kanin. 1.5. Pagpapapangit ng sinag

Sa anumang mga punto ng sinag na isinasaalang-alang mayroong isang magkaparehong estado ng stress at, samakatuwid, ang mga linear na deformation para sa lahat ng mga punto nito ay pareho. Samakatuwid, ang halaga e ay maaaring tukuyin bilang ang ratio ng ganap na pagpahaba sa orihinal na haba ng sinag, i.e.

Mga bar mula sa iba't ibang materyales iba ang haba. Para sa mga kaso kung saan ang mga stress sa beam ay hindi lalampas sa proporsyonalidad na limitasyon, ang sumusunod na relasyon ay itinatag sa pamamagitan ng karanasan:

saan N- longitudinal force sa mga cross section ng beam; F- cross-sectional area ng beam; E- koepisyent depende sa pisikal na katangian materyal.

Isinasaalang-alang na ang normal na stress sa cross section ng beam σ = N/F nakukuha namin ε = σ/E. saan galing σ = εE.

Ang ganap na pagpahaba ng isang sinag ay ipinahayag ng formula

Ang sumusunod na pormulasyon ng batas ni Hooke ay mas pangkalahatan: ang relatibong longitudinal strain ay direktang proporsyonal sa normal na stress. Sa pormulasyon na ito, ginagamit ang batas ni Hooke hindi lamang sa pag-aaral ng tensyon at compression ng mga beam, kundi pati na rin sa ibang mga seksyon ng kurso.

Magnitude E tinatawag na elastic modulus ng unang uri. Ito ay isang pisikal na pare-pareho ng isang materyal na nagpapakilala sa katigasan nito. Paano higit na halaga E, ang mas kaunti, ang iba pang mga bagay ay pantay, ang paayon na pagpapapangit. Ang modulus ng elasticity ay ipinahayag sa parehong mga yunit bilang stress, i.e. sa pascals (Pa) (bakal E=2* 10 5 MPa, tanso E= 1 * 10 5 MPa).

Trabaho EF ay tinatawag na stiffness ng cross section ng beam sa pag-igting at compression.

Bilang karagdagan sa longitudinal deformation, kapag ang isang compressive o tensile force ay inilapat sa beam, ang transverse deformation ay sinusunod din. Kapag ang isang sinag ay naka-compress, ang mga nakahalang na sukat nito ay tumataas, at kapag naunat, bumababa ang mga ito. Kung ang nakahalang laki ng sinag bago ilapat ang compressive pwersa dito R italaga SA, at pagkatapos ilapat ang mga puwersang ito B - ∆B, pagkatapos ay ang halaga ∆V ay magsasaad ng ganap na transverse deformation ng beam.

Ang ratio ay ang relatibong transverse strain.

Ipinapakita ng karanasan na sa mga stress na hindi lalampas sa nababanat na limitasyon, ang relatibong transverse deformation ay direktang proporsyonal sa kamag-anak na longitudinal deformation, ngunit may kabaligtaran na tanda:

Ang proportionality coefficient q ay depende sa materyal ng troso. Ito ay tinatawag na transverse strain coefficient (o Ang ratio ng Poisson ) at ang ratio ng relatibong transverse sa longitudinal deformation, kinuha sa absolute value, i.e. Ang ratio ng Poisson kasama ang elastic modulus E nailalarawan ang nababanat na mga katangian ng materyal.

Ang ratio ng Poisson ay tinutukoy sa eksperimentong paraan. Para sa iba't ibang mga materyales mayroon itong mga halaga mula sa zero (para sa cork) hanggang sa isang halaga na malapit sa 0.50 (para sa goma at paraffin). Para sa bakal, ang ratio ng Poisson ay 0.25...0.30; para sa isang bilang ng iba pang mga metal (cast iron, zinc, bronze, copper) ito

kanin. 1.6. Beam ng variable na cross section

Ang pagpapasiya ng cross-sectional na halaga ng baras ay isinasagawa batay sa kondisyon ng lakas

kung saan ang [σ] ay ang pinahihintulutang stress.

Tukuyin natin ang longitudinal displacement δ a puntos A axis ng isang sinag na nakaunat sa pamamagitan ng puwersa P( kanin. 1.6).

Ito ay katumbas ng ganap na pagpapapangit ng bahagi ng sinag ad, nakapaloob sa pagitan ng embedment at ng seksyong iginuhit sa punto d, mga. Ang longitudinal deformation ng beam ay tinutukoy ng formula

Ang formula na ito ay naaangkop lamang kapag, sa loob ng buong haba ng seksyon, ang longitudinal forces N at stiffness EF ang mga cross section ng beam ay pare-pareho. Sa kasong isinasaalang-alang, sa site ab longitudinal na puwersa N ay katumbas ng zero (hindi namin isinasaalang-alang ang patay na bigat ng beam), at sa lugar bd ito ay katumbas R, bilang karagdagan, ang cross-sectional area ng troso sa lugar ac naiiba sa cross-sectional area sa site cd. Samakatuwid, ang paayon na pagpapapangit ng lugar ad ay dapat na matukoy bilang ang kabuuan ng mga longitudinal deformation ng tatlong mga seksyon ab, bc At CD, para sa bawat isa kung saan ang mga halaga N At EF pare-pareho sa buong haba nito:

Mga longitudinal na puwersa sa mga itinuturing na seksyon ng sinag

Kaya naman,

Katulad nito, maaari mong matukoy ang mga displacement δ ng anumang mga punto sa axis ng beam, at gamitin ang kanilang mga halaga upang bumuo ng isang diagram mga paayon na paggalaw (epureδ), ibig sabihin. isang graph na naglalarawan ng pagbabago sa mga paggalaw na ito sa kahabaan ng axis ng beam.

4.2.3. Mga kondisyon ng lakas. Mga kalkulasyon ng paninigas.

Kapag sinusuri ang mga stress ng cross-sectional area F at ang mga longitudinal na pwersa ay kilala at ang pagkalkula ay binubuo ng pagkalkula ng kinakalkula (aktwal) na mga stress σ sa mga katangiang seksyon ng mga elemento. Ang pinakamataas na boltahe na nakuha ay pagkatapos ay inihambing sa pinahihintulutang isa:

Kapag pumipili ng mga seksyon tukuyin ang mga kinakailangang lugar [F] mga cross section ng elemento (batay sa mga kilalang longitudinal forces N at pinahihintulutang diin [σ]). Mga tinatanggap na cross-sectional na lugar F dapat matugunan ang kundisyon ng lakas na ipinahayag sa sumusunod na anyo:

Kapag tinutukoy ang kapasidad ng pagkarga sa pamamagitan ng mga kilalang halaga F at pinahihintulutang stress [σ], ang mga pinahihintulutang halaga [N] ng mga longitudinal na pwersa ay kinakalkula:

Batay sa nakuha na mga halaga [N], ang mga pinahihintulutang halaga ng mga panlabas na pag-load ay pagkatapos ay tinutukoy [ P].

Para sa kasong ito, ang kondisyon ng lakas ay may anyo

Ang mga halaga ng karaniwang mga kadahilanan sa kaligtasan ay itinatag ng mga pamantayan. Nakasalalay sila sa klase ng istraktura (kabisera, pansamantala, atbp.), Ang nilalayon nitong buhay ng serbisyo, pagkarga (static, cyclic, atbp.), posibleng heterogeneity sa paggawa ng mga materyales (halimbawa, kongkreto), at ang uri ng pagpapapangit (tension, compression, baluktot, atbp.) at iba pang mga kadahilanan. Sa ilang mga kaso, kinakailangan upang bawasan ang kadahilanan ng kaligtasan upang mabawasan ang bigat ng istraktura, at kung minsan upang madagdagan ang kadahilanan ng kaligtasan - kung kinakailangan, isaalang-alang ang pagsusuot ng mga gasgas na bahagi ng mga makina, kaagnasan at pagkabulok ng materyal.

Ang mga halaga ng karaniwang mga kadahilanan sa kaligtasan para sa iba't ibang mga materyales, istruktura at pagkarga sa karamihan ng mga kaso ay may mga sumusunod na halaga: - 2.5...5 at - 1.5...2.5.

Sa pamamagitan ng pagsuri sa katigasan ng isang elemento ng istruktura sa isang estado ng purong tension-compression, ang ibig naming sabihin ay ang paghahanap ng sagot sa tanong: sapat ba ang mga halaga ng mga katangian ng rigidity ng elemento (modulus of elasticity ng materyal)? E at cross-sectional area F), upang ang maximum ng lahat ng mga halaga ng pag-aalis ng mga punto ng elemento na dulot ng mga panlabas na puwersa, u max, ay hindi lalampas sa isang tiyak na tinukoy na halaga ng limitasyon [u]. Ito ay pinaniniwalaan na kung ang hindi pagkakapantay-pantay u max< [u] конструкция переходит в предельное состояние.

Isaalang-alang natin ang isang tuwid na sinag ng pare-pareho ang cross-section na may haba l, na naka-embed sa isang dulo at na-load sa kabilang dulo na may tensile force P (Larawan 2.9, a). Sa ilalim ng impluwensya ng puwersa P, ang sinag ay nagpapahaba ng isang tiyak na halaga?l, na tinatawag na kumpleto, o ganap, pagpahaba (absolute longitudinal deformation).

Sa anumang mga punto ng sinag na isinasaalang-alang mayroong isang magkaparehong estado ng stress, at, samakatuwid, ang mga linear na deformation para sa lahat ng mga punto nito ay pareho. Samakatuwid, ang halaga ay maaaring tukuyin bilang ang ratio ng absolute elongation?l sa unang haba ng beam l, i.e. . Ang linear deformation sa panahon ng tension o compression ng mga beam ay karaniwang tinatawag na relative elongation, o relative longitudinal deformation, at itinalaga

Kaya naman,

Ang relatibong longitudinal strain ay sinusukat sa abstract units. Sumang-ayon tayo na isaalang-alang ang elongation strain bilang positibo (Larawan 2.9, a), at ang compression strain ay negatibo (Larawan 2.9, b).

Ang mas malaki ang magnitude ng puwersa na lumalawak sa sinag, mas malaki, ang iba pang mga bagay ay pantay, ang pagpahaba ng sinag; paano mas malaking lugar cross-section ng beam, mas mababa ang pagpahaba ng beam. Ang mga bar na gawa sa iba't ibang mga materyales ay humahaba nang iba. Para sa mga kaso kung saan ang mga stress sa beam ay hindi lalampas sa proporsyonalidad na limitasyon, ang sumusunod na relasyon ay naitatag sa pamamagitan ng karanasan:

Narito ang N ay ang longitudinal force sa mga cross section ng beam;

F - cross-sectional area ng beam;

Ang E ay isang koepisyent depende sa mga pisikal na katangian ng materyal.

Isinasaalang-alang na ang normal na stress sa cross section ng beam ay nakuha namin

Ang ganap na pagpahaba ng isang sinag ay ipinahayag ng formula

mga. Ang absolute longitudinal deformation ay direktang proporsyonal sa longitudinal force.

Sa unang pagkakataon, ang batas ng direktang proporsyonalidad sa pagitan ng mga puwersa at mga pagpapapangit ay binuo ni R. Hooke (noong 1660).

Ang isang mas pangkalahatang pormulasyon ay ang sumusunod na pormulasyon ng batas ni Hooke: ang relatibong longitudinal strain ay direktang proporsyonal sa normal na stress. Sa pormulasyon na ito, ang batas ni Hooke ay ginagamit hindi lamang sa pag-aaral ng tensyon at compression ng mga beam, kundi pati na rin sa ibang mga seksyon ng kurso.

Ang halaga E na kasama sa mga formula ay tinatawag na longitudinal elastic modulus (dinaglat bilang elastic modulus). Ang halagang ito ay isang pisikal na pare-pareho ng materyal, na nagpapakilala sa katigasan nito. Kung mas malaki ang halaga ng E, mas kaunti, ang iba pang mga bagay ay pantay, ang longitudinal deformation.

Ang produktong EF ay tinatawag na cross-sectional stiffness ng beam sa tension at compression.

Kung ang transverse size ng beam bago ilapat ang compressive forces P dito ay itinalagang b, at pagkatapos ng application ng mga pwersang ito b +?b (Fig. 9.2), ang value?b ay magsasaad ng absolute transverse deformation ng beam. Ang ratio ay ang relatibong transverse strain.

Ipinapakita ng karanasan na sa mga stress na hindi lalampas sa elastic limit, ang relatibong transverse strain ay direktang proporsyonal sa relatibong longitudinal strain e, ngunit may kabaligtaran na tanda:

Ang koepisyent ng proporsyonalidad sa formula (2.16) ay nakasalalay sa materyal ng beam. Ito ay tinatawag na transverse deformation ratio, o Poisson's ratio, at ang ratio ng transverse deformation sa longitudinal deformation, na kinuha sa absolute value, i.e.

Ang ratio ng Poisson, kasama ang nababanat na modulus E, ay nagpapakilala sa mga nababanat na katangian ng materyal.

Ang halaga ng ratio ng Poisson ay tinutukoy sa eksperimentong paraan. Para sa iba't ibang mga materyales mayroon itong mga halaga mula sa zero (para sa cork) hanggang sa isang halaga na malapit sa 0.50 (para sa goma at paraffin). Para sa bakal, ang ratio ng Poisson ay 0.25-0.30; para sa isang bilang ng iba pang mga metal (cast iron, zinc, bronze, copper) mayroon itong mga halaga mula 0.23 hanggang 0.36.

Talahanayan 2.1 Mga halaga ng elastic modulus.

Talahanayan 2.2 Mga halaga ng transverse strain coefficient (Poisson's ratio)

Magkaroon ng ideya ng longitudinal at transverse deformation at ang kanilang relasyon.

Alamin ang batas, dependency at formula ni Hooke para sa pagkalkula ng mga stress at displacement.

Magagawang magsagawa ng mga kalkulasyon ng lakas at higpit ng statically determined beams sa tension at compression.

Makunot at compressive strains

Isaalang-alang natin ang pagpapapangit ng isang sinag sa ilalim ng pagkilos ng isang longitudinal force F (Larawan 21.1).

Sa lakas ng mga materyales, kaugalian na kalkulahin ang mga deformasyon sa mga kamag-anak na yunit:

May kaugnayan sa pagitan ng longitudinal at transverse deformation

saan μ - koepisyent ng transverse deformation, o ratio ng Poisson, - katangian ng plasticity ng materyal.

Batas ni Hooke

Sa loob ng mga limitasyon ng nababanat na mga deformation, ang mga deformation ay direktang proporsyonal sa pagkarga:

Kumuha tayo ng dependency

saan E- modulus ng pagkalastiko, nailalarawan ang katigasan ng materyal.

Sa loob ng nababanat na mga limitasyon, ang mga normal na stress ay proporsyonal sa pagpahaba.

Ibig sabihin E para sa mga bakal sa loob ng (2 – 2.1) 10 5 MPa. Ang lahat ng iba pang mga bagay ay pantay-pantay, mas matigas ang materyal, mas mababa ang deform nito:

Mga formula para sa pagkalkula ng mga displacement ng beam cross section sa ilalim ng tensyon at compression

Gumagamit kami ng mga kilalang formula.

Pagpahaba

Bilang resulta, nakuha namin ang ugnayan sa pagitan ng pag-load, ang mga sukat ng beam at ang nagresultang pagpapapangit:

Δl- ganap na pagpahaba, mm;

σ - normal na stress, MPa;

l- paunang haba, mm;

E - nababanat na modulus ng materyal, MPa;

N- longitudinal force, N;

A - cross-sectional area, mm 2;

Trabaho AE tinawag katigasan ng seksyon.

Mga konklusyon

1. Ang absolute elongation ng isang beam ay direktang proporsyonal sa magnitude ng longitudinal force sa seksyon, ang haba ng beam at inversely proportional sa cross-sectional area at elastic modulus.

2. Ang relasyon sa pagitan ng longitudinal at transverse deformation ay depende sa mga katangian ng materyal, ang relasyon ay tinutukoy Ang ratio ng Poisson, tinawag transverse deformation coefficient.

Ang ratio ng Poisson: bakal μ mula 0.25 hanggang 0.3; sa traffic jam μ = 0; malapit sa goma μ = 0,5.

3. Ang mga transverse deformation ay mas mababa kaysa sa mga longitudinal at bihirang makakaapekto sa pagganap ng bahagi; kung kinakailangan, ang transverse deformation ay kinakalkula gamit ang longitudinal one.

saan Δа- transverse narrowing, mm;

at tungkol sa- unang nakahalang laki, mm.

4. Ang batas ni Hooke ay nasiyahan sa elastic deformation zone, na tinutukoy sa panahon ng tensile tests gamit ang tensile diagram (Fig. 21.2).

Sa panahon ng operasyon, ang mga plastic deformation ay hindi dapat mangyari; Ang mga pangunahing kalkulasyon sa lakas ng mga materyales ay isinasagawa sa zone ng nababanat na mga deformation, kung saan gumagana ang batas ni Hooke.

Sa diagram (Larawan 21.2), ang batas ni Hooke ay gumagana mula sa punto 0 to the point 1 .

5. Ang pagtukoy sa pagpapapangit ng isang sinag sa ilalim ng pagkarga at paghahambing nito sa pinahihintulutang isa (na hindi nakapipinsala sa pagganap ng sinag) ay tinatawag na pagkalkula ng rigidity.

Mga halimbawa ng paglutas ng problema

Halimbawa 1. Ang loading diagram at mga sukat ng beam bago ang pagpapapangit ay ibinigay (Larawan 21.3). Ang sinag ay pinched, matukoy ang paggalaw ng libreng dulo.

Solusyon

1. Ang sinag ay stepped, kaya ang mga diagram ng mga longitudinal na pwersa at normal na mga stress ay dapat na itayo.

Hinahati namin ang sinag sa mga lugar ng paglo-load, tinutukoy ang mga paayon na puwersa, at bumuo ng isang diagram ng mga paayon na puwersa.

2. Tinutukoy namin ang mga halaga ng mga normal na stress sa mga seksyon, isinasaalang-alang ang mga pagbabago sa cross-sectional area.

Bumubuo kami ng isang diagram ng mga normal na stress.

3. Sa bawat seksyon ay tinutukoy namin ang ganap na pagpahaba. Binubuod namin ang mga resulta sa algebraically.

Tandaan. Sinag kinurot nangyayari sa patch hindi kilalang reaksyon sa suporta, kaya simulan namin ang pagkalkula sa libre dulo (kanan).

1. Dalawang seksyon ng paglo-load:

seksyon 1:

nakaunat;

seksyon 2:

Halimbawa 2. Para sa isang naibigay na stepped beam (Larawan 2.9, A) bumuo ng mga diagram ng mga longitudinal na pwersa at normal na mga stress sa haba nito, at matukoy din ang mga displacement ng libreng dulo at seksyon SA, kung saan inilalapat ang puwersa R 2. Modulus ng longitudinal elasticity ng materyal E= 2.1 10 5 N/"mm 3.

Solusyon

1. Ang ibinigay na sinag ay may limang seksyon /, //, III, IV, V(Larawan 2.9, A). Ang diagram ng mga longitudinal na puwersa ay ipinapakita sa Fig. 2.9, b.

2. Kalkulahin natin ang mga stress sa mga cross section ng bawat seksyon:

para sa una

para sa pangalawa

para sa pangatlo

para sa ikaapat

para sa ikalima

Ang normal na diagram ng stress ay ipinapakita sa Fig. 2.9, V.

3. Magpatuloy tayo sa pagtukoy sa mga displacement ng mga cross section. Ang paggalaw ng libreng dulo ng sinag ay tinukoy bilang algebraic sum pagpapahaba (pagpapaikli) ng lahat ng mga seksyon nito:

Pagpapalit mga numerong halaga, nakukuha namin

4. Ang displacement ng seksyon C, kung saan inilapat ang puwersa P 2, ay tinukoy bilang ang algebraic na kabuuan ng pagpapahaba (pagikli) ng mga seksyon ///, IV, V:

Ang pagpapalit ng mga halaga mula sa nakaraang pagkalkula, nakukuha namin

Kaya, ang libreng kanang dulo ng beam ay gumagalaw sa kanan, at ang seksyon kung saan inilalapat ang puwersa R 2, - sa kaliwa.

5. Ang mga halaga ng displacement na kinakalkula sa itaas ay maaaring makuha sa ibang paraan, gamit ang prinsipyo ng pagsasarili ng pagkilos ng mga puwersa, ibig sabihin, pagtukoy sa mga displacement mula sa pagkilos ng bawat puwersa R 1; R 2; R 3 hiwalay at pagbubuod ng mga resulta. Inirerekomenda namin na gawin ito ng mag-aaral nang nakapag-iisa.

Halimbawa 3. Tukuyin kung anong stress ang nangyayari sa isang steel rod na may haba l= 200 mm, kung pagkatapos ilapat ang mga puwersa ng makunat dito ay nagiging haba nito l 1 = 200.2 mm. E = 2.1*10 6 N/mm 2.

Solusyon

Ganap na pagpahaba ng pamalo

Longitudinal deformation ng baras

Ayon sa batas ni Hooke

Halimbawa 4. Bracket sa dingding (Larawan 2.10, A) ay binubuo ng isang steel rod AB at isang wooden strut BC. Rod cross-sectional area F 1 = 1 cm 2, cross-sectional area ng strut F 2 = 25 cm 2. Tukuyin ang pahalang at patayong mga displacement ng punto B kung ang isang load ay nasuspinde dito Q= 20 kN. Mga module ng longitudinal elasticity ng bakal E st = 2.1*10 5 N/mm 2, wood E d = 1.0*10 4 N/mm 2.

Solusyon

1. Upang matukoy ang mga paayon na puwersa sa mga rod AB at BC, pinutol namin ang node B. Sa pag-aakalang ang mga rod AB at BC ay nakaunat, itinuturo namin ang mga puwersa N 1 at N 2 na nagmumula sa kanila mula sa node (Larawan 2.10, 6 ). Binubuo namin ang mga equation ng equilibrium:

Ang Effort N 2 ay lumabas na may minus sign. Ipinapahiwatig nito na ang paunang pagpapalagay tungkol sa direksyon ng puwersa ay hindi tama - sa katunayan, ang baras na ito ay naka-compress.

2. Kalkulahin ang pagpahaba ng bakal na pamalo Δl 1 at paikliin ang strut Δl 2:

Traksyon AB nagpapahaba ng Δl 1= 2.2 mm; strut Araw pinaikli ng Δl 1= 7.4 mm.

3. Upang matukoy ang paggalaw ng isang punto SA Paghiwalayin natin ang mga tungkod sa bisagra na ito at markahan ang kanilang mga bagong haba. Bagong posisyon ng punto SA ay matutukoy kung ang deformed rods AB 1 At B 2 C pagsamahin ang mga ito sa pamamagitan ng pag-ikot sa mga punto A At SA(Larawan 2.10, V). Mga puntos B 1 At B 2 sa kasong ito ay lilipat sila sa mga arko, na, dahil sa kanilang kaliit, ay maaaring mapalitan ng mga tuwid na segment V 1 V" At V 2 V", ayon sa pagkakabanggit patayo sa AB 1 At SV 2. Ang intersection ng mga perpendicular na ito (point SA") nagbibigay ng bagong posisyon ng punto (bisagra) B.

4. Sa Fig. 2.10, G ang displacement diagram ng point B ay ipinapakita sa mas malaking sukat.

5. Pahalang na paggalaw ng isang punto SA

Patayo

kung saan ang mga bahagi ng bahagi ay tinutukoy mula sa Fig. 2.10, g;

Ang pagpapalit ng mga numerical na halaga, sa wakas ay nakuha namin

Kapag kinakalkula ang mga displacement, ang mga ganap na halaga ng pagpapahaba (pagpapaikli) ng mga rod ay pinapalitan sa mga formula.

Mga tanong at takdang-aralin sa pagsusulit

1. Ang isang bakal na baras na 1.5 m ang haba ay nakaunat ng 3 mm sa ilalim ng pagkarga. Ano ang relatibong pagpahaba? Ano ang relative contraction? ( μ = 0,25.)

2. Ano ang katangian ng transverse deformation coefficient?

3. Sabihin ang batas ni Hooke sa modernong anyo para sa tensyon at compression.

4. Ano ang katangian ng elastic modulus ng isang materyal? Ano ang yunit ng elastic modulus?

5. Isulat ang mga formula para sa pagtukoy ng pagpahaba ng sinag. Ano ang katangian ng akdang AE at ano ang tawag dito?

6. Paano natutukoy ang ganap na pagpahaba ng isang stepped beam na puno ng ilang pwersa?

7. Sagutin ang mga tanong sa pagsusulit.

Ang ratio ng absolute elongation ng isang baras sa orihinal nitong haba ay tinatawag na relative elongation (- epsilon) o longitudinal deformation. Ang longitudinal strain ay isang walang sukat na dami. Walang sukat na formula ng pagpapapangit:

Sa pag-igting, ang longitudinal strain ay itinuturing na positibo, at sa compression, ito ay itinuturing na negatibo.
Ang mga transverse na sukat ng baras ay nagbabago rin bilang isang resulta ng pagpapapangit kapag nakaunat, bumababa sila, at kapag na-compress, tumataas sila. Kung ang materyal ay isotropic, ang mga transverse deformation nito ay pantay:
.
Eksperimento na itinatag na sa panahon ng pag-igting (compression) sa loob ng mga limitasyon ng nababanat na mga deformation, ang ratio ng transverse sa longitudinal deformation ay isang pare-parehong halaga para sa isang naibigay na materyal. Ang modulus ng ratio ng transverse hanggang longitudinal strain, na tinatawag na Poisson's ratio o transverse strain ratio, ay kinakalkula ng formula:

Para sa iba't ibang mga materyales, ang ratio ng Poisson ay nag-iiba sa loob ng mga limitasyon. Halimbawa, para sa cork, para sa goma, para sa bakal, para sa ginto.

Batas ni Hooke
Ang nababanat na puwersa na lumitaw sa isang katawan sa panahon ng pagpapapangit nito ay direktang proporsyonal sa laki ng pagpapapangit na ito
Para sa isang manipis na tensile rod, ang batas ni Hooke ay may anyo:

Dito, ay ang puwersa kung saan ang baras ay nakaunat (naka-compress), ay ang ganap na pagpahaba (compression) ng baras, at ang koepisyent ng pagkalastiko (o rigidity).
Ang koepisyent ng pagkalastiko ay nakasalalay sa parehong mga katangian ng materyal at sa mga sukat ng baras. Posibleng ihiwalay ang pag-asa sa mga sukat ng baras (cross-sectional area at haba) nang tahasan sa pamamagitan ng pagsulat ng elasticity coefficient bilang

Ang dami ay tinatawag na elastic modulus ng unang uri o Young's modulus at ay mekanikal na katangian materyal.
Kung ipinasok mo ang kamag-anak na pagpahaba

At ang normal na stress sa cross section

Pagkatapos ang batas ni Hooke sa mga kamag-anak na yunit ay isusulat bilang

Sa form na ito ito ay may bisa para sa anumang maliit na volume ng materyal.
Gayundin, kapag kinakalkula ang mga tuwid na pamalo, ginagamit ang notasyon ng batas ni Hooke sa relatibong anyo

Modulus ni Young
Young's modulus (elastic modulus) - pisikal na dami, na nagpapakilala sa mga katangian ng isang materyal na lumalaban sa tensyon/compression sa panahon ng elastic deformation.
Ang modulus ng Young ay kinakalkula tulad ng sumusunod:

saan:
E - nababanat na modulus,
F - lakas,
Ang S ay ang surface area kung saan ipinamamahagi ang puwersa,
l ay ang haba ng deformable rod,
Ang x ay ang modulus ng pagbabago sa haba ng baras bilang resulta ng elastic deformation (sinusukat sa parehong mga yunit ng haba l).
Gamit ang modulus ni Young, ang bilis ng pagpapalaganap ng isang longitudinal wave sa isang manipis na baras ay kinakalkula:

Nasaan ang density ng sangkap.
Ang ratio ng Poisson
Ang ratio ng Poisson (na tinukoy bilang o) - ganap na halaga ang ratio ng transverse sa longitudinal relative deformation ng isang sample ng materyal. Ang koepisyent na ito ay hindi nakasalalay sa laki ng katawan, ngunit sa likas na katangian ng materyal kung saan ginawa ang sample.
Equation
,
saan
- ratio ng Poisson;
- pagpapapangit sa transverse na direksyon (negatibo para sa axial tension, positibo para sa axial compression);
- longitudinal deformation (positibo para sa axial tension, negatibo para sa axial compression).

Ang mga stress at strain sa panahon ng pag-igting at compression ay nauugnay sa isa't isa sa pamamagitan ng isang linear na relasyon, na tinatawag na Batas ni Hooke , na ipinangalan sa Ingles na physicist na si R. Hooke (1653-1703), na nagtatag ng batas na ito.
Ang batas ni Hooke ay maaaring mabalangkas tulad ng sumusunod: ang normal na stress ay direktang proporsyonal sa kamag-anak na pagpahaba o pagpapaikli .

Sa matematika, ang pag-asa na ito ay nakasulat bilang mga sumusunod:

σ = Eε.

Dito E - koepisyent ng proporsyonalidad, na nagpapakilala sa katigasan ng materyal na kahoy, i.e. ang kakayahang labanan ang pagpapapangit; tawag nila sa kanya longitudinal modulus ng elasticity , o modulus ng elasticity ng unang uri .
Ang elastic modulus, tulad ng stress, ay ipinahayag sa pascals (Pa) .

Mga halaga E para sa iba't ibang mga materyales ay itinatag sa eksperimento, at ang kanilang mga halaga ay matatagpuan sa kaukulang mga reference na libro.
Kaya, para sa bakal E = (1.96...2.16) x 105 MPa, para sa tanso E = (1.00...1.30) x 105 MPa, atbp.

Dapat tandaan na ang batas ni Hooke ay may bisa lamang sa loob ng ilang partikular na limitasyon sa paglo-load.
Kung papalitan natin ang dating nakuha na mga halaga ng kamag-anak na pagpahaba at diin sa pormula ng batas ni Hooke: ε = Δl/l ,σ = N / A , pagkatapos ay makukuha mo ang sumusunod na pagtitiwala:

Δl = N l / (E A).

Produkto ng elastic modulus at cross-sectional area E × A , na nakatayo sa denominator, ay tinatawag na section stiffness sa tension at compression; ito ay nagpapakilala sa parehong pisikal at mekanikal na mga katangian ng beam material at ang mga geometric na sukat ng cross section ng beam na ito.

Ang formula sa itaas ay mababasa tulad ng sumusunod: ang ganap na pagpahaba o pagpapaikli ng isang sinag ay direktang proporsyonal sa paayon na puwersa at haba ng sinag, at inversely proporsyonal sa higpit ng seksyon ng sinag.
Pagpapahayag E A / l tinawag paninigas ng sinag sa pag-igting at compression .

Ang mga formula sa itaas ng batas ni Hooke ay may bisa lamang para sa mga beam at sa kanilang mga seksyon na may pare-parehong cross-section, na gawa sa parehong materyal at sa isang pare-parehong puwersa. Para sa isang beam na may ilang mga seksyon na naiiba sa materyal, cross-sectional na mga dimensyon, at longitudinal na puwersa, ang pagbabago sa haba ng buong beam ay tinutukoy bilang ang algebraic na kabuuan ng pagpapahaba o pagpapaikli ng mga indibidwal na seksyon:

Δl = Σ (Δl i)

pagpapapangit

pagpapapangit(Ingles) pagpapapangit) ay isang pagbabago sa hugis at sukat ng isang katawan (o bahagi ng katawan) sa ilalim ng impluwensya ng mga panlabas na puwersa, na may mga pagbabago sa temperatura, halumigmig, pagbabago ng bahagi at iba pang mga impluwensya na nagdudulot ng pagbabago sa posisyon ng mga partikulo ng katawan. Habang tumataas ang stress, ang pagpapapangit ay maaaring magresulta sa bali. Ang kakayahan ng mga materyales na labanan ang pagpapapangit at pagkasira sa ilalim ng impluwensya ng iba't ibang uri Ang mga load ay nailalarawan sa pamamagitan ng mga mekanikal na katangian ng mga materyales na ito.

Sa hitsura ng ito o iyon uri ng pagpapapangit malaking impluwensya ipinapatupad ang likas na katangian ng mga stress na inilapat sa katawan. Mag-isa mga proseso ng pagpapapangit ay nauugnay sa nangingibabaw na pagkilos ng tangential component ng stress, ang iba - kasama ang pagkilos ng normal na bahagi nito.

Mga uri ng pagpapapangit

Ayon sa likas na katangian ng pag-load na inilapat sa katawan mga uri ng pagpapapangit hinati tulad ng sumusunod:

• Makunot na pilay;
• Compression strain;
• Paggugupit (o paggugupit) pagpapapangit;
• Torsional deformation;
• Baluktot na pagpapapangit.

SA ang pinakasimpleng uri ng pagpapapangit kasama ang: makunat pagpapapangit, compression pagpapapangit, paggugupit pagpapapangit. Ang mga sumusunod na uri ng pagpapapangit ay nakikilala din: pagpapapangit ng buong-ikot na compression, pamamaluktot, baluktot, na iba't ibang mga kumbinasyon ng pinakasimpleng uri ng pagpapapangit (paggugupit, compression, pag-igting), dahil ang puwersa na inilapat sa isang katawan na napapailalim sa pagpapapangit ay karaniwang hindi patayo sa ibabaw nito, ngunit nakadirekta sa isang anggulo , na nagiging sanhi ng parehong normal at gupit na stress. Pag-aaral ng mga uri ng pagpapapangit Ang mga agham tulad ng solid state physics, materials science, at crystallography ay kasangkot.

SA mga solido, sa partikular na mga metal, naglalabas dalawang pangunahing uri ng mga deformation- nababanat at plastik na pagpapapangit, ang pisikal na kakanyahan nito ay naiiba.

Ang shear ay isang uri ng deformation kapag shear forces lang ang nangyayari sa mga cross section.. Ang nasabing stressed state ay tumutugma sa aksyon sa baras ng dalawang pantay, magkasalungat na direksyon at walang katapusan na malapit na transverse forces (Fig. 2.13, a, b), na nagiging sanhi ng paggugupit sa isang eroplano na matatagpuan sa pagitan ng mga puwersa.

kanin. 2.13. Strain at shear stress

Ang paggugupit ay nauuna sa pagpapapangit - pagbaluktot tamang anggulo sa pagitan ng dalawang magkaparehong patayo na linya. Kasabay nito, sa mga gilid ng napiling elemento (Larawan 2.13, V) lumilitaw ang tangential stresses. Ang dami ng displacement ng mga mukha ay tinatawag ganap na paglilipat. Ang halaga ng absolute shift ay depende sa distansya h sa pagitan ng mga eroplano ng pagkilos ng mga puwersa F. Ang shear deformation ay mas ganap na nailalarawan sa pamamagitan ng anggulo kung saan nagbabago ang mga tamang anggulo ng elemento - relatibong shift:

. (2.27)

Gamit ang naunang tinalakay na paraan ng mga seksyon, madaling i-verify na ang mga puwersa ng paggugupit lamang ang lumitaw sa mga gilid na mukha ng napiling elemento. Q=F, na mga resultang tangential stresses:

Isinasaalang-alang na ang mga shear stress ay ibinahagi nang pantay-pantay cross section A, ang kanilang halaga ay tinutukoy ng kaugnayan:

. (2.29)

Eksperimento na itinatag na, sa loob ng mga limitasyon ng nababanat na mga pagpapapangit, ang magnitude ng tangential stresses ay proporsyonal sa kamag-anak na paggugupit. (Ang batas ni Hooke sa ilalim ng paggugupit):

saan G– modulus of elasticity under shear (modulus of elasticity ng pangalawang uri).

May kaugnayan sa pagitan ng longitudinal elasticity at shear moduli

,

nasaan ang ratio ni Poisson.

Tinatayang halaga ng shear elasticity modulus, MPa: bakal – 0.8·10 5 ; cast iron - 0.45 10 5; tanso – 0.4·10 4; aluminyo – 0.26·10 5; gulong - 4.

2.4.1.1. Pagkalkula ng lakas ng paggugupit

Ang purong paggugupit sa mga tunay na istruktura ay napakahirap ipatupad, dahil dahil sa pagpapapangit ng mga konektadong elemento, ang karagdagang baluktot ng baras ay nangyayari, kahit na may medyo maliit na distansya sa pagitan ng mga eroplano ng pagkilos ng puwersa. Gayunpaman, sa isang bilang ng mga istruktura, ang mga normal na stress sa mga seksyon ay maliit at maaaring mapabayaan. Sa kasong ito, ang kondisyon para sa pagiging maaasahan ng lakas ng bahagi ay may anyo:

, (2.31)

nasaan ang mga pinahihintulutang stress ng paggugupit, na karaniwang itinalaga depende sa halaga ng pinahihintulutang tensile stress:

- Para sa mga plastik na materyales sa static load =(0.5…0.6) ;

– para sa mga marupok – =(0.7 ... 1.0) .

2.4.1.2. Mga kalkulasyon ng shear stiffness

Bumaba sila sa paglilimita sa nababanat na mga deformasyon. Sa pamamagitan ng magkasanib na paglutas ng expression (2.27)–(2.30), ang magnitude ng absolute shift ay natutukoy:

, (2.32)

nasaan ang shear stiffness.

Pamamaluktot

2.4.2.1. Pagbuo ng mga diagram ng metalikang kuwintas

2.4.2.2. Torsional Deformation

2.4.2.4. Mga geometric na katangian ng mga seksyon

2.4.2.5. Mga kalkulasyon ng lakas at torsional rigidity

Ang torsion ay isang uri ng deformation kapag lumilitaw ang isang solong force factor sa mga cross section - torque.

Ang torsional deformation ay nangyayari kapag ang isang sinag ay na-load ng mga pares ng mga puwersa, ang mga eroplano ng pagkilos na kung saan ay patayo sa kanyang longitudinal axis.

2.4.2.1. Pagbuo ng mga diagram ng metalikang kuwintas

Upang matukoy ang mga stress at deformation ng beam, ang isang torque diagram ay itinayo na nagpapakita ng pamamahagi ng mga torque sa kahabaan ng beam. Sa pamamagitan ng paglalapat ng paraan ng mga seksyon at pagsasaalang-alang sa anumang bahagi sa ekwilibriyo, magiging malinaw na ang sandali ng panloob na elastikong pwersa (torque) ay dapat balansehin ang pagkilos ng panlabas (umiikot) na mga sandali sa bahagi ng sinag na isinasaalang-alang. Nakaugalian na isaalang-alang ang isang sandali upang maging positibo kung ang tagamasid ay tumitingin sa seksyon na isinasaalang-alang mula sa gilid ng panlabas na normal at nakikita ang isang metalikang kuwintas. T, nakadirekta sa counterclockwise. Sa kabaligtaran ng direksyon, ang sandali ay itinalaga ng isang minus sign.

Halimbawa, ang kondisyon ng equilibrium para sa kaliwang bahagi ng beam ay may anyo (Larawan 2.14):

– sa cross section A-A:

– sa cross section B-B:

.

Ang mga hangganan ng mga seksyon kapag gumagawa ng diagram ay ang mga eroplano ng pagkilos ng mga torque.

kanin. 2.14. Scheme ng pagkalkula sinag (shaft) sa pamamaluktot

2.4.2.2. Torsional Deformation

Kung sa lateral surface maglagay ng mesh sa isang bilog na cross-section rod (Larawan 2.15, A) mula sa magkapantay na mga bilog at generatrice, at ilapat ang mga pares ng pwersa na may mga sandali sa mga libreng dulo T sa mga eroplano na patayo sa axis ng baras, pagkatapos ay may maliit na pagpapapangit (Larawan 2.15, b) ay matatagpuan:

kanin. 2.15. Pattern ng torsional deformation

· ang mga generatrice ng silindro ay nagiging helical na linya ng malaking pitch;

· ang mga parisukat na nabuo ng grid ay nagiging rhombus, i.e. nangyayari ang paglilipat ng mga cross section;

· mga seksyon, bilog at patag bago ang pagpapapangit, panatilihin ang kanilang hugis pagkatapos ng pagpapapangit;

· halos hindi nagbabago ang distansya sa pagitan ng mga cross section;

· Ang isang seksyon ay umiikot na may kaugnayan sa isa pa sa pamamagitan ng isang tiyak na anggulo.

Batay sa mga obserbasyon na ito, ang teorya ng beam torsion ay batay sa mga sumusunod na pagpapalagay:

· mga cross section ng beam, flat at normal sa axis nito bago ang deformation, nananatiling flat at normal sa axis pagkatapos ng deformation;

Ang mga cross section na may pantay na espasyo ay umiikot sa bawat isa sa pamamagitan ng pantay na anggulo;

· ang radii ng mga cross section ay hindi yumuko sa panahon ng pagpapapangit;

· mga shear stresses lamang ang nangyayari sa mga cross section. Ang mga normal na stress ay maliit. Ang haba ng sinag ay maaaring ituring na hindi nagbabago;

· ang materyal ng beam sa panahon ng pagpapapangit ay sumusunod sa batas ni Hooke sa paggugupit: .

Alinsunod sa mga hypotheses na ito, ang pamamaluktot ng isang baras na may isang pabilog na cross-section ay kinakatawan bilang resulta ng mga gunting na dulot ng magkaparehong pag-ikot ng mga seksyon.

Sa isang baras ng pabilog na cross-section na may radius r, selyadong sa isang dulo at puno ng metalikang kuwintas T sa kabilang dulo (Larawan 2.16, A), tukuyin natin ang generatrix sa lateral surface AD, na sa ilalim ng impluwensya ng sandali ay kukuha ng posisyon AD 1. Sa malayo Z mula sa pag-embed, pumili ng elementong may haba dZ. Bilang resulta ng pamamaluktot, ang kaliwang dulo ng elementong ito ay iikot ayon sa anggulo , at ang kanang dulo sa pamamagitan ng anggulo (). Formative Araw ang elemento ay kukuha ng posisyon B 1 C 1, na lumilihis mula sa orihinal na posisyon sa pamamagitan ng isang anggulo. Dahil sa liit ng anggulong ito

Ang ratio ay kumakatawan sa anggulo ng twist sa bawat yunit ng haba ng baras at tinatawag kamag-anak na anggulo ng twist. Pagkatapos

kanin. 2.16. Scheme ng pagkalkula para sa pagtukoy ng mga stress
kapag pamamaluktot ng isang baras ng pabilog na cross-section

Isinasaalang-alang ang (2.33), ang batas ni Hooke sa ilalim ng pamamaluktot ay maaaring ilarawan sa pamamagitan ng pagpapahayag:

. (2.34)

Dahil sa hypothesis na ang radii ng mga circular cross section ay hindi yumuko, ang tangential shear stresses sa paligid ng anumang punto ng katawan na matatagpuan sa layo mula sa gitna (Fig. 2.16, b), ay katumbas ng produkto

mga. proporsyonal sa distansya nito sa axis.

Ang halaga ng kamag-anak na anggulo ng twist ayon sa formula (2.35) ay matatagpuan mula sa kondisyon na ang elementary circumferential force () sa isang elementary area ng laki dA, na matatagpuan sa layo mula sa axis ng beam, ay lumilikha ng elementaryang sandali na may kaugnayan sa axis (Larawan 2.16, b):

Ang kabuuan ng mga elementaryang sandali na kumikilos sa buong cross section A, katumbas ng metalikang kuwintas M Z. Ipagpalagay na:

.

Ang integral ay pulos kumakatawan geometriko na katangian at tinatawag polar moment ng inertia ng seksyon.