Pangkalahatang mga teorya ng dynamics ng isang sistema ng mga katawan. Mga teorya tungkol sa paggalaw ng gitna ng masa, tungkol sa pagbabago ng momentum, tungkol sa pagbabago ng pangunahing sandali ng momentum, tungkol sa pagbabago ng lakas na gumagalaw. Mga prinsipyo ng D'Alembert at mga posibleng paglipat. Pangkalahatang equation ng dynamics. Mga equation ng Lagrange.

Pangkalahatang mga teorya ng dynamics ng isang matibay na katawan at isang sistema ng mga katawan

Pangkalahatang mga teorya ng dynamics ay isang teorama sa paggalaw ng gitna ng masa mekanikal na sistema, theorem sa pagbabago ng dami ng paggalaw, teorama sa pagbabago sa pangunahing sandali ng angular momentum (angular momentum) at theorem sa pagbabago ng kinetic energy ng isang mechanical system.

Ang teorama sa paggalaw ng gitna ng masa ng isang mekanikal na sistema

Ang teorama sa paggalaw ng gitna ng masa.
Ang produkto ng masa ng system sa pamamagitan ng pagpabilis ng gitna ng masa ay katumbas ng vector na kabuuan ng lahat ng mga panlabas na pwersa na kumikilos sa system:
.

Narito ang M ay ang masa ng system:
;
isang C - pagpabilis ng gitna ng masa ng system:
;
v C ay ang bilis ng gitna ng masa ng system:
;
r C - radius vector (coordinate) ng gitna ng masa ng system:
;
- Mga coordinate (na may kaugnayan sa isang nakapirming gitna) at mga masa ng mga puntos na bumubuo sa system.

Ang teorama sa pagbabago sa dami ng paggalaw (momentum)

Ang dami ng paggalaw (salpok) ng system ay katumbas ng produkto ng masa ng buong sistema sa pamamagitan ng bilis ng gitna ng masa o ng kabuuan ng momentum (kabuuan ng mga salpok) ng mga indibidwal na puntos o bahagi na bumubuo sa system:
.

Ang teorama sa pagbabago sa momentum sa pagkakaiba-iba ng form.
Ang derivative ng oras ng momentum (momentum) ng system ay katumbas ng vector kabuuan ng lahat ng mga panlabas na pwersa na kumikilos sa system:
.

Ang teorama sa pagbabago sa momentum sa integral form.
Ang pagbabago sa momentum (salpok) ng system sa isang tiyak na tagal ng panahon ay katumbas ng kabuuan ng mga salpok ng mga panlabas na puwersa sa parehong panahon ng oras:
.

Ang batas ng pag-iingat ng momentum (momentum).
Kung ang kabuuan ng lahat ng mga panlabas na pwersa na kumikilos sa system ay katumbas ng zero, kung gayon ang vector ng momentum ng system ay magiging pare-pareho. Iyon ay, ang lahat ng mga pagpapakitang ito sa mga axis ng coordinate ay mananatili ng patuloy na mga halaga.

Kung ang kabuuan ng mga paglalagay ng panlabas na pwersa sa anumang axis ay zero, pagkatapos ay ang projection ng momentum ng system sa axis na ito ay magiging pare-pareho.

Ang teorama sa pagbabago ng pangunahing sandali ng momentum (ang teorya ng mga sandali)

Ang pangunahing sandali ng momentum ng system na may kaugnayan sa isang naibigay na O ay tinatawag na isang halaga na katumbas ng vector kabuuan ng mga sandali ng dami ng paggalaw ng lahat ng mga punto ng system na may kaugnayan sa gitna na ito:
.
Dito, ang mga square bracket ay nagpapahiwatig ng cross product.

Naayos na mga system

Ang sumusunod na teorema ay tumutukoy sa kaso kung ang mekanikal na sistema ay may isang nakapirming punto o axis, na naayos na kaugnay sa inertial frame ng sanggunian. Halimbawa, ang isang katawan na naayos na may isang spherical na tindig. O isang sistema ng mga katawan na gumagalaw sa paligid ng isang nakapirming sentro. Maaari rin itong maging isang nakapirming axis sa paligid kung saan umiikot ang isang katawan o isang sistema ng mga katawan. Sa kasong ito, ang mga sandali ay dapat na maunawaan bilang mga sandali ng salpok at mga puwersa na nauugnay sa naayos na axis.

Ang teorama sa pagbabago ng pangunahing sandali ng momentum (ang teorya ng mga sandali)
Ang time derivative ng pangunahing anggular momentum ng system na may kaugnayan sa ilang nakapirming center O ay katumbas ng kabuuan ng mga sandali ng lahat ng panlabas na pwersa ng system na may kaugnayan sa parehong sentro.

Ang batas ng pag-iingat ng pangunahing momentum ng anggular (momentum ng anggulo).
Kung ang kabuuan ng mga sandali ng lahat ng panlabas na pwersa na inilapat sa system na patungkol sa isang naibigay na nakapirming center O ay katumbas ng zero, kung gayon pangunahing punto ang halaga ng paggalaw ng system na may kaugnayan sa sentro na ito ay magiging pare-pareho. Iyon ay, ang lahat ng mga pagpapakitang ito sa mga axis ng coordinate ay mananatili ng patuloy na mga halaga.

Kung ang kabuuan ng mga sandali ng panlabas na pwersa na may kaugnayan sa ilang nakapirming axis ay katumbas ng zero, kung gayon ang angular momentum ng system na may kaugnayan sa axis na ito ay magiging pare-pareho.

Arbitraryong mga system

Ang susunod na teorama ay pandaigdigan. Nalalapat ito sa parehong nakapirming mga system at malayang paglipat ng mga iyon. Sa kaso ng mga nakapirming system, kinakailangang isaalang-alang ang mga reaksyon ng mga bono sa mga nakapirming puntos. Ito ay naiiba mula sa nakaraang teorama na sa halip na ang nakapirming punto O, dapat isa ang kumuha ng gitna ng masa C ng system.

Center ng Mass Moment Theorem
Ang time derivative ng pangunahing angular momentum ng system na may kaugnayan sa gitna ng mass C ay katumbas ng kabuuan ng mga sandali ng lahat ng panlabas na pwersa ng system na may kaugnayan sa parehong sentro.

Ang batas ng pag-iingat ng momentum ng angular.
Kung ang kabuuan ng mga sandali ng lahat ng panlabas na pwersa na inilapat sa system na may kaugnayan sa gitna ng masa C ay katumbas ng zero, kung gayon ang pangunahing momentum ng momentum ng system na may kaugnayan sa sentro na ito ay magiging pare-pareho. Iyon ay, ang lahat ng mga pagpapakitang ito sa mga axis ng coordinate ay mananatili ng patuloy na mga halaga.

Katawan sandali ng pagkawalang-galaw

Kung umiikot ang katawan sa paligid ng z-axis kasama si bilis ng angguloω z, pagkatapos ang angular momentum (angular momentum) na may kaugnayan sa z axis ay natutukoy ng formula:
L z = J z ω z,
kung saan ang J z ay ang sandali ng pagkawalang-kilos ng katawan na may kaugnayan sa z axis.

Sandali ng pagkawalang-kilos ng isang katawan tungkol sa z-axis natutukoy ng pormula:
,
kung saan ang h k ay ang distansya mula sa isang punto ng masa m k sa z axis.
Para sa isang manipis na singsing ng masa M at radius R o isang silindro na ang masa ay ipinamamahagi sa gilid nito,
J z = M R 2 .
Para sa isang solidong pare-parehong singsing o silindro,
.

Steiner-Huygens theorem.
Hayaan ang Cz ang axis na dumadaan sa gitna ng masa ng katawan, Oz ang axis na kahanay nito. Pagkatapos ang mga sandali ng pagkawalang-galaw ng katawan tungkol sa mga palakol na ito ay nauugnay sa ratio:
J Oz = J Cz + M a 2 ,
kung saan ang M ay bigat ng katawan; a ang distansya sa pagitan ng mga palakol.

Sa mas maraming pangkalahatang kaso :
,
nasaan ang tenor ng pagkawalang-galaw ng katawan.
Narito ang isang vector na iginuhit mula sa gitna ng masa ng katawan hanggang sa isang punto na may mass m k.

Ang teorama sa pagbabago ng lakas na gumagalaw

Hayaan ang isang katawan ng masa M na gampanan ang paggalaw ng translational at paikot na may anggular na tulin ω sa paligid ng ilang axis z. Pagkatapos ang lakas na gumagalaw ng katawan ay natutukoy ng pormula:
,
kung saan ang v C ay ang bilis ng paggalaw ng gitna ng masa ng katawan;
J Cz - sandali ng pagkawalang-kilos ng katawan tungkol sa axis na dumadaan sa gitna ng masa ng katawan na parallel sa axis ng pag-ikot. Ang direksyon ng axis ng pag-ikot ay maaaring magbago sa paglipas ng panahon. Ang tinukoy na formula ay nagbibigay ng instant na halaga ng lakas na gumagalaw.

Isang teorama sa pagbabago ng lakas na gumagalaw ng isang sistema na may kaugnayang form.
Ang kaugalian (pagtaas) ng enerhiya na gumagalaw ng system para sa ilan sa pag-aalis nito ay katumbas ng kabuuan ng mga kaugalian ng trabaho sa pag-aalis na ito ng lahat ng panlabas at panloob na pwersa na inilapat sa system:
.

Ang teorama sa pagbabago ng lakas na gumagalaw ng system sa integral na form.
Ang pagbabago sa lakas na kinetiko ng system na may ilan sa pag-aalis nito ay katumbas ng kabuuan ng gawain sa pag-aalis na ito ng lahat ng panlabas at panloob na pwersa na inilapat sa system:
.

Ang gawaing ginagawa ng kapangyarihan, ay katumbas ng scalar na produkto ng mga force vector at ang walang hanggang paglipat ng punto ng aplikasyon nito:
,
iyon ay, ang produkto ng ganap na mga halaga ng mga vector F at ds ng cosine ng anggulo sa pagitan nila.

Ang gawaing ginagawa ng sandali ng pwersa, ay katumbas ng scalar na produkto ng mga vector ng sandali at ang walang hanggang anggulo ng pag-ikot:
.

D'Alembert na prinsipyo

Ang kakanyahan ng prinsipyong d'Alembert ay upang mabawasan ang mga problema ng dynamics sa mga problema ng mga statics. Para sa mga ito, ipinapalagay (o nalalaman nang maaga) na ang mga katawan ng system ay may ilang (anggular) na mga pagpabilis. Susunod, ipinakilala ang mga puwersang hindi gumagalaw at (o) mga sandali ng mga puwersang pagkawalang-kilos, na pantay sa lakas at kabaligtaran sa direksyon ng mga puwersa at sandali ng mga puwersa, na, ayon sa mga batas ng mekaniko, ay lilikha ng tinukoy na mga acceleration o anggular na pagpabilis

Tingnan natin ang isang halimbawa. Sa paraan, ang katawan ay gumagawa ng isang pasulong na paggalaw at panlabas na pwersa kumilos dito. Dagdag dito, ipinapalagay namin na ang mga puwersang ito ay lumilikha ng pagpabilis ng gitna ng masa ng system. Ayon sa teorama sa paggalaw ng gitna ng masa, ang gitna ng masa ng isang katawan ay magkakaroon ng parehong pagbilis kung ang isang puwersa ay kumilos sa katawan. Susunod, ipinakilala namin ang lakas ng pagkawalang-galaw:
.
Pagkatapos nito, ang problema sa dynamics:
.
;
.

Para sa rotary na paggalaw, magpatuloy sa parehong paraan. Hayaang paikutin ang katawan sa paligid ng z-axis at ang panlabas na sandali ng mga puwersang M e zk na kumilos dito. Ipinapalagay namin na ang mga sandaling ito ay lumilikha ng isang anggular na pagpabilis. Z. Susunod, ipinakikilala namin ang sandali ng mga puwersang pagkawalang-kilos M И = - J z ε z. Pagkatapos nito, ang problema sa dynamics:
.
Ginagawang isang statics na gawain:
;
.

Ang prinsipyo ng mga posibleng paglipat

Ang prinsipyo ng mga posibleng paglipat ay ginagamit upang malutas ang mga static na problema. Sa ilang mga problema, nagbibigay ito ng isang mas maikling solusyon kaysa sa pagsusulat ng mga equilibrium equation. Totoo ito lalo na para sa mga system na may mga hadlang (halimbawa, mga system ng mga katawan na konektado ng mga thread at block), na binubuo ng maraming mga katawan

Ang prinsipyo ng mga posibleng paglipat.
Para sa balanse ng isang mekanikal na sistema na may mga perpektong paghihigpit, kinakailangan at sapat na ang kabuuan ng gawaing elementarya ng lahat ng mga aktibong pwersa na kumikilos dito para sa anumang posibleng pag-aalis ng system ay katumbas ng zero.

Posibleng paggalaw ng system- ito ay isang maliit na pag-aalis, na hindi masisira ang mga koneksyon na ipinataw sa system.

Perpektong mga koneksyon- ito ang mga koneksyon na hindi gumagana kapag ang system ay inilipat. Mas tiyak, ang dami ng gawaing isinagawa ng mga link sa kanilang sarili kapag gumagalaw ang system ay katumbas ng zero.

Pangkalahatang equation ng dynamics (d'Alembert - Lagrange na prinsipyo)

Ang prinsipyong d'Alembert-Lagrange ay isang kumbinasyon ng prinsipyong d'Alembert na may prinsipyo ng mga posibleng paglipat. Iyon ay, kapag nilulutas ang problema ng dynamics, ipinakikilala namin ang mga puwersang hindi gumagalaw at binabawasan ang problema sa problema ng mga statics, na nilulutas namin gamit ang prinsipyo ng mga posibleng paglipat.

D'Alembert - Lagrange na prinsipyo.
Kapag ang isang mekanikal na sistema na may perpektong mga hadlang ay gumagalaw sa bawat sandali ng oras, ang kabuuan ng gawaing elementarya ng lahat ng inilapat na mga aktibong pwersa at lahat ng mga puwersang hindi gumagalaw sa anumang posibleng pag-aalis ng system ay katumbas ng zero:
.
Ang equation na ito ay tinawag pangkalahatang equation ng dynamics.

Lagrange Equation

Pangkalahatang mga coordinate q 1, q 2, ..., q n ay isang koleksyon ng mga n halagang natatanging natukoy ang posisyon ng system.

Ang bilang ng mga pangkalahatang coordinate n ay tumutugma sa bilang ng mga degree ng kalayaan ng system.

Pangkalahatang bilis ay ang mga derivatives ng pangkalahatang mga coordinate na may paggalang sa oras t.

Pangkalahatang puwersa Q 1, Q 2, ..., Q n .
Isaalang-alang ang isang posibleng paggalaw ng system, kung saan ang koordinasyon ng q k ay makakatanggap ng isang kilusang δq k. Ang natitirang mga coordinate ay mananatiling hindi nagbabago. Hayaan ang δA k na gawaing ginagawa ng mga panlabas na pwersa sa panahon ng isang pag-aalis. Tapos
δA k = Q k δq k, o
.

Kung, sa isang posibleng paggalaw ng system, ang lahat ng mga coordinate ay nagbabago, kung gayon ang gawaing isinagawa ng mga panlabas na pwersa sa gayong kilusan ay may form:
δA = Q 1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q n δq n.
Kung gayon ang pangkalahatang puwersa ay bahagyang derivatives ng trabaho sa mga paglipat:
.

Para sa mga potensyal na puwersa may potensyal na Π,
.

Lagrange Equation ay ang mga equation ng paggalaw ng isang mekanikal na sistema sa pangkalahatan na mga coordinate:

Narito ang T ay lakas ng lakas. Ito ay isang pag-andar ng pangkalahatang mga coordinate, tulin, at posibleng oras. Samakatuwid, ang bahagyang hinalaw nito ay isang pag-andar din ng pangkalahatang mga coordinate, bilis at oras. Dagdag dito, kailangan mong isaalang-alang na ang mga coordinate at bilis ay mga pagpapaandar ng oras. Samakatuwid, upang mahanap ang kabuuang derivative ng oras, kinakailangan na ilapat ang panuntunan para sa pag-iba ng isang kumplikadong pag-andar:
.

Mga Sanggunian:
S. M. Targ, Maikling kurso teoretikal na mekanika, "High School", 2010.

(MISTANISTANG SISTEMA) - IV na pagpipilian

1. Ang pangunahing equation ng dynamics ng isang materyal na punto, tulad ng nalalaman, ay ipinahayag ng equation. Mga Pagkakaiba na Pagkakatulad ang mga paggalaw ng di-makatwirang mga punto ng isang hindi malayang mekanikal na sistema ayon sa dalawang pamamaraan ng paghahati ng pwersa ay maaaring isulat sa dalawang anyo:

(1) , kung saan ang k = 1, 2, 3,…, n ay ang bilang ng mga punto ng materyal na sistema.

(2)

nasaan ang masa ng k-th point; ay ang radius vector ng k-th point, ay ang ibinigay na (aktibong) puwersa na kumikilos sa k-th point o ang resulta ng lahat ng mga aktibong pwersa na kumikilos sa k-th point. - resulta ng mga puwersa ng mga reaksyon ng mga bono, kumikilos sa k-th point; - resulta ng panloob na pwersa na kumikilos sa k-th point; ay ang resulta ng panlabas na pwersa na kumikilos sa k-th point.

Gamit ang mga equation (1) at (2), maaaring magsikap ang isa na malutas ang pareho at una sa mga pangalawang problema ng dynamics. Gayunpaman, ang solusyon ng pangalawang problema ng dynamics para sa system ay naging napaka-kumplikado hindi lamang mula sa pananaw ng matematika, ngunit din dahil nahaharap tayo sa mga pangunahing paghihirap. Binubuo ang mga ito sa katotohanan na kapwa para sa system (1) at para sa system (2) ang bilang ng mga equation ay makabuluhang mas mababa ang bilang hindi alam

Kaya, kung gagamitin namin ang (1), kung gayon ang dynamics ay makikilala para sa pangalawang (kabaligtaran) na problema, at at hindi malalaman. Ang mga vector equation ay " n", At hindi alam -" 2n ".

Kung magpapatuloy kami mula sa system ng mga equation (2), kung gayon ang ilan sa mga panlabas na pwersa ay kilala rin. Bakit naghiwalay Ang punto ay ang mga panlabas na puwersa ay nagsasama rin ng panlabas na reaksyon ng mga bono, na hindi alam. Bilang karagdagan, ang hindi kilalang magiging.

Samakatuwid, ang parehong system (1) at system (2) ay HINDI isara. Kinakailangan na magdagdag ng mga equation, isinasaalang-alang ang mga equation ng mga hadlang, at marahil ay kailangan mo pa ring magpataw ng ilang mga paghihigpit sa kanilang mga hadlang mismo. Anong gagawin?

Kung magpapatuloy tayo mula sa (1), maaari nating sundin ang landas ng pagguhit ng mga equation ng Lagrange ng unang uri. Ngunit ang landas na ito ay hindi makatuwiran dahil ano mas madaling gawain(mas kaunting antas ng kalayaan), mas mahirap ito mula sa pananaw ng matematika upang malutas ito.

Pagkatapos ay bigyang pansin natin ang system (2), kung saan - laging hindi kilala. Ang unang hakbang sa paglutas ng isang sistema ay upang alisin ang mga hindi kilalang ito. Dapat tandaan na, bilang panuntunan, hindi kami interesado sa mga panloob na pwersa kapag gumagalaw ang system, iyon ay, kapag gumagalaw ang system, hindi kinakailangang malaman kung paano gumagalaw ang bawat punto ng system, ngunit ito ay sapat na upang malaman kung paano gumagalaw ang system sa kabuuan.

Kaya kung iba't ibang paraan ibukod ang mga hindi kilalang puwersa mula sa system (2), pagkatapos kumuha kami ng ilang mga relasyon, ibig sabihin, ilang Pangkalahatang katangian para sa isang sistema, kung saan ginagawang posible upang hatulan kung paano gumagalaw ang system sa pangkalahatan. Ang mga katangiang ito ay ipinakilala gamit ang tinatawag na pangkalahatang theorems ng dynamics. Mayroong apat na tulad ng mga teorya:

1. Teorya tungkol sa paggalaw ng gitna ng masa ng sistemang mekanikal;

2. Ang teorya tungkol sa pagbabago ng momentum ng isang mekanikal na sistema;

3. Ang teorya tungkol sa pagbabago sa angular momentum ng mekanikal na sistema;

4. Ang teorya tungkol sa mga pagbabago sa lakas na gumagalaw ng mekanikal na sistema.

Medyo madalas posible na ihiwalay mahahalagang tampok paggalaw ng isang mekanikal na sistema nang hindi gumagamit ng pagsasama ng isang sistema ng mga kaugalian ng pagkakatulad ng paggalaw. Nakamit ito sa pamamagitan ng paglalapat ng pangkalahatang mga teorama ng dynamics.

5.1. Pangunahing konsepto at kahulugan

Panlabas at panloob na pwersa. Ang anumang puwersa na kumikilos sa isang punto sa isang mekanikal na sistema ay kinakailangang alinman sa isang aktibong puwersa o isang reaksyon ng bono. Ang buong hanay ng mga puwersa na kumikilos sa mga puntos ng system ay maaaring nahahati sa dalawang klase nang magkakaiba: sa mga panlabas na pwersa at panloob na pwersa (mga indeks at e - mula sa mga salitang Latin na externus - panlabas at internus - panloob). Ang mga panlabas na pwersa ay tinatawag na mga puwersang kumikilos sa mga puntos ng system mula sa gilid ng mga puntos at katawan na hindi bahagi ng system na isinasaalang-alang. Ang mga panloob na puwersa ay ang mga puwersa ng pakikipag-ugnayan sa pagitan ng mga puntos at katawan ng system na isinasaalang-alang.

Ang paghahati na ito ay nakasalalay sa kung anong mga materyal na puntos at katawan ang kasama ng mananaliksik sa isinasaalang-alang na mekanikal na sistema. Kung ang komposisyon ng system ay pinalawak upang isama ang mga karagdagang puntos at katawan, kung gayon ang ilang mga puwersa na panlabas para sa nakaraang sistema ay maaaring maging panloob para sa pinalawak na sistema.

Mga pag-aari ng panloob na puwersa. Dahil ang mga puwersang ito ay mga puwersa ng pakikipag-ugnay sa pagitan ng mga bahagi ng system, kasama ang mga ito sa kumpletong sistema ng panloob na pwersa ng "dalawa", naayos ayon sa axiom ng action-reaksyon. Ang bawat isa sa mga "dalawang" pwersang ito

ang punong vector at punong-guro na sandali tungkol sa isang di-makatwirang sentro ay katumbas ng zero. Dahil ang kumpletong sistema ng panloob na pwersa ay binubuo lamang ng "dalawa", kung gayon

1) ang pangunahing vector ng system ng panloob na pwersa ay zero,

2) ang pangunahing sandali ng system ng panloob na pwersa na may kaugnayan sa isang di-makatwirang point ay katumbas ng zero.

Ang masa ng system ay tinatawag kabuuan ng arithmetic masa ng mk ng lahat ng mga puntos at katawan na bumubuo ng system:

Sentro ng misa(gitna ng pagkawalang-galaw) ng isang mekanikal na sistema ay tinatawag na isang geometric point C, ang radius vector at mga coordinate na tinutukoy ng mga formula

nasaan ang mga radius vector at coordinate ng mga puntong bumubuo ng system.

Para kay matibay, na matatagpuan sa isang homogenous gravity field, ang mga posisyon ng gitna ng masa at sentro ng gravity ay magkasabay, sa ibang mga kaso ito ay magkakaibang mga geometric point.

Kasama ang inertial na frame ng sanggunian, isang di-inertial na frame ng sanggunian, na gumagalaw nang pagsasalin, ay madalas na isinasaalang-alang nang sabay-sabay. Ang mga coordinate axes (Koenig axes) ay pinili upang ang pinagmulan C ay patuloy na tumutugma sa gitna ng masa ng mekanikal na sistema. Alinsunod sa kahulugan, ang gitna ng masa ay naayos sa Koenig axes at matatagpuan sa pinagmulan.

Sistema ng sandali ng pagkawalang-galaw na may kaugnayan sa axis ay tinatawag na isang halaga ng scalar na katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng masa ng mk ng lahat ng mga punto ng system ng mga parisukat ng kanilang distansya sa axis:

Kung ang mekanikal na sistema ay isang solid, maaari mong gamitin ang formula upang makahanap ng 12

nasaan ang density, ang dami ng sinasakop ng katawan.

Sa pamamagitan ng isang malaking bilang ng mga materyal na puntos na bahagi ng isang mekanikal na sistema, o kung may kasamang ganap na mahigpit na mga katawan () na gumaganap ng di-salin-galaw na paggalaw, ang paggamit ng isang sistema ng mga pagkakapantay-pantay na equation ng paggalaw sa paglutas ng pangunahing problema ng dynamics ng ang isang mekanikal na sistema ay naging praktikal na hindi praktikal. Gayunpaman, kapag nalulutas ang maraming mga problema sa engineering, hindi kinakailangan upang matukoy ang paggalaw ng bawat punto ng mekanikal na sistema nang magkahiwalay. Minsan sapat na upang makabuo ng mga konklusyon tungkol sa pinakamahalagang aspeto ng napag-aralan na proseso ng paggalaw nang hindi ganap na nalulutas ang system ng mga equation ng paggalaw. Ang mga konklusyon na ito mula sa mga pagkakaiba-iba na equation ng paggalaw ng isang mekanikal na sistema ay bumubuo ng nilalaman ng mga pangkalahatang theorem ng dinamika. Pangkalahatang mga teorya, una, naglalabas mula sa pangangailangan sa bawat indibidwal na kaso upang maisagawa ang mga pagbabagong matematika na karaniwan para sa iba't ibang mga problema at ginanap sila nang isang beses at para sa lahat kapag nagmula sa mga theorem mula sa mga pagkakaiba-iba ng pagkilos. Pangalawa, ang mga pangkalahatang teorya ay nagbibigay ng isang koneksyon sa pagitan ng pangkalahatang pinagsama-samang mga katangian ng paggalaw ng isang mekanikal na sistema, na may malinaw na pisikal na kahulugan. Ang mga pangkalahatang katangiang ito tulad ng momentum, momentum, kinetic energy ng isang mechanical system ay tinawag mga hakbang sa paggalaw ng mekanikal na sistema.

Ang unang sukat ng paggalaw ay ang dami ng paggalaw ng isang mekanikal na sistema

Ang dami ng paggalaw ng isang materyal na punto ay ang sukat ng vector ng paggalaw nito, katumbas ng produkto ng masa ng punto ayon sa bilis nito:

.

Ang dami ng paggalaw ng isang mekanikal na sistema ay ang sukat ng vector ng paggalaw nito, katumbas ng kabuuan ng dami ng paggalaw ng mga puntos nito:

, (13.1)

Binabago namin ang kanang bahagi ng pormula (23.1):

kung saan
- ang masa ng buong sistema,
ay ang bilis ng gitna ng misa.

Samakatuwid, ang momentum ng isang mekanikal na sistema ay katumbas ng momentum ng gitna ng masa, kung ang buong masa ng system ay nakatuon dito:

.

Salpok ng lakas

Ang produkto ng isang puwersa sa pamamagitan ng isang elementarya na oras ng oras ng pagkilos nito
ay tinatawag na elementarya na salpok ng puwersa.

Salpok ng kapangyarihan sa loob ng isang tagal ng panahon ay tinatawag na integral ng elementarya na salpok ng puwersa

.

Ang teorama sa pagbabago sa momentum ng isang mekanikal na sistema

Hayaan para sa bawat punto
ang mekanikal na sistema ay kumilos sa pamamagitan ng resulta ng panlabas na pwersa at ang resulta ng panloob na pwersa .

Isaalang-alang ang pangunahing mga equation ng dynamics ng isang mechanical system

Pagdaragdag ng mga equation na pang-matagalang (13.2) para sa n point ng system, nakukuha namin

(13.3)

Ang unang kabuuan sa kanan ay katumbas ng pangunahing vector panlabas na pwersa ng system. Ang pangalawang kabuuan ay katumbas ng zero ng pag-aari ng panloob na puwersa ng system. Isaalang-alang kaliwang parte pagkakapantay-pantay (13.3):

Sa gayon, nakukuha natin ang:

, (13.4)

o sa mga pagpapakitang sa coordinate axes

(13.5)

Ang mga Equalities (13.4) at (13.5) ay nagpapahiwatig ng teorama sa pagbabago sa momentum ng isang mekanikal na sistema:

Ang derivative ng oras ng momentum ng isang mekanikal na sistema ay katumbas ng pangunahing vector ng lahat ng panlabas na pwersa ng mekanikal na sistema.

Ang teorama na ito ay maaari ding kinatawan sa integral na form sa pamamagitan ng pagsasama ng magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay (13.4) sa paglipas ng panahon sa saklaw mula sa t 0 hanggang t:

, (13.6)

kung saan
, at ang integral sa kanang bahagi ay ang salpok ng mga panlabas na pwersa sa likuran

oras t-t 0 .

Pagkakapantay-pantay (13.6) ay kumakatawan sa theorem sa integral form:

Ang pagtaas sa momentum ng isang mekanikal na sistema sa isang may wakas na oras ay katumbas ng salpok ng panlabas na pwersa sa oras na ito.

Ang teorema ay tinatawag din ang teorya ng salpok.

Sa mga pagpapakitang sa coordinate axes, ang teorama ay nakasulat sa form:

Mga kahihinatnan (batas ng pangangalaga ng momentum)

1). Kung ang pangunahing vector ng mga panlabas na pwersa para sa isinasaalang-alang na tagal ng oras ay katumbas ng zero, kung gayon ang momentum ng mekanikal na sistema ay pare-pareho, ibig sabihin kung
,
.

2). Kung ang projection ng pangunahing vector ng panlabas na pwersa papunta sa anumang aksis para sa isinasaalang-alang na agwat ng oras ay katumbas ng zero, kung gayon ang pag-iilaw ng momentum ng mekanikal na sistema papunta sa axis na ito ay pare-pareho,

mga yan kung
tapos
.

Ang teorama sa paggalaw ng gitna ng masa. Mga magkakaibang equation ng paggalaw ng isang mechanical system. Isang teorama sa paggalaw ng gitna ng masa ng isang mekanikal na sistema. Ang batas ng pag-iingat ng paggalaw ng gitna ng masa.

Ang teorama sa pagbabago sa dami ng paggalaw. Ang dami ng paggalaw ng isang materyal na punto. Elementary salpok ng kapangyarihan. Salpok ng puwersa sa isang may hangganan na tagal ng panahon at ang proxy nito sa mag-coordinate ng mga palakol... Isang teorama sa pagbabago sa momentum ng isang materyal na punto sa pagkakaiba-iba at may hangganan na mga form.

Ang dami ng paggalaw ng mekanikal na sistema; ang ekspresyon nito sa pamamagitan ng masa ng system at ang bilis ng gitna ng masa. Isang teorama sa pagbabago sa momentum ng isang mekanikal na sistema sa pagkakaiba at may hangganan na mga form. Ang batas ng pag-iingat ng momentum ng mekanikal

(Ang konsepto ng isang katawan at isang punto ng variable na masa. Equation ni Meshchersky. Formula ni Tsiolkovsky.)

Ang teorama sa pagbabago sa angular momentum. Ang angular momentum ng isang materyal na punto na may kaugnayan sa gitna at kaugnay sa axis. Teorama tungkol sa pagbabago sa angular momentum ng isang materyal na punto. Lakas ng kapangyarihan. Ang pag-iingat ng angular momentum ng isang materyal na punto sa kaso ng isang gitnang puwersa. (Ang konsepto ng bilis ng sektor. Ang batas ng mga lugar.)

Ang pangunahing sandali ng dami ng paggalaw o angular momentum ng isang mekanikal na sistema tungkol sa gitna at tungkol sa axis. Ang sandali ng kinetic ng isang umiikot na matibay na katawan tungkol sa axis ng pag-ikot. Teorama tungkol sa pagbabago sa angular momentum ng isang mekanikal na sistema. Ang batas ng pag-iingat ng angular momentum ng isang mekanikal na sistema. (Ang teorama sa pagbabago sa angular momentum ng isang mekanikal na sistema na may kaugnay na paggalaw patungkol sa gitna ng masa.)

Ang teorama sa pagbabago ng lakas na gumagalaw. Kinetic na enerhiya ng isang materyal na punto. Elementary power work; analitikong pagpapahayag ng gawaing elementarya. Ang gawain ng puwersa sa huling pag-aalis ng punto ng aplikasyon nito. Ang gawain ng puwersa ng gravity, ang puwersa ng pagkalastiko at ang puwersa ng gravity. Isang teorama sa pagbabago ng lakas na gumagalaw ng isang materyal na punto sa pagkakaiba-iba at may hangganan na mga form.

Kinetic energy ng isang mechanical system. Mga pormula para sa pagkalkula ng enerhiya na gumagalaw ng isang matibay na katawan sa paggalaw ng pagsasalin, sa pag-ikot sa paligid ng isang nakapirming axis at sa pangkalahatang kaso ng paggalaw (lalo na, sa isang paggalaw ng eroplano-parallel). Isang teorama sa pagbabago ng lakas na gumagalaw ng isang mekanikal na sistema sa pagkakaiba at may hangganan na mga form. Pagkakapantay-pantay sa zero ng kabuuan ng gawain ng panloob na pwersa sa isang solid. Ang trabaho at lakas ng mga puwersa na inilapat sa isang matibay na katawan na umiikot sa isang nakapirming axis.

Ang konsepto ng isang larangan ng puwersa. Potensyal na patlang ng lakas at paggana ng puwersa. Pagpapahayag ng mga puwersa na pagpapakita sa pamamagitan ng paggana ng puwersa. Mga ibabaw na pantay na potensyal. Pilit na magtrabaho sa huling pag-aalis ng isang punto sa isang potensyal na larangan ng puwersa. Potensyal na enerhiya. Mga halimbawa ng mga potensyal na larangan ng puwersa: magkakatulad na gravity gravity at gravitational field. Ang batas ng pag-iingat ng lakas na mekanikal.

Mahigpit na dynamics ng katawan. Mga magkakaibang equation ng galaw ng pagsasalin ng isang matibay na katawan. Pagkakaiba ng equation ng pag-ikot ng isang matibay na katawan tungkol sa isang nakapirming axis. Pisikal na palawit. Mga magkakaibang equation para sa galaw ng eroplano ng isang matibay na katawan.

Ang prinsipyo ng d'Alembert. D'Alembert na prinsipyo para sa isang materyal na punto; lakas ng pagkawalang-galaw. Ang prinsipyo ng d'Alembert para sa isang mekanikal na sistema. Nagdadala ng mga puwersa ng pagkawalang-kilos ng mga puntos ng isang matibay na katawan sa gitna; ang pangunahing vector at ang pangunahing sandali ng mga puwersang pagkawalang-galaw.

(Pagtukoy ng mga pabago-bagong reaksyon ng mga bearings kapag ang isang matibay na katawan ay umiikot sa isang nakapirming axis. Ang kaso kung ang axis ng pag-ikot ay ang pangunahing gitnang axis ng pagkawalang-galaw ng katawan.)

Ang prinsipyo ng mga posibleng paglipat at ang pangkalahatang equation ng dynamics. Ang mga hadlang na ipinataw sa isang mekanikal na sistema. Posibleng (o virtual) na paggalaw ng isang materyal na punto at isang mekanikal na sistema. Ang bilang ng mga degree ng kalayaan ng system. Perpektong mga koneksyon. Ang prinsipyo ng mga posibleng paglipat. Pangkalahatang equation ng dynamics.

Ang mga equation ng paggalaw ng system sa pangkalahatang mga coordinate (Lagrange equation). Pangkalahatang mga coordinate ng system; pangkalahatang bilis. Pagpapahayag ng gawaing elementarya sa pangkalahatang mga coordinate. Pangkalahatang puwersa at ang kanilang pagkalkula; ang kaso ng mga puwersang mayroong potensyal. Ang mga kondisyon ng balanse para sa system sa pangkalahatang mga coordinate. Mga magkakaibang equation ng paggalaw ng system sa pangkalahatang mga coordinate o Lagrange equation ng pangalawang uri. Lagrange equation sa kaso ng mga potensyal na puwersa; Pag-andar ng Lagrange (potensyal na kinetic).

Ang konsepto ng katatagan ng balanse. Maliit na libreng mga panginginig ng isang sistema ng makina na may isang antas ng kalayaan tungkol sa isang matatag na posisyon ng balanse ng sistema at kanilang mga pag-aari.

Mga elemento ng teorya ng epekto. Hindi pangkaraniwang epekto Epekto ng lakas at impulse ng epekto. Epekto ng puwersa sa isang materyal na punto. Ang teorama sa pagbabago sa momentum ng isang mekanikal na sistema sa epekto. Direktang gitnang epekto ng katawan sa isang nakatigil na ibabaw; nababanat at hindi matatag na mga epekto. Epekto ng pagbawi ng epekto at ang pagpapasyang pang-eksperimentong ito. Direktang suntok sa gitna ng dalawang katawan. Teorama ni Carnot.

BIBLIOGRAPHY

Batayan

Butenin N.V., Lunts Ya- L., Merkin D.R. Kurso ng Teoretikal na Mekaniko. T. 1, 2. M., 1985 at mga nakaraang edisyon.

Dobronravov V.V., Nikitin N.N. Kurso ng Teoretikal na Mekaniko. M., 1983.

Starzhinsky V.M. Mekanikal na panteorya. M., 1980.

Targ S.M. Isang maikling kurso sa mga mekanikal na panteorya. M., 1986 at mga nakaraang edisyon.

Yablonsky A.A., Nikiforova V.M. Kurso ng Teoretikal na Mekaniko. Bahagi 1. M., 1984 at mga nakaraang edisyon.

A. A. Yablonsky Kurso ng Teoretikal na Mekaniko. Bahagi 2. M., 1984 at mga nakaraang edisyon.

I. V. Meshchersky Koleksyon ng mga gawain para sa mekanikal na panteorya... M., 1986 at mga nakaraang edisyon.

Koleksyon ng mga problema sa teoretikal na mekanika / Ed. K. S. Kolesnikova. M., 1983.

Karagdagan

Bat M.I., Dzhanelidze G.Yu., Kelzon A.S. Mga mekanikal na panteorya sa mga halimbawa at problema. Bahagi 1, 2. M., 1984 at mga nakaraang edisyon.

Koleksyon ng mga problema sa teoretikal na mekanika / 5razhnichen / co N.A., Kan V.L., Mintsberg B.L. et al. M., 1987.

Novozhilov I.V., Zatsepin M.F. Karaniwang mga kalkulasyon sa mga mekanikal na panteorya batay sa isang computer. M., 1986,

Koleksyon ng mga gawain para sa term paper sa teoretikal na mekanika / Ed. A. A. Yablonsky. M., 1985 at mga nakaraang edisyon (naglalaman ng mga halimbawa ng paglutas ng problema).