Міркування, що спирається виключно на точні факти та точні висновки, що виходять із цих фактів, називаються суворими міркуваннями. У випадках, коли для прийняття рішень необхідно використати невизначені факти, суворі міркування стають непридатними. Тому однією з найсильніших сторін будь-якої експертної системи вважається її здатність формувати міркування в умовах невизначеності так само успішно, як це роблять експерти-люди. Такі міркування мають характер несуворих. Можна сміливо говорити про присутність нечіткої логіки.

Невизначеність, а відтак і нечітка логіка може розглядатися як недостатність адекватної інформації для ухвалення рішення. Невизначеність стає проблемою, оскільки може перешкоджати створенню найкращого рішення і навіть спричинити те, що буде знайдено неякісне рішення. Слід зазначити, що якісне рішення, знайдене в реальному часі, часто вважається більш прийнятним, ніж найкраще рішення, для обчислення якого потрібна велика кількість часу. Наприклад, затримка надання лікування з метою проведення додаткових аналізів може призвести до того, що пацієнт помре не дочекавшись допомоги.

Причиною невизначеності є наявність у інформації різних помилок. Спрощена класифікаціяцих помилок може бути представлена ​​в їхньому поділі на такі типи:

• неоднозначність інформації, виникнення якої пов'язане з тим, що деяка інформація може інтерпретуватися різними способами;
• неповнота інформації, пов'язаної з відсутністю деяких даних;
• неадекватність інформації, обумовлена ​​застосуванням даних, не відповідають реальній ситуації (можливими причинами є суб'єктивні помилки: брехня, дезінформація, несправність обладнання);
• похибки вимірювання, що виникають через недотримання вимог правильності та точності критеріїв кількісного представлення даних;
• випадкові помилки, проявом яких є випадкові коливання даних щодо середнього їх значення (причиною можуть бути: ненадійність обладнання, броунівський рух, теплові ефекти тощо).

На сьогодні розроблено значну кількість теорій невизначеності, в яких робиться спроба усунення деяких або навіть усіх помилок та забезпечення надійного логічного висновку за умов невизначеності. До найбільш вживаних практично належать теорії, засновані на класичному визначенні ймовірності та апостеріорної ймовірності.

Одним із найстаріших та найважливіших інструментальних засобів вирішення завдань штучного інтелекту є ймовірність. Ймовірність- це кількісний спосіб обліку невизначеності. Класична ймовірність бере початок з теорії, яка була вперше запропонована Паскалем та Ферма у 1654 році. З того часу була проведена велика робота в галузі вивчення ймовірності та здійсненні численних застосувань ймовірності в науці, техніці, бізнесі, економіці та інших областях.

Класична ймовірність

Класичну ймовірністьназивають також апріорною ймовірністю, оскільки її визначення відноситься до ідеальних систем. Термін «апріорна» означає можливість, що визначається «до подій», не враховуючи багатьох чинників, які у реальному світі. Поняття апріорної ймовірності поширюється на події, що відбуваються в ідеальних системах, схильних до зношування або впливу інших систем. В ідеальній системі поява будь-якої з подій відбувається однаково, завдяки чому їх аналіз стає набагато простішим.

Фундаментальна формула класичної ймовірності (Р) визначена таким чином:

У цій формулі W- кількість очікуваних подій, а N- загальна кількість подій із рівними ймовірностями, які є можливими результатами експерименту чи випробування. Наприклад, ймовірність випадання будь-якої грані шестигранної гральної кістки дорівнює 1/6, а витяг будь-якої карти з колоди, що містить 52 різні карти - 1/52.

Аксіоми теорії ймовірності

Формальна теорія ймовірності може бути створена на основі трьох аксіом:

Наведені аксіоми дозволили закласти фундамент теорії ймовірності, однак у них не розглядається ймовірність подій, що відбуваються у реальних – неідеальних системах. На відміну від апріорного підходу, у реальних системах для визначення ймовірності деякої події Р(Е), застосовується спосіб визначення експериментальної ймовірності як ліміту розподілу частот:

Апостеріорна ймовірність

У цій формулі f(E)позначає частоту появи деякої події між N-го кількості спостережень загальних результатів Імовірність такого типу називається також апостеріорною ймовірністю, тобто. ймовірністю, яка визначається «після подій». В основу визначення апостеріорної ймовірності покладено вимірювання частоти, з якою виникає деяка подія під час проведення великої кількості випробувань. Наприклад, визначення соціального типу кредитоспроможного клієнта банку з урахуванням емпіричного досвіду.

Події, які не належать до взаємовиключних, можуть впливати одна на одну. Такі події належать до класу складних. Імовірність складних подій може бути обчислена шляхом аналізу відповідних вибіркових просторів. Ці вибіркові простори можуть бути представлені за допомогою діаграм Венна, як показано на рис. 1

Рис.1 Вибірковий простір для двох не взаємовиключних подій

Імовірність настання події А, яка визначається з урахуванням того, що сталася подія, називається умовною ймовірністю і позначається Р(А|В). Умовна ймовірність визначається так:

Апріорна ймовірність

У цій формулі ймовірність Р(В)не повинна дорівнювати нулю, і є апріорною ймовірністю, що визначається до того, як стане відома інша додаткова інформація. Апріорну ймовірність, Що застосовується у зв'язку з використанням умовної ймовірності, іноді називають абсолютною ймовірністю.

Існує завдання, яке є по суті протилежним завданням обчислення умовної ймовірності. Вона полягає у визначенні зворотної ймовірності, що показує ймовірність попередньої події з урахуванням тих подій, що відбулися надалі. На практиці з ймовірністю такого типу доводиться зустрічатися досить часто, наприклад, при проведенні медичної діагностики або діагностики обладнання, при якій виявляються певні симптоми, а завдання полягає в тому, щоб знайти можливу причину.

Для вирішення цього завдання застосовується теорема Байєса, названа на честь британського математика XVIII століття Томаса Байєса Байєсівська теорія, у наші дні, широко використовується для аналізу дерев рішень в економіці та суспільних науках. Метод байєсовського пошуку рішень застосовується також у експертній системі PROSPECTOR щодо перспективних майданчиків для розвідки корисних копалин. Система PROSPECTOR набула широкої популярності як перша експертна система, за допомогою якої було відкрито цінне родовище молібдену, що коштує 100 мільйонів доларів.

С7 У цьому сучасному вигляді теорема Байєса була насправді сформульована Лапласом. Томасу Байєсу належить сама постановка завдання. Він сформулював її як зворотну відомій задачі Бернуллі. Якщо Бернуллі шукав ймовірність різних результатів кидання "кривої" монети, то Байєс, навпаки, прагнув визначити ступінь цієї "кривизни" за результатами кидання монети, що емпірично спостерігаються. У його рішенні була відсутня апріорна ймовірність.  

Хоча правило виглядає дуже простим, застосувати його практично виявляється важко, оскільки бувають невідомі апостеріорні ймовірності (або навіть значення спрощених вирішальних функцій). Їхні значення можна оцінити. В силу теореми Байєса апостеріорні ймовірності можна виразити через апріорні ймовірності та функції щільності за формулою РС, Iх = РС, (Р(х I С, / Р Су Р хI С,  

Оцінюючи результати класифікації за методом MDA, ми бачимо значну частку помилкових рішень щодо компаній-банкрутів (група 1) - одній з них кредит було б надано. Фірми з незрозумілим становищем (група 2) важко піддаються правильної класифікації, оскільки, зрештою, можуть потрапити до 1-ю чи 3-ю групу. Справа не можна поліпшити, приводячи апріорні ймовірності у відповідність до уявленнями банку про ймовірність приналежності фірми різним групам. Загальний показник правильності прогнозу становив лише 56.6%, причому з 1-ї групи правильно класифіковані були лише 30%.  

При наявному рівні складності і одночасності процесів моделі, засновані на причинних зв'язках, мають обмежені можливості для застосування події, що відбуваються, постійно змінюють специфікації всіх змінних (і включених, і не включених в модель), а значення апріорних ймовірностей і розмірів виплат за різними стратегіями невизначені і різко змінюються разом із змінами показників економічного зростання, відсоткових ставок, обмінних курсів та прибутковістю угод, не пов'язаних із кредитуванням (наприклад, при зміні операційних та комісійних зборів).  

Так як у реальній ситуації не можна знати заздалегідь, яка частина з компаній, представлених у випадковій вибірці, зазнає банкрутства протягом року і оскільки автори двох моделей, як можна припустити, встановлювали розділяючі рівні, виходячи з якихось конкретних припущень про апріорні ймовірності банкрутства. і ціни помилок, ми спростили процедуру порівняння і ввели відносні рівні, що розділяють. Інакше висловлюючись, кожної моделі ми вважали сигналами про банкрутство нижні 10% сигналів, виданих моделлю за рік. Насправді такий підхід означає загальну 10-відсоткову апріорну ймовірність банкрутства і таке відношення числа сигналів про банкрутство до реальних банкрутств у попередньому тесті, що визначається за допомогою оптимізованого порога. Крім того, цей спосіб має ту перевагу, що при цьому мінімізуються спотворення, що виникають через великий розрив у часі між публікацією Z-рахунку Альтмана та проведенням експерименту. Середні показники цей час могли змінитися, і тому поділ підприємств на сильні і слабкі, з певної пропорції, видається надійнішим. У табл. 9.2 наведено результати експерименту з прогнозування банкрутств на рік уперед із зазначенням похибки для кожної моделі.  

Приймаючи апріорну можливість за факт, оцініть очікуваний прибуток у разі відкриття філії.  

Позначимо через А. подія, яка полягає в тому, що q б [

Нехай, наприклад, вибрані наступні параметри величина капітальних вкладень , величина експлуатаційних витрат і ціна готової продукції , які відповідно можуть набувати значення Кь К2, К3 Еь Е2, Е3 Ць Ц2, Цз- Кожному з цих значень відповідає деяка апріорна ймовірність, наприклад, Кь Еь Ц мають можливість pt = 0,1, для К2, Е2, Ц2 ймовірність буде р2 = 0,8, а для К3, Е3, Ц3 - р3 = 0,1.  

Нехай апріорна ймовірність отримання в кінці процесу проектування технічного рішення, що задовольняє по-  

Якщо гравець 2 має у грі Г більше однієї стратегії та апріорні ймовірності їх використання гравцеві 1 невідомі або навіть зовсім не має сенсу говорити про ці ймовірності, то все щойно сказане не застосовується.  

Як ми вже бачили, зміни апріорних ймовірностей р і q залежить від налаштування сигналу.  

Звідси випливає, що якщо ми маємо нейтрального до ризику суб'єкта, який вважає, що кол-опціон коштуватиме Сі з імовірністю тг і j з імовірністю (1 - тг), то цей суб'єкт обчислюватиме поточну ціну опціону з повною відповідністю до виведеного нами рівняння. . Зауважимо, що ми ніде не припускали наявності апріорних ймовірностей появи тієї чи іншої ціни акції та, відповідно, майбутньої оцінки опціону. Викладений підхід називається нейтральною до ризику оцінкою.  

Нехай тг(

Права частина (7.53) не є щільністю у власному розумінні, оскільки інтеграл від неї не визначений, проте при обчисленні за формулою Байєса щільності апостеріорного розподілу параметрів формальних труднощів при роботі з (7.53) або не виникає, або легко можуть бути подолані . Як ми побачимо нижче у п. 7.3.2, вибір (7.53) зручний в аналітичному відношенні і, здавалося б, добре відображає повну відсутність апріорних знань про розподіл параметрів. Однак у ньому насправді ховаються дуже сильні припущення відсутність кореляції між параметрами (не пу-ть з кореляцією між оцінками значень параметрів, яка залежить від розподілу регресорів і величини а), зневажлива трохи апріорної ймовірності того, що вектор параметрів лежить у будь-якому наперед заданому кінцевому обсязі, якою б не була його величина, і т. д. Це призводить до серйозних труднощів з інтерпретацією результатів байєсовського оцінювання.  

Розглянемо зміст теореми Байєса з дещо іншої точки зору. Для цього випишемо всі можливі наслідки нашого експерименту. Нехай символи Н0, h означають результат монета не накрита і її верхня сторона - герб". Якщо ви оцінюєте апріорну ймовірність здійснення  

Я як V2i то ймовірність зазначеного результату буде Va X х1/2=1/4- Нижче ми наводимо список всіх результатів та їх апріорні ймовірності  

Так, у прикладі з монетою та гральною кісткою Р(На) - апріорна ймовірність, Р(На К) - апостеріорна ймовірність, а Р(Н На) - правдоподібність.  

Якщо тепер апріорна ймовірність Р(Н0) може бути взята рівною або 1 або 0, кажуть, що приймає рішення  

Уявимо тепер, що експериментатор пропонує прийнятому рішення абсолютно надійну (або повну) інформацію про те, який предмет не накритий. Той, хто приймає рішення, повинен, однак, заплатити за послугу повідомлення такої абсолютно надійної інформації, перш ніж він отримає цю інформацію. Якою була б цінність такої інформації Він може зазирнути вперед і запитати себе, що він робитиме у відповідь на кожне з двох можливих повідомлень, які може забезпечити дана послуга, та обчислити свій дохід, виходячи з отриманих відповідей. Зважування цього доходу за допомогою апріорних ймовірностей можливих повідомлень дозволило б йому оцінити суму очікуваного доходу, якщо він сплатить деяку суму за абсолютно надійну інформацію до її фактичного отримання. Так як цей очікуваний дохід був би більше 0,5 дол., тобто того, що він очікує на підставі однієї лише апріорної інформації, то приріст доходу і з'явився б максимальною сумою, яку йому було б сенс сплатити за інформаційну послугу.  

Фірма має закупити велику кількість товару або сьогодні, або завтра. Сьогодні ціна товару 14,5 дол. за одиницю. На думку фірми, завтра його ціна буде або 10 або 20 дол. з рівною ймовірністю. Нехай х означає завтрашню ціну тоді апріорні ймовірності рівні  

На останньому етапі перевіряється надійність вибору апріорних ймовірностей настання ринкових станів та обчислюється очікувана корисність від уточнення цих ймовірностей. Для цього будується дерево рішень. У разі необхідності додаткових досліджень ринку рекомендується призупинити процес впровадження обраного варіанту нового товару до отримання надійніших результатів.  

У маркетингової практичної діяльності фірми часто доводиться порівнювати витрати на отримання часткової (неповної) інформації та витрати на отримання додаткової інформації для прийняття більш якісного рішення. Менеджер (ЛПР) повинен оцінити, наскільки вигода, що отримується від додаткової інформації, покриває витрати на її отримання. У разі може бути застосована теорія прийняття рішень Байеса. Вихідними є апріорні ймовірності P(Sk) і умовні ймовірності P(Z Sk) появи ринкового стану Z за умови, що припущена поява стану 5А. При отриманні нової інформації обчислюються очікувані корисності кожної стратегії, потім вибирається стратегія з максимальним значенням очікуваної корисності. За допомогою нової інформації ЛПР може виправляти апріорні ймовірності P(Sk), а це дуже важливо для прийняття рішень.  

Тепер бажано дізнатися, яка буде можливість появи об'єктивного стану Sk при отриманні нової інформації. Отже, необхідно знайти P(Sk Z), де k,q = 1,п. Це умовна ймовірність і є уточненою апріорною ймовірністю. Для обчислення P(Sk Z) скористаємося формулою Байєса  

Отже, ми отримали уточнені апріорні можливості появи об'єктивних ринкових станів. Весь процес обчислення та одержувані результати вказані в табл. 9.11 та 9.12.  

Використання бейєсовського підходу (6.47) вимагає знання апріорних ймовірностей та густин розподілу ймовірностей.  

Використовуючи отримані з АГК числові характеристики об'єктів, ми провели стандартний лінійний множинний дискримінантний аналіз з однаковими (рівними 33%) апріорними ймовірностями приналежності елемента. груп. Правильно було класифіковано 41% від загальної кількості випадків, і це дещо краще за 33-відсоткову точність, яка б вийшла при випадковому віднесенні об'єкта до тієї чи іншої групи. Табл. 8.6 нижче-це таблиця неправильних класифікацій, яка також називається матрицею помилок.  

Наступна проблема – це вироблення стандарту для тестування. Для оцінки MDA-моделей у більшості випадків береться невелика кількість зразків, і це збільшує ймовірність того, що модель буде занадто точно підігнана під тестові дані. У вибірках зазвичай міститься порівну компаній-банкрутів та небанкрутів, а самі дані, як правило, відповідають періодам інтенсивних банкрутств. Це призводить до висновку, що надійними є лише результати оцінки моделі на нових даних. З табл. 9.1 видно, що навіть на найсприятливіших тестах з новими даними (коли всі приклади беруться з одного періоду часу і до того ж однорідними в сенсі галузей та розміру підприємства), якість виходить гірше, ніж на зразках, за якими визначалися параметри моделі. Оскільки на практиці користувачі моделей класифікації не зможуть налаштовувати модель на інші апріорні ймовірності банкрутства, розмір фірми чи галузь, реальна якість моделі може виявитися ще гіршою. Якість може також погіршитися через те, що у вибірках, що використовуються для тестування MDA-моделей, буває мало фірм, які не збанкрутували, але перебувають у зоні ризику. Якщо таких з ризиком фірм, що виживають, всього чотири-п'ять, то це спотворює реальну частку ризикових компаній, і в результаті частота помилок 2-го роду виявляється недооціненою.  

Які брали участь у порівнянні MDA-методи були розраховані та оптимізовані, виходячи з частки хибних сигналів 10 1 при деяких апріорних ймовірностях і ціні помилок. Хотілося б використовувати як ex ante критерію менше, ніж 10-відсоткове, кількість потенційних банкрутів у популяції, але це погано узгоджується з параметрами моделей. Це також суперечить практиці, коли зниження порога нижче за 10-відсотковий рівень не призводило до банкрутства. Так, коли частка помилкових сигналів урізалася до 7%, Z-шкала Таффлера взагалі переставала ідентифікувати банкрутства, а модель Datastream наштовхувалася на цю перешкоду на 8%. На противагу цьому нейронна мережа розпізнала два випадки банкрутства нижче розділяючого рівня 4.5%, тобто. мережа здатна працювати в умовах, коли на одну правильну ідентифікацію банкрутства припадає лише п'ять помилкових сигналів. Цей показник можна порівняти з найкращими результатами, які виходять у MDA-моделей на набагато менш вимогливих тестах заднім числом (їх post). Звідси випливають два висновки по-перше, нейронні моделі є надійним методом класифікації в кредитній сфері, і, по-друге, використання при навчанні як цільова змінна ціна акції може виявитися більш вигідним, ніж власне показника банкрутство/виживання. У ціні акцій відображає-  

У гол. 3-5 описуються методи шкалювання переваг (ваг) майбутніх подій, кількісні оцінки ступеня переваги і ми можемо обчислити безумовну ймовірність будь-якого результату вибірки  

I. Умовні ймовірності. Апріорна та апостеріорна ймовірність. 3

II. Незалежні події. 5

III.Перевірка статистичних гіпотез. Статистична достовірність. 7

IV.Використання критерію «хі-квадрат» 19

1.Визначення достовірності відмінності набору частот від набору ймовірностей. 19

2.Визначення достовірності відмінності кількох наборів частот. 26

VСАМОСТІЙНЕ ЗАВДАННЯ 33

Заняття №2

1. Умовні можливості. Апріорна та апостеріорна ймовірність.

Випадкова величина задається трьома об'єктами: безліччю елементарних подій, безліччю подій та ймовірністю подій. Ті значення, які може набувати випадкова величина, називаються елементарними подіями.Набори елементарних подій називаються подіями. Для числових та інших дуже складних випадкових величин будь-який конкретно заданий набір елементарних подій є подія.

Наведемо приклад: кидання гральної кістки.

Усього є 6 елементарних подій: «очко», «2 очки», «3 очки»… «6 очок». Подія – будь-який набір елементарних подій, наприклад «чот» - сума елементарних подій «2 очки», «4 очки» та «6 очок».

Імовірність будь-якої елементарної події P(A) дорівнює 1/6:

ймовірність події – кількості елементів, що входять до нього, поділеному на 6.

Досить часто на додаток до відомої ймовірності події є деяка додаткова інформація, яка змінює цю ймовірність. Наприклад, летальність хворих. надійшли до лікарні з гострою виразкою шлунка, що кровоточить, становить близько 10%. Однак, якщо хворому більше 80 років, ця летальність становить 30%.

Для опису таких ситуацій було введено так звані умовні ймовірності. Вони позначаються, як P(A/B) і читаються «імовірність події А за умови події». Для обчислення умовної ймовірності використовується формула:

Повернемося до попереднього прикладу:

Нехай серед хворих, які надійшли до лікарні з гострою виразкою шлунка, що кровоточить, 20% - хворі старше 80 років. Причому серед усіх хворих частка померлих хворих старше 80 років – 6% (нагадаємо, що частка всіх померлих становить 10%). В цьому випадку

При визначенні умовних ймовірностей часто користуються термінами апріорний(буквально – до досвіду) та апостеріорної(буквально – після досвіду) ймовірності.

Користуючись умовними ймовірностями, можна за одними ймовірностями обчислити інші, наприклад, міняти місцями подію та умову.

Розглянемо цю техніку з прикладу аналізу зв'язку ризику захворювання ревматизму (ревматичної лихоманкою) і з антигенів, що є йому чинником ризику.

Частота захворювання на ревматизм – близько 1%. Позначимо наявність ревматизму як R + , тоді як P (R +) = 0,01.

Наявність антигену позначатимемо, як А + . Його знаходять у 95% хворих на ревматизм і у 6% осіб, які на ревматизм не хворіють. У наших позначеннях це: умовні можливості Р(А + /R +)=0,95 і Р(А + /R -)=0,06.

З цих трьох ймовірностей будемо послідовно визначати інші ймовірності.

Насамперед, якщо захворюваність на ревматизм P(R +)=0,01, то ймовірність не захворітиP(R -)=1-P(R +)=0,99.

З формули для умовної ймовірності виявляємо, що

Р(А + та R +)= Р(А + /R +) * Р(R +) = 0,95*0,01 = 0,0095, або 0,95% популяції одночасно і хворіють на ревматизм і мають антиген.

Аналогічно

Р(А + та R -)= Р(А + /R -) * Р(R -) = 0,06*0,99 = 0,0594, або 5,94% популяції носять антиген, але на ревматизм не хворіють.

Оскільки всі мають антиген або хворіють на ревматизм або не хворіють (але не одночасно і те й інше), то сума двох останніх ймовірностей дає частоту носійства антигену в популяції в цілому:

Р(А +) = Р(А + та R +) + Р(А + та R -) = 0,0095 + 0,0594 = 0,0689

Відповідно, частка людей, які не мають антиген, дорівнює

Р(А -)=1- Р(А +) = 0,9311

Так як захворюваність на ревматизм дорівнює 1%, а частка осіб, які мають антиген і хворіють на ревматизм, дорівнює 0,95%, то частка осіб, які хворіють на ревматизм і не мають антигену дорівнює:

Р(А - і R +) = Р (R +) - Р (А + і R +) = 0,01 - 0,0095 = 0,0005

Тепер рухатимемося у зворотний бік, переходячи від ймовірностей подій та їх комбінацій до умовних ймовірностей. За вихідною формулою умовної ймовірності Р(А + /R +)= Р(R + іA +)/ Р(А +) = 0,0095/0,06890,1379 , або приблизно 13,8% осіб, які носять антиген , захворіють на ревматизм. Оскільки захворюваність популяції загалом лише 1%, факт виявлення антигену підвищує ймовірність захворювання ревматизмом в 14 раз.

Аналогічно Р(R + /А -)=Р(R + іA -)/ Р(А -) = 0,0005/0,93110,000054, тобто той факт, що при перевірці антигену не виявлено, знижує ймовірність захворювання на ревматизм у 19 разів.

Оформимо це завдання в електронній таблиці Excel:

Можна подивитися процес побудови таблиці картинки2p2-1.gif

Випадкову подію оцінюють числом, що визначає інтенсивність прояву цієї події. Це число називають ймовірністюподії P() . Імовірність елементарної події . Імовірність події є чисельною мірою ступеня об'єктивності, можливості цієї події. Чим більша ймовірність, тим більше можлива подія.

Будь-яка подія, що збігається з усім простором наслідків S, називається достовірною подією, тобто. такою подією, яка в результаті експерименту обов'язково має відбутися (наприклад, випадання будь-якого числа очок від 1 до 6 на гральній кістці). Якщо подія не належить безлічі S, то воно вважається неможливим(Наприклад, випадання числа очок, більшого 6, на гральній кістці). Імовірність неможливої ​​події дорівнює 0, ймовірність достовірної події дорівнює 1. Всі інші події мають ймовірність від 0 до 1.

Події Еі називаються протилежними, якщо Енастає тоді, коли не настає . Наприклад, подія Е– «випадання парної кількості очок», тоді подія - "Випадання непарного числа очок". Дві події Е 1 і Е 2 називаються несуміснимиякщо не існує жодного результату, спільного для обох подій.

Для визначення ймовірностей випадкових подій використовують безпосередні чи непрямі способи. При безпосередньому підрахунку ймовірності розрізняють апріорну та апостеріорну схеми підрахунків, коли проводять спостереження (досліди) або апріорно підраховують кількість дослідів m, в яких подія виявилася, та загальна кількість вироблених дослідів n. Непрямі методи ґрунтуються на аксіоматичній теорії. Оскільки події визначаються як множини, то над ними можна здійснювати всі теоретико-множинні операції. Теорія множин, функціональний аналіз було запропоновано академіком А.Н. Колмогоровим і склали основу аксіоматичної теорії ймовірності. Наведемо аксіоми ймовірностей.

АксіомаI. Поле подійF(S) є алгеброю множин.

Ця аксіома вказує на аналогію теорії множин та теорії ймовірності.

АксіомаII. Кожній множинізF(S) поставлене у відповідність дійсне число P(), зване ймовірністю події:

за умови S 1 S 2 = (для несумісних подій S 1 і S 2 ), або для безлічі несумісних подій

де N- Кількість елементарних подій (можливих результатів).

Імовірність випадкової події

де - Імовірності елементарних подій , що входять до підмножини .

приклад 1.1. Визначити ймовірність випадання кожного числа при киданні гральної кістки, випадання парного числа, числа  4 .

Рішення. Імовірність випадання кожного числа з множини

S = (1, 2, 3, 4, 5, 6)
1/6.

Можливість випадання парного числа, тобто.
={2, 4, 6}, виходячи з (1.6) буде P(
) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2 .

Імовірність випадання числа  4 , тобто.
= {4, 5, 6 } ,

P(
) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2.

Завдання для самостійної роботи

1. У кошику 20 білих, 30 чорних та 50 червоних куль. Визначте ймовірність того, що перша вийнята з кошика куля буде білою; чорним; червоний.

2. У студентській групі 12 юнаків та 10 дівчат. Якою є ймовірність того, що на семінарі з теорії ймовірності будуть відсутні: 1) юнак; 2) дівчина; 3) два юнаки?

3. Протягом року 51 день відзначався тим, що у ці дні йшов дощ (або сніг). Якою є ймовірність того, що ви ризикуєте потрапити під дощ (або сніг): 1) вирушаючи на роботу; 2) вирушаючи у похід на 5 днів?

4. Складіть завдання на тему даного завдання та розв'яжіть його.

1.1.3. Визначення апостеріорної ймовірності (статистичної ймовірності чи частоти

випадкової події)

При апріорному визначенні ймовірності передбачалося, що рівноймовірні. Це далеко не завжди відповідає дійсності, частіше буває, що
при
. Допущення
призводить до помилки в апріорному визначенні P( ) за встановленою схемою. Для визначення , а загальному випадку P( ) проводять цілеспрямовані випробування. У результаті проведення таких випробувань (наприклад, результати випробувань у прикладах 1.2, 1.3) при різному стані різноманітних умов, впливів, причинних чинників, тобто. в різноманітних випадках,можуть виникнути різні результати(Різні прояви відомостей досліджуваного об'єкта). Кожен результат випробувань відповідає одному елементу або одному підмножині безлічі S.Якщо визначати mяк кількість сприятливих подій Арезультатів, отриманих у результаті nвипробувань, то апостеріорна ймовірність (статистична ймовірність чи частота випадкової події А)

На підставі закону великих чисел для  A

тобто. зі збільшенням числа випробувань частота випадкового події (апостеріорна, чи статистична, ймовірність) прагне ймовірності цієї події.

приклад 1.2. Визначена за схемою випадків можливість випадання решки при підкиданні монети дорівнює 0,5. Потрібно підкинути монету 10, 20, 30…раз і визначити частоту випадкової події решка після кожної серії випробувань.

Рішення. До. Пуассон підкидав монету 24000 разів, у своїй решка випадала 11998 раз. Тоді за формулою (1.7) ймовірність випадання рішки

.

Завдання для самостійної роботи

На підставі великого статистичного матеріалу ( n  ) були отримані значення ймовірностей появи окремих літер російського алфавіту та пробілу () у текстах, які наведені у табл.1.1.

Таблиця 1.1. Імовірність появи букв алфавіту в тексті

Візьміть сторінку будь-якого тексту та визначте частоту появи різних літер на цій сторінці. Збільште обсяг випробувань на дві сторінки. Отримані результати порівняйте із даними таблиці. Зробіть висновок.

При стрільбі по мішеням було отримано наступний результат (див. табл.1.2).

Таблиця 1.2. Результат стрілянини по мішенях

Яка ймовірність того, що мета була б вражена з першого пострілу, якби за своїми розмірами вона була меншою за «десятку», «дев'ятку» тощо?

3. Сплануйте та проведіть аналогічні випробування для інших подій. Уявіть їх результати.