпозицията.

Теорема 2. Вторият знак за равенство на триъгълниците.Ако страна и два съседни ъгъла на един триъгълник са съответно равни на страната и два съседни ъгъла на друг триъгълник, тогава тези триъгълници са равни (фиг. 34).

Коментирайте. Въз основа на теорема 2 е установена теорема 3.

Теорема 3. Сборът от всеки два вътрешни ъгъла на триъгълник е по-малък от 180°.

Теорема 4 следва от последната теорема.

Теорема 4. Външен ъгълтриъгълник е по-голям от всеки вътрешен ъгъл, а не в съседство с него.

Теорема 5. Третият знак за равенство на триъгълниците.Ако три страни на един триъгълник са съответно равни на три страни на друг триъгълник, тогава такива триъгълници са еднакви ().

Пример 1.В триъгълници ABC и DEF (фиг. 4)

∠ A = ∠ E, AB = 20 cm, AC = 18 cm, DE = 18 cm, EF = 20 cm. Колко е ъгълът в триъгълника DEF равен на ъгълВЪВ?

Решение. Тези триъгълници са равни по първия знак. Ъгъл F на триъгълник DEF е равен на ъгъл B на триъгълник ABC, тъй като тези ъгли лежат срещу съответно равни страни DE и AC.

Пример 2.Отсечките AB и CD (фиг. 5) се пресичат в точка O, която е средата на всеки от тях. Каква е дължината на отсечката BD, ако отсечката AC е 6 m?

Решение. Триъгълниците AOC и BOD са равни (според първия признак): ∠ AOC = ∠ BOD (вертикално), AO = OB, CO = OD (по условие).
От равенството на тези триъгълници следва, че страните им са равни, т.е. AC = BD. Но тъй като според условието AC = 6 m, тогава BD = 6 m.

Има три знака за равенство за два триъгълника. В тази статия ще ги разгледаме под формата на теореми и ще предоставим техните доказателства. За да направите това, не забравяйте, че фигурите ще бъдат равни, когато напълно се припокриват.

Първи знак

Теорема 1

Два триъгълника ще бъдат равни, ако двете страни и ъгълът между тях на един от триъгълниците са равни на двете страни и ъгъла между тях в другия.

Доказателство.

Да разгледаме два триъгълника $ABC$ и $A"B"C"$, в които $AB=A"B"$, $AC=A"C"$ и $∠A=∠A"$ (фиг. 1).

Нека комбинираме височините $A$ и $A"$ на тези триъгълници. Тъй като ъглите при тези върхове са равни един на друг, страните $AB$ и $AC$ ще се припокриват, съответно, лъчите $A"B" $ и $A"C" $ Тъй като тези страни са равни по двойки, страните $AB$ и $AC$, съответно, съвпадат със страните $A"B"$ и $A"C"$, а следователно и върховете. $B$ и $B"$. , $C$ и $C"$ ще бъдат еднакви.

Следователно страната BC ще съвпадне напълно със страната $B"C"$. Това означава, че триъгълниците ще се припокриват напълно, което означава, че са равни.

Теоремата е доказана.

Втори знак

Теорема 2

Два триъгълника ще бъдат равни, ако два ъгъла и общата им страна на един от триъгълниците са равни на два ъгъла и общата им страна в другия.

Доказателство.

Нека разгледаме два триъгълника $ABC$ и $A"B"C"$, в които $AC=A"C"$ и $∠A=∠A"$, $∠C=∠C"$ (фиг. 2) .

Нека комбинираме страните $AC$ и $A"C"$ на тези триъгълници, така че височините $B$ и $B"$ да лежат на една и съща страна от него. Тъй като ъглите при тези страни са равни по двойки на една друга, тогава страните $AB$ и $BC$ ще се припокриват, съответно лъчите $A"B"$ и $B"C"$ Следователно и точката $B$, и точката $B"$ ще бъдат са пресечните точки на комбинираните лъчи (това е, например, лъчите $AB$ и $BC$). Тъй като лъчите могат да имат само една пресечна точка, точката $B$ ще съвпадне с точката $B"$. Това означава, че триъгълниците ще се припокриват напълно, което означава, че са равни.

Теоремата е доказана.

Трети знак

Теорема 3

Два триъгълника ще бъдат равни, ако три страни на един от триъгълниците са равни на три страни на другия.

Доказателство.

Да разгледаме два триъгълника $ABC$ и $A"B"C"$, в които $AC=A"C"$, $AB=A"B"$ и $BC=B"C"$ (фиг. 3).

Доказателство.

Нека комбинираме страните $AC$ и $A"C"$ на тези триъгълници, така че височините $B$ и $B"$ да лежат на противоположните му страни. След това ще разгледаме три различни случая на получената подредба от тези върхове ще ги разгледаме на снимките.

Първи случай:

Тъй като $AB=A"B"$, равенството $∠ABB"=∠AB"B$ ще бъде вярно. По същия начин $∠BB"C=∠B"BC$. След това, като сбор, получаваме $∠B=∠B"$

Втори случай:

Тъй като $AB=A"B"$, равенството $∠ABB"=∠AB"B$ ще бъде вярно. По същия начин $∠BB"C=∠B"BC$. Тогава, като разлика, получаваме $∠B=∠B"$

Следователно, съгласно теорема 1, тези триъгълници са равни.

Трети случай:

Тъй като $BC=B"C"$, равенството $∠ABC=∠AB"C$ ще бъде вярно

Следователно, съгласно теорема 1, тези триъгълници са равни.

Теоремата е доказана.

Примерни задачи

Пример 1

Докажете равенството на триъгълниците от фигурата по-долу

Третият критерий за равенството на триъгълниците от три страни е формулиран под формата на теорема.

Теорема : Ако три страни на един триъгълник са съответно равни на три страни на друг триъгълник, тогава тези триъгълници са еднакви.

Доказателство.Да разгледаме ΔABC и ΔA 1 B 1 C 1, за които AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, BC = B 1 C 1. Нека докажем, че ΔABC=ΔA 1 B 1 C 1

Нека ABC и A 1 B 1 C 1 са триъгълници с AB=A 1 B 1 , AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 . Нека наложим ∆ABC върху ∆A 1 B 1 C 1 така, че върхът A да съвпада с A 1, а върховете B и B 1, а върховете C и C 1 да са от противоположните страни на правата A 1 B 1. Възможни са три случая: 1) лъчът C 1 C минава в ъгъла A 1 C 1 B 1 (фиг. а)); 2) лъч C 1 C съвпада с една от страните на този ъгъл (фиг. b)); лъч C 1 C минава извън ъгъла A 1 C 1 B 1 (фиг. c)). Да разгледаме първия случай. Тъй като според условията на теоремата страните AC и A 1 C 1, BC и B 1 C 1 са равни, тогава триъгълниците A 1 C 1 C и B 1 C 1 C са равнобедрени. По теоремата за свойството на ъглите равнобедрен триъгълникÐl = Ð2, Ð3 = Ð4, следователно ÐA 1 CB 1 = =ÐA 1 C 1 B 1 . И така, AC=A 1 C 1, BC=B 1 C 1, РС = РС 1. Следователно триъгълниците ABC и A 1 B 1 C 1 са равни по първия знак за равенство на триъгълниците.

Напишете на дъската:

дадени:ΔABC, ΔA 1 B 1 C 1 , AB=A 1 B 1 , AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1

Докажи:ΔABC=ΔA 1 B 1 C 1

Доказателство.Нека наложим ∆ABC върху ∆A 1 B 1 C 1 така, че A → A 1 и B → B 1, а C и C 1 са от противоположните страни на правата A 1 B 1. Да разгледаме един случай. лъчът C 1 C преминава вътре в RA 1 C 1 B 1 (фиг. а)).

AC = A 1 C 1, BC = B 1 C 1 ═> ΔA 1 C 1 C и ΔB 1 C 1 C - равни. ═> Ðl = Ð2, Ð3 = Ð4 (според характера на ъглите е равен на Δ), ═> ÐA 1 CB 1 =ÐA 1 C 1 B 1 ═> AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 , РС = РС 1 ═>

ΔABC=ΔA 1 B 1 C 1 според първия знак за равенство на триъгълниците.

2.Ромб. Определение, свойства, признаци.

Ромбът е вид четириъгълник.

Определение: Ромбът е успоредник, в който всички страни са равни.

Фигурата показва успоредник ABCD с AB=BC=CD=DA. По дефиниция този успоредник е ромб. AC и ВD са диагоналите на ромба. Тъй като ромбът е успоредник, всички свойства и характеристики на успоредник са валидни за него.

Свойства:

1) В ромба срещуположните ъгли са равни (ÐA=ÐC, ÐB=ÐD)

2) Диагоналите на ромба са разделени наполовина от точката на пресичане. (BO=ОД, AO=ОC)

3) Диагоналите на ромба са взаимно перпендикулярни и ъглите му са разполовени. (AC DV, ‌‌РАБО=РОВС, ADО=РОDC, ‌‌рBСО=РDСО, РДАО=РУАО) ( специално имущество)

4) Сумата от ъглите, прилежащи към едната страна, е равна на 180 0 (ÐA+ÐB= ÐC+ÐD=ÐB+ÐC=ÐA+ÐD=180 0)

знаци ромб:

1) Ако диагоналите на успоредник са взаимно перпендикулярни, то този успоредник е ромб

2) Ако диагоналът на успоредника разполовява неговите ъгли, тогава успоредникът е ромб.

3) Ако всички страни на успоредник са равни, тогава той е ромб.

Писане на дъската.

Свойства:

1) ÐA=ÐC, ÐB=ÐD 2) BO=OD, AO=OC

3) AC DV, ‌‌РАБО=РОВС, ADО=РОDC, ‌‌рBСО=РDСО, РДАО=РВАО

4) ÐA+ÐB= ÐC+ÐD=ÐB+ÐC=ÐA+ÐD=180 0

Обратните твърдения са знаци ромб:

1 ) Ако ABCD е успоредник m и AC DB, то ABCD е ромб.

2) Ако ABCD е успоредник, а AC и DB са ъглополовящи, то ABCD е ромб.

3) Ако ABCD е успоредник и AC=DB и BC=AD, то ABCD е ромб.

Задача.