Ang parallelogram ay isang may apat na gilid na ang magkabilang panig ay magkapareho sa mga pares. Gayundin, ang parallelogram ay may mga sumusunod na katangian: magkatapat na panig ay pantay, magkasalungat na anggulo ay pantay, at ang kabuuan ng lahat ng mga anggulo ay 360 degrees.

Kakailanganin mo

• Kaalaman sa geometry.

Mga tagubilin

1. Isipin natin na ang isa sa mga anggulo ng parallelogram ay ibinigay at katumbas ng A. Hanapin natin ang mga halaga ng natitirang 3. Ayon sa pag-aari ng isang parallelogram, ang magkasalungat na mga anggulo ay pantay. Nangangahulugan ito na ang anggulo sa tapat ng ibinigay ay katumbas ng ibinigay at ang halaga nito ay katumbas ng A.

2. Hanapin natin ang natitirang dalawang sulok. Dahil ang kabuuan ng lahat ng mga anggulo sa isang paralelogram ay katumbas ng 360 degrees, at ang magkasalungat na mga anggulo ay katumbas ng bawat isa, lumalabas na ang anggulo na kabilang sa parehong panig ng ibinigay ay katumbas ng (360 - 2A)/2. Well, alinman pagkatapos ng reporma ay makakakuha tayo ng 180 - A. Kaya, sa isang parallelogram, dalawang anggulo ay katumbas ng A, at ang iba pang dalawang anggulo ay katumbas ng 180 - A.

pansinin mo!
Ang halaga ng isang anggulo ay hindi maaaring lumampas sa 180 degrees. Ang nakuha na mga halaga ng anggulo ay madaling ma-verify. Upang gawin ito, idagdag ang mga ito at, kung ang kabuuan ay 360, lahat ay kinakalkula nang tama.

Kapaki-pakinabang na payo
Ang isang parihaba at isang rhombus ay mga espesyal na kaso ng isang paralelogram samakatuwid, ang lahat ng mga katangian at pamamaraan para sa pagkalkula ng mga anggulo ay nalalapat sa kanila.

Problema 1. Ang isa sa mga anggulo ng paralelogram ay 65°. Hanapin ang natitirang mga anggulo ng paralelogram.

∠C =∠A = 65° bilang magkasalungat na mga anggulo ng paralelogram.

∠A +∠B = 180° bilang mga anggulo na katabi ng isang gilid ng paralelogram.

∠B = 180° - ∠A = 180° - 65° = 115°.

∠D =∠B = 115° bilang magkasalungat na anggulo ng paralelogram.

Sagot: ∠A =∠C = 65°; ∠B =∠D = 115°.

Gawain 2. Ang kabuuan ng dalawang anggulo ng isang paralelogram ay 220°. Hanapin ang mga anggulo ng paralelogram.

Dahil ang isang parallelogram ay may 2 pantay na acute na anggulo at 2 pantay na obtuse na anggulo, binibigyan tayo ng kabuuan ng dalawang obtuse na anggulo, i.e. ∠B +∠D = 220°. Pagkatapos ∠B =∠D = 220° : 2 = 110°.

∠A + ∠B = 180° bilang mga anggulo na katabi ng isang gilid ng parallelogram, kaya ∠A = 180° - ∠B = 180° - 110° = 70°. Pagkatapos ∠C =∠A = 70°.

Sagot: ∠A =∠C = 70°; ∠B =∠D = 110°.

Gawain 3. Ang isa sa mga anggulo ng isang paralelogram ay 3 beses na mas malaki kaysa sa isa. Hanapin ang mga anggulo ng paralelogram.

Hayaan ang ∠A =x. Pagkatapos ∠B = 3x. Alam na ang kabuuan ng mga anggulo ng isang paralelogram na katabi ng isa sa mga gilid nito ay katumbas ng 180°, gagawa tayo ng isang equation.

x = 180 : 4;

Nakukuha natin ang: ∠A = x = 45°, at ∠B = 3x = 3 ∙ 45° = 135°.

Ang magkasalungat na mga anggulo ng isang paralelogram ay pantay, samakatuwid,

∠A =∠C = 45°; ∠B =∠D = 135°.

Sagot: ∠A =∠C = 45°; ∠B =∠D = 135°.

Gawain 4. Patunayan na kung ang isang quadrilateral ay may dalawang parallel at pantay na panig, kung gayon ang quadrilateral na ito ay isang parallelogram.

Patunay.

Iguhit natin ang dayagonal na BD at isaalang-alang ang Δ ADB at Δ CBD.

AD = BC ayon sa kondisyon. Ang BD side ay karaniwan. ∠1 = ∠2 bilang panloob na crosswise na nakahiga na may parallel (ayon sa kondisyon) na linya ng AD at BC at secant BD. Samakatuwid, Δ ADB = Δ CBD sa dalawang panig at ang anggulo sa pagitan ng mga ito (unang tanda ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok). Sa congruent triangles, ang mga katumbas na anggulo ay pantay, na nangangahulugang ∠3 =∠4. At ang mga anggulong ito ay mga panloob na anggulo na nakahiga sa crosswise na may mga tuwid na linya AB at CD at secant BD. Ito ay nagpapahiwatig na ang mga linya ng AB at CD ay parallel. Kaya, sa quadrilateral na ABCD na ito, ang magkabilang panig ay magkapareho sa mga pares, samakatuwid, sa pamamagitan ng kahulugan, ang ABCD ay isang paralelogram, na kung saan ay kailangan upang mapatunayan.

Gawain 5. Ang dalawang panig ng paralelogram ay nasa ratio 2 : 5, at ang perimeter ay 3.5 m. Hanapin ang mga gilid ng paralelogram.

∙ (AB + AD).

Tukuyin natin ang isang bahagi ng x. pagkatapos AB = 2x, AD = 5x metro. Alam na ang perimeter ng paralelogram ay 3.5 m, nilikha namin ang equation:

2 ∙ (2x + 5x) = 3.5;

2 ∙ 7x = 3.5;

x = 3.5 : 14;

Ang isang bahagi ay 0.25 m Pagkatapos AB = 2 ∙ 0.25 = 0.5 m; AD = 5 ∙ 0.25 = 1.25 m.

Pagsusulit.

Perimeter ng paralelogram P ABCD = 2 ∙ (AB + AD) = 2 ∙ (0,25 + 1,25) = 2 ∙ 1.75 = 3.5 (m).

Dahil ang magkabilang panig ng paralelogram ay pantay, kung gayon ang CD = AB = 0.25 m; BC = AD = 1.25 m.

Sagot: CD = AB = 0.25 m; BC = AD = 1.25 m.

Tulad ng sa Euclidean geometry, ang isang punto at isang tuwid na linya ay ang mga pangunahing elemento ng teorya ng mga eroplano, kaya ang parallelogram ay isa sa mga pangunahing figure ng convex quadrilaterals. Mula dito, tulad ng mga thread mula sa isang bola, dumaloy ang mga konsepto ng "rectangle", "square", "rhombus" at iba pang mga geometric na dami.

Kahulugan ng paralelogram

matambok may apat na gilid, na binubuo ng mga segment, ang bawat pares nito ay parallel, ay kilala sa geometry bilang parallelogram.

Ang hitsura ng isang klasikong paralelogram ay inilalarawan ng isang may apat na gilid na ABCD. Ang mga gilid ay tinatawag na mga base (AB, BC, CD at AD), ang patayo na iginuhit mula sa anumang vertex hanggang sa gilid na tapat ng vertex na ito ay tinatawag na taas (BE at BF), ang mga linya ng AC at BD ay tinatawag na mga diagonal.

Pansin! Ang parisukat, rhombus at parihaba ay mga espesyal na kaso ng paralelogram.

Mga gilid at anggulo: mga tampok ng relasyon

Mga pangunahing katangian, sa pangkalahatan, paunang natukoy ng pagtatalaga mismo, sila ay pinatunayan ng teorama. Ang mga katangiang ito ay ang mga sumusunod:

1. Ang mga panig na magkasalungat ay magkapareho sa mga pares.
2. Ang mga anggulo sa tapat ng bawat isa ay pantay sa pares.

Patunay: Isaalang-alang ang ∆ABC at ∆ADC, na nakukuha sa pamamagitan ng paghahati ng quadrilateral ABCD sa tuwid na linyang AC. ∠BCA=∠CAD at ∠BAC=∠ACD, dahil karaniwan sa kanila ang AC ( patayong mga anggulo para sa BC||AD at AB||CD, ayon sa pagkakabanggit). Ito ay sumusunod mula dito: ∆ABC = ∆ADC (ang pangalawang tanda ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok).

Ang mga segment na AB at BC sa ∆ABC ay tumutugma sa mga pares sa mga linyang CD at AD sa ∆ADC, na nangangahulugang magkapareho sila: AB = CD, BC = AD. Kaya, ang ∠B ay tumutugma sa ∠D at sila ay pantay. Dahil ang ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, na magkapareho rin ng magkapares, pagkatapos ay ∠A = ∠C. Ang ari-arian ay napatunayan na.

Mga katangian ng mga diagonal ng isang pigura

Pangunahing tampok ng mga linyang ito ng paralelogram: hinahati sila ng punto ng intersection sa kalahati.

Patunay: Hayaan i.e. ang intersection point ng mga diagonal AC at BD ng figure ABCD. Bumubuo sila ng dalawang magkatapat na tatsulok - ∆ABE at ∆CDE.

AB=CD dahil magkasalungat sila. Ayon sa mga linya at secants, ∠ABE = ∠CDE at ∠BAE = ∠DCE.

Sa pangalawang criterion ng pagkakapantay-pantay, ∆ABE = ∆CDE. Nangangahulugan ito na ang mga elemento ∆ABE at ∆CDE: AE = CE, BE = DE at kasabay nito ay mga proporsyonal na bahagi ng AC at BD. Ang ari-arian ay napatunayan na.

Mga tampok ng katabing sulok

Ang mga katabing gilid ay may kabuuan ng mga anggulo na katumbas ng 180°, dahil nakahiga sila sa magkabilang panig ng mga parallel na linya at isang transversal. Para sa quadrilateral ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Mga katangian ng bisector:

1. , binabaan sa isang gilid, ay patayo;
2. ang magkasalungat na mga vertices ay may parallel bisectors;
3. ang tatsulok na nakuha sa pamamagitan ng pagguhit ng bisector ay magiging isosceles.

Pagpapasiya ng mga katangian ng isang paralelogram gamit ang theorem

Ang mga katangian ng figure na ito ay sumusunod mula sa pangunahing teorama nito, na nagsasaad ng mga sumusunod: ang quadrilateral ay itinuturing na paralelogram sa kaganapan na ang mga diagonal nito ay magsalubong, at ang puntong ito ay naghahati sa kanila sa pantay na mga segment.

Patunay: hayaang mag-intersect ang mga linyang AC at BD ng quadrilateral ABCD sa i.e. Dahil ∠AED = ∠BEC, at AE+CE=AC BE+DE=BD, pagkatapos ay ∆AED = ∆BEC (batay sa unang criterion para sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok). Ibig sabihin, ∠EAD = ∠ECB. Sila rin ang panloob na mga anggulo ng krus ng secant AC para sa mga linyang AD at BC. Kaya, sa pamamagitan ng kahulugan ng parallelism - AD || B.C. Ang isang katulad na katangian ng mga linya BC at CD ay hinango din. Ang teorama ay napatunayan.

Pagkalkula ng lugar ng isang figure

Lugar ng figure na ito natagpuan sa pamamagitan ng ilang mga pamamaraan isa sa pinakasimpleng: pagpaparami ng taas at base kung saan ito iginuhit.

Patunay: gumuhit ng mga perpendicular BE at CF mula sa mga vertice B at C. Ang ∆ABE at ∆DCF ay pantay, dahil AB = CD at BE = CF. Ang ABCD ay katumbas ng laki sa parihaba na EBCF, dahil ang mga ito ay binubuo ng mga katumbas na figure: S ABE at S EBCD, pati na rin ang S DCF at S EBCD. Ito ay sumusunod mula dito na ang lugar nito geometric na pigura ay matatagpuan sa parehong paraan tulad ng isang parihaba:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Upang matukoy ang pangkalahatang pormula para sa lugar ng isang paralelogram, tukuyin natin ang taas bilang hb, at sa gilid - b. Ayon sa pagkakabanggit:

Iba pang mga paraan upang mahanap ang lugar

Mga kalkulasyon ng lugar sa pamamagitan ng mga gilid ng paralelogram at ang anggulo, na kanilang nabuo, ay ang pangalawang kilalang pamamaraan.

,

Spr-ma - lugar;

a at b ang mga gilid nito

Ang α ay ang anggulo sa pagitan ng mga segment a at b.

Ang pamamaraang ito ay halos batay sa una, ngunit kung sakaling hindi ito kilala. laging pinuputol kanang tatsulok, na ang mga parameter ay matatagpuan ng mga trigonometrikong pagkakakilanlan, iyon ay, . Pagbabago ng relasyon, nakukuha namin . Sa equation ng unang paraan, pinapalitan namin ang taas ng produktong ito at kumuha ng patunay ng bisa ng formula na ito.

Sa pamamagitan ng mga diagonal ng isang paralelogram at ang anggulo, na nilikha nila kapag nagsalubong sila, maaari mo ring mahanap ang lugar.

Patunay: Nagsalubong ang AC at BD upang bumuo ng apat na tatsulok: ABE, BEC, CDE at AED. Ang kanilang kabuuan ay katumbas ng lugar ng quadrilateral na ito.

Ang lugar ng bawat isa sa mga ∆ ay matatagpuan sa pamamagitan ng expression , kung saan a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Dahil , ang mga kalkulasyon ay gumagamit ng isang solong halaga ng sine. Iyon ay. Dahil ang AE+CE=AC= d 1 at BE+DE=BD= d 2, ang formula ng lugar ay bumababa sa:

.

Application sa vector algebra

Ang mga tampok ng mga bumubuo ng bahagi ng quadrilateral na ito ay natagpuan ang aplikasyon sa vector algebra, lalo na ang pagdaragdag ng dalawang vectors. Ang paralelogram na tuntunin ay nagsasaad na kung bibigyan ng mga vectorsAtHindiay collinear, kung gayon ang kanilang kabuuan ay magiging katumbas ng dayagonal ng figure na ito, ang mga base na tumutugma sa mga vectors na ito.

Patunay: mula sa isang arbitraryong piniling simula - i.e. - bumuo ng mga vectors at . Susunod, bumuo kami ng parallelogram OASV, kung saan ang mga segment na OA at OB ay mga gilid. Kaya, ang OS ay namamalagi sa vector o kabuuan.

Mga formula para sa pagkalkula ng mga parameter ng isang paralelogram

Ang mga pagkakakilanlan ay ibinibigay sa ilalim ng mga sumusunod na kondisyon:

1. a at b, α - mga gilid at ang anggulo sa pagitan nila;
2. d 1 at d 2, γ - diagonal at sa punto ng kanilang intersection;
3. h a at h b - mga taas na ibinaba sa mga gilid a at b;

Parameter	Formula
Paghahanap ng mga gilid
kasama ang mga diagonal at ang cosine ng anggulo sa pagitan nila
kasama ang mga diagonal at gilid
sa pamamagitan ng taas at sa kabaligtaran ng vertex
Paghahanap ng haba ng mga diagonal
sa mga gilid at ang laki ng tuktok sa pagitan nila

Ang parallelogram ay isang may apat na gilid kung saan ang magkabilang panig ay magkapares.

Ang parallelogram ay may lahat ng mga katangian ng quadrilaterals, ngunit sa karagdagan ito ay mayroon ding sarili nito mga natatanging katangian. Ang pag-alam sa kanila, madali nating mahahanap ang magkabilang panig at anggulo ng isang paralelogram.

Mga katangian ng paralelogram

1. Ang kabuuan ng mga anggulo sa anumang paralelogram, tulad ng sa anumang quadrilateral, ay 360°.
2. Ang mga midline ng isang paralelogram at ang mga diagonal nito ay nagsalubong sa isang punto at hinahati nito. Ang puntong ito ay karaniwang tinatawag na sentro ng simetrya ng paralelogram.
3. Ang magkabilang panig ng paralelogram ay palaging pantay.
4. Gayundin, ang figure na ito ay palaging may pantay na kabaligtaran na mga anggulo.
5. Ang kabuuan ng mga anggulo na katabi ng alinman sa mga gilid ng isang paralelogram ay palaging 180°.
6. Ang kabuuan ng mga parisukat ng mga dayagonal ng isang paralelogram ay katumbas ng dalawang beses sa kabuuan ng mga parisukat ng dalawang magkatabing panig nito. Ito ay ipinahayag ng formula:
   • d 1 2 + d 2 2 = 2 (a 2 + b 2), kung saan ang d 1 at d 2 ay mga dayagonal, ang a at b ay magkatabing panig.
7. Ang cosine ng isang obtuse angle ay palaging mas mababa sa zero.

Paano mahahanap ang mga anggulo ng isang ibinigay na paralelogram gamit ang mga katangiang ito sa pagsasanay? At anong iba pang mga formula ang makakatulong sa atin dito? Tingnan natin ang mga partikular na gawain na nangangailangan ng: hanapin ang mga anggulo ng isang paralelogram.

Paghahanap ng mga anggulo ng isang paralelogram

Kaso 1. Alam ang sukat ng isang mapurol na anggulo;

Halimbawa: Sa paralelogram ABCD, ang anggulo A ay 120°. Hanapin ang sukat ng natitirang mga anggulo.

Solusyon: Gamit ang property No. 5, mahahanap natin ang sukat ng anggulo B na katabi ng anggulo na ibinigay sa gawain. Ito ay magiging katumbas ng:

• 180°-120°= 60°

At ngayon, gamit ang property No. 4, tinutukoy namin na ang dalawang natitirang anggulo C at D ay kabaligtaran sa mga anggulo na nahanap na namin. Ang anggulo C ay kabaligtaran ng anggulo A, ang anggulo D ay kabaligtaran ng anggulo B. Samakatuwid, sila ay pantay sa mga pares.

• Sagot: B = 60°, C = 120°, D=60°

Case 2. Ang mga haba ng mga gilid at dayagonal ay kilala

Sa kasong ito, kailangan nating gamitin ang cosine theorem.

Maaari muna nating gamitin ang formula upang kalkulahin ang cosine ng anggulo na kailangan natin, at pagkatapos ay gumamit ng isang espesyal na talahanayan upang mahanap kung ano ang katumbas ng anggulo mismo.

Para sa matinding anggulo ang formula ay:

• cosa = (A² + B² - d²) / (2 * A * B), kung saan
• a ay ang nais na matinding anggulo,
• Ang A at B ay ang mga gilid ng paralelogram,
• d - mas maliit na dayagonal

Para sa isang mahinang anggulo, bahagyang nagbabago ang formula:

• cosß = (A² + B² - D²) / (2 * A * B), kung saan
• Ang ß ay isang obtuse na anggulo,
• Ang A at B ay mga panig
• D - malaking dayagonal

Halimbawa: kailangan mong makahanap ng isang matinding anggulo ng isang paralelogram na ang mga gilid ay 6 cm at 3 cm, at ang mas maliit na dayagonal ay 5.2 cm

Palitan ang mga halaga sa formula upang makahanap ng isang matinding anggulo:

• cosa = (6 2 + 3 2 - 5.2 2) / (2 * 6 * 3) = (36 + 9 - 27.04) / (2 * 18) = 17.96/36 ~ 18/36 ~1/2
• cosa = 1/2. Mula sa talahanayan nalaman natin na ang nais na anggulo ay 60°.

Ang parallelogram ay isang quadrilateral na ang magkabilang panig ay magkatulad, iyon ay, nakahiga sila sa magkatulad na linya (Larawan 1).

Teorama 1. Sa mga katangian ng mga gilid at anggulo ng isang paralelogram. Sa isang paralelogram, ang magkasalungat na panig ay pantay, ang magkasalungat na mga anggulo ay pantay, at ang kabuuan ng mga anggulo na katabi ng isang gilid ng paralelogram ay 180°.

Patunay. Sa parallelogram ABCD na ito gumuhit kami ng isang dayagonal na AC at kumuha ng dalawang tatsulok na ABC at ADC (Larawan 2).

Ang mga tatsulok na ito ay magkapantay, dahil ∠ 1 = ∠ 4, ∠ 2 = ∠ 3 (crosswise angle para sa magkatulad na linya), at ang side AC ay karaniwan. Mula sa pagkakapantay-pantay Δ ABC = Δ ADC sumusunod na ang AB = CD, BC = AD, ∠ B = ∠ D. Ang kabuuan ng mga anggulo na katabi ng isang panig, halimbawa ang mga anggulo A at D, ay katumbas ng 180° bilang isang panig. para sa mga parallel na linya. Ang teorama ay napatunayan.

Magkomento. Ang pagkakapantay-pantay ng magkasalungat na panig ng isang paralelogram ay nangangahulugan na ang magkatulad na mga segment na pinutol ng mga magkatulad ay pantay.

Corollary 1. Kung ang dalawang linya ay magkatulad, ang lahat ng mga punto sa isang linya ay nasa parehong distansya mula sa kabilang linya.

Patunay. Sa katunayan, hayaan ang isang || b (Larawan 3).

Iguhit natin ang mga perpendicular na BA at CD sa tuwid na linya a mula sa ilang dalawang punto B at C ng linya b. Dahil AB || CD, pagkatapos ay figure ABCD ay isang paralelogram, at samakatuwid AB = CD.

Ang distansya sa pagitan ng dalawang magkatulad na linya ay ang distansya mula sa isang arbitrary na punto sa isa sa mga linya patungo sa kabilang linya.

Ayon sa kung ano ang napatunayan, ito ay katumbas ng haba ng patayo na iginuhit mula sa isang punto ng isa sa mga parallel na linya hanggang sa kabilang linya.

Halimbawa 1. Ang perimeter ng paralelogram ay 122 cm Ang isa sa mga gilid nito ay 25 cm na mas malaki kaysa sa isa.

Solusyon. Sa pamamagitan ng Theorem 1, ang magkabilang panig ng isang paralelogram ay pantay. Tukuyin natin ang isang panig ng paralelogram sa pamamagitan ng x at ang isa naman sa pamamagitan ng y. Pagkatapos, sa pamamagitan ng kundisyon $$\left\(\begin(matrix) 2x + 2y = 122 \\x - y = 25 \end(matrix)\right.$$ Ang paglutas sa sistemang ito, makuha namin ang x = 43, y = 18 Kaya, ang mga gilid ng paralelogram ay 18, 43, 18 at 43 cm.

Halimbawa 2.

Solusyon. Hayaang matugunan ng Figure 4 ang mga kondisyon ng problema.

Tukuyin natin ang AB ng x at BC ng y. Ayon sa kondisyon, ang perimeter ng parallelogram ay 10 cm, i.e. 2(x + y) = 10, o x + y = 5. Ang perimeter ng triangle ABD ay 8 cm At dahil AB + AD = x + y = 5 pagkatapos ay BD = 8 - 5 = 3. Kaya BD = 3 cm.

Halimbawa 3. Hanapin ang mga anggulo ng paralelogram, alam na ang isa sa kanila ay 50° na mas malaki kaysa sa isa.

Solusyon. Hayaang matugunan ng Figure 5 ang mga kondisyon ng problema.

Tukuyin natin ang sukat ng antas ng anggulo A sa x. Pagkatapos sukat ng antas ang anggulo D ay katumbas ng x + 50°.

Ang mga anggulo na BAD at ADC ay isang panig na panloob na mga anggulo na may mga parallel na linya AB at DC at secant AD. Kung gayon ang kabuuan ng mga pinangalanang anggulong ito ay magiging 180°, i.e.
x + x + 50° = 180°, o x = 65°. Kaya, ∠ A = ∠ C = 65°, a ∠ B = ∠ D = 115°.

Halimbawa 4. Ang mga gilid ng paralelogram ay 4.5 dm at 1.2 dm. Ang isang bisector ay iginuhit mula sa vertex ng isang matinding anggulo. Anong mga bahagi ang nahahati nito? malaking bahagi paralelogram?

Solusyon. Hayaang matugunan ng Figure 6 ang mga kondisyon ng problema.

Ang AE ay ang bisector ng isang matinding anggulo ng isang paralelogram. Samakatuwid, ∠ 1 = ∠ 2.