Medyo madalas posible na ihiwalay mahahalagang katangian paggalaw mekanikal na sistema nang hindi gumagamit ng system integration differential equation paggalaw. Ito ay nakakamit sa pamamagitan ng paglalapat ng mga pangkalahatang theorems ng dinamika.

5.1. Pangunahing konsepto at kahulugan

Panlabas at panloob na pwersa. Anumang puwersa na kumikilos sa isang punto sa isang mekanikal na sistema ay kinakailangang alinman sa isang aktibong puwersa o isang reaksyon ng bono. Ang buong hanay ng mga puwersa na kumikilos sa mga punto ng sistema ay maaaring nahahati sa dalawang klase nang naiiba: sa mga panlabas na puwersa at panloob na mga puwersa (mga indeks e at i - mula sa mga salitang Latin na externus - panlabas at internus - panloob). Ang mga panlabas na puwersa ay tinatawag na mga puwersang kumikilos sa mga punto ng sistema mula sa gilid ng mga punto at katawan na hindi bahagi ng sistemang isinasaalang-alang. Ang mga panloob na puwersa ay ang mga puwersa ng pakikipag-ugnayan sa pagitan ng mga punto at katawan ng sistemang isinasaalang-alang.

Ang dibisyong ito ay nakasalalay sa kung anong mga materyal na punto at katawan ang kasama ng mananaliksik sa itinuturing na mekanikal na sistema. Kung palawakin natin ang komposisyon ng system, kabilang ang mga dagdag na puntos at katawan, kung gayon ang ilang puwersa na panlabas para sa nakaraang sistema ay maaaring maging panloob para sa pinalawak na sistema.

Mga katangian ng panloob na pwersa. Dahil ang mga puwersang ito ay mga puwersa ng pakikipag-ugnayan sa pagitan ng mga bahagi ng sistema, ang mga ito ay kasama sa kumpletong sistema ng mga panloob na pwersa ng "dalawa", na inayos alinsunod sa axiom ng aksyon-reaksyon. Ang bawat isa sa "dalawang" pwersang ito

pangunahing vector at pangunahing punto ay katumbas ng zero na nauugnay sa isang arbitrary center. Dahil ang kumpletong sistema ng mga panloob na pwersa ay binubuo lamang ng "dalawa", kung gayon

1) ang pangunahing vector ng sistema ng mga panloob na pwersa ay zero,

2) ang pangunahing sandali ng sistema ng mga panloob na pwersa na nauugnay sa isang di-makatwirang punto ay katumbas ng zero.

Ang masa ng sistema ay tinatawag arithmetic sum masa ng mk ng lahat ng mga punto at katawan na bumubuo sa sistema:

Sentro ng misa(center of inertia) ng isang mekanikal na sistema ay tinatawag na geometric point C, ang radius vector at mga coordinate na kung saan ay tinutukoy ng mga formula

nasaan ang radius vectors at mga coordinate ng mga puntos na bumubuo sa system.

Para sa solid, na matatagpuan sa isang pare-parehong gravity field, ang mga posisyon ng sentro ng masa at sentro ng grabidad ay nag-tutugma, sa ibang mga kaso ang mga ito ay magkakaibang mga geometric na punto.

Kasama ang inertial reference frame, ang isang non-inertial reference frame, na gumagalaw sa pagsasalin, ay madalas na isinasaalang-alang nang sabay-sabay. Ang mga coordinate axes nito (Koenig axes) ay pinili upang ang pinagmulan C ay patuloy na tumutugma sa sentro ng masa ng mekanikal na sistema. Alinsunod sa kahulugan, ang sentro ng masa ay naayos sa Koenig axes at matatagpuan sa pinanggalingan.

System moment of inertia kamag-anak sa axis ay tinatawag na scalar value na katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng masa ng mk ng lahat ng mga punto ng system sa pamamagitan ng mga parisukat ng kanilang mga distansya sa axis:

Kung solid ang mekanikal na sistema, maaari mong gamitin ang formula upang mahanap ang 12

kung saan ang density, ang dami na inookupahan ng katawan.

MINISTRY NG AGRIKULTURA AT PAGKAIN NG REPUBLIKA NG BELARUS

Institusyong pang-edukasyon "BELARUSIAN STATE AGRARIAN

TECHNICAL UNIVERSITY"

Kagawaran ng Theoretical Mechanics at Theory of Mechanisms and Machines

THEORETICAL MECHANICS

methodological complex para sa mga mag-aaral ng isang pangkat ng mga specialty

74 06 Agroengineering

Sa 2 bahagi Part 1

UDC 531.3 (07) BBK 22.213ya7 T 33

Compiled by:

kandidato ng pisikal at matematikal na agham, associate professor S. Biza, kandidato mga teknikal na agham, associate professor L. Rakova, senior lecturer A. Tarasevich

Mga Reviewer:

Kagawaran ng Theoretical Mechanics ng Educational Institution "Belarusian National Technical University" (Head

Department of Theoretical Mechanics BNTU Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Propesor A. V. Chigarev);

nangungunang mananaliksik ng laboratoryo "Proteksyon ng vibration ng mga mekanikal na sistema" Institusyon ng Siyentipiko ng Estado "United Institute of Mechanical Engineering

NAS ng Belarus ", Kandidato ng Teknikal na Agham, Associate Professor A. M. Goman

Teoretikal na mekanika... Seksyon "Dynamics": pang-edukasyon

Paraan ng T33. kumplikado. Sa 2 oras, Bahagi 1 / comp .: Yu. S. Biza, N. L. Rakova, I. A. Tarasevich. - Minsk: BGATU, 2013 .-- 120 p.

ISBN 978-985-519-616-8.

Ang educational-methodical complex ay naglalaman ng mga materyales para sa pag-aaral ng seksyong "Dynamics", bahagi 1, na bahagi ng disiplina na "Theoretical Mechanics". May kasamang kurso ng mga lektura, mga pangunahing materyales para sa pagpapatupad praktikal na pagsasanay, mga takdang-aralin at mga halimbawa ng mga takdang-aralin para sa independiyenteng trabaho at kontrol mga aktibidad sa pagkatuto full-time at part-time na mga mag-aaral.

UDC 531.3 (07) BBK 22.213ya7

PANIMULA

Ang teoretikal na mekanika ay ang agham ng mga pangkalahatang batas ng mekanikal na paggalaw, balanse at pakikipag-ugnayan ng mga materyal na katawan.

Ito ay isa sa mga pangunahing pangkalahatang siyentipikong pisikal at matematikal na disiplina. Ito ang teoretikal na batayan ng modernong teknolohiya.

Ang pag-aaral ng teoretikal na mekanika, kasama ang iba pang mga pisikal at matematikal na disiplina, ay nag-aambag sa pagpapalawak ng mga pang-agham na abot-tanaw, bumubuo ng kakayahan para sa kongkreto at abstract na pag-iisip at nag-aambag sa isang pagtaas sa pangkalahatang teknikal na kultura ng hinaharap na espesyalista.

Ang teoretikal na mekanika, bilang siyentipikong batayan ng lahat ng mga teknikal na disiplina, ay nag-aambag sa pag-unlad ng mga kasanayan makatwirang desisyon mga gawaing pang-inhinyero na may kaugnayan sa pagpapatakbo, pagkukumpuni at disenyo ng makinarya at kagamitan sa pagsasaka at pagbawi ng lupa.

Sa likas na katangian ng mga problemang isinasaalang-alang, ang mekanika ay nahahati sa statics, kinematics at dynamics. Ang dinamika ay isang sangay ng teoretikal na mekanika na nag-aaral sa paggalaw ng mga materyal na katawan sa ilalim ng pagkilos ng mga puwersang inilapat.

V pang-edukasyon na pamamaraan complex (UMC) ay nagtatanghal ng mga materyales para sa pag-aaral ng seksyong "Dynamics", na kinabibilangan ng kurso ng mga lektura, mga pangunahing materyales para sa pagsasagawa Praktikal na trabaho, mga takdang-aralin at mga halimbawa ng pagpapatupad para sa pansariling gawain at pagsubaybay sa mga aktibidad na pang-edukasyon ng mga full-time at part-time na mga mag-aaral.

V bilang resulta ng pag-aaral sa seksyong "Dynamics", dapat matuto ang mag-aaral teoretikal na batayan dinamika at makabisado ang mga pangunahing pamamaraan ng paglutas ng mga problema sa dinamika:

Alamin ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga problema ng dinamika, pangkalahatang teorema dinamika, mga prinsipyo ng mekanika;

Upang matukoy ang mga batas ng paggalaw ng isang katawan depende sa mga puwersang kumikilos dito; ilapat ang mga batas at teorema ng mekanika upang malutas ang mga problema; matukoy ang mga static at dynamic na reaksyon ng mga hadlang na naglilimita sa paggalaw ng mga katawan.

Ang kurikulum ng disiplinang "Theoretical Mechanics" ay nagbibigay ng kabuuang bilang ng mga oras sa silid-aralan - 136, kasama ang 36 na oras para sa pag-aaral sa seksyong "Dynamics."

1. SCIENTIFIC AND THEORETICAL CONTENT NG EDUCATIONAL AND METHODOLOGICAL COMPLEX

1.1. Talasalitaan

Statics - isang seksyon ng mechanics, na nagtatakda ng pangkalahatang doktrina ng pwersa, pinag-aaralan ang pagbabawas kumplikadong mga sistema pwersa sa pinakasimpleng anyo at mga kondisyon ng ekwilibriyo ay itinatag iba't ibang sistema pwersa.

Ang Kinematics ay isang sangay ng theoretical mechanics kung saan pinag-aaralan ang paggalaw ng mga materyal na bagay anuman ang mga dahilan na nagdudulot ng paggalaw na ito, iyon ay, anuman ang mga puwersang kumikilos sa mga bagay na ito.

Ang dinamika ay isang sangay ng teoretikal na mekanika na nag-aaral sa paggalaw ng mga materyal na katawan (mga punto) sa ilalim ng pagkilos ng mga puwersang inilapat.

Materyal na punto- isang materyal na katawan, ang pagkakaiba sa paggalaw ng mga punto na kung saan ay hindi gaanong mahalaga.

Ang body mass ay isang scalar positive quantity na nakadepende sa dami ng substance na nakapaloob sa isang partikular na katawan at tinutukoy ang sukat nito ng inertia sa panahon ng translational motion.

Sistema ng sanggunian - isang sistema ng coordinate na nauugnay sa isang katawan, na may kaugnayan kung saan pinag-aaralan ang paggalaw ng ibang katawan.

Inertial system- isang sistema kung saan natutupad ang una at pangalawang batas ng dinamika.

Ang momentum ng puwersa ay isang sukat ng vector ng pagkilos ng puwersa sa paglipas ng panahon.

Ang dami ng paggalaw ng isang materyal na punto Ang sukat ba ng vector ng paggalaw nito, ay katumbas ng produkto ng masa ng punto sa pamamagitan ng vector ng bilis nito.

Kinetic energy- scalar mekanikal na paggalaw.

Pangunahing gawain ng lakas Ay isang walang katapusang maliit na halaga ng scalar na katumbas ng scalar product ng force vector ng vector ng walang katapusang maliit na displacement ng point of application ng force.

Kinetic energy Ay isang scalar na sukat ng mekanikal na paggalaw.

Ang kinetic energy ng isang materyal na punto ay isang scalar

isang negatibong halaga na katumbas ng kalahati ng produkto ng masa ng punto sa pamamagitan ng parisukat ng bilis nito.

Kinetic energy ng isang mekanikal na sistema - arithme-

ang kabuuan ng kinetic energies ng lahat ng materyal na punto ng sistemang ito.

Ang puwersa ay isang sukatan ng mekanikal na pakikipag-ugnayan ng mga katawan, na nagpapakilala sa intensity at direksyon nito.

1.2. Mga paksa ng mga lektura at ang kanilang nilalaman

Seksyon 1. Panimula sa dinamika. Pangunahing konsepto

klasikal na mekanika

Paksa 1. Dynamics ng isang materyal na punto

Ang mga batas ng dinamika ng isang materyal na punto (ang mga batas ng Galileo - Newton). Differential equation ng paggalaw ng isang materyal na punto. Dalawang pangunahing problema ng dinamika para sa isang materyal na punto. Solusyon ng pangalawang problema ng dinamika; integration constants at ang kanilang pagpapasiya mula sa mga paunang kondisyon.

Panitikan :, pp. 180-196, pp. 12-26.

Paksa 2. Dynamics ng relatibong paggalaw ng materyal

Ang kamag-anak na paggalaw ng isang materyal na punto. Differential equation ng relatibong paggalaw ng isang punto; portable at Coriolis forces of inertia. Ang prinsipyo ng relativity sa klasikal na mekanika. Isang kaso ng medyo kalmado.

Panitikan: pp. 180-196, pp. 127-155.

Paksa 3. Geometry ng masa. Sentro ng grabidad ng mekanikal na sistema

Timbang ng system. Ang sentro ng masa ng system at ang mga coordinate nito.

Panitikan: pp. 86-93, pp. 264-265

Paksa 4. Mga sandali ng pagkawalang-galaw ng isang matibay na katawan

Mga sandali ng pagkawalang-galaw ng isang matibay na katawan tungkol sa isang axis at isang poste. Radius ng gyration. Theorem on moments of inertia about parallel axes. Axial moments ng inertia ng ilang katawan.

Centrifugal moments of inertia bilang isang katangian ng body asymmetry.

Panitikan: pp. 265-271, pp. 155-173.

Seksyon 2. Pangkalahatang theorems ng dinamika ng isang materyal na punto

at mekanikal na sistema

Paksa 5. Ang teorama sa paggalaw ng sentro ng masa ng sistema

Ang theorem sa paggalaw ng sentro ng masa ng system. Mga kahihinatnan mula sa theorem sa paggalaw ng sentro ng masa ng system.

Panitikan: pp. 274-277, pp. 175-192.

Paksa 6. Ang dami ng paggalaw ng isang materyal na punto

at mekanikal na sistema

Ang dami ng paggalaw ng isang materyal na punto at isang mekanikal na sistema. Elementarya na salpok at salpok ng puwersa para sa isang may hangganang tagal ng panahon. Isang teorama sa pagbabago sa momentum ng isang punto at isang sistema sa mga kaugalian at integral na anyo. Ang batas ng konserbasyon ng momentum.

Panitikan: pp. 280-284, pp. 192-207.

Paksa 7. Sandali ng dami ng paggalaw ng isang materyal na punto

at mekanikal na sistema na may paggalang sa sentro at axis

Ang angular momentum ng isang punto na nauugnay sa sentro at axis. Ang theorem sa pagbabago sa angular momentum ng isang punto. Ang kinetic moment ng isang mekanikal na sistema na may kaugnayan sa sentro at axis.

Ang kinetic moment ng isang umiikot na matibay na katawan tungkol sa axis ng pag-ikot. Theorem tungkol sa pagbabago sa angular momentum ng system. Ang batas ng konserbasyon ng kinetic moment.

Panitikan: pp. 292-298, pp. 207-258.

Paksa 8. Trabaho at kapangyarihan ng mga puwersa

Ang elementarya na gawain ng puwersa, ang analytical expression nito. Ang gawain ng puwersa sa huling landas. Ang gawain ng grabidad, nababanat na puwersa. Pagkakapantay-pantay sa zero ng kabuuan ng gawain ng mga panloob na pwersa na kumikilos sa isang solid. Ang gawain ng mga puwersa na inilapat sa isang matibay na katawan na umiikot sa paligid ng isang nakapirming axis. kapangyarihan. Kahusayan.

Panitikan: pp. 208-213, pp. 280-290.

Paksa 9. Kinetic energy ng isang materyal na punto

at mekanikal na sistema

Kinetic energy ng isang materyal na punto at isang mekanikal na sistema. Pagkalkula ng kinetic energy ng isang matibay na katawan sa iba't ibang mga kaso ng paggalaw nito. Ang teorama ni Koenig. Isang theorem sa pagbabago sa kinetic energy ng isang punto sa differential at integral forms. Isang theorem sa pagbabago sa kinetic energy ng isang mekanikal na sistema sa mga differential at integral form.

Panitikan: pp. 301-310, pp. 290-344.

Paksa 10. Potensyal na larangan ng puwersa at potensyal

Ang konsepto ng isang force field. Potensyal na patlang ng puwersa at paggana ng puwersa. Sapilitang trabaho sa panghuling paglilipat ng isang punto sa isang potensyal na field ng puwersa. Potensyal na enerhiya.

Panitikan: pp. 317-320, pp. 344-347.

Paksa 11. Dynamics ng isang matibay na katawan

Differential equation ng translational motion ng isang matibay na katawan. Differential equation para sa rotational motion ng isang matibay na katawan sa paligid ng isang fixed axis. Pisikal na pendulum. Differential equation para sa paggalaw ng eroplano ng isang matibay na katawan.

Panitikan: pp. 323-334, pp. 157-173.

Seksyon 1. Panimula sa dinamika. Pangunahing konsepto

klasikal na mekanika

Ang dinamika ay isang sangay ng teoretikal na mekanika na nag-aaral sa paggalaw ng mga materyal na katawan (mga punto) sa ilalim ng pagkilos ng mga puwersang inilapat.

Katawan ng materyal- isang katawan na may masa.

Materyal na punto- isang materyal na katawan, ang pagkakaiba sa paggalaw ng mga punto na kung saan ay hindi gaanong mahalaga. Maaari itong maging parehong katawan, ang mga sukat kung saan sa panahon ng paggalaw nito ay maaaring mapabayaan, at isang katawan ng may hangganang sukat, kung ito ay gumagalaw sa pagsasalin.

Ang mga particle ay tinatawag ding mga materyal na punto, kung saan ang isang matibay na katawan ay nasira sa pag-iisip kapag tinutukoy ang ilan sa mga dynamic na katangian nito. Mga halimbawa ng materyal na punto (Larawan 1): a - ang paggalaw ng Earth sa paligid ng Araw. Earth - materyal na punto; b - translational motion ng isang matibay na katawan. Solid na katawan - ina-

punto, dahil V B = V A; isang B = isang A; c - pag-ikot ng katawan sa paligid ng axis.

Ang isang butil ng isang katawan ay isang materyal na punto.

Ang pagkawalang-galaw ay ang pag-aari ng mga materyal na katawan upang baguhin ang bilis ng kanilang paggalaw nang mas mabilis o mas mabagal sa ilalim ng pagkilos ng mga puwersang inilapat.

Ang body mass ay isang scalar positive quantity na nakadepende sa dami ng matter na nakapaloob sa isang partikular na katawan at tinutukoy ang sukat ng inertia nito sa panahon ng translational motion. Sa klasikal na mekanika, ang masa ay isang pare-parehong dami.

Ang puwersa ay isang quantitative measure ng mekanikal na interaksyon sa pagitan ng mga katawan o sa pagitan ng isang katawan (punto) at isang field (electric, magnetic, atbp.).

Ang puwersa ay isang dami ng vector na nailalarawan sa pamamagitan ng halaga, punto ng aplikasyon at direksyon (linya ng pagkilos) (Larawan 2: A - punto ng aplikasyon; AB - linya ng pagkilos ng puwersa).

kanin. 2

Sa dynamics, kasama ng mga pare-parehong pwersa, mayroon ding mga variable na pwersa na maaaring depende sa oras t, bilis, distancer o sa kabuuan ng mga dami na ito, i.e.

F = const;

F = F (t);

F = F (ϑ);

F = F (r);

F = F (t, r, ϑ).

de-kuryenteng tren; c - F = F (r) - ang puwersa ng pagtanggi mula sa sentro O o pagkahumaling dito.

Sistema ng sanggunian - isang sistema ng coordinate na nauugnay sa isang katawan, na may kaugnayan kung saan pinag-aaralan ang paggalaw ng ibang katawan.

Ang inertial system ay isang sistema kung saan natutupad ang una at pangalawang batas ng dinamika. Ito ay isang fixed coordinate system o isang sistema na gumagalaw nang pare-pareho at sa isang tuwid na linya.

Ang paggalaw sa mekanika ay isang pagbabago sa posisyon ng isang katawan sa espasyo at oras na may kaugnayan sa ibang mga katawan.

Ang espasyo sa classical na mechanics ay three-dimensional, napapailalim sa Euclidean geometry.

Ang oras ay isang scalar na dami na dumadaloy sa parehong paraan sa anumang reference system.

Ang sistema ng mga yunit ay isang koleksyon ng mga yunit ng pagsukat ng mga pisikal na dami. Upang sukatin ang lahat ng mekanikal na dami, tatlong pangunahing mga yunit ay sapat: mga yunit ng haba, oras, masa o puwersa.

Ang lahat ng iba pang mga yunit ng pagsukat ng mga mekanikal na dami ay nagmula sa mga ito. Dalawang uri ng mga sistema ng mga yunit ang ginagamit: ang internasyonal na sistema ng mga yunit ng SI (o mas maliit - CGS) at ang teknikal na sistema ng mga yunit - ICGSS.

Paksa1. Dynamics ng isang materyal na punto

1.1. Ang mga batas ng dinamika ng isang materyal na punto (ang mga batas ng Galileo - Newton)

Unang batas (batas ng pagkawalang-galaw).

Ang isang materyal na punto na nakahiwalay sa mga panlabas na impluwensya ay nagpapanatili ng estado ng pahinga nito o gumagalaw nang pantay at patuwid hanggang sa pilitin ito ng mga puwersang inilapat na baguhin ang estadong ito.

Ang paggalaw na ginawa ng isang punto sa kawalan ng pwersa o sa ilalim ng pagkilos ng isang balanseng sistema ng pwersa ay tinatawag na inertial motion.

Halimbawa, ang paggalaw ng isang katawan sa isang makinis (frictional force ay zero)

ang pahalang na ibabaw (Larawan 4: G - timbang ng katawan; N - normal na reaksyon ng eroplano).

Dahil G = - N, pagkatapos G + N = 0.

Kapag ϑ 0 ≠ 0, ang katawan ay gumagalaw sa parehong bilis; para sa 0 = 0 ang katawan ay nakapahinga (ϑ 0 ang paunang bilis).

Ang pangalawang batas (ang pangunahing batas ng dinamika).

Ang produkto ng masa ng isang punto sa pamamagitan ng acceleration na natatanggap nito sa ilalim ng pagkilos ng isang ibinigay na puwersa ay katumbas ng magnitude sa puwersang ito, at ang direksyon nito ay tumutugma sa direksyon ng acceleration.

a b

Sa matematika, ang batas na ito ay ipinahayag ng pagkakapantay-pantay ng vector

Sa F = 0, a 0 = 0 = ϑ 0 = const - ang punto ay gumagalaw nang pantay at patuwid, o sa 0 = 0 - ay nakapahinga (ang batas ng pagkawalang-galaw). Pangalawa

ginagawang posible ng batas na magtatag ng ugnayan sa pagitan ng mass m ng isang katawan na matatagpuan malapit sa ibabaw ng mundo at ang bigat nito G.G = mg, kung saan g -

acceleration of gravity.

Ang ikatlong batas (ang batas ng pagkakapantay-pantay ng aksyon at reaksyon). Dalawang materyal na punto ang kumikilos sa isa't isa na may mga puwersa na katumbas ng magnitude at nakadirekta sa isang tuwid na linya na nagdudugtong

ang mga puntong ito ay nasa magkasalungat na direksyon.

Dahil ang mga puwersa F 1 = - F 2 ay inilapat sa iba't ibang mga punto, ang sistema ng mga puwersa (F 1, F 2) ay hindi balanse, ibig sabihin (F 1, F 2) ≈ 0 (Larawan 6).

ang mga masa ng mga nakikipag-ugnayan na mga punto ay inversely proportional sa kanilang mga acceleration.

Ang ikaapat na batas (ang batas ng kalayaan ng pagkilos ng mga puwersa). Ang acceleration na nakuha ng isang punto kapag kumikilos dito nang sabay-sabay

ngunit ang ilang pwersa ay katumbas ng geometrical na kabuuan ng mga acceleration na iyon na matatanggap ng isang punto kapag ang bawat puwersa ay kumilos dito nang hiwalay.

Paliwanag (fig. 7).

kulay-balat

isang 1 isang kF n

Ang resultang R pwersa (F 1, ... F k, ... F n).

Dahil ma = R, F 1 = ma 1, ..., F k = ma k, ..., F n = ma n, kung gayon

a = a 1 + ... + a k + ... + a n = ∑ a k, ibig sabihin, ang ikaapat na batas ay katumbas ng

k = 1

ang panuntunan ng pagdaragdag ng mga puwersa.

1.2. Differential equation ng paggalaw ng isang materyal na punto

Hayaang kumilos ang ilang pwersa nang sabay-sabay sa isang materyal na punto, kung saan mayroong parehong pare-pareho at variable.

Isinulat namin ang pangalawang batas ng dinamika sa anyo

point, pagkatapos (1.2) ay naglalaman ng mga derivatives ng r at kumakatawan sa differential equation ng paggalaw ng isang materyal na punto sa vector form o ang pangunahing equation ng dynamics ng isang materyal na punto.

Mga projection ng pagkakapantay-pantay ng vector (1.2): - sa gilid-Cartesian coordinate (Fig. 8, a)

Natural na axis (Larawan 8, b)

mab = m0 = ∑ Fk b

k = 1

M t oM oa

Ang mga equation (1.3) at (1.4) ay ang mga differential equation ng paggalaw ng isang materyal na punto, ayon sa pagkakabanggit, sa Cartesian coordinate axes at natural axes, ibig sabihin, natural differential equation na karaniwang ginagamit sa curvilinear motion ng isang punto kung ang trajectory ng ang punto at ang radius ng curvature nito ay kilala.

1.3. Dalawang pangunahing problema ng dinamika para sa isang materyal na punto at ang kanilang solusyon

Ang unang (direktang) gawain.

Alam ang batas ng paggalaw at ang masa ng punto, tukuyin ang puwersa na kumikilos sa punto.

Upang malutas ang problemang ito, kailangan mong malaman ang acceleration ng punto. Sa mga problema ng ganitong uri, maaari itong direktang tukuyin, o ang batas ng paggalaw ng isang punto ay maaaring tukuyin, ayon sa kung saan maaari itong matukoy.

1. Kaya, kung ang paggalaw ng isang punto ay tinukoy sa mga coordinate ng Cartesian

x = f 1 (t), y = f 2 (t) at z = f 3 (t), pagkatapos ay ang mga projection ng acceleration

Ang teorama sa paggalaw ng sentro ng masa. Differential equation ng paggalaw ng isang mekanikal na sistema. Isang teorama sa paggalaw ng sentro ng masa ng isang mekanikal na sistema. Ang batas ng konserbasyon ng paggalaw ng sentro ng masa.

Ang theorem sa pagbabago sa dami ng paggalaw. Ang dami ng paggalaw ng isang materyal na punto. Elementarya na salpok ng kapangyarihan. Salpok ng puwersa para sa isang takdang panahon at ang projection nito ay nakabukas coordinate axes... Isang teorama sa pagbabago sa dami ng paggalaw ng isang materyal na punto sa kaugalian at may hangganan na mga anyo.

Ang dami ng paggalaw ng mekanikal na sistema; pagpapahayag nito sa pamamagitan ng masa ng sistema at ang bilis ng sentro ng masa nito. Isang teorama sa pagbabago sa momentum ng isang mekanikal na sistema sa mga anyo ng kaugalian at may hangganan. Ang batas ng konserbasyon ng momentum ng mekanikal

(Ang konsepto ng isang katawan at isang punto ng variable na masa. Meshchersky's equation. Tsiolkovsky's formula.)

Ang theorem sa pagbabago sa angular momentum. Ang angular momentum ng isang materyal na punto na nauugnay sa gitna at nauugnay sa axis. Theorem tungkol sa pagbabago sa angular momentum ng isang materyal na punto. sentral na kapangyarihan. Pag-iingat ng angular na momentum ng isang materyal na punto sa kaso ng isang sentral na puwersa. (Ang konsepto ng bilis ng sektor. Ang batas ng mga lugar.)

Ang pangunahing sandali ng mga dami ng paggalaw o ang angular na momentum ng isang mekanikal na sistema tungkol sa gitna at tungkol sa axis. Ang kinetic moment ng isang umiikot na matibay na katawan tungkol sa axis ng pag-ikot. Theorem tungkol sa pagbabago sa angular momentum ng isang mekanikal na sistema. Ang batas ng konserbasyon ng angular momentum ng isang mekanikal na sistema. (Ang theorem sa pagbabago sa angular momentum ng isang mekanikal na sistema sa relatibong paggalaw na may paggalang sa sentro ng masa.)

Ang theorem sa pagbabago sa kinetic energy. Kinetic energy ng isang materyal na punto. Pang-elementarya na gawaing kapangyarihan; analitikal na pagpapahayag ng gawaing elementarya. Ang gawain ng puwersa sa huling pag-aalis ng punto ng aplikasyon nito. Ang gawain ng puwersa ng grabidad, ang puwersa ng pagkalastiko at ang puwersa ng grabidad. Isang teorama sa pagbabago sa kinetic energy ng isang materyal na punto sa kaugalian at may hangganan na mga anyo.

Kinetic energy ng isang mekanikal na sistema. Mga formula para sa pagkalkula ng kinetic energy ng isang matibay na katawan sa translational motion, sa pag-ikot sa paligid ng isang nakapirming axis at sa pangkalahatang kaso paggalaw (sa partikular, na may plane-parallel na paggalaw). Isang teorama sa pagbabago sa kinetic energy ng isang mekanikal na sistema sa mga differential at finite forms. Pagkakapantay-pantay sa zero ng kabuuan ng gawain ng mga panloob na pwersa sa isang solid. Trabaho at kapangyarihan ng mga puwersa na inilapat sa isang matibay na katawan na umiikot sa paligid ng isang nakapirming axis.

Ang konsepto ng isang force field. Potensyal na patlang ng puwersa at paggana ng puwersa. Pagpapahayag ng mga projection ng puwersa sa pamamagitan ng function ng puwersa. Mga ibabaw ng pantay na potensyal. Sapilitang trabaho sa panghuling paglilipat ng isang punto sa isang potensyal na field ng puwersa. Potensyal na enerhiya. Mga halimbawa ng potensyal na force field: homogeneous gravity field at gravitational field. Ang batas ng konserbasyon ng mekanikal na enerhiya.

Matibay na dinamika ng katawan. Differential equation ng translational motion ng isang matibay na katawan. Differential equation ng pag-ikot ng isang matibay na katawan tungkol sa isang nakapirming axis. Pisikal na pendulum. Differential equation para sa paggalaw ng eroplano ng isang matibay na katawan.

Ang prinsipyo ng d'Alembert. Prinsipyo ng D'Alembert para sa isang materyal na punto; puwersa ng pagkawalang-galaw. Ang prinsipyo ng d'Alembert para sa isang mekanikal na sistema. Dinadala ang mga puwersa ng pagkawalang-galaw ng mga punto ng isang matibay na katawan sa gitna; ang pangunahing vector at ang pangunahing sandali ng mga puwersa ng pagkawalang-galaw.

(Pagpapasiya ng mga dynamic na reaksyon ng mga bearings kapag ang isang matibay na katawan ay umiikot sa paligid ng isang nakapirming axis. Ang kaso kapag ang axis ng pag-ikot ay ang pangunahing gitnang axis ng inertia ng katawan.)

Ang prinsipyo ng mga posibleng displacement at ang pangkalahatang equation ng dynamics. Ang mga hadlang na ipinataw sa isang mekanikal na sistema. Mga posibleng (o virtual) na paggalaw ng isang materyal na punto at isang mekanikal na sistema. Ang bilang ng mga antas ng kalayaan ng system. Mga perpektong koneksyon. Ang prinsipyo ng mga posibleng displacements. Pangkalahatang equation ng dynamics.

Mga equation ng paggalaw ng system sa pangkalahatan na mga coordinate (Lagrange equation). Pangkalahatang mga coordinate ng system; pangkalahatang bilis. Pagpapahayag ng elementarya na gawain sa pangkalahatan na mga coordinate. Pangkalahatang pwersa at ang kanilang pagkalkula; ang kaso ng mga pwersang may potensyal. Ang mga kondisyon ng balanse ng system sa mga pangkalahatang coordinate. Differential equation ng motion ng system sa generalised coordinate o Lagrange equation ng pangalawang uri. Lagrange equation sa kaso ng mga potensyal na pwersa; Lagrange function (kinetic potential).

Ang konsepto ng katatagan ng ekwilibriyo. Maliit na libreng vibrations ng isang mekanikal na sistema na may isang antas ng kalayaan tungkol sa isang matatag na posisyon ng balanse ng system at ang kanilang mga katangian.

Mga elemento ng teorya ng epekto. Kababalaghan ng epekto. Puwersa ng epekto at salpok ng epekto. Puwersa ng epekto sa isang materyal na punto. Ang theorem sa pagbabago sa momentum ng isang mekanikal na sistema sa epekto. Direktang sentral na epekto ng katawan sa isang nakatigil na ibabaw; nababanat at hindi nababanat na mga epekto. Salik sa pagbawi ng epekto at ang pang-eksperimentong pagpapasiya nito. Direktang gitnang suntok ng dalawang katawan. Ang teorama ni Carnot.

BIBLIOGRAPIYA

Basic

Butenin N.V., Lunts Ya- L., Merkin D.R. Kurso ng teoretikal na mekanika. T. 1, 2. M., 1985 at mga nakaraang edisyon.

Dobronravov V.V., Nikitin N.N. Kurso ng teoretikal na mekanika. M., 1983.

Starzhinsky V.M. Teoretikal na mekanika. M., 1980.

Targ S.M. Isang maikling kurso sa theoretical mechanics. M., 1986 at mga nakaraang edisyon.

Yablonsky A.A., Nikiforova V.M. Kurso ng teoretikal na mekanika. Bahagi 1. M., 1984 at mga nakaraang edisyon.

A. A. Yablonsky Kurso ng teoretikal na mekanika. Bahagi 2. M., 1984 at mga nakaraang edisyon.

I. V. Meshchersky Koleksyon ng mga problema sa theoretical mechanics. M., 1986 at mga nakaraang edisyon.

Koleksyon ng mga problema sa theoretical mechanics / Ed. K. S. Kolesnikova. M., 1983.

Dagdag

Bat M.I., Dzhanelidze G.Yu., Kelzon A.S. Teoretikal na mekanika sa mga halimbawa at problema. Bahagi 1, 2. M., 1984 at mga nakaraang edisyon.

Koleksyon ng mga problema sa theoretical mechanics / 5razhnichen / co N.A., Kan V.L., Mintsberg B.L. et al. M., 1987.

Novozhilov I.V., Zatsepin M.F. Mga tipikal na kalkulasyon sa theoretical mechanics batay sa isang computer. M., 1986,

Koleksyon ng mga gawain para sa mga term paper sa theoretical mechanics / Ed. A. A. Yablonsky. M., 1985 at mga nakaraang edisyon (naglalaman ng mga halimbawa ng paglutas ng problema).

Ang paggamit ng OZMS sa paglutas ng mga problema ay nauugnay sa ilang mga paghihirap. Samakatuwid, ang mga karagdagang relasyon ay karaniwang itinatag sa pagitan ng mga katangian ng paggalaw at pwersa, na mas maginhawa para sa praktikal na aplikasyon... Ang mga relasyon na ito ay pangkalahatang theorems ng dynamics. Sila, bilang kinahinatnan ng OZMS, ay nagtatag ng mga ugnayan sa pagitan ng bilis ng pagbabago ng ilang espesyal na ipinakilalang mga sukat ng paggalaw at ang mga katangian ng mga panlabas na puwersa.

Ang theorem sa pagbabago sa dami ng paggalaw. Ipakilala natin ang konsepto ng vector ng momentum (R. Descartes) ng isang materyal na punto (Larawan 3.4):

Ako i = t V G (3.9)

kanin. 3.4.

Para sa system, ipinakilala namin ang konsepto ang pangunahing vector ng momentum ng system bilang isang geometric na kabuuan:

Q = Y, m "V r

Ayon sa OZMS: Hu, - ^ = i), o X

R (E).

Isinasaalang-alang na / w, = const nakukuha natin: -Ym,!" = R (E),

o sa huling anyo

dO / dі = A (E (3.11)

mga. ang unang pagkakataon na derivative ng pangunahing vector ng momentum ng system ay katumbas ng pangunahing vector ng mga panlabas na pwersa.

Ang teorama sa paggalaw ng sentro ng masa. Sentro ng masa ng sistema ay tinatawag na isang geometric na punto, ang posisyon nito ay nakasalalay sa T, at i.e. mula sa pamamahagi ng masa / g /, sa system at tinutukoy ng expression para sa radius vector ng sentro ng masa (Larawan 3.5):

saan r c - radius vector ng sentro ng masa.

kanin. 3.5.

Tawagan natin = t kasama ang masa ng sistema. Pagkatapos ng multiplikasyon, ang expression

(3.12) ng denominator at pagkita ng kaibhan ng parehong bahagi ng semi-

magkakaroon tayo ng mahalagang pagkakapantay-pantay: g s t s = ^ t. = 0, o 0 = t s U s.

Kaya, ang pangunahing vector ng momentum ng system ay katumbas ng produkto ng masa ng system at ang bilis ng sentro ng masa. Gamit ang theorem sa pagbabago sa momentum (3.11), nakukuha natin ang:

t na may dU s / dі = A (E), o

Ang Formula (3.13) ay nagpapahayag ng teorama sa paggalaw ng sentro ng masa: ang sentro ng masa ng system ay gumagalaw bilang isang materyal na punto na may masa ng sistema, na kung saan ay kumilos sa pamamagitan ng pangunahing vector ng mga panlabas na pwersa.

Ang theorem sa pagbabago sa angular momentum. Ipakilala natin ang konsepto ng angular momentum ng isang materyal na punto bilang produkto ng vector ng radius vector at momentum nito:

NS, = bl NS na, (3.14)

saan sa OI - angular momentum ng isang materyal na punto na may kaugnayan sa isang nakapirming punto O(fig. 3.6).

Ngayon, tukuyin natin ang angular momentum ng isang mekanikal na sistema bilang isang geometric na kabuuan:

К () = X ко, = ЩУ,? O-15>

Differentiating (3.15), nakukuha natin:

Ґ sik--- NS t at U. + g y NS t i

Isinasaalang-alang na = U G U i NS m i y i= 0, at formula (3.2), nakukuha natin:

сіК а / с1ї - ї 0.

Batay sa pangalawang expression sa (3.6), sa wakas ay mayroon tayong teorama sa pagbabago sa angular momentum ng system:

Ang unang pagkakataon na derivative ng angular momentum ng mekanikal na sistema na may kaugnayan sa nakapirming sentro O ay katumbas ng pangunahing sandali ng mga panlabas na puwersa na kumikilos sa sistemang ito, na nauugnay sa parehong sentro.

Sa deriving relation (3.16), ipinapalagay na O ay isang nakapirming punto. Gayunpaman, maaari itong ipakita na sa maraming iba pang mga kaso ang anyo ng kaugnayan (3.16) ay hindi magbabago, lalo na, kung, sa paggalaw ng eroplano, ang punto ng sandali ay pinili sa gitna ng masa, ang madalian na sentro ng mga bilis. o mga acceleration. Bilang karagdagan, kung ang punto O kasabay ng gumagalaw na materyal na punto, ang pagkakapantay-pantay (3.16) na isinulat para sa puntong ito ay magiging pagkakakilanlan na 0 = 0.

Ang theorem sa pagbabago sa kinetic energy. Kapag ang isang mekanikal na sistema ay gumagalaw, ang parehong "panlabas" at ang panloob na enerhiya ng sistema ay nagbabago. Kung ang mga katangian ng panloob na pwersa, ang pangunahing vector at ang pangunahing sandali, ay hindi nakakaapekto sa pagbabago sa pangunahing vector at ang pangunahing sandali ng bilang ng mga acceleration, kung gayon Ang mga panloob na puwersa ay maaaring isama sa mga pagtatasa ng mga proseso ng estado ng enerhiya ng system. Samakatuwid, kapag isinasaalang-alang ang mga pagbabago sa enerhiya ng system, dapat isaalang-alang ng isa ang mga paggalaw ng mga indibidwal na punto, kung saan inilalapat din ang mga panloob na pwersa.

Ang kinetic energy ng isang materyal na punto ay tinukoy bilang ang halaga

T ^ tuTsr. (3.17)

Ang kinetic energy ng isang mekanikal na sistema ay katumbas ng kabuuan ng mga kinetic energies ng mga materyal na punto ng system:

pansinin mo yan T> 0.

Tukuyin natin ang kapangyarihan ng puwersa bilang scalar product ng force vector sa pamamagitan ng velocity vector:

Isaalang-alang ang paggalaw ng isang tiyak na sistema ng materyal na tomen na may kaugnayan sa isang nakapirming coordinate system. Kapag ang sistema ay hindi libre, maaari itong ituring na libre kung itatapon natin ang mga hadlang na ipinataw sa system at papalitan ang kanilang pagkilos ng mga naaangkop na reaksyon.

Hatiin natin ang lahat ng pwersang inilapat sa sistema sa panlabas at panloob; parehong maaaring isama ang mga reaksyon ng itinapon

mga koneksyon. Sa pamamagitan at tinutukoy namin ang pangunahing vector at ang pangunahing sandali ng mga panlabas na puwersa na nauugnay sa punto A.

1. Theorem tungkol sa pagbabago sa dami ng paggalaw. Kung ang dami ng paggalaw ng system, kung gayon (tingnan)

ibig sabihin, totoo ang theorem: ang time derivative ng momentum ng system ay katumbas ng pangunahing vector ng lahat ng panlabas na pwersa.

Ang pagpapalit ng vector sa pamamagitan ng pagpapahayag nito kung saan ang masa ng system, ay ang bilis ng sentro ng masa, ang equation (4.1) ay maaaring bigyan ng ibang anyo:

Ang pagkakapantay-pantay na ito ay nangangahulugan na ang sentro ng masa ng sistema ay gumagalaw tulad ng isang materyal na punto na ang masa ay katumbas ng masa ng sistema at kung saan ang isang puwersa ay inilapat, geometrically katumbas ng pangunahing vector ng lahat ng mga panlabas na pwersa ng system. Ang huling pahayag ay tinatawag na theorem sa motion ng center of mass (center of inertia) ng system.

Kung pagkatapos ay mula sa (4.1) ito ay sumusunod na ang vector ng momentum ay pare-pareho sa magnitude at direksyon. Ang pag-project nito sa coordinate axis, nakakuha tayo ng tatlong scalar first integral, mga differential equation ng two-point system ng system:

Ang mga integral na ito ay tinatawag na momentum integral. Kapag ang bilis ng sentro ng masa ay pare-pareho, iyon ay, ito ay gumagalaw nang pare-pareho at rectilinearly.

Kung ang projection ng pangunahing vector ng mga panlabas na puwersa sa anumang isang axis, halimbawa, sa axis ay katumbas ng zero, kung gayon mayroon kaming isang unang integral, o kung ang dalawang projection ng pangunahing vector ay katumbas ng zero, kung gayon mayroong dalawa integral ng momentum.

2. Theorem tungkol sa pagbabago sa angular momentum. Hayaan ang A na maging ilang di-makatwirang punto sa espasyo (gumagalaw o nakatigil), na hindi kinakailangang tumutugma sa anumang partikular na materyal na punto ng system sa buong panahon ng paggalaw. Ang tulin nito sa isang nakapirming sistema ng mga coordinate ay ilalarawan ng Ang theorem sa pagbabago sa angular momentum ng isang materyal na sistema na may kaugnayan sa punto A ay may anyo

Kung ang punto A ay naayos, ang pagkakapantay-pantay (4.3) ay magkakaroon ng mas simpleng anyo:

Ang pagkakapantay-pantay na ito ay nagpapahayag ng isang teorama sa pagkakaiba-iba ng angular na momentum ng system na may kinalaman sa isang nakapirming punto: ang derivative ng oras ng angular na momentum ng system, na kinakalkula na may kinalaman sa ilang nakapirming punto, ay katumbas ng pangunahing sandali ng lahat ng panlabas. pwersa na nauugnay sa puntong ito.

Kung pagkatapos, ayon sa (4.4), ang angular momentum vector ay pare-pareho sa magnitude at direksyon. Ang pag-project nito sa coordinate axis, nakuha namin ang scalar first integrals ng mga differential equation ng binary system:

Ang mga integral na ito ay tinatawag na moment integral o area integral.

Kung ang punto A ay tumutugma sa sentro ng masa ng sistema, pagkatapos ay ang unang termino sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay (4.3) ay naglalaho at ang teorama sa pagbabago sa angular na momentum ay may parehong anyo ng pagsulat (4.4) tulad ng sa ang kaso ng isang nakapirming punto A. 4 ng § 3) na sa kasong isinasaalang-alang, ang absolute angular momentum ng system sa kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay (4.4) ay maaaring mapalitan ng angular momentum ng system sa kanyang paggalaw na may kaugnayan sa sentro ng masa, katumbas nito.

Hayaan ang ilang pare-parehong axis o isang axis ng pare-parehong direksyon na dumadaan sa gitna ng masa ng system, at maging ang kinetic moment ng system na may kaugnayan sa axis na ito. Ito ay sumusunod mula sa (4.4) na

kung saan ang sandali ng mga panlabas na pwersa tungkol sa axis. Kung sa buong panahon ng paggalaw, mayroon tayong unang integral

Sa mga gawa ng S. A. Chaplygin, nakuha ang ilang mga generalization ng theorem sa pagbabago sa angular momentum, na pagkatapos ay inilapat sa solusyon ng isang bilang ng mga problema sa pag-roll ng mga bola. Ang mga karagdagang generalization ng theorem sa pagbabago sa kinetic moment at ang kanilang mga aplikasyon sa mga problema ng matibay na body dynamics ay nakapaloob sa mga papel. Ang mga pangunahing resulta ng mga gawaing ito ay nauugnay sa theorem sa pagbabago sa angular momentum na may paggalang sa isang gumagalaw, patuloy na dumadaan sa ilang gumagalaw na punto A. Hayaan ang isang unit vector na nakadirekta sa axis na ito. Ang pagpaparami ng scalarly sa magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay (4.3) at pagdaragdag ng termino sa magkabilang panig nito, nakukuha natin

Kapag natugunan ang kinematic condition

ang equation (4.5) ay sumusunod mula sa (4.7). At kung ang kondisyon (4.8) ay nasiyahan sa buong paggalaw, kung gayon ang unang integral (4.6) ay umiiral.

Kung ang mga koneksyon ng system ay perpekto at pinapayagan, sa bilang ng mga virtual na displacement, ang pag-ikot ng system bilang isang matibay na katawan sa paligid ng axis at, pagkatapos ay ang pangunahing sandali ng mga reaksyon tungkol sa axis at katumbas ng zero, at pagkatapos ay ang ang halaga sa kanang bahagi ng equation (4.5) ay ang pangunahing sandali ng lahat ng panlabas na aktibong pwersa tungkol sa axis at ... Ang pagkawala ng sandaling ito at ang bisa ng kaugnayan (4.8) ay magiging sapat na kondisyon para sa pagkakaroon ng integral (4.6) sa kasong isinasaalang-alang.

Kung ang direksyon ng axis at ay hindi nagbabago, ang kundisyon (4.8) ay isusulat sa form

Ang pagkakapantay-pantay na ito ay nangangahulugan na ang mga projection ng bilis ng sentro ng masa at ang bilis ng punto A sa axis at sa eroplano na patayo dito ay magkatulad. Sa gawa ni S. A. Chaplygin, sa halip na (4.9), mas kaunti pangkalahatang kondisyon kung saan ang X ay isang arbitrary na pare-pareho.

Tandaan na ang kundisyon (4.8) ay hindi nakadepende sa pagpili ng punto sa. Sa katunayan, hayaan ang P na isang arbitrary na punto sa axis. Pagkatapos

at samakatuwid

Sa konklusyon, napapansin natin ang geometric na interpretasyon ni Rezal ng mga equation (4.1) at (4.4): ang mga vectors ng absolute velocities ng mga dulo ng vectors at co-equal sa pangunahing vector at ang pangunahing sandali ng lahat ng panlabas na pwersa na may kaugnayan sa punto. A.