Penaakulan berdasarkan fakta yang tepat dan kesimpulan yang tepat daripada fakta tersebut dipanggil penaakulan yang ketat. Dalam kes di mana fakta yang tidak pasti mesti digunakan untuk membuat keputusan, penaakulan yang ketat menjadi tidak sesuai. Oleh itu, salah satu kekuatan terbesar mana-mana sistem pakar ialah keupayaannya untuk membentuk penaakulan di bawah keadaan ketidakpastian dengan jayanya seperti yang dilakukan oleh pakar manusia. Penaakulan sedemikian tidak ketat. Kita boleh bercakap tentang kehadiran dengan selamat logik kabur.

Ketidakpastian, dan sebagai akibatnya, logik kabur boleh dianggap sebagai kekurangan maklumat yang mencukupi untuk membuat keputusan. Ketidakpastian menjadi masalah kerana ia boleh menghalang penciptaan penyelesaian terbaik malah menyebabkan penyelesaian yang kurang baik ditemui. Perlu diingatkan bahawa penyelesaian berkualiti tinggi yang ditemui dalam masa nyata sering dianggap lebih boleh diterima daripada penyelesaian yang lebih baik yang mengambil masa yang lama untuk dikira. Sebagai contoh, menangguhkan rawatan untuk membolehkan ujian tambahan boleh mengakibatkan pesakit mati sebelum menerima rawatan.

Sebab ketidakpastian adalah kehadiran pelbagai kesilapan dalam maklumat. Pengelasan yang dipermudahkan Ralat ini boleh dibentangkan dalam pembahagiannya kepada jenis berikut:

• kekaburan maklumat, kejadiannya disebabkan oleh fakta bahawa beberapa maklumat boleh ditafsirkan dengan cara yang berbeza;
• maklumat yang tidak lengkap kerana kekurangan data tertentu;
• ketidakcukupan maklumat kerana penggunaan data yang tidak sesuai dengan keadaan sebenar (kemungkinan sebab adalah ralat subjektif: pembohongan, maklumat salah, kerosakan peralatan);
• ralat pengukuran yang timbul akibat ketidakpatuhan terhadap keperluan untuk ketepatan dan ketepatan kriteria untuk persembahan kuantitatif data;
• ralat rawak, manifestasinya adalah turun naik rawak dalam data berbanding dengan nilai purata mereka (sebabnya mungkin: peralatan tidak boleh dipercayai, gerakan Brownian, kesan terma, dll.).

Hari ini, sejumlah besar teori ketidakpastian telah dibangunkan, yang cuba menghapuskan beberapa atau bahkan semua ralat dan memberikan inferens logik yang boleh dipercayai di bawah keadaan ketidakpastian. Teori yang paling biasa digunakan dalam amalan adalah berdasarkan takrifan klasik kebarangkalian dan kebarangkalian posterior.

Salah satu alat tertua dan paling penting untuk menyelesaikan masalah kecerdasan buatan ialah kebarangkalian. Kebarangkalian ialah cara kuantitatif untuk mengakaun ketidakpastian. Kebarangkalian klasik berasal dari teori yang pertama kali dicadangkan oleh Pascal dan Fermat pada tahun 1654. Sejak itu, banyak kerja telah dilakukan dalam bidang kebarangkalian dan pelaksanaan pelbagai aplikasi kebarangkalian dalam sains, teknologi, perniagaan, ekonomi dan bidang lain.

Kebarangkalian klasik

Kebarangkalian klasik juga dipanggil kebarangkalian priori, kerana takrifannya digunakan untuk sistem yang ideal. Istilah "a priori" merujuk kepada kebarangkalian yang ditentukan "kepada peristiwa," tanpa mengambil kira banyak faktor yang berlaku di dunia nyata. Konsep kebarangkalian priori meluas kepada peristiwa yang berlaku dalam sistem ideal yang terdedah kepada haus dan lusuh atau pengaruh sistem lain. Dalam sistem yang ideal, kejadian mana-mana peristiwa berlaku dengan cara yang sama, menjadikan analisisnya lebih mudah.

Formula asas kebarangkalian klasik (P) ditakrifkan seperti berikut:

Dalam formula ini W- bilangan acara yang dijangkakan, dan N- jumlah bilangan peristiwa dengan kebarangkalian yang sama yang merupakan kemungkinan keputusan eksperimen atau ujian. Sebagai contoh, kebarangkalian untuk mendapatkan mana-mana bahagian dadu bermuka enam ialah 1/6, dan kebarangkalian untuk mengeluarkan sebarang kad daripada dek yang mengandungi 52 kad berbeza ialah 1/52.

Aksiom teori kebarangkalian

Teori kebarangkalian formal boleh dibuat berdasarkan tiga aksiom:

Aksiom di atas memungkinkan untuk meletakkan asas teori kebarangkalian, tetapi mereka tidak menganggap kebarangkalian kejadian yang berlaku dalam sistem sebenar - bukan ideal. Berbeza dengan pendekatan a priori, dalam sistem sebenar, untuk menentukan kebarangkalian sesuatu peristiwa P(E), kaedah digunakan untuk menentukan kebarangkalian eksperimen sebagai had taburan kekerapan:

Kebarangkalian posterior

Dalam formula ini f(E) menandakan kekerapan berlakunya sesuatu peristiwa antara N-bilangan pemerhatian keputusan keseluruhan. Kebarangkalian jenis ini juga dipanggil kebarangkalian posterior, iaitu kebarangkalian ditentukan "selepas peristiwa". Asas untuk menentukan kebarangkalian posterior ialah pengukuran kekerapan sesuatu kejadian berlaku dalam sebilangan besar percubaan. Contohnya, menentukan jenis sosial pelanggan bank yang boleh dikreditkan berdasarkan pengalaman empirikal.

Peristiwa yang tidak saling eksklusif boleh mempengaruhi satu sama lain. Peristiwa sedemikian diklasifikasikan sebagai kompleks. Kebarangkalian kejadian kompleks boleh dikira dengan menganalisis ruang sampel yang sepadan. Ruang sampel ini boleh diwakili menggunakan gambar rajah Venn, seperti yang ditunjukkan dalam Rajah. 1

Rajah 1 Ruang sampel untuk dua acara tidak saling eksklusif

Kebarangkalian kejadian A, yang ditentukan dengan mengambil kira fakta bahawa peristiwa B telah berlaku, dipanggil kebarangkalian bersyarat dan dilambangkan P(A|B). Kebarangkalian bersyarat ditakrifkan seperti berikut:

Kebarangkalian sebelumnya

Dalam formula ini, kebarangkalian P(B) mestilah tidak sama dengan sifar, dan mewakili kebarangkalian priori yang ditentukan sebelum maklumat tambahan lain diketahui. Kebarangkalian sebelumnya, yang digunakan berkaitan dengan penggunaan kebarangkalian bersyarat, kadangkala dipanggil kebarangkalian mutlak.

Terdapat masalah yang pada asasnya adalah bertentangan dengan masalah mengira kebarangkalian bersyarat. Ia terdiri daripada menentukan kebarangkalian songsang, yang menunjukkan kebarangkalian peristiwa sebelumnya dengan mengambil kira peristiwa yang berlaku pada masa hadapan. Dalam amalan, jenis kebarangkalian ini berlaku agak kerap, contohnya, semasa diagnostik perubatan atau diagnostik peralatan, di mana gejala tertentu dikenal pasti, dan tugasnya adalah untuk mencari punca yang mungkin.

Untuk menyelesaikan masalah ini, gunakan Teorem Bayes, dinamakan sempena ahli matematik British abad ke-18 Thomas Bayes. Teori Bayesian kini digunakan secara meluas untuk menganalisis pokok keputusan dalam ekonomi dan sains sosial. Kaedah carian penyelesaian Bayesian juga digunakan dalam sistem pakar PROSPECTOR apabila mengenal pasti tapak yang menjanjikan untuk penerokaan mineral. Sistem PROSPECTOR mendapat populariti yang meluas sebagai sistem pakar pertama dengan bantuan deposit molibdenum yang berharga ditemui, bernilai $100 juta.

C7 Dalam bentuk modennya, teorem Bayes sebenarnya dirumuskan oleh Laplace. Rumusan masalah itu sendiri adalah milik Thomas Bayes. Dia merumuskannya sebagai songsang daripada masalah Bernoulli yang terkenal. Jika Bernoulli sedang mencari kebarangkalian pelbagai hasil untuk melambung syiling "bengkok", maka Bayes, sebaliknya, berusaha untuk menentukan tahap "kelengkungan" ini daripada hasil yang diperhatikan secara empirik untuk melambung syiling. Tidak ada kebarangkalian priori dalam keputusannya.  

Walaupun peraturan itu kelihatan sangat mudah, adalah sukar untuk menerapkannya dalam amalan, kerana kebarangkalian posterior (atau bahkan nilai fungsi keputusan yang dipermudahkan) mungkin tidak diketahui. Nilai mereka boleh dianggarkan. Berdasarkan teorem Bayes, kebarangkalian posterior boleh dinyatakan melalui kebarangkalian terdahulu dan fungsi ketumpatan menggunakan formula Р С, Iх = Р С, (Р(х I С, / Р Су Р xI С,  

Menilai keputusan klasifikasi menggunakan kaedah MDA, kami melihat sebahagian besar keputusan yang salah mengenai syarikat bankrap (kumpulan 1) - salah seorang daripada mereka akan diberikan pinjaman. Firma dengan kedudukan yang tidak jelas (kumpulan 2) sukar untuk diklasifikasikan dengan betul kerana mereka mungkin berada dalam kumpulan 1 atau 3. Perkara itu tidak boleh diperbaiki dengan menyelaraskan kebarangkalian terdahulu dengan kepercayaan bank tentang kebarangkalian firma itu tergolong dalam pelbagai kumpulan. Kadar keseluruhan ketepatan ramalan hanya 56.6%, dan hanya 30% daripada kumpulan 1 dikelaskan dengan betul.  

Memandangkan tahap kerumitan semasa dan serentak proses yang sedang berjalan, model berdasarkan hubungan sebab-akibat mempunyai kemungkinan terhad untuk aplikasi yang baru berlaku sentiasa mengubah spesifikasi semua pembolehubah (kedua-duanya termasuk dan tidak termasuk dalam model), dan nilai-nilai; a priori kebarangkalian dan jumlah pembayaran untuk pelbagai strategi adalah sangat tidak menentu dan turun naik secara mendadak dengan perubahan dalam pertumbuhan ekonomi, kadar faedah, kadar pertukaran dan keuntungan urus niaga bukan pinjaman (contohnya, perubahan dalam yuran transaksi dan komisen).  

Memandangkan dalam situasi sebenar adalah mustahil untuk mengetahui terlebih dahulu bahagian mana syarikat yang diwakili dalam sampel rawak akan muflis dalam tempoh setahun dan sejak pengarang kedua-dua model yang sedang dipertimbangkan, seperti yang boleh diandaikan, tetapkan tahap pemisah berdasarkan beberapa andaian khusus tentang kebarangkalian a priori kebankrapan dan kos kesilapan, kami memudahkan prosedur perbandingan dan memperkenalkan tahap pembahagian relatif. Dalam erti kata lain, bagi setiap model kami menganggap 10% terbawah isyarat yang dikeluarkan oleh model untuk tahun hadapan sebagai isyarat muflis. Malah, pendekatan ini bermakna keseluruhan 10% kebarangkalian kebankrapan terdahulu dan nisbah bilangan isyarat kebankrapan kepada kebankrapan sebenar dalam ujian sebelumnya, yang ditentukan menggunakan ambang pengoptimuman. Di samping itu, kaedah ini mempunyai kelebihan kerana ia meminimumkan herotan yang terhasil daripada selang masa yang besar antara penerbitan skor Altman Z dan pengendalian eksperimen. Penunjuk purata mungkin telah berubah pada masa ini, dan oleh itu pembahagian syarikat kepada kuat dan lemah, berdasarkan perkadaran tertentu, kelihatan lebih dipercayai. Dalam jadual Jadual 9.2 menunjukkan keputusan eksperimen untuk meramalkan kebankrapan setahun lebih awal, menunjukkan ralat bagi setiap model.  

Mengambil kebarangkalian a priori sebagai fakta, anggaran keuntungan yang dijangkakan sekiranya membuka cawangan.  

Mari kita nyatakan dengan A. peristiwa yang q b [

Biarkan, sebagai contoh, parameter berikut dipilih: jumlah pelaburan modal, jumlah kos operasi dan harga produk siap, yang masing-masing boleh mengambil nilai Kb K2, K3 Eb E2, E3 Ts C2, Ts- Setiap nilai ini sepadan dengan kebarangkalian priori tertentu, contohnya, Kb Eb C mempunyai kebarangkalian pt = 0.1, untuk K2, E2, C2 kebarangkalian akan menjadi p2 = 0.8, dan untuk K3, E3, C3 - p3 = 0.1.  

Biarkan kebarangkalian a priori untuk mendapatkan pada akhir proses reka bentuk penyelesaian teknikal yang memenuhi keperluan  

Jika pemain 2 mempunyai lebih daripada satu strategi dalam permainan D dan kebarangkalian penggunaannya sebelum ini tidak diketahui oleh pemain 1 atau malah tidak masuk akal untuk bercakap tentang kebarangkalian ini, maka semua yang dikatakan tidak berkenaan.  

Seperti yang telah kita lihat sebelum ini, perubahan dalam kebarangkalian terdahulu p dan q bergantung pada tetapan isyarat.  

Oleh itu, jika kita mempunyai subjek neutral risiko yang percaya bahawa opsyen panggilan akan menelan kos C dengan kebarangkalian tg dan j dengan kebarangkalian (1 - tg), maka subjek ini akan mengira harga semasa pilihan mengikut sepenuhnya dengan persamaan. kami terbitkan. Ambil perhatian bahawa kami tidak pernah mengandaikan kehadiran kebarangkalian priori berlakunya harga saham tertentu dan, sewajarnya, penilaian masa hadapan bagi pilihan. Pendekatan yang digariskan dipanggil penilaian neutral risiko.  

Biarkan tg(

Bahagian kanan (7.53) bukanlah ketumpatan dalam erti kata yang betul, kerana kamirannya tidak ditakrifkan bagaimanapun, apabila mengira ketumpatan taburan posterior parameter menggunakan formula Bayes, kesukaran formal apabila bekerja dengan (7.53) sama ada tidak timbul, atau ia boleh diatasi dengan mudah. Seperti yang akan kita lihat di bawah dalam bahagian 7.3.2, pilihan (7.53) adalah mudah dari segi analisis dan, nampaknya, mencerminkan kurangnya pengetahuan apriori sepenuhnya tentang pengedaran parameter. Walau bagaimanapun, ia sebenarnya menyembunyikan andaian yang sangat kuat: ketiadaan korelasi antara parameter (bukan korelasi antara anggaran nilai parameter, yang bergantung pada taburan regressor dan nilai a), kecilnya kebarangkalian a priori bahawa vektor parameter terletak pada mana-mana volum terhingga tertentu, tidak kira saiznya, dsb. Ini kadangkala membawa kepada kesukaran yang serius dalam mentafsir keputusan anggaran Bayesian.  

Mari kita pertimbangkan kandungan teorem Bayes dari sudut pandangan yang sedikit berbeza. Untuk melakukan ini, kami menulis semua kemungkinan hasil percubaan kami. Biarkan simbol H0, h bermaksud hasilnya: syiling tidak ditutup dan bahagian atasnya ialah lambang." Jika anda menganggarkan kebarangkalian a priori kejadian  

I sebagai V2i maka kebarangkalian hasil yang ditentukan ialah Va X x1/2=1/4 - Di bawah kami menyediakan senarai semua hasil dan kebarangkalian terdahulunya  

Jadi, dalam contoh dengan syiling dan dadu, P(Na) ialah kebarangkalian priori, P(Na K) ialah kebarangkalian posterior, dan P(Na) ialah kebarangkalian.  

Jika sekarang kebarangkalian terdahulu P(H0) boleh diambil sama dengan 1 atau 0, pembuat keputusan dikatakan  

Sekarang mari kita bayangkan bahawa penguji menawarkan maklumat yang boleh dipercayai (atau lengkap) kepada pembuat keputusan mengenai objek tertentu yang tidak dilindungi. Walau bagaimanapun, pembuat keputusan mesti membayar untuk perkhidmatan menyampaikan maklumat yang boleh dipercayai sepenuhnya sebelum dia menerima maklumat ini. Apakah nilai maklumat sedemikian? Dia boleh melihat ke hadapan dan bertanya kepada dirinya sendiri apa yang akan dia lakukan sebagai tindak balas kepada setiap dua kemungkinan mesej yang boleh diberikan oleh perkhidmatan tertentu, dan mengira pendapatannya berdasarkan respons yang diterima. Menimbang pendapatan ini dengan kebarangkalian awal mesej yang mungkin akan membolehkan dia menganggarkan jumlah pendapatan yang dijangkakan jika dia membayar jumlah tertentu untuk maklumat yang boleh dipercayai dengan sempurna sebelum benar-benar menerimanya. Memandangkan pendapatan jangkaan ini akan menjadi lebih daripada $0.5, iaitu, apa yang dia jangkakan berdasarkan maklumat apriori sahaja, maka peningkatan dalam pendapatan akan menjadi jumlah maksimum yang wajar untuk dia bayar untuk perkhidmatan maklumat.  

Syarikat mesti membeli sejumlah besar barangan sama ada hari ini atau esok. Hari ini harga produk ialah $14.5 seunit. Menurut firma itu, esok harganya adalah sama ada 10 atau 20 dolar dengan kebarangkalian yang sama. Biarkan x menandakan harga esok maka kebarangkalian terdahulu adalah sama  

Pada peringkat terakhir, kebolehpercayaan pilihan kebarangkalian priori berlakunya keadaan pasaran disemak dan utiliti yang dijangka daripada menapis kebarangkalian ini dikira. Untuk tujuan ini, pokok keputusan dibina. Jika penyelidikan pasaran tambahan menjadi perlu, adalah disyorkan untuk menjeda proses memperkenalkan pilihan produk baharu yang dipilih sehingga keputusan yang lebih dipercayai diperolehi.  

Dalam aktiviti pemasaran praktikal sesebuah syarikat, selalunya perlu membandingkan kos untuk mendapatkan maklumat separa (tidak lengkap) dan kos untuk mendapatkan maklumat baharu tambahan untuk membuat keputusan yang lebih baik. Pengurus (DM) mesti menilai berapa banyak faedah yang diterima daripada maklumat tambahan meliputi kos untuk mendapatkannya. Dalam kes ini, teori keputusan Bayesian boleh digunakan. Data awal ialah kebarangkalian priori P(Sk) dan kebarangkalian bersyarat P(Z Sk) kemunculan keadaan pasaran Z, dengan syarat penampilan keadaan 5A diandaikan. Apabila maklumat baharu diterima, utiliti yang dijangkakan bagi setiap strategi dikira, dan kemudian strategi dengan utiliti dijangka maksimum dipilih. Dengan bantuan maklumat baru, pembuat keputusan boleh membetulkan kebarangkalian terdahulu P(Sk), dan ini sangat penting semasa membuat keputusan.  

Sekarang adalah wajar untuk mengetahui apakah kebarangkalian kemunculan keadaan objektif Sk apabila maklumat baru diterima. Oleh itu, adalah perlu untuk mencari P(Sk Z), di mana k,q = 1,p. Ini adalah kebarangkalian bersyarat dan merupakan kebarangkalian terdahulu yang diperhalusi. Untuk mengira P(Sk Z) kita menggunakan formula Bayes  

Jadi, kami telah memperoleh kemas kini a priori kebarangkalian penampilan keadaan pasaran objektif. Keseluruhan proses pengiraan dan keputusan yang diperolehi ditunjukkan dalam jadual. 9.11 dan 9.12.  

Menggunakan pendekatan Bayesian (6.47) memerlukan pengetahuan tentang kebarangkalian terdahulu dan ketumpatan taburan kebarangkalian.  

Dengan menggunakan ciri berangka objek yang diperoleh daripada PCA, kami menjalankan analisis diskriminasi berbilang linear standard dengan kebarangkalian keutamaan elemen yang sama (bersamaan dengan 33%). kumpulan. 41% daripada jumlah bilangan kes telah dikelaskan dengan betul, dan ini adalah lebih baik sedikit daripada ketepatan 33% yang akan diperolehi dengan memberikan objek secara rawak kepada satu kumpulan atau yang lain. Jadual 8.6 di bawah ialah jadual salah klasifikasi, juga dipanggil matriks ralat.  

Masalah seterusnya ialah membangunkan standard untuk ujian. Kebanyakan model MDA dinilai menggunakan sebilangan kecil sampel, yang meningkatkan kebarangkalian model tersebut akan mengatasi data ujian. Sampel biasanya mengandungi gabungan yang sama antara syarikat muflis dan tidak muflis, dan data itu sendiri cenderung sepadan dengan tempoh kebankrapan yang teruk. Ini membawa kepada kesimpulan bahawa hanya keputusan penilaian model pada data baharu boleh dipercayai. Dari meja 9.1 menunjukkan bahawa walaupun dalam ujian yang paling menguntungkan dengan data baharu (apabila semua contoh diambil dari tempoh masa yang sama dan, lebih-lebih lagi, homogen dari segi industri dan saiz perusahaan), kualitinya lebih buruk daripada sampel yang digunakan untuk parameter model. telah ditentukan. Memandangkan pada praktiknya, pengguna model klasifikasi tidak akan dapat menyesuaikan model kepada kebarangkalian kebankrapan, saiz firma atau industri terdahulu yang lain, kualiti sebenar model mungkin lebih teruk. Kualiti juga mungkin merosot disebabkan oleh fakta bahawa sampel yang digunakan untuk menguji model MDA mengandungi beberapa firma yang tidak gagal tetapi berisiko. Jika terdapat hanya empat atau lima firma yang masih hidup berisiko sedemikian, maka ini memesongkan bahagian sebenar syarikat berisiko, dan akibatnya, kekerapan ralat jenis 2 dipandang remeh.  

Kaedah MDA yang terlibat dalam perbandingan telah dikira dan dioptimumkan berdasarkan kadar isyarat palsu 10 1 dengan kebarangkalian terdahulu tertentu dan kos ralat. Saya ingin menggunakan sebagai kriteria ex ante bilangan potensi bankrap dalam populasi yang kurang daripada 10 peratus, tetapi ini tidak sesuai dengan parameter model. Ini juga bertentangan dengan amalan di mana menurunkan ambang di bawah paras 10 peratus tidak membawa kepada muflis. Oleh itu, apabila perkadaran isyarat palsu dipotong kepada 7%, skor Taffler Z berhenti mengenal pasti kebankrapan sama sekali, dan model Datastream menghadapi halangan ini pada kira-kira 8%. Sebaliknya, rangkaian saraf mengiktiraf dua kes muflis di bawah tahap cutoff 4.5%, i.e. Rangkaian ini boleh beroperasi dalam keadaan di mana terdapat hanya lima isyarat palsu bagi setiap pengenalan kebankrapan yang betul. Angka ini adalah setanding dengan keputusan terbaik yang diperoleh oleh model MDA pada ujian bekas pos yang kurang menuntut. Dua kesimpulan berikutan daripada ini: pertama, model saraf ialah kaedah klasifikasi yang boleh dipercayai dalam industri kredit, dan kedua, menggunakan harga saham sebagai pembolehubah sasaran dalam latihan mungkin lebih menguntungkan daripada penunjuk kebankrapan/survival itu sendiri. Harga saham mencerminkan  

Dalam ch. 3-5 menerangkan kaedah untuk menskalakan keutamaan (berat) untuk peristiwa masa hadapan, anggaran kuantitatif tahap keutamaan, dan kita boleh mengira kebarangkalian tanpa syarat bagi sebarang hasil sampel  

I. Kebarangkalian bersyarat. Kebarangkalian sebelum dan belakang. 3

II.Acara bebas. 5

III.Menguji hipotesis statistik. Kepentingan statistik. 7

IV.Penggunaan ujian khi kuasa dua 19

1. Menentukan kebolehpercayaan perbezaan antara set frekuensi dan set kebarangkalian. 19

2. Penentuan kebolehpercayaan perbezaan antara beberapa set frekuensi. 26

TUGASAN MERDEKA 33

Pelajaran No. 2

1. Kebarangkalian bersyarat. Kebarangkalian sebelum dan belakang.

Pembolehubah rawak ditentukan oleh tiga objek: set peristiwa asas, set peristiwa dan kebarangkalian peristiwa. Nilai yang boleh diambil oleh pembolehubah rawak dipanggil peristiwa asas. Set peristiwa asas dipanggil peristiwa. Untuk pembolehubah rawak berangka dan lain-lain yang tidak terlalu kompleks, sebarang set peristiwa asas yang diberikan secara khusus ialah peristiwa.

Kita ambil contoh: baling dadu.

Terdapat 6 acara asas secara keseluruhan: "mata", "2 mata", "3 mata"... "6 mata". Acara – mana-mana set acara asas, contohnya "genap" - jumlah acara asas "2 mata", "4 mata" dan "6 mata".

Kebarangkalian sebarang peristiwa asas P(A) ialah 1/6:

kebarangkalian sesuatu peristiwa ialah bilangan peristiwa asas yang termasuk di dalamnya, dibahagikan dengan 6.

Selalunya, sebagai tambahan kepada kebarangkalian kejadian yang diketahui, terdapat beberapa maklumat tambahan yang mengubah kebarangkalian ini. Contohnya, kematian pesakit. daripada mereka yang dimasukkan ke hospital dengan ulser gastrik pendarahan akut adalah kira-kira 10%. Walau bagaimanapun, jika pesakit berumur lebih dari 80 tahun, kadar kematian ini adalah 30%.

Untuk menggambarkan situasi sedemikian, yang dipanggil kebarangkalian bersyarat. Ia ditandakan sebagai P(A/B) dan dibaca "kebarangkalian peristiwa A diberi peristiwa B." Untuk mengira kebarangkalian bersyarat, formula digunakan:

Mari kita kembali kepada contoh sebelumnya:

Katakan bahawa antara pesakit yang dimasukkan ke hospital dengan ulser gastrik pendarahan akut, 20% adalah pesakit yang berumur lebih dari 80 tahun. Selain itu, di kalangan semua pesakit, bahagian pesakit yang meninggal dunia berumur lebih dari 80 tahun adalah 6% (ingat bahawa perkadaran semua kematian ialah 10%). Dalam kes ini

Apabila mentakrifkan kebarangkalian bersyarat, istilah sering digunakan a priori(secara literal – sebelum pengalaman) dan posterior(secara literal - selepas pengalaman) kebarangkalian.

Menggunakan kebarangkalian bersyarat, anda boleh menggunakan satu kebarangkalian untuk mengira yang lain, contohnya, menukar peristiwa dan keadaan.

Mari kita pertimbangkan teknik ini menggunakan contoh menganalisis hubungan antara risiko demam reumatik (demam reumatik) dan salah satu antigen yang menjadi faktor risiko untuknya.

Insiden reumatik adalah kira-kira 1%. Mari kita nyatakan kehadiran reumatik sebagai R +, manakala P(R +) = 0.01.

Kehadiran antigen akan ditetapkan sebagai A +. Ia ditemui dalam 95% pesakit reumatik dan dalam 6% orang yang tidak mengalami reumatik. Dalam tatatanda kami ini ialah: kebarangkalian bersyarat P(A + /R +) = 0.95 dan P(A + /R -) = 0.06.

Berdasarkan ketiga-tiga kebarangkalian ini, kita akan menentukan kebarangkalian lain secara berturut-turut.

Pertama sekali, jika kejadian reumatisme ialah P(R +) = 0.01, maka kebarangkalian untuk tidak jatuh sakit ialah P(R -) = 1-P(R +) = 0.99.

Daripada formula untuk kebarangkalian bersyarat kita dapati bahawa

P(A + andR +) = P(A + /R +) * P(R +) = 0.95*0.01 = 0.0095, atau 0.95% daripada populasi kedua-duanya mengalami reumatik dan mempunyai antigen.

Begitu juga

P(A + andR -) = P(A + /R -) * P(R -) = 0.06*0.99 = 0.0594, atau 5.94% daripada populasi membawa antigen, tetapi tidak mengalami reumatik.

Oleh kerana setiap orang yang mempunyai antigen sama ada mengalami reumatik atau tidak mengalami rematik (tetapi bukan kedua-duanya pada masa yang sama), jumlah dua kebarangkalian terakhir memberikan kekerapan pengangkutan antigen dalam populasi secara keseluruhan:

P(A +)= P(A + danR +) + P(A + danR -) = 0.0095 + 0.0594 = 0.0689

Sehubungan itu, perkadaran orang yang tidak mempunyai antigen adalah sama dengan

P(A -)=1- P(A +) = 0.9311

Oleh kerana kejadian reumatik adalah 1%, dan bahagian orang yang mempunyai antigen dan menderita reumatik adalah 0.95%, maka bahagian orang yang mengalami reumatik dan tidak mempunyai antigen adalah sama dengan:

P(A - danR +) = P(R +) - P(A + danR +) = 0.01 – 0.0095 = 0.0005

Sekarang kita akan bergerak ke arah yang bertentangan, bergerak daripada kebarangkalian kejadian dan gabungannya kepada kebarangkalian bersyarat. Mengikut formula asal kebarangkalian bersyarat P(A + /R +) = P(R + dan A +)/ P(A +) = 0.0095/0.06890.1379, atau kira-kira 13.8% individu yang membawa antigen, akan mendapat reumatisme . Oleh kerana insiden populasi secara keseluruhannya hanya 1%, fakta mengenal pasti antigen meningkatkan kemungkinan untuk mengembangkan rematik sebanyak 14 kali ganda.

Begitu juga, P(R + /A -) = P(R + andA -)/ P(A -) = 0.0005/0.93110.000054, iaitu fakta bahawa tiada antigen dikesan semasa ujian mengurangkan kebarangkalian untuk mendapat penyakit reumatik adalah 19 kali.

Mari formatkan tugasan ini dalam hamparan Excel:

Anda boleh melihat proses mencipta jadual picture2\p2-1.gif

Peristiwa rawak dinilai oleh nombor yang menentukan keamatan manifestasi peristiwa ini. Nombor ini dipanggil kebarangkalian peristiwa P() . Kebarangkalian peristiwa asas - . Kebarangkalian sesuatu peristiwa ialah ukuran berangka bagi tahap objektiviti, kemungkinan kejadian ini. Semakin tinggi kebarangkalian, semakin besar kemungkinan kejadian itu.

Sebarang peristiwa yang bertepatan dengan keseluruhan ruang hasil S, dipanggil acara yang boleh dipercayai, iaitu peristiwa sedemikian yang akibat daripada eksperimen mesti berlaku (contohnya, kehilangan sebarang bilangan mata dari 1 hingga 6 pada dadu). Sekiranya acara itu tidak termasuk dalam set S, maka ia dianggap mustahil(contohnya, melancarkan nombor yang lebih besar daripada 6 pada dadu). Kebarangkalian kejadian mustahil ialah 0, kebarangkalian kejadian tertentu ialah 1. Semua peristiwa lain mempunyai kebarangkalian dari 0 hingga 1.

Peristiwa E Dan dipanggil bertentangan, Jika E datang apabila ia tidak datang . Contohnya, acara E– “melancarkan bilangan mata genap”, kemudian acara - "melancarkan bilangan mata yang ganjil." Dua peristiwa E 1 Dan E 2 dipanggil tidak serasi, jika tiada hasil yang sama untuk kedua-dua peristiwa.

Untuk menentukan kebarangkalian kejadian rawak, kaedah langsung atau tidak langsung digunakan. Apabila mengira secara langsung kebarangkalian, skema pengiraan priori dan posterior dibezakan, apabila menjalankan pemerhatian (eksperimen) atau mengira apriori bilangan eksperimen m, yang menunjukkan peristiwa itu sendiri, dan jumlah bilangan percubaan yang dilakukan n. Kaedah tidak langsung adalah berdasarkan teori aksiomatik. Oleh kerana peristiwa ditakrifkan sebagai set, semua operasi set-teoretik boleh dilakukan ke atasnya. Teori set dan analisis fungsi telah dicadangkan oleh ahli akademik A.N. Kolmogorov dan membentuk asas teori aksiomatik kebarangkalian. Mari kita kemukakan aksiom kebarangkalian.

Aksiomsaya. Medan acaraF(S) ialah algebra bagi set.

Aksiom ini menunjukkan analogi antara teori set dan teori kebarangkalian.

AksiomII. Untuk setiap setdaripadaF(S) dikaitkan dengan nombor nyata P(), dipanggil kebarangkalian kejadian itu:

memandangkan itu S 1 S 2 = (untuk acara yang tidak serasi S 1 Dan S 2 ), atau untuk set acara yang tidak serasi

di mana N– bilangan peristiwa asas (kemungkinan hasil).

Kebarangkalian kejadian rawak

di mana – kebarangkalian kejadian asas termasuk dalam subset .

Contoh 1.1. Tentukan kebarangkalian untuk mendapat setiap nombor semasa membaling dadu, mendapat nombor genap, nombor 4 .

Penyelesaian. Kebarangkalian setiap nombor jatuh daripada set

S = (1, 2, 3, 4, 5, 6)
1/6.

Kebarangkalian melancarkan nombor genap, i.e.
={2, 4, 6}, berdasarkan (1.6) ia akan P(
) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2 .

Kebarangkalian mendapat nombor  4 , iaitu
= {4, 5, 6 } ,

P(
) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2.

Tugas untuk kerja bebas

1. Terdapat 20 bola putih, 30 bola hitam dan 50 bola merah di dalam bakul. Tentukan kebarangkalian bahawa bola pertama yang dikeluarkan dari bakul akan berwarna putih; hitam; merah.

2. Terdapat 12 lelaki dan 10 perempuan dalam kumpulan pelajar. Apakah kebarangkalian bahawa perkara berikut akan tidak hadir dalam seminar teori kebarangkalian: 1) seorang lelaki muda; 2) perempuan; 3) dua orang pemuda?

3. Sepanjang tahun, 51 hari dibezakan oleh fakta bahawa pada hari-hari ini hujan (atau salji). Apakah kebarangkalian anda berisiko terperangkap dalam hujan (atau salji): 1) pergi bekerja; 2) pergi mendaki selama 5 hari?

4. Karang satu masalah tentang tajuk tugasan ini dan selesaikan.

1.1.3. Takrif kebarangkalian posterior (kebarangkalian statistik atau kekerapan

peristiwa rawak)

Apabila menentukan kebarangkalian a priori, diandaikan bahawa sama-sama berkemungkinan. Ini tidak selalunya benar;
di
. Andaian
membawa kepada kesilapan dalam penentuan a priori P( ) mengikut skema yang telah ditetapkan. Untuk menentukan , dan dalam kes umum P( ) menjalankan ujian yang disasarkan. Semasa ujian tersebut (sebagai contoh, keputusan ujian dalam contoh 1.2, 1.3) di bawah keadaan yang berbeza dari pelbagai keadaan, pengaruh, faktor penyebab, i.e. dalam berbeza kes, pelbagai hasil(pelbagai manifestasi maklumat objek yang dikaji). Setiap hasil ujian sepadan dengan satu elemen atau satu subset set S.Jika kita takrifkan m sebagai bilangan acara yang menggalakkan A hasil yang terhasil daripada n ujian, kemudian kebarangkalian posterior (kebarangkalian statistik atau kekerapan kejadian rawak A)

Berdasarkan hukum bilangan besar bagi  A

mereka. apabila bilangan percubaan meningkat, kekerapan kejadian rawak (posterior, atau statistik, kebarangkalian) cenderung kepada kebarangkalian kejadian ini.

Contoh 1.2. Ditentukan oleh skema kes, kebarangkalian kepala pendaratan apabila melambung syiling ialah 0.5. Anda perlu melambung syiling 10, 20, 30... kali dan tentukan kekerapan kejadian rawak kepala selepas setiap siri ujian.

Penyelesaian. C. Poisson melambung duit syiling sebanyak 24,000 kali dan mendarat di atas kepala sebanyak 11,998 kali. Kemudian, mengikut formula (1.7), kebarangkalian kepala pendaratan

.

Tugas untuk kerja bebas

Berdasarkan bahan statistik yang besar ( n  ) nilai kebarangkalian kemunculan huruf individu abjad Rusia dan ruang () dalam teks diperolehi, yang diberikan dalam Jadual 1.1.

Jadual 1.1. Kebarangkalian huruf abjad muncul dalam teks

Ambil halaman mana-mana teks dan tentukan kekerapan kejadian huruf yang berbeza pada halaman itu. Tambah panjang ujian kepada dua muka surat. Bandingkan keputusan yang diperolehi dengan data dalam jadual. Buat kesimpulan.

Apabila menembak pada sasaran, keputusan berikut diperolehi (lihat Jadual 1.2).

Jadual 1.2. Hasil menembak sasaran

Apakah kebarangkalian bahawa sasaran akan dipukul dengan pukulan pertama jika saiznya lebih kecil daripada "sepuluh", "sembilan", dsb.?

3. Merancang dan menjalankan ujian yang serupa untuk acara lain. Bentangkan keputusan mereka.