hakkında konuşmak mantıklı cebirsel kesirler ile işlemler. Cebirsel kesirler ile tanımlanır aşağıdaki eylemler: toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve yükseltme doğal derece. Ayrıca, tüm bu eylemler, yürütmelerinin bir sonucu olarak cebirsel bir kesir elde edilmesi anlamında kapalıdır. Her birini sırayla analiz edelim.

Evet, cebirsel kesirlerle yapılan işlemlerin, sıradan kesirlerle ilgili işlemlerin genellemeleri olduğunu hemen belirtmekte fayda var. Bu nedenle, karşılık gelen kurallar neredeyse kelimesi kelimesine toplama ve çıkarma, çarpma, bölme ve üs alma yapma kurallarıyla örtüşür. sıradan kesirler.

Sayfa gezintisi.

Cebirsel kesirlerin eklenmesi

Herhangi bir cebirsel kesrin eklenmesi, aşağıdaki iki durumdan birine uyar: ilkinde, aynı paydalar, ikincisinde - farklı olanlarla. Aynı paydalara sahip kesirleri toplama kuralıyla başlayalım.

Aynı paydalara sahip cebirsel kesirler eklemek için, payları toplamanız ve paydayı aynı bırakmanız gerekir.

Sesli kural, cebirsel kesirler eklemekten paylarda bulunan polinomları eklemeye geçmenizi sağlar. Örneğin, .

Cebirsel kesirler eklemek için farklı paydalar aşağıdaki kurala göre hareket etmelisiniz: onları ortak payda ve ardından elde edilen kesirleri aynı paydalarla ekleyin.

Örneğin, cebirsel kesirleri eklerken ve önce ortak bir paydaya getirilmeleri gerekir, sonuç olarak şu şekli alırlar. ve sırasıyla, aynı paydalara sahip bu kesirlerin eklenmesi gerçekleştirilir: .

Çıkarma

Sonraki adım, cebirsel kesirlerin çıkarılması, toplama ile aynı şekilde gerçekleştirilir. Orijinal cebirsel kesirlerin paydaları aynıysa, o zaman paylardaki polinomları çıkarmanız ve paydayı aynı bırakmanız yeterlidir. Paydalar farklıysa, önce ortak paydaya indirgeme yapılır, ardından aynı paydalara sahip elde edilen kesirler çıkarılır.

Örnekler verelim.

Cebirsel kesirleri çıkaralım ve paydaları aynıdır, bu nedenle . Elde edilen cebirsel kesir daha da azaltılabilir: .

Şimdi kesri kesirden çıkarın. Bunlar farklı paydalara sahip cebirsel kesirler, bu nedenle, önce onları ortak bir paydaya getiriyoruz, bu durumda 5 x (x-1) , elimizde ve . Çıkarmayı yapmak için kalır:

Cebirsel kesirlerin çarpımı

Cebirsel kesirler çarpılabilir. Bu eylem, aşağıdaki kurala göre sıradan kesirlerin çarpılmasına benzer şekilde gerçekleştirilir: cebirsel kesirleri çarpmak için payları ayrı ayrı ve paydaları ayrı ayrı çarpmanız gerekir.

Bir örnek alalım. Cebirsel bir kesri bir kesir ile çarpın. Belirtilen kurala göre, . Elde edilen kesri dönüştürmek için kalır cebirsel kesir, bunun için, bu durumda, bir tek terimli ile bir polinomun çarpmasını yapmanız gerekir (ve Genel dava- polinomların çarpımı) pay ve paydada: .

Cebirsel kesirleri çarpmadan önce, paylarında ve paydalarında bulunan polinomları çarpanlarına ayırmanın istendiğini belirtmekte fayda var. Bu, ortaya çıkan fraksiyonu azaltma olasılığından kaynaklanmaktadır. Örneğin,
.

Bu eylem makalede daha ayrıntılı olarak tartışılmaktadır.

Bölünme

Cebirsel kesirler ile işlemlere geçiyoruz. Sırada cebirsel kesirlerin bölünmesi var. Aşağıdaki kural, cebirsel kesirlerin bölünmesini çarpmaya indirger: bir cebirsel kesri diğerine bölmek için, ilk kesri ikincinin tersiyle çarpmanız gerekir.

Verilen bir kesrin tersi olan bir cebirsel kesir, payı ve paydası yeniden düzenlenmiş bir kesirdir. Başka bir deyişle, iki cebirsel kesir, çarpımları aynı şekilde bire eşitse (analoji ile) karşılıklı olarak ters olarak kabul edilir.

Bir örnek alalım. bölme işlemini yapalım . Bölenin tersi dir. Böylece, .

Daha detaylı bilgi için bir önceki paragrafta cebirsel kesirlerde çarpma ve bölme işleminde bahsedilen makaleye bakınız.

Cebirsel kesri bir kuvvete yükseltmek

Son olarak, cebirsel kesirlerle son eyleme geçiyoruz - doğal bir güce yükseltiyoruz. , cebirsel kesirlerin çarpımını nasıl tanımladığımızın yanı sıra, cebirsel bir kesri bir kuvvete yükseltmek için kuralı yazmamıza izin verir: payı ayrı ayrı bu güce ve paydayı ayrı ayrı yükseltmeniz gerekir.

Bu eylemin bir örneğini gösterelim. Cebirsel kesri ikinci kuvvete yükseltelim. Yukarıdaki kurala göre, . Paydaki monomiali bir güce yükseltmek ve ayrıca paydadaki polinomu formun cebirsel bir kısmını verecek bir güce yükseltmek için kalır. .

Diğer karakteristik örneklerin çözümü, bir cebirsel kesri bir kuvvete yükselten makalede gösterilmiştir.

Bibliyografya.

• Cebir: ders kitabı 8 hücre için. Genel Eğitim kurumlar / [Y. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - 16. baskı. - E. : Eğitim, 2008. - 271 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Cebir. 8. sınıf. 14:00 Bölüm 1. Öğrenci ders kitabı Eğitim Kurumları/ A.G. Mordkovich. - 11. baskı, silindi. - E.: Mnemozina, 2009. - 215 s.: hasta. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara başvuranlar için bir kılavuz): Proc. ödenek.- M.; Daha yüksek okul, 1984.-351 s., hasta.

Akıllı öğrenciler tarafından telif hakkı

Tüm hakları Saklıdır.
Telif hakkı yasasıyla korunmaktadır. dahil olmak üzere www.web sitesinin hiçbir parçası iç malzemeler ve görünüm, telif hakkı sahibinin önceden yazılı izni olmaksızın herhangi bir biçimde çoğaltılamaz veya kullanılamaz.

Hedefler: Sıradan kesirleri çarpma kuralını tekrarlayın ve herhangi bir kesri çarpmak için bu kuralın nasıl uygulanacağını öğretin; Kesirleri azaltma becerilerini ve derecelerin özelliklerini aynı temellerle alıştırmalar sırasında pekiştirmek.

Dersler sırasında

I. Kontrol çalışmasının analizi.

1. Kontrol çalışmasında öğrencilerin yaptığı hataları belirtiniz.

2. Öğrenciler için zorluklara neden olan görevleri çözün.

II. sözlü çalışma

1. Derecelerin özelliklerini aynı tabanlarla tekrarlayın:

2. Tabanlı bir derece olarak sunun

Bir kesrin temel özelliğini tekrarlayın ve bu özelliği kesirleri azaltmak için kullanın.

III. Yeni malzeme açıklamaları.

1. eşitliğin olduğunu ispatlayalım

değişkenlerin herhangi bir kabul edilebilir değeri için, yani b≠0 ve d≠0 için geçerlidir.

2. Kural: Bir kesri bir kesir ile çarpmak için, paylarını çarpmanız ve paydalarını çarpmanız ve ilk ürünü pay olarak, ikinci ürünü de kesrin paydası olarak yazmanız gerekir.

3. Ders kitabının 26-27. sayfalarındaki 1, 2, 3 ve 4 numaralı örneklerin çözümünü düşünün.

4. Kesirleri çarpma kuralı, üç veya daha fazla faktörün çarpımı için geçerlidir.

Örneğin:

1. Çözün No. 108 (sözlü olarak).

2. 109'u (a, c, e) tahtada ve defterlerde çözün.

Öğrenciler kendileri karar verir, ardından çözüm kontrol edilir.

3. Çözün No. 112 (c; d; f).

Ödev: çalışma maddesi 5 (1-4); 109'u çöz (b; d; f),

No. 112 (a; b; e), No. 118 (a; c; e), No. 119 (b; d), No. 120 (a; c).

Ders 2

Amaçlar: Bir kesri bir kuvvete yükseltmek için bir kural türetmek ve öğrencilere bu kuralı alıştırma yaparken uygulamalarını öğretmek; kesirlerin çarpma kuralını ve kesirleri azaltma becerilerini pekiştirmek, öğrencilerin mantıksal düşünmesini geliştirmek.

Dersler sırasında

I. Sözlü çalışma.

4. Kontrol edin ödev dizüstü bilgisayarlarda seçici olarak.

II. Yeni materyal öğrenmek.

1. Bir kesri bir kuvvete yükseltme sorununu düşünün. bunu kanıtlayalım

2. Kural. Bir kesri bir kuvvete yükseltmek için, pay ve paydayı bu kuvvete yükseltmeniz ve ilk sonucu paya, ikinci sonucu kesrin paydasına yazmanız gerekir.

3. Ders kitabının 28. sayfasındaki örnek 5'in çözümünü analiz edin:

III. Egzersiz yapmak.

1. 115 sayısını sözlü olarak çözün.

2. Yerinde doğrulama veya yorum yaparak No. 116'yı kendi başınıza çözün.

IV. Bağımsız çalışma (10 dak).

V. Dersin özeti.

1. Kesirleri çarpmak için bir kural oluşturun.

2. Bir kesri bir kuvvete yükseltmek için bir kural oluşturun.

Ödev: 5. paragrafın kurallarını öğrenin; 117, No. 121 (a; d), No. 122 (a; c), No. 123 (a), No. 124, No. 130 (a; b) çöz.

Açıkçası, güçleri olan sayılar diğer nicelikler gibi toplanabilir. , işaretleri ile tek tek ekleyerek.

Yani a 3 ve b 2'nin toplamı a 3 + b 2'dir.
a 3 - b n ve h 5 -d 4'ün toplamı a 3 - b n + h 5 - d 4'tür.

oranlar aynı değişkenlerin aynı güçleri eklenebilir veya çıkarılabilir.

Yani 2a 2 ve 3a 2'nin toplamı 5a 2'dir.

Ayrıca iki a karesi veya üç a karesi veya beş a karesi alırsak açıktır.

Ama derece çeşitli değişkenler ve çeşitli dereceler özdeş değişkenler, işaretlerine eklenerek eklenmelidir.

Yani a 2 ve 3'ün toplamı, 2 + a 3'ün toplamıdır.

a'nın karesi ve a'nın küpü, a'nın karesinin iki katı değil, a'nın küpünün iki katı olduğu açıktır.

a 3 b n ve 3a 5 b 6'nın toplamı a 3 b n + 3a 5 b 6'dır.

Çıkarma Yetkiler, çıkarma işaretlerinin buna göre değiştirilmesi gerektiği dışında, ekleme ile aynı şekilde gerçekleştirilir.

Veya:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Güç çarpımı

Kuvvetli sayılar, diğer nicelikler gibi, aralarında çarpma işareti olsun veya olmasın arka arkaya yazılarak çarpılabilir.

Yani a 3'ü b 2 ile çarpmanın sonucu a 3 b 2 veya aaabb'dir.

Veya:
x -3 ⋅ bir m = bir m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ bir 3 b 2 y = bir 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Son örnekteki sonuç, aynı değişkenler eklenerek sıralanabilir.
İfade şu şekilde olacaktır: a 5 b 5 y 3 .

Birkaç sayıyı (değişkenleri) kuvvetlerle karşılaştırarak, bunlardan herhangi ikisi çarpılırsa sonucun, gücü şuna eşit olan bir sayı (değişken) olduğunu görebiliriz. toplam terimlerin dereceleri.

Yani, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Burada 5, terimlerin kuvvetlerinin toplamı olan 2 + 3'e eşit olan çarpma sonucunun kuvvetidir.

Yani, bir n .a m = bir m+n .

Bir n için, a, n'nin kuvveti kadar çarpan olarak alınır;

Ve a m , m derecesinin eşit olduğu kadar bir faktör olarak alınır;

Böyle, Üsler toplanarak aynı tabanlara sahip kuvvetler çarpılabilir.

Yani, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Ve x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Veya:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

(x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y) ile çarpın.
Cevap: x 4 - y4.
Çarpın (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Bu kural, üsleri şu olan sayılar için de geçerlidir: olumsuz.

1. Yani, a -2 .a -3 = a -5 . Bu (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaa olarak yazılabilir.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = bir m-n .

a + b a - b ile çarpılırsa sonuç a 2 - b 2 olur: yani

İki sayının toplamı veya farkının çarpılmasının sonucu, karelerinin toplamı veya farkına eşittir.

İki sayının toplamı ve farkı şuna yükseltilirse Meydan, sonuç bu sayıların toplamına veya farkına eşit olacaktır. dördüncü derece.

Yani, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

yetkiler ayrılığı

Kuvvet sayıları da diğer sayılar gibi, bölenden çıkarılarak veya kesir biçiminde yerleştirilerek bölünebilir.

Yani a 3 b 2 bölü b 2 a 3 .

Veya:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

5 bölü 3 yazmak $\frac(a^5)(a^3)$ gibi görünür. Ama bu 2'ye eşittir. Bir dizi numarada
a+4, a +3, a +2, a+1, a 0, a-1, a-2, a-3, a-4.
herhangi bir sayı diğerine bölünebilir ve üs eşittir fark bölünebilir sayıların göstergeleri

Aynı tabana sahip kuvvetleri bölerken üsleri çıkarılır..

Yani, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Yani, $\frac(yyy)(yy) = y$.

Ve bir n+1:a = bir n+1-1 = bir n . Yani, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Veya:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Kural aynı zamanda şu numaralara sahip sayılar için de geçerlidir: olumsuz derece değerleri.
-5'i -3'e bölmenin sonucu -2'dir.
Ayrıca, $\frac(1)(aaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 veya $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Cebirde bu tür işlemler çok yaygın olarak kullanıldığından, kuvvetlerin çarpılması ve bölünmesinde çok iyi ustalaşmak gerekir.

Kuvvetli sayılar içeren kesirlerle örnek çözme örnekleri

1. $\frac(5a^4)(3a^2)$ içindeki üsleri azaltın Cevap: $\frac(5a^2)(3)$.

2. $\frac(6x^6)(3x^5)$ içindeki üsleri azaltın. Cevap: $\frac(2x)(1)$ veya 2x.

3. Üsleri a 2 / a 3 ve a -3 / a -4'ü azaltın ve ortak bir paydaya getirin.
a 2 .a -4 bir -2 birinci paydır.
a 3 .a -3, ikinci pay olan 0 = 1'dir.
a 3 .a -4, ortak pay olan -1'dir.
Sadeleştirmeden sonra: a -2 /a -1 ve 1/a -1 .

4. 2a 4 /5a 3 ve 2 /a 4 üslerini küçültün ve ortak bir paydaya getirin.
Cevap: 2a 3 / 5a 7 ve 5a 5 / 5a 7 veya 2a 3 / 5a 2 ve 5/5a 2.

5. (a 3 + b)/b 4'ü (a - b)/3 ile çarpın.

6. (a 5 + 1)/x 2'yi (b 2 - 1)/(x + a) ile çarpın.

7. b 4 /a -2'yi h -3 /x ve a n /y -3 ile çarpın.

8. 4 /y 3'ü 3 /y 2'ye bölün. Cevap: a/y.

9. (h 3 - 1)/d 4'ü (d n + 1)/h'ye bölün.

Güç formülleri denklemleri ve eşitsizlikleri çözmede karmaşık ifadeleri azaltma ve basitleştirme sürecinde kullanılır.

Sayı c bir n-bir sayının kuvveti a ne zaman:

Dereceli işlemler.

1. Dereceleri aynı tabanla çarparak göstergeleri toplanır:

bir mbir n = bir m + n .

2. Aynı tabana sahip derecelerin bölünmesinde göstergeleri çıkarılır:

3. 2 veya daha fazla faktörün çarpımının derecesi, şu faktörlerin derecelerinin çarpımına eşittir:

(abc…) n = bir n b n c n …

4. Bir kesrin derecesi, temettü ve bölenin derecelerinin oranına eşittir:

(a/b) n = bir n / bn .

5. Bir kuvveti bir kuvvete yükselterek, üsler çarpılır:

(am) n = bir mn .

Yukarıdaki her formül, soldan sağa ve tam tersi yönde doğrudur.

örneğin. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Köklerle işlemler.

1. Birkaç faktörün ürününün kökü, bu faktörlerin köklerinin ürününe eşittir:

2. Oranın kökü, temettü oranına ve köklerin bölenine eşittir:

3. Bir kökü bir güce yükseltirken, kök sayısını bu güce yükseltmek yeterlidir:

4. Kökün derecesini arttırırsak n bir kez ve aynı anda yükseltmek n th gücü bir kök sayıdır, o zaman kökün değeri değişmez:

5. Kökün derecesini azaltırsak n aynı anda kök n radikal sayıdan th derece, o zaman kökün değeri değişmeyecek:

Negatif üslü derece. Pozitif olmayan (tamsayı) bir üslü bir sayının derecesi, bir üs eşit olan aynı sayının derecesine bölünmesiyle tanımlanır. mutlak değer pozitif olmayan gösterge:

formül bir m:bir n = bir m - n sadece için kullanılamaz m> n, ama aynı zamanda m< n.

örneğin. a4:a 7 = bir 4 - 7 = bir -3.

formüle bir m:bir n = bir m - n adil oldu m=n, sıfır derecenin varlığına ihtiyacınız var.

Sıfır üslü derece. Sıfır üssü ile sıfır olmayan herhangi bir sayının gücü bire eşittir.

örneğin. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Kesirli üslü derece. Gerçek bir sayı yükseltmek için a bir dereceye kadar ay/n, kökü çıkarmanız gerekiyor n derece m bu sayının kuvveti a.

Konuyla ilgili ders: "Aynı ve farklı üslü kuvvetleri çarpma ve bölme kuralları. Örnekler"

Ilave malzemeler
Değerli kullanıcılar, yorumlarınızı, geri bildirimlerinizi, önerilerinizi bırakmayı unutmayın. Tüm materyaller bir antivirüs programı tarafından kontrol edilir.

7. sınıf için "Integral" çevrimiçi mağazasında öğretim yardımcıları ve simülatörler
Yu.N. ders kitabı için el kitabı. Makarycheva ders kitabı A.G. Mordkoviç

Dersin amacı: bir sayının kuvvetleriyle işlemleri nasıl yapacağınızı öğrenin.

Başlamak için, "bir sayının gücü" kavramını hatırlayalım. $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ gibi bir ifade $a^n$ olarak gösterilebilir.

Bunun tersi de geçerlidir: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

Bu eşitliğe "derecenin bir ürün olarak kaydedilmesi" denir. Güçleri nasıl çoğaltacağımızı ve böleceğimizi belirlememize yardımcı olacak.
Unutma:
a- derecenin temeli.
n- üs.
Eğer bir n=1, bu sayı anlamına gelir a bir kez alınır ve sırasıyla: $a^n= 1$.
Eğer bir n=0, sonra $a^0= 1$.

Bunun neden olduğunu, güçleri çarpma ve bölme kurallarını ne zaman öğrendiğimizi öğrenebiliriz.

çarpma kuralları

Misal.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Bu özellik, bir sayıyı büyük bir güce yükseltirken işi basitleştirmek için kullanışlıdır.
Misal.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Kuvvetler farklı bir tabanla fakat aynı üsle çarpılırsa.
$a^n * b^n$'a güçleri bir ürün olarak yazarız: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b )_ (m )$.
Faktörleri değiştirir ve elde edilen çiftleri sayarsak, şunu elde ederiz: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

Yani $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Misal.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

bölme kuralları

Bu yüzden gerekli $\frac(a^n)(a^m)$, nerede n>m.

Dereceleri kesir olarak yazıyoruz:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

Şimdi kesri azaltalım.

Görünüşe göre: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
Anlamına geliyor, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

Bu özellik, bir sayıyı sıfırın gücüne yükselterek durumu açıklamaya yardımcı olacaktır. varsayalım ki n=m, sonra $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

Örnekler
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

b) Derecenin tabanları farklıdır, göstergeler aynıdır.
Diyelim ki $\frac(a^n)( b^n)$'a ihtiyacınız var. Sayıların kuvvetlerini kesir olarak yazıyoruz:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

Misal.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.