Tanda kedua kesamaan segi tiga

Jika sisi dan dua sudut bersebelahan bagi satu segi tiga masing-masing sama dengan sisi dan dua sudut bersebelahan bagi segitiga lain, maka segi tiga tersebut adalah kongruen.

MN = PR N = R M = P

Seperti dalam bukti tanda pertama, anda perlu memastikan sama ada ini cukup untuk segi tiga sama, bolehkah ia digabungkan sepenuhnya?

1. Oleh kerana MN = PR, maka segmen ini digabungkan jika titik akhir mereka digabungkan.

2. Oleh kerana N = R dan M = P, sinar \(MK\) dan \(NK\) akan bertindih dengan sinar \(PT\) dan \(RT\), masing-masing.

3. Jika sinar bertepatan, maka titik persilangannya \(K\) dan \(T\) bertepatan.

4. Semua bucu segitiga digabungkan, iaitu, Δ MNK dan Δ PRT adalah sejajar sepenuhnya, yang bermaksud ia adalah sama.

Tanda ketiga kesamaan segi tiga

Jika tiga sisi satu segi tiga masing-masing sama dengan tiga sisi segitiga yang lain, maka segi tiga tersebut adalah kongruen.

MN = PR KN = TR MK = PT

Mari cuba sekali lagi untuk menggabungkan segitiga Δ MNK dan Δ PRT dengan bertindih dan pastikan sisi sama yang sepadan menjamin bahawa sudut yang sepadan bagi segi tiga ini adalah sama dan ia akan bertepatan sepenuhnya.

Mari kita gabungkan, sebagai contoh, segmen yang sama \(MK\) dan \(PT\). Mari kita andaikan bahawa titik \(N\) dan \(R\) tidak bertepatan.

Biarkan \(O\) ialah titik tengah bagi segmen \(NR\). Mengikut maklumat ini, MN = PR, KN = TR. Segitiga \(MNR\) dan \(KNR\) ialah sama kaki dengan tapak sepunya \(NR\).

Oleh itu, mediannya \(MO\) dan \(KO\) ialah ketinggian, yang bermaksud ia berserenjang dengan \(NR\). Garis \(MO\) dan \(KO\) tidak bertepatan, kerana titik \(M\), \(K\), \(O\) tidak terletak pada garis yang sama. Tetapi melalui titik \(O\) garis \(NR\) hanya satu garis yang berserenjang dengannya boleh dilukis. Kami telah sampai pada percanggahan.

Telah terbukti bahawa bucu \(N\) dan \(R\) mesti bertepatan.

Tanda ketiga membolehkan kita memanggil segitiga sebagai angka yang sangat kuat dan stabil, kadang-kadang mereka mengatakannya segi tiga - angka tegar . Jika panjang sisi tidak berubah, maka sudut juga tidak berubah. Sebagai contoh, segi empat tidak mempunyai sifat ini. Oleh itu, pelbagai sokongan dan benteng dibuat berbentuk segi tiga.

Tetapi orang ramai telah menilai dan menyerlahkan kestabilan, kestabilan dan kesempurnaan yang pelik bagi nombor \(3\) untuk masa yang lama.

Cerita dongeng bercakap tentang ini.

Di sana kita bertemu dengan "Tiga Beruang", "Tiga Angin", "Tiga Babi Kecil", "Tiga Rakan", "Tiga Bersaudara", "Tiga Lelaki Bertuah", "Tiga Tukang", "Tiga Putera", "Tiga Kawan", "Tiga wira", dsb.

Terdapat "tiga percubaan", "tiga nasihat", "tiga arahan", "tiga pertemuan" diberikan, "tiga hasrat" dipenuhi, seseorang mesti bertahan "tiga hari", "tiga malam", "tiga tahun", melalui "tiga negeri" ", "tiga kerajaan bawah tanah", tahan "tiga ujian", belayar melalui "tiga lautan".

Dua segi tiga dikatakan kongruen jika ia boleh disatukan secara bertindih. Rajah 1 menunjukkan segi tiga sama ABC dan A 1 B 1 C 1. Setiap segi tiga ini boleh ditindih pada satu sama lain supaya ia serasi sepenuhnya, iaitu bucu dan sisinya serasi secara berpasangan. Adalah jelas bahawa sudut segi tiga ini juga akan sepadan secara berpasangan.

Oleh itu, jika dua segi tiga adalah kongruen, maka unsur-unsur (iaitu sisi dan sudut) bagi satu segi tiga masing-masing adalah sama dengan unsur-unsur segitiga yang lain. Perhatikan bahawa dalam segi tiga sama terhadap sisi yang sama sama(iaitu bertindih apabila ditindih) sudut yang sama terletak dan kembali: Sisi yang sama terletak bertentangan dengan sudut yang sama.

Jadi, sebagai contoh, dalam segi tiga sama ABC dan A 1 B 1 C 1, ditunjukkan dalam Rajah 1, sisi yang sama AB dan A 1 B 1, masing-masing bertentangan, terletak sama sudut C dan C 1. Kami akan menyatakan kesamaan segi tiga ABC dan A 1 B 1 C 1 seperti berikut: Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1. Ternyata kesamaan dua segi tiga boleh diwujudkan dengan membandingkan beberapa elemen mereka.

Teorem 1. Tanda pertama kesamaan segi tiga. Jika dua sisi dan sudut di antaranya bagi satu segi tiga masing-masing sama dengan dua sisi dan sudut antaranya bagi segi tiga yang lain, maka segi tiga tersebut adalah kongruen (Rajah 2).

Bukti. Pertimbangkan segi tiga ABC dan A 1 B 1 C 1, di mana AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1 ∠ A = ∠ A 1 (lihat Rajah 2). Mari kita buktikan bahawa Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 .

Oleh kerana ∠ A = ∠ A 1, maka segitiga ABC boleh ditindih pada segi tiga A 1 B 1 C 1 supaya bucu A sejajar dengan bucu A 1, dan sisi AB dan AC masing-masing ditindih pada sinar A 1 B 1 dan A 1 C 1 . Oleh kerana AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, maka sisi AB akan sejajar dengan sisi A 1 B 1 dan sisi AC akan sejajar dengan sisi A 1 C 1; khususnya, titik B dan B 1, C dan C 1 akan bertepatan. Akibatnya, sisi BC dan B 1 C 1 akan bertepatan. Jadi, segitiga ABC dan A 1 B 1 C 1 adalah serasi sepenuhnya, yang bermaksud ia adalah sama.

Teorem 2 dibuktikan sama dengan kaedah superposisi.

Teorem 2. Tanda kedua kesamaan segi tiga. Jika sisi dan dua sudut bersebelahan bagi satu segi tiga masing-masing sama dengan sisi dan dua sudut bersebelahan segitiga lain, maka segi tiga tersebut adalah kongruen (Rajah 34).

Komen. Berdasarkan Teorem 2, Teorem 3 diwujudkan.

Teorem 3. Hasil tambah mana-mana dua sudut pedalaman segitiga adalah kurang daripada 180°.

Teorem 4 mengikuti daripada teorem terakhir.

Teorem 4. Sudut luar segi tiga lebih besar daripada mana-mana sudut dalaman, tidak bersebelahan dengannya.

Teorem 5. Tanda ketiga kesamaan segi tiga. Jika tiga sisi satu segi tiga masing-masing sama dengan tiga sisi segitiga yang lain, maka segi tiga tersebut adalah kongruen ().

Contoh 1. Dalam segi tiga ABC dan DEF (Rajah 4)

∠ A = ∠ E, AB = 20 cm, AC = 18 cm, DE = 18 cm, EF = 20 cm Bandingkan segitiga ABC dan DEF. Apakah sudut dalam segi tiga DEF sama dengan sudut DALAM?

Penyelesaian. Segi tiga ini adalah sama mengikut tanda pertama. Sudut F bagi segi tiga DEF adalah sama dengan sudut B bagi segi tiga ABC, kerana sudut-sudut ini terletak bertentangan dengan sisi DE dan AC yang sama.

Contoh 2. Segmen AB dan CD (Rajah 5) bersilang pada titik O, yang merupakan tengah setiap satu daripadanya. Berapakah panjang ruas BD jika ruas AC ialah 6 m?

Penyelesaian. Segitiga AOC dan BOD adalah sama (mengikut kriteria pertama): ∠ AOC = ∠ BOD (menegak), AO = OB, CO = OD (mengikut keadaan).
Daripada kesamaan segi tiga ini ia menunjukkan bahawa sisi mereka adalah sama, iaitu AC = BD. Tetapi oleh kerana mengikut keadaan AC = 6 m, maka BD = 6 m.

Terdapat tiga tanda kesamaan untuk dua segi tiga. Dalam artikel ini kita akan mempertimbangkannya dalam bentuk teorem, dan juga memberikan buktinya. Untuk melakukan ini, ingat bahawa angka akan sama dalam kes apabila ia bertindih sepenuhnya antara satu sama lain.

Tanda pertama

Teorem 1

Dua segi tiga akan sama jika dua sisi dan sudut di antara mereka dalam salah satu segi tiga adalah sama dengan dua sisi dan sudut yang terletak di antara mereka dalam yang lain.

Bukti.

Pertimbangkan dua segi tiga $ABC$ dan $A"B"C"$, di mana $AB=A"B"$, $AC=A"C"$ dan $∠A=∠A"$ (Gamb. 1).

Mari kita gabungkan ketinggian $A$ dan $A"$ bagi segi tiga ini. Oleh kerana sudut pada bucu ini adalah sama antara satu sama lain, sisi $AB$ dan $AC$ akan bertindih, sinar $A"B" $ dan $A"C" $ Memandangkan sisi ini sama berpasangan, sisi $AB$ dan $AC$, masing-masing, bertepatan dengan sisi $A"B"$ dan $A"C"$, dan oleh itu bucu $B$ dan $B"$. , $C$ dan $C"$ akan sama.

Oleh itu, sisi BC akan bertepatan sepenuhnya dengan sisi $B"C"$. Ini bermakna bahawa segi tiga akan bertindih sepenuhnya antara satu sama lain, yang bermaksud ia adalah sama.

Teorem terbukti.

Tanda kedua

Teorem 2

Dua segi tiga akan sama jika dua sudut dan sisi sepunya mereka pada salah satu segitiga adalah sama dengan dua sudut dan sisi sepunya di sisi yang lain.

Bukti.

Mari kita pertimbangkan dua segi tiga $ABC$ dan $A"B"C"$, di mana $AC=A"C"$ dan $∠A=∠A"$, $∠C=∠C"$ (Gamb. 2) .

Mari kita gabungkan sisi $AC$ dan $A"C"$ bagi segi tiga ini, supaya ketinggian $B$ dan $B"$ terletak pada sisi yang sama. Oleh kerana sudut pada sisi ini adalah berpasangan sama dengan satu sama lain, maka sisi $AB$ dan $BC$ akan bertindih, masing-masing, sinar $A"B"$ dan $B"C"$ Akibatnya, kedua-dua titik $B$ dan titik $B"$ akan menjadi titik persilangan sinar gabungan (iaitu, sebagai contoh, sinar $AB$ dan $BC$). Memandangkan sinar boleh mempunyai hanya satu titik persilangan, titik $B$ akan bertepatan dengan titik $B"$. Ini bermakna bahawa segi tiga akan bertindih sepenuhnya antara satu sama lain, yang bermaksud ia adalah sama.

Teorem terbukti.

Tanda ketiga

Teorem 3

Dua segi tiga akan sama jika tiga sisi salah satu segitiga adalah sama dengan tiga sisi yang lain.

Bukti.

Pertimbangkan dua segi tiga $ABC$ dan $A"B"C"$, di mana $AC=A"C"$, $AB=A"B"$ dan $BC=B"C"$ (Gamb. 3).

Bukti.

Mari kita gabungkan sisi $AC$ dan $A"C"$ bagi segi tiga ini, supaya ketinggian $B$ dan $B"$ akan terletak pada sisi bertentangan dengannya. Seterusnya kita akan mempertimbangkan tiga kes berbeza bagi susunan yang terhasil daripada bucu ini Kami akan mempertimbangkannya dalam gambar.

Kes pertama:

Oleh kerana $AB=A"B"$, kesamaan $∠ABB"=∠AB"B$ akan menjadi benar. Begitu juga, $∠BB"C=∠B"BC$. Kemudian, sebagai jumlah, kita mendapat $∠B=∠B"$

Kes kedua:

Oleh kerana $AB=A"B"$, kesamaan $∠ABB"=∠AB"B$ akan menjadi benar. Begitu juga, $∠BB"C=∠B"BC$. Kemudian, sebagai perbezaan, kita mendapat $∠B=∠B"$

Oleh itu, dengan Teorem 1, segi tiga ini adalah sama.

Kes ketiga:

Oleh kerana $BC=B"C"$, kesamaan $∠ABC=∠AB"C$ akan menjadi benar

Oleh itu, dengan Teorem 1, segi tiga ini adalah sama.

Teorem terbukti.

Contoh tugasan

Contoh 1

Buktikan kesamaan segi tiga dalam rajah di bawah

Kriteria ketiga bagi kesamaan segi tiga pada tiga sisi dirumuskan dalam bentuk teorem.

Teorem : Jika tiga sisi satu segi tiga masing-masing sama dengan tiga sisi segitiga yang lain, maka segi tiga tersebut adalah kongruen.

Bukti. Pertimbangkan ΔABC dan ΔA 1 B 1 C 1 yang mana AB = A 1 B 1 , AC = A 1 C 1 , BC = B 1 C 1 . Mari kita buktikan bahawa ΔABC=ΔA 1 B 1 C 1

Biarkan ABC dan A 1 B 1 C 1 ialah segi tiga dengan AB=A 1 B 1 , AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 . Mari kita kenakan ∆ABC pada ∆A 1 B 1 C 1 supaya bucu A bertepatan dengan A 1, dan bucu B dan B 1, dan bucu C dan C 1 berada pada sisi bertentangan garis A 1 B 1. Tiga kes mungkin: 1) sinar C 1 C melepasi dalam sudut A 1 C 1 B 1 (Gamb. a)); 2) sinar C 1 C bertepatan dengan salah satu sisi sudut ini (Rajah b)); sinar C 1 C melepasi luar sudut A 1 C 1 B 1 (Rajah c)). Mari kita pertimbangkan kes pertama. Oleh kerana, mengikut syarat teorem, sisi AC dan A 1 C 1, BC dan B 1 C 1 adalah sama, maka segitiga A 1 C 1 C dan B 1 C 1 C adalah sama kaki. Dengan teorem tentang sifat sudut segi tiga sama kakiÐl = Ð2, Ð3 = Ð4, oleh itu ÐA 1 CB 1 = =ÐA 1 C 1 B 1 . Jadi, AC=A 1 C 1, BC=B 1 C 1, РС = РС 1. Oleh itu, segitiga ABC dan A 1 B 1 C 1 adalah sama mengikut tanda pertama kesamaan segitiga.

Tulis di papan tulis:

Diberi:ΔABC, ΔA 1 B 1 C 1 , AB=A 1 B 1 , AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1

Buktikan:ΔABC=ΔA 1 B 1 C 1

Bukti. Mari kita kenakan ∆ABC pada ∆A 1 B 1 C 1 supaya A →A 1, dan B → B 1, dan C dan C 1 berada pada sisi bertentangan garis lurus A 1 B 1. Mari kita pertimbangkan satu kes. rasuk C 1 C melepasi dalam RA 1 C 1 B 1 (Gamb. a)).

AC = A 1 C 1, BC = B 1 C 1 ═> ΔA 1 C 1 C dan ΔB 1 C 1 C - sama. ═> Ðl = Ð2, Ð3 = Ð4 (mengikut sifat sudut adalah sama dengan Δ), ═> ÐA 1 CB 1 =ÐA 1 C 1 B 1 ═> AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 , ÐС = РС 1 ═>

ΔABC=ΔA 1 B 1 C 1 mengikut tanda pertama kesamaan segi tiga.

2.Rhombus. Definisi, sifat, tanda.

Rombus ialah sejenis segi empat.

Definisi: Rombus ialah segi empat selari di mana semua sisi adalah sama.

Rajah menunjukkan sebuah segiempat selari ABCD dengan AB=BC=CD=DA. Mengikut definisi, segi empat selari ini ialah rombus. AC dan ВD ialah pepenjuru bagi rombus. Oleh kerana rombus ialah segi empat selari, semua sifat dan ciri segi empat selari adalah sah untuknya.

Hartanah:

1) Dalam rombus, sudut bertentangan adalah sama (ÐA=ÐC, ÐB=ÐD)

2) Diagonal rombus dibahagikan kepada separuh dengan titik persilangan. (BO=ОD, AO=ОC)

3) Diagonal bagi rombus adalah saling berserenjang dan sudutnya dibelah dua. (AS DV, ‌‌АБО=РУВС, ADО=РОDC, ‌‌рBСО=РDСО, РДАО=РВАО) ( harta khas)

4) Jumlah sudut yang bersebelahan dengan satu sisi adalah sama dengan 180 0 (ÐA+ÐB= ÐC+ÐD=ÐB+ÐC=ÐA+ÐD=180 0)

tanda-tanda belah ketupat:

1) Jika pepenjuru segi empat selari adalah saling berserenjang, maka segiempat selari ini ialah rombus

2) Jika pepenjuru segi empat selari membahagi dua sudutnya, maka segiempat selari ialah rombus.

3) Jika semua sisi segi empat selari adalah sama, maka ia adalah rombus.

Menulis di papan tulis.

Hartanah:

1) ÐA=ÐC, ÐB=ÐD 2) BO=OD, AO=OC

3) AC DV, ‌‌ААBO=РУВС, ADО=РОDC, ‌‌рBСО=РDСО, РДАО=РВАО

4) ÐA+ÐB= ÐC+ÐD=ÐB+ÐC=ÐA+ÐD=180 0

Pernyataan sebaliknya ialah tanda-tanda belah ketupat:

1 ) Jika ABCD ialah m selari, dan AC DB, maka ABCD ialah rombus.

2) Jika ABCD ialah selari, dan AC dan DB ialah pembahagi dua, maka ABCD ialah rombus.

3) Jika ABCD ialah selari, dan AC=DB dan BC=AD, maka ABCD ialah rombus.

Tugasan.