Чисто огъванеТози вид огъване се нарича, в който се извършва действието само огъващ момент(фиг. 3.5, А).Нека мислено начертаем равнината на сечение I-I, перпендикулярна на надлъжната ос на гредата на разстояние * от свободния край на гредата, към който се прилага външният момент m z.Нека извършим действия, подобни на тези, които извършихме при определяне на напреженията и деформациите по време на усукване, а именно:

• 1) нека съставим уравнения на равновесие за мислено отсечената част на детайла;
• 2) определяме деформацията на материала на частта въз основа на условията за съвместимост на деформациите на елементарни обеми на дадена секция;
• 3) решаване на уравненията на равновесието и съвместимостта на деформациите.

От условието за равновесие на отрязания участък на гредата (фиг. 3.5, б)

откриваме, че моментът на вътрешните сили Mzравен на момента на външните сили t: M = t.

ориз. 3.5.

Моментът на вътрешните сили се създава от нормални напрежения o v, насочени по оста x. При чисто огъване няма външни сили, следователно сумата от проекциите на вътрешните сили върху която и да е координатна осравен на нула. На тази основа записваме условията на равновесие под формата на равенства

Къде А- площ на напречното сечение на гредата (пръчка).

При чисто огъване, външни сили Fx, F, Fvкакто и моменти на външни сили t x, t yса равни на нула. Следователно останалите уравнения на равновесието са идентично равни на нула.

От условието за равновесие когато o^O следва, че

нормално напрежение c xв напречното сечение те приемат както положителни, така и отрицателни стойности. (Опитът показва, че при огъване материалът на долната страна на гредата на фиг. 3.5, Аразтегнат, а горният се компресира.) Следователно в напречното сечение по време на огъване има такива елементарни обеми (на преходния слой от компресия към опън), в които няма удължение или компресия. това - неутрален слой.Линията на пресичане на неутралния слой с равнината на напречното сечение се нарича неутрална линия.

Условията за съвместимост на деформациите на елементарни обеми по време на огъване се формират въз основа на хипотезата за плоски сечения: напречните сечения на гредата са плоски преди огъване (виж фиг. 3.5, б)ще остане плоска дори след огъване (фиг. 3.6).

В резултат на действието на външен момент гредата се огъва, а равнините раздели I-Iи II-II се завъртат един спрямо друг под ъгъл dy(фиг. 3.6, б).При чисто огъване деформацията на всички секции по оста на гредата е еднаква, следователно радиусът pk на кривината на неутралния слой на гредата по оста x е еднакъв. защото dx= p K потапяне,тогава кривината на неутралния слой е равна на 1 / p k = потопете се / dxи е постоянна по дължината на гредата.

Неутралният слой не е деформиран; дължината му преди и след деформация е равна на dx.Под този слой материалът се разтяга, над него се компресира.

ориз. 3.6.

Стойността на удължението на разтегнатия слой, разположен на разстояние y от неутралния, е равна на ydq.Относително удължение на този слой:

Така във възприетия модел се получава линейно разпределение на деформациите в зависимост от разстоянието на даден елементарен обем до неутралния слой, т.е. по височината на сечението на лъча. Ако приемем, че няма взаимно налягане на паралелни слоеве материал един върху друг (o y = 0, a, = 0), записваме закона на Хук за линейно разтягане:

Съгласно (3.13) нормалните напрежения в напречното сечение на гредата се разпределят по линеен закон. Напрежението на елементарния обем на материала, най-отдалечен от неутралния слой (фиг. 3.6, V), максимално и равно

? Задача 3.6

Определете границата на еластичност на стоманено острие с дебелина / = 4 mm и дължина / = 80 cm, ако огъването му в полукръг не причинява остатъчна деформация.

Решение

Напрежение на огъване o v = Ей/ r k. Да вземем y max = t/ 2i r k = / / до.

Границата на еластичност трябва да отговаря на условието с уп > c v = 1 / 2 kE t /1.

Отговор: о = ] / 2 към 2 10 11 4 10 _3 / 0,8 = 1570 MPa; Границата на провлачане на тази стомана е a t > 1800 MPa, което надвишава a t на най-здравите пружинни стомани. ?

? Проблем 3.7

Дефинирайте минимален радиусбарабан за навиване дебелина на лентата / = 0,1 мм нагревателен елементизработени от никелова сплав, в която материалът на лентата не е пластично деформиран. Модул E= 1,6 10 5 MPa, граница на еластичност около yp = 200 MPa.

отговор:минимален радиус р = V 2 ?ir/a yM = У? 1,6-10 11 0,1 10 -3 / (200 10 6) = = 0,04 m?

1. Когато решаваме заедно първото уравнение на равновесието (3.12) и уравнението за съвместимост на деформацията (3.13), получаваме

Значение д/ r k φ 0 и еднакви за всички елементи dAинтеграционни зони. Следователно това равенство е изпълнено само при условието

Този интеграл се нарича статичен момент на площта на напречното сечение около остаz?Какъв е физическият смисъл на този интеграл?

Да вземем плоча с постоянна дебелина /, но произволен профил (фиг. 3.7). Нека окачи тази плоча на една точка СЪСтака че тя е вътре хоризонтално положение. Нека означим със символа y m специфично тегломатериал на плочата, след това теглото на елементарния обем с площ dAравни dq= y JdA.Тъй като плочата е в състояние на равновесие, тогава от равенството до нула на проекциите на силите върху оста приполучаваме

Къде Ж= y M tA- тегло на записа.

ориз. 3.7.

Сумата от моментите на силите на всички сили около оста zпреминавайки през който и да е участък от плочата също е нула:

Като се има предвид това Yc = G,нека запишем

Така, ако интеграл от формата J xdAпо площ Аравни

тогава нула x c = 0. Това означава, че точка C съвпада с центъра на тежестта на плочата. Следователно от равенството S z =Дж ydA = 0, когато се дължи

огъване следва, че центърът на тежестта на напречното сечение на гредата е на неутралната линия.

Следователно стойността y sнапречното сечение на гредата е нула.

• 1. Неутралната линия по време на огъване минава през центъра на тежестта на напречното сечение на гредата.
• 2. Центърът на тежестта на напречното сечение е центърът на намаляване на моментите на външни и вътрешни сили.

Задача 3.8

Задача 3.9

2. Когато решаваме второто уравнение на равновесието (3.12) и уравнението за съвместимост на деформацията (3.13) заедно, получаваме

Интеграл Jz= Дж y 2 dAнаречен инерционен момент на напречната

сечение на гредата (пръта) спрямо оста z,преминаващ през центъра на тежестта на напречното сечение.

по този начин M z = E J z / r k. Като се има предвид това c x = Ee x = Ey/ r k i д/ r k = a x / y,получаваме зависимостта на нормалните напрежения опри огъване:

1. Напрежението на огъване в дадена точка на сечението не зависи от нормалния еластичен модул Д,но зависи от геометричен параметърнапречно сечение Jzи разстояния приот дадена точка до центъра на тежестта на напречното сечение.

2. Максималното напрежение на огъване възниква в елементарните обеми, които са най-отдалечени от неутралната линия (виж Фиг. 3.6, V):

Къде W z- момент на съпротивление на напречното сечение спрямо оста Z-

Условието за якост при чисто огъване е подобно на условието за якост при линейно опън:

където [a m | - допустимо напрежение на огъване.

Очевидно е, че вътрешните обеми на материала, особено в близост до неутралната ос, практически не се натоварват (виж фиг. 3.6, V).Това противоречи на изискването за минимизиране на материалоемкостта на конструкцията. По-долу ще покажем някои начини за преодоляване на това противоречие.

Плосък напречно огъванегреди Вътрешни сили на огъване. Диференциални зависимости на вътрешните сили. Правила за проверка на диаграми на вътрешни сили на огъване. Нормални и срязващи напрежения при огъване. Изчисляване на якостта на базата на нормални и тангенциални напрежения.

10. ПРОСТИ ВИДОВЕ СЪПРОТИВЛЕНИЕ. ПЛОСКО ОГЪВАНЕ

10.1. Общи понятия и определения

Огъването е вид натоварване, при което прътът се натоварва с моменти в равнини, минаващи през надлъжната ос на пръта.

Пръчка, която се огъва, се нарича греда (или дървен материал). В бъдеще ще разгледаме праволинейни греди, чието напречно сечение има поне една ос на симетрия.

Съпротивлението на материалите се разделя на плоско, наклонено и сложно огъване.

Плоско огъване е огъване, при което всички сили, огъващи гредата, лежат в една от равнините на симетрия на гредата (в една от основните равнини).

Главните инерционни равнини на греда са равнините, минаващи през главните оси напречни сеченияи геометричната ос на лъча (ос x).

Наклоненото огъване е огъване, при което натоварванията действат в една равнина, която не съвпада с основните инерционни равнини.

Сложното огъване е огъване, при което товарите действат в различни (произволни) равнини.

10.2. Определяне на вътрешни сили на огъване

Нека разгледаме два типични случая на огъване: в първия, конзолната греда се огъва от концентриран момент M o ; във втория - концентрирана сила F.

Използвайки метода на умствените сечения и съставяйки уравнения на равновесие за отсечените части на гредата, определяме вътрешните сили и в двата случая:

Останалите уравнения на равновесието очевидно са идентично равни на нула.

По този начин, в общ случайна плоско огъване в сечението на греда, от шест вътрешни сили възникват две - момент на огъване M z и срязваща сила Q y (или при огъване спрямо друга главна ос - огъващ момент M y и срязваща сила Q z).

Освен това, в съответствие с двата разглеждани случая на натоварване, равнинното огъване може да бъде разделено на чисто и напречно.

Чистото огъване е плоско огъване, при което в сеченията на пръта възниква само една от шест вътрешни сили - огъващ момент (виж първия случай).

Напречен завой– огъване, при което в сеченията на пръта освен вътрешния огъващ момент възниква и напречна сила (виж втория случай).

Строго погледнато, към прости типовесъпротивлението се отнася само за чисто огъване; напречното огъване условно се класифицира като прост тип съпротивление, тъй като в повечето случаи (за достатъчно дълги греди) ефектът на напречната сила може да бъде пренебрегнат при изчисляване на якостта.

Когато определяме вътрешните усилия, ще се придържаме към следното правило на знаците:

1) напречната сила Q y се счита за положителна, ако се стреми да завърти въпросния елемент на греда по посока на часовниковата стрелка;

2) момент на огъване M z се счита за положителен, ако при огъване на елемент от греда горните влакна на елемента се компресират, а долните влакна се разтягат (правило на чадъра).

По този начин ще изградим решението на проблема за определяне на вътрешните сили по време на огъване съгласно следния план: 1) на първия етап, като се имат предвид условията на равновесие на конструкцията като цяло, ние определяме, ако е необходимо, неизвестните реакции на опорите (имайте предвид, че за конзолна греда реакциите във вграждането могат да бъдат и да не бъдат намерени, ако разглеждаме гредата от свободния край); 2) на втория етап избираме характерни секции на гредата, като за граници на секциите вземаме точките на прилагане на силите, точките на промяна във формата или размера на гредата, точките на закрепване на гредата; 3) на третия етап определяме вътрешните сили в сеченията на гредата, като отчитаме условията на равновесие на елементите на гредата във всяка секция.

10.3. Диференциални зависимости при огъване

Нека установим някои връзки между вътрешните сили и външните натоварвания на огъване, както и характерни особеностидиаграми Q и M, познаването на които ще улесни изграждането на диаграми и ще ви позволи да контролирате тяхната коректност. За удобство на записа ще обозначим: M ≡ M z, Q ≡ Q y.

Нека изберем малък елемент dx в сечение на греда с произволно натоварване на място, където няма концентрирани сили и моменти. Тъй като цялата греда е в равновесие, елементът dx също ще бъде в равновесие под действието на приложените към него срязващи сили, огъващи моменти и външно натоварване. Тъй като Q и M обикновено се променят по оста на гредата, напречните сили Q и Q +dQ, както и огъващите моменти M и M +dM ще се появят в сеченията на елемента dx. От условието за равновесие на избрания елемент получаваме

∑ F y = 0 Q + q dx − (Q + dQ) = 0;

∑ M 0 = 0 M + Q dx + q dx dx 2 − (M + dM ) = 0.

От второто уравнение, пренебрегвайки термина q dx (dx /2) като безкрайно малко количество от втори ред, намираме

Нар. съотношения (10.1), (10.2) и (10.3).диференциални зависимости на D.I. Zhuravsky по време на огъване.

Анализът на горните диференциални зависимости по време на огъване ни позволява да установим някои характеристики (правила) за конструиране на диаграми на огъващи моменти и напречни сили:

a – в зони, където няма разпределено натоварване q, диаграмите Q са ограничени до прави линии, успоредни на основата, а диаграмите M са ограничени до наклонени прави линии;

b – в области, където върху гредата се прилага разпределено натоварване q, диаграмите Q са ограничени от наклонени прави линии, а диаграмите M са ограничени квадратни параболи. Освен това, ако изградим диаграма M „на опънато влакно“, тогава изпъкналостта на pa-

работата ще бъде насочена в посока на действие q, а екстремумът ще бъде разположен в участъка, където диаграмата Q пресича основната линия;

c – в участъци, където върху гредата е приложена концентрирана сила, на диаграма Q ще има скокове по големината и по посока на тази сила, а на диаграма M ще има прегъвания, върхът насочен по посока на действие на тази сила; d – в участъци, където се прилага концентриран момент върху гредата върху епи-

няма да има промени в re Q, а на диаграмата M ще има скокове със стойността на този момент; d – в области, където Q >0, моментът на нарастване на M, а в области, където Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).

10.4. Нормални напрежения при чисто огъване на права греда

Нека разгледаме случая на чисто равнинно огъване на греда и да изведем формула за определяне на нормалните напрежения за този случай. Имайте предвид, че в теорията на еластичността е възможно да се получи точна зависимост за нормалните напрежения по време на чисто огъване, но ако този проблем се решава чрез методи за съпротивление на материалите, е необходимо да се въведат някои допускания.

Има три такива хипотези за огъване:

a – хипотеза за равнинни сечения (хипотеза на Бернули)

– участъците, които са плоски преди деформацията, остават плоски след деформацията, но се въртят само спрямо определена линия, която се нарича неутрална ос на сечението на гредата. В този случай влакната на гредата, разположени от едната страна на неутралната ос, ще се разтегнат, а от другата ще се компресират; влакната, разположени на неутралната ос, не променят дължината си;

b – хипотеза за постоянството на нормалните напрежения

niy – напреженията, действащи на едно и също разстояние y от неутралната ос, са постоянни по ширината на гредата;

c – хипотеза за липсата на странични налягания – ко-

Сивите надлъжни влакна не се притискат едно към друго.

Задача. Построете диаграми Q и M за статически неопределена греда.Нека изчислим гредите по формулата:

п= Σ Р- Ш— 3 = 4 — 0 — 3 = 1

лъч веднъже статически неопределен, което означава единна реакциите е "екстра" неизвестен. Нека вземем реакцията на подкрепа като „допълнително“ неизвестно IN — Р Б.

Статично определена греда, която се получава от дадена чрез премахване на „допълнителната“ връзка, се нарича основна система (б).

Сега тази система трябва да бъде представена еквивалентдадено. За да направите това, заредете основната система даденонатоварване, а в точката IN да кандидатстваме "екстра" реакция Р Б(ориз. V).

Въпреки това за еквивалентносттова не е достатъчно, тъй като в такъв лъч точката IN може би движете се вертикално, и в даден лъч (фиг. А ) това не може да се случи. Затова добавяме състояние, Какво отклонение t. INв основната система трябва да е равно на 0. Отклонение t. IN се състои от отклонение от активния товар Δ Е и от отклонение от „допълнителната“ реакция Δ Р.

След това се гримираме условие за съвместимост на движенията:

Δ Е + Δ Р=0 (1)

Сега остава да ги изчислим движения (отклонения).

Зарежда се основенсистема дадено натоварване(ориз .G) и ще строим диаграма на натоварванеМ Ф (ориз. d ).

IN Т. IN Да кандидатстваме и изградим еп. (ориз. таралеж ).

С помощта на формулата на Симпсън определяме деформация поради активно натоварване.

Сега да дефинираме отклонение от действието на „допълнителна“ реакция Р Б , за това зареждаме основната система Р Б (ориз. ч ) и изградете диаграма на моментите от неговото действие М Р (ориз. И ).

Съставяме и решаваме уравнение (1):

Да строим еп. Q И М (ориз. к, л ).

Изграждане на диаграма Q.

Нека изградим диаграма М метод характерни точки. Поставяме точки върху лъча - това са точките на началото и края на лъча ( D,A ), концентриран момент ( б ), а също така маркирайте средата на равномерно разпределения товар като характерна точка ( К ) е допълнителна точка за построяване на параболична крива.

Определяме моментите на огъване в точки. Правило на знаците cm - .

Моментът в IN ще го дефинираме по следния начин. Първо нека дефинираме:

Точка ДО да вземем средатаплощ с равномерно разпределено натоварване.

Изграждане на диаграма М . Парцел AB – параболична крива(правило за чадър), площ ВD – права наклонена линия.

За греда определете опорните реакции и изградете диаграми на моментите на огъване ( М) и срязващи сили ( Q).

1. Ние определяме поддържаписма А И IN и директни реакции на подкрепа Р А И Р Б .

Компилиране уравнения на равновесие.

преглед

Запишете стойностите Р А И Р Б на схема за проектиране.

2. Построяване на диаграма срязващи силиметод секции. Подреждаме секциите по характерни зони(между промените). Според размерната нишка - 4 секции, 4 секции.

сек. 1-1 движи се наляво.

Участъкът преминава през местността с равномерно разпределен товар, маркирайте размера z 1 вляво от секцията преди началото на отсечката. Дължината на участъка е 2м. Правило на знацитеЗа Q - cm.

Изграждаме според намерената стойност диаграмаQ.

сек. 2-2 ход отдясно.

Секцията отново преминава през зоната с равномерно разпределено натоварване, маркирайте размера z 2 вдясно от секцията до началото на секцията. Дължината на участъка е 6м.

Изграждане на диаграма Q.

сек. 3-3 хода надясно.

сек. 4-4 ход надясно.

Ние строим диаграмаQ.

3. Строителство диаграми Мметод характерни точки.

Характерна точка- точка, която е донякъде забележима на лъча. Това са точките А, IN, СЪС, г , а също и точка ДО , в който Q=0 И моментът на огъване има екстремум. Също така в средатаконзола ще поставим допълнителна точка д, тъй като в този раздел при равномерно разпределено натоварване диаграмата Мописано кривлиния, а тя е построена поне съгл 3 точки.

И така, точките са поставени, нека започнем да определяме стойностите в тях огъващи моменти. Правило на знаците – вж.

сайтове НА, АД – параболична крива(правилото „чадър” за механичните специалности или „правилото на платното” за строителните специалности), раздели ДК, СВ – прави наклонени линии.

Момент по точка г трябва да се определи и ляво и дясноот точка г . Самият момент в тези изрази не са включени. В точката г получаваме двестойности с разликапо количеството м – скокпо размерите си.

Сега трябва да определим момента в точката ДО (Q=0). Първо обаче дефинираме позиция на точката ДО , като разстоянието от него до началото на участъка се обозначава като неизвестно X .

Т. ДО принадлежи второхарактерен район, негов уравнение за срязваща сила(виж по-горе)

Но силата на срязване вкл. ДО равно на 0 , А z 2 е равно на неизвестен X .

Получаваме уравнението:

Сега знаейки X, нека да определим момента в точката ДО от дясната страна.

Изграждане на диаграма М . Строителството може да се извърши за механиченспециалности, оставяйки настрана положителните стойности нагореот нулевата линия и използвайки правилото „чадър“.

За дадена конструкция на конзолна греда е необходимо да се изградят диаграми на напречната сила Q и огъващия момент M и да се извърши проектно изчисление чрез избор на кръгло сечение.

Материал - дърво, проектна устойчивост на материала R=10MPa, M=14kN m, q=8kN/m

Има два начина за конструиране на диаграми в конзолна греда с твърдо вграждане - обичайният начин, като предварително сте определили опорните реакции и без определяне на опорните реакции, ако вземете предвид секциите, преминавайки от свободния край на гредата и изхвърляйки лявата част с вграждането. Да изградим диаграми обикновениначин.

1. Да дефинираме реакции на подкрепа.

Равномерно разпределен товар рзамени с условна сила Q= q·0,84=6,72 kN

При твърдо вграждане има три опорни реакции - вертикална, хоризонтална и моментна, в нашия случай хоризонталната реакция е 0.

Ще намерим вертикаленземна реакция Р АИ поддържащ момент М Аот равновесните уравнения.

В първите две секции вдясно няма сила на срязване. В началото на участък с равномерно разпределен товар (вдясно) Q=0, на заден план - големината на реакцията Р А.
3. За да конструираме, ще съставим изрази за определянето им в раздели. Нека изградим диаграма на моменти върху влакна, т.е. надолу.

(диаграмата на отделните моменти вече е изградена по-рано)

Решаваме уравнение (1), намаляваме с EI

Разкрита статична неопределеност, е намерена стойността на реакцията „екстра“. Можете да започнете да конструирате диаграми на Q и M за статично неопределен лъч... Скицираме дадената диаграма на лъча и посочваме големината на реакцията Rb. В този лъч реакциите във вграждането не могат да бъдат определени, ако се движите отдясно.

Строителство Q графикиза статически неопределена греда

Нека начертаем Q.

Построяване на диаграма М

Нека дефинираме M в екстремалната точка - в точката ДО. Първо, нека определим позицията му. Нека означим разстоянието до него като неизвестно " X" Тогава

Ние изграждаме диаграма на M.

Определяне на напреженията на срязване в I-образно сечение. Нека разгледаме секцията I-лъч Sx=96,9 cm3; Yх=2030 cm 4 ; Q=200 kN

За определяне на напрежението на срязване се използва формула, където Q е силата на срязване в сечението, S x 0 е статичният момент на частта от напречното сечение, разположена от едната страна на слоя, в която се определят тангенциалните напрежения, I x е инерционният момент на цялото напречно сечение, b е ширината на сечението в мястото, където се определя напрежението на срязване

Нека изчислим максимумнапрежение на срязване:

Нека изчислим статичния момент за горен рафт:

Сега нека изчислим напрежение на срязване:

Ние строим диаграма на напрежението на срязване:

Изчисления за проектиране и проверка. За греда с изградени диаграми на вътрешните сили изберете сечение под формата на два канала от условието за якост при нормални напрежения. Проверете якостта на гредата, като използвате условието за якост на напрежението на срязване и критерия за енергийна якост. дадени:

Нека покажем греда с конструирана диаграми Q и M

Според диаграмата на огъващите моменти опасно е раздел C,в който M C = M max = 48,3 kNm.

Нормално състояние на якост на напрежениеза този лъч има формата σ max =M C /W X ≤σ adm .Необходимо е да изберете раздел от два канала.

Да определим необходимата изчислена стойност аксиален момент на съпротивление на сечението:

За разрез под формата на два канала приемаме съгл два канала № 20а, инерционен момент на всеки канал I x =1670cm 4, Тогава аксиален момент на съпротивление на цялото сечение:

Пренапрежение (под напрежение)в опасни точки изчисляваме по формулата: Тогава получаваме понижено напрежение:

Сега нека проверим силата на гредата въз основа на якостни условия за тангенциални напрежения.Според диаграма на силата на срязване опасноса раздели на участък BC и участък D.Както се вижда от диаграмата, Q max =48,9 kN.

Условие за якост на тангенциалните напреженияима формата:

За канал № 20 а: статичен момент на площ S x 1 = 95,9 cm 3, инерционен момент на сечението I x 1 = 1670 cm 4, дебелина на стената d 1 = 5,2 mm, средна дебелина на фланеца t 1 = 9,7 mm, височина на канала h 1 =20 см, ширина на рафта b 1 =8 см.

За напречно участъци от два канала:

S x = 2S x 1 = 2 95,9 = 191,8 cm 3,

I x =2I x 1 =2·1670=3340 cm 4,

b=2d 1 =2·0,52=1,04 cm.

Определяне на стойността максимално напрежение на срязване:

τ max =48,9 10 3 191,8 10 −6 /3340 10 −8 1,04 10 −2 =27 MPa.

Както можете да видите, τ макс<τ adm (27MPa<75МПа).

следователно условието за якост е изпълнено.

Проверяваме силата на лъча според енергийния критерий.

От разглеждане диаграми Q и Mследва, че раздел С е опасен,в които работят M C =M max =48,3 kNm и Q C =Q max =48,9 kN.

Нека изпълним анализ на напрегнатото състояние в точките на раздел С

Да дефинираме нормални и срязващи напреженияна няколко нива (маркирани на диаграмата на сечението)

Ниво 1-1: y 1-1 =h 1 /2=20/2=10cm.

Нормална и допирателна напрежение:

Основен напрежение:

Ниво 2−2: y 2-2 =h 1 /2−t 1 =20/2−0,97=9,03 cm.

Основни напрежения:

Ниво 3−3: y 3-3 =h 1 /2−t 1 =20/2−0,97=9,03 cm.

Нормални и срязващи напрежения:

Основни напрежения:

Екстремно напрежение на срязване:

Ниво 4−4: y 4-4 =0.

(в средата нормалните напрежения са нула, тангенциалните напрежения са максимални, те са открити при теста за якост с помощта на тангенциални напрежения)

Основни напрежения:

Екстремно напрежение на срязване:

Ниво 5−5:

Нормални и срязващи напрежения:

Основни напрежения:

Екстремно напрежение на срязване:

Ниво 6−6:

Нормални и срязващи напрежения:

Основни напрежения:

Екстремно напрежение на срязване:

Ниво 7−7:

Нормални и срязващи напрежения:

Основни напрежения:

Екстремно напрежение на срязване:

В съответствие с извършените изчисления диаграми на напрежението σ, τ, σ 1, σ 3, τ max и τ minса представени на фиг.

Анализтези диаграма показва, който е в участъка на гредата опасните точки са на ниво 3-3 (или 5-5), в която:

Използване енергиен критерий за сила,получаваме

От сравнението на еквивалентните и допустимите напрежения следва, че условието за якост също е изпълнено

(135,3 MPa<150 МПа).

Непрекъснатата греда е натоварена във всички участъци. Построете диаграми Q и M за непрекъсната греда.

1. Дефинирайте степен на статична неопределеностгреди по формулата:

n= Sop -3= 5-3 =2,Къде Sop – брой неизвестни реакции, 3 – брой статични уравнения. За решаване на този лъч е необходимо две допълнителни уравнения.

2. Нека обозначим числа поддържа от нулапо ред ( 0,1,2,3 )

3. Нека обозначим обхват числа от първияпо ред ( ι 1, ι 2, ι 3)

4. Ние считаме всеки участък за прост лъчи изградете диаграми за всяка проста греда Q и M.Какво се отнася до прост лъч, ще обозначим с индекс "0“, това, което се отнася до непрекъснатолъч, ще обозначим без този индекс.Това е силата на срязване и огъващият момент за обикновена греда.

10.1. Общи понятияи дефиниции

Огъване- това е вид натоварване, при което прътът се натоварва с моменти в равнини, минаващи през надлъжната ос на пръта.

Пръчка, която се огъва, се нарича греда (или дървен материал). В бъдеще ще разгледаме праволинейни греди, чието напречно сечение има поне една ос на симетрия.

Съпротивлението на материалите се разделя на плоско, наклонено и сложно огъване.

Плосък завой– огъване, при което всички огъващи гредата сили лежат в една от равнините на симетрия на гредата (в една от основните равнини).

Главните инерционни равнини на гредата са равнините, минаващи през главните оси на напречните сечения и геометричната ос на гредата (ос x).

Наклонен завой– огъване, при което натоварванията действат в една равнина, която не съвпада с основните инерционни равнини.

Сложно огъване– огъване, при което натоварванията действат в различни (произволни) равнини.

10.2. Определяне на вътрешни сили на огъване

Нека разгледаме два типични случая на огъване: в първия, конзолната греда се огъва от концентриран момент Mo; във втория - концентрирана сила F.

Използвайки метода на умствените сечения и съставяйки уравнения на равновесие за отсечените части на гредата, определяме вътрешните сили и в двата случая:

Останалите уравнения на равновесието очевидно са идентично равни на нула.

Така в общия случай на равнинно огъване в сечението на греда, от шест вътрешни сили възникват две - момент на огъване Mz и сила на срязване Qy (или при огъване спрямо друга главна ос - огъващ момент My и сила на срязване Qz).

Освен това, в съответствие с двата разглеждани случая на натоварване, равнинното огъване може да бъде разделено на чисто и напречно.

Чисто огъване– плоско огъване, при което в сеченията на пръта от шест вътрешни сили възниква само една – огъващ момент (виж първия случай).

Напречен завой– огъване, при което в сеченията на пръта освен вътрешния огъващ момент възниква и напречна сила (виж втория случай).

Строго погледнато, простите видове съпротивление включват само чисто огъване; напречното огъване условно се класифицира като прост тип съпротивление, тъй като в повечето случаи (за достатъчно дълги греди) ефектът на напречната сила може да бъде пренебрегнат при изчисляване на якостта.

Когато определяме вътрешните усилия, ще се придържаме към следното правило на знаците:

1) напречната сила Qy се счита за положителна, ако се стреми да завърти въпросния елемент на греда по посока на часовниковата стрелка;

2) моментът на огъване Mz се счита за положителен, ако при огъване на елемент от греда горните влакна на елемента се компресират, а долните влакна се разтягат (правило на чадъра).

По този начин ще изградим решението на проблема за определяне на вътрешните сили по време на огъване съгласно следния план: 1) на първия етап, като се имат предвид условията на равновесие на конструкцията като цяло, ние определяме, ако е необходимо, неизвестните реакции на опорите (имайте предвид, че за конзолна греда реакциите във вграждането могат да бъдат и да не бъдат намерени, ако разглеждаме гредата от свободния край); 2) на втория етап избираме характерни секции на гредата, като за граници на секциите вземаме точките на прилагане на силите, точките на промяна във формата или размера на гредата, точките на закрепване на гредата; 3) на третия етап определяме вътрешните сили в сеченията на гредата, като отчитаме условията на равновесие на елементите на гредата във всяка секция.

10.3. Диференциални зависимости при огъване

Нека установим някои връзки между вътрешните сили и външните натоварвания по време на огъване, както и характерните особености на диаграмите Q и M, познаването на които ще улесни изграждането на диаграми и ще ни позволи да контролираме тяхната коректност. За удобство на записа ще означим: M≡Mz, Q≡Qy.

Нека изберем малък елемент dx в сечение на греда с произволно натоварване на място, където няма концентрирани сили и моменти. Тъй като цялата греда е в равновесие, елементът dx също ще бъде в равновесие под действието на приложените към него срязващи сили, огъващи моменти и външно натоварване. Тъй като Q и M обикновено варират

ос на гредата, то в сеченията на елемент dx ще възникнат напречни сили Q и Q+dQ, както и огъващи моменти M и M+dM. От условието за равновесие на избрания елемент получаваме

Първото от двете написани уравнения дава условието

От второто уравнение, пренебрегвайки термина q dx (dx/2) като безкрайно малко количество от втори ред, намираме

Разглеждайки заедно изразите (10.1) и (10.2), можем да получим

Съотношения (10.1), (10.2) и (10.3) се наричат ​​диференциални зависимости на D.I. Zhuravsky по време на огъване.

Анализът на горните диференциални зависимости по време на огъване ни позволява да установим някои характеристики (правила) за конструиране на диаграми на огъващи моменти и напречни сили: a - в области, където няма разпределено натоварване q, диаграмите Q са ограничени до прави линии, успоредни на основата , а диаграмите M са ограничени до наклонени прави линии; b – в области, където върху гредата се прилага разпределено натоварване q, диаграмите Q са ограничени от наклонени прави, а диаграмите M са ограничени от квадратни параболи.

Освен това, ако изградим диаграма M „на опънато влакно“, тогава изпъкналостта на параболата ще бъде насочена в посоката на действие q, а екстремумът ще бъде разположен в участъка, където диаграмата Q пресича основната линия; c – в участъци, където върху гредата е приложена концентрирана сила, на диаграма Q ще има скокове по големината и по посока на тази сила, а на диаграма M ще има прегъвания, върхът насочен по посока на действие на тази сила; d – в участъци, където към гредата е приложен концентриран момент, няма да има промени на диаграма Q, а на диаграма M ще има скокове в големината на този момент; d – в областите, където Q>0, моментът на нарастване на M, а в областите, където Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).

10.4. Нормални напрежения при чисто огъване на права греда

Нека разгледаме случая на чисто равнинно огъване на греда и да изведем формула за определяне на нормалните напрежения за този случай.

Имайте предвид, че в теорията на еластичността е възможно да се получи точна зависимост за нормалните напрежения по време на чисто огъване, но ако този проблем се решава с помощта на методи за якост на материалите, е необходимо да се въведат някои допускания.

Има три такива хипотези за огъване:

а – хипотеза на плоските сечения (хипотеза на Бернули) – плоските сечения преди деформацията остават плоски след деформацията, но се въртят само спрямо определена линия, която се нарича неутрална ос на сечението на гредата. В този случай влакната на гредата, разположени от едната страна на неутралната ос, ще се разтегнат, а от другата ще се компресират; влакната, разположени на неутралната ос, не променят дължината си;

b – хипотеза за постоянството на нормалните напрежения - напреженията, действащи на едно и също разстояние y от неутралната ос, са постоянни по ширината на гредата;

в – хипотеза за липса на странични налягания – съседни надлъжни влакна не се притискат едно към друго.

Статична страна на проблема

За да определим напреженията в напречните сечения на гредата, разглеждаме преди всичко статичните страни на проблема. Използвайки метода на умствените сечения и съставяйки уравнения на равновесие за отсечената част на гредата, ще намерим вътрешните сили при огъване. Както беше показано по-рано, единствената вътрешна сила, действаща в секцията на гредата по време на чисто огъване, е вътрешният огъващ момент, което означава, че тук ще възникнат нормални напрежения, свързани с него.

Ще намерим връзката между вътрешните сили и нормалните напрежения в сечението на гредата, като разгледаме напреженията върху елементарната площ dA, избрана в напречното сечение А на гредата в точката с координати y и z (оста y е насочена надолу за удобство на анализа):

Както виждаме, проблемът е вътрешно статично неопределен, тъй като естеството на разпределението на нормалните напрежения върху сечението е неизвестно. За да разрешите проблема, разгледайте геометричната картина на деформациите.

Геометрична страна на проблема

Нека разгледаме деформацията на елемент от греда с дължина dx, отделен от огъващ прът в произволна точка с координата x. Като се вземе предвид приетата преди това хипотеза за плоски секции, след огъване на сечението на лъча, се завърта спрямо неутралната ос (n.o.) на ъгъл dϕ, докато влакното ab, отдалечено от неутралната ос на разстояние y, ще се превърне в дъга от окръжност a1b1 и нейната дължина ще се промени с определен размер. Нека си припомним тук, че дължината на влакната, лежащи на неутралната ос, не се променя и следователно дъгата a0b0 (радиусът на кривината на която е означен с ρ) има същата дължина като сегмента a0b0 преди деформацията a0b0=dx .

Нека намерим относителната линейна деформация εx на влакното ab на извитата греда.

Изчислете огъваща гредаИма няколко опции:
1. Изчисляване на максималното натоварване, което ще издържи
2. Избор на сечението на този лъч
3. Изчисление въз основа на максимално допустимите напрежения (за проверка)
Нека да разгледаме общ принцип за избор на секция на лъча върху две опори, натоварени с равномерно разпределен товар или концентрирана сила.
Като начало ще трябва да намерите точката (сечението), в която ще има максимален момент. Това зависи от това дали лъчът е поддържан или вграден. По-долу са диаграми на моментите на огъване за най-често срещаните схеми.

Освен това, когато разделим максималния момент на огъване на момента на съпротивление в дадена секция, получаваме максимално напрежение в гредатаи трябва да сравним това напрежение с напрежението, което нашата греда от даден материал може да издържи като цяло.

За пластмасови материали(стомана, алуминий и др.) максималното напрежение ще бъде равно на граница на провлачване на материала, А за крехко(чугун) – якост на опън. Можем да намерим границата на провлачване и якостта на опън от таблиците по-долу.

P = m * g = 90 * 10 = 900 N = 0,9 kN

M = P * l = 0,9 kN * 2 m = 1,8 kN * m

b = M / W = 1,8 kN/m / 0,0000397 m3 = 45340 kN/m2 = 45,34 MPa

45,34 MPa е правилно, което означава, че тази I-греда ще издържи маса от 90 kg.