(речовий, суворо позитивний)

Нормальний розподіл, також зване розподілом Гаусаабо Гауса - Лапласа- розподіл ймовірностей, яке в одновимірному випадку задається функцією щільності ймовірності, що збігається з функцією Гаусса:

де параметр μ - математичне очікування (середнє значення), медіана і мода розподілу, а параметр σ - середньоквадратичне відхилення ( σ  ² - дисперсія) розподілу.

Таким чином, одновимірний нормальний розподіл є двопараметричним сімейством розподілів. Багатовимірний випадок описаний у статті «Багатомірний, нормальний, розподіл».

Стандартним нормальним розподіломназивається нормальний розподіл із математичним очікуванням μ = 0 і стандартним відхиленням σ = 1 .

Енциклопедичний YouTube

• 1 / 5

  Важливе значення нормального розподілу в багатьох галузях науки (наприклад, в математичній статистиці і статистичній фізиці) випливає з центральної граничної теореми теорії ймовірностей. Якщо результат спостереження є сумою багатьох випадкових слабо взаємозалежних величин, кожна з яких робить малий внесок щодо загальної суми, то при збільшенні числа доданків розподіл центрованого та нормованого результату прагне нормального. Цей закон теорії ймовірностей має наслідком стала вельми поширеною нормального розподілу, що й стало однією з причин його найменування.

  Властивості

  Моменти

  Якщо випадкові величини X 1 (\displaystyle X_(1))і X 2 (\displaystyle X_(2))незалежні та мають нормальний розподіл з математичними очікуваннями μ 1 (\displaystyle \mu _(1))і μ 2 (\displaystyle \mu _(2))та дисперсіями σ 1 2 (\displaystyle \sigma _(1)^(2))і σ 2 2 (\displaystyle \sigma _(2)^(2))відповідно, то X 1 + X 2 (\displaystyle X_(1)+X_(2))також має нормальний розподіл із математичним очікуванням μ 1 + μ 2 (\displaystyle \mu _(1)+\mu _(2))та дисперсією σ 1 2 + σ 2 2 .(\displaystyle \sigma _(1)^(2)+\sigma _(2)^(2).)

  Звідси випливає, що нормальна випадкова величина уявна як сума довільного числа незалежних нормальних випадкових величин.

  Максимальна ентропія

  Нормальний розподіл має максимальну диференціальну ентропію серед усіх безперервних розподілів, дисперсія яких не перевищує задану величину.

  Моделювання нормальних псевдовипадкових величин Найпростіші наближені методи моделювання ґрунтуються на центральній, граничній теоремі. Саме якщо скласти кілька незалежних однаково розподілених величин з кінцевою дисперсією , то сума буде розподіленаприблизно нормально. Наприклад, якщо скласти 100 незалежних стандартно рівномірно   розподілених випадкових величин, то розподіл суми буде приблизно.

  нормальним

  Для програмного генерування нормально розподілених псевдовипадкових величин краще використовувати перетворення "Бокса" - "Мюллера". Воно дозволяє генерувати одну нормально розподілену величину на основі однієї рівномірно розподіленої.

  Нормальний розподіл у природі та додатках

  • Нормальний розподіл часто зустрічається у природі. Наприклад, наступні випадкові величини добре моделюються нормальним розподілом:
  • похибки вимірювань (проте похибки деяких вимірювальних приладів мають не нормальні розподіли).
  • деякі характеристики живих організмів у популяції.

  Таке широке поширення цього розподілу пов'язане з тим, що він є нескінченно поділеним безперервним розподілом з кінцевою дисперсією. Тому до нього в межі наближаються деякі інші, наприклад, біноміальне та пуассонівське. Цим розподілом моделюється багато детермінованих фізичних процесів.

  Зв'язок з іншими розподілами

  • Нормальний розподіл є розподілом Пірсона типу XI.
  • Відношення пари незалежних стандартних нормально розподілених випадкових величин має розподіл  Коші. Тобто якщо випадкова величина X (\displaystyle X)є відношенням X = Y / Z (Displaystyle X = Y / Z)(де Y (\displaystyle Y)і Z (\displaystyle Z)- незалежні стандартні нормальні випадкові величини), то вона матиме розподіл Коші.
  • Якщо z 1 , … , z k (\displaystyle z_(1),\ldots ,z_(k))- Спільно незалежні стандартні нормальні випадкові величини, тобто z i ~ N (0 , 1) (\displaystyle z_(i)\sim N\left(0,1\right)), то випадкова величина x = z 1 2 + … + z k 2 (displaystyle x = z_ (1) ^ (2) + \ ldots + z_ (k)має розподіл хі-квадрат з k ступенями свободи.
  • Якщо випадкова величина X (\displaystyle X)підпорядкована логнормальному розподілу, то її натуральний логарифм має нормальний розподіл. Тобто якщо X ~ L o g N (μ , σ 2) (\displaystyle X\sim \mathrm (LogN) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right)), то Y = ln ⁡ (X) ~ N (μ , σ 2) )). І навпаки, якщо Y ~ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y\sim \mathrm (N) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right)), то X = exp ⁡ (Y) ~ L o g N (μ , σ 2) \right)).
  • Відношення квадратів двох стандартних нормальних випадкових величин має

  Нормальний закон розподілу (часто званий законом Гаусса) відіграє винятково важливу роль теорії ймовірностей і займає серед інших законів розподілу особливе становище. Це найбільш часто зустрічається на практиці закон розподілу. Головна особливість, що виділяє нормальний закон серед інших законів, полягає в тому, що він є граничним законом, до якого наближаються інші закони розподілу за типових умов, що дуже часто зустрічаються.

  Можна довести, що сума досить великої кількості незалежних (або слабко залежних) випадкових величин, підпорядкованих будь-яким законам розподілу (при дотриманні деяких дуже нежорстких обмежень), наближено підпорядковується нормальному закону, і це виконується тим точніше, чим більша кількість випадкових величин підсумовується. Більшість випадкових величин, що зустрічаються на практиці, таких, наприклад, як помилки вимірів, помилки стрільби і т.д., можуть бути представлені як суми дуже великої кількості порівняно малих доданків – елементарних помилок, кожна з яких викликана дією окремої причини, що не залежить від інших . Яким би законам розподілу були підпорядковані окремі елементарні помилки, особливості цих розподілів у сумі значної частини доданків нівелюються, і сума виявляється підпорядкованої закону, близькому до нормального. Основне обмеження, що накладається на підсумовані помилки, полягає в тому, щоб всі вони рівномірно грали в загальній сумі відносно малу роль. Якщо ця умова не виконується і, наприклад, одна з випадкових помилок виявиться за своїм впливом на суму, що різко переважає над іншими, то закон розподілу цієї превалюючої помилки накладе свій вплив на суму і визначить в основних рисах її закон розподілу.

  Теореми, встановлюють нормальний закон як граничний суми незалежних рівномірно малих випадкових доданків, будуть докладніше розглянуті у розділі 13.

  Нормальний закон розподілу характеризується щільністю ймовірності виду:

  Крива розподілу за нормальним законом має симетричний пагорбовий вигляд (рис. 6.1.1). Максимальна ордината крива, рівна, відповідає точці; у міру віддалення від точки щільність розподілу падає, і при крива асимптотично наближається до осі абсцис.

  

  З'ясуємо значення чисельних параметрів і , що входять у вираз нормального закону (6.1.1); Доведемо, що величина не що інше, як математичне очікування, а величина - середнє квадратичне відхилення величини . Для цього обчислимо основні числові характеристики величини – математичне очікування та дисперсію.

  

  Застосовуючи заміну змінної

  Неважко переконатися, що перший із двох інтервалів у формулі (6.1.2) дорівнює нулю; другий є відомим інтегралом Ейлера-Пуассона:

  . (6.1.3)

  Отже,

  тобто. параметр є математичне очікування величини . Цей параметр, особливо у завданнях стрілянини, часто називають центром розсіювання (скорочено – ц. р.).

  Обчислимо дисперсію величини:

  .

  Застосувавши знову заміну змінної

  Інтегруючи частинами, отримаємо:

  Перше доданок у фігурних дужках дорівнює нулю (оскільки при зменшується швидше, ніж зростає будь-який ступінь), другий доданок за формулою (6.1.3) дорівнює , звідки

  Отже, параметр у формулі (6.1.1) не що інше, як середнє квадратичне відхилення величини .

  З'ясуємо зміст параметрів та нормального розподілу. Безпосередньо із формули (6.1.1) видно, що центром симетрії розподілу є центр розсіювання. Це з того, що з зміні знака різниці на зворотний вираз (6.1.1) не змінюється. Якщо змінювати центр розсіювання, крива розподілу зміщуватиметься вздовж осі абсцис, не змінюючи своєї форми (рис. 6.1.2). Центр розсіювання характеризує положення розподілу осі абсцис.

  

  Розмірність центру розсіювання – та сама, що розмірність випадкової величини .

  Параметр характеризує не становище, а саму форму кривої розподілу. Це характеристика розсіювання. Найбільша ордината кривої розподілу обернено пропорційна; зі збільшенням максимальна ордината зменшується. Так як площа кривої розподілу завжди повинна залишатися рівною одиниці, то при збільшенні крива розподілу стає плоскішою, розтягуючись уздовж осі абсцис; навпаки, при зменшенні крива розподілу витягується вгору, одночасно стискаючись з боків, і стає більш голкоподібною. На рис. 6.1.3 показані три нормальні криві (I, II, III) при ; їх крива I відповідає найбільшому, а крива III – найменшого значення . Зміна параметра дорівнює зміні масштабу кривої розподілу – збільшенню масштабу по одній осі і такому ж зменшенню по іншій.

  Прикладами випадкових величин, розподілених за нормальним законом, є зростання людини, маса виловлюваної риби одного виду. Нормальність розподілу означає таке : існують значення росту людини, маси риби одного виду, які на інтуїтивному рівні сприймаються як "нормальні" (а по суті - усереднені), і вони досить великій вибірці зустрічаються набагато частіше, ніж відрізняються в більшу або меншу сторону.

  Нормальний розподіл ймовірностей безперервної випадкової величини (іноді - розподіл Гауса) можна назвати дзвоноподібним через те, що симетрична відносно середнього функція щільності цього розподілу дуже схожа на розріз дзвона (червона крива на малюнку вище).

  Імовірність зустріти у вибірці ті чи інші значення дорівнює площі фігури під кривою і у разі нормального розподілу ми бачимо, що під верхом "дзвона", якому відповідають значення, що прагнуть середнього, площа, а значить, ймовірність, більша, ніж під краями. Таким чином, отримуємо те саме, що вже сказано: ймовірність зустріти людину "нормального" зростання, зловити рибу "нормальної" маси вище, ніж для значень, що відрізняються у більшу чи меншу сторону. У багатьох випадках практики помилки виміру розподіляються за законом, близькому до нормальному.

  Зупинимося ще раз малюнку на початку уроку, у якому представлена ​​функція щільності нормального розподілу. Графік цієї функції отримано при розрахунку деякої вибірки даних у пакеті програмних засобів STATISTICA. На ній стовпці гістограми є інтервали значень вибірки, розподіл яких близько (або, як прийнято говорити в статистиці, незначно відрізняються від) до власне графіку функції щільності нормального розподілу, який є кривою червоного кольору. На графіці видно, що ця крива дійсно дзвоноподібна.

  Нормальний розподіл багато в чому цінний завдяки тому, що знаючи лише математичне очікування безперервної випадкової величини та стандартне відхилення, можна обчислити будь-яку ймовірність, пов'язану з цією величиною.

  Нормальний розподіл має ще й ту перевагу, що один із найпростіших у використанні статистичних критеріїв, що використовуються для перевірки статистичних гіпотез - критерій Стьюдента- може бути використаний тільки в тому випадку, коли ці вибірки підпорядковуються нормальному закону розподілу.

  Функцію щільності нормального розподілу безперервної випадкової величиниможна знайти за формулою:

  ,

  де x- значення величини, що змінюється, - середнє значення, - стандартне відхилення, e=2,71828... - основа натурального логарифму, =3,1416...

  Властивості функції щільності нормального розподілу

  

  Зміни середнього значення переміщують криву функції щільності нормального розподілу у напрямку осі Ox. Якщо зростає, крива переміщається праворуч, якщо зменшується, то вліво.

  Якщо змінюється стандартне відхилення, змінюється висота вершини кривої. При збільшенні стандартного відхилення вершина кривої знаходиться вище, при зменшенні нижче.

  Імовірність влучення значення нормально розподіленої випадкової величини у заданий інтервал

  Вже у цьому параграфі почнемо вирішувати практичні завдання, зміст яких позначений у заголовку. Розберемо, які можливості вирішення завдань надає теорія. Відправне поняття для обчислення ймовірності попадання нормально розподіленої випадкової величини заданий інтервал - інтегральна функція нормального розподілу.

  Інтегральна функція нормального розподілу:

  .

  Однак проблематично отримати таблиці для кожної можливої ​​комбінації середнього та стандартного відхилення. Тому одним із простих способів обчислення ймовірності попадання нормально розподіленої випадкової величини заданий інтервал є використання таблиць ймовірностей для стандартизованого нормального розподілу.

  Стандартизованим чи нормованим називається нормальний розподіл, середнє значення якого , а стандартне відхилення .

  Функція густини стандартизованого нормального розподілу:

  .

  Інтегральна функція стандартизованого нормального розподілу:

  .

  На малюнку нижче представлено інтегральну функцію стандартизованого нормального розподілу, графік якої отримано при розрахунку певної вибірки даних у пакеті програмних засобів STATISTICA. Власне графік є кривою червоного кольору, а значення вибірки наближаються до нього.

  
  

  Для збільшення малюнка можна натиснути по ньому лівою кнопкою миші.

  Стандартизація випадкової величини означає перехід від початкових одиниць, що використовуються в завданні, до стандартизованих одиниць. Стандартизація виконується за формулою

  На практиці всі можливі значення випадкової величини часто не відомі, тому значення середнього та стандартного відхилення точно визначити не можна. Їх замінюють середнім арифметичним спостереженням та стандартним відхиленням s. Величина zвиражає відхилення значень випадкової величини від середнього арифметичного при вимірі стандартних відхилень.

  Відкритий інтервал

  Таблиця ймовірностей для стандартизованого нормального розподілу, яка є практично в будь-якій книзі за статистикою, містить ймовірність того, що випадкова величина, що має стандартний нормальний розподіл Zнабуде значення менше деякого числа z. Тобто потрапить у відкритий інтервал від мінус нескінченності до z. Наприклад, ймовірність того, що величина Zменше 1,5, дорівнює 0,93319.

  приклад 1.Підприємство виробляє деталі, термін служби яких нормально розподілений із середнім значенням 1000 та стандартним відхиленням 200 годин.

  Для випадково відібраної деталі визначити ймовірність того, що її термін служби буде не менше 900 годин.

  Рішення. Введемо перше позначення:

  Шукана ймовірність.

  Значення випадкової величини перебувають у відкритому інтервалі. Але ми вміємо обчислювати ймовірність того, що випадкова величина набуде значення, менше заданого, а за умовою завдання потрібно знайти рівне або більше заданого. Це інша частина простору під кривою густини нормального розподілу (дзвони). Тому, щоб знайти ймовірність, потрібно з одиниці відняти згадану ймовірність того, що випадкова величина прийме значення, менше заданого 900:

  Тепер випадкову величину слід стандартизувати.

  Продовжуємо вводити позначення:

  z = (X ≤ 900) ;

  x= 900 – задане значення випадкової величини;

  μ = 1000 – середнє значення;

  σ = 200 – стандартне відхилення.

  За цими даними умови завдання отримуємо:

  .

  За таблицями стандартизованої випадкової величини (межі інтервалу) z= −0,5 відповідає ймовірність 0,30854. Віднімемо її з одиниці і отримаємо те, що потрібно в умові завдання:

  Отже, ймовірність того, що термін служби деталі буде не менше ніж 900 годин, становить 69%.

  Цю можливість можна отримати, використовуючи функцію MS Excel НОРМ.РАСП (значення інтегральної величини - 1):

  P(X≥900) = 1 - P(X≤900) = 1 - НОРМ.РАСП(900; 1000; 200; 1) = 1 - 0,3085 = 0,6915.

  Про розрахунки в MS Excel - в одному з наступних параграфів цього уроку.

  приклад 2.У деякому місті середньорічний дохід сім'ї є нормально розподіленою випадковою величиною із середнім значенням 300000 та стандартним відхиленням 50000. Відомо, що доходи 40 % сімей менші за величину A. Знайти величину A.

  Рішення. У цьому завданні 40 % - ні що інше, як ймовірність того, що випадкова величина набуде значення з відкритого інтервалу, меншого за певне значення, позначеного буквою A.

  Щоб знайти величину A, спочатку складемо інтегральну функцію:

  

  За умовою завдання

  μ = 300000 – середнє значення;

  σ = 50000 – стандартне відхилення;

  x = A- Величина, яку потрібно знайти.

  Складаємо рівність

  .

  За статистичними таблицями знаходимо, що ймовірність 0,40 відповідає значенню межі інтервалу z = −0,25 .

  Тому складаємо рівність

  

  і знаходимо його рішення:

  A = 287300 .

  Відповідь: доходи 40% сімей менше 287300.

  Закритий інтервал

  У багатьох завданнях потрібно знайти ймовірність того, що нормально розподілена випадкова величина набуде значення в інтервалі від z 1 до z 2 . Тобто потрапить до закритого інтервалу. Для вирішення таких завдань необхідно знайти в таблиці ймовірності, що відповідають межі інтервалу, а потім знайти різницю цих ймовірностей. При цьому потрібно віднімати менше значення з більшого. Приклади на вирішення цих поширених завдань - наступні, причому вирішити їх пропонується самостійно, а потім можна переглянути правильні рішення та відповіді.

  приклад 3.Прибуток підприємства за період - випадкова величина, підпорядкована нормальному закону розподілу із середнім значенням 0,5 млн. у.о. та стандартним відхиленням 0,354. Визначити з точністю до двох знаків після коми ймовірність того, що прибуток підприємства становитиме від 0,4 до 0,6 у.о.

  приклад 4.Довжина деталі, що виготовляється, являє собою випадкову величину, розподілену за нормальним законом з параметрами μ =10 і σ = 0,071. Знайти з точністю до двох знаків після коми можливість шлюбу, якщо допустимі розміри деталі повинні бути 10±0,05 .

  Підказка: в цьому завданні, крім знаходження ймовірності потрапляння випадкової величини в закритий інтервал (ймовірність отримання небракованої деталі), потрібно виконати ще одну дію.

  

  дозволяє визначити ймовірність того, що стандартизоване значення Zне менше -zі не більше +z, де z- Довільно обране значення стандартизованої випадкової величини.

  Наближений метод перевірки нормальності розподілу

  Наближений метод перевірки нормальності розподілу значень вибірки ґрунтується на наступному властивості нормального розподілу: коефіцієнт асиметрії β 1 та коефіцієнт ексцесу β 2 рівні нулю.

  Коефіцієнт асиметрії β 1 чисельно характеризує симетрію емпіричного розподілу щодо середнього. Якщо коефіцієнт асиметрії дорівнює нулю, то середнє арифметричне значення, медіана та мода рівні: і крива щільності розподілу симетрична щодо середнього. Якщо коефіцієнт асиметрії менший за нуль (β 1 < 0 ), то середнє арифметичне менше медіани, а медіана, у свою чергу, менше моди () і крива зсунута вправо (порівняно з нормальним розподілом). Якщо коефіцієнт асиметрії більший за нуль (β 1 > 0 ), то середнє арифметичне більше медіани, а медіана, у свою чергу, більше моди () і крива зрушена вліво (порівняно з нормальним розподілом).

  Коефіцієнт ексцесу β 2 характеризує концентрацію емпіричного розподілу навколо арифметичного середнього у напрямку осі Ойі ступінь гостроверхості кривої щільності розподілу. Якщо коефіцієнт ексцесу більший за нуль, то крива більш витягнута (порівняно з нормальним розподілом)вздовж осі Ой(графік більш гостроверхий). Якщо коефіцієнт ексцесу менше нуля, то крива сплющена (порівняно з нормальним розподілом)вздовж осі Ой(графік більш туповершинний).

  Коефіцієнт асиметрії можна визначити за допомогою функції MS Excel СКОС. Якщо ви перевіряєте один масив даних, потрібно ввести діапазон даних в одне вікно "Число".

  
  

  Коефіцієнт ексцесу можна визначити за допомогою функції MS Excel ЕКСЦЕС. При перевірці одного масиву даних достатньо ввести діапазон даних в одне вікно "Число".

  
  

  Отже, як ми вже знаємо, при нормальному розподілі коефіцієнти асиметрії та ексцесу дорівнюють нулю. Але що якщо ми отримали коефіцієнти асиметрії, рівні -0,14, 0,22, 0,43, а коефіцієнти ексцесу, рівні 0,17, -0,31, 0,55? Питання цілком справедливе, тому що практично ми маємо справу лише з наближеними, вибірковими значеннями асиметрії та ексцесу, які схильні до деякого неминучого, неконтрольованого розкиду. Тому не можна вимагати суворої рівності цих коефіцієнтів нулю, вони повинні бути досить близькими до нуля. Але що означає – достатньо?

  Потрібно порівняти отримані емпіричні значення з допустимими значеннями. Для цього потрібно перевірити такі нерівності (порівняти значення коефіцієнтів за модулем з критичними значеннями - межами області перевірки гіпотези).

  Для коефіцієнта асиметрії β 1 .

  ) грає особливо важливу роль у теорії ймовірностей і частіше за інших застосовується у вирішенні практичних завдань. Його головна особливість у тому, що він є граничним законом, до якого наближаються інші закони розподілу при дуже часто зустрічаються типових умовах. Наприклад, сума досить великої кількості незалежних (або слабко залежних) випадкових величин приблизно підпорядковується нормальному закону, і це виконується тим точніше, чим більше випадкових величин підсумовується.

  Експериментально доведено, що нормальному закону підпорядковуються похибки вимірювань, відхилення геометричних розмірів і положення елементів будівельних конструкцій при їх виготовленні та монтажі, мінливість фізико-механічних характеристик матеріалів і навантажень, що діють на будівельні конструкції.

  Розподілу Гауса підпорядковуються майже всі випадкові величини, відхилення яких від середніх значень викликається великою сукупністю випадкових факторів, кожен з яких окремо незначний (Центральна гранична теорема).

  Нормальним розподіломназивається розподіл випадкової безперервної величини, для яких щільність імовірностей має вигляд (рис. 18.1).

  Мал. 18.1. Нормальний закон розподілу при а 1< a 2 .

  (18.1)

  де а і - Параметри розподілу.

  Імовірнісні характеристики випадкової величини, розподіленої за нормальним законом, рівні:

  Математичне очікування (18.2)

  Дисперсія (18.3)

  Середньоквадратичне відхилення (18.4)

  Коефіцієнт асиметрії А = 0(18.5)

  Ексцес Е= 0. (18.6)

  Параметр σ, що входить у розподіл Гауса дорівнює середовищу неквадратичному відношенню випадкової величини. Величина авизначає положення центру розподілу (див. рис. 18.1), а величина а- Ширину розподілу (рис. 18.2), тобто. статистичний розкид навколо середньої величини.

  Мал. 18.2. Нормальний закон розподілу при σ 1< σ 2 < σ 3

  Імовірність попадання в заданий інтервал (від x 1 до x 2) для нормального розподілу, як і у всіх випадках, визначається інтегралом від щільності ймовірності (18.1), який не виражається через елементарні функції і представляється спеціальною функцією, що називається функцією Лапласа (Інтеграл ймовірностей).

  Одне з уявлень інтеграла ймовірностей:

  Величина іназивається Квантиль.

  Видно, що Ф(х) - непарна функція, тобто Ф(-х) = -Ф(х) . Значення цієї функції обчислені та представлені у вигляді таблиць у технічній та навчальній літературі.

  
  

  Функція розподілу нормального закону (рис. 18.3) може бути виражена через інтеграл ймовірностей:

  Мал. 18.2. Функція нормального закону розподілу.

  Імовірність влучення випадкової величини, розподіленої за нормальним законом, в інтервал від х.до х, визначається виразом:

  Слід зауважити, що

  Ф(0) = 0; Ф(∞) = 0,5; Ф(-∞) = -0,5.

  При вирішенні практичних завдань, пов'язаних з розподілом, часто доводиться розглядати ймовірність попадання в інтервал, симетричний щодо математичного очікування, якщо довжина цього інтервалу тобто. якщо сам інтервал має межу від до , маємо:

  При вирішенні практичних завдань межі відхилень випадкових величин виражаються через стандарт, середньоквадратичне відхилення, помножене на деякий множник, що визначає межі області відхилень випадкової величини.

  Приймаючи та використовуючи формулу (18.10) і таблицю Ф(х) (додаток № 1), отримаємо

  Ці формули показують, Що якщо випадкова величина має нормальний розподіл, то ймовірність її відхилення від свого середнього значення не більше ніж на σ становить 68,27%, не більше ніж на 2σ - 95,45% і не більше ніж на Зσ - 99,73%.

  Оскільки величина 0,9973 близька до одиниці, практично вважається за неможливе відхилення нормального розподілу випадкової величини від математичного очікування більш ніж на Зσ. Це правило, справедливе лише для нормального розподілу, називається правилом трьох сигм. Порушення його має ймовірність Р = 1 – 0,9973 = 0,0027. Цим правилом користуються при встановленні меж допустимих відхилень допусків геометричних характеристик виробів і конструкцій.

  Випадковою, якщо в результаті досвіду вона може набувати дійсних значень з певними ймовірностями. Найбільш повною, вичерпною характеристикою довільної величини є закон розподілу. Закон розподілу – функція (таблиця, графік, формула), що дозволяє визначати ймовірність того, що випадкова величина Х набуває певного значення хi або потрапляє до певного інтервалу. Якщо випадкова величина має цей закон розподілу, то кажуть, що вона розподілена за цим законом чи підпорядковується закону розподілу.

  Кожен закон розподілу- Це деяка функція, що повністю описує випадкову величину з імовірнісної точки зору. Насправді про розподілі ймовірностей випадкової величини Х часто доводиться судити лише з результатам випробувань.

  Нормальний розподіл

  Нормальний розподіл, також називається розподілом Гаусса, - розподіл ймовірностей, що грає найважливішу роль багатьох галузях знань, особливо у фізиці. Фізична величина підпорядковується нормальному розподілу, коли вона схильна до впливу величезної кількості випадкових перешкод. Зрозуміло, що така ситуація вкрай поширена, тому можна сказати, що з усіх розподілів у природі найчастіше зустрічається саме нормальний розподіл - звідси й походить одна з його назв.

  Нормальний розподіл залежить від двох параметрів - зміщення та масштабу, тобто, є, з математичної точки зору, не одним розподілом, а цілим їх сімейством. Значення параметрів відповідають значенням середнього (математичного очікування) та розкиду (стандартного відхилення).

  

  

  Стандартним нормальним розподілом називається нормальне розподілення з математичним очікуванням 0 і стандартним відхиленням 1.

  

  

  Коефіцієнт асиметрії

  

  Коефіцієнт асиметрії позитивний, якщо правий хвіст розподілу довше лівого, і негативний інакше.

  Якщо розподіл симетрично щодо математичного очікування, його коефіцієнт асиметрії дорівнює нулю.

  

  Вибірковий коефіцієнт асиметрії використовується для перевірки розподілу на симетричність, а також для попередньої грубої перевірки на нормальність. Він дає змогу відкинути, але не дозволяє прийняти гіпотезу нормальності.

  Коефіцієнт ексцесу

  

  Коефіцієнт ексцесу (коефіцієнт гостроверхості) - міра гостроти піку розподілу випадкової величини.

  «Мінус три» в кінці формули введено для того, щоб коефіцієнт ексцесу нормального розподілу дорівнював нулю. Він позитивний, якщо пік розподілу біля математичного очікування гострий, і негативний, якщо вершина гладка.

  

  Моменти випадкової величини

  Момент випадкової величини – числова характеристика розподілу цієї випадкової величини.