Bir ifade, bir addan daha karmaşık bir oluşumdur. İfadeleri daha basit parçalara ayırırken, her zaman bir veya başka bir isim alırız. Diyelim ki "Güneş bir yıldızdır" ifadesi, parçaları olarak "Güneş" ve "yıldız" adlarını içerir.

söyleyerek - ifade ettiği anlam (içerik) ile birlikte ele alındığında, doğru veya yanlış olan dilbilgisi açısından doğru bir cümle.

Sözce kavramı, ilk kavramlardan biridir. Anahtar kavramlar modern mantık. Bu şekilde izin vermiyor kesin tanım, çeşitli bölümlerinde eşit olarak uygulanabilir.

Bir ifade, yaptığı açıklama gerçek duruma karşılık geliyorsa doğru, buna karşılık gelmiyorsa yanlış kabul edilir. "Doğru" ve "yanlış", "önermelerin doğruluk değerleri" olarak adlandırılır.

Bireysel ifadelerden Farklı yollar yeni cümleler oluşturabilirsiniz. Örneğin, “Rüzgar esiyor” ve “Yağmur yağıyor” ifadelerinden “Rüzgar esiyor ve yağmur yağıyor”, “Ya rüzgar esiyor ya da yağmur yağıyor”, “Eğer yağmur yağıyor, sonra rüzgar esiyor” vb.

Açıklama denir basit, parçaları olarak başka ifadeler içermiyorsa.

Açıklama denir karmaşık diğer daha basit ifadelerden mantıksal bağlaçlar yardımıyla elde edilirse.

en çok düşünün önemli yollar bina karmaşık ifadeler.

olumsuz ifade genellikle "değil", "bu doğru değil" kelimeleri ile ifade edilen orijinal ifade ve olumsuzlamadan oluşur. Dolayısıyla olumsuz bir önerme bileşik bir önermedir: kendi parçası olarak ondan ayrı bir önerme içerir. Örneğin, "10 çift sayıdır" ifadesinin olumsuzlanması "10 çift sayı değildir" ifadesidir (veya: "10'un çift sayı olduğu doğru değildir").

İfadeleri harflerle gösterelim A, B, C,... Bir ifadenin olumsuzlanması kavramının tam anlamı şu koşulla verilir: eğer ifade ANCAK doğrudur, olumsuzlaması yanlıştır ve eğer ANCAK yanlış, olumsuzlaması doğrudur. Örneğin, "1 pozitif bir tam sayıdır" ifadesi doğru olduğundan, "1 bir tam sayı değildir" ifadesi doğru değildir. pozitif sayı" yanlıştır ve "1 asal sayıdır" yanlış olduğundan, "1 asal sayı değildir" olumsuzlaması doğrudur.

İki ifadeyi "ve" kelimesiyle birleştirmek, adı verilen bir bileşik ifade verir. bağlaç. Bu şekilde bağlanan ifadelere "bağlaç terimleri" denir.

Örneğin, “Bugün sıcak” ve “Dün soğuktu” ifadeleri bu şekilde birleştirilirse “Bugün sıcak, dün soğuktu” bağlacı elde edilir.

Bir bağlaç, yalnızca içindeki her iki ifade de doğruysa doğrudur; terimlerinden en az biri yanlışsa, tüm bağlaç yanlıştır.

Gündelik dilde, iki ifade, içerik veya anlam bakımından ilişkili olduklarında "ve" birliği ile bağlanır. Bu bağlantının doğası tam olarak açık değildir, ancak "O paltoya gitti, ben de üniversiteye gittim" bağlacını mantıklı ve doğru ya da yanlış olabilecek bir ifade olarak kabul etmeyeceğimiz açıktır. “2 bir asal sayıdır” ve “Moskova Büyük şehir" doğrudur, "2 bir asal sayıdır ve Moskova büyük bir şehirdir" bağlaçlarını doğru olarak kabul etmeye meyilli değiliz, çünkü bu ifadelerin bileşenleri anlam bakımından ilişkili değildir. Bağlaç ve diğer mantıksal bağlaçların anlamını sadeleştiren ve bunun için muğlak "ifadelerin anlam bağı" kavramını terk eden mantık, bu bağlaçların anlamını hem daha geniş hem de daha spesifik hale getirir.

İki cümleyi "veya" kelimesiyle bağlamak, ayrılma bu bildiriler. Ayrımı oluşturan ifadelere "ayırma üyeleri" denir.

Günlük dilde "veya" kelimesinin iki farklı anlamı vardır. Bazen "biri veya diğeri veya her ikisi" ve bazen "biri veya diğeri, ancak ikisi birlikte değil" anlamına gelir. Örneğin, "Bu sezon gitmek istiyorum" ifadesi maça Kızı” veya “Aida”, onera'ya çift ziyaret imkanı sağlar. "Moskova'da veya Yaroslavl Üniversitesi'nde okuyor" ifadesinden bahsi geçen kişinin bu üniversitelerden sadece birinde öğrenim gördüğü anlaşılmaktadır.

"veya" nın ilk anlamı denir münhasır olmayan. Bu anlamda ele alındığında, iki ifadenin ayrılması, her ikisi de doğru olsun ya da olmasın, bu ifadelerden en az birinin doğru olduğu anlamına gelir. İkincisinde çekildi özel veya dar anlamda, iki önermenin ayrılması, önermelerden birinin doğru, diğerinin yanlış olduğunu belirtir.

Dışlayıcı olmayan bir ayrım, ifadelerinden en az biri doğru olduğunda doğrudur ve yalnızca her iki terimi de yanlış olduğunda yanlıştır.

Dışlayıcı bir ayrım, terimlerinden yalnızca biri doğru olduğunda doğrudur ve her iki terimi de doğru veya her ikisi de yanlış olduğunda yanlıştır.

Mantık ve matematikte "veya" kelimesi neredeyse her zaman münhasır olmayan bir anlamda kullanılır.

Koşullu ifade - genellikle "eğer ..., o zaman ..." bağlantısı kullanılarak formüle edilen ve o bir olayı, durumu vb. belirleyen karmaşık bir ifade. şu veya bu anlamda diğerinin temeli veya koşuludur.

Örneğin: “Ateş varsa duman vardır”, “Bir sayı 9'a bölünüyorsa 3'e bölünür” vb.

Koşullu bir ifade, iki basit ifadeden oluşur. "Eğer" kelimesinin başına gelene denir. Yapı temeli, veya öncül(önceki), "o" kelimesinden sonra gelen ifadeye denir sonuçlar, veya sonuçsal(sonraki).

Koşullu bir önerme öne sürerek, her şeyden önce, temelinde söylenenin gerçekleşemeyeceğini, ancak sonuçta söylenenin yok olduğunu kastediyoruz. Başka bir deyişle, öncülün doğru, ardından gelenin yanlış olması mümkün değildir.

Koşullu bir ifade açısından, yeterli ve gerekli koşullar kavramları genellikle tanımlanır: öncül (taban), sonuç (sonuç) için yeterli bir koşuldur ve sonuç, gerekli kondisyonöncül için. Örneğin, "Eğer seçim rasyonel ise, mevcut en iyi alternatif seçilmiştir" koşullu ifadesinin doğruluğu, rasyonelliğin mevcut en iyi seçeneği seçmek için yeterli bir neden olduğu ve böyle bir seçeneğin seçilmesinin onun için gerekli bir koşul olduğu anlamına gelir. rasyonalite.

Koşullu bir ifadenin tipik bir işlevi, bir ifadeyi başka bir ifadeye atıfta bulunarak doğrulamaktır. Örneğin, gümüşün elektriksel olarak iletken olduğu gerçeği, onun bir metal olduğu gerçeğine atıfta bulunularak haklı çıkarılabilir: "Gümüş bir metal ise, elektriksel olarak iletkendir."

Koşullu ifade tarafından ifade edilen gerekçelendirme ve gerekçelendirme (gerekçeler ve sonuçlar) arasındaki bağlantıyı şu şekilde karakterize etmek zordur. Genel görünüm ve yalnızca bazen doğası nispeten açıktır. Bu bağlantı, ilk olarak, öncüller ile doğru sonucun vardığı sonuç arasında gerçekleşen mantıksal sonuç bağlantısı olabilir (“Eğer yaşayan tüm çok hücreli canlılar ölümlüyse ve denizanası böyle bir yaratıksa, o zaman ölümlüdür”); ikincisi, doğa kanunuyla (“Vücut sürtünmeye maruz kalırsa ısınmaya başlar”); üçüncü olarak, nedenselliğe göre (“Yeni aydaki Ay yörüngesinin düğüm noktasındaysa, Güneş tutulması»); dördüncüsü, sosyal düzenlilik, kural, gelenek vb. (“Toplum değişirse kişi de değişir”, “Tavsiye makul ise yerine getirilmelidir”).

Koşullu önerme tarafından ifade edilen bağlantı, genellikle, sonucun zorunlu olarak akıldan "sonuçlandığı" ve bazı genel yasaların olduğu ve hangisini formüle edebildiğimize göre, sonucu mantıksal olarak akıldan çıkarabileceğimiz inancıyla bağlantılıdır.

Örneğin, "Bizmut bir metal ise plastiktir" koşullu ifadesi, olduğu gibi, "Burada metaller plastiktir" genel yasasını ima eder, bu da bu ifadenin sonucunu öncülün mantıksal bir sonucu yapar.

Hem sıradan dilde hem de bilim dilinde, bir koşullu ifade, gerekçelendirme işlevine ek olarak, bir dizi başka görevi de yerine getirebilir: herhangi bir zımni genel yasa veya kuralla ilgili olmayan bir koşulu formüle etmek (“Eğer İstiyorum, pelerinimi keseceğim”); herhangi bir sırayı düzeltin (“Geçen yaz kuruysa, bu yıl yağmurludur”); inanmazlığı tuhaf bir biçimde ifade etmek (“Bu sorunu çözerseniz, Fermat'ın son teoremini ispatlayacağım”); muhalefet (“Mürver bahçede yetişirse, o zaman Kiev'de bir amca yaşar”) vb. Koşullu bir ifadenin işlevlerinin çokluğu ve heterojenliği, analizini önemli ölçüde karmaşıklaştırır.

Koşullu bir ifadenin kullanımı, belirli psikolojik faktörlerle ilişkilidir. Bu nedenle, genellikle böyle bir ifadeyi, ancak onun öncülü ve sonucunun doğru olup olmadığını kesin olarak bilmiyorsak formüle ederiz. Aksi takdirde kullanımı doğal değildir ("Pamuk yünü metal ise elektrik iletkenidir").

şartlı çok bulur geniş uygulama tüm akıl yürütme alanlarında. Mantıkta, genellikle ile temsil edilir dolaylı ifade, veya etkileri. Aynı zamanda mantık, “eğer ..., o zaman ...” kullanımını netleştirir, sistemleştirir ve basitleştirir, onu psikolojik faktörlerin etkisinden kurtarır.

Mantık, özellikle, bağlama bağlı olarak, koşullu bir ifadenin özelliği olan zemin ve sonuç arasındaki bağlantının, yalnızca “eğer ... ...”, aynı zamanda diğer dil araçları. Örneğin, “Su sıvı olduğu için basıncı her yöne eşit olarak aktarır”, “Hamuru metal olmasa da plastiktir”, “Ağaç metal olsaydı elektriği iletirdi” vb. Bu ve benzeri ifadeler, mantık dilinde ima yoluyla temsil edilir, ancak bunlarda “eğer ... o zaman ...” kullanımı tamamen doğal olmaz.

Çıkarımı öne sürerken, onun temelinin gerçekleşmesinin ve sonucunun var olmamasının olamayacağını iddia ediyoruz. Başka bir deyişle, bir ima, yalnızca neden doğruysa ve sonuç yanlışsa yanlıştır.

Bu tanım, önceki bağlaç tanımları gibi, her önermenin ya doğru ya da yanlış olduğunu ve bir bileşik önermenin doğruluk değerinin yalnızca bileşen önermelerinin doğruluk değerlerine ve bunların bağlanma şekline bağlı olduğunu varsayar.

Bir ima, hem nedeni hem de sonucu doğru veya yanlış olduğunda doğrudur; nedeni yanlış ve sonucu doğruysa doğrudur. Yalnızca dördüncü durumda, neden doğru ve sonuç yanlış olduğunda, ima yanlış olur.

İma, bu ifadeleri ima etmez ANCAK ve AT içerik açısından bir şekilde birbiriyle ilişkilidir. Gerçek olması durumunda AT"eğer ANCAK, sonra AT" doğru olup olmadığına bakılmaksızın ANCAK doğru veya yanlış ve anlam olarak bağlantılıdır AT ya da değil.

Örneğin, şu ifadeler doğru kabul edilir: “Güneş'te yaşam varsa, o zaman iki kez iki dört dört eder”, “Volga bir gölse, o zaman Tokyo büyük bir köydür” vb. koşullu aynı zamanda doğrudur ANCAK yanlış ve yine kayıtsız, doğru AT ya da değil ve içerikle ilgili ANCAK ya da değil. Aşağıdaki ifadeler doğrudur: “Güneş bir küp ise, o zaman Dünya bir üçgendir”, “İki iki iki beşe eşittir, o zaman Tokyo küçük bir şehirdir” vb.

Sıradan akıl yürütmede, tüm bu ifadelerin anlamlı ve hatta daha az doğru olarak kabul edilmesi olası değildir.

Çıkarım birçok amaç için yararlı olsa da, koşullu ilişkilendirmenin olağan anlayışına tam olarak uymaz. Çıkarım, koşullu ifadenin mantıksal davranışının birçok önemli özelliğini kapsar, ancak aynı zamanda onun yeterince yeterli bir açıklaması değildir.

Son yarım yüzyılda, ima teorisini reforme etmek için güçlü girişimlerde bulunuldu. Aynı zamanda, açıklanan ima kavramını terk etmek değil, bununla birlikte, yalnızca ifadelerin doğruluk değerlerini değil, aynı zamanda içerikteki bağlantılarını da dikkate alan başka bir kavramı tanıtmak meselesiydi.

ima ile yakından ilgili denklik, bazen "çifte ima" olarak adlandırılır.

Denklik, Lee V'nin ifadelerinden oluşan ve iki sonuca ayrıştırılan karmaşık bir "L ancak ve ancak B ise" ifadesidir: "eğer ANCAK, o zaman B" ve "eğer B ise, o zaman ANCAK".Örneğin: "Bir üçgen ancak ve ancak eşkenar ise eşkenardır." "Eşdeğerlik" terimi ayrıca, bu karmaşık ifadenin iki ifadeden oluşturulduğu "..., ancak ve ancak ..." bağlantısını da belirtir. Bu amaçla “eğer ve ancak” yerine “eğer ve ancak”, “eğer ve ancak” vb. kullanılabilir.

Mantıksal bağlaçlar doğru ve yanlış terimleriyle tanımlanırsa, bir eşdeğerlik ancak ve ancak onu oluşturan ifadelerin her ikisi de aynı doğruluk değerine sahipse doğrudur, yani. ikisi de doğru veya ikisi de yanlış olduğunda. Buna göre, ifadelerinden biri doğru, diğeri yanlış olduğunda bir eşdeğerlik yanlıştır.

önerme mantığı önerme mantığı da denir - mantıksal işlemler kullanarak basit veya temel ifadelerden oluşturulan karmaşık ifadelerin mantıksal biçimlerini inceleyen bir matematik ve mantık dalı.

Önermelerin mantığı, anlamlı önerme yükünden soyutlanır ve onların doğruluk değerini, yani önermenin doğru mu yanlış mı olduğunu inceler.

Yukarıdaki şekil, Yalancı Paradoksu olarak bilinen bir olgunun gösterimidir. Aynı zamanda, projenin yazarının görüşüne göre, bu tür paradokslar ancak siyasi sorunlardan arınmış olmayan, birinin a priori bir yalancı olarak damgalanabileceği ortamlarda mümkündür. Doğal katmanlı dünyada "doğruluk" veya "yanlışlık" konusu yalnızca ayrı ayrı alınan ifadelerle değerlendirilir. . Ve bu derste daha sonra, bu konudaki birçok açıklamayı değerlendirme fırsatı (ve sonra doğru cevaplara bakın). Daha basit olanların mantıksal işlem işaretleri ile birbirine bağlandığı karmaşık ifadeler dahil. Ama önce bu işlemleri önermelerin kendilerinde ele alalım.

Önerme mantığı, bilgisayar bilimlerinde ve programlamada, mantıksal değişkenler bildirmek ve bunlara programın daha sonraki yürütme sürecinin bağlı olduğu "yanlış" veya "doğru" mantıksal değerleri atamak şeklinde kullanılır. Yalnızca bir boole değişkeninin dahil olduğu küçük programlarda, bu boole değişkenine genellikle "bayrak" gibi bir ad verilir ve bu değişkenin değeri "doğru" olduğunda "bayrak" ima edilir ve değeri "bayrak kapalı" olduğunda ima edilir. bu değişken "yanlış". Çok az veya hatta çok sayıda mantıksal değişkenin olduğu büyük programlarda, profesyonellerin önermeler biçimini alan mantıksal değişkenlerin adlarını ve anlamsal yük, onları diğer mantıksal değişkenlerden ayırarak ve bu programın metnini okuyacak olan diğer profesyoneller için anlaşılabilir.

Bu nedenle, "KullanıcıKayıtlı" (veya İngilizce eşdeğeri) adlı bir mantıksal değişken, kayıt için verilerin gönderildiği koşullar karşılanırsa "true" mantıksal değeri atanabilen bir ifade biçiminde bildirilebilir. kullanıcı tarafından ve bu veriler program tarafından geçerli olarak tanınır. Daha sonraki hesaplamalarda, "UserLogged in" değişkeninin hangi mantıksal değere ("true" veya "false") sahip olduğuna bağlı olarak değişkenlerin değerleri değişebilir. Diğer durumlarda, örneğin "Güne Kadar Üç Günden Fazla" adlı bir değişkene, belirli bir hesaplama bloğuna kadar "Doğru" değeri atanabilir ve programın daha sonraki yürütülmesi sırasında bu değer, kaydedilir veya "yanlış" olarak değiştirilir ve daha sonraki yürütme süreci bu değişken programların değerine bağlıdır.

Program, adları önerme biçiminde olan birkaç mantıksal değişken kullanıyorsa ve bunlardan daha karmaşık önermeler oluşturulmuşsa, geliştirmeden önce önermelerdeki tüm işlemler formül biçiminde yazılırsa, bir program geliştirmek çok daha kolaydır. önerme mantığında bu derste kullandığımızdan daha fazlasını kullanalım ve yapalım.

İfadeler üzerinde mantıksal işlemler

Matematiksel ifadeler için her zaman "doğru" ve "yanlış" olmak üzere iki farklı alternatif arasından seçim yapılabilir, ancak "sözlü" dilde yapılan ifadeler için "doğru" ve "yanlış" kavramları biraz daha belirsizdir. Ancak, örneğin, "Eve git" ve "Yağmur yağıyor mu?" gibi sözlü ifadeler söz değildir. Bu nedenle, açıktır ki sözler, bir şeyin ifade edildiği sözlü biçimlerdir. . Soru veya ünlem cümleleri, itirazlar, dilekler veya talepler ifade değildir. "Doğru" ve "Yanlış" değerleri ile değerlendirilemezler.

Önermeler ise iki değer alabilen bir nicelik olarak görülebilir: "doğru" ve "yanlış".

Örneğin, yargılar verilir: "bir köpek bir hayvandır", "Paris İtalya'nın başkentidir", "3

Bu ifadelerden ilki "doğru", ikincisi - "yanlış", üçüncüsü - "doğru" ve dördüncüsü - "yanlış" sembolü ile değerlendirilebilir. Önermelerin böyle bir yorumu önerme cebirinin konusudur. İfadeleri büyük ile belirteceğiz Latin harfleriyle A, B, ... ve değerleri, yani sırasıyla doğru ve yanlış Ve ve L. Sıradan konuşmada, "ve", "veya" ifadeleri ve diğerleri arasında bağlantılar kullanılır.

Bu bağlantılar, çeşitli ifadeleri birleştirerek yeni ifadeler oluşturmayı mümkün kılar - karmaşık ifadeler . Örneğin, bir grup "ve". Şu ifadelere yer verelim: π 3'ten büyük" ve ifadesi " π 4'ten az Yeni - karmaşık bir ifade düzenleyebilirsiniz " π 3'ten fazla ve π 4'ten az" ifadesi "eğer π mantıksız, o zaman π ² de irrasyoneldir", iki ifadeyi "if - o zaman" bağlantısıyla bağlayarak elde edilir. Son olarak, herhangi bir ifadeden orijinal ifadeyi reddeden yeni - karmaşık bir ifade elde edebiliriz.

Önermeleri değerleri alan nicelikler olarak ele almak Ve ve L, daha fazla tanımlıyoruz deyimler üzerinde mantıksal işlemler Bu, bu ifadelerden yeni - karmaşık ifadeler elde etmemizi sağlar.

İki keyfi ifade verilsin A ve B.

1 . Bu ifadeler üzerindeki ilk mantıksal işlem - bağlaç - belirteceğimiz yeni bir ifadenin oluşumudur. A ∧ B ve eğer ve sadece eğer doğrudur A ve B doğru. Sıradan konuşmada, bu işlem ifadelerin bir grup "ve" ile bağlantısına karşılık gelir.

Bağlaç için doğruluk tablosu:

2 . İfadeler üzerinde ikinci mantıksal işlem A ve B- olarak ifade edilen ayrılma A ∨ B, şu şekilde tanımlanır: yalnızca ve yalnızca orijinal ifadelerden en az biri doğruysa doğrudur. Sıradan konuşmada, bu işlem ifadelerin bir grup "veya" ile bağlantısına karşılık gelir. Bununla birlikte, burada "ya o-ya da" anlamında anlaşılan, ayırıcı olmayan bir "veya" var. A ve B ikisi de doğru olamaz. Önerme mantığının tanımında A ∨ B ifadelerden yalnızca biri doğruysa ve her iki ifade de doğruysa doğru A ve B.

Ayrılma için doğruluk tablosu:

3 . İfadeler üzerinde üçüncü mantıksal işlem A ve B, olarak ifade edilen A → B; sonuçtaki ifade yanlış ise ve ancak A doğru ve B yanlış. A aranan parsel , B - sonuçlar , ve açıklama A → B - Takip etmek , aynı zamanda bir ima olarak da adlandırılır. Sıradan konuşmada, bu işlem "eğer - o zaman" bağlantısına karşılık gelir: "eğer A, sonra B". Ama önerme mantığının tanımında, bu önerme doğru ya da yanlış olsun, her zaman doğrudur. B. Bu durum kısaca şöyle formüle edilebilir: "Sevdiğin her şey yanlıştan çıkar." Sırayla, eğer A doğru ve B yanlış, o zaman tüm ifade A → B yanlış. Eğer ve sadece eğer doğru olacak A, ve B doğru. Bu kısaca şu şekilde formüle edilebilir: "yanlış, doğrudan çıkmaz."

İzlenecek doğruluk tablosu (ima):

4 . İfadeler üzerindeki dördüncü mantıksal işleme, daha doğrusu bir ifadeye, bir ifadenin olumsuzlanması denir. A ve ~ ile gösterilir A(~ sembolünün değil, ¬ sembolünün ve ayrıca üst çizginin kullanımını da bulabilirsiniz. A). ~ A ne zaman yanlış olan bir ifade var A doğru ve ne zaman doğru A yanlış.

Olumsuzlama için doğruluk tablosu:

5 . Ve son olarak, önermeler üzerindeki beşinci mantıksal işleme denklik denir ve A ↔ B. Sonuç ifadesi A ↔ B ancak ve ancak doğru bir ifadedir A ve B ikisi de doğru veya ikisi de yanlış.

Denklik için doğruluk tablosu:

Çoğu programlama dilinde önermelerin mantıksal değerleri için özel semboller bulunur, hemen hemen tüm dillerde true (true) ve false (false) olarak yazılırlar.

Yukarıdakileri özetleyelim. önerme mantığı Temel ifadeler olarak adlandırılan bazı ifadelerin diğerlerinden oluşturulma şekliyle tamamen belirlenen bağlantıları inceler. Temel ifadeler bütün olarak kabul edilir, parçalara ayrılamaz.

Aşağıdaki tabloda, ifadelerdeki mantıksal işlemlerin adlarını, tanımlarını ve anlamlarını sistematize ediyoruz (örnekleri çözmek için yakında bunlara tekrar ihtiyacımız olacak).

Mantıksal işlemler doğrudur mantık cebir yasaları Boolean ifadelerini basitleştirmek için kullanılabilir. Aynı zamanda, önermelerin mantığında, önermenin anlamsal içeriğinden soyutlandıkları ve onu doğru ya da yanlış olduğu konumundan ele almakla sınırlı oldukları belirtilmelidir.

örnek 1

1) (2 = 2) VE (7 = 7) ;

2) Değil(15;

3) ("Çam" = "Meşe") VEYA ("Kiraz" = "Akçaağaç");

4) Not("Çam" = "Meşe");

5) (Değil(15 20) ;

6) ("Gözler görmek için verilir") ve ("Üçüncü katın altında ikinci katın");

7) (6/2 = 3) VEYA (7*5 = 20) .

1) İlk parantez içindeki ifadenin değeri "true", ikinci parantez içindeki ifadenin değeri de doğrudur. Her iki ifade de "VE" mantıksal işlemiyle bağlantılıdır (yukarıdaki bu işlem için kurallara bakın), bu nedenle tüm bu ifadenin mantıksal değeri "doğru" olur.

2) Parantez içindeki ifadenin anlamı "yanlış"tır. Bu ifadeden önce mantıksal bir olumsuzlama işlemi gelir, bu nedenle tüm bu ifadenin mantıksal değeri "doğru"dur.

3) İlk parantez içindeki ifadenin anlamı "yanlış", ikinci parantez içindeki ifadenin anlamı da "yanlış"tır. İfadeler "VEYA" mantıksal işlemiyle bağlanır ve ifadelerin hiçbiri "doğru" değerine sahip değildir. Bu nedenle, tüm bu ifadenin mantıksal anlamı "yanlış"tır.

4) Parantez içindeki ifadenin anlamı "yanlış"tır. Bu ifadeden önce mantıksal bir olumsuzlama işlemi gelir. Bu nedenle, verilen tüm ifadenin mantıksal anlamı "doğrudur".

5) İlk parantezlerde, iç parantezlerdeki ifade olumsuzlanır. Parantez içindeki bu ifade "yanlış" olarak değerlendirilir, bu nedenle olumsuzlaması "doğru" mantıksal değeri olarak değerlendirilir. İkinci parantez içindeki ifade "false" değerine sahiptir. Bu iki ifade "VE" mantıksal işlemiyle birbirine bağlanır, yani "doğru VE yanlış" elde edilir. Bu nedenle, verilen tüm ifadenin mantıksal anlamı "yanlış"tır.

6) Birinci parantez içindeki ifadenin anlamı "doğru", ikinci parantez içindeki ifadenin anlamı da "doğru"dur. Bu iki ifade "VE" mantıksal işlemiyle birbirine bağlanır, yani "doğru VE doğru" elde edilir. Bu nedenle, verilen tüm ifadenin mantıksal anlamı "doğrudur".

7) İlk parantez içindeki ifadenin anlamı "doğru"dur. İkinci parantez içindeki ifadenin anlamı "yanlış"tır. Bu iki ifade "VEYA" mantıksal işlemiyle birbirine bağlanır, yani "doğru VEYA yanlış" elde edilir. Bu nedenle, verilen tüm ifadenin mantıksal anlamı "doğrudur".

Örnek 2 Mantıksal işlemleri kullanarak aşağıdaki karmaşık ifadeleri yazın:

1) "Kullanıcı kayıtlı değil";

2) "Bugün Pazar ve bazı çalışanlar işte";

3) "Kullanıcı, yalnızca kullanıcı tarafından gönderilen verilerin geçerli olduğu tespit edildiğinde kaydedilir."

1) p- tek bir "Kullanıcı kayıtlı" ifadesi, mantıksal işlem: ;

2) p- tek açıklama "Bugün Pazar", q- "Bazı çalışanlar işte", mantıksal işlem: ;

3) p- tek bir "Kullanıcı kayıtlı" ifadesi, q- "Kullanıcı tarafından gönderilen veriler geçerlidir", mantıksal işlem: .

Önerme mantığı örneklerini kendi başınıza çözün ve ardından çözümlere bakın

Örnek 3 Aşağıdaki ifadelerin boole değerlerini hesaplayın:

1) ("Bir dakikada 70 saniye vardır") VEYA ("Çalışan bir saat zamanı gösterir");

2) (28 > 7) VE (300/5 = 60) ;

3) ("Televizyon - elektrikli cihaz") ve ("Cam - ahşap");

4) Not((300 > 100) VEYA ("Susuzluk su ile giderilebilir"));

5) (75 < 81) → (88 = 88) .

Örnek 4 Mantıksal işlemleri kullanarak aşağıdaki karmaşık ifadeleri yazın ve mantıksal değerlerini hesaplayın:

1) "Saat saati doğru göstermiyorsa, derse yanlış zamanda gelebilirsiniz";

2) "Aynada kendi yansımanızı ve Paris'i - ABD'nin başkentini görebilirsiniz";

Örnek 5 Boole İfadesini Belirle

(p → q) ↔ (r → s) ,

p = "278 > 5" ,

q= "Elma = Portakal",

p = "0 = 9" ,

s= "Şapka başı örter".

Önerme mantığı formülleri

Karmaşık bir ifadenin mantıksal biçimi kavramı, kavramın yardımıyla belirtilir. önermeli mantık formülleri .

Örnek 1 ve 2'de mantıksal işlemleri kullanarak karmaşık ifadelerin nasıl yazılacağını öğrendik. Aslında bunlara önermesel mantık formülleri denir.

İfadeleri belirtmek için yukarıdaki örnekte olduğu gibi harfleri kullanmaya devam edeceğiz.

p, q, r, ..., p 1 , q 1 , r 1 , ...

Bu harfler "true" ve "false" doğruluk değerlerini değer olarak alan değişkenlerin rolünü oynayacaktır. Bu değişkenlere önerme değişkenleri de denir. Bundan sonra onları arayacağız temel formüller veya atomlar .

Önerme mantığı formülleri oluşturmak için yukarıdaki harflere ek olarak mantıksal işlemlerin işaretleri kullanılır.

~, ∧, ∨, →, ↔,

formüllerin açık bir şekilde okunmasını sağlayan sembollerin yanı sıra sol ve sağ parantezler.

kavram önermeli mantık formülleri aşağıdaki gibi tanımlayın:

1) temel formüller (atomlar) önerme mantığının formülleridir;

2) eğer A ve B- önerme mantığı formülleri, sonra ~ A , (A ∧ B) , (A ∨ B) , (A → B) , (A ↔ B) ayrıca önermeler mantığının formülleridir;

3) sadece bu ifadeler, 1) ve 2)'den gelen önermesel mantık formülleridir.

Önerme mantığı formülünün tanımı, bu formüllerin oluşumu için kuralların bir listesini içerir. Tanıma göre, önerme mantığının her formülü ya bir atomdur ya da 2. kuralın ardışık uygulanması sonucunda atomlardan oluşur.

Örnek 6İzin vermek p- tek ifade (atom) "Bütün rasyonel sayılar gerçektir", q- "Bazı gerçek sayılar rasyonel sayılardır", r- "bazı rasyonel sayılar gerçektir". Aşağıdaki önerme mantığı formüllerini sözlü önermeler biçimine çevirin:

6) .

1) "Rasyonel olan gerçek sayılar yoktur";

2) "Eğer tüm rasyonel sayılar gerçek değilse, o zaman gerçek olan hiçbir rasyonel sayı yoktur";

3) "bütün rasyonel sayılar gerçekse, bazı gerçek sayılar rasyonel sayılardır ve bazı rasyonel sayılar gerçektir";

4) "bütün gerçek sayılar rasyonel sayılardır ve bazı gerçek sayılar rasyonel sayılardır ve bazı rasyonel sayılar gerçek sayıdır";

5) "bütün rasyonel sayılar, ancak ve ancak tüm rasyonel sayıların gerçek olmadığı durumlar söz konusu değilse gerçektir";

6) "Bütün rasyonel sayıların gerçek olmaması ve rasyonel olan gerçek sayıların olmaması ya da gerçek olan rasyonel sayıların olmaması söz konusu değildir."

Örnek 7Önerme mantığı formülü için bir doğruluk tablosu yapın , hangi tabloda gösterilebilir f .

Çözüm. Tek ifadeler (atomlar) için değerleri ("doğru" veya "yanlış") kaydederek doğruluk tablosunu derlemeye başlarız. p , q ve r. Olası tüm değerler tablonun sekiz satırına yazılmıştır. Ayrıca, ima işleminin değerlerini belirlerken ve tabloda sağa doğru hareket ederken, "doğru" "yanlış" anlamına geldiğinde değerin "yanlış"a eşit olduğunu unutmayın.

Hiçbir atomun ~ şeklinde olmadığına dikkat edin. A , (A ∧ B) , (A ∨ B) , (A → B) , (A ↔ B) . Bunlar karmaşık formüllerdir.

Önerme mantığı formüllerindeki parantezlerin sayısı, şu varsayılarak azaltılabilir:

1) içinde karmaşık formül dış parantez çiftini çıkaracağız;

2) mantıksal işlemlerin işaretlerini "kıdem sırasına göre" sıralayın:

↔, →, ∨, ∧, ~ .

Bu listede ↔ işareti en geniş kapsama sahiptir ve ~ işareti en küçük kapsama sahiptir. Bir işlem işaretinin kapsamı, bu işaretin dikkate alınan oluşumunun uygulandığı (üzerinde etki ettiği) önerme mantığı formülünün bölümleri olarak anlaşılır. Bu nedenle, herhangi bir formülde, "öncelik sırası" dikkate alınarak geri yüklenebilen bu parantez çiftlerini çıkarmak mümkündür. Ve parantezleri geri yüklerken, önce ~ işaretinin tüm oluşumlarına atıfta bulunan tüm parantezler yerleştirilir (bu durumda soldan sağa hareket ederiz), ardından ∧ işaretinin tüm oluşumlarına vb.

Örnek 8Önerme mantığı formülünde parantezleri geri yükle B ↔ ~ C ∨ D ∧ A .

Çözüm. Parantezler aşağıdaki gibi adım adım geri yüklenir:

B ↔ (~ C) ∨ D ∧ A

B ↔ (~ C) ∨ (D ∧ A)

B ↔ ((~ C) ∨ (D ∧ A))

(B ↔ ((~ C) ∨ (D ∧ A)))

Her önerme mantığı formülü parantez olmadan yazılamaz. Örneğin, formüllerde ANCAK → (B → C) ve ~( A → B) parantezlerin daha fazla silinmesi mümkün değildir.

Totolojiler ve çelişkiler

Mantıksal totolojiler (ya da basitçe totolojiler), önerme mantığının öyle formülleridir ki, harfler keyfi olarak önermelerle değiştirilirse (doğru veya yanlış), o zaman sonuç her zaman doğru bir önerme olacaktır.

Karmaşık ifadelerin doğruluğu veya yanlışlığı, her biri belirli bir harfe karşılık gelen ifadelerin içeriğine değil, yalnızca anlamlara bağlı olduğundan, belirli bir ifadenin bir totoloji olup olmadığının testi aşağıdaki şekilde ikame edilebilir. İncelenen ifadede, 1 ve 0 değerleri (sırasıyla, "doğru" ve "yanlış") harfler için mümkün olan her şekilde değiştirilir ve mantıksal işlemler kullanılarak ifadelerin mantıksal değerleri hesaplanır. Tüm bu değerler 1'e eşitse, incelenen ifade bir totolojidir ve en az bir ikame 0 verirse, bu bir totoloji değildir.

Böylece, bu formülde yer alan atomların değerlerinin herhangi bir dağılımı için "doğru" değerini alan bir önerme mantığı formülüne denir. aynı doğru formül veya totoloji .

Zıt anlam mantıksal bir çelişkidir. Tüm önerme değerleri 0 ise, ifade mantıksal bir çelişkidir.

Böylece, bu formülde yer alan atomların değerlerinin herhangi bir dağılımı için "yanlış" değerini alan bir önerme mantığı formülüne denir. aynı şekilde yanlış formül veya çelişki .

Totolojilere ve mantıksal çelişkilere ek olarak, ne totoloji ne de çelişki olmayan önerme mantığı formülleri vardır.

Örnek 9 Bir önerme mantığı formülü için bir doğruluk tablosu yapın ve bunun bir totoloji mi, bir çelişki mi, yoksa hiçbiri mi olduğunu belirleyin.

Çözüm. Bir doğruluk tablosu oluşturuyoruz:

İmanın anlamlarında, "doğru"nun "yanlış" anlamına geldiği bir satırla karşılaşmıyoruz. Orijinal ifadenin tüm değerleri "true" değerine eşittir. Bu nedenle, bu önermesel mantık formülü bir totolojidir.

Basit ve karmaşık ifadeler, mantıksal değişkenler ve mantıksal sabitler, mantıksal olumsuzlama, mantıksal çarpma, mantıksal toplama, mantıksal işlemler için doğruluk tabloları

Bilgi süreçlerini otomatikleştirmek için, sadece bilgiyi tek tip olarak sunabilmek değil, aynı zamanda Çeşitli türler(sayısal, metinsel, grafik, ses) sıfırlar ve birler dizileri şeklinde değil, aynı zamanda bilgi üzerinde gerçekleştirilebilecek eylemleri belirlemek için. Bu tür eylemlerin performansı, düşünme sürecini yöneten kurallara uygun olarak gerçekleştirilir. Başka bir deyişle, mantık yasalarına göre. "Mantık" terimi eski Yunanca kelimeden türetilmiştir.1 hakkında§08 , "düşünce, akıl yürütme, yasa" anlamına gelir. Bilimmantıkyasaları ve düşünce biçimlerini, kanıtlama yöntemlerini inceler.

Bilgi ile eylemleri gerçekleştirmenin akıl yürütmesini ve kurallarını tanımlamak için, matematiksel mantıkta benimsenen özel bir dil kullanılır. Akıl yürütme, önerme adı verilen özel cümlelere dayanır. İfadelerde, nesneler, özellikleri ve nesneler arasındaki ilişkiler hakkında her zaman bir şey onaylanır veya reddedilir. Bir önerme, doğru veya yanlış olduğu söylenebilecek herhangi bir önermedir. İfadeler yalnızca bildirim cümleleri olabilir. Soru veya emir cümleleri ifade değildir.

Beyan - doğru mu yanlış mı olduğu söylenebilecek, bildirim cümlesi olarak formüle edilmiş bir önerme.

Örneğin, sorgulayıcı cümleler“Moskova'dan ilk annalistik söz hangi yılda oldu?” ve "Bilgisayarın harici belleği nedir?" veya "Bilgisayar laboratuvarında güvenlik düzenlemelerine uyun" teşvik cümlesi ifade değildir. Anlatı cümleleri “Moskova'nın ilk yıllık sözü 1812'deydi”, “Rastgele erişim belleği harici bellek bilgisayar” ve “Bilgisayar sınıfında güvenlik kurallarına uymak zorunda değilsiniz” ifadeleridir, çünkü bunlar yargılardır ve her birinin yanlış olduğu söylenebilir. Doğru ifadeler, "Moskova'nın ilk yıllık sözü 1147'deydi", "Bir sabit manyetik disk, bir bilgisayarın harici bir belleğidir" yargıları olacaktır.

Her ifade iki değerden yalnızca birine karşılık gelir: "doğru" veya "yanlış".boole sabitleri.Gerçek değer genellikle 1 sayısı ile gösterilir ve yanlış değer- 0 sayısı. İfadeler kullanılarak belirtilebilirboole değişkenleri,büyük Latin harfleri olarak kullanılır. Boole değişkenleri iki olası değerden yalnızca birini alabilir: "true" veya "false". Örneğin, "Bilgisayardaki bilgi iki karakter kullanılarak kodlanır" ifadesi mantıksal bir değişken ile gösterilebilir.ANCAK,ve "Yazıcı bir bilgi depolama aygıtıdır" ifadesi mantıksal bir değişkenle gösterilebilir.AT.İlk ifade doğru olduğundan, o zamanANCAK= 1. Bu gösterim, ifadeninANCAKdoğru. İkinci ifade doğru olmadığından, o zamanB =0. Böyle bir gösterim, içindeki ifadenin yanlış olduğu anlamına gelir.

İfadeler basit veya karmaşık olabilir. Açıklama denirbasit,eğer hiçbir kısmı bir ifade değilse. Şimdiye kadar, mantıksal değişikliklerle gösterilen basit ifadelerin örnekleri verildi. Bir akıl yürütme zinciri oluşturmak, bir kişi, mantıksal işlemleri kullanarak, birleştirir basit sözler içindedaha zor" ifadeleri.Karmaşık bir ifadenin anlamını bulmak için içeriği hakkında düşünmeye gerek yoktur. Karmaşık bir ifade oluşturan basit ifadelerin anlamını ve mantıksal işlemleri gerçekleştirme kurallarını bilmek yeterlidir.

Boole işlemi - basit ifadelerden karmaşık bir ifade yapmanızı sağlayan bir eylem.

Tüm insan muhakemesi ve modern teknik cihazların çalışması, bilgi içeren tipik eylemlere dayanır - üç mantıksal işlem: mantıksal olumsuzlama (ters çevirme), mantıksal çarpma (bağlaç) ve mantıksal toplama (ayrılma).

mantıksal olumsuzlama kelimeler eklenerek basit bir ifade elde edilir"Bu doğru değil" basit bir cümlenin başında.

■ ÖRNEK 1."Timsahlar uçabilir" diye basit bir söz vardır. Mantıksal olumsuzlamanın sonucu ifadedir"Bu doğru değil timsahlar uçabilir. Orijinal ifadenin değeri "yanlış" ve yenisinin değeri "doğru".

■ ÖRNEK 2."Dosyanın bir adı olmalı" diye basit bir söz vardır. Mantıksal olumsuzlamanın sonucu ifadedir"Bu doğru değil dosyanın bir adı olmalıdır. Orijinal ifadenin değeri "doğru" ve yeni ifadenin değeri "yanlış".

Orijinal ifade yanlış olduğunda ifadenin mantıksal olumsuzlamasının doğru olduğu ve bunun tersi, orijinal ifade doğru olduğunda ifadenin mantıksal olumsuzlamasının yanlış olduğu görülebilir.

Mantıksal olumsuzlama (ters çevirme) - anlamı orijinal ifadenin değerine zıt olan yeni bir ifadeyle basit bir ifadeyi ilişkilendiren mantıksal bir işlem.

Basit bir ifadeyi bir boole değişkeni ile belirtinANCAK.O zaman bu ifadenin mantıksal olumsuzlaması DEĞİL olarak gösterilecektir.ANCAK. Boole değişkeninin tüm olası değerlerini yazalımANCAKve mantıksal olumsuzlama NOT'un karşılık gelen sonuçlarıANCAK adlı bir tablo şeklindemantıksal olumsuzlama için doğruluk tablosu (Tablo 40).

Mantıksal olumsuzlama için doğruluk tablosunda sıfırın bire ve birin sıfıra değiştiğini görebilirsiniz.

Boole çarpımıbirleşimi kullanılarak bu önermelerin birleştirilmesiyle iki basit önerme elde edilir.ve.Mantıksal çarpmanın sonucu olacak olan 3-6 arasındaki örneklere bakalım.

■ ÖRNEK3. İki basit ifade vardır. Bir açıklama - "Carlson bodrumda yaşıyor." Başka bir ifade, "Carlson'a dondurma ile tedavi edilir."

Bu basit ifadelerin mantıksal çarpımının sonucu karmaşık ifade olacaktır: “Carlson bodrumda yaşıyor,veCarlson dondurma ile tedavi edilir. Yeni bir ifadeyi daha kısaca formüle edebilirsiniz: “Carlson bodrum katında yaşıyor.vedondurma ile tedavi edilir. Her iki orijinal ifade de yanlıştır. Yeni bileşik ifadenin anlamı da "yanlış"tır.

■ ÖRNEK 4.İki basit ifade var. İlk ifade "Carlson bodrumda yaşıyor." İkinci ifade "Carlson reçel ile tedavi edilir."

Bu basit ifadelerin mantıksal çarpımının sonucu, "Carlson bodrum katında yaşıyor" karmaşık ifade olacaktır.vereçel ile tedavi edilir. İlk orijinal ifade yanlış, ikincisi doğrudur. Yeni bileşik ifadenin anlamı "yanlış"tır.

■ ÖRNEK 5.İki basit ifade var. İlk ifade "Carlson çatıda yaşıyor." İkinci ifade, "Carlson'a dondurma ile tedavi edilir."

Bu basit ifadelerin mantıksal çarpımının sonucu, "Carlson çatıda yaşıyor" karmaşık ifade olacaktır.vedondurma ile tedavi edilir. İlk orijinal ifade doğrudur ve ikincisi yanlıştır. Yeni bileşik ifadenin anlamı "yanlış"tır.

* ÖRNEKb. İki basit ifade var. Bir açıklama - "Carlson çatıda yaşıyor." Başka bir ifade "Carlson reçel ile tedavi edilir."

Bu basit ifadelerin mantıksal çarpımının sonucu, "Carlson çatıda yaşıyor ve reçel ile tedavi ediliyor" karmaşık ifadesi olacaktır. Her iki orijinal ifade de doğrudur. Yeni bileşik ifadenin anlamı da "doğru"dur.

İki ifadenin mantıksal çarpımının yalnızca bir durumda doğru olduğu görülebilir - her iki orijinal ifade de doğru olduğunda.s.

Boole çarpımı (bağlaç) - iki basit önermeyi, değeri ancak ve ancak her iki orijinal önerme de doğruysa doğru olan yeni bir önermeyle ilişkilendiren mantıksal bir işlem.

MANTIKSAL ÇARPMA İÇİN DOĞRULIK TABLOSU

Tablo 41

Eğer birANCAK = 0, AT =0, sonra A ve B0 (bkz. örnek 3). Eğer birbir = 07? = 1, o zamanANCAKVeAT -0 (bkz. örnek 4). /1 = 1 ise,B =0, o zamanANCAKVe d=0 (bkz. örnek 5). eğer L= \, B = \, sonra A\\ B = \(bkz. örnek 6).

Mantıksal çarpmanın sonuçlarının, sıfırların ve birlerin olağan çarpmasının sonuçlarıyla aynı olduğunu görebilirsiniz.

Boole eklemesibirleşimi kullanılarak bu önermelerin birleştirilmesiyle iki basit önerme elde edilir.veya.Mantıksal toplamanın sonucu olacak 7-10 örneklerine bakalım.

ÖRNEK 7 . İki basit ifade var. Bir açıklama - "Komedi" Genel Müfettiş "M. Yu. Lermontov tarafından yazılmıştır." Başka bir ifade - "Komedi" Genel Müfettiş "I. A. Krylov tarafından yazılmıştır."

Bu basit ifadelerin mantıksal olarak eklenmesinin sonucu, M. Yu. Lermontov tarafından yazılan “Komedi“ Genel Müfettiş ”in karmaşık bir ifadesi olacaktır.veyaI. A. Krylov. Her iki orijinal ifade de yanlıştır. Yeni bileşik ifadenin anlamı da "yanlış"tır.

ÖRNEK 8. İki basit ifade var. İlk açıklama - "Komedi" Genel Müfettiş "M. Yu. Lermontov tarafından yazılmıştır." İkinci ifade - "Komedi" Genel Müfettiş "N. V. Gogol tarafından yazılmıştır."

Bu basit önermelerin mantıksal olarak eklenmesinin sonucunyM, K) tarafından yazılan karmaşık bir “Komedi“ Genel Müfettiş ”olacaktır. LermontovveyaN.V. Gogol. ilk başlangıçifade yanlış ve ikincisi doğrudur. Yeni bileşik ifadenin anlamı "gerçek"tir.

ÖRNEK 9 . İki basit ifade var. İlk ifade - "Şiir" Mtsyri "M. Yu. Lermontov tarafından yazılmıştır." İkinci ifade - "Şiir" Mtsyri "N. V. Gogol tarafından yazılmıştır". Bu basit ifadelerin mantıksal olarak eklenmesinin sonucu, "Mtsyri" şiiri "M. Yu. Lermontov veya N. V. Gogol tarafından yazılmıştır" karmaşık bir ifade olacaktır. İlk ifade doğru, ikincisi yanlış. Yeni bileşik ifadenin anlamı "gerçek"tir.

ÖRNEK 10 . İki basit ifade var. Bir cümle - "A. S. Puşkin şiir yazdı” Bir başka ifade ise “A. S. Puşkin nesir yazdı.” Bu basit ifadelerin mantıksal olarak eklenmesinin sonucu, “A. S. Puşkin şiir ya da nesir yazdı.” Her iki orijinal ifade de doğrudur. Yeni bileşik ifadenin anlamı da "doğru"dur.

İki ifadenin mantıksal olarak eklenmesinin yalnızca bir durumda yanlış olduğu görülebilir - her iki orijinal ifade de yanlış olduğunda.

Mantıksal ekleme (ayrılma)- iki basit ifadeyi yeni bir ifadeyle ilişkilendiren mantıksal bir işlem, değeri ancak ve ancak her iki orijinal ifadenin de yanlış olması durumunda false olur.

Basit bir önermeyi boole değişkeni A ile ve diğer basit önermeyi boole değişkeni B ile belirtin.

Daha sonra bu ifadelerin mantıksal eklenmesi gösterilecektir. ANCAK VEYA AT

A , B mantıksal değişkenlerinin tüm olası değerlerini ve ayrıca A VEYA B mantıksal eklemesinin karşılık gelen sonucunu doğruluk tablosu adı verilen bir tablo şeklinde yazalım.

Mantıksal toplama için doğruluk tablolarına göre ikili işaretli işlemler yapılır.

Son satır hariç mantıksal toplamanın sonuçlarının, normal sıfır ve bir toplamanın sonuçlarıyla aynı olduğunu görebilirsiniz.

Böylece, mantık dilini kullanarak, muhakeme, ifadeleri olan eylemlerle değiştirilebilir. İfadelere sırayla bir ikili işaret atanabilir - 0 veya 1. İkili işaretli eylemler, mantıksal olumsuzlama, mantıksal çarpma ve mantıksal toplamanın temel mantıksal işlemleri için doğruluk tablolarına göre gerçekleştirilir (bkz. Tablo 40-42).

23. Açıklamalar. Boole işlemleri

İki ifadenin mantıksal olarak eklenmesi (ayrılması) yanlış

1) eğer ve sadece her iki ifade de doğruysa

2) eğer ve sadece her iki ifade de yanlışsa

3) en az bir ifade doğru olduğunda

4) en az bir ifade yanlış olduğunda

Boole ifadeleri. Boole İşlemlerini Gerçekleştirme

Mantıksal ifadeleri kaydetme, mantıksal işlemleri yürütme önceliği, mantıksal bir ifadenin değerini bulma, çeşitli bilgi türleri ile mantıksal işlemler gerçekleştirme Mantıksal olumsuzlama, mantıksal çarpma ve mantıksal toplama, herhangi bir karmaşık ifadeyi oluşturabileceğiniz eksiksiz bir mantıksal işlemler sistemi oluşturur ve doğruluğunu belirle. Matematiksel mantık dilini kullanarak akıl yürütmeyi tanımlarken, basit ifadeler mantıksal değişkenlerle (Latin harfleriyle), ifadelerin değerleri mantıksal sabitlerle (sıfırlar veya birler) gösterilir ve mantıksal işlemler özel bağlaçlarla gösterilir (DEĞİL). , VE, VEYA). Bu tür değişkenler, sabitler ve bağlayıcılar yardımıyla derlenen kayda mantıksal ifade denir.

Mantıksal ifade - mantıksal işlemler (bağlantılar) ile birleştirilen mantıksal değişkenler veya mantıksal sabitlerden oluşan matematiksel mantık dilinde sembolik bir gösterim.

Mantıksal bir ifadenin değerini bulurken, mantıksal işlemler önceliklerine göre belirli bir sırada gerçekleştirilir - önce mantıksal olumsuzlama, sonra mantıksal çarpma ve ancak o zaman mantıksal toplama. Aynı önceliğe sahip mantıksal işlemler soldan sağa doğru yürütülür. Mantıksal işlemlerin gerçekleştirilme sırasını değiştirmek için parantezler kullanılır.

■ ÖRNEK 1. Basit bir doğru ifade verildiğinde A = "Aristoteles - antik yunan filozofu” ve basit bir yanlış ifade B = “Aristoteles eski bir Rus filozofudur.”

Bilgi üzerine eylemler. Temel işlemler

Aşağıdaki mantıksal ifadelere karşılık gelen bileşik ifadelerin anlamları:

1) A DEĞİL;

2) A VEYA B;

3) VE (NEV).

Çözüm. 1) A ifadesinin mantıksal olarak olumsuzlanmasının sonucu, "Aristoteles'in eski bir Yunan filozofu olduğu doğru değildir" ifadesi olacaktır. Orijinal "doğru" ifadesinin değeri A = 1 olduğundan, bu "yanlış" ifadesinin mantıksal olumsuzlamasının değeri A = 0 DEĞİLDİR (bkz. Tablo 40). 2) İki ifadenin mantıksal olarak eklenmesinin sonucu "Aristoteles eski bir Yunandır veya Aristoteles eski bir Rus filozofudur" ifadesi olacaktır. İlk ilk ifadenin değeri "doğru" A = 1 ve ikinci ilk ifadenin değeri "yanlış" B = 0 olduğundan, bu ifadelerin mantıksal toplamının değeri "doğru" A VEYA B = 1 (bkz. Tablo 42). 3) A ifadesinin mantıksal çarpımı ve B ifadesinin mantıksal olarak olumsuzlanmasının sonucu, "Aristoteles eski bir Yunan filozofudur ve Aristoteles'in eski bir Rus filozofu olduğu doğru değildir" ifadesi olacaktır. İlk olarak, B ifadesinin mantıksal olumsuzluğunu gerçekleştiriyoruz. Orijinal ifadenin “false” değeri B = 0 olduğundan, bu durumda “true” ifadesinin mantıksal olumsuzlamasının değeri B = 1 DEĞİLDİR (bkz. Tablo 40). İlk orijinal ifadenin değeri "true" A = 1 ve ikinci orijinal ifadenin mantıksal olumsuzlamasının değeri "true" NOT B = 1 olduğundan, o zaman bu ifadelerin mantıksal çarpımının değeri "true" A AND ( B DEĞİL) =1

(bkz. sekme 41)

Cevap. 1) "Yalan"; 2) "gerçek"; 3) "gerçek". Karmaşık bir ifadenin anlamını bulmak için, karmaşık ifadede yer alan basit ifadelerin anlamlarını ve bu basit ifadeleri birleştiren mantıksal işlemleri gerçekleştirme kurallarını bilmek yeterlidir.

■ ÖRNEK 2. Mantıksal değişkenlerin değerleri A = 1, B = 0 ise, A VEYA DEĞİL (0 VEYA 1) VE (B VE 1) DEĞİL mantıksal ifadesinin değerini bulun.

Çözüm. 1) Mantıksal ifadedeki mantıksal değişkenleri mantıksal sabitlerle değiştirelim. NAIOR(0OR 1) AND(NEVI 1)==NOT1OR(0OR1) AND(NOT0AND1).

2) Mantıksal işlemlerin yürütme sırasını önceliklerine göre belirleyelim. NOT4 1 VEYA6 (0 VEYA1 1) AND5 (SICAK 0 VE3 1).

Altında söyleyerek hakkında iki şeyden yalnızca birinin söylenebileceği dilsel bir ifade anlaşılır: doğru ya da yanlış. İfade, yargılardan farklı olarak kişisel bir karaktere sahip değildir.

Sorular, istekler, emirler, ünlemler, tek tek kelimeler ("akşam oluyor", "hava soğuyor" gibi ifadelerin temsilcisi olarak hareket ettikleri durumlar hariç) ifade değildir. Önermelerin doğruluğu ve yanlışlığı onların boole değerleri.

İfadeler niteliksel, varoluşsal ve ilişkisel olarak ikiye ayrılır.

nitelik bir nesnenin bir özelliğinin veya durumunun onaylandığı veya reddedildiği ifadelere denir.

varoluşsal varlık gerçeğini onaylayan veya reddeden ifadelere denir.

ilişkisel nesneler arasındaki ilişkileri ifade eden ifadelere denir.

İfadeler, mantıksal biçimleri gibi basit ve karmaşıktır. karmaşık ifadeler basit olanlara ayrılabilir. Basit ifadeler daha basit olanlara bölünmez.

Basit bir niteleyici ifade, bir özne, bir yüklem ve bir bağlaç içeren bir yapıya sahiptir.

Ders ifadeler (S) - bu ifadenin düşünce konusunu ifade eden kısmıdır.

yüklem ifadeler (P) - bu, düşünce konusunun işaretini, özelliğini, durumunu, tutumunu gösteren ifadenin bir parçasıdır.

Konu (S) ve yüklem (P) denir terimler. paket (S ve P) terimleri arasındaki ilişkiyi gösterir.

Nitelikli ifadeler genellikle varoluşsal ve genel niceleyicileri kullanır.

Niteliksel ifadeler nitelik ve niceliğe göre ayrılır.

Kaliteye göre, olumlu ve olumsuz olarak ayrılırlar. AT olumlu yüklemde akla gelebilecek işaretin, "S, P'dir" ifadesinin öznesine ait olduğunu (varlığını) gösterir. Örneğin: "Platon idealist bir filozoftur." AT olumsuz yüklemin konusuna ait olmadığını belirtir: "S, P değildir".

İfadelerin sayısına göre tek, özel ve genel olarak ayrılır. Bu, konu sınıfının adını oluşturan bireysel öğelerin toplamını (sayı, miktar) ifade eder.

AT bekar Sözcelerde özne tek bir nesneden oluşur.

Özel ifadeler şu şekildedir: "Bazı S, P'dir (değildir)".

AT genel Sözcelerde özne tüm nesneleri kapsar. Bu tür ifadeler şu şekildedir: "Tüm S, P'dir (değildir)".

İfadeler nitelik ve niceliğe göre sınıflandırılır. 4 sınıf ifade vardır:

1) genel olumlu (ANCAK) - nicelik olarak genel ve nitelik olarak olumlu (“Tüm S, P'dir”);

2) özel olumlu (J)- nicelik olarak özel ve nitelik olarak olumlu ("Bazı S R");

3) ortak negatif (E) - nicelik olarak genel ve nitelik olarak olumsuz (“Tek bir S, P değildir”);

4) özel olumsuz (Ö)- nicelik olarak özel ve nitelik olarak olumsuz ("Bazı S, P değildir").

Her ifade sınıfında, S ve P (terimler) hacimlerinin oranı farklıdır. Mantıkta, S ve P hacimlerinin oranı sorununa denir. Terim dağıtım sorunu. Bir terim, başka bir terimin kapsamına tamamen dahil edilmiş veya tamamen hariç tutulmuşsa dağıtılır.

A sınıfında |Tüm S, P'dir |özne yüklemde tam olarak dağıtılır ve yüklem dağıtılmaz.

Sevgili dostlar, sizi bu sayfada gördüğüme sevindim! Değerli ziyaretçimiz, aradığınız şey olabilir. Basit Alıntılar Konuyla ilgili çizimlerle. Harika! Aradığınızı buldunuz. Akıllara durgunluk veren bir okuma ve kendini geliştirmeni diliyoruz!

Hayatlarını inatla güç için test edenler, er ya da geç hedeflerine ulaşır ve onu muhteşem bir şekilde bitirirler.

Hayatın anlamını anlamak için önce hayatın anlamsız ve kötü olmaması gerektiğini, sonra da onu anlamak için zihnin gerekli olduğunu anladım. Tolstoy L.N.

Nasıl daha güçlü aşk o kadar savunmasız. Düşes Diana (Marie de Bosack)

Hayatta bir kez, servet her insanın kapısını çalar, ancak bu sırada bir kişi genellikle en yakın barda oturur ve herhangi bir vuruş duymaz. Mark Twain

10.000 farklı vuruş öğrenen birinden korkmuyorum. Bir yumruğu 10.000 kez öğrenenden korkarım.

Her gün seni hayal ediyorum, geceleri seni düşünüyorum!

Günün 2/3'ünü kendine ayıramayana köle denir. Friedrich Nietzsche

Bu konudaki düzeni düzenlemeye hazır olmak için hayatın anlamı hakkında konuşmayı kabul edenlerden biriydim. Eko W.

Desinit in piscem mulier formosa superne - yukarıdan güzel bir kadın bir balık kuyruğunda biter.

Alışkanlıklarımızın kölesiyiz. Alışkanlıklarınızı değiştirin, hayatınız değişecek. Robert Kiyosaki

Uzanabilir ve mutluluğu yakalayabilirsiniz. Hemen yanında! Ama sen hep geriye bak

Kabul etme cesaretiniz varsa, hatalar için kendinizi her zaman affedebilirsiniz. bruce lee

Aşkın ilk nefesi, bilgeliğin son nefesidir. Anthony Bret.

Dostluk kanatsız aşktır. Byron

Bir insan aşkın ne olduğunu söyleyebiliyorsa, kimseyi sevmediği anlamına gelir.

Neye aşık oldun, sonra öp.

birkaç kişi sayesinde gururumu ve korkumu yenebilirim...

Aşkımız ilk görüşte başladı.

Kıskançlık, ihanet şüphesiyle ihanettir. V. Krotov

Eşsiz bir adamla - tekrarlamak istiyorum!

Romantik bir kadın, aşksız seksten iğrenir. Bu nedenle, ilk görüşte aşık olmak için acele ediyor. Lidya Yasinskaya

Aşk herkesin içindedir ama bunu sadece sana açık olanlara göstermeye değer.

Bir insanı sevmenin sırrı, ona sahip olma arzusu olmadan, ona hükmetme arzusu olmadan, armağanlarını veya kişiliğini herhangi bir şekilde kullanma arzusu olmadan ona baktığımız anda başlar - sadece bakar ve şaşırırız. bize ifşa edilen güzellikte.. Anthony, Sourozh Büyükşehir

İlkel bir toplumda olmak isterdim. Para hakkında, ordu hakkında, bazı unvanlar ve bilimsel dereceler hakkında düşünmeye gerek yok. Sadece dişiler, sığırlar ve köleler önemlidir.

Kişi bir tarafa yatması rahatsız olduğunda diğer tarafa döner, yaşaması ona rahatsızlık verdiğinde ise sadece şikayet eder. Ve yuvarlanmak için çaba harcıyorsun. Maksim Gorki

Zamanın yavaş eli dağları yumuşatır. Voltaire

Kadınların tüm kalbi, hatta kafası bile var. Jean Paul

Öpücüğün o kadar tatlıydı ki mutluluktan kanatlandım!

Bir kişi bir filiz gibi Armatür'e uzanır ve daha uzun olur. Gerçekleşmesi mümkün olmayan hayaller kurmak, gök yükseklerine ulaşır.

Gerçek dostluk sahte aşktan iyidir!

Kendimiz Gandhi'ye vermedikçe öz saygımızdan mahrum kalamayız.

Aşk birlikte bencilliktir.

Bilgi bir insanı daha önemli kılar ve eylemler ona parlaklık verir. Ancak birçok insan bakma eğilimindedir, ancak kilo vermez. T. Carlyle

Sadece Rusya'da sevdiklerini ararlar ... Vay benim!

Karşılıksız aşk aşk değil, işkencedir!

Yeterlilik iki şeyi yapabilme yeteneğidir: Doğru zamanda susmak ve doğru zamanda konuşmak.

Mutluluk doğru yargılarla, doğru yargılar deneyimle, deneyim ise yanlış yargılarla gelir.

Daha kolay, daha kolay, daha iyi olmasını beklemeyin. Olmayacak. Her zaman zorluklar olacaktır. Hemen mutlu olmayı öğrenin. Aksi takdirde, yapamazsınız.

Hayat, mutlu ya da mutsuz, başarılı ya da başarısız, hala son derece ilginç. B. Gösteri

Kendini bilge sanma, yoksa ruhun gururla yükselir ve düşmanlarının eline düşersin. Anthony the Great

Karısına kur yapmak ona rosto avlamak kadar saçma geliyordu. Emil Krotky

Mektuplar ve hediyeler ve parlak resimler sevgiyi ifade etmek önemlidir. Ama yüz yüze dinlemek daha da önemli, bu büyük ve ender bir sanattır. T. Jansson.

Hayat o kadar şeytani bir şekilde düzenlenmiştir ki, nasıl nefret edileceğini bilmeden içtenlikle sevmek imkansızdır. M. Gorki

Sevilen birinin sana böyle kocaman bir buket vermesi güzel, çünkü güzel, kahretsin!

İnsanlar korkmadan, sık sık hayatlarını kaybeden pervasız aptallara dönüşürler. Isaac Asimov Fantastik Yolculuk II

Arkadaş, iki bedende yaşayan tek bir ruhtur. Aristo

Sadece kendini düşünen biri olmak, her istediğini yapmak demek değildir. Bu, tüm dünyanın istediğiniz gibi yaşamasını istemek anlamına gelir. — O. Wilde

Her anne bulaşıkları yıkamak için kendine birkaç dakikalık boş zaman ayırmalı.