Belakang ke hadapan

Perhatian! Pratonton slaid adalah untuk tujuan maklumat sahaja dan mungkin tidak mewakili semua ciri pembentangan. Jika anda berminat dengan kerja ini, sila muat turun versi penuh.

Kata kunci: integral, trapezoid melengkung, luas angka yang dibatasi oleh teratai

peralatan: papan penanda, komputer, projektor multimedia

Jenis pelajaran: pelajaran-kuliah

Objektif Pelajaran:

• pendidikan: untuk mewujudkan budaya kerja mental, mewujudkan situasi kejayaan bagi setiap pelajar, dan mewujudkan motivasi positif untuk pembelajaran; membangunkan keupayaan untuk bercakap dan mendengar orang lain.
• membangun: pembentukan pemikiran bebas pelajar dalam menggunakan pengetahuan dalam pelbagai situasi, keupayaan untuk menganalisis dan membuat kesimpulan, pembangunan logik, pembangunan keupayaan untuk mengemukakan soalan dengan betul dan mencari jawapan kepada mereka. Meningkatkan pembentukan kemahiran pengiraan dan pengiraan, membangunkan pemikiran pelajar semasa menyelesaikan tugasan yang dicadangkan, membangunkan budaya algoritma.
• pendidikan: untuk membentuk konsep tentang trapezoid melengkung, tentang kamiran, untuk menguasai kemahiran mengira luas angka satah

Kaedah Pengajaran: penerangan dan ilustrasi.

Semasa kelas

Dalam kelas sebelumnya kita belajar mengira kawasan angka yang sempadannya adalah garis putus-putus. Dalam matematik, terdapat kaedah yang membolehkan anda mengira kawasan angka yang dibatasi oleh lengkung. Angka sedemikian dipanggil trapezoid curvilinear, dan kawasannya dikira menggunakan antiderivatif.

Trapezoid lengkung ( slaid 1)

Trapezoid melengkung ialah rajah yang dibatasi oleh graf fungsi, ( sh.m.), lurus x = a Dan x = b dan paksi-x

Pelbagai jenis trapezium melengkung ( slaid 2)

Kami sedang mempertimbangkan jenis lain trapezoid lengkung dan notis: salah satu garisan merosot menjadi titik, peranan fungsi mengehad dimainkan oleh garis

Luas trapezoid melengkung (slaid 3)

Betulkan hujung kiri selang A, dan yang betul X kita akan menukar, iaitu, kita menggerakkan dinding kanan trapezoid curvilinear dan mendapatkan angka yang berubah. Luas trapezium lengkung berubah yang dibatasi oleh graf fungsi ialah antiterbitan F untuk fungsi f

Dan pada segmen [ a; b] luas trapezium melengkung yang dibentuk oleh fungsi f, adalah sama dengan kenaikan antiterbitan fungsi ini:

Latihan 1:

Cari luas trapezium melengkung yang dibatasi oleh graf fungsi: f(x) = x 2 dan lurus y = 0, x = 1, x = 2.

Penyelesaian: ( mengikut slaid algoritma 3)

Mari kita lukis graf bagi fungsi dan garisan

Mari cari salah satunya fungsi antiderivatif f(x) = x 2 :

Ujian kendiri slaid

kamiran

Pertimbangkan trapezium melengkung yang ditakrifkan oleh fungsi f pada segmen [ a; b]. Mari pecahkan segmen ini kepada beberapa bahagian. Luas keseluruhan trapezoid akan dibahagikan kepada jumlah kawasan trapezoid melengkung yang lebih kecil. ( slaid 5). Setiap trapezoid itu boleh dianggap sebagai segi empat tepat. Jumlah kawasan segi empat tepat ini memberikan gambaran anggaran keseluruhan kawasan trapezoid melengkung. Semakin kecil kita membahagikan segmen [ a; b], lebih tepat kita mengira luas.

Marilah kita menulis hujah-hujah ini dalam bentuk formula.

Bahagikan segmen [ a; b] kepada n bahagian mengikut titik x 0 = a, x1,…, xn = b. Panjang k- ke menandakan dengan xk = xk – xk-1. Mari kita buat jumlah

Secara geometri, jumlah ini mewakili luas rajah yang berlorek dalam rajah ( sh.m.)

Jumlah bentuk dipanggil jumlah kamiran untuk fungsi f. (sh.m.)

Jumlah kamiran memberikan nilai anggaran kawasan. Nilai tepat diperoleh dengan melepasi had. Mari kita bayangkan bahawa kita sedang memperhalusi partition segmen [ a; b] supaya panjang semua segmen kecil cenderung kepada sifar. Kemudian luas rajah yang digubah akan menghampiri luas trapezoid melengkung. Kita boleh mengatakan bahawa luas trapezoid melengkung adalah sama dengan had jumlah kamiran, Sc.t. (sh.m.) atau integral, iaitu,

Definisi:

Kamiran bagi suatu fungsi f(x) daripada a sebelum ini b dipanggil had jumlah kamiran

= (sh.m.)

Formula Newton-Leibniz.

Kami ingat bahawa had jumlah kamiran adalah sama dengan luas trapezoid melengkung, yang bermaksud kita boleh menulis:

Sc.t. = (sh.m.)

Sebaliknya, luas trapezoid melengkung dikira menggunakan formula

S k.t. (sh.m.)

Membandingkan formula ini, kami mendapat:

Kesamaan ini dipanggil formula Newton-Leibniz.

Untuk memudahkan pengiraan, formula ditulis sebagai:

Tugasan: (sh.m.)

1. Kira kamiran menggunakan formula Newton-Leibniz: ( semak pada slaid 5)

2. Susun kamiran mengikut lukisan ( semak pada slaid 6)

3. Cari luas rajah yang dibatasi oleh garis: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( Slaid 7)

Mencari luas rajah satah ( slaid 8)

Bagaimana untuk mencari luas angka yang bukan trapezoid melengkung?

Biarkan dua fungsi diberikan, graf yang anda lihat pada slaid . (sh.m.) Cari luas rajah berlorek . (sh.m.). Adakah rajah yang dimaksudkan ialah trapezium melengkung? Bagaimanakah anda boleh mencari luasnya menggunakan sifat ketambahan luas? Pertimbangkan dua trapezium melengkung dan tolak luas yang satu lagi daripada luas salah satu daripadanya ( sh.m.)

Mari buat algoritma untuk mencari kawasan menggunakan animasi pada slaid:

1. Fungsi graf
2. Unjurkan titik persilangan graf pada paksi-x
3. Lorekkan rajah yang diperoleh apabila graf bersilang
4. Cari trapezoid melengkung yang persilangan atau kesatuannya ialah rajah yang diberi.
5. Kira luas setiap satu daripadanya
6. Cari beza atau hasil tambah luas

Tugas lisan: Bagaimana untuk mendapatkan kawasan angka berlorek (beritahu menggunakan animasi, slaid 8 dan 9)

Kerja rumah: Kerja melalui nota, No. 353 (a), No. 364 (a).

Bibliografi

1. Algebra dan permulaan analisis: buku teks untuk gred 9-11 petang (shift) sekolah / ed. G.D. Glaser. - M: Pencerahan, 1983.
2. Bashmakov M.I. Algebra dan permulaan analisis: buku teks untuk gred 10-11 sekolah menengah / Bashmakov M.I. - M: Pencerahan, 1991.
3. Bashmakov M.I. Matematik: buku teks untuk permulaan institusi. dan hari Rabu prof. pendidikan / M.I. Bashmakov. - M: Akademi, 2010.
4. Kolmogorov A.N. Algebra dan permulaan analisis: buku teks untuk gred 10-11. institusi pendidikan / A.N. - M: Pendidikan, 2010.
5. Ostrovsky S.L. Bagaimana untuk membuat pembentangan untuk pelajaran?/ S.L. Ostrovsky. – M.: Pertama bulan September, 2010.

Tugasan No. 3. Buat lukisan dan kirakan luas rajah yang dibatasi oleh garisan

Aplikasi kamiran untuk penyelesaian masalah yang digunakan

Pengiraan kawasan

Kamiran pasti bagi fungsi bukan negatif selanjar f(x) adalah sama secara berangka dengan luas trapezium lengkung yang dibatasi oleh lengkung y = f(x), paksi O x dan garis lurus x = a dan x = b. Selaras dengan ini, formula kawasan ditulis seperti berikut:

Mari kita lihat beberapa contoh pengiraan luas angka satah.

Tugasan No. 1. Kira luas yang dibatasi oleh garis y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.

Penyelesaian. Mari kita bina angka yang luasnya perlu kita kira.

y = x 2 + 1 ialah parabola yang cawangannya diarahkan ke atas, dan parabola dianjak ke atas oleh satu unit berbanding paksi O y (Rajah 1).

Rajah 1. Graf bagi fungsi y = x 2 + 1

Tugasan No. 2. Kira luas yang dibatasi oleh garis y = x 2 – 1, y = 0 dalam julat dari 0 hingga 1.

Penyelesaian. Graf fungsi ini ialah parabola cabang yang diarahkan ke atas, dan parabola dianjakkan relatif kepada paksi O y ke bawah sebanyak satu unit (Rajah 2).

Rajah 2. Graf bagi fungsi y = x 2 – 1

Tugasan No. 3. Buat lukisan dan kirakan luas rajah yang dibatasi oleh garisan

y = 8 + 2x – x 2 dan y = 2x – 4.

Penyelesaian. Yang pertama daripada kedua-dua garis ini ialah parabola dengan cawangannya menghala ke bawah, kerana pekali x 2 adalah negatif, dan garis kedua ialah garis lurus yang bersilang kedua-dua paksi koordinat.

Untuk membina parabola, kita dapati koordinat bucunya: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – absis puncak; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 ialah ordinatnya, N(1;9) ialah bucu.

Sekarang mari kita cari titik persilangan parabola dan garis lurus dengan menyelesaikan sistem persamaan:

Menyamakan sisi kanan persamaan yang sisi kirinya adalah sama.

Kami mendapat 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 atau x 2 – 12 = 0, dari mana .

Jadi, titik adalah titik persilangan parabola dan garis lurus (Rajah 1).

Rajah 3 Graf fungsi y = 8 + 2x – x 2 dan y = 2x – 4

Mari kita bina garis lurus y = 2x – 4. Ia melalui titik (0;-4), (2;0) pada paksi koordinat.

Untuk membina parabola, anda juga boleh menggunakan titik persilangannya dengan paksi 0x, iaitu punca-punca persamaan 8 + 2x – x 2 = 0 atau x 2 – 2x – 8 = 0. Menggunakan teorem Vieta, ia adalah mudah. untuk mencari puncanya: x 1 = 2, x 2 = 4.

Rajah 3 menunjukkan rajah (segmen parabola M 1 N M 2) yang dibatasi oleh garisan ini.

Bahagian kedua masalahnya ialah mencari luas angka ini. Kawasannya boleh didapati menggunakan kamiran pasti mengikut formula .

Berhubung dengan keadaan ini, kami memperoleh kamiran:

2 Pengiraan isipadu badan putaran

Isipadu jasad yang diperoleh daripada putaran lengkung y = f(x) mengelilingi paksi O x dikira dengan formula:

Apabila berputar di sekitar paksi O y, formula kelihatan seperti:

Tugasan No. 4. Tentukan isipadu jasad yang diperoleh daripada putaran trapezium melengkung yang dibatasi oleh garis lurus x = 0 x = 3 dan lengkung y = mengelilingi paksi O x.

Penyelesaian. Mari lukis gambar (Rajah 4).

Rajah 4. Graf bagi fungsi y =

Isipadu yang diperlukan ialah

Tugasan No. 5. Hitung isipadu jasad yang diperoleh daripada putaran trapezium melengkung yang dibatasi oleh lengkung y = x 2 dan garis lurus y = 0 dan y = 4 mengelilingi paksi O y.

Penyelesaian. Kami ada:

Ulangkaji soalan

Mari kita pertimbangkan trapezoid melengkung yang dibatasi oleh paksi Lembu, lengkung y=f(x) dan dua garis lurus: x=a dan x=b (Rajah 85). Mari kita ambil nilai arbitrari x (bukan a dan bukan b). Mari kita berikan kenaikan h = dx dan pertimbangkan jalur yang dibatasi oleh garis lurus AB dan CD, paksi Ox dan lengkok BD kepunyaan lengkung yang sedang dipertimbangkan. Kami akan memanggil jalur ini sebagai jalur asas. Luas jalur asas berbeza daripada luas segi empat tepat ACQB dengan segi tiga lengkung BQD, dan luas yang terakhir kurang kawasan segi empat tepat BQDM dengan sisi BQ = =h=dx) QD=Ay dan luas sama dengan hAy = Ay dx. Apabila sisi h berkurangan, sisi Du juga berkurangan dan serentak dengan h cenderung kepada sifar. Oleh itu, luas BQDM adalah tertib kedua sangat kecil. Luas jalur asas ialah pertambahan luas, dan luas segi empat tepat ACQB, sama dengan AB-AC ==/(x) dx> ialah pembezaan bagi kawasan itu. Akibatnya, kami mencari kawasan itu sendiri dengan menyepadukan pembezaannya. Dalam rajah yang dipertimbangkan, pembolehubah tidak bersandar l: berubah daripada a kepada b, jadi luas yang diperlukan 5 akan bersamaan dengan 5= \f(x) dx. (I) Contoh 1. Mari kita hitung luas yang dibatasi oleh parabola y - 1 -x*, garis lurus X =--Fj-, x = 1 dan paksi O* (Rajah 86). pada Rajah. 87. Rajah. 86. 1 Di sini f(x) = 1 - l?, had pengamiran ialah a = - dan £ = 1, oleh itu J [*-t]\- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l- Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Contoh 2. Mari kita hitung luas yang dihadkan oleh sinusoid y = sinXy, paksi Ox dan garis lurus (Gamb. 87). Menggunakan formula (I), kita memperoleh A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf Contoh 3. Kira luas yang dihadkan oleh lengkok sinusoid ^у = sin jc, tertutup antara dua titik persilangan bersebelahan dengan paksi Lembu (contohnya, antara asal dan titik dengan absis i). Ambil perhatian bahawa dari pertimbangan geometri adalah jelas bahawa kawasan ini akan menjadi dua kali ganda lebih banyak kawasan contoh sebelumnya. Walau bagaimanapun, mari kita lakukan pengiraan: I 5= | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o Sesungguhnya, andaian kami ternyata betul. Contoh 4. Kira luas yang dibatasi oleh sinusoid dan paksi Lembu pada satu titik (Rajah 88). Pengiraan awal mencadangkan bahawa kawasan itu akan menjadi empat kali lebih besar daripada Contoh 2. Walau bagaimanapun, selepas membuat pengiraan, kita memperoleh “i Г,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l -( -cos 0) = - 1 + 1 = 0. Keputusan ini memerlukan penjelasan. Untuk menjelaskan intipati perkara itu, kami juga mengira kawasan yang dihadkan oleh sinusoid yang sama y = sin l: dan paksi Lembu dalam julat dari l hingga 2i. Menggunakan formula (I), kita memperoleh 2l $2l sin xdx=[ - cosх]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2. Oleh itu, kita melihat bahawa kawasan ini ternyata negatif. Membandingkannya dengan luas yang dikira dalam latihan 3, kita dapati bahawa mereka nilai mutlak adalah sama, tetapi tanda-tandanya berbeza. Jika kita menggunakan sifat V (lihat Bab XI, § 4), kita mendapat 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0Apa yang berlaku dalam contoh ini bukan kemalangan. Sentiasa kawasan yang terletak di bawah paksi Lembu, dengan syarat pembolehubah bebas berubah dari kiri ke kanan, diperoleh apabila dikira menggunakan kamiran. Dalam kursus ini kita akan sentiasa mempertimbangkan kawasan tanpa tanda. Oleh itu, jawapan dalam contoh yang baru dibincangkan ialah: kawasan yang diperlukan ialah 2 + |-2| = 4. Contoh 5. Mari kita hitung luas BAB yang ditunjukkan dalam Rajah. 89. Kawasan ini dihadkan oleh paksi Lembu, parabola y = - xr dan garis lurus y - = -x+\. Luas trapezoid melengkung Luas OAB yang diperlukan terdiri daripada dua bahagian: OAM dan MAV. Oleh kerana titik A ialah titik persilangan parabola dan garis lurus, kita akan mencari koordinatnya dengan menyelesaikan sistem persamaan 3 2 Y = mx. (kita hanya perlu mencari absis titik A). Menyelesaikan sistem, kita dapati l; = ~. Oleh itu, luas perlu dikira dalam bahagian, segi empat sama pertama. OAM dan kemudian pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. Graf fungsi QAM-^x y=x 2 +2 terletak di atas paksi lembu , Itulah sebabnya:

Jawapan: S =9 unit persegi

Selepas tugasan selesai, ia sentiasa berguna untuk melihat lukisan dan mengetahui sama ada jawapannya adalah benar. DALAM dalam kes ini"dengan mata" kita mengira bilangan sel dalam lukisan - baik, akan ada kira-kira 9, nampaknya benar. Ia benar-benar jelas bahawa jika kita mendapat, katakan, jawapan: 20 unit persegi, maka jelas bahawa kesilapan telah dibuat di suatu tempat - 20 sel jelas tidak sesuai dengan angka yang dipersoalkan, paling banyak sedozen. Sekiranya jawapannya negatif, maka tugas itu juga diselesaikan dengan tidak betul.

Apa yang perlu dilakukan jika trapezoid melengkung terletak di bawah gandar Oh?

b) Kira luas rajah yang dibatasi oleh garis y=-e x , x=1 Dan paksi koordinat.

Penyelesaian.

Jom buat lukisan.

Jika trapezium melengkung terletak sepenuhnya di bawah paksi Oh , maka luasnya boleh didapati menggunakan formula:

Jawapan: S=(e-1) unit persegi" 1.72 unit persegi

Perhatian! Kedua-dua jenis tugas itu tidak boleh dikelirukan:

1) Jika anda diminta untuk menyelesaikan hanya kamiran pasti tanpa sebarang makna geometri, maka ia mungkin negatif.

2) Jika anda diminta mencari luas rajah menggunakan kamiran pasti, maka luasnya sentiasa positif! Itulah sebabnya tolak muncul dalam formula yang baru dibincangkan.

Dalam amalan, selalunya angka itu terletak di kedua-dua satah separuh atas dan bawah.

dengan) Cari luas rajah satah yang dibatasi oleh garis y=2x-x 2, y=-x.

Penyelesaian.

Mula-mula anda perlu melengkapkan lukisan. Secara umumnya, apabila membina lukisan dalam masalah kawasan, kami paling berminat dengan titik persilangan garisan. Mari kita cari titik persilangan parabola dan lurus Ini boleh dilakukan dengan dua cara. Kaedah pertama adalah analitikal.

Kami menyelesaikan persamaan:

Ini bermakna bahawa had bawah integrasi a=0 , had atas penyepaduan b=3 .

Anda boleh membina garisan titik demi titik, dan had penyepaduan menjadi jelas "dengan sendirinya." Walau bagaimanapun, kaedah analisis mencari had masih kadangkala perlu digunakan jika, sebagai contoh, graf cukup besar, atau pembinaan terperinci tidak mendedahkan had penyepaduan (ia boleh menjadi pecahan atau tidak rasional).

Angka yang dikehendaki dihadkan oleh parabola di atas dan garis lurus di bawah.

Pada segmen , mengikut formula yang sepadan:

Jawapan: S =4.5 unit persegi