Bir üçgenin alanını belirlemek için farklı formüller kullanabilirsiniz. Tüm yöntemler arasında en kolay ve en sık kullanılanı, yüksekliği taban uzunluğuyla çarpmak ve ardından sonucu ikiye bölmektir. Ancak bu yöntem tek yöntem olmaktan uzaktır. Aşağıda farklı formüller kullanarak bir üçgenin alanının nasıl bulunacağını okuyabilirsiniz.

Ayrı olarak, belirli üçgen türlerinin (dikdörtgen, ikizkenar ve eşkenar) alanını hesaplamanın yollarına bakacağız. Her formüle, özünü anlamanıza yardımcı olacak kısa bir açıklama ekliyoruz.

Bir üçgenin alanını bulmak için evrensel yöntemler

Aşağıdaki formüller özel gösterim kullanır. Her birinin şifresini çözeceğiz:

• a, b, c – ele aldığımız şeklin üç tarafının uzunlukları;
• r, üçgenimize yazılabilecek dairenin yarıçapıdır;
• R, çevresinde tanımlanabilecek dairenin yarıçapıdır;
• α, b ve c kenarlarının oluşturduğu açının büyüklüğüdür;
• β a ve c arasındaki açının büyüklüğüdür;
• γ a ve b taraflarının oluşturduğu açının büyüklüğüdür;
• h, üçgenimizin α açısından a kenarına indirilmiş yüksekliğidir;
• p – a, b ve c kenarlarının toplamının yarısı.

Bir üçgenin alanını neden bu şekilde bulabileceğiniz mantıksal olarak açıktır. Üçgen, üçgenin bir tarafının köşegen görevi göreceği bir paralelkenar halinde kolaylıkla tamamlanabilir. Paralelkenarın alanı, kenarlarından birinin uzunluğunun kendisine çizilen yüksekliğin değeriyle çarpılmasıyla bulunur. Köşegen bu koşullu paralelkenarı 2 özdeş üçgene böler. Dolayısıyla orijinal üçgenimizin alanının bu yardımcı paralelkenarın alanının yarısına eşit olması gerektiği oldukça açıktır.

S=½ a b sin γ

Bu formüle göre bir üçgenin alanı, iki kenarının (a ve b) uzunluklarının, bunların oluşturduğu açının sinüsüyle çarpılmasıyla bulunur. Bu formül mantıksal olarak öncekinden türetilmiştir. Yüksekliği β açısından b kenarına düşürürsek, o zaman özelliklere göre dik üçgen a tarafının uzunluğunu γ açısının sinüsüyle çarptığımızda üçgenin yüksekliğini, yani h'yi elde ederiz.

Söz konusu şeklin alanı, içine yazılabilecek dairenin yarıçapının yarısının çevresi ile çarpılmasıyla bulunur. Yani söz konusu dairenin yarı çevresi ile yarıçapının çarpımını buluyoruz.

S= a b c/4R

Bu formüle göre ihtiyacımız olan değer, şeklin kenarlarının çarpımının, çevresinde tanımlanan dairenin 4 yarıçapına bölünmesiyle bulunabilir.

Bu formüller evrenseldir, çünkü herhangi bir üçgenin (çeşitkenar, ikizkenar, eşkenar, dikdörtgen) alanını belirlemeyi mümkün kılarlar. Bu, üzerinde ayrıntılı olarak durmayacağımız daha karmaşık hesaplamalar kullanılarak da yapılabilir.

Belirli özelliklere sahip üçgenlerin alanları

Dik üçgenin alanı nasıl bulunur? Bu şeklin özelliği, iki tarafının aynı anda yüksekliği olmasıdır. Eğer a ve b kenarlar ise ve c hipotenüs olursa, alanı şu şekilde buluruz:

İkizkenar üçgenin alanı nasıl bulunur? A uzunluğunda iki kenarı ve b uzunluğunda bir kenarı vardır. Sonuç olarak alanı, a tarafının karesinin çarpımının γ açısının sinüsüne bölünmesiyle belirlenebilir.

Eşkenar üçgenin alanı nasıl bulunur? İçinde tüm kenarların uzunluğu a'ya eşittir ve tüm açıların büyüklüğü α'dır. Yüksekliği, a tarafının uzunluğunun ve 3'ün karekökünün çarpımının yarısına eşittir. Normal bir üçgenin alanını bulmak için, a tarafının karesini 3'ün kareköküyle çarpıp bölmeniz gerekir. 4.

Alan kavramı

Herhangi bir geometrik şeklin, özellikle bir üçgenin alanı kavramı, kare gibi bir şekil ile ilişkilendirilecektir. Herhangi bir geometrik şeklin birim alanı için, kenarı bire eşit olan karenin alanını alacağız. Bütünlüğü sağlamak için alan kavramının iki temel özelliğini hatırlayalım. geometrik şekiller.

Özellik 1: Geometrik şekillerin eşit olması durumunda alanları da eşittir.

Özellik 2: Herhangi bir rakam birkaç rakama bölünebilir. Ayrıca orijinal şeklin alanı, onu oluşturan tüm şekillerin alanlarının toplamına eşittir.

Bir örneğe bakalım.

Örnek 1

Açıkçası, üçgenin kenarlarından biri köşegendir dikdörtgen, burada bir tarafın uzunluğu $5$'dır (çünkü $5$ hücreleri vardır) ve ikincisi $6$'dır (çünkü $6$ hücreleri vardır). Dolayısıyla bu üçgenin alanı böyle bir dikdörtgenin yarısına eşit olacaktır. Dikdörtgenin alanı

O zaman üçgenin alanı eşittir

Cevap: 15$.

Daha sonra, üçgenlerin alanlarını bulmak için çeşitli yöntemleri ele alacağız; yani yüksekliği ve tabanı kullanarak, Heron'un formülleri ve eşkenar üçgenin alanı.

Yüksekliğini ve tabanını kullanarak bir üçgenin alanı nasıl bulunur?

Teorem 1

Bir üçgenin alanı, bir kenar uzunluğu ile o kenar yüksekliğinin çarpımının yarısı kadar bulunabilir.

Matematiksel olarak şöyle görünüyor

$S=\frac(1)(2)αh$

burada $a$ kenarın uzunluğu, $h$ ona çizilen yüksekliktir.

Kanıt.

$AC=α$ olan bir $ABC$ üçgenini düşünün. Bu tarafa $h$'a eşit olan $BH$ yüksekliği çizilir. Şekil 2'deki gibi $AXYC$ karesine kadar oluşturalım.

$AXBH$ dikdörtgeninin alanı $h\cdot AH$ ve $HBYC$ dikdörtgeninin alanı $h\cdot HC$'dir. Daha sonra

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Bu nedenle, özellik 2'ye göre üçgenin gerekli alanı şuna eşittir:

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Teorem kanıtlandı.

Örnek 2

Hücrenin alanı bire eşitse aşağıdaki şekildeki üçgenin alanını bulun

Bu üçgenin tabanı $9$'a eşittir (çünkü $9$, $9$'ın karesidir). Yükseklik de 9$'dır. O zaman Teorem 1'e göre şunu elde ederiz:

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Cevap: 40,5$.

Heron'un formülü

Teorem 2

$α$, $β$ ve $γ$ üçgeninin üç kenarı bize verilirse, alanı aşağıdaki gibi bulunabilir.

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

burada $ρ$ bu üçgenin yarı çevresi anlamına geliyor.

Kanıt.

Aşağıdaki şekli göz önünde bulundurun:

Pisagor teoremine göre $ABH$ üçgeninden şunu elde ederiz:

Pisagor teoremine göre $CBH$ üçgeninden şunu elde ederiz:

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Bu iki ilişkiden eşitliği elde ederiz

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

$ρ=\frac(α+β+γ)(2)$ olduğundan $α+β+γ=2ρ$, yani

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Teorem 1'e göre şunu elde ederiz:

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Buradan hatırlayabileceğiniz gibi okul müfredatı Geometriye göre üçgen, aynı düz çizgi üzerinde yer almayan üç noktayla birbirine bağlanan üç parçadan oluşan bir şekildir. Üçgen üç açı oluşturduğundan şeklin adı da buradan gelir. Tanım farklı olabilir. Bir üçgene üç açılı çokgen de denilebilir, cevap da doğru olacaktır. Şekillerde üçgenler eşit kenar sayısına ve açıların büyüklüğüne göre bölünmüştür. Böylece üçgenler sırasıyla ikizkenar, eşkenar ve çeşitkenar, ayrıca dikdörtgen, dar ve geniş olarak ayırt edilir.

Bir üçgenin alanını hesaplamak için birçok formül vardır. Bir üçgenin alanının nasıl bulunacağını seçin; Hangi formülü kullanacağınız size kalmış. Ancak bir üçgenin alanını hesaplamak için birçok formülde kullanılan gösterimlerden yalnızca bazılarına dikkat etmek önemlidir. Yani şunu unutmayın:

S üçgenin alanıdır,

a, b, c üçgenin kenarlarıdır,

h üçgenin yüksekliğidir,

R, çevrelenen dairenin yarıçapıdır,

p yarı çevredir.

Geometri dersinizi tamamen unuttuysanız işinize yarayabilecek temel notasyonları burada bulabilirsiniz. Aşağıda bir üçgenin bilinmeyen ve gizemli alanını hesaplamak için en anlaşılır ve karmaşık olmayan seçenekler bulunmaktadır. Zor değildir ve hem evinizin ihtiyaçları için hem de çocuklarınıza yardım etmek için faydalı olacaktır. Bir üçgenin alanının mümkün olduğunca kolay nasıl hesaplanacağını hatırlayalım:

Bizim durumumuzda üçgenin alanı: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 cm2. Alanın santimetre kare (cm²) cinsinden ölçüldüğünü unutmayın.

Dik üçgen ve alanı.

Dik üçgen, bir açının 90 dereceye eşit olduğu (bu nedenle dik olarak adlandırılır) bir üçgendir. Dik açı iki dik çizgiden oluşur (üçgen durumunda iki dik bölüm). Bir dik üçgende yalnızca bir dik açı olabilir çünkü... Herhangi bir üçgenin tüm açılarının toplamı 180 dereceye eşittir. Kalan 90 dereceyi başka 2 açının bölmesi gerektiği ortaya çıktı; örneğin 70 ve 20, 45 ve 45, vb. Yani asıl meseleyi hatırlıyorsunuz, geriye kalan tek şey dik üçgenin alanını nasıl bulacağınızı bulmak. Önümüzde böyle bir dik üçgen olduğunu ve S alanını bulmamız gerektiğini hayal edelim.

1. Dik üçgenin alanını belirlemenin en basit yolu aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

Bizim durumumuzda dik üçgenin alanı: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 cm2.

Prensip olarak üçgenin alanını başka yollarla doğrulamaya artık gerek yok çünkü Yalnızca bu faydalı olacak ve günlük yaşamda yardımcı olacaktır. Ancak bir üçgenin alanını dar açılardan ölçmek için seçenekler de vardır.

2. Diğer hesaplama yöntemleri için kosinüsler, sinüsler ve teğetlerden oluşan bir tablonuz olmalıdır. Kendinize hakim olun, işte hala kullanılabilecek bir dik üçgenin alanını hesaplamak için bazı seçenekler:

İlk formülü kullanmaya karar verdik ve bazı küçük lekelerle (bunu bir deftere çizdik ve eski bir cetvel ve iletki kullandık), ancak doğru hesaplamayı yaptık:

S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). Şu sonuçları elde ettik: 3,6=3,7, ancak hücrelerin değişimini hesaba katarsak bu nüansı affedebiliriz.

İkizkenar üçgen ve alanı.

Bir ikizkenar üçgenin formülünü hesaplama göreviyle karşı karşıyaysanız, en kolay yol, ana ve üçgenin alanı için klasik formül olarak kabul edilen şeyi kullanmaktır.

Ama önce ikizkenar üçgenin alanını bulmadan önce bunun nasıl bir şekil olduğunu bulalım. İkizkenar üçgen, iki kenarın aynı uzunluğa sahip olduğu bir üçgendir. Bu iki tarafa yan, üçüncü tarafa ise taban denir. İkizkenar üçgeni eşkenar üçgenle karıştırmayın; üç tarafı eşit olan düzgün bir üçgen. Böyle bir üçgende açılara veya daha doğrusu boyutlarına ilişkin özel bir eğilim yoktur. Bununla birlikte, bir ikizkenar üçgenin taban açıları eşittir, ancak eşit kenarlar arasındaki açıdan farklıdır. Yani, ilk ve ana formülü zaten biliyorsunuz; ikizkenar üçgenin alanını belirlemek için başka hangi formüllerin bilindiğini bulmaya devam ediyor:

Üçgen, zaten bildiğimiz en yaygın geometrik şekillerden biridir. ilkokul. Geometri derslerinde her öğrenci üçgenin alanının nasıl bulunacağı sorusuyla karşı karşıya kalır. Peki, belirli bir şeklin alanını bulmanın hangi özellikleri tanımlanabilir? Bu yazıda böyle bir görevi tamamlamak için gerekli temel formüllere bakacağız ve ayrıca üçgen türlerini analiz edeceğiz.

Üçgen türleri

Bir üçgenin alanını kesinlikle bulabilirsiniz farklı şekillerdeÇünkü geometride üç açı içeren birden fazla şekil türü vardır. Bu türler şunları içerir:

• Geniş.
• Eşkenar (doğru).
• Sağ üçgen.
• İkizkenar.

Her birine daha yakından bakalım mevcut türlerüçgenler.

Bu geometrik şekil, geometrik problemleri çözerken en yaygın olanı olarak kabul edilir. Rastgele bir üçgen çizme ihtiyacı ortaya çıktığında bu seçenek kurtarmaya gelir.

Dar üçgende, adından da anlaşılacağı gibi, tüm açılar dardır ve toplamı 180°'ye eşittir.

Bu tür üçgen de çok yaygındır, ancak dar açılı olandan biraz daha az yaygındır. Örneğin, üçgenleri çözerken (yani, birkaç kenarı ve açısı biliniyor ve geri kalan elemanları bulmanız gerekiyor), bazen açının geniş olup olmadığını belirlemeniz gerekir. Kosinüs negatif bir sayıdır.

B, açılardan birinin değeri 90°'yi aştığı için geri kalan iki açı küçük değerler alabilir (örneğin 15° hatta 3°).

Bu tür bir üçgenin alanını bulmak için daha sonra konuşacağımız bazı nüansları bilmeniz gerekir.

Düzenli ve ikizkenar üçgenler

Düzgün çokgen, n tane açı içeren, kenarları ve açıları birbirine eşit olan bir şekildir. Normal üçgen budur. Bir üçgenin tüm açılarının toplamı 180° olduğundan her üç açısı da 60° olur.

Özelliği nedeniyle düzenli üçgene eşkenar şekil de denir.

Ayrıca normal bir üçgenin içine yalnızca bir daire yazılabileceğini, çevresinde yalnızca bir dairenin tanımlanabileceğini ve merkezlerinin aynı noktada bulunduğunu belirtmekte fayda var.

Eşkenar tipine ek olarak, ondan biraz farklı olan ikizkenar üçgen de ayırt edilebilir. Böyle bir üçgende iki kenar ve iki açı birbirine eşittir ve üçüncü kenar (bitişik olan) eşit açılar) tabandır.

Şekilde D ve F açıları eşit ve DF tabanı olan DEF ikizkenar üçgeni gösterilmektedir.

Sağ üçgen

Dik üçgen, açılarından biri dik, yani 90°'ye eşit olduğu için bu şekilde adlandırılmıştır. Diğer iki açının toplamı 90° olur.

En çok büyük taraf Böyle bir üçgende 90°'lik açının karşısında bulunan taraf hipotenüs, geri kalan iki kenar ise bacaklardır. Bu tür üçgenler için Pisagor teoremi geçerlidir:

Bacakların uzunluklarının karelerinin toplamı hipotenüs uzunluğunun karesine eşittir.

Şekilde AC hipotenüsü ve AB ve BC kenarları olan bir BAC dik üçgeni gösterilmektedir.

Dik açılı bir üçgenin alanını bulmak için bilmeniz gerekenler sayısal değerler bacakları.

Belirli bir şeklin alanını bulmak için formüllere geçelim.

Alanı bulmak için temel formüller

Geometride, çoğu üçgen türünün alanını bulmak için uygun iki formül vardır; yani dar, geniş, düzenli ve ikizkenar üçgenler için. Her birine bakalım.

Yan ve yüksekliğe göre

Bu formül, düşündüğümüz şeklin alanını bulmak için evrenseldir. Bunu yapmak için kenarın uzunluğunu ve ona çizilen yüksekliğin uzunluğunu bilmek yeterlidir. Formülün kendisi (taban ile yüksekliğin çarpımının yarısı) aşağıdaki gibidir:

burada A belirli bir üçgenin kenarıdır ve H üçgenin yüksekliğidir.

Örneğin, dar açılı bir ACB üçgeninin alanını bulmak için, AB kenarını CD yüksekliğiyle çarpmanız ve elde edilen değeri ikiye bölmeniz gerekir.

Ancak üçgenin alanını bu şekilde bulmak her zaman kolay olmuyor. Örneğin, bu formülü geniş bir üçgen için kullanmak için, kenarlarından birini uzatmanız ve ancak bundan sonra ona bir yükseklik çizmeniz gerekir.

Pratikte bu formül diğerlerinden daha sık kullanılır.

Her iki tarafta ve köşede

Bu formül, önceki gibi, çoğu üçgen için uygundur ve anlamında, bir üçgenin alanını ve yüksekliğini bulma formülünün bir sonucudur. Yani söz konusu formül bir önceki formülden kolaylıkla türetilebilir. Formülasyonu şuna benzer:

S = ½*sinO*A*B,

burada A ve B üçgenin kenarlarıdır ve O, A ve B kenarları arasındaki açıdır.

Bir açının sinüsünün, seçkin Sovyet matematikçisi V. M. Bradis'in adını taşıyan özel bir tabloda görülebileceğini hatırlayalım.

Şimdi yalnızca istisnai üçgen türleri için uygun olan diğer formüllere geçelim.

Dik üçgenin alanı

Bir üçgende yüksekliği bulma ihtiyacını içeren evrensel formüle ek olarak, dik açı içeren bir üçgenin alanı bacaklarından bulunabilir.

Böylece, dik açı içeren bir üçgenin alanı bacaklarının çarpımının yarısı kadardır veya:

burada a ve b bir dik üçgenin bacaklarıdır.

Düzenli üçgen

Bu tür geometrik şekiller, alanının yalnızca bir tarafının belirtilen değeriyle bulunabilmesi bakımından farklılık gösterir (çünkü normal bir üçgenin tüm kenarları eşittir). Dolayısıyla, "kenarlar eşit olduğunda bir üçgenin alanını bulma" göreviyle karşı karşıya kaldığınızda aşağıdaki formülü kullanmanız gerekir:

S = A 2 *√3 / 4,

burada A eşkenar üçgenin kenarıdır.

Heron'un formülü

Bir üçgenin alanını bulmak için son seçenek Heron formülüdür. Bunu kullanabilmek için şeklin üç tarafının uzunluklarını bilmeniz gerekir. Heron'un formülü şöyle görünür:

S = √p·(p - a)·(p - b)·(p - c),

burada a, b ve c belirli bir üçgenin kenarlarıdır.

Bazen problem şu şekilde verilir: "Düzgün bir üçgenin alanı, kenarının uzunluğunu bulmaktır." İÇİNDE bu durumda Düzenli bir üçgenin alanını bulmak için zaten bildiğimiz formülü kullanmamız ve bundan kenarın (veya karesinin) değerini çıkarmamız gerekiyor:

bir 2 = 4S / √3.

Sınav görevleri

Matematikte GIA problemlerinde birçok formül bulunmaktadır. Ek olarak, çoğu zaman kareli kağıt üzerinde bir üçgenin alanını bulmak gerekir.

Bu durumda, şeklin kenarlarından birinin yüksekliğini çizmek, hücrelerden uzunluğunu belirlemek ve alanı bulmak için evrensel formülü kullanmak en uygunudur:

Yani makalede sunulan formülleri inceledikten sonra herhangi bir üçgenin alanını bulmakta herhangi bir sorun yaşamayacaksınız.