ആദ്യ ലെവൽ

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി. സമഗ്രമായ ഗൈഡ് ഉദാഹരണങ്ങൾ (2019)

നമ്പർ ശ്രേണി

അതിനാൽ, ഇരിക്കുക, ഏതെങ്കിലും സംഖ്യകൾ എഴുതാൻ ആരംഭിക്കുക. ഉദാഹരണത്തിന്:

നിങ്ങൾക്ക് എന്തെങ്കിലും നമ്പറുകൾ എഴുതാൻ കഴിയും, അവ എങ്ങനെയെങ്കിലും (ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ) കഴിയും. എത്ര നമ്പറുകൾ ഞങ്ങൾ എഴുതിയിട്ടില്ല, അവയിൽ ഏതാണ് രണ്ടാമത്തേത്, അവസാനത്തേതാണ്, അതായത്, നമുക്ക് അവരെ മരവിപ്പിക്കാൻ കഴിയും. ഇത് ഒരു സംഖ്യാ ശ്രേണിയുടെ ഉദാഹരണമാണ്:

നമ്പർ ശ്രേണി - ഇത് ധാരാളം നമ്പറുകളാണ്, അവ ഓരോന്നും ഒരു അദ്വിതീയ സംഖ്യ നൽകാം.

ഉദാഹരണത്തിന്, ഞങ്ങളുടെ ശ്രേണിക്കായി:

നിയുക്ത നമ്പർ ഒരു എണ്ണം സീക്വൻസുകൾക്ക് മാത്രമുള്ളതാണ്. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ശ്രേണിയിൽ മൂന്ന് സെക്കൻഡ് നമ്പറുകളൊന്നുമില്ല. രണ്ടാമത്തെ നമ്പർ (ഒരു സംഖ്യയായി) എല്ലായ്പ്പോഴും ഒന്നാണ്.

ക്രസൻസ് നാമകരണ അംഗത്തിന്റെ എണ്ണമുള്ള നമ്പർ.

ഞങ്ങൾ സാധാരണയായി എല്ലാ ശ്രേണികളും വിളിക്കുന്നു (ഉദാഹരണത്തിന്,), ഈ ശ്രേണിയിലെ ഓരോ അംഗവും ഈ അംഗത്തിന്റെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമായ ഒരു സൂചികയാണ്:.

ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ:

ഗണിതവും ജ്യാമിതീയവുമാണ് പുരോഗതിയുടെ ഏറ്റവും സാധാരണമായ തരങ്ങൾ. ഈ ത്രെഡിൽ ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ രൂപത്തെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കും - ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി.

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയും അതിന്റെ സംഭവവും ആവശ്യമാണ്.

പുരാതന കാലത്ത് പോലും, ഇറ്റാലിയൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ പിസയിൽ നിന്ന് (എഫ്ഐബിനാക്കി എന്നറിയപ്പെടുന്ന കൂടുതൽ പ്രശസ്തരായ) വ്യാപാരത്തിന്റെ പ്രായോഗിക ആവശ്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ഏർപ്പെട്ടിരുന്നു. സന്യാസിക്ക് മുന്നിൽ, നിർണ്ണയിക്കാൻ ഒരു ടാസ്ക് ഉണ്ടായിരുന്നു, ഏറ്റവും ചെറിയ ഭാരം എന്താണ് നമുക്ക് ചരക്കുകൾ തീർക്കാൻ കഴിയുക? അത്തരമൊരു സമ്പ്രദാത്മകമാണെന്ന് ഫിബൊനാക്കി പൊതു ആശയം. വിഷയത്തിൽ നിങ്ങൾ പൂർണ്ണമായും മനസ്സിലായ ഉടൻ, അത്തരമൊരു സിസ്റ്റം എന്തുകൊണ്ട് ഒപ്റ്റിമലാണ്?

നിലവിൽ, ജീവിത പരിശീലനത്തിൽ, ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി ബാങ്കിൽ പണം ലഭിക്കുമ്പോൾ അത് സ്വയം പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു, മുമ്പത്തെ കാലയളവിൽ അക്കൗണ്ടുമായി അടിഞ്ഞുകൂടിയ തുകയ്ക്ക് പലിശയുടെ വില ഈടാക്കുമ്പോൾ. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, സേവിംഗ്സ് ബാങ്കിന് അടിയന്തിര സംഭാവനയ്ക്കായി ഞങ്ങൾ പണം വെക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഒരു വർഷത്തിനുശേഷം പ്രാരംഭ അളവിൽ നിന്ന് സംഭാവന വർദ്ധിക്കും, അതായത്. പുതിയ തുക ഡെപ്പോസിറ്റിന് തുല്യമായിരിക്കും. ഒരു വർഷത്തിനുശേഷം, ഈ തുക വർദ്ധിക്കും, I.E. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന തുക ആ സമയം വീണ്ടും വർദ്ധിക്കും. അത്തരമൊരു സാഹചര്യം എന്ന് വിളിച്ചതിനുള്ള ചുമതലകളിൽ വിവരിച്ചിരിക്കുന്നു സങ്കീർണ്ണ പലിശ - മുമ്പത്തെ താൽപ്പര്യമുള്ള അക്കൗണ്ടിലുള്ള തുകയിൽ നിന്ന് ഓരോ തവണയും ശതമാനം എടുക്കുന്നു. ഈ ജോലികളെക്കുറിച്ച് ഞങ്ങൾ കുറച്ച് കഴിഞ്ഞ് സംസാരിക്കും.

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി പ്രയോഗിക്കുന്ന നിരവധി ലളിതമായ കേസുകളുണ്ട്. ഉദാഹരണത്തിന്, ഇൻഫ്ലുവൻസയുടെ വ്യാപനം: ഒരു വ്യക്തി ഒരു വ്യക്തിയെ ബാധിച്ചു, അവർ ഒരു വ്യക്തിയെ ബാധിച്ചു, അങ്ങനെ അണുബാധയുടെ രണ്ടാമത്തെ തരംഗം - ഒരു മനുഷ്യൻ, എന്നിട്ട് രോഗം വഷളായി ...

മാർഗം, സാമ്പത്തിക പിരമിഡ്, ഇതേ എംഎംഎം ജ്യാമിതീയ പുരോഗമനത്തിന്റെ സ്വഭാവങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള ലളിതവും വരണ്ടതുമായ ഒരു കണക്കുകൂട്ടലാണ്. താൽപ്പര്യമുണ്ടോ? നമുക്ക് കൈകാര്യം ചെയ്യാം.

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി.

ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു സംഖ്യാ ശ്രേണി ഉണ്ടെന്ന് കരുതുക:

ഇത് എളുപ്പമാണെന്നും അത്തരമൊരു ശ്രേണിയുടെ പേരാണെന്നും നിങ്ങൾ ഉടനടി ഉത്തരം നൽകും - ഗണിത പുരോഗതി അവളുടെ അംഗങ്ങളുടെ വ്യത്യാസത്തോടെ. ഇതിന്റെ കാര്യമോ:

മുമ്പത്തേതിന്റെ തുടർന്നുള്ള എണ്ണത്തിൽ നിന്ന് നിങ്ങളെ കുറയ്ക്കുന്നുവെങ്കിൽ, അത് ഒരു പുതിയ വ്യത്യാസം മാറുന്നു (മുതലായവ), പക്ഷേ ഇത് ശ്രദ്ധേയമാണ് - ഓരോ അടുത്ത നമ്പറിലും കൂടുതൽ മുമ്പത്തെ ഒന്ന്!

ഇത്തരത്തിലുള്ള സംഖ്യാ സീക്വൻസ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.

ജ്യാമിതീയ പുരോഗമന () സംഖ്യാ ശ്രേണിയാണ്, ഇതിന്റെ ആദ്യ പദം പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്, ഓരോ അംഗവും രണ്ടാമത്തെ മുതൽ ആരംഭിക്കുന്ന ഓരോ അംഗവും മുമ്പത്തേതിന് തുല്യമായത്, ഒരേ നമ്പറിൽ ഗുണിച്ചാൽ. ഈ നമ്പറിനെ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ഒരു ഡിനോമിനേറ്റർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ആദ്യ കാലാവധി () തുല്യമല്ലാത്തതും ആകസ്മികമല്ലാത്തതുമില്ലാത്ത നിയന്ത്രണങ്ങൾ. അവയല്ലെന്ന് കരുതുക, ആദ്യ കാലാവധി ഇപ്പോഴും തുല്യമാണ്, q തുല്യമാണ്, ഉം. അനുവദിക്കുക, പിന്നെ അത് മാറുന്നു:

ഇത് ഇപ്പോൾ പുരോഗതിയല്ലെന്ന് സമ്മതിക്കുക.

നിങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നതുപോലെ, അത് പൂജ്യമല്ലാതെ മറ്റെന്തെങ്കിലും ഉണ്ടെങ്കിൽ നമുക്ക് അതേ ഫലങ്ങൾ ലഭിക്കും, പക്ഷേ. ഈ സന്ദർഭങ്ങളിൽ, പുരോഗതി ഒന്നുകിൽ ഉണ്ടാകില്ല, കാരണം മുഴുവൻ സംഖ്യാ സീരീസും ഒന്നുകിൽ എല്ലാ പൂജ്യങ്ങളും അല്ലെങ്കിൽ ഒരു സംഖ്യയും ആയിരിക്കും, പക്ഷേ മറ്റെല്ലാ പൂജ്യങ്ങളും.

ഇപ്പോൾ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്ററെക്കുറിച്ച് കൂടുതൽ വിശദമായി സംസാരിക്കാം.

ആവർത്തിക്കുക: - ഇതാണ് നമ്പർ തുടർന്നുള്ള ഓരോ അംഗ മാറ്റങ്ങളും എത്ര തവണ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി.

ഞാൻ എന്തായിരിക്കുമെന്ന് നിങ്ങൾ കരുതുന്നു? വലത്, പോസിറ്റീവ്, നെഗറ്റീവ്, പക്ഷേ പൂജ്യമല്ല (ഞങ്ങൾ ഇതിനെക്കുറിച്ച് അൽപ്പം കൂടുതലായി സംസാരിച്ചു).

ഞങ്ങൾക്ക് പോസിറ്റീവ് ഉണ്ടെന്ന് കരുതുക. ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ ചെയ്യട്ടെ. രണ്ടാമത്തെ അംഗവും? നിങ്ങൾക്ക് അത് എളുപ്പത്തിൽ ഉത്തരം നൽകാൻ കഴിയും:

അത് ശരിയാണ്. അതനുസരിച്ച്, പുരോഗതിയിലെ എല്ലാ അംഗങ്ങളെയും ഒരേ ചിഹ്നമുണ്ടെങ്കിൽ - അവ നിശ്ചിതമായ.

നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ? ഉദാഹരണത്തിന്, a. രണ്ടാമത്തെ അംഗവും?

ഇത് തികച്ചും വ്യത്യസ്തമായ ഒരു കഥയാണ്.

ഈ പുരോഗതിയിലെ ഒരു അംഗം കണക്കാക്കാൻ ശ്രമിക്കുക. നിങ്ങൾ എത്രമാത്രം ചെയ്തു? എനിക്കുണ്ട്. ഇപ്രകാരം ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിലെ അംഗങ്ങളുടെ ലക്ഷണങ്ങൾ ഒന്നിടവിട്ട് മാറി. അതായത്, പുരോഗതി കണ്ടാൽ, അതിന്റെ അവസരങ്ങളുടെ ഒന്നിടവിട്ട അടയാളങ്ങൾക്കൊപ്പം അതിന്റെ ഡിനോമിനേറ്റർ നെഗറ്റീവ് ആണ്. ഈ വിഷയത്തിൽ ടാസ്ക്കുകൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ സ്വയം പരിശോധിക്കാൻ ഈ അറിവ് നിങ്ങളെ സഹായിക്കും.

ഇപ്പോൾ അവർ ഒരു ചെറിയ കടിക്കുന്നു: ഏത് സംഖ്യാ സീക്വൻസുകൾ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയാണ്, ഏത് ഗണിതമാണ്:

കണ്ടെത്തിയിട്ടുണ്ടോ? ഞങ്ങളുടെ ഉത്തരങ്ങൾ താരതമ്യം ചെയ്യുക:

• ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി - 3, 6.
• ഗണിത പുരോഗതി - 2, 4.
• അത് ഗണിതമോ ജ്യാമിതീയമോ ആയ പുരോഗതിയാണ് - 1, 5, 7.

ഞങ്ങളുടെ അവസാന പുരോഗതിയിലേക്ക് മടങ്ങാം, അവളുടെ ഡിക്ക് കണ്ടെത്താൻ ഗണിതത്തിലെന്നപോലെ ഞങ്ങൾ ശ്രമിക്കും. നിങ്ങൾ ഇതിനകം ess ഹിക്കാൻ, അത് കണ്ടെത്താൻ രണ്ട് വഴികളുണ്ട്.

ഓരോ അംഗത്തെയും സ്ഥിരമായി വർദ്ധിപ്പിക്കുക.

അതിനാൽ, വിവരിച്ച ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിലെ ഒരു അംഗത്തിന് തുല്യമാണ്.

നിങ്ങൾ ഇതിനകം ess ഹിച്ചതുപോലെ, ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ സ്വയം ഒരു ഫോർമുല പുറപ്പെടുവിക്കും, അത് ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിലെ ഏതെങ്കിലും അംഗത്തെ കണ്ടെത്താൻ സഹായിക്കുന്ന ഒരു ഫോർമുല കൊണ്ടുവരും. അതോ നിങ്ങൾ ഇതിനകം തന്നെ സ്വയം പിൻവലിച്ചോ, പെയിന്റിംഗ്, ഒരു അംഗം എങ്ങനെ രണ്ടാം സ്ഥാനത്തെത്തി? അങ്ങനെയാണെങ്കിൽ, നിങ്ങളുടെ യുക്തിയുടെ കൃത്യത പരിശോധിക്കുക.

ഈ പുരോഗതിയിലെ ഒരു അംഗത്തെ കണ്ടെത്തുന്നതിന്റെ ഉദാഹരണത്തിൽ ഞങ്ങൾ ഇത് വ്യക്തമാക്കും:

മറ്റൊരു വാക്കിൽ:

നൽകിയ ജ്യാമിതയുള്ള പുരോഗതിയിലെ ഒരു അംഗത്തിന്റെ മൂല്യം സ്വയം കണ്ടെത്തുക.

സംഭവിച്ചോ? ഞങ്ങളുടെ ഉത്തരങ്ങൾ താരതമ്യം ചെയ്യുക:

ജ്യാമിതീയ പുരോഗമിച്ച ഓരോ അംഗവും സ്ഥിരമായി വർദ്ധിപ്പിക്കുമ്പോൾ മുമ്പത്തെ വഴിപ്പോലുള്ള അതേ സംഖ്യ നിങ്ങൾക്ക് കൃത്യമായി ഒരേ നമ്പർ ഉണ്ടെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക.
ഈ ഫോർമുല "ഡിസ്ക്റ്റൈറ്റ്" ചെയ്യാൻ നമുക്ക് ശ്രമിക്കാം - ഞങ്ങൾ അത് ഒരു പൊതു കാഴ്ചയ്ക്ക് നൽകുന്നു:

എല്ലാ മൂല്യങ്ങൾക്കും ലഭിക്കുന്ന ഫോർമുല - പോസിറ്റീവ്, നെഗറ്റീവ്. ഇത് സ്വയം പരിശോധിക്കുക, ഇനിപ്പറയുന്ന നിബന്ധനകളോടെ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിലെ അംഗത്തെ കണക്കാക്കുന്നു: പക്ഷേ.

കണക്കാക്കിയിട്ടുണ്ടോ? ലഭിച്ച ഫലങ്ങൾ താരതമ്യം ചെയ്യുക:

പുരോഗതിയിലെ ഒരു അംഗത്തെ കണ്ടെത്താൻ സമ്മതിക്കും, എന്നിരുന്നാലും, ഒരു അംഗവും ആകാം, എന്നിരുന്നാലും, തെറ്റായി കണക്കാക്കാനുള്ള സാധ്യതയുണ്ട്. ജ്യാമിതീയ പുരോഗമനത്തിലെ അംഗത്തിന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തിയെങ്കിൽ, സൂത്രവാക്യത്തിന്റെ "കട്ട്" എന്നത് ഉപയോഗിക്കുന്നതിനേക്കാൾ എളുപ്പമായിരിക്കും.

അനന്ത ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി കുറയ്ക്കുന്നു.

ഏറ്റവും സമീപകാലത്ത്, ഞങ്ങൾ രണ്ടുപേർ കൂടി എന്താണെന്ന് ഞങ്ങൾ സംസാരിച്ചു കുറഞ്ഞ പൂജ്യംഎന്നിരുന്നാലും, ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി എന്ന് വിളിക്കുന്ന പ്രത്യേക മൂല്യങ്ങളുണ്ട് അനന്തമായി ഇറങ്ങി.

നിങ്ങൾ എന്താണ് ചിന്തിക്കുന്നത്, അത്തരമൊരു പേര് എന്തുകൊണ്ട്?
ആരംഭിക്കാൻ, അംഗങ്ങൾ അടങ്ങിയ ചില ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയെ ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു.
കരുതുക, പക്ഷേ:

തുടർന്നുള്ള ഓരോ അംഗവും മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ കുറവാണെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണുന്നു, പക്ഷേ എന്തെങ്കിലും ഉണ്ടോ? നിങ്ങൾ ഉടനെ ഉത്തരം നൽകും - "ഇല്ല". അതുകൊണ്ടാണ് അത് അനന്തമായി കുറയുന്നത് - കുറയുന്നു, കുറയുന്നു, അസാധുവായി മാറുന്നില്ല.

ഇത് ദൃശ്യപരമായി എങ്ങനെ കാണപ്പെടുന്നുവെന്ന് വ്യക്തമായി മനസിലാക്കാൻ, നമ്മുടെ പുരോഗതിയുടെ ഒരു ഷെഡ്യൂൾ വരയ്ക്കാൻ ശ്രമിക്കാം. അതിനാൽ, ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിനായി, ഫോർമുല ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോം നേടുന്നു:

അതിനാൽ, ജോലിയിൽ ആശ്രയിക്കുന്നത് ഞങ്ങൾക്ക് പരിചിതമാണ്, അതിനാൽ:

പദപ്രയോഗത്തിന്റെ സാരാംശം മാറിയിട്ടില്ല: ആദ്യ റെക്കോർഡിൽ, ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിലെ ഒരു അംഗത്തെ ആശ്രയിക്കുന്നത്, രണ്ടാമത്തെ രേഖയിൽ - ഞങ്ങൾ ജ്യാമിതീയ അംഗത്തിന്റെ മൂല്യം നേടി പുരോഗതി, സീക്വൻസ് നമ്പർ സമാനമായിരുന്നില്ല, പക്ഷേ എങ്ങനെ. ചെയ്യേണ്ടതെല്ലാം ഒരു ചാർട്ട് നിർമ്മിക്കുക എന്നതാണ്.
നിങ്ങൾക്ക് എന്താണ് ലഭിച്ചതെന്ന് നോക്കാം. ഷെഡ്യൂൾ ഇങ്ങനെ മാറിയത് അതാണ്:

നോക്കൂ? പ്രവർത്തനം കുറയുന്നു, പൂജ്യത്തിനായി പരിശ്രമിക്കുന്നു, പക്ഷേ ഒരിക്കലും കടക്കില്ല, അതിനാൽ അത് അനന്തമായി കുറയുന്നു. ഞങ്ങളുടെ പോയിന്റുകളുടെ ചാർട്ടിൽ ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു, അതേ സമയം കോർഡിനേറ്ററെ സൂചിപ്പിക്കുന്നതും:

ആദ്യ അംഗവും തുല്യമാണെങ്കിൽ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ഗ്രാഫ് ചിത്രീകരിക്കാൻ സ്കീമാറ്റികമായി ശ്രമിക്കുക. വിശകലനം ചെയ്യുക, ഞങ്ങളുടെ മുമ്പത്തെ ഷെഡ്യൂളിനെക്കുറിച്ചുള്ള വ്യത്യാസം എന്താണ്?

നേരിടാൻ? ഷെഡ്യൂൾ ഇങ്ങനെ മാറിയത് അതാണ്:

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ വിഷയത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനകാര്യങ്ങളിൽ നിങ്ങൾ ഇപ്പോൾ മനസ്സിലാക്കി: അത് എന്താണെന്ന് നിങ്ങൾക്കറിയാം, അവളുടെ അംഗം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് നിങ്ങൾക്കറിയാം, അത്തരമൊരു അനന്തമായി ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി കുറയ്ക്കുമെന്ന് നിങ്ങൾക്കറിയാം, ഞങ്ങൾ അതിന്റെ പ്രധാന സ്വത്തിലേക്ക് തിരിയുന്നു.

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ സ്വത്ത്.

ഗണിത പുരോഗതിയിലെ അംഗങ്ങളുടെ സ്വത്ത് നിങ്ങൾ ഓർക്കുന്നുണ്ടോ? അതെ, അതെ, ഈ പുരോഗതിയിലെ അംഗങ്ങളുടെ മുമ്പത്തെ, തുടർന്നുള്ള പുരോഗതിയുടെ മൂല്യം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം. ഓർമ്മിക്കണോ? ഈ:

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിലെ അംഗങ്ങൾക്ക് ഇപ്പോൾ സമാനമായ ചോദ്യമുണ്ട്. സമാനമായ ഒരു ഫോർമുല കൊണ്ടുവരാൻ, നമുക്ക് ഡ്രോയിംഗ് ആരംഭിച്ച് വാദിക്കാം. നിങ്ങൾ കാണും, അത് വളരെ എളുപ്പമാണ്, നിങ്ങൾ മറന്നാൽ നിങ്ങൾക്ക് അത് സ്വയം എടുക്കാം.

ഞങ്ങൾ അറിയുന്നതും മറ്റൊരു ലളിതമായ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി കൈവരിക്കുക. എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം? ഗണിത പുരോഗതിയിരിക്കുമ്പോൾ, ഇത് എളുപ്പവും ലളിതവുമാണ്, എങ്ങനെയുണ്ട്? വാസ്തവത്തിൽ, ജ്യാമിതീയത്തിൽ ഒന്നുകിൽ സങ്കീർണ്ണവുമില്ല - നിശ്ചിത മൂല്യമുള്ള ഓരോ മൂല്യവും ഫോർമുല പെയിന്റ് ചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

നിങ്ങൾ ചോദിക്കുന്നു, ഇപ്പോൾ എന്തുചെയ്യണം? അതെ, വളരെ ലളിതമാണ്. ആരംഭിക്കാൻ, നിങ്ങൾ ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ചിത്രത്തിൽ കാണിക്കുകയും മൂല്യത്തിലേക്ക് വരാൻ അവരുമായി വിവിധ ചർച്ചകൾ നടത്താൻ ശ്രമിക്കുകയും ചെയ്യും.

നമുക്ക് നൽകുന്ന അക്കങ്ങളിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ അമൂർത്തമാണ്, സമവാക്യത്തിലൂടെ അവരുടെ പദപ്രയോഗത്തിൽ മാത്രം ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കുക. അനുവദിച്ച ഒരു മൂല്യം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട് ഓറഞ്ച് നിറം, അംഗീകൃത അംഗങ്ങളെ അറിയുന്നത്. അവരുമായി ഉത്പാദിപ്പിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം വിവിധ പ്രവർത്തനങ്ങൾഅതിന്റെ ഫലമായി നമുക്ക് ലഭിക്കും.

സങ്കലനം.
രണ്ട് പദപ്രയോഗങ്ങൾ മടക്കിക്കളയാൻ ശ്രമിക്കാം, ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും:

ഈ പദപ്രയോഗത്തിൽ നിന്ന്, നിങ്ങൾ കാണുന്നതുപോലെ, ഞങ്ങൾക്ക് പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയില്ല, അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ മറ്റൊരു ഓപ്ഷൻ പരീക്ഷിക്കും - കുറയ്ക്കൽ.

കുറയ്ക്കൽ.

നിങ്ങൾ കാണുന്നതുപോലെ, ഞങ്ങൾക്ക് ഇത് പ്രകടിപ്പിക്കാൻ ഞങ്ങൾക്ക് കഴിയില്ല, അതിനാൽ, ആവിഷ്കാരം പരസ്പരം വർദ്ധിപ്പിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ശ്രമിക്കുന്നു.

ഗുണനമാണ്.

ഇപ്പോൾ, ശ്രദ്ധയോടെ നോക്കുക, ഞങ്ങൾക്ക് എന്താണ് കണ്ടെത്തേണ്ടതിനെ താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയെക്കുറിച്ച് ഗുണിക്കുന്നത്:

ഞാൻ എന്താണ് സംസാരിക്കുന്നതെന്ന് ഞാൻ ess ഹിച്ചു? നമ്മൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതിന്റെ അവകാശം സ്ക്വയർ റൂട്ട് പരസ്പരം ഗുണിച്ചാൽ, ആവശ്യമുള്ള നമ്പറുകളോട് ചേർന്നുള്ളത്:

ഇവിടെ ആരംഭിക്കുന്നു. നിങ്ങൾ സ്വയം ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ സ്വത്ത് കൊണ്ടുവന്നു. ഈ ഫോർമുല കത്തിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക പൊതുവായ. സംഭവിച്ചോ?

അവസ്ഥ മറന്നോ? എന്തുകൊണ്ടാണ് ഇത് പ്രധാനമെന്ന് ചിന്തിക്കുക, ഉദാഹരണത്തിന്, സ്വയം കണക്കാക്കാൻ ശ്രമിക്കുക. ഈ കേസിൽ എന്ത് സംഭവിക്കും? അത് ശരിയാണ്, ഫോർമുല ഇതുപോലെ തോന്നുന്നു:

അതനുസരിച്ച്, ഈ നിയന്ത്രണം മറക്കരുത്.

ഇപ്പോൾ തുല്യമെന്ന് പരിഗണിക്കുക

ശരിയായ ഉത്തരം - ! കണക്കാക്കുമ്പോൾ സാധ്യമായ രണ്ടാമത്തെ മൂല്യം നിങ്ങൾ മറന്നില്ലെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഉടൻ തന്നെ വ്യായാമത്തിലേക്ക് പോകാം, നിങ്ങൾ മറന്നുണ്ടെങ്കിൽ - നിങ്ങൾ രണ്ടു വേരുകളും റെക്കോർഡുചെയ്യേണ്ടത് എന്തുകൊണ്ടാണെന്ന് വായിക്കുക.

ഞങ്ങളുടെ രണ്ട് ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയും - ഒന്ന് ഒരു മൂല്യമുള്ള ഒന്ന്, മറ്റൊന്ന് മൂല്യമുള്ളവ രണ്ടും നിലനിൽക്കാൻ അവകാശമുണ്ടോ?

അത്തരം ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി ഉണ്ടോ ഇല്ലയോ എന്ന് പരിശോധിക്കുന്നതിന്, അത് മനസ്സിലാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, അതിന്റെ എല്ലാ നിർദ്ദിഷ്ട അംഗങ്ങൾക്കിടയിലും സമാനമാണോ? ഒന്നും രണ്ടും കേസിനായി q കണക്കാക്കുക.

എന്തുകൊണ്ടാണ് ഞങ്ങൾ രണ്ട് ഉത്തരങ്ങൾ എഴുതിയതെന്ന് നോക്കൂ? കാരണം, ആവശ്യമുള്ള അംഗത്തെക്കുറിച്ചുള്ള അടയാളം പോസിറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ നെഗറ്റീവ് എന്താണെന്നതിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു! അവൻ എന്താണെന്ന് അറിയാത്തതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ഉത്തരങ്ങളും പ്ലസും എഴുതേണ്ടതുണ്ട്, ഒരു മൈനസ്.

ഇപ്പോൾ, നിങ്ങൾ ഹൈലൈറ്റുകൾ പഠിക്കുകയും ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ സ്വത്തുക്കൾക്കായി ഫോർമുല കൊണ്ടുവന്ന്, കണ്ടെത്തുകയും അറിയുകയും ചെയ്യുന്നു

സ്വീകരിച്ച ഉത്തരങ്ങൾ ശരിയുമായി താരതമ്യം ചെയ്യുക:

നിങ്ങൾ എന്തു വിചാരിക്കുന്നു, ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിലെ അംഗങ്ങളുടെ മൂല്യത്തെ നമുക്ക് അയച്ചില്ലെങ്കിൽ, അതിൽ നിന്ന് തുല്യമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, നാം കണ്ടെത്തേണ്ടതും നൽകേണ്ടതുമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ ഞങ്ങൾ ഉരുത്തിരിഞ്ഞ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കാമോ? അതേ സ്ഥിരീകരണം പരീക്ഷിക്കുക അല്ലെങ്കിൽ ഈ അവസരം പരീക്ഷിക്കുക, നിങ്ങൾ ചെയ്തതുപോലെ, നിങ്ങൾ ചെയ്തതുപോലെ, നിങ്ങൾ ചെയ്തതുപോലെ, നിങ്ങൾ ചെയ്തതുപോലെ, നിങ്ങൾ ചെയ്തതുപോലെ ഒരു ഫോർമുല.
നീ എന്തുചെയ്യുന്നു?

ഇപ്പോൾ ശ്രദ്ധയോടെ നോക്കുക.
അനുബന്ധമായി:

സൂത്രവാക്യ പ്രവർത്തിക്കുന്നതായി ഇതിൽ നിന്ന് നമുക്ക് നിഗമനം ചെയ്യാം അയൽവാസികൾക്ക് മാത്രമല്ല ജ്യാമിതീയ പുരോഗമിക്കുന്ന അംഗത്തോടൊപ്പം, ഒപ്പം തുനിമയമുള്ള ആവശ്യമുള്ള അംഗങ്ങളിൽ നിന്ന്.

അതിനാൽ, ഞങ്ങളുടെ പ്രാരംഭ ഫോർമുല ഫോം നേടുന്നു:

അതായത്, ആദ്യ സാഹചര്യത്തിൽ ഞങ്ങൾ അത് പറഞ്ഞു, ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ പറയുന്നു, അതിൽ കുറവുള്ള പ്രകൃതി സംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമാകുമെന്ന് ഞങ്ങൾ പറയുന്നു. നിർദ്ദിഷ്ട സംഖ്യകൾക്ക് സമാനമായിരിക്കുക എന്നതാണ് പ്രധാന കാര്യം.

എഴുതിയത് പ്രത്യേക ഉദാഹരണങ്ങൾ, അങ്ങേയറ്റം ശ്രദ്ധിക്കുക!

1. . കണ്ടെത്താൻ.
2. . കണ്ടെത്താൻ.
3. . കണ്ടെത്താൻ.

ഞാന് തീരുമാനിച്ചു? നിങ്ങൾ അങ്ങേയറ്റം ശ്രദ്ധിക്കുകയും ഒരു ചെറിയ ക്യാച്ച് ശ്രദ്ധിക്കുകയും ചെയ്തുവെന്ന് ഞാൻ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു.

ഫലങ്ങൾ താരതമ്യം ചെയ്യുക.

ആദ്യ രണ്ട് കേസുകളിൽ, ഞങ്ങൾ ശാന്തമായി മുകളിൽ വിവരിച്ച ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു, ഒപ്പം ഇനിപ്പറയുന്ന മൂല്യങ്ങൾ നേടുന്നു:

മൂന്നാം കേസിൽ, ഈ ഡാറ്റയുടെ സീക്വൻസ് നമ്പറുകളുടെ ശ്രവണ പരിഗണനയോടെ, ഞങ്ങൾ അന്വേഷിക്കുന്ന സംഖ്യയിൽ നിന്ന് അവർ തുല്യരല്ലെന്ന് ഞങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുന്നു: മുമ്പത്തെ സംഖ്യയാണ്, പക്ഷേ ഫോർമുല സാധ്യമല്ല.

ഇത് എങ്ങനെ പരിഹരിക്കും? വാസ്തവത്തിൽ, തോന്നുന്നതുപോലെ അത് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല! നിങ്ങൾക്കൊപ്പം വരൂ, അതിൽ നിന്ന് ഓരോന്നും ആവശ്യമുള്ള നമ്പറും ഉൾക്കൊള്ളുന്നു.

അതിനാൽ ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട്. നിങ്ങൾക്ക് അവരുമായി എന്തുചെയ്യാനാകുമെന്ന് നോക്കാം? ഞാൻ വിഭജിക്കാൻ നിർദ്ദേശിക്കുന്നു. ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും:

ഞങ്ങളുടെ ഡാറ്റയെ ഫോർമുലയിൽ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

നമുക്ക് കണ്ടെത്താൻ കഴിയുന്ന അടുത്ത ഘട്ടം - ഇതിനായി ഞങ്ങൾ എടുക്കേണ്ടതുണ്ട് ക്യൂബിക് റൂട്ട് തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന നമ്പറിൽ നിന്ന്.

ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ എന്താണ് ഉള്ളതെന്ന് ഞങ്ങൾ വീണ്ടും നോക്കുന്നു. നമുക്ക് ഉണ്ട്, നാം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്, അവൻ തിരിയുന്നു:

എണ്ണലിനായി ആവശ്യമായ എല്ലാ ഡാറ്റയും ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി. ഞങ്ങൾ സൂത്രവാക്യത്തിൽ പകരക്കാരൻ നൽകുന്നു:

ഞങ്ങളുടെ ഉത്തരം: .

അത്തരം മറ്റൊരു ചുമതല സ്വയം പരിഹരിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക:
ഡാനോ:
കണ്ടെത്താൻ:

നിങ്ങൾ എത്രമാത്രം ചെയ്തു? എനിക്കുണ്ട് - .

വാസ്തവത്തിൽ നിങ്ങൾ എങ്ങനെ കാണുന്നു, നിങ്ങൾക്ക് വേണം ഒരു ഫോർമുല മാത്രം ഓർമ്മിക്കുക -. നിങ്ങൾക്ക് എപ്പോൾ വേണമെങ്കിലും പ്രവർത്തിക്കാതെ തന്നെ നിങ്ങൾക്ക് സ്വയം പിൻവലിക്കാൻ കഴിയും. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ലളിതമായ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ഒരു ഷീറ്റിൽ എഴുതുക, മേൽപ്പറഞ്ഞ സൂത്രവാക്യം അനുസരിച്ച് ഓരോ സംഖ്യയ്ക്കും തുല്യമാണ്.

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിലെ അംഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുക.

നിർദ്ദിഷ്ട ഇടവേളയിലെ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിലെ അംഗങ്ങളുടെ അളവ് വേഗത്തിൽ കണക്കാക്കാൻ അനുവദിക്കുന്ന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക:

അന്തിമ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ഫോർമുല സംഗ്രഹം കൊണ്ടുവരാൻ, ഉയർന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ എല്ലാ ഭാഗങ്ങളും വർദ്ധിപ്പിക്കുക. ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും:

ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം നോക്കുക: അവസാന രണ്ട് സൂത്രവാക്യങ്ങളിൽ സാധാരണ എന്താണ്? അത് ശരിയാണ്, പൊതു അംഗങ്ങൾ, ഉദാഹരണത്തിന്, ആദ്യത്തേതും അവസാനത്തേതുമായ അംഗം ഒഴികെ. രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം 1 ൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കാൻ ശ്രമിക്കാം. നീ എന്തുചെയ്യുന്നു?

ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗമനത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യത്തിലൂടെ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിൽ അംഗങ്ങൾ പ്രകടിപ്പിക്കുകയും ഞങ്ങളുടെ അവസാന സൂത്രവാക്യത്തിൽ ലഭിച്ച പദപ്രയോഗം സമർപ്പിക്കുക:

ഗ്രൂപ്പ് എക്സ്പ്രഷൻ. നിങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കണം:

ചെയ്യേണ്ടതെല്ലാം പ്രകടിപ്പിക്കുക എന്നതാണ്:

അതനുസരിച്ച്, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ.

അങ്ങനെയെങ്കിൽ? അപ്പോൾ അത് എന്ത് സൂത്രവാക്യം പ്രവർത്തിക്കുന്നു? ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി സങ്കൽപ്പിക്കുക. അവൾ എന്താണ് അവതരിപ്പിക്കുന്നത്? സമാനമായ നിരവധി നമ്പറുകൾ ശരിയാക്കുക, യഥാക്രമം, സൂത്രവാക്യം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:

ഗണിതവും ജ്യാമിതീയവുമായ പുരോഗതിയിലെന്നപോലെ, ധാരാളം ഐതിഹ്യങ്ങളുണ്ട്. അവയിലൊന്ന് സെറ്റിന്റെ ഐതിഹ്യമാണ്, ചെസ്സിന്റെ ജീവൻ.

ചെസ്സ് ഗെയിം ഇന്ത്യയിൽ കണ്ടുപിടിച്ചുവെന്ന് പലർക്കും അറിയാം. ഹിന്ദു രാജാവ് അവളെ കണ്ടുമുട്ടിയപ്പോൾ, അവളുടെ വിവേകം അദ്ദേഹത്തെ അഭിനന്ദിക്കുകയും അതിൽ വൈവിധ്യമാർന്ന വിഭവങ്ങൾ സാധ്യമാവുകയും ചെയ്തു. അത് തന്റെ പ്രജകളിലൊന്ന് കണ്ടുപിടിച്ചതായി മനസ്സിലാക്കിയപ്പോൾ, അത് വ്യക്തിപരമായി പ്രതിഫലം നൽകാൻ രാജാവ് തീരുമാനിച്ചു. അദ്ദേഹം കണ്ടുപിടുത്തക്കാരനെ തന്നെത്തന്നെ വിളിച്ചു, താൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നതെല്ലാം ചോദിക്കാൻ ആവശ്യപ്പെട്ടു, ഏറ്റവും വിദഗ്ദ്ധനായ ആഗ്രഹം പോലും നിറവേറ്റുമെന്ന് വാഗ്ദാനം ചെയ്യുന്നു.

സെറ്റയ്ക്ക് ചിന്തിക്കാൻ സമയമായി ചോദിച്ചു, അടുത്ത ദിവസം, സെറ്റ് രാജാവിന്റെ വന്നപ്പോൾ, തന്റെ അഭ്യർത്ഥനയുടെ സമാനതകളില്ലാത്ത എളിമയുടെ രാജാവിനെ അദ്ദേഹം അത്ഭുതപ്പെടുത്തി. തേർഡ് ഗോതമ്പ് ധാന്യങ്ങൾക്കും, രണ്ടാമത്തെ ഗോതമ്പ് ധാന്യങ്ങൾ, മൂന്നാം ഗോതമ്പ് ധാന്യങ്ങൾ എന്നിവയ്ക്കായി അദ്ദേഹം ആവശ്യപ്പെട്ടു.

രാജാവ് കോപിച്ചു, ദാസന്റെ അഭ്യർത്ഥന രാജകീയ er ദാര്യത്തിന് യോഗ്യനാണെന്ന് പറഞ്ഞു, ബോർഡിന്റെ എല്ലാ കോശങ്ങൾക്കും ദാസന് തന്റെ ധാന്യങ്ങൾ ലഭിക്കുമെന്ന് വാഗ്ദാനം ചെയ്തു.

ഇപ്പോൾ ചോദ്യം: ജ്യാമിതീയ പുരോഗമിക്കുന്ന അംഗങ്ങളുടെ സമചമനത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച്, എത്ര ധാന്യങ്ങൾക്ക് എത്ര ധാന്യങ്ങൾ ലഭിക്കും?

നമുക്ക് സംസാരിക്കാൻ ആരംഭിക്കാം. സിഡെർബോർഡിന്റെ ആദ്യ സെല്ലിന്റെ അവസ്ഥയിൽ, സെറ്റ് ഗോതമ്പ് ധാന്യത്തോട്, രണ്ടാമത്തേത്, മൂന്നാമത്തേത്, മൂന്നാമത്തേത് നാലാം മുതലായവയാണ് നമ്മള് സംസാരിക്കുകയാണ് ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയെക്കുറിച്ച്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ എന്താണ് ഇതുതന്നെ?
വലത്.

മുഴുവൻ ചെസ്സ്ബോർഡ് സെല്ലുകളും. അതനുസരിച്ച്,. ഞങ്ങൾക്ക് എല്ലാ ഡാറ്റയും ഉണ്ട്, ഇത് ഫോർമുലയിൽ പകരക്കാരനും കണക്കാക്കാനും മാത്രമാണ്.

ഈ നമ്പറിന്റെ "സ്കെയിലുകളിൽ" അവതരിപ്പിക്കുന്നതിന്, ഡിഗ്രി പ്രോപ്പർട്ടികൾ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നു:

തീർച്ചയായും, നിങ്ങൾക്ക് വേണമെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു കാൽക്കുലേറ്റർ എടുത്ത് അവസാനിപ്പിക്കാൻ കഴിയും, ഇല്ലെങ്കിൽ നിങ്ങൾ വിജയിക്കും, നിങ്ങൾ എന്നെ വിശ്വസിക്കും: പദപ്രയോഗത്തിന്റെ അവസാന മൂല്യം ആയിരിക്കും.
അതായത്:

ക്വാഡ്രിയോൺ ട്രില്യൺ ബില്ല്യൺ ദശലക്ഷം.

ഫ്യൂ) ഈ നമ്പറിന്റെ മഹത്വം സങ്കൽപ്പിക്കാൻ നിങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, ഏത് തരത്തിലുള്ള ധാന്യങ്ങളെയും ഉൾക്കൊള്ളേണ്ടതുണ്ട്.
ബാർണിന്റെ ഉയരവും നീളത്തിന്റെ വീതിയും ഉപയോഗിച്ച്, അത് കിലോമീറ്ററിൽ ഉപയോഗിക്കും, - I.E. ഭൂമിയിൽ നിന്ന് സൂര്യനിലേക്ക് ഇരട്ടി.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ രാജാവ് ശക്തമായിരിക്കുമെങ്കിൽ, ഒരു ദശലക്ഷം ധാന്യങ്ങൾ എണ്ണുന്നതിനാൽ, ഒരു ദശലക്ഷം ധാന്യങ്ങളുടെ ഒരു ദിവസത്തിൽ കുറവായിരിക്കേണ്ടതിന്നു, ക്വിന്റിലാസിനെ കണക്കാക്കണം, ധാന്യങ്ങൾ കണക്കാക്കണം അവരുടെ ജീവിതകാലം കണക്കാക്കണം.

ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ജ്യാമിതീയ പുരോഗമന അംഗീകാരങ്ങളുടെ അളവിൽ ഒരു ലളിതമായ വെല്ലുവിളി പരിഹരിക്കുന്നു.
അഞ്ചാം ക്ലാസ് വിദ്യാർത്ഥിനിക്ക് പനി ബാധിച്ച് അസുഖം ബാധിച്ചെങ്കിലും സ്കൂളിൽ തുടരുന്നു. എല്ലാ ദിവസവും, വാസ്യ രണ്ട് പേരെ ബാധിക്കുന്നു, അതാകട്ടെ, രണ്ട് പേരെ ബാധിക്കുന്നു. ക്ലാസ് മുറിയിൽ. എത്ര ദിവസം പനി മുഴുവൻ ഭാരത്തെയും ഉപദ്രവിക്കും?

അതിനാൽ, ജ്യാമിതീയ പുരോഗമനത്തിലെ ആദ്യത്തെ അംഗം വാസ്യ, അതായത്, ഒരു വ്യക്തി. ജ്യാമിതീയ പുരോഗമിക്കുന്ന ഒരു അംഗമായ അംഗം, തന്റെ വരവിന്റെ ആദ്യ ദിവസം അദ്ദേഹം ബാധിച്ച രണ്ടുപേരും ഇവരാണ്. മൊത്തം തുക പുരോഗതിയിലെ അംഗങ്ങൾ വിദ്യാർത്ഥികളുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്. അതനുസരിച്ച്, ഞങ്ങൾ തുടർന്നുള്ള പുരോഗതിയെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുന്നു:

ഞങ്ങളുടെ ഡാറ്റ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ സമവാക്യത്തിൽ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക:

ക്ലാസ് മുഴുവൻ ദിവസങ്ങളോളം രോഗികളാകും. സൂത്രവാക്യങ്ങളും അക്കങ്ങളും വിശ്വസിക്കരുത്? വിദ്യാർത്ഥികളുടെ "അണുബാധ" ചിത്രീകരിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക. സംഭവിച്ചോ? അത് എന്നെ എങ്ങനെപ്പോലെയാണെന്ന് നോക്കൂ:

സ്വയം കണക്കാക്കുക, എല്ലാവരും ഒരു വ്യക്തിയെ ബാധിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, എല്ലാവർക്കും ഒരു വ്യക്തിയെ ബാധിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, ക്ലാസ് മുറിയിൽ പഠിച്ച വ്യക്തി.

നിങ്ങൾ എന്ത് മൂല്യമാണ് വിജയിച്ചത്? എല്ലാവരും ഒരു ദിവസം പിന്നീട് വേദനിപ്പിക്കാൻ തുടങ്ങി.

നിങ്ങൾ കാണുന്നതുപോലെ, സമാനമായ ഒരു ജോലിയും ഒരു ഡ്രോയിംഗും ഒരു പിരമിഡിനോട് സാമ്യമുള്ള ഒരു പിരമിഡിനോട് സാമ്യമുണ്ട്. എന്നിരുന്നാലും, താമസിയാതെ അല്ലെങ്കിൽ പിന്നീട്, രണ്ടാമത്തേത് ആരെയും ആകർഷിക്കാൻ കഴിയുമ്പോൾ ഈ നിമിഷം വരുന്നു. ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, ക്ലാസ് ഒറ്റപ്പെട്ടുവെന്ന് സമർപ്പിച്ചാൽ, വ്യക്തി ഒരു ചെയിൻ () ഉപയോഗിച്ച് അടച്ചിരിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ഒരു വ്യക്തി സാമ്പത്തിക പിരമിഡിൽ ഏർപ്പെട്ടിരുന്നെങ്കിൽ, അതിൽ നിങ്ങൾ മറ്റ് രണ്ട് പേരെ കൊണ്ടുവന്ന സംഭവത്തിൽ പണം നൽകിയിട്ടുണ്ട്, തുടർന്ന് ഒരു വ്യക്തി (അല്ലെങ്കിൽ അകത്ത്) നൽകിയിട്ടുണ്ട് പൊതുവായ) യഥാക്രമം ഞാൻ ആരെയും നയിക്കില്ല, ഈ സാമ്പത്തിക വ്യാപ്തിയിൽ നിക്ഷേപിച്ചവ എല്ലാം നഷ്ടപ്പെടും.

മുകളിൽ പറഞ്ഞതെല്ലാം ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി കുറയ്ക്കുന്നതിനോ വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നതിനോ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, പക്ഷേ നിങ്ങൾ ഓർക്കുന്നതുപോലെ, ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു പ്രത്യേക തരം ഉണ്ട് - അനന്തമായി ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി കുറയ്ക്കുന്നു. അതിന്റെ അംഗങ്ങളുടെ അളവ് എങ്ങനെ പരിഗണിക്കാം? ഇത്തരത്തിലുള്ള പുരോഗതിക്ക് ചില സവിശേഷതകളുണ്ടാകുന്നത് എന്തുകൊണ്ട്? നമുക്ക് ഒരുമിച്ച് കൈകാര്യം ചെയ്യാം.

അതിനാൽ, ഒരു തുടക്കത്തിനായി, ഒരു തവണ വീണ്ടും നോക്കാം ഈ ഡ്രോയിംഗ് ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ നിന്ന് ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി കുറയ്ക്കുന്നത് കുറയ്ക്കുന്നു:

ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ നേതൃത്വത്തിലുള്ള ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ സമവാക്യം നോക്കും:
അഥവാ

ഞങ്ങൾ എന്താണ് അന്വേഷിക്കുന്നത്? അത് ശരിയാണ്, അത് പൂജ്യമായി ശ്രമിക്കുന്നുവെന്ന് തോന്നുന്നു. അതായത്, ഞങ്ങൾ മിക്കവാറും ലഭിക്കുന്ന പദപ്രയോഗം കണക്കാക്കുമ്പോൾ യഥാക്രമം ഇത് ഏകദേശം തുല്യമാകും. ഇക്കാര്യത്തിൽ, അനന്തമായി ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയെ കണക്കാക്കുമ്പോൾ, ഈ ബ്രാക്കറ്റ് അത് തുല്യമാകുമെന്ന് ഞങ്ങൾ വിശ്വസിക്കുന്നു.

- ഫോർമുല അനന്തമായി ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി കുറയ്ക്കുന്ന അംഗങ്ങളുടെ അളവ്.

പ്രധാനം! അനന്തമായ അംഗങ്ങളുടെ ചുരുക്കത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യം നിങ്ങൾ തുക കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ടെന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നുവെങ്കിൽ മാത്രമേ ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കൂ അനന്തമായ അക്കങ്ങൾ.

ഒരു നിർദ്ദിഷ്ട നമ്പർ N സൂചിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ N അംഗങ്ങളുടെ സമവാക്യം ഉപയോഗിക്കുന്നു, അല്ലെങ്കിൽ അല്ലെങ്കിൽ.

ഇപ്പോൾ അത് പരിശീലിക്കുന്നു.

1. ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിലെ ആദ്യ അംഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയും.
2. അനന്തമായി ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയെ കുറയ്ക്കുന്ന അംഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുക.

നിങ്ങൾ അങ്ങേയറ്റം ശ്രദ്ധാലുവാണെന്ന് ഞാൻ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു. ഞങ്ങളുടെ ഉത്തരങ്ങൾ താരതമ്യം ചെയ്യുക:

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയെക്കുറിച്ച് ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്കറിയാം, എല്ലാം സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്ന് പരിശീലനത്തിനായി നീങ്ങാനുള്ള സമയമാണ്. സങ്കീർണ്ണ താൽപ്പര്യത്തെ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ചുമതലയാണ് പരീക്ഷയിൽ കണ്ടെത്തിയ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ഏറ്റവും സാധാരണമായ ജോലികൾ. അവരെക്കുറിച്ചാണ് ചർച്ച ചെയ്യുന്നത്.

സങ്കീർണ്ണമായ താൽപ്പര്യം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ചുമതലകൾ.

സങ്കീർണ്ണ താൽപ്പര്യത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യത്തെക്കുറിച്ച് വിളിച്ചതിനെക്കുറിച്ച് നിങ്ങൾ കേട്ടിരിക്കാം. അതിന്റെ അർത്ഥമെന്താണെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് മനസ്സിലായോ? ഇല്ലെങ്കിൽ, പ്രക്രിയയെക്കുറിച്ച് തന്നെ അറിയാവുന്നതുപോലെ, നിങ്ങൾ ഉടനടി മനസ്സിലാകും, ഇവിടെ ജ്യാമിതീയ പുരോഗമിക്കുന്നു.

നാമെല്ലാവരും ബാങ്കിലേക്ക് പോയി ഉണ്ടെന്ന് അറിയാം വ്യത്യസ്ത വ്യവസ്ഥകൾ നിക്ഷേപം: ഇതാണ് ഈ പദം, അധിക സേവനം, രണ്ടെണ്ണം വ്യത്യസ്ത വഴികൾ അദ്ദേഹത്തിന്റെ അക്രമികൾ ലളിതവും ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതുമാണ്.

മുതല് ലളിതമായ താൽപ്പര്യം കൂടുതലോ കുറവോ മനസ്സിലാക്കാവുന്നതേയുള്ളൂ: കാലാവധി പൂർത്തിയാകുമ്പോൾ പലിശ സമാഹരിക്കുന്നു. അതായത്, ഞങ്ങൾ പ്രതിവർഷം 100 റുലികൾ ഇടുന്നു എന്ന വസ്തുതയെക്കുറിച്ച് ഞങ്ങൾ സംസാരിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അവർ വർഷാവസാനം മാത്രമാണ്. അതനുസരിച്ച്, സംഭാവനയുടെ അവസാനത്തോടെ ഞങ്ങൾക്ക് റുലികൾ ലഭിക്കും.

കൂട്ടുപലിശ - ഇത് ഒരു വേരിയന്റാണ് താൽപ്പര്യത്തിന്റെ മൂലധനവൽക്കരണം. സംഭാവനയുടെ അളവിലും വരുമാനത്തിന്റെ കണക്കുകൂട്ടലും പ്രാരംഭമല്ല, മറിച്ച് ശേഖരിച്ച നിക്ഷേപ തുകയിൽ നിന്നല്ല. മൂലധനവൽക്കരണം നിരന്തരം അല്ല, ചില ആനുകാലികമാണ്. ചട്ടം പോലെ, അത്തരം കാലയളവുകൾ തുല്യവും മിക്കപ്പോഴും ബാങ്കുകളും ഒരു മാസം, പാദത്തെ അല്ലെങ്കിൽ വർഷം ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഞങ്ങൾ എല്ലാം വാർഷികത്തിൽ ഇട്ടു, പക്ഷേ സംഭാവനയുടെ പ്രതിമാസ മൂലധനത്തിലൂടെ. നമുക്ക് എന്ത് ലഭിക്കും?

നിങ്ങൾ ഇവിടെ എല്ലാം മനസ്സിലാക്കുന്നുണ്ടോ? ഇല്ലെങ്കിൽ, നമുക്ക് ഘട്ടങ്ങൾ കൈകാര്യം ചെയ്യാം.

ഞങ്ങൾ ബാങ്ക് റൂബിളിലേക്ക് കൊണ്ടുവന്നു. മാസാവസാനത്തോടെ, ഞങ്ങളുടെ റൂബിൾസ് ഒരു പ്ലസ് പലിശ അടങ്ങിയ തുക നമുക്ക് ഉണ്ടായിരിക്കണം:

ഞാൻ അംഗീകരിക്കുന്നു?

നമുക്ക് ബ്രാക്കറ്റ് പുറത്തെടുക്കാൻ കഴിയും, തുടർന്ന് ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും:

സമ്മതിക്കുന്നു, ഈ സൂത്രവാക്യം ഇതിനകം തന്നെ ഞങ്ങൾ എഴുതിയതുപോലെയാണ്. ഇത് പലിശ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നത് അവശേഷിക്കുന്നു

ചുമതലയുടെ കാര്യത്തിൽ, വാർഷികത്തെക്കുറിച്ച് നമ്മെക്കുറിച്ച് പറയുന്നു. നിങ്ങൾക്കറിയാവുന്നതുപോലെ, ഞങ്ങൾ തുടർച്ചയായി വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നില്ല - ഞങ്ങൾ താൽപ്പര്യം വിവർത്തനം ചെയ്യുന്നു ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകൾ, അതായത്:

ശരിയാണോ? ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ ചോദിക്കുന്നു, നമ്പർ എവിടെ നിന്ന് വന്നു? വളരെ ലളിതമാണ്!
ഞാൻ ആവർത്തിക്കുന്നു: ടാസ്ക് പറഞ്ഞതാണ് ആണ്ടുതോറുമുള്ള പലിശ, അത് സംഭവിക്കുന്ന പരിധി മാസത്തില് ഒരിക്കല്. നിങ്ങൾക്കറിയാവുന്നതുപോലെ, യഥാക്രമം, വർഷത്തിൽ, ബാങ്ക് വാർഷിക ശതമാനത്തിൽ നിന്ന് ബാങ്ക് ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു മാസം ഈടാക്കും:

കബളിതമായി? പലിശ അനുദിനം വർദ്ധിച്ചതായി ഞാൻ പറഞ്ഞാൽ, സൂത്രവാക്യത്തിന്റെ ഈ ഭാഗം എങ്ങനെ കാണപ്പെടും എന്ന് എഴുതാൻ ശ്രമിക്കുക.
നേരിടാൻ? ഫലങ്ങളെ താരതമ്യം ചെയ്യാം:

നന്നായി! നമുക്ക് ഞങ്ങളുടെ ചുമതലയിലേക്ക് മടങ്ങാം: രണ്ടാം മാസത്തെ ഞങ്ങളുടെ അക്കൗണ്ടിൽ എത്രമാത്രം വിലയിരുത്തുന്നുവെന്ന് എഴുതുക, ആ പലിശ സംഭാവനയുടെ അടിഞ്ഞുകൂടിയ തുകയിൽ ഏർപ്പെടുന്നു.
അതാണ് എനിക്ക് സംഭവിച്ചത്:

അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ:

നിങ്ങൾ ഇതിനകം ഒരു പാറ്റേൺ ശ്രദ്ധിക്കുകയും ഇതെല്ലാം ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി കാണുകയും ചെയ്തുവെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു. എഴുതുക അവളുടെ ഡിക്ക് തുല്യമായത് അല്ലെങ്കിൽ, മറ്റ് വാക്കുകളിൽ, മാസാവസാനം ഞങ്ങൾക്ക് എത്ര പണം ലഭിക്കും.
ചെയ്തു? ചെക്ക്!

നിങ്ങൾ ഒരു വർഷത്തോളം ലളിതമായ ഒരു ശതമാനത്തിൽ ബാങ്ക് ബാങ്കിൽ പണം വെക്കുന്നതുപോലെ, നിങ്ങൾക്ക് റുലികൾ ലഭിക്കും, സങ്കീർണ്ണമായതാണെങ്കിൽ - റുബിളുകൾ. ആനുകൂല്യം ചെറുതാണ്, പക്ഷേ ഇത് ഒരു വർഷത്തേക്ക് മാത്രമാണ് സംഭവിക്കുന്നത്, പക്ഷേ ഒരു ദൈർഘ്യമേറിയ കാലയളവിൽ, മൂലധനവൽക്കരണം വളരെ ലാഭകരമാണ്:

സങ്കീർണ്ണമായ താൽപ്പര്യത്തിനായി മറ്റൊരു തരം ചുമതല പരിഗണിക്കുക. നിങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നതിനുശേഷം, അത് നിങ്ങൾക്ക് പ്രാഥമികമാകും. അതിനാൽ, ചുമതല:

കമ്പനിയുടെ "സ്റ്റാർ" വ്യവസായത്തിൽ നിക്ഷേപം നടത്താൻ തുടങ്ങി, ഡോളറിന്റെ മൂലധനമുണ്ടായി. 2001 മുതൽ എല്ലാ വർഷവും, മുൻവർഷത്തിന്റെ തലസ്ഥാനത്ത് നിന്ന് ശ്രേഷ്ഠത വഹിക്കുന്നു. വിറ്റുവരവിന്റെ ലാഭം പിൻവലിച്ചില്ലെങ്കിൽ, 2003 അവസാനത്തോടെ കമ്പനി "നക്ഷത്രം" ലഭിക്കുമോ?

2000 ൽ കമ്പനിയുടെ തലസ്ഥാനം "നക്ഷത്രം".
- 2001 ൽ കമ്പനി "നക്ഷത്രം" തലസ്ഥാനം.
- 2002 ൽ കമ്പനി "നക്ഷത്രം" മൂലധനം.
- 2003 ൽ കമ്പനിയുടെ "സ്റ്റാർ" യുടെ തലസ്ഥാനം.

അല്ലെങ്കിൽ നമുക്ക് ഒരു ഹ്രസ്വമായി എഴുതാം:

ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിനായി:

2000, 2001, 2002, 2003.

യഥാക്രമം:
റുലികൾ
കുറിപ്പ്, ഈ ചുമതലയിൽ ഞങ്ങൾക്ക് ഡിവിഷൻ ഒന്നുമില്ല, കാരണം ശതമാനം വാർഷികവും പ്രതിവർഷം ഈടാക്കലും. അതായത്, സങ്കീർണ്ണമായ താൽപ്പര്യത്തിനുള്ള ചുമതല വായിക്കുന്നു, ഏത് ശതമാനം നൽകിയിട്ടുണ്ട്, ഏത് കാലയളവിലേക്ക് അത് വർദ്ധിച്ചു, തുടർന്ന് കണക്കുകൂട്ടലുകൾക്ക് പോകുക.
ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയെക്കുറിച്ച് ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്കറിയാം.

വർക്കൗട്ട്.

1. അത് അറിയാമെങ്കിൽ, ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിലെ ഒരു അംഗത്തെ കണ്ടെത്തുക, കൂടാതെ
2. അത് അറിയാമെങ്കിൽ, ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിലെ ആദ്യത്തെ അംഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയും കണ്ടെത്തുക
3. ഡോളറിന്റെ മൂലധനവുമായി 2003 ൽ വ്യവസായത്തിൽ നിക്ഷേപം ആരംഭിക്കാൻ തുടങ്ങി. എല്ലാ വർഷവും, 2004 മുതൽ ആരംഭിക്കുന്ന ഇത് മുൻ വർഷത്തെ തലസ്ഥാനത്ത് നിന്ന് ഒരു ലാഭമുണ്ടാക്കുന്നു. എംഎസ്സി ക്യാഷ് പ്രവാഹങ്ങൾ 2005 ൽ വ്യവസായത്തിൽ നിക്ഷേപിക്കാൻ തുടങ്ങി, 2006 മുതൽ ലാഭം ആരംഭിക്കുന്നു. 2007 അവസാനത്തോടെ ഒരു കമ്പനിയുടെ മൂലധനം എത്ര ഡോളറാണ് കൂടുതൽ വ്യത്യസ്തമാകുന്നത്, വിറ്റുവരവിന്റെ ലാഭം പിൻവലിച്ചില്ലെങ്കിൽ?

ഉത്തരങ്ങൾ:

1. അനന്തരാവകാശത്തിന്റെ പുരോഗതിയും അതിന്റെ അംഗങ്ങളുടെ നിർദ്ദിഷ്ട നമ്പറുകളുടെ അളവും കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ടെന്ന് ടാസ്ക് അവസ്ഥ പറയാത്തതിനാൽ, സൂത്രവാക്യത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ് കണക്കുകൂട്ടൽ:
2. 
   കമ്പനി "എംഡിഎം ക്യാപിറ്റൽ":

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - 100% വർദ്ധിക്കുന്നു, അതായത്, 2 തവണ.
   യഥാക്രമം:
   റുലികൾ
   എംഎസ്സി ക്യാഷ് ഫ്ലോ കമ്പനി:

   2005, 2006, 2007.
   - വർദ്ധിക്കുന്നു, അതായത്.
   യഥാക്രമം:
   റുലികൾ
   റുലികൾ

നമുക്ക് സംഗ്രഹിക്കാം.

1) ജ്യാമിതീയ പുരോഗമിക്കുന്ന () ഒരു സംഖ്യാ ശ്രേണിയാണ്, അതിന്റെ ആദ്യ പദം പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്, ഓരോ അംഗവും മുമ്പത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്ന ഓരോ അംഗവും മുമ്പത്തേതിന് തുല്യമായത്, ഒരേ നമ്പറിൽ ഗുണിക്കുന്നു. ഈ നമ്പറിനെ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ഒരു ഡിനോമിനേറ്റർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

2) ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ അംഗങ്ങൾക്ക് -.

3) കൂടാതെ മറ്റ് മൂല്യങ്ങളും എടുക്കാം.

• ഉണ്ടെങ്കിൽ, പുരോഗതിയിലെ എല്ലാ അംഗങ്ങളെയും ഒരേ ചിഹ്നമുണ്ടെങ്കിൽ - അവ നിശ്ചിതമായ;
• എങ്കിൽ, പുരോഗതിയിലെ എല്ലാ അംഗങ്ങളും ഇതര അടയാളങ്ങൾ;
• എപ്പോൾ - പുരോഗതിയെ അനന്തമായി കുറയുന്നു.

4), എപ്പോൾ - ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ സ്വത്ത് (അടുത്തുള്ള അംഗങ്ങൾ)

അഥവാ
, (സ ilt ജന്യ അംഗങ്ങൾ)

നിങ്ങൾ അത് മറക്കരുതെന്ന് ആവശ്യമില്ല ഉത്തരം രണ്ട് ആയിരിക്കണം.

ഉദാഹരണത്തിന്,

5) സൂത്രവാക്യത്താൽ കണക്കാക്കുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗമന അംഗങ്ങളെ കണക്കാക്കുന്നു:
അഥവാ

പുരോഗതി അനന്തമായി കുറയുന്നുവെങ്കിൽ,:
അഥവാ

പ്രധാനം! അനന്തമായ അംഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണെങ്കിൽ മാത്രം അനധികൃതമായി ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി കുറയ്ക്കുന്നതായി ഞങ്ങൾ അനന്തമായി കുറയ്ക്കുന്ന അംഗങ്ങളുടെ സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിക്കുന്നു.

6) വിറ്റുവരവ് തിരഞ്ഞെടുത്തിട്ടില്ലെങ്കിൽ, ജ്യാമിതീയ പുരോഗമനത്തിലെ ഫോർമുല-ലോ ഫോർമുല അംഗമാണ് സങ്കീർണ്ണ താൽപ്പര്യത്തിനുള്ള വെല്ലുവിളി കണക്കാക്കുന്നത്:

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി. പ്രധാന കാര്യത്തെക്കുറിച്ച് ചുരുക്കത്തിൽ

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി () ഇത് ഒരു സംഖ്യാ ശ്രേണിയാണ്, അതിന്റെ ആദ്യ പദം പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്, ഓരോ അംഗവും രണ്ടാമത്തെ മുതൽ ആരംഭിക്കുന്ന ഓരോ അംഗവും മുമ്പത്തേതിന് തുല്യമായത്, ഒരേ നമ്പറിൽ ഗുണിക്കുന്നു. ഈ നമ്പർ വിളിക്കുന്നു ഡിനോമിനേറ്റർ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി.

ഡിനോമിനേറ്റർ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി കൂടാതെ മറ്റ് മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കാം.

• പുരോഗതിയിലെ എല്ലാ അംഗങ്ങളെയും ഒരേ ചിഹ്നമുണ്ടെങ്കിൽ - അവ പോസിറ്റീവ് ആണ്;
• പുരോഗതിയിലെ എല്ലാ അംഗങ്ങളും ഇതരനായ അടയാളമാണെങ്കിൽ;
• എപ്പോൾ - പുരോഗതിയെ അനന്തമായി കുറയുന്നു.

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ സമവാക്യം - .

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിലെ അംഗങ്ങളുടെ അളവ് സൂത്രവാക്യം കണക്കാക്കി:
അഥവാ

ജ്യാമിതീയ പുരോഗമിക്കുന്ന എൻ-ഓഫ് അംഗം സൂത്രവാക്യം കാര്യം വളരെ ലളിതമാണ്. അർത്ഥമുള്ളതും പൊതുവായതുമായതുപോലെ. എന്നാൽ എൻ-ടിഎച്ചിന്റെ സൂത്രവാക്യത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ചുമതലകൾ എല്ലാത്തരംയും കാണപ്പെടുന്നു - വളരെ പ്രാകൃത മുതൽ വളരെ ഗൗരവമുള്ളതാണ്. ഞങ്ങളുടെ പരിചയസമ്പന്നരായ പ്രക്രിയയിലും ഞങ്ങൾ അവരും മറ്റുള്ളവരും പരിഗണിക്കും. നന്നായി, പരിചയപ്പെടുക?)

അതിനാൽ, ആദിത്തിന് തന്നെ പമാണസൂതംn.

ഇവിടെ അവൾ ഇതാണ്:

b n. = ബി. 1 · ചോദ്യം എൻ. -1

ഒരു സൂത്രവാക്യമായി ഫോർമുല, അമാനുഷികതയില്ല. ഇതിനായി സമാനമായ ഒരു സൂത്രവാക്യത്തേക്കാൾ എളുപ്പവും കോംപാക്റ്റിനും ഇത് വളരെ എളുപ്പവും ഒതുക്കമുള്ളതുമായി തോന്നുന്നു. സൂത്രവാക്യത്തിന്റെ അർത്ഥവും ബൂട്ട് പോലെ ലളിതമാണ്.

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിലെ ഏതെങ്കിലും അംഗത്തെ അതിന്റെ നമ്പർ കണ്ടെത്താൻ ഈ ഫോർമുല നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു " n.".

നിങ്ങൾ കാണുന്നതുപോലെ, അർത്ഥത്തിൽ, ഗണിത പുരോഗതിയിലുള്ള ഒരു പൂർണ്ണ സാമ്യം. ഞങ്ങൾക്ക് നമ്പർ n അറിയാം. നമുക്ക് കണക്കാക്കാം, ഈ സംഖ്യയ്ക്ക് കീഴിലുള്ള ഒരു അംഗവും കഴിയും. ഞങ്ങൾക്ക് എന്താണ് വേണ്ടത്. പലതവണ "Q" പലതവണ തുടർച്ചയായി വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നില്ല. അതാണ് മുഴുവൻ പോയിന്റും.)

ഈ ജോലിയുടെ തലത്തിൽ വ്യാപ്തിയുടെ സൂത്രവാക്യത്തിൽ വരുന്ന എല്ലാ രൂപകൽപ്പനയിലും, നിങ്ങൾ ഇതിനകം മനസ്സിലാക്കണം, പക്ഷേ ഓരോന്നിനും മനസ്സിലാക്കാനുള്ള എന്റെ കടം ഞാൻ കരുതുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ.

അതിനാൽ നമുക്ക് പോകാം:

ബി. 1 – ഒന്നാമതായ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിലെ ഒരു അംഗം;

ചോദ്യം – ;

N. - അംഗ നമ്പർ;

B n. – മെച്ചപ്പെടുത്തുന്നുn.-Y) ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിലെ അംഗം.

ഈ ഫോർമുല ഏതെങ്കിലും ജ്യാമിതീയ പുരോഗമിക്കുന്ന നാല് പ്രധാന പാരാമീറ്ററുകളെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്നു - ബി. N., ബി. 1 , ചോദ്യം ഒപ്പം n.. ഈ നാല് പ്രധാന കണക്കുകളും എല്ലാ പുരോഗതി ടാസുകളും സ്പിന്നിംഗ് ചെയ്യുന്നു.

"ഇത് എങ്ങനെ പ്രദർശിപ്പിക്കും?" - ഞാൻ ഒരു ക urious തുകകരമായ ചോദ്യം കേൾക്കുന്നു ... പ്രാഥമിക! നോക്കൂ!

എന്താണ് തുല്യത് രണ്ടാമത്തേതായ പുരോഗതിയിലെ അംഗമാണോ? ഒരു പ്രശ്നവുമില്ല! നേരിട്ട് എഴുത്ത്:

b 2 \u003d b 1 k

മൂന്നാമത്തെ ഡിക്ക്? ഒരു പ്രശ്നവുമല്ല! രണ്ടാമത്തെ അംഗം തള്ളുകയാണ് ഒരിക്കൽ കൂടിചോദ്യം.

ഇതുപോലെ:

B 3 \u003d b 2 ·

രണ്ടാം പദം, ബി 1 q ന് തുല്യമാണെന്നും ഈ പദപ്രയോഗം ഞങ്ങളുടെ സമത്വത്തിൽ പകരക്കാരനുമാണെന്ന് ഇപ്പോൾ ഓർക്കുക:

B 3 \u003d b 2 · q \u003d (b 1 Q Q q Q q Q Q \u003d b 1 + Q 2

ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും:

ബി. 3 \u003d B 1 k 2

ഇപ്പോൾ റഷ്യൻ ഭാഷയിൽ ഞങ്ങളുടെ റെക്കോർഡ് വായിക്കുക: മൂന്നാമത്തെ Q ൽ ഗുണിച്ച ആദ്യ പദത്തിന് അംഗം തുല്യമാണ് രണ്ടാമത്തേതായ ഡിഗ്രി. പിടിക്കുക? ഇതുവരെ ഇല്ല? നല്ലത്, ഒരു പടി കൂടി.

നാലാമത്തെ ഡിക്ക് എന്താണ്? എല്ലാം ഒന്നുതന്നെ! പെരുക്കുക മുന്പിലത്തേതായ (i.e. Q: Q- ൽ മൂന്നാം ഡിക്ക്):

B 4 \u003d b 3 · q \u003d (b 1 Q 2) · Q \u003d b 1 + Q 2 · Q \u003d b 1 + Q 3

ആകെ:

ബി. 4 \u003d B 1 k 3

വീണ്ടും റഷ്യൻ ഭാഷയിലേക്ക് വിവർത്തനം ചെയ്യുക: നാലാമത്തെ Q ൽ ഗുണിച്ച ആദ്യ പദത്തിന് അംഗം തുല്യമാണ് മൂന്നാമത്തെ ഡിഗ്രി.

തുടങ്ങിയവ. അപ്പോൾ എങ്ങനെ? സ്ഥിരമായി പിടിക്കണോ? അതെ! ഏതെങ്കിലും നമ്പറുള്ള ഏത് അംഗത്തിനും, സമാന ഘടകത്തിന്റെ എണ്ണം q (i.e. ഡിനോമിനേറ്ററിന്റെ അളവ്) എല്ലായ്പ്പോഴും ആയിരിക്കും ഒരു യൂണിറ്റിന് ആവശ്യമുള്ള അംഗത്തിന്റെ എണ്ണത്തേക്കാൾ കുറവാണ്n..

അതിനാൽ, ഓപ്ഷനുകൾ ഇല്ലാതെ ഞങ്ങളുടെ ഫോർമുല ചെയ്യും:

b n \u003dബി. 1 · ചോദ്യം എൻ. -1

അത്രയേയുള്ളൂ.)

ശരി, അവർ മിക്കവാറും വെല്ലുവിളികൾ മുറിച്ചു, ഒരുപക്ഷേ?)

സമവാക്യത്തിലെ ജോലികൾ പരിഹരിക്കുന്നുn.ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ അംഗം.

സമവാക്യത്തിന്റെ നേരിട്ടുള്ള ഉപയോഗത്തോടെ പതിവുപോലെ ആരംഭിക്കാം. ഇതാ ഒരു സാധാരണ പ്രശ്നം:

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിൽ അത് അത് അറിയാം ബി. 1 \u003d 512 I. ചോദ്യം \u003d -1/2. പത്താം പുരോഗതി അംഗത്തെ കണ്ടെത്തുക.

തീർച്ചയായും, ഈ പ്രശ്നം സാധാരണയായി ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും. ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ അർത്ഥത്തിൽ നേരിട്ട്. എന്നാൽ ഞങ്ങൾ n-Th അംഗത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് ചൂടാക്കണം, അല്ലേ? അതിനാൽ ശ്വസിക്കുക.

സമവാക്യം പ്രയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള ഞങ്ങളുടെ ഡാറ്റ ഇപ്രകാരമാണ്.

അറിയപ്പെടുന്ന ആദ്യ പദം. ഇതാണ് 512.

ബി. 1 = 512.

പുരോഗതിയുടെ അറിയപ്പെടുന്നതും അറിയപ്പെടുന്നതും: ചോദ്യം = -1/2.

N ന്റെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമായത് മാത്രമേ ഇത് കണക്കാക്കൂ. ഒരു പ്രശ്നവുമില്ല! പത്താം അംഗത്തിൽ നമുക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ടോ? അതിനാൽ n ന് പകരം ആദ്യ പത്തിൽ സാധാരണ സൂത്രവാക്യത്തിൽ ഞങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു.

അരിത്മെറ്റിക് ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം പരിഗണിക്കുക:

ഉത്തരം: -1.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, പത്താമത്തെ പുരോഗതി അംഗങ്ങൾ മൈനസ് ആയിരുന്നു. അതിശയകരമല്ല: യുഎസിൽ നിന്ന് പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ -1/2, I.e. നിഷേധിക്കുന്ന നമ്പർ. ഞങ്ങളുടെ പുരോഗതിയുടെ അടയാളങ്ങൾ ഒന്നിടവിട്ട്, അതെ.) ഇത് നമ്മോട് പറയുന്നു.)

എല്ലാം ഇവിടെ ലളിതമാണ്. ഇവിടെ സമാനമായ ഒരു ജോലിയുണ്ട്, പക്ഷേ കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ കാര്യത്തിൽ കുറച്ചുകൂടി സങ്കീർണ്ണമാണ്.

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിൽ, അത് അറിയാം:

ബി. 1 = 3

പതിമൂന്നാമത് പുരോഗമിക്കുന്ന അംഗം കണ്ടെത്തുക.

ഇത്തവണ, ഇത്തവണ മാത്രം പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ - അയുക്തികമായ. രണ്ടസിൽ നിന്ന് റൂട്ട്. നന്നായി, ഭയങ്കര ഒന്നുമില്ല. ഏതെങ്കിലും സംഖ്യകളുടെ പോലീസുകാരുമായി ഫോർമുല ഒരു സാർവത്രിക കാര്യമാണ്.

ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ നേരിട്ട് പ്രവർത്തിക്കുന്നു:

തീർച്ചയായും, തീർച്ചയായും, തീർച്ചയായും പ്രവർത്തിച്ചതിനാൽ, ... ഇതാ കുറച്ച്, തൂങ്ങിക്കിടക്കുക. വേരുക്ക് അടുത്തായി എന്തുചെയ്യണം? പന്ത്രണ്ടാം ബിരുദത്തിൽ ഒരു റൂട്ട് എങ്ങനെ നിർമ്മിക്കാം?

പോലെയുള്ള ... ഏതെങ്കിലും സൂത്രവാക്യം തീർച്ചയായും നല്ലതാണെന്ന് മനസ്സിലാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, പക്ഷേ മുമ്പത്തെ ഗണിതശാസ്ത്രത്തെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ് റദ്ദാക്കില്ല! എങ്ങനെ നിർമ്മിക്കാം? അതെ, ഡിഗ്രികളുടെ സവിശേഷതകൾ ഓർമ്മിക്കുക! റൂട്ട് തിരിക്കുക b. ഭിതംകൂടാതെ - വ്യായാമ ബിരുദത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യം വഴി.

ഇതുപോലെ:

ഉത്തരം: 192.

എല്ലാം.)

എൻ-ടിഎച്ച് അംഗ സൂത്രവാക്യത്തിന്റെ നേരിട്ടുള്ള ഉപയോഗത്തിലുള്ള പ്രധാന ബുദ്ധിമുട്ട് എന്താണ്? അതെ! പ്രധാന ബുദ്ധിമുട്ട് ഡിഗ്രികളുമായി പ്രവർത്തിക്കുക! അതായത് - ബാഹ്യഭാഗം നെഗറ്റീവ് നമ്പറുകൾ, ഭിന്നസംഖ്യകൾ, വേരുകൾ, സമാന ഡിസൈനുകൾ. അതിനാൽ ഇത് പ്രശ്നങ്ങളുള്ളവർ, ബിരുദവും അവയുടെ ഗുണങ്ങളും ആവർത്തിക്കാനുള്ള അടിയന്തിര അഭ്യർത്ഥന! അല്ലെങ്കിൽ, ഈ വിഷയത്തിൽ നിങ്ങൾ മന്ദഗതിയിലാകും, അതെ ...)

ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ തിരയലിനായി സാധാരണ ജോലികൾ വെട്ടിക്കുറയ്ക്കുന്നു. സമവാക്യത്തിന്റെ ഘടകങ്ങളിലൊന്ന്മറ്റുള്ളവരെല്ലാം നൽകിയാൽ. അത്തരം ജോലികളെ വിജയകരമായി പരിഹരിക്കുന്നതിന്, പാചകക്കുറിപ്പ് ഭയങ്കരത്തിന് ലളിതമാണ് - ഞങ്ങൾ ഫോർമുല എഴുതുന്നുn.-അവരിൽ അംഗീകാരം!ഈ അവസ്ഥയ്ക്ക് അടുത്തുള്ള നോട്ട്ബുക്കിൽ. തുടർന്ന് ഞങ്ങൾക്ക് നൽകിയിട്ടുണ്ടെന്നും കാണാതായവയുണ്ടെന്നും ഞങ്ങൾ കരുതുന്നു. ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് പ്രകടിപ്പിക്കുക ആവശ്യമുള്ള വ്യാപ്തി. എല്ലാം!

ഉദാഹരണത്തിന്, അത്തരമൊരു നിരുപദ്രവകരമായ ജോലി.

ഡിനോമിനേറ്റർ 3 ഉള്ള ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ അഞ്ചാമത്തെ അംഗം 567 ആണ്. ഈ പുരോഗതിയിലെ ആദ്യത്തെ അംഗം കണ്ടെത്തുക.

ഒന്നും ബുദ്ധിമുട്ടാണ്. ഞങ്ങൾ നേരിട്ട് അക്ഷരത്തെറ്റ് അനുസരിച്ച് പ്രവർത്തിക്കുന്നു.

N-TH അംഗത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യം ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു!

b n. = ബി. 1 · ചോദ്യം എൻ. -1

ഞങ്ങൾക്ക് എന്താണ് നൽകിയത്? ആദ്യം, പുരോഗതിയുടെ ഒരു ഡിനോമിനേറ്റർ നൽകിയിരിക്കുന്നു: ചോദ്യം = 3.

കൂടാതെ, ഞങ്ങൾക്ക് നൽകിയിരിക്കുന്നു അഞ്ചാം ഡിക്ക്: ബി. 5 = 567 .

എല്ലാം? അല്ല! ഞങ്ങൾ ഒരു നമ്പർ നൽകി! ഇതാണ് അഞ്ച്: n \u003d 5.

നിങ്ങൾ ഇതിനകം റെക്കോർഡിൽ ഇതിനകം മനസ്സിലാകുമെന്ന് ഞാൻ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു ബി. 5 = 567 രണ്ട് പാരാമീറ്ററുകൾ ഒറ്റയടിക്ക് മറഞ്ഞിരിക്കുന്നു - ഇതാണ് (567), അതിന്റെ നമ്പർ (5). സമാനമായ ഒരു പാഠത്തിൽ, ഞാൻ ഇതിനകം ഇതിനെക്കുറിച്ച് ഇതിനകം സംസാരിച്ചു, പക്ഷേ ഓർമ്മപ്പെടുത്താൻ ഞാൻ അതിരുകടന്നതും ഞാൻ പരിഗണിക്കുന്നു.)

ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ഞങ്ങളുടെ ഡാറ്റ ഫോർമുലയിൽ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

567 = ബി. 1 · 3 5-1.

ഞങ്ങൾ ഗണിതത്തെ പരിഗണിക്കുന്നു, ഞങ്ങൾ ലളിതമാക്കുകയും ലളിതമാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു ലീനിയർ സമവാക്യം:

81 ബി. 1 = 567

ഞങ്ങൾ തീരുമാനിക്കുകയും നേടുകയും ചെയ്യുന്നു:

ബി. 1 = 7

നിങ്ങൾ കാണുന്നതുപോലെ, ഏതെങ്കിലും പ്രശ്നങ്ങളിലെ ആദ്യ അംഗത്തിനായുള്ള തിരയലിനൊപ്പം. എന്നാൽ ഡിനോമിനേറ്റർ തിരയുമ്പോൾ ചോദ്യം അക്കങ്ങളും അക്കങ്ങളും n. ആശ്ചര്യങ്ങൾ പാലിച്ചേക്കാം. അവർക്ക് (ആശ്ചര്യപ്പെടാൻ), നിങ്ങൾ തയ്യാറാക്കേണ്ടതുണ്ട്, അതെ.)

ഉദാഹരണത്തിന്, അത്തരമൊരു ജോലി:

പോസിറ്റീവ് ഡിനോമിനേറ്ററുള്ള ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ അഞ്ചാമത്തെ അംഗം 162 ന് തുല്യമാണ്, ഈ പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ കാലാവധി 2. പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ കണ്ടെത്തുക.

ഇത്തവണ ഞങ്ങൾക്ക് ആദ്യത്തേതും അഞ്ചാമത്തെ അംഗങ്ങൾക്ക് നൽകും, അവർ പുരോഗതിയുടെ ഒരു ഡിനോമിനേറ്റർ ആവശ്യപ്പെടുന്നു. ഇവിടെ പോയി തുടരുക.

ഞങ്ങൾ ഫോർമുല എഴുതുന്നുn.-Ho അംഗം!

b n. = ബി. 1 · ചോദ്യം എൻ. -1

ഞങ്ങളുടെ ഉറവിട ഡാറ്റ ഇതായിരിക്കും:

ബി. 5 = 162

ബി. 1 = 2

N. = 5

മതിയായ അർത്ഥമില്ല ചോദ്യം. ഒരു പ്രശ്നവുമില്ല! ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തും.) നമുക്കറിയാവുന്നതെല്ലാം ഫോർമുലയിൽ ഞങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു.

ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും:

162 \u003d 2 ·ചോദ്യം 5-1

2 ചോദ്യം 4 = 162

ചോദ്യം 4 = 81

നാലാം ഡിഗ്രിയുടെ ലളിതമായ സമവാക്യം. പക്ഷെ ഇപ്പോൾ - ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം! പരിഹാരത്തിന്റെ ഈ ഘട്ടത്തിൽ, പല വിദ്യാർത്ഥികളും ഉടൻ തന്നെ റൂട്ട് (നാലാം ഡിഗ്രി) ഒഴിവാക്കി ഉത്തരം സ്വീകരിക്കുക. ചോദ്യം=3 .

ഇതുപോലെ:

Q 4 \u003d 81

ചോദ്യം = 3

എന്നാൽ യഥാർത്ഥത്തിൽ, ഇത് പൂർത്തിയാകാത്ത ഉത്തരമാണ്. കൂടുതൽ കൃത്യമായി, അപൂർണ്ണമാണ്. എന്തുകൊണ്ട്? ഉത്തമനാണ് വസ്തുത ചോദ്യം = -3 കൂടാതെ: (-3) 4 ഉം 81 ആയിരിക്കും!

പവർ സമവാക്യം എന്ന വസ്തുത കാരണം x n. = ഉത്തരം. എല്ലായ്പ്പോഴും ഉണ്ട് രണ്ട് എതിർ വേരുകൾ വേണ്ടി തയ്യാറാണ്n. . ഒരു പ്ലസ് ഉപയോഗിച്ച് ഒരു മൈനസ് ഉപയോഗിച്ച്:

രണ്ടും അനുയോജ്യമാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്, പരിഹരിക്കുന്നു (അതായത്. രണ്ടാമത്തേതായ ഡിഗ്രി)

x 2 \u003d 9

ചില കാരണങ്ങളാൽ നിങ്ങൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നതിൽ ആശ്ചര്യപ്പെടുന്നില്ല രണ്ട് വേരുകൾ x \u003d ± 3? അതിനാൽ ഇവിടെയുണ്ട്. മറ്റേതെങ്കിലും ചിന്ത ബിരുദം (നാലാമത്തെ, ആറാമത്തേത്, പത്താം മുതലായവയും ഒന്നായിരിക്കും. വിശദാംശങ്ങൾ - പ്രോയുടെ വിഷയത്തിൽ

അതുകൊണ്ടു ശരിയായ പരിഹാരം ആയിരിക്കും:

ചോദ്യം 4 = 81

ചോദ്യം \u003d ± 3.

അടയാളങ്ങൾ കണ്ടെത്തി. എന്താണ് ശരിയായത് - പ്ലസ് അല്ലെങ്കിൽ മൈനസ്? തിരച്ചിലിലെ ചുമതലയുടെ അവസ്ഥ ഞങ്ങൾ വീണ്ടും വായിക്കുന്നു കൂടുതൽ വിവരങ്ങൾക്ക്. തീർച്ചയായും, ഈ പ്രശ്നത്തിൽ അത്തരം വിവരങ്ങൾ ലഭ്യമാണ്.നേരിട്ടുള്ള വാചകത്തിൽ ഞങ്ങൾ പുരോഗതിയാണ് പോസിറ്റീവ് ഡിനോമിനേറ്റർ.

അതിനാൽ, ഉത്തരം വ്യക്തമാണ്:

ചോദ്യം = 3

എല്ലാം ഇവിടെ ലളിതമാണ്. ടാസ്ക്കിന്റെ വാക്ക് ഇതുപോലെയാകുമെങ്കിൽ അത് എന്തായിരിക്കുമെന്ന് നിങ്ങൾ കരുതുന്നു:

ജ്യാമിതീയ പുരോഗമനത്തിലെ അഞ്ചാമത്തെ അംഗം 162 ആണ്, ഈ പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ കാലാവധി 2. പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ കണ്ടെത്തുക.

എന്താണ് വ്യത്യാസം? അതെ! അവസ്ഥയിൽ അല്പംപോലും ഡിനോമിനേറ്ററിന്റെ ചിഹ്നത്തെക്കുറിച്ച് പറഞ്ഞിട്ടില്ല. നേരായ അല്ലെങ്കിൽ പരോക്ഷമായി. ഇവിടെയുള്ള ചുമതല ഉണ്ടായിരിക്കും രണ്ട് പരിഹാരങ്ങൾ!

ചോദ്യം = 3 ഒപ്പം ചോദ്യം = -3

അതെ അതെ! ഒപ്പം ഒരു മൈനസ് ഉപയോഗിച്ച്.) ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി ഈ വസ്തുത ഉണ്ടെന്ന് അർത്ഥമാക്കുന്നത് രണ്ട് പുരോഗതിഅത് ചുമതലയുടെ അവസ്ഥയ്ക്ക് കീഴിൽ അനുയോജ്യമാണ്. ഓരോരുത്തർക്കും - നിങ്ങളുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ. ഓരോരുത്തരുടെയും ആദ്യ അഞ്ച് അംഗങ്ങൾ താൽപ്പര്യമില്ലാതെ പരിശീലിക്കുക, എഴുതുക.)

ഇപ്പോൾ അംഗ നമ്പർ പരിശീലിക്കുന്നു. ഈ ടാസ്ക് ഏറ്റവും ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതാണ്, അതെ. പക്ഷെ കൂടുതൽ സൃഷ്ടിപരമായത്.)

ഡാന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി:

3; 6; 12; 24; …

ഈ പുരോഗതിയിൽ 768 നമ്പർ എന്താണ്?

ആദ്യ ഘട്ടം ഇപ്പോഴും സമാനമാണ്: ഞങ്ങൾ ഫോർമുല എഴുതുന്നുn.-Ho അംഗം!

b n. = ബി. 1 · ചോദ്യം എൻ. -1

ഇപ്പോൾ, പതിവുപോലെ, ഞങ്ങൾ ഞങ്ങൾക്ക് അറിയാവുന്ന ഡാറ്റയെ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. Gm ... പകരമാവില്ല! ആദ്യത്തെ അംഗം എവിടെയാണ്, ഡിനോമിനേറ്റർ എവിടെയാണ്, മറ്റെല്ലാം എവിടെയാണ് ?!

എവിടെ-എവിടെയും എവിടെ ... കണ്ണുകൾ എന്തിനാണ് വേണ്ടത്? കണ്പീലികൾ കയ്യടിക്കുന്നുണ്ടോ? ഇത്തവണ പുരോഗതി ഞങ്ങൾക്ക് നേരിട്ട് നൽകുന്നു സീക്വൻസുകൾ. ആദ്യ അംഗം കാണണോ? ഞങ്ങൾ കാണുന്നു! ഇതൊരു ട്രിപ്പിൾ (ബി 1 \u003d 3). ഡിനോമിനേറ്റർ? ഞങ്ങൾ ഇതുവരെ കാണുന്നില്ല, പക്ഷേ അത് വളരെ എളുപ്പത്തിൽ പരിഗണിക്കുന്നു. തീർച്ചയായും, മനസ്സിലാക്കുകയാണെങ്കിൽ.

അതിനാൽ ഞങ്ങൾ കരുതുന്നു. നേരിട്ട് ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ അർത്ഥത്തിൽ: ആരെയെങ്കിലും എടുത്ത് (ആദ്യത്തേതൊഴികെ) എടുക്കുക, മുമ്പത്തേത് വരെ വിഭജിക്കുക.

കുറഞ്ഞത് ഇതുപോലെ:

ചോദ്യം = 24/12 = 2

നമുക്ക് മറ്റെന്താണ് അറിയാവുന്നത്? 768 ന് തുല്യമായ ഈ പുരോഗതിയിൽ ചില അംഗങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ഇപ്പോഴും അറിയുന്നു. ചില നമ്പറിന് കീഴിൽ N:

B n. = 768

ഇത് ഞങ്ങൾക്ക് അജ്ഞാതമാണ്, പക്ഷേ ഞങ്ങളുടെ ചുമതല അത് കണ്ടെത്താനാണ്.) അതിനാൽ ഞങ്ങൾ തിരയുന്നു. ഞങ്ങൾ ഇതിനകം ഡ \u200b\u200bdownload ൺലോഡ് ചെയ്ത ഫോർമുലയിൽ പകരക്കാരനായി ആവശ്യമായ എല്ലാ ഡാറ്റയും. സ്വയം ശ്രദ്ധിക്കപ്പെട്ടില്ല.)

അതിനാൽ ഞങ്ങൾ പകരം വയ്ക്കുന്നു:

768 \u003d 3 · 2 N. -1

ഞങ്ങൾ പ്രാഥമികമാക്കുന്നു - ഞങ്ങൾ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളെയും ആദ്യത്തേതിന് വിഭജിച്ച് സാധാരണ രൂപത്തിൽ സമവാക്യം മാറ്റിയെഴുതുന്നു: അജ്ഞാത ഇടത്, അറിയപ്പെടുന്ന - ശരി.

ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും:

2 N. -1 = 256

അത്തരമൊരു രസകരമായ സമവാക്യം ഇതാ. "N" കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. അസാധാരണമായത് എന്താണ്? അതെ, ഞാൻ തർക്കിക്കുന്നില്ല. യഥാർത്ഥത്തിൽ, ഇതാണ് ലളിതമായത്. അജ്ഞാതം (ൽ) എന്ന വസ്തുത ഇതിനെ വിളിക്കുന്നു ഈ സംഭവം ഈ നമ്പർ n.) വിലമതിക്കുന്നു സൂചകം ഡിഗ്രി.

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുമായി പരിചയക്കേറ്റ ഘട്ടത്തിൽ (ഇതാണ് ഒൻപതാമത്തെ ഗ്രേഡ്), എക്സ്പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പഠിപ്പിക്കപ്പെടുന്നില്ല, അതെ ... ഇതാണ് ഹൈസ്കൂളിന്റെ വിഷയം. എന്നാൽ ഭയങ്കരൊന്നുമില്ല. അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് നിങ്ങൾക്കറിയില്ലെങ്കിലും, നമുക്ക് അത് കണ്ടെത്താൻ ശ്രമിക്കാം n., ലളിതമായ യുക്തിയും സാമാന്യബുദ്ധിയും വഴി നയിക്കപ്പെടുന്നു.

ഞങ്ങൾ ന്യായവാദം ചെയ്യാൻ തുടങ്ങുന്നു. ഇടതുവശത്ത് ഞങ്ങൾക്ക് രണ്ടും ഉണ്ട് ഒരു പരിധി വരെ. അത് പ്രത്യേകിച്ചും എന്താണ് പ്രത്യേകത എന്താണെന്ന് ഞങ്ങൾക്ക് ഇതുവരെ അറിയില്ല, പക്ഷേ അത് ഭയങ്കരല്ല. എന്നാൽ ഈ ബിരുദം 256 ആണെന്ന് ഞങ്ങൾക്കറിയാം! അതിനാൽ ഞാൻ ഓർക്കുന്നു, ഏത് പരിധിയുള്ള ഡസുകൾ നമുക്ക് 256 നൽകുന്നു. ഓർമ്മിക്കണോ? അതെ! ... ഇല് എട്ടാമത്തെ ഡിഗ്രി!

256 = 2 8

അവർ ഓർമ്മിക്കുകയോ പ്രശ്നത്തിന്റെ ഡിഗ്രികളുടെ അംഗീകാരത്തോടെ, അത് ഭയങ്കരമായ കാര്യമല്ല. തിരഞ്ഞെടുക്കൽ, വാസ്തവത്തിൽ, പക്ഷേ ഈ നിലയിൽ - തികച്ചും ഉരുളുന്നു.

എന്തായാലും, നമുക്ക് ലഭിക്കും:

2 N. -1 = 2 8

N.-1 = 8

N. = 9

അതിനാൽ 768 ആണ് ഒന്പതാമത്തെ ഞങ്ങളുടെ പുരോഗതിയിലെ അംഗം. എല്ലാം, ചുമതല പരിഹരിച്ചു.)

ഉത്തരം: 9.

എന്ത്? ബോറടിപ്പിക്കണോ? ഒരു പ്രാഥമികത്തിൽ മടുത്തോ? ഞാൻ അംഗീകരിക്കുന്നു. ഞാനും. അടുത്ത ഘട്ടത്തിലേക്ക് ചുവടുവെക്കുന്നു.)

കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ ജോലികൾ.

ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ചുമതലകൾ കൂടുതൽ പെട്ടെന്ന് പരിഹരിക്കുന്നു. അത്രയും സൂപ്പർകണ്ടഡ് അല്ല, പക്ഷേ അവയ്ക്ക് ഉത്തരം ലഭിക്കാൻ കുറച്ച് ജോലി ചെയ്യണം.

ഉദാഹരണത്തിന്, അത്തരത്തിലുള്ളത്.

നാലാമത്തെ അംഗം -24 ന് തുല്യമാണെങ്കിൽ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ രണ്ടാമത്തെ അംഗം കണ്ടെത്തുക, ഏഴാമത്തെ അംഗവും 192 ആണ്.

ഇതൊരു ക്ലാസിക് വിഭാഗമാണ്. പുരോഗതിയുടെ രണ്ട് വ്യത്യസ്ത അംഗങ്ങളുണ്ട്, കൂടാതെ കൂടുതൽ അംഗങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. എല്ലാ അംഗങ്ങളും അയൽക്കാരനല്ല. ആദ്യം എന്താണ് ആശയക്കുഴപ്പം, അതെ ...

അത്തരം ജോലികൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ രണ്ട് വഴികൾ പരിഗണിക്കുന്നു. ആദ്യ രീതി സാർവത്രികമാണ്. ബീജഗണിതമാണ്. ഇത് സുരക്ഷിതമായും ഏതെങ്കിലും ഉറവിട ഡാറ്റയിലും പ്രവർത്തിക്കുന്നു. അതിനാൽ, അത് അവനിൽ നിന്നാണ്, ആരംഭിക്കുക.)

ഓരോ അംഗത്തെയും ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ വിവരിക്കുന്നു n.-Ho അംഗം!

അരിത്മെറ്റിക് പുരോഗതി ഉള്ളതുപോലെ എല്ലാം കൃത്യമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ഇത്തവണ ഞങ്ങൾ ജോലിചെയ്യുന്നു മറ്റേതായ പൊതു സൂത്രവാക്യം. അത്രയേയുള്ളൂ.) എന്നാൽ സാരാംശം ഒന്നുതന്നെയാണ്: എടുക്കുക പകര്ന്നപ്പെട്ടു ഞങ്ങളുടെ ഉറവിട ഡാറ്റ ഞങ്ങൾ n-th സൂത്രവാക്യത്തിൽ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. ഓരോ അംഗത്തിനും - സ്വന്തമായി.

നാലാമത്തെ അംഗംക്ക്, എഴുതുക:

ബി. 4 = ബി. 1 · ചോദ്യം 3

-24 = ബി. 1 · ചോദ്യം 3

ഇതുണ്ട്. ഒരു സമവാക്യം തയ്യാറാണ്.

ഏഴാമത്തെ അംഗത്തിനായി ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു:

ബി. 7 = ബി. 1 · ചോദ്യം 6

192 = ബി. 1 · ചോദ്യം 6

ആകെ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ ലഭിച്ചു സമാന പുരോഗതി .

ഞങ്ങൾ സിസ്റ്റം ശേഖരിക്കുന്നു:

ശക്തമായ കാഴ്ച ഉണ്ടായിരുന്നിട്ടും, സിസ്റ്റം വളരെ ലളിതമാണ്. ഏറ്റവും വ്യക്തമായ പരിഹാരം സാധാരണ പകരക്കാരനാണ്. പകടിപ്പിക്കുക ബി. 1 മുകളിലെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ചുവടെ നിന്ന് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക:

താഴത്തെ സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് അൽപ്പം നോക്കുന്നു (ഡിഗ്രി കുറയ്ക്കുകയും -24 ൽ വിഭജിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു), ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും:

ചോദ്യം 3 = -8

ഒരേ സമവാക്യത്തിലേക്ക്, വഴിയിൽ, നിങ്ങൾക്ക് വരാനാകും, നിങ്ങൾക്ക് എളുപ്പവഴിക്കും! എന്ത്? ഇപ്പോൾ ഞാൻ നിങ്ങൾക്ക് മറ്റൊരു രഹസ്യമായി പ്രകടിപ്പിക്കും, പക്ഷേ വളരെ മനോഹരവും ശക്തവുമാണ് ഉപയോഗപ്രദമായ വഴി അത്തരം സംവിധാനങ്ങൾ. ഇരിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങളിലെ അത്തരം സംവിധാനങ്ങൾ പ്രവർത്തിക്കുന്നു.കുറഞ്ഞത് ഒന്നിൽ. വിളിക്കപ്പെടുന്നു മില്ലൻ കണ്ടെത്തലിന്റെ രീതിഒരു സമവാക്യം മറ്റൊന്നിലേക്ക്.

അതിനാൽ, യുഎസ് സിസ്റ്റത്തിന് മുന്നിൽ:

ഇടതുവശത്തുള്ള രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളിലും - രചനവലത് - ഒരു നമ്പർ മാത്രം. ഇത് വളരെ നല്ല അടയാളം.) നമുക്ക് അത് എടുക്കാം, ... വിഭജിക്കുക, നമുക്ക് പറയാം, മുകളിലെ സമവാക്യം! ഏതു മാർഗങ്ങൾ, നിങ്ങൾ ഒരു സമവാക്യം മറ്റൊന്നിലേക്ക് പങ്കിടണോ? വളരെ ലളിതമാണ്. എടുക്കുക ഇടത് ഭാഗം ഒരു സമവാക്യം (താഴ്ന്നത്) കൂടാതെ ഡെലിം. അവളുടെ ഓണാണ് ഇടത് ഭാഗം മറ്റൊരു സമവാക്യം (മുകളിൽ). വലതുവശത്ത് സമാനമായി: വലത് ഭാഗം ഒരു സമവാക്യം ഡെലിം. മേല് വലത് ഭാഗം മറ്റുള്ളവ.

മുഴുവൻ ഡിവിഷൻ പ്രക്രിയയും ഇതുപോലെ തോന്നുന്നു:

ഇപ്പോൾ, കുറച്ചതെല്ലാം കുറയ്ക്കുന്നു, ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും:

ചോദ്യം 3 = -8

ഈ രീതിയിൽ എന്താണ് നല്ലത്? അത്തരമൊരു വിഭജന പ്രക്രിയയിൽ, എല്ലാം നല്ലതല്ല, അസ ven കര്യം സുരക്ഷിതമായി കുറയ്ക്കുകയും തികച്ചും ദോഷകരമായ സമവാക്യം നേടുകയും ചെയ്യും! അതുകൊണ്ടാണ് അത് വളരെ പ്രധാനമായിരിക്കുന്നത് ഗുണിതങ്ങൾ മാത്രം കുറഞ്ഞത് ഒരു സിസ്റ്റം സമവാക്യങ്ങളിൽ. ഗുണനമില്ല - മുറിക്കാൻ ഒന്നുമില്ല, അതെ ...

പൊതുവേ, ഈ രീതി (പരിഹാര സംവിധാനങ്ങളുടെ മറ്റേതൊരു നിസ്സാരമല്ലാത്ത വഴികൾ പോലെ) ഒരു പ്രത്യേക പാഠത്തിന് അർഹനാണ്. ഇത് കൂടുതൽ വിശദമായി കണക്കാക്കുന്നത് ഉറപ്പാക്കുക. ഒരു ദിവസം ...

എന്നിരുന്നാലും, നിങ്ങൾ സിസ്റ്റം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കുന്നു എന്നത് പ്രശ്നമല്ല, ഏത് സാഹചര്യത്തിലും ഇപ്പോൾ നാം ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്:

ചോദ്യം 3 = -8

പ്രശ്നമില്ല: റൂട്ട് (ക്യൂബിക്) നീക്കംചെയ്യുക - തയ്യാറാണ്!

പ്ലസ് / മൈനസ് പുറ്റ് ചെയ്യേണ്ട ആവശ്യമില്ലാത്തപ്പോൾ ഇവിടെ ഇവിടെ ശ്രദ്ധിക്കുക. കണ്ടുപിടിത്ത (മൂന്നാമത്തെ) ബിരുദം റൂട്ട് ആണ്. ഉത്തരം മാത്രമേയുള്ളൂ, അതെ.)

അതിനാൽ, പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ കണ്ടെത്തുന്നു. മൈനസ് രണ്ട്. മികച്ചത്! പ്രക്രിയ പോകുന്നു.)

ആദ്യ അംഗത്തിന് (നമുക്ക് മുകളിലെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന്) നമുക്ക് ലഭിക്കും:

മികച്ചത്! ആദ്യ അംഗത്തിന് ഞങ്ങൾക്കറിയാം, ഡിനോമിനേറ്റർ അറിയാം. ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾക്ക് പുരോഗതിയിലെ ഏതെങ്കിലും അംഗത്തെ കണ്ടെത്താൻ അവസരമുണ്ട്. രണ്ടാമത്തേത് ഉൾപ്പെടെ.)

രണ്ടാമത്തെ അംഗത്തിന്, എല്ലാം പൂർണ്ണമായും ലളിതമാണ്:

ബി. 2 = ബി. 1 · ചോദ്യം \u003d 3 · (-2) \u003d -6

ഉത്തരം: -6.

അതിനാൽ, പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാനുള്ള ബീജഗണിത മാർഗം, ഞങ്ങൾ അലമാരയിൽ കിടത്തി. സങ്കീർണ്ണമോ? ഞാൻ സമ്മതിക്കുന്നില്ല. നീളവും മടുപ്പിക്കുന്നതും? അതെ, തീർച്ചയായും. എന്നാൽ ചിലപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ജോലിയുടെ അളവ് ഗണ്യമായി കുറയ്ക്കാൻ കഴിയും. ഇതാണ് ഗ്രാഫിക് രീതി.നല്ലതും ഞങ്ങൾക്ക് പരിചിതവും.)

ഒരു ടാസ്ക് വരയ്ക്കുക!

അതെ! കൃത്യമായി. ഞങ്ങളുടെ പുരോഗതിയെ സംഖ്യാ അക്ഷത്തിൽ ചിത്രീകരിക്കുന്നു. ലൈനറിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കണമെന്നില്ല, അംഗങ്ങൾക്ക് ഇടയിൽ തുല്യ ഇടവേളകളെ നേരിടേണ്ട ആവശ്യമില്ല (വഴി, ഒരുപോലെയാകില്ല, കാരണം പുരോഗതി ജ്യാമിതീയമാണ്!), പക്ഷേ ലളിതമാണ് തന്ത്രപരമായ ഞങ്ങൾ ഞങ്ങളുടെ ശ്രേണി വരയ്ക്കുന്നു.

എനിക്ക് ഇതുപോലെ ലഭിച്ചു:

ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ചിത്രം നോക്കി ഞങ്ങൾ കരുതുന്നു. എത്ര സമാന മൾട്ടിപ്ലിയറുകൾ "q" പങ്കിടുന്നു നാലാമത്തെ ഒപ്പം ഏഴാമത്തെ അംഗങ്ങൾ? ശരി, മൂന്ന്!

അതിനാൽ, എഴുതാനുള്ള അവകാശം നമുക്കുണ്ട്:

-24 ·ചോദ്യം 3 = 192

ഇവിടെ നിന്ന് ഇപ്പോൾ Q:

ചോദ്യം 3 = -8

ചോദ്യം = -2

അത് കൊള്ളാം, ഡിനോമിനേറ്റർ ഇതിനകം തന്നെ പോക്കറ്റിൽ ഉണ്ട്. ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ വീണ്ടും ചിത്രം നോക്കുന്നു: അത്തരം ഭൂചലനക്കാർക്കിടയിൽ എത്ര ഇരിക്കുന്നു രണ്ടാമത്തേതായ ഒപ്പം നാലാമത്തെ അംഗങ്ങൾ? രണ്ട്! അതിനാൽ, ഈ അംഗങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം രേഖപ്പെടുത്താൻ, ഡിനോമിനേറ്റർ നിവർന്നുനിൽക്കും ചതുരത്തിൽ.

ഇവിടെ ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു:

ബി. 2 · ചോദ്യം 2 = -24 മുതൽ! ബി. 2 = -24/ ചോദ്യം 2

ഞങ്ങളുടെ കണ്ടെത്തിയ ഡിനോമിനേറ്റർ എക്സ്പ്രഷനിൽ ബി 2 നായി ഞങ്ങൾ പകരം വയ്ക്കുന്നു, ഞങ്ങൾ വിശ്വസിക്കുകയും നേടുകയും ചെയ്യുന്നു:

ഉത്തരം: -6.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, സിസ്റ്റത്തിലൂടെയുള്ളതിനേക്കാൾ വളരെ എളുപ്പവും വേഗതയും. മാത്രമല്ല, ഇവിടെ നാമെല്ലാവരും ആദ്യ ഡിക്ക് പരിഗണിക്കേണ്ടതില്ല! എല്ലാം.)

ഇത്ര ലളിതവും ദൃശ്യവുമായ വഴി വെളിച്ചം ഇവിടെയുണ്ട്. എന്നാൽ അദ്ദേഹത്തിന് ഗുരുതരമായ പോരായ്മയുണ്ട്. ഊഹിക്കുക? അതെ! വളരെ ഹ്രസ്വമായ പുരോഗതികൾക്ക് അനുയോജ്യമാണ്. താൽപ്പര്യമുള്ള അംഗങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം വളരെ വലുതല്ല. എന്നാൽ മറ്റെല്ലാ കേസുകളിലും, ചിത്രം വരയ്ക്കാൻ ഇതിനകം ബുദ്ധിമുട്ടാണ്, അതെ ... എന്നിട്ട് ഞങ്ങൾ വ്യവസ്ഥകൾ പരിഹരിക്കുന്നു, സിസ്റ്റത്തിലൂടെ സിസ്റ്റം സാർവത്രികമാണ്.). ഏതെങ്കിലും സംഖ്യകൾ പോലീസുകാരുമൊത്ത്.

മറ്റൊരു ഇതിഹാസ പ്രശ്നം:

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ രണ്ടാമത്തെ അംഗം ആദ്യത്തേതിനേക്കാൾ 10 ആണ്, മൂന്നാമത്തെ അംഗത്തിന്റെ രണ്ടാമത്തേതിനേക്കാൾ 30 ആണ്. പുരോഗതിയുടെ ഒരു ഡിനോമിനേറ്റർ കണ്ടെത്തുക.

എന്താണ് രസകരമാകുന്നത്? ഒരിക്കലുമില്ല! എല്ലാം ഒരുപോലെ. ചുമതലയുടെ അവസ്ഥ ഞങ്ങൾ ശുദ്ധമായ ബീജഗണിതത്തിൽ വിവർത്തനം ചെയ്യുന്നു.

1) ഓരോ അംഗത്തെയും ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് വിവരിക്കുക n.-Ho അംഗം!

രണ്ടാം ടേം: ബി 2 \u003d ബി 1 q Q

മൂന്നാമത്തെ അംഗം: ബി 3 \u003d ബി 1 · 2

2) പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥയിൽ നിന്ന് അംഗങ്ങൾക്കിടയിൽ ഒരു ലിങ്ക് എഴുതുക.

അവസ്ഥ വായിക്കുക: "ജ്യാമിതീയ പുരോഗമനത്തിലെ രണ്ടാമത്തെ അംഗം ആദ്യത്തേതിനേക്കാൾ 10 ആണ്." നിർത്തുക, അത് വിലപ്പെട്ടതാണ്!

ഞങ്ങള് എഴുതുന്നു:

ബി. 2 = ബി. 1 +10

ഈ വാചകം ക്ലീൻ ഗണിതത്തിലേക്ക് വിവർത്തനം ചെയ്യപ്പെടുന്നു:

ബി. 3 = ബി. 2 +30

രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ ലഭിച്ചു. ഞങ്ങൾ അവയെ സിസ്റ്റത്തിലേക്ക് സംയോജിപ്പിക്കുന്നു:

സിസ്റ്റം ലളിതമാണ്. എന്നാൽ കൊക്കുകളിൽ നിരവധി വ്യത്യസ്ത സൂചികകൾ. ആദ്യ അംഗവും ഡിനോമിനേറ്ററും വഴി അവരുടെ പദപ്രയോഗത്തിലെ രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെ അംഗങ്ങളെയും പകരം പകരം വയ്ക്കുക! വെറുതെ, ഞങ്ങൾ അവയെ എന്താണ് വരച്ചത്?

ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും:

എന്നാൽ ഈ സിസ്റ്റം മേലിൽ ഒരു സമ്മാനമല്ല, അതെ ... എങ്ങനെ പരിഹരിക്കും? നിർഭാഗ്യവശാൽ, സമുച്ചയം പരിഹരിക്കുന്ന ഒരു സാർവത്രിക രഹസ്യ അക്ഷരത്തെറ്റ് നോൺലിനിയർ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ സംവിധാനങ്ങളൊന്നും ഇല്ല, ആകാൻ കഴിയില്ല. അത് അതിശയകരമാണ്! ശക്തമായ നതീക് പോലെ വൃത്തിയാക്കാൻ ശ്രമിക്കുമ്പോൾ ആദ്യം ഓർമ്മിക്കേണ്ടത് കണക്കാക്കുന്നു - അത് കണക്കാക്കുന്നു, ഒരു സിസ്റ്റം സമവാക്യങ്ങൾ കുറയ്ക്കപ്പെടുന്നില്ലെങ്കിലും മനോഹരമായ കാഴ്ചഅനുവദിക്കുന്നത്, ഉദാഹരണത്തിന്, വേരിയബിളുകളിലൊന്ന് മറ്റൊന്നിലൂടെ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ എളുപ്പമാണോ?

അതിനാൽ ഞാൻ കണക്കാക്കുന്നു. സിസ്റ്റത്തിന്റെ ആദ്യ സമവാക്യം രണ്ടാമത്തേതിന് വ്യക്തമായി എളുപ്പമാണ്. അത് പീഡനത്തിന് വിധേയമാണ്.) ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ശ്രമിക്കരുത് എന്തോ വസ്തു പകടിപ്പിക്കുക എന്തെങ്കിലും? ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു ഡിനോമിനേറ്റർ കണ്ടെത്താൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നതിനാൽ ചോദ്യം, പ്രകടിപ്പിക്കാനുള്ള കൂടുതൽ ലാഭകരമായിരിക്കും അത് ബി. 1 മുഖാന്തിരം ചോദ്യം.

അതിനാൽ പഴയത് പ്രയോഗിക്കുന്ന ആദ്യ സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് ഈ നടപടിക്രമം ചെയ്യാൻ ഞങ്ങൾ ശ്രമിക്കും:

b 1 q \u003d b 1 +10

B 1 q - b 1 \u003d 10

B 1 (Q-1) \u003d 10

എല്ലാം! അതിനാൽ ഞങ്ങൾ പ്രകടിപ്പിച്ചു അനാവശമായ യുഎസ് വേരിയബിൾ (ബി 1) ആവശമായ (Q). അതെ, ലഭിച്ച ഏറ്റവും എളുപ്പമുള്ള പദപ്രയോഗമല്ല. ഭിന്നസംഖ്യയുള്ളതാണ് ... എന്നാൽ ഞങ്ങൾക്ക് മാന്യമായ ഒരു ലെവൽ ഉണ്ട്, അതെ.)

സാധാരണ. എന്തുചെയ്യണം - അറിയുക.

ഞങ്ങള് എഴുതുന്നു ... (ആവശ്യമാണ്!) :

q ≠ 1.

ഞങ്ങൾ എല്ലാം ഡിനോമിനേറ്ററായി (ക്യു -1) വർദ്ധിപ്പിക്കുകയും എല്ലാ ഭിന്നസംഖ്യകളും കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യുന്നു:

10 ചോദ്യം 2 = 10 ചോദ്യം + 30(ചോദ്യം-1)

ഞങ്ങൾ എല്ലാം ആദ്യത്തേതിന് വിഭജിക്കുന്നു, ബ്രാക്കറ്റുകൾ വെളിപ്പെടുത്തുകയും ഇടതുവശത്ത് എല്ലാം ശേഖരിക്കുകയും ചെയ്യുക:

ചോദ്യം 2 – 4 ചോദ്യം + 3 = 0

ഫലമായുണ്ടാകുന്നതും രണ്ട് വേരുകൾ ലഭിക്കുന്നതുമായി ഞങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു:

ചോദ്യം 1 = 1

ചോദ്യം 2 = 3

അന്തിമ ഉത്തരം ഒന്നാണ്: ചോദ്യം = 3 .

ഉത്തരം: 3.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ജ്യാമിതീയ പുരോഗമിക്കുന്ന എൻ-ഓഫ് അംഗം ഫോർമുലയിൽ മിക്ക ടാസ്ക്കുകളുടെയും പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പാത എല്ലായ്പ്പോഴും ഒന്നാണ്: വായിക്കുക ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം ഞങ്ങൾ എല്ലാം വിവർത്തനം ചെയ്യുന്ന N- Th അംഗ ഫോർമുലയുടെ സഹായത്തോടെയും പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥയും ഉപകാരപ്രദമായ വിവരം വൃത്തിയുള്ള ആൾജിബ്രയിൽ.

അതായത്:

1) ടാസ്ക് അംഗത്തിൽ ഓരോന്നും സമഗ്രമായ ഞങ്ങൾ സമതുലിതാവസ്ഥയാണ്n.-Ho അംഗം.

2) ചുമതലയുടെ നിബന്ധനകളിൽ നിന്ന്, അംഗങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ലിങ്ക് ഞങ്ങൾ ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര രൂപത്തിൽ വിവർത്തനം ചെയ്യുന്നു. സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സമവാക്യം അല്ലെങ്കിൽ സിസ്റ്റം ഉണ്ടാക്കുക.

3) ലഭിച്ച സമവാക്യമോ സമ്പ്രദായമോ പരിഹരിക്കുക, അജ്ഞാത പുരോഗതി പാരാമീറ്ററുകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു.

4) അവ്യക്തമായ പ്രതികരണത്തിന്റെ കാര്യത്തിൽ, അധിക വിവരങ്ങൾ തേടുന്നതിൽ പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥ ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം വായിക്കുന്നു (അത്തരമുണ്ടെങ്കിൽ). കൂടാതെ, ഫലവത്തായ പ്രതികരണത്തെ ഓഡിഎസുമായി (എന്തെങ്കിലും ഉണ്ടെങ്കിൽ) ഞങ്ങൾ അഭിമാനിക്കുന്നു.

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്ന പ്രക്രിയയിൽ മിക്കപ്പോഴും പിശകുകളിലേക്ക് നയിക്കുന്ന പ്രധാന പ്രശ്നങ്ങൾ ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ പട്ടികപ്പെടുത്തുന്നു.

1. പ്രാഥമിക ഗണിതം. ഭിന്നസംഖ്യകളും നെഗറ്റീവ് നമ്പറുകളും ഉള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ.

2. പ്രശ്നത്തിന്റെ ഈ മൂന്ന് പോയിന്റുകളിൽ ഒന്നാമെങ്കിലും, നിങ്ങൾ അനിവാര്യമായും ഈ വിഷയത്തിൽ തെറ്റിദ്ധരിക്കപ്പെടും. നിർഭാഗ്യവശാൽ ... അതിനാൽ മടിയനായിരിക്കരുത്, മുകളിൽ സൂചിപ്പിച്ച കാര്യങ്ങൾ ആവർത്തിക്കുക. ലിങ്കുകളിൽ - പോകുക. ചിലപ്പോൾ സഹായിക്കുന്നു.)

പരിഷ്ക്കരിച്ചതും ആവർത്തിച്ചുള്ളതുമായ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ.

പരിചിതമായ അവസ്ഥ കുറവുള്ള ഒരു ചെറിയ പരീക്ഷാ ടാസ്ക്കുകൾ ഇപ്പോൾ പരിഗണിക്കുക. അതെ, അതെ, നിങ്ങൾ .ഹിക്കുന്നു! അത് തിരുത്തപ്പെട്ടത് ഒപ്പം ആഭരണപ്രദമാണ് സൂത്രവാക്യങ്ങൾ എൻ-ടി. അത്തരം സൂത്രവാക്യങ്ങൾക്കൊപ്പം ഞങ്ങൾ ഇതിനകം ഗണിത പുരോഗതിയിൽ അഭിമുഖീകരിക്കുകയും പ്രവർത്തിക്കുകയും ചെയ്തു. ഇവിടെ എല്ലാം സമാനമാണ്. സാരാംശം സമാനമാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്, OgG- ൽ നിന്നുള്ള അത്തരമൊരു ജോലി:

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി സജ്ജീകരിച്ചതാണ് b n. \u003d 3 · 2 N. . അതിന്റെ അംഗങ്ങളിൽ ആദ്യത്തേതും നാലാമത്തെയും ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുക.

ഈ സമയം, പുരോഗതി ഞങ്ങൾക്ക് പരിചിതമല്ല. ചില സൂത്രവാക്യത്തിന്റെ രൂപത്തിൽ. അതുകൊണ്ട്? ഈ ഫോർമുല - സൂത്രവാക്യംn.-Ho അംഗം! N- TH അംഗത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യം കത്തുകളിലൂടെയും അതിനുമായി പൊതു രൂപത്തിൽ എഴുതാൻ കഴിയുമെന്ന് ഞങ്ങൾക്കറിയാം പ്രത്യേക പുരോഗതി. മുതല് സവിശേഷതയായ ആദ്യ അംഗവും ഡിനോമിനേറ്ററും.

ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, ഇത്തരം പാരാമീറ്ററുകൾക്കൊപ്പം ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിക്കായി ഞങ്ങൾ പൊതു അംഗങ്ങളുടെ സൂത്രവാക്യം ചോദിച്ചു:

ബി. 1 = 6

ചോദ്യം = 2

പരിശോധിക്കുക?) ഞങ്ങൾ എൻ-ടിഎച്ച് അംഗത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യം പൊതുവായി എഴുതുന്നു ബി. 1 ഒപ്പം ചോദ്യം. ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും:

B n. = ബി. 1 · ചോദ്യം എൻ. -1

B n. \u003d 6 · 2 N. -1

മൾട്ടിപ്ലിയറുകളുടെയും ഡിഗ്രിയുടെ ഗുണങ്ങളുടെയും വിഘടനം ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നത് ഞങ്ങൾ ലളിതമാക്കുന്നു, ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും:

b n. \u003d 6 · 2 N. -1 \u003d 3 · 2 · 2 N. -1 \u003d 3 · 2 N. -1+1 \u003d 3 · 2 N.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, എല്ലാം സത്യസന്ധനാണ്. എന്നാൽ നിങ്ങൾക്കൊപ്പം ഞങ്ങളുടെ ലക്ഷ്യം ഒരു നിർദ്ദിഷ്ട സൂത്രവാക്യത്തിന്റെ നിഗമനം പ്രകടിപ്പിക്കാനല്ല. ഇത് അങ്ങനെ തന്നെ, ഗാനരചയിതാവ്. മനസിലാക്കുന്നതിനായി.) ഈ അവസ്ഥയിൽ ഞങ്ങൾക്ക് നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫൈമുലയ്ക്കുള്ള ചുമതല പരിഹരിക്കുക എന്നതാണ് ഞങ്ങളുടെ ലക്ഷ്യം. ക്യാപ്ചർ?) അതിനാൽ ഞങ്ങൾ ഒരു പരിഷ്കരിച്ച സൂത്രവാക്യത്തോടെ നേരിട്ട് പ്രവർത്തിക്കുന്നു.

ഞങ്ങൾ ആദ്യത്തേത് പരിഗണിക്കുന്നു. പകരംവയ്ക്കുക n.=1 പൊതു സൂത്രവാക്യത്തിൽ:

ബി. 1 = 3 · 2 1 \u003d 3 · 2 \u003d 6

ഇതുപോലെ. വഴിയിൽ, ആദ്യ അംഗം കണക്കുകൂട്ടൽ ഉപയോഗിച്ച് ഞാൻ സാധാരണ ലാപ്പിൽ നിങ്ങളുടെ ശ്രദ്ധ ചെലുത്തിയിട്ടില്ല. സമവാക്യം നോക്കരുത് b n. \u003d 3 · 2 N., ആദ്യ അംഗമായ ട്രോയ്ക്കയാണെന്ന് എഴുതാൻ ഉടൻ തിരക്കുക! ഇത് മൊത്ത തെറ്റിയയാണ്, അതെ ...)

ഞങ്ങൾ തുടരുന്നു. പകരംവയ്ക്കുക n.=4 ഞങ്ങൾ നാലാമത്തെ ഡിക്ക് പരിഗണിക്കുന്നു:

ബി. 4 = 3 · 2 4 \u003d 3 · 16 \u003d 48

ശരി, അവസാനമായി ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കുന്നു:

ബി. 1 + ബി. 4 = 6+48 = 54

ഉത്തരം: 54.

കൂടുതൽ ടാസ്ക്.

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി ചോദിക്കുന്നു:

ബി. 1 = -7;

B n. +1 = 3 b n.

പുരോഗതിയുടെ നാലാമത്തെ കാലാവധി കണ്ടെത്തുക.

ഇവിടെ പുരോഗതിയാണ് ആവർത്തിച്ചുള്ള ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നത്. ശരി, ശരി.) അത്തരമൊരു ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കാം - നമുക്കും അറിയാം.

അതിനാൽ പ്രവർത്തിക്കുക. ഘട്ടങ്ങൾ.

1) ഞങ്ങൾ രണ്ടെണ്ണം പരിഗണിക്കുന്നു പരസ്പരം യോജിക്കുന്ന പുരോഗതിയിലെ അംഗം.

ആദ്യ അംഗം ഇതിനകം തന്നെ സജ്ജമാക്കി. മൈനസ് ഏഴ്. എന്നാൽ അടുത്തത്, രണ്ടാമത്തെ അംഗത്തിന് ആവർത്തിച്ചുള്ള സൂത്രവാക്യത്തിൽ എളുപ്പത്തിൽ കണക്കാക്കാം. തീർച്ചയായും അതിന്റെ ജോലിയുടെ തത്വം നിങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുകയാണെങ്കിൽ.)

ഇവിടെ ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ അംഗം പരിഗണിക്കുന്നു പ്രശസ്തനായ ആദ്യ പ്രകാരം:

ബി. 2 = 3 ബി. 1 \u003d 3 · (-7) \u003d -21

2) പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കുന്നു

പ്രശ്നങ്ങളൊന്നുമില്ല. നേരെ, ഡെലിം. രണ്ടാമത്തേതായ അംഗം ആദ്യം.

ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും:

ചോദ്യം = -21/(-7) = 3

3) ഫോർമുല എഴുതുകn.സാധാരണ ഫോമിലെ അംഗവും ആവശ്യമുള്ള അംഗവും പരിഗണിക്കുക.

അതിനാൽ, ആദ്യ അംഗത്തിന് അറിയാം, ഡിനോമിനേറ്റർ --യും. ഇവിടെ ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു:

B n. \u003d -7 · 3 N. -1

ബി. 4 \u003d -7 · 3 3 = -7 · 27 \u003d -189

ഉത്തരം: -189

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ജ്യാമിതീയ പുരോഗമനത്തിനായി അത്തരം സൂത്രവാഹങ്ങൾക്കൊപ്പം പ്രവർത്തിക്കുന്നത്, ഗണിതത്തിന്റെ പുരോഗതിക്കായി മറ്റൊന്നുമല്ല. ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ പൊതുവായ സത്തയും അർത്ഥവും മനസിലാക്കേണ്ടത് പ്രധാനമാണ്. ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ അർത്ഥം മനസിലാക്കേണ്ടതുണ്ട്, അതെ.) എന്നിട്ട് മണ്ടൻ പിശകുകൾ ഉണ്ടാകില്ല.

ശരി, സ്വയം വലിക്കുക?)

സന്നാഹത്തിനായി, പൂർണ്ണമായ പ്രാഥമിക ജോലികൾ പൂർത്തിയാക്കുക:

1. ഡാന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി ബി. 1 \u003d 243, ഒപ്പം ചോദ്യം \u003d -2/3. പുരോഗതിയിലെ ആറാമത്തെ അംഗം കണ്ടെത്തുക.

2. ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിലെ മൊത്തത്തിലുള്ള അംഗം സമതുലിതാവസ്ഥയാണ് b n. = 5∙2 N. +1 . ഈ പുരോഗതിയിലെ അവസാന ത്രീ-അക്ക അംഗത്തിന്റെ എണ്ണം കണ്ടെത്തുക.

3. ഐക്യം റിരുഷൻ നിബന്ധനകൾ സജ്ജമാക്കിയിരിക്കുന്നു:

ബി. 1 = -3;

B n. +1 = 6 b n.

പുരോഗതിയിലെ അഞ്ചാമത്തെ അംഗം കണ്ടെത്തുക.

കുറച്ചുകൂടി സങ്കീർണ്ണമാണ്:

4. ഡാന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി:

ബി. 1 =2048; ചോദ്യം =-0,5

ആറാമത്തെ നെഗറ്റീവ് അംഗം എന്താണ്?

അത് സൂപ്പർ ചെയ്യുന്നതെന്താണ്? ഒരിക്കലുമില്ല. ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ അർത്ഥത്തെക്കുറിച്ചുള്ള യുക്തിയും ധാരണയും സംരക്ഷിക്കുക. ശരി, എൻ-ടിഎച്ച് അംഗത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യം തീർച്ചയായും.

5. ജ്യാമിതീയ പുരോഗമിക്കുന്ന മൂന്നാമത്തെ അംഗം -14 ആണ്, എട്ടാം അംഗ 112 ആണ്. പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ കണ്ടെത്തുക.

6. ജ്യാമിതീയ പുരോഗമനത്തിലെ ആദ്യ, രണ്ടാമത്തെ അംഗത്തിന്റെ ആകെത്തുക 75 ആണ്, രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെ അംഗങ്ങളുടെയും ആകെത്തുക 150 ആണ്. പുരോഗതിയിലെ ആറാമത്തെ അംഗം കണ്ടെത്തുക.

ഉത്തരങ്ങൾ (ക്രമക്കേടിൽ): 6; -3888; -ഒൺ; 800; -32; 448.

അത് മിക്കവാറും എല്ലാം. നമ്മളെ പരിഗണിക്കാൻ പഠിക്കാൻ മാത്രം അവശേഷിക്കുന്നു ജ്യാമിതീയ പുരോഗമിക്കുന്ന ആദ്യ അംഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുക അതെ, കണ്ടെത്തുക അനന്ത ജിയോമെട്രിക് പുരോഗതി കുറയ്ക്കുന്നത് കുറയുന്നു അതിന്റെ തുക. വളരെ രസകരവും അസാധാരണവുമായ ഒരു കാര്യം, വഴിയിൽ! ഇതിനെക്കുറിച്ച് - ഇനിപ്പറയുന്ന പാഠങ്ങളിൽ.)

ഓരോ പ്രകൃതിദത്ത സംഖ്യയാണെങ്കിൽ n. സാധുവായ ഒരു എൻ. , അവർ എന്താണ് സജ്ജമാക്കിയതെന്ന് അവർ പറയുന്നു സംഖ്യാ ശ്രേണി :

ഉത്തരം. 1 , ഉത്തരം. 2 , ഉത്തരം. 3 , . . . , ഒരു എൻ. , . . . .

അതിനാൽ, പ്രകൃതിദത്ത വാദത്തിന്റെ പ്രവർത്തനമാണ് സംഖ്യാ ശ്രേണി.

അക്കം ഉത്തരം. 1 വിളി സീക്വൻസ് ആദ്യ അംഗം , നമ്പർ ഉത്തരം. 2 — ക്രസൻസിലെ രണ്ടാമത്തെ അംഗം , നമ്പർ ഉത്തരം. 3 — മൂന്നാമത്തെ തുടങ്ങിയവ. അക്കം ഒരു എൻ. വിളി n-m dick സീക്വൻസലുകൾ , സ്വാഭാവിക സംഖ്യ n. — അവന്റെ നമ്പർ .

രണ്ട് അയൽ അംഗങ്ങളിൽ നിന്ന് ഒരു എൻ. ഒപ്പം ഒരു എൻ. +1 അംഗ സീക്വൻസുകൾ ഒരു എൻ. +1 വിളി ഫോളോ അപ്പ് (നേരെ ഒരു എൻ. ), പക്ഷേ ഒരു എൻ. — മുന്പിലത്തേതായ (നേരെ ഒരു എൻ. +1 ).

ഒരു ശ്രേണി സജ്ജീകരിക്കുന്നതിന്, ഏതെങ്കിലും സംഖ്യയുള്ള ഒരു ശ്രേണിയിൽ ഒരു ക്രമത്തിൽ കണ്ടെത്താൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്ന ഒരു രീതി നിങ്ങൾ വ്യക്തമാക്കേണ്ടതുണ്ട്.

പലപ്പോഴും ക്രമം ഉപയോഗിച്ച് വ്യക്തമാക്കുന്നു സൂത്രവാക്യങ്ങൾ എൻ-ൻ അംഗം , അതായത്, സീക്വൻസ് അംഗത്തെ അതിന്റെ നമ്പർ ഉപയോഗിച്ച് നിർണ്ണയിക്കാൻ അനുവദിക്കുന്ന ഫോർമുല.

ഉദാഹരണത്തിന്,

പോസിറ്റീവ് വിചിത്ര സംഖ്യകളുടെ ക്രമം സമവാക്യം സജ്ജമാക്കാൻ കഴിയും

ഒരു എൻ.= 2n -1,

ശ്രേണി മാറിമാറി 1 ഒപ്പം -1 - സൂത്രവാക്യം

ബി. N. = (-1) N. +1 . ◄

സീക്വൻസ് നിർവചിക്കാം ആവർത്തിച്ചുള്ള ഫോർമുല, അതായത്, ചില ഭാഗങ്ങൾ, ചിലത് മുതൽ, മുമ്പത്തെ (ഒന്നോ അതിലധികമോ) അംഗങ്ങൾ വരെ പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന ഒരു സൂത്രവാക്യം.

ഉദാഹരണത്തിന്,

അത് അങ്ങിനെയെങ്കിൽ ഉത്തരം. 1 = 1 , പക്ഷേ ഒരു എൻ. +1 = ഒരു എൻ. + 5

ഉത്തരം. 1 = 1,

ഉത്തരം. 2 = ഉത്തരം. 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

ഉത്തരം. 3 = ഉത്തരം. 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

ഉത്തരം. 4 = ഉത്തരം. 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

ഉത്തരം. 5 = ഉത്തരം. 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

അത് അങ്ങിനെയെങ്കിൽ ഒരു 1.= 1, ഒരു 2. = 1, ഒരു എൻ. +2 = ഒരു എൻ. + ഒരു എൻ. +1 , സംഖ്യാ സീക്വൻസിലെ ആദ്യ ഏഴ് അംഗങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്നവയാണ്:

ഒരു 1. = 1,

ഒരു 2. = 1,

ഒരു 3. = ഒരു 1. + ഒരു 2. = 1 + 1 = 2,

ഒരു 4. = ഒരു 2. + ഒരു 3. = 1 + 2 = 3,

ഒരു 5. = ഒരു 3. + ഒരു 4. = 2 + 3 = 5,

ഉത്തരം. 6 = ഉത്തരം. 4 + ഉത്തരം. 5 = 3 + 5 = 8,

ഉത്തരം. 7 = ഉത്തരം. 5 + ഉത്തരം. 6 = 5 + 8 = 13. ◄

സീക്വൻസുകൾ ആകാം അവസാനിക്കുന്നു ഒപ്പം അനന്തമായ .

ക്രമം എന്ന് വിളിക്കുന്നു പകദ്ധമായ ഇതിന് പരിമിതമായ എണ്ണം അംഗങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ. ക്രമം എന്ന് വിളിക്കുന്നു അനന്തമായ അതിന് അനന്തമായ അംഗങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ.

ഉദാഹരണത്തിന്,

രണ്ട് അക്ക പ്രകൃതി സംഖ്യകളുടെ ക്രമം:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

പരിമിത.

പ്രൈം നമ്പറുകളുടെ ക്രമം:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

അനന്തമാണ്. ◄

സീക്വൻസ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന ഓരോ അംഗവും രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ കൂടുതൽ.

സീക്വൻസ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു അവരോഹണം ഓരോ അംഗവും രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്നുള്ളതാണെങ്കിൽ, മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ കുറവാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n., . . . - ക്രമം വർദ്ധിക്കുന്നു;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 / N., . . . - ക്രമം കുറയുന്നു. ◄

വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന സംഖ്യയുള്ള ശ്രേണി, അല്ലെങ്കിൽ കുറയ്ക്കരുത്, അല്ലെങ്കിൽ, മറികടന്ന്, ഇതിനെ വർദ്ധിപ്പിക്കരുത് മോണോടോണസ് സീക്വൻസ് .

കോൺടോടോണസ് സീക്വൻസുകൾ, പ്രത്യേകിച്ച്, സീക്വൻസുകൾ വർദ്ധിപ്പിക്കുക എന്നതാണ്.

ഗണിത പുരോഗതി

ഗണിത പുരോഗതി ക്രമം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്ന ഓരോ അംഗവും മുമ്പത്തേതാണ്, അതേ നമ്പർ ചേർത്തു.

ഉത്തരം. 1 , ഉത്തരം. 2 , ഉത്തരം. 3 , . . . , ഒരു എൻ., . . .

ഏതെങ്കിലും ഉണ്ടെങ്കിൽ ഒരു ഗണിത പ്രോഗ്രഷൻ ആണ് സ്വാഭാവിക സംഖ്യ n. അവസ്ഥ തൃപ്തികരമാണ്:

ഒരു എൻ. +1 = ഒരു എൻ. + d.,

എവിടെ d. - കുറച്ച് എണ്ണം.

അതിനാൽ, ഈ ഗണിത പുരോഗതിയുടെ തുടർന്നുള്ളതും മുമ്പത്തേതുമായ അംഗങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം എല്ലായ്പ്പോഴും സ്ഥിരമാണ്:

ഒരു 2. - ഉത്തരം. 1 = 3. - ഉത്തരം. 2 = . . . = ഒരു എൻ. +1 - ഒരു എൻ. = d..

അക്കം d. വിളി ഗരിത്ത്മെറ്റിക് പുരോഗതി തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം.

ഒരു ഗണിത പുരോഗതി നിശ്ചയിക്കാൻ, അതിന്റെ ആദ്യ കാലാവധിയും വ്യത്യാസവും വ്യക്തമാക്കാൻ ഇത് മതിയാകും.

ഉദാഹരണത്തിന്,

അത് അങ്ങിനെയെങ്കിൽ ഉത്തരം. 1 = 3, d. = 4 , സീക്വസുകളുടെ ആദ്യ അഞ്ച് സീക്വൻസുകൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ കണ്ടെത്തുന്നു:

ഒരു 1. =3,

ഒരു 2. = ഒരു 1. + d. = 3 + 4 = 7,

ഒരു 3. = ഒരു 2. + d.= 7 + 4 = 11,

ഒരു 4. = ഒരു 3. + d.= 11 + 4 = 15,

ഉത്തരം. 5 = ഉത്തരം. 4 + d.= 15 + 4 = 19. ◄

ആദ്യ അംഗമുള്ള ഗണിത പുരോഗതികൾക്കായി ഉത്തരം. 1 വ്യത്യാസം വ്യത്യാസം d. അവളുടെ n.

ഒരു എൻ. = ഒരു 1. + (n.- 1)d.

ഉദാഹരണത്തിന്,

അരിത്മെറ്റിക് പുരോഗതിയുടെ ഒരു മുപ്പത് അംഗം കണ്ടെത്തുക

1, 4, 7, 10, . . .

ഒരു 1. =1, d. = 3,

ഒരു 30. = ഒരു 1. + (30 - 1)d \u003d.1 + 29· 3 = 88. ◄

ഒരു N-1 = ഒരു 1. + (n.- 2)ഡി,

ഒരു എൻ.= ഒരു 1. + (n.- 1)ഡി,

ഒരു എൻ. +1 = ഉത്തരം. 1 + nd.,

പിന്നെ വ്യക്തമായും

രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിച്ച്, ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ഓരോ അംഗവും ശരാശരി ഗണിത അംഗങ്ങൾക്കും തുടർന്നുള്ള അംഗങ്ങൾക്കും തുല്യമാണ്.

ഒരു, ബി, സി എന്നിവ ചില ഗണിത മാർഗ്ഗങ്ങളിലെ സ്ഥിരമായ അംഗങ്ങളാണ്, അവയിലൊന്ന് ശരാശരി ഗണിതത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ മാത്രം.

ഉദാഹരണത്തിന്,

ഒരു എൻ. = 2n.- 7 ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയാണ്.

മുകളിലുള്ള പ്രസ്താവന ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. നമുക്ക് ഉണ്ട്:

ഒരു എൻ. = 2n.- 7,

ഒരു N-1 = 2(n -1) - 7 = 2n.- 9,

ഒരു n + 1 = 2(n +.1) - 7 = 2n.- 5.

അതിനാൽ

◄

അതല്ല n. -നിക്ഷേത്രമായ പുരോഗതിയുടെ അംഗം മാത്രമല്ല ഉത്തരം. 1 എന്നാൽ മുമ്പത്തെ ഏതെങ്കിലും ഒരു കെ.

ഒരു എൻ. = ഒരു കെ. + (n.- കെ.)d..

ഉദാഹരണത്തിന്,

വേണ്ടി ഉത്തരം. 5 റെക്കോർഡുചെയ്യാനാകും

ഒരു 5. = ഒരു 1. + 4d.,

ഒരു 5. = ഒരു 2. + 3d.,

ഒരു 5. = ഒരു 3. + 2d.,

ഒരു 5. = ഒരു 4. + d.. ◄

ഒരു എൻ. = ഒരു N-K + കെഡി.,

ഒരു എൻ. = ഒരു N + K - കെഡി.,

പിന്നെ വ്യക്തമായും

ഗണിത പുരോഗതിയിലെ ഏതെങ്കിലും അംഗം, രണ്ടാമത്തെ മുതൽ ആരംഭിക്കുന്നത് ഈ ഗണിത പുരോഗതിയുടെ അംഗങ്ങളിൽ പകുതിയായി.

കൂടാതെ, ഒരു ഗണിത പുരോഗതിക്കും സമത്വം ശരിയാണ്:

a m + a n \u003d a k + a l,

m + n \u003d k + l.

ഉദാഹരണത്തിന്,

ഗണിത പുരോഗതിയിൽ

1) ഉത്തരം. 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (ഉത്തരം. 9 + ഉത്തരം. 11 )/2;

2) 28 = ഒരു 10. = ഒരു 3. + 7d.\u003d 7 + 7 · 3 \u003d 7 + 21 \u003d 28;

3) ഒരു 10.= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + എ 13)/2;

4) 2 + എ 12 \u003d 5 + എ 9, പോലെ

2 + a 12= 4 + 34 = 38,

5 + എ 9 = 13 + 25 = 38. ◄

എസ് എൻ.= ഒരു 1 + a 2 + 3 +. . .+ ഒരു എൻ.,

ഒന്നാമതായ n. നിബന്ധനകളുടെ എണ്ണത്തിന്റെ അളവിന്റെ എണ്ണത്തിന്റെ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ പ്രവർത്തനത്തിന് ഗരിത്ത്മെറ്റിക് പുരോഗതിയുടെ അംഗങ്ങൾ തുല്യമാണ്:

ഇവിടെ നിന്ന്, പ്രത്യേകിച്ചും, അംഗത്വം സംഗ്രഹിച്ചാൽ അത് പിന്തുടരുന്നു

ഒരു കെ., ഒരു കെ. +1 , . . . , ഒരു എൻ.,

മുമ്പത്തെ ഫോർമുല അതിന്റെ ഘടന നിലനിർത്തുന്നു:

ഉദാഹരണത്തിന്,

ഗണിത പുരോഗതിയിൽ 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

എസ്. 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = എസ്. 10 - എസ്. 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

ഗണിത പുരോഗതിയാണെങ്കിൽ, മൂല്യങ്ങൾ ഉത്തരം. 1 , ഒരു എൻ., d., n. ഒപ്പംഎസ്. n. രണ്ട് സൂത്രവാക്യങ്ങളാൽ അതിർത്തി:

അതിനാൽ, ഈ മൂന്നു മൂല്യങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ നൽകിയാൽ, അവശേഷിക്കുന്ന രണ്ട് മൂല്യങ്ങളുടെ അനുബന്ധ മൂല്യങ്ങൾ രണ്ട് അജ്ഞാതരുമായുള്ള രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സംവിധാനവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു.

ഗണിത പുരോഗതി ഒരു ഏകതാനമുള്ള ശ്രേണിയാണ്. അതിൽ:

• അത് അങ്ങിനെയെങ്കിൽ d. > 0 , അത് വർദ്ധിച്ചുകൊണ്ടിരിക്കുകയാണ്;
• അത് അങ്ങിനെയെങ്കിൽ d. < 0 , അത് ഇറങ്ങപ്പെടുന്നു;
• അത് അങ്ങിനെയെങ്കിൽ d. = 0 ക്രമം നിശ്ചലമായിരിക്കും.

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി ക്രമം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്ന ഓരോ അംഗവും മുമ്പത്തേതാണ്, ഒരേ നമ്പറിൽ ഗുണിക്കുന്നു.

ബി. 1 , ബി. 2 , ബി. 3 , . . . , b n., . . .

ഏതെങ്കിലും സ്വാഭാവിക സംഖ്യയ്ക്കായി ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയാണ് n. അവസ്ഥ തൃപ്തികരമാണ്:

b n. +1 = b n. · ചോദ്യം,

എവിടെ ചോദ്യം ≠ 0 - കുറച്ച് എണ്ണം.

അതിനാൽ, ഈ ജ്യാമിതീയ പുരോഗമിക്കുന്ന പ്രാഥമിക അംഗത്തിന്റെ അനുപാതം മുമ്പത്തെ ഒന്നാം സ്ഥാനത്തെ ശാശ്വതമാണ്:

ബി. 2 / ബി. 1 = ബി. 3 / ബി. 2 = . . . = b n. +1 / b n. = ചോദ്യം.

അക്കം ചോദ്യം വിളി ഡിനോമിനേറ്റർ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി.

ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി നിശ്ചയിക്കാൻ, അതിന്റെ ആദ്യ ടേണും ഡിനോമിനേറ്ററും വ്യക്തമാക്കാൻ ഇത് മതിയാകും.

ഉദാഹരണത്തിന്,

അത് അങ്ങിനെയെങ്കിൽ ബി. 1 = 1, ചോദ്യം = -3 , സീക്വസുകളുടെ ആദ്യ അഞ്ച് സീക്വൻസുകൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ കണ്ടെത്തുന്നു:

b 1. = 1,

b 2. = b 1. · ചോദ്യം = 1 · (-3) = -3,

b 3. = b 2. · ചോദ്യം= -3 · (-3) = 9,

b 4. = b 3. · ചോദ്യം= 9 · (-3) = -27,

ബി. 5 = ബി. 4 · ചോദ്യം= -27 · (-3) = 81. ◄

ബി. 1 ഡിനോമിനേറ്റർ ചോദ്യം അവളുടെ n. - ഞാൻ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താൻ കഴിയും:

b n. = ബി. 1 · ചോദ്യം എൻ. -1 .

ഉദാഹരണത്തിന്,

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ഏഴാമത്തെ അംഗം കണ്ടെത്തുക 1, 2, 4, . . .

ബി. 1 = 1, ചോദ്യം = 2,

ബി. 7 = ബി. 1 · ചോദ്യം 6 = 1 · 2 6 \u003d 64. ◄

b n-1 = b 1. · ചോദ്യം എൻ. -2 ,

b n. = b 1. · ചോദ്യം എൻ. -1 ,

b n. +1 = ബി. 1 · ചോദ്യം എൻ.,

പിന്നെ വ്യക്തമായും

b n. 2 = b n. -1 · b n. +1 ,

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിലെ ഓരോ അംഗവും, രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിച്ച്, ശരാശരി ജ്യാമിതീയ (ആനുപാതിക) മുമ്പുള്ള അംഗങ്ങൾക്കും തുടർന്നുള്ള അംഗങ്ങൾക്കും തുല്യമാണ്.

വിപരീത പ്രസ്താവനയും ശരിയാണ്, തുടർന്ന് ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രസ്താവന നടക്കുന്നു:

ഒരു, ബി, സി എന്നിവ ചില ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ സ്ഥിരമായ അംഗങ്ങളാണ്, അവയിലൊന്നിന്റെ ചതുരം മറ്റ് രണ്ടെണ്ണത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, അതായത്, മറ്റ് ഒരു ശരാശരി ജ്യാമിതീയമാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്,

സമവാക്യം വ്യക്തമാക്കിയ ശ്രേണി ഞങ്ങൾ തെളിയിക്കുന്നു b n. \u003d -3 · 2 N. ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയാണ്. മുകളിലുള്ള പ്രസ്താവന ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. നമുക്ക് ഉണ്ട്:

b n. \u003d -3 · 2 N.,

b n. -1 \u003d -3 · 2 N. -1 ,

b n. +1 \u003d -3 · 2 N. +1 .

അതിനാൽ

b n. 2 \u003d (-3 · 2 N.) 2 \u003d (-3 · 2 N. -1 ) · (-3 · 2) N. +1 ) = b n. -1 · b n. +1 ,

അത് ആവശ്യമായ പ്രസ്താവന തെളിയിക്കുന്നു. ◄

അതല്ല n. -ഇ ജ്യാമിതീയ പുരോഗമന അംഗീകരിക്കുന്നത് മാത്രമല്ല മാത്രമല്ല കണ്ടെത്താൻ കഴിയൂ ബി. 1 , എന്നാൽ ഏതെങ്കിലും അംഗവും ബി കെ. സമവാക്യം ഉപയോഗിക്കാൻ ഇത് മതിയാകും

b n. = ബി കെ. · ചോദ്യം എൻ. - കെ..

ഉദാഹരണത്തിന്,

വേണ്ടി ബി. 5 റെക്കോർഡുചെയ്യാനാകും

ബി 5. = b 1. · ചോദ്യം 4 ,

ബി 5. = b 2. · q 3.,

ബി 5. = b 3. · q 2.,

ബി 5. = b 4. · ചോദ്യം. ◄

b n. = ബി കെ. · ചോദ്യം എൻ. - കെ.,

b n. = b n. - കെ. · q.,

പിന്നെ വ്യക്തമായും

b n. 2 = b n. - കെ.· b n. + കെ.

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിലെ ഏതെങ്കിലും അംഗങ്ങളുടെ ചതുരം, ഈ രണ്ടാമത്തെ മുതൽ ഈ പുരോഗതിയുടെ അംഗങ്ങളുടെ പ്രവർത്തനത്തിന് തുല്യമായത്.

കൂടാതെ, ഏതെങ്കിലും ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിക്ക് തുല്യത ശരിയാണ്:

b m.· b n.= ബി കെ.· b l.,

എം.+ n.= കെ.+ l..

ഉദാഹരണത്തിന്,

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിൽ

1) ബി. 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = ബി. 5 · ബി. 7 ;

2) 1024 = ബി. 11 = ബി. 6 · ചോദ്യം 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) ബി. 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = ബി. 4 · ബി. 8 ;

4) ബി. 2 · ബി. 7 = ബി. 4 · ബി. 5 , പോലെ

ബി. 2 · ബി. 7 = 2 · 64 = 128,

ബി. 4 · ബി. 5 = 8 · 16 = 128. ◄

എസ് എൻ.= ബി. 1 + ബി. 2 + ബി. 3 + . . . + b n.

ഒന്നാമതായ n. ഡിനോമിനേറ്റർ ഉള്ള ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിലെ അംഗങ്ങൾ ചോദ്യം ≠ 0 സൂത്രവാക്യം കണക്കാക്കി:

അതുവഴി ചോദ്യം = 1 - സമവാക്യം അനുസരിച്ച്

എസ് എൻ.= nb. 1

നിങ്ങൾക്ക് അംഗങ്ങളെ സംഗ്രഹിക്കണമെങ്കിൽ ശ്രദ്ധിക്കുക

ബി കെ., ബി കെ. +1 , . . . , b n.,

ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:

ഉദാഹരണത്തിന്,

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിൽ 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

എസ്. 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = എസ്. 10 - എസ്. 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി നൽകിയാൽ, മൂല്യങ്ങൾ ബി. 1 , b n., ചോദ്യം, n. ഒപ്പം എസ് എൻ. രണ്ട് സൂത്രവാക്യങ്ങളാൽ അതിർത്തി:

അതിനാൽ, ഈ മൂന്നു മൂല്യങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ നൽകിയാൽ, അവശേഷിക്കുന്ന രണ്ട് മൂല്യങ്ങളുടെ അനുബന്ധ മൂല്യങ്ങൾ രണ്ട് അജ്ഞാതരുമായുള്ള രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സംവിധാനവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു.

ആദ്യ അംഗമുള്ള ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിക്കായി ബി. 1 ഡിനോമിനേറ്റർ ചോദ്യം ഇനിപ്പറയുന്നവയുണ്ട് മോണോടോണിയിലെ പ്രോപ്പർട്ടികൾ :

• ഇനിപ്പറയുന്ന വ്യവസ്ഥകളിലൊന്ന് നടത്തിയാൽ പുരോഗതി വർദ്ധിച്ചുകൊണ്ടിരിക്കുകയാണ്:

ബി. 1 > 0 ഒപ്പം ചോദ്യം> 1;

ബി. 1 < 0 ഒപ്പം 0 < ചോദ്യം< 1;

• ഇനിപ്പറയുന്ന നിബന്ധനകളിലൊന്ന് നടത്തിയാൽ പുരോഗതി ഇങ്ങോട്ട് പോകുന്നു:

ബി. 1 > 0 ഒപ്പം 0 < ചോദ്യം< 1;

ബി. 1 < 0 ഒപ്പം ചോദ്യം> 1.

അത് അങ്ങിനെയെങ്കിൽ ചോദ്യം< 0 , ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി ഒരു അടയാളമാണ്): വിചിത്രമായ സംഖ്യകളുള്ള അതിന്റെ അംഗങ്ങൾക്ക് ആദ്യ അംഗവും സംഖ്യകളുള്ള അംഗങ്ങളും ഉണ്ട് - വിപരീത ചിഹ്നം. ഇതര ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി മോണോടോണല്ലെന്ന് വ്യക്തമാണ്.

ആദ്യത്തേതിന്റെ പ്രവൃത്തി n. ജ്യാമിതീയ പുരോഗമന അംഗങ്ങൾക്ക് സമവാക്യം കണക്കാക്കാം:

പി n.= b 1. · B 2. · B 3. · . . . · B n. = (b 1. · b n.) n. / 2 .

ഉദാഹരണത്തിന്,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

അനന്ത ജിയോമെട്രിക് പുരോഗതി കുറയ്ക്കുന്നത് കുറയുന്നു

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയെ അനന്തമായി കുറയ്ക്കുന്നു ഇൻവോമിനേറ്റർ മൊഡ്യൂൾ കുറവാണ് എന്ന അനന്തമായ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയെ വിളിക്കുക 1 , അതായത്

|ചോദ്യം| < 1 .

കുറിപ്പ് അനന്തമായി ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി കുറയ്ക്കുന്നത് കുറയ്ക്കുന്ന ശ്രേണിയായിരിക്കില്ല. ഇത് കേസിന് തുല്യമാണ്

1 < ചോദ്യം< 0 .

ഈ ഡിനോമിനേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച്, സീക്വൻസ് ഒന്നിടവിട്ട്. ഉദാഹരണത്തിന്,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

അനന്തമായി ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയെ കുറയ്ക്കുക ആദ്യത്തേത് പരിധിയില്ലാത്ത നമ്പറിലേക്ക് വിളിക്കുക n. സംഖ്യയിൽ പരിധിയില്ലാത്ത വർദ്ധനവുള്ള പുരോഗതിയിലെ അംഗങ്ങൾ n. . ഈ നമ്പർ എല്ലായ്പ്പോഴും കോഴ്സിലാണ് കൂടാതെ ഫോർമുല പ്രകടിപ്പിക്കുന്നത്

ഉദാഹരണത്തിന്,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

ഗണിത, ജ്യാമിതീയ പുരോഗമികളുടെ ആശയവിനിമയം

ഗണിതവും ജ്യാമിതീയവുമായ പുരോഗതി പരസ്പരം അടുത്ത ബന്ധമുണ്ട്. രണ്ട് ഉദാഹരണങ്ങൾ മാത്രം പരിഗണിക്കുക.

ഉത്തരം. 1 , ഉത്തരം. 2 , ഉത്തരം. 3 , . . . d. ടി.

ബി എ. 1 , ബി എ. 2 , ബി എ. 3 , . . . ബി ഡി. .

ഉദാഹരണത്തിന്,

1, 3, 5, . . . - വ്യത്യാസമുള്ള ഗണിത പുരോഗതി 2 ഒപ്പം

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - ഡിനോമിനേറ്ററുള്ള ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി 7 2 . ◄

ബി. 1 , ബി. 2 , ബി. 3 , . . . - ഡിനോമിനേറ്ററുള്ള ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി ചോദ്യം ടി.

ഒരു ബി 1 ലോഗിൻ ചെയ്യുക, ഒരു ബി 2 ലോഗിൻ ചെയ്യുക, ഒരു ബി 3 ലോഗിൻ ചെയ്യുക, . . . - വ്യത്യാസമുള്ള ഗണിത പുരോഗതി ലോഗ് എ.ചോദ്യം .

ഉദാഹരണത്തിന്,

2, 12, 72, . . . - ഡിനോമിനേറ്ററുള്ള ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി 6 ഒപ്പം

{!LANG-d0cd0612da97ec193e7d175d1107a70d!} 2, {!LANG-d0cd0612da97ec193e7d175d1107a70d!} 12, {!LANG-d0cd0612da97ec193e7d175d1107a70d!} 72, . . . - വ്യത്യാസമുള്ള ഗണിത പുരോഗതി {!LANG-d0cd0612da97ec193e7d175d1107a70d!} 6 . ◄

{!LANG-cffcda0c311aa552e6806445be6135cc!}

7 28 112 448 1792...

{!LANG-481b8496caa7f30f52f2e2fbf9a8ba63!} {!LANG-6deaac5807689551b2937efa5d27d61b!}{!LANG-7f15752e12fc45e8a2be65169f016088!}

{!LANG-10217d1124e59ebe988c706d00d117d7!} {!LANG-8f73ab6d3d4c8458a9061e4f250864dc!}{!LANG-3722deeb98ab5dfe1a49e3b8cca08c83!}

{!LANG-7075c7bf1f06764356b178d97f6bbfce!}

{!LANG-d716cad1bd8ae8bb6e876b1ae6c0d8d2!}

{!LANG-ed7994597fd6fc8edde883424e7c74d8!}

0.25 0.125 0.0625...

{!LANG-7d9a2adee1d5c4fc1f9306e906599036!}

{!LANG-9a965ecc1960e7f27f6ee3faf322a597!}

{!LANG-412ff8f1e839a1aa9f256920ff73a8c5!}

{!LANG-e3c539bcbc73d3c48f09483928f358f0!}

{!LANG-ddca0e5cbd234d8e4e4fc8042db8d7bb!}

{!LANG-3ca77a38a5343f4f0956a3783db62ea6!}

• {!LANG-37ec1ef5787dc8e5f1cdd12a56d450cf!} {!LANG-6c2ccdd8d87b44aacd6ffb9d4fc02974!}{!LANG-6f7981757ae6c114a2eadcae0af07931!}

{!LANG-3c83f5619056952071e2206e2467e219!}

{!LANG-37671a8c1398df45f347fde6a09d3bfa!}

3 6 12 24 48 ...

• {!LANG-3f5da9af05f6e648233a72af51367f65!}

{!LANG-fc60eaf25d27b34abe0537cd7669cf66!}

{!LANG-bbefaa0b62064817164c7121c332b88e!}

{!LANG-f387ed5b9a488727ed608c3d57c1fdc1!}

• {!LANG-00f3f489fcdf3834689ee880d34a5c97!}<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

{!LANG-4401b56e3f1e1203bad99bfe7b541405!}

{!LANG-1191749c5e92a608b62391fc8a86e779!}

3, 6, -12, 24,...

{!LANG-3ef65574ab25af97475ac15f09d6b1aa!}

{!LANG-99adb7eb4ee2e62f0f7732c25d9afdcc!}

• {!LANG-fd3e1824e0e94bdd675f301a638e9a20!}

{!LANG-5ec6441f19641481330293f2e06510df!}ചോദ്യം = 3, ഉത്തരം. 1 {!LANG-ac1aa5f1388df1a815db5600454abb32!}

{!LANG-deebd556285b35a1d9939b39780a8f6a!}ഉത്തരം. 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• {!LANG-845ed5bd59d4d1999fb138a1173320ab!} {!LANG-a8a78d0ff555c931f045b6f448129846!}{!LANG-06a24a92b0a649648c1805326b3cf595!}{!LANG-468cc07cbfbb39aa89f672406fcc8b53!}{!LANG-55c58b851d68170e7a73485e787c5427!}

{!LANG-d769d22497b7c8814cc0bc647be7aedd!}ചോദ്യം{!LANG-72fcaebe722208ddc3378c9fe4fe5638!}{!LANG-007e15196ac62d7ca62eb5787ad35442!}

{!LANG-3374148f87d09b01047df82ef943343e!}

{!LANG-4e6da125c073587999551a5a42ab0fed!}ഉത്തരം. 1 = 2, ചോദ്യം{!LANG-7f70bc3022541fe179f71417a5399e6d!}

{!LANG-deebd556285b35a1d9939b39780a8f6a!}എസ്. 5 = {!LANG-cca07a772e962ff5986606060053596a!}

• {!LANG-52063c71fdc792534d02577c9e2a2c3c!}ചോദ്യം| < 1 и если z стремится к бесконечности.

{!LANG-5ec6441f19641481330293f2e06510df!}ഉത്തരം. 1 = 2 , ചോദ്യം{!LANG-784847de9c62e711d21bb767aae45501!}

{!LANG-deebd556285b35a1d9939b39780a8f6a!}{!LANG-69afc6cb9026ec6aa57b71bab9570b44!} = 2 · = 4

{!LANG-69afc6cb9026ec6aa57b71bab9570b44!} = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

{!LANG-5f2ca800ba6b537fbe8526ad73030461!}

• {!LANG-da85f5b4ce5791200e97b906eb2002f2!} {!LANG-40b87857942f60921457a45b7afd29da!}{!LANG-a8a78d0ff555c931f045b6f448129846!}{!LANG-cb69335578f79699708cb771fc6da3ad!}

{!LANG-468cc07cbfbb39aa89f672406fcc8b53!} 2 = {!LANG-468cc07cbfbb39aa89f672406fcc8b53!} -1 · ഉത്തരം.{!LANG-bb9440f49d0401a99a70b88da07cf1a4!}

• {!LANG-80f39dabe0054e5a98cd957e45a5512a!}

{!LANG-468cc07cbfbb39aa89f672406fcc8b53!} 2 = {!LANG-468cc07cbfbb39aa89f672406fcc8b53!} - {!LANG-3f7461e9ed4496b383661b9f70dd4444!} 2 + {!LANG-468cc07cbfbb39aa89f672406fcc8b53!} + {!LANG-3f7461e9ed4496b383661b9f70dd4444!} 2 {!LANG-f8fdd81c1d81023043821f2eadef85d9!}{!LANG-b7269fa2508548e4032c455818f1e321!}{!LANG-fadfc30db394bc481121219df53ddc37!}

• {!LANG-282db5f9b913e48b23a41170cf30b20a!}{!LANG-80a3c0e3f9acc87b72a2dd4b43879b0c!}{!LANG-9f1c51d6f486ee7abc5af62fa7781df0!}
• {!LANG-f73e47264ebbf8d3b6a1abb09fa4f725!}

{!LANG-d4073f6aec5bf4a4b44e0d0ba0d798f2!}

{!LANG-3c236457651ad070f5f04ec49cbcea93!}

• {!LANG-7216a0befb11f0385fe45ff39ed3510a!}ഉത്തരം. 1 = 3, ഉത്തരം. 3 {!LANG-904aacbc0f11aa84c57b59f850ecb82d!}ചോദ്യം.

{!LANG-0e181a8d54db7fddd1dec93390c61120!}ചോദ്യം {!LANG-9f1c51d6f486ee7abc5af62fa7781df0!}{!LANG-dd7559069e9cb9662a22245015ef3821!}

{!LANG-8ddecfd2fbc0ea52a1d6a6e4755fbfe5!}ഉത്തരം. 3 = ചോദ്യം 2 · ഉത്തരം. 1

{!LANG-f3daeded6c755b019b9d257f5a4ae13b!}ചോദ്യം= 4

• {!LANG-7216a0befb11f0385fe45ff39ed3510a!}ഉത്തരം. 2 = 6, ഉത്തരം. 3 {!LANG-4a67a53e26077be51538073e417213b1!}

{!LANG-deebd556285b35a1d9939b39780a8f6a!}{!LANG-cd802df81cca8a4303f289a71fdc67ed!}

ഉത്തരം. 3 = ചോദ്യം· ഉത്തരം. 2 {!LANG-89d6bf92c93d1a6b8e734ec49c8e9889!}ചോദ്യം= 2

{!LANG-174bfe3e597eab51a4aadb15e7d25d59!} {!LANG-ebbdb215f8e259a2a8a7b51253a990ff!}{!LANG-1c718e67101bf3dd553a97e7a6485e7b!} {!LANG-e15ace769f01e47f026598fdffe8aa54!} 3

{!LANG-d383929826c1e408f894bd4d19fca961!} 189

• · ഉത്തരം. 1 = 10, ചോദ്യം{!LANG-9851edfd10464035a03226d7700b25bc!}

{!LANG-a997983a33328729432b41d6b2c15aa2!}

{!LANG-1195b392491382ece2a016bdd93d4c42!}· {!LANG-bc1c164524c1bc9fbca7401ee9a1c779!}

{!LANG-5c181b513fbec3616f5ccb02ba21a569!}

• {!LANG-7c5c40fd534b3fe714135468ca6d7cb4!}

{!LANG-ad82174c317fd128b89e41235fbcb9fc!} · {!LANG-a86f77d975fa821d86eb23e3a5efed0a!}

{!LANG-a0ddc7903b7bbf6275763fb1b19096b7!}

{!LANG-9ce279ebc43301d49364fb674f0c4c52!}

{!LANG-0adf4b7dc6b8346c5ab590e623f1eb09!}

{!LANG-a62bd989390c0db1cfb1389d2e10e649!}

{!LANG-2e75ab906c5866f94f32dab18b43fdb8!}

{!LANG-e10f84030ffdae7f643cbdde2d8e537e!}

ഉത്തരം. 1 = 4, ചോദ്യം{!LANG-7aef3ce2d035bbc9cd5384019475cd99!}{!LANG-d6d0c3c5e55432fb51d45a32290ad64b!}.

{!LANG-150718385f213e9af6c857103b73f143!}

എസ്. 5 = 124

• ഉത്തരം. 2 = 6, ഉത്തരം. 3 {!LANG-64967a03b8eada5f01ed2d24c465a7cd!}

{!LANG-deebd556285b35a1d9939b39780a8f6a!}

{!LANG-2d6162c5b1553c24ac0a50b5f64d55da!}ഉത്തരം. 1 {!LANG-8f65f6374db82d679f37b7b1cd196457!}ചോദ്യം.

ഉത്തരം. 2 · ചോദ്യം = ഉത്തരം. 3

ചോദ്യം = 3

{!LANG-c60d9a4242520fb7e8c1ea02c46fb058!}ഉത്തരം. 1 {!LANG-8d40a83e255151cbcaa26690b097a988!}ഉത്തരം. 2 ഒപ്പംചോദ്യം.

ഉത്തരം. 1 · ചോദ്യം = ഉത്തരം. 2

{!LANG-e15ace769f01e47f026598fdffe8aa54!}2

എസ്. 6 = 728.

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി{!LANG-6ec8ee9d39900716a2ccdceffca0bc4f!} ഡിനോമിനേറ്റർ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി{!LANG-ed5afbb7ff9605be955a4724b369f5ab!}

{!LANG-33960729bc8343b834b1ba9c3d81947d!}

{!LANG-5386ed5f29dd780a4da8ea5093e3c3f9!}{!LANG-de308c7727a8a7c49954e7789d1a345c!}

{!LANG-69063e43c7ce08c8dd9cdb07aff49e39!}{!LANG-bcdfe4623ed1c18409d39ccd2b496879!}

{!LANG-92868e09e3d1ecf5a9180b66174b0001!}

{!LANG-3d786a17e5de8108fdaa76e364f0efe9!}

{!LANG-1adb128022f59b9e31429cd398946ed5!}

{!LANG-f9dd748672b85c9fdd8d94cfb7fc7c16!}

{!LANG-e501565401cebaa7bd7f57993210d4c9!}

{!LANG-7a21d336448d8569c6c810e7d7afe310!}

{!LANG-c6f9f89d20d7cb0a6c65cdee865d2076!}

{!LANG-ecd8d18d9bb981e38b4fbbaa665ce826!}

{!LANG-0021df6e18f0ebbf8d14e48cf4f704f2!}

{!LANG-df7ccd9e0450c49bf10bceeda23af3a3!}

{!LANG-15513d8c44546ec0519da7cb63e820bc!} {!LANG-94aa16b946ef2e1f5100728c4a21cce0!}

{!LANG-deebd556285b35a1d9939b39780a8f6a!}

{!LANG-59da731b184875282d2f8806904fbff7!}

{!LANG-4bc7aaf4ceaeeceb3345c9156e179623!}

{!LANG-26cea3e28126c547b9f4c612ec10709e!}

{!LANG-530d71ee2ba2888c3cab207a6052f743!}

{!LANG-4e978f4feb6ba01fc66c3e845da15ada!}

{!LANG-3ace4a9b3a36c4e9dcca97aec0698a4d!}

{!LANG-a3d399a4c69bfe37341549706f8ad0f6!}

{!LANG-deebd556285b35a1d9939b39780a8f6a!}

{!LANG-95ab0e652f589aa7b751622570a236b5!}

{!LANG-401650e9583f2b89ade25d666dcf1cdf!}

{!LANG-3136369c0ef81a35128a11da08270b90!}

{!LANG-5eba02cb8b1c3fc7b6b4564baf67b20c!}