എന്താണെന്ന് ഈ ലേഖനത്തിൽ നമ്മൾ കണ്ടെത്തും ബിരുദം... സ്വാഭാവിക എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റിൽ നിന്ന് ആരംഭിച്ച് യുക്തിരഹിതമായ ഒന്നിൽ അവസാനിക്കുന്ന, സാധ്യമായ എല്ലാ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുകളെയും സൂക്ഷ്മമായി പരിശോധിക്കുമ്പോൾ ഇവിടെ ഒരു സംഖ്യയുടെ ഡിഗ്രിയുടെ നിർവചനങ്ങൾ ഞങ്ങൾ നൽകും. മെറ്റീരിയലിൽ, ഉയർന്നുവരുന്ന എല്ലാ സൂക്ഷ്മതകളും ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഡിഗ്രികളുടെ ധാരാളം ഉദാഹരണങ്ങൾ നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തും.

പേജ് നാവിഗേഷൻ.

സ്വാഭാവിക എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ്, സംഖ്യയുടെ ചതുരം, സംഖ്യയുടെ ക്യൂബ് ഉള്ള ബിരുദം

നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം. മുന്നോട്ട് നോക്കുമ്പോൾ, സ്വാഭാവിക എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് n ഉള്ള ഒരു സംഖ്യയുടെ ഡിഗ്രിയുടെ നിർവചനം a നായി നൽകിയിരിക്കുന്നു, അതിനെ ഞങ്ങൾ വിളിക്കും അടിസ്ഥാന ബിരുദം, n എന്നിവ ഞങ്ങൾ വിളിക്കും എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ്... ഒരു സ്വാഭാവിക എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുള്ള ഡിഗ്രി ഉൽപ്പന്നത്തിലൂടെ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നുവെന്നതും ശ്രദ്ധിക്കുക, അതിനാൽ ചുവടെയുള്ള മെറ്റീരിയൽ മനസിലാക്കാൻ, അക്കങ്ങളുടെ ഗുണനത്തെക്കുറിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ആശയം ആവശ്യമാണ്.

നിർവചനം.

സ്വാഭാവിക എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് n ഉള്ള സംഖ്യയുടെ പവർ a n എന്ന രൂപത്തിന്റെ ഒരു പ്രകടനമാണ്, അതിന്റെ മൂല്യം n ഘടകങ്ങളുടെ ഉൽ\u200cപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ്, അവ ഓരോന്നും a ന് തുല്യമാണ്, അതായത്.
പ്രത്യേകിച്ചും, എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് 1 ഉള്ള ഒരു സംഖ്യയുടെ ശക്തി ഒരു സംഖ്യ തന്നെയാണ്, അതായത് 1 \u003d a.

ഡിഗ്രി വായിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങളെക്കുറിച്ച് ഉടനടി പറയണം. ഒരു റെക്കോർഡ് വായിക്കാനുള്ള സാർവത്രിക മാർഗം ഇപ്രകാരമാണ്: "a ന്റെ ശക്തിയിലേക്ക്". ചില സാഹചര്യങ്ങളിൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന ഓപ്ഷനുകളും സ്വീകാര്യമാണ്: "a മുതൽ n-th പവർ", "a എന്ന സംഖ്യയുടെ n-th പവർ". ഉദാഹരണത്തിന്, നമുക്ക് 8 12 ന്റെ ശക്തി എടുക്കാം, അത് “എട്ട് പന്ത്രണ്ടിന്റെ ശക്തിയിലേക്ക്” അല്ലെങ്കിൽ “എട്ട് മുതൽ പന്ത്രണ്ടാമത്തെ ശക്തി വരെ” അല്ലെങ്കിൽ “എട്ടിന്റെ പന്ത്രണ്ടാമത്തെ ശക്തി”.

ഒരു സംഖ്യയുടെ രണ്ടാമത്തെ ഡിഗ്രിക്കും അതുപോലെ തന്നെ ഒരു സംഖ്യയുടെ മൂന്നാം ഡിഗ്രിക്കും അവരുടേതായ പേരുകളുണ്ട്. ഒരു സംഖ്യയുടെ രണ്ടാമത്തെ ശക്തിയെ വിളിക്കുന്നു ചതുര സംഖ്യഉദാഹരണത്തിന്, 7 2 “ഏഴ് ചതുരം” അല്ലെങ്കിൽ “ഏഴാമത്തെ സംഖ്യയുടെ ചതുരം” വായിക്കുന്നു. ഒരു സംഖ്യയുടെ മൂന്നാമത്തെ ശക്തിയെ വിളിക്കുന്നു ക്യൂബ് നമ്പറുകൾഉദാഹരണത്തിന്, 5 3 നെ "ക്യൂബ് അഞ്ച്" എന്ന് വായിക്കാം അല്ലെങ്കിൽ "നമ്പർ 5 ന്റെ ക്യൂബ്" എന്ന് പറയാം.

നയിക്കാനുള്ള സമയമാണിത് സ്വാഭാവിക സൂചകങ്ങളുള്ള ഡിഗ്രികളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ... 5 7 ന്റെ ശക്തിയിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കാം, ഇവിടെ 5 ശക്തിയുടെ അടിസ്ഥാനവും 7 എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുമാണ്. നമുക്ക് മറ്റൊരു ഉദാഹരണം നൽകാം: 4.32 അടിസ്ഥാനവും സ്വാഭാവിക നമ്പർ 9 എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റും (4.32) 9 ആണ്.

അവസാന ഉദാഹരണത്തിൽ, 4.32 ന്റെ ശക്തിയുടെ അടിസ്ഥാനം പരാൻതീസിസിൽ എഴുതിയിട്ടുണ്ട്: ആശയക്കുഴപ്പം ഒഴിവാക്കാൻ, സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായ ശക്തിയുടെ എല്ലാ അടിസ്ഥാനങ്ങളും ഞങ്ങൾ പരാൻതീസിസിൽ ഇടും. ഒരു ഉദാഹരണമായി, സ്വാഭാവിക സൂചകങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന ഡിഗ്രികൾ നൽകുന്നു , അവയുടെ അടിസ്ഥാനങ്ങൾ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളല്ല, അതിനാൽ അവ പരാൻതീസിസിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു. ശരി, പൂർണ്ണമായ വ്യക്തതയ്ക്കായി, ഈ നിമിഷത്തിൽ, ഫോമിന്റെ എൻട്രികൾ (−2) 3, −2 3 എന്നിവ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം ഞങ്ങൾ കാണിക്കും. എക്സ്പ്രഷൻ (−2) 3 സ്വാഭാവിക എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് 3 ഉള്ള −2 ന്റെ ശക്തിയാണ്, −2 3 (ഇതിനെ ഇങ്ങനെ എഴുതാം - (2 3)) സംഖ്യയുമായി യോജിക്കുന്നു, ശക്തിയുടെ മൂല്യം 2 3.

A a n എന്ന ഫോമിന്റെ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് n ഉള്ള ഒരു സംഖ്യയുടെ ഡിഗ്രിക്ക് ഒരു നൊട്ടേഷൻ ഉണ്ടെന്ന കാര്യം ശ്രദ്ധിക്കുക. മാത്രമല്ല, n ഒരു ബഹുവിധ സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണെങ്കിൽ, എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ എടുക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, 4 9 ന്റെ ശക്തിയുടെ മറ്റൊരു നൊട്ടേഷനാണ് 4 ^ 9. "^" ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് ഡിഗ്രികൾ എഴുതുന്നതിനുള്ള ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ ഇതാ: 14 ^ (21), (−2,1) ^ (155). ഇനിപ്പറയുന്നവയിൽ നമ്മൾ പ്രധാനമായും n ഫോമിന്റെ ഡിഗ്രിയുടെ നൊട്ടേഷൻ ഉപയോഗിക്കും.

സ്വാഭാവിക എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുള്ള ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നതിനുള്ള വിപരീതമാണ് ഒരു ദ task ത്യം, ഡിഗ്രിയുടെ അറിയപ്പെടുന്ന മൂല്യത്തിൽ നിന്നും അറിയപ്പെടുന്ന എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റിൽ നിന്നും ഡിഗ്രിയുടെ അടിസ്ഥാനം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്\u200cനമാണ്. ഈ ചുമതല നയിക്കുന്നു.

സെറ്റ് ആണെന്ന് അറിയാം യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകൾ പൂർണ്ണസംഖ്യകളും ഭിന്നസംഖ്യകളും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, ഓരോന്നും ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ പോസിറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ നെഗറ്റീവ് ആയി അവതരിപ്പിക്കാൻ കഴിയും സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യ... മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികയിലെ ഒരു സംഖ്യ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ഡിഗ്രി നിർവചിച്ചു, അതിനാൽ, ഇതുപയോഗിച്ച് ഡിഗ്രിയുടെ നിർവചനം പൂർത്തിയാക്കുക യുക്തിസഹമായ സൂചകം, ഒരു ഭിന്ന എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് m / n ഉള്ള ഒരു സംഖ്യയുടെ ശക്തിക്ക് ഒരു അർത്ഥം നൽകേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, ഇവിടെ m ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയും n ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയുമാണ്. അങ്ങിനെ ചെയ്യാം.

ഫോമിന്റെ ഭിന്ന എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുള്ള ഒരു ബിരുദം പരിഗണിക്കുക. ഡിഗ്രി മുതൽ ഡിഗ്രി വരെയുള്ള സ്വത്ത് സാധുതയുള്ളതാണെങ്കിൽ, തുല്യത ... ലഭിച്ച സമത്വവും ഞങ്ങൾ അത് എങ്ങനെ നിർണ്ണയിച്ചു എന്നതും കണക്കിലെടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, m, n, a എന്നിവ നൽകിയാൽ പദപ്രയോഗം അർത്ഥവത്താണെങ്കിൽ അത് സ്വീകരിക്കുന്നത് യുക്തിസഹമാണ്.

ഒരു സംഖ്യ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുള്ള ഒരു ഡിഗ്രിയുടെ എല്ലാ ഗുണങ്ങൾക്കും (ഇത് യുക്തിസഹമായ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുള്ള ഒരു ഡിഗ്രിയുടെ ഗുണവിശേഷതകളെക്കുറിച്ചുള്ള വിഭാഗത്തിലാണ് ചെയ്യുന്നത്) സ്ഥിരീകരിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്.

മുകളിലുള്ള ന്യായവാദം ഇനിപ്പറയുന്നവ ചെയ്യാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. .ട്ട്\u200cപുട്ട്: നൽകിയ m, n, ഒരു പദപ്രയോഗം എന്നിവയ്ക്ക് അർത്ഥമുണ്ടെങ്കിൽ, ഫ്രാക്ഷണൽ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് m / n ഉള്ള a എന്ന സംഖ്യയുടെ ശക്തിയെ a യുടെ n ന്റെ റൂട്ട് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഒരു ഭിന്ന എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് ഉപയോഗിച്ച് ഡിഗ്രി നിർണ്ണയിക്കുന്നതിന് ഈ പ്രസ്താവന ഞങ്ങളെ വളരെ അടുപ്പിക്കുന്നു. ഏത് m, n, ഒരു പദപ്രയോഗം അർത്ഥമാക്കുന്നുവെന്ന് വിവരിക്കാൻ മാത്രമേ ഇത് ശേഷിക്കുന്നുള്ളൂ. M, n, a എന്നിവയിലെ പരിമിതികളെ ആശ്രയിച്ച് രണ്ട് പ്രധാന സമീപനങ്ങളുണ്ട്.

പോസിറ്റീവ് m ന് a≥0 ഉം നെഗറ്റീവ് m ന് a\u003e 0 ഉം ഉപയോഗിച്ച് a നിയന്ത്രിക്കുക എന്നതാണ് ഏറ്റവും എളുപ്പമുള്ള മാർഗം (m≤0 ന് 0 m ഡിഗ്രി നിർവചിച്ചിട്ടില്ലാത്തതിനാൽ). ഒരു ഭിന്ന എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റിന്റെ ഇനിപ്പറയുന്ന നിർവചനം നമുക്ക് ലഭിക്കും.

നിർവചനം.

ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് m / n ഉള്ള ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ ശക്തി, ഇവിടെ m എന്നത് ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയും n ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയുമാണ്, m ന്റെ ശക്തിയിലേക്ക് a യുടെ nth root എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അതായത്.

സൂചകം പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കണം എന്ന ഏക വ്യവസ്ഥയോടെ പൂജ്യത്തിന്റെ ഒരു ഭിന്നശേഷി നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു.

നിർവചനം.

പോസിറ്റീവ് ഫ്രാക്ഷണൽ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് m / n ഉള്ള പൂജ്യത്തിന്റെ ശക്തി, ഇവിടെ m ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയും n ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയുമാണ് .
ഡിഗ്രി നിർണ്ണയിക്കാത്തപ്പോൾ, അതായത്, ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുള്ള പൂജ്യ സംഖ്യയുടെ ഡിഗ്രി നെഗറ്റീവ് സൂചകം അർത്ഥമില്ല.

ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുള്ള ഡിഗ്രിയുടെ അത്തരമൊരു നിർവചനത്തിൽ ഒരു ന്യൂനൻസ് ഉണ്ട് എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്: ചില നെഗറ്റീവ് a, ചില m, n എന്നിവയ്\u200cക്ക് പദപ്രയോഗം അർത്ഥമാക്കുന്നു, കൂടാതെ a≥0 എന്ന അവസ്ഥ അവതരിപ്പിച്ചുകൊണ്ട് ഞങ്ങൾ ഈ കേസുകൾ ഉപേക്ഷിച്ചു. ഉദാഹരണത്തിന്, എഴുതുന്നതിൽ അർത്ഥമുണ്ട് അല്ലെങ്കിൽ, മുകളിലുള്ള നിർവചനം ഫോമിന്റെ ഭിന്ന എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുള്ള ഡിഗ്രികൾ എന്ന് പറയാൻ ഞങ്ങളെ പ്രേരിപ്പിക്കുന്നു അടിസ്ഥാനം നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കരുത് എന്നതിനാൽ അർത്ഥമില്ല.

ഒരു ഭിന്ന എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് m / n ഉപയോഗിച്ച് എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള മറ്റൊരു സമീപനം റൂട്ടിന്റെ വിചിത്രവും എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുകളും വെവ്വേറെ പരിഗണിക്കുക എന്നതാണ്. ഈ സമീപനത്തിന് ഒരു അധിക നിബന്ധന ആവശ്യമാണ്: a എന്ന സംഖ്യയുടെ ഡിഗ്രി, അതിന്റെ സൂചകം a എന്ന സംഖ്യയുടെ ശക്തിയായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു, ഇതിന്റെ സൂചകം അനുബന്ധമായ മാറ്റാനാവാത്ത ഭിന്നസംഖ്യയാണ് (ഈ അവസ്ഥയുടെ പ്രാധാന്യം ചുവടെ വിശദീകരിക്കും). അതായത്, m / n എന്നത് മാറ്റാൻ കഴിയാത്ത ഭിന്നസംഖ്യയാണെങ്കിൽ, ഏതെങ്കിലും സ്വാഭാവിക സംഖ്യയ്ക്ക് k ഡിഗ്രി മുമ്പ് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കും.

N, പോസിറ്റീവ് m എന്നിവയ്\u200cക്ക്, എക്\u200cസ്\u200cപ്രഷൻ ഏതെങ്കിലും നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത a (നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ ഇരട്ട റൂട്ട് അർത്ഥമാക്കുന്നില്ല) അർത്ഥമാക്കുന്നു, നെഗറ്റീവ് m ന്, ഒരു സംഖ്യയും നോൺ\u200cജെറോ ആയിരിക്കണം (അല്ലാത്തപക്ഷം പൂജ്യത്താൽ വിഭജനം ഉണ്ടാകും ). വിചിത്രമായ n, പോസിറ്റീവ് m എന്നിവയ്\u200cക്ക് ഒരു സംഖ്യ ആകാം (ഒറ്റ ഡിഗ്രിയുടെ റൂട്ട് ഏതൊരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയ്ക്കും നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു), നെഗറ്റീവ് m ന് സംഖ്യ നോൺ\u200cജെറോ ആയിരിക്കണം (അതിനാൽ പൂജ്യത്താൽ വിഭജനം ഉണ്ടാകില്ല).

മുകളിലുള്ള യുക്തി ഒരു ഭിന്ന എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റിന്റെ അത്തരമൊരു നിർവചനത്തിലേക്ക് നമ്മെ നയിക്കുന്നു.

നിർവചനം.

M / n എന്നത് മാറ്റാൻ കഴിയാത്ത ഭിന്നസംഖ്യയും m ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയും n ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയും ആകട്ടെ. റദ്ദാക്കാവുന്ന ഏതൊരു ഭിന്നസംഖ്യയ്ക്കും, എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. മാറ്റാൻ കഴിയാത്ത ഫ്രാക്ഷണൽ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് m / n ഉള്ള ഒരു സംഖ്യയുടെ ശക്തി



റിഡക്റ്റബിൾ ഫ്രാക്ഷണൽ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുള്ള ഒരു ഡിഗ്രിക്ക് മുമ്പ് ഒരു ഡിഗ്രിക്ക് പകരം മാറ്റാനാകാത്ത എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചത് എന്തുകൊണ്ടാണെന്ന് നമുക്ക് വിശദീകരിക്കാം. M / n എന്ന ഭിന്നസംഖ്യയുടെ അപ്രസക്തതയെക്കുറിച്ച് ഞങ്ങൾ ഡിഗ്രി നിർവചിക്കുകയും ഒരു സംവരണം നടത്താതിരിക്കുകയും ചെയ്താൽ, ഇനിപ്പറയുന്നവയ്ക്ക് സമാനമായ സാഹചര്യങ്ങൾ നമുക്ക് നേരിടേണ്ടിവരും: 6/10 \u003d 3/5 മുതൽ, സമത്വം നിലനിർത്തണം പക്ഷേ , ഒപ്പം .

ഭാഗം II. അധ്യായം 6
NUMBER സീക്വൻസുകൾ

യുക്തിരഹിതമായ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുള്ള ഡിഗ്രിയുടെ ആശയം

ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയും യുക്തിരഹിതമായിരിക്കട്ടെ.
A * എന്ന പദപ്രയോഗത്തിന് എന്ത് അർത്ഥം നൽകണം?
അവതരണം കൂടുതൽ ദൃശ്യമാക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ അത് സ്വകാര്യമായി നടത്തും
ഉദാഹരണം. അതായത്, ഞങ്ങൾ a - 2 ഉം a \u003d 1. 624121121112 ഉം ഇടുന്നു. ... ... ...
ഇവിടെ, പക്ഷേ - അനന്തമായ ദശാംശഅത്തരം അടിസ്ഥാനമാക്കി
നിയമം: ചിത്രത്തിനായി നാലാമത്തെ ദശാംശ സ്ഥാനത്ത് നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നു a
1, 2 അക്കങ്ങൾ മാത്രമേ ഉപയോഗിക്കുന്നുള്ളൂ, അക്കങ്ങളുടെ എണ്ണം 1,
നമ്പർ 2 ന് മുമ്പായി ഒരു വരിയിൽ റെക്കോർഡുചെയ്\u200cതു, എല്ലായ്\u200cപ്പോഴും വർദ്ധിക്കുന്നു
ഒന്ന്. A എന്ന ഭിന്നസംഖ്യ ആനുകാലികമല്ലാത്തതാണ്, അല്ലാത്തപക്ഷം അക്കങ്ങളുടെ എണ്ണം 1,
അവന്റെ ഇമേജിൽ ഒരു വരിയിൽ രേഖപ്പെടുത്തുന്നത് പരിമിതപ്പെടുത്തും.
അതിനാൽ, a യുക്തിരഹിതമായ സംഖ്യയാണ്.
അതിനാൽ, പദപ്രയോഗത്തിന് എന്ത് അർത്ഥം നൽകണം
21, v2SH1SH1SH11SH11SH. ... ... ആർ
ഈ ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകാൻ, ഞങ്ങൾ മൂല്യങ്ങളുടെ ശ്രേണികൾ രചിക്കുന്നു
(0.1) * ന്റെ കൃത്യതയോടെ കുറവും അധികവും. ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കുന്നു
1,6; 1,62; 1,624; 1,6241; …, (1)
1,7; 1,63; 1,625; 1,6242; . . . (2)
നമ്പർ 2 ന്റെ ശക്തികളുടെ അനുബന്ധ ശ്രേണികൾ നമുക്ക് രചിക്കാം:
2 എം. 2 എം *; 21 * 624; 21'62 * 1; ..., (3)
21 ഡി. 21 "63; 2 * "62Ву 21.6; ... (4)
സീക്വൻസ് (3) അനുസരിച്ച് വർദ്ധിക്കുന്നു
(1) (സിദ്ധാന്തം 2 § 6).
സീക്വൻസ് കുറയുന്നതിനാൽ സീക്വൻസ് (4) കുറയുന്നു
(2).
സീക്വൻസിലെ ഓരോ അംഗവും (3) സീക്വൻസിലെ ഓരോ അംഗത്തേക്കാളും കുറവാണ്
(4), അങ്ങനെ ക്രമം (3) പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു
മുകളിൽ നിന്ന്, ശ്രേണി (4) ചുവടെ നിന്ന് പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു.
മോണോടോൺ ബൗണ്ടഡ് സീക്വൻസ് സിദ്ധാന്തത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി
(3), (4) സീക്വൻസുകൾക്ക് ഓരോ പരിധിയുണ്ട്. എങ്കിൽ

യുക്തിരഹിതമായ സൂചകമുള്ള ഡിഗ്രിയുടെ ആശയം . .

ഇപ്പോൾ, (4), (3) സീക്വൻസുകളുടെ വ്യത്യാസം സംയോജിക്കുന്നു
പൂജ്യത്തിലേക്ക്, ഈ രണ്ട് സീക്വൻസുകളും ഇതിൽ നിന്ന് പിന്തുടരും,
ഒരു പൊതു പരിധി ഉണ്ട്.
(3), (4) സീക്വൻസുകളുടെ ആദ്യ നിബന്ധനകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം
21-7 - 21 '* \u003d 2 |, ൽ (20 * 1 - 1)< 4 (У 2 - 1).
രണ്ടാമത്തെ പദങ്ങളുടെ വ്യത്യാസം
21'63 - 21.62 \u003d 21.62 (2 ° '01 - 1)< 4 (l0 j/2f - 1) и т. д.
ഒൻപതാമത്തെ പദങ്ങളുടെ വ്യത്യാസം
0,0000. ..0 1
2\u003e. "" ... (2 "- 1)< 4 (l0“/ 2 - 1).
സിദ്ധാന്തം 3 § 6 അടിസ്ഥാനമാക്കി
lim 10 ″ / 2 \u003d 1.
അതിനാൽ, (3), (4) സീക്വൻസുകൾക്ക് ഒരു പൊതു പരിധിയുണ്ട്. ഈ
എന്നതിനേക്കാൾ വലുതായ ഒരേയൊരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയാണ് പരിധി
സീക്വൻസിലെ എല്ലാ അംഗങ്ങളുടെയും (3) സീക്വൻസിലെ എല്ലാ അംഗങ്ങളേക്കാളും കുറവ്
(4), ഇത് 2 * ന്റെ കൃത്യമായ മൂല്യം പരിഗണിക്കുന്നത് ഉചിതമാണ്.
പൊതുവായി അംഗീകരിക്കുന്നതാണ് ഉചിതമെന്ന് പറഞ്ഞതിൽ നിന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു
ഇനിപ്പറയുന്ന നിർവചനം:
നിർവചനം. ഒരു\u003e 1 ആണെങ്കിൽ, യുക്തിരഹിതമായ a യുടെ ബിരുദം
എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് a അത്തരമൊരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയാണ്,
അത് ഈ സംഖ്യയുടെ എല്ലാ ശക്തികളേക്കാളും വലുതാണ്, അവയുടെ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുകൾ
യുക്തിസഹമായ ഏകദേശ a ഒരു കുറവുള്ളതും എല്ലാ ഡിഗ്രികളിലും കുറവുമാണ്
ഈ സംഖ്യയിൽ, അവയുടെ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുകൾ യുക്തിസഹമായ ഏകദേശവും ഒപ്പം
അധിക.
അത് അങ്ങിനെയെങ്കിൽ<^ 1, то степенью числа а с иррациональным показателем а
എല്ലാ ശക്തികളേക്കാളും വലുതായ ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയെ വിളിക്കുന്നു
ഈ സംഖ്യയിൽ, അതിന്റെ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുകൾ യുക്തിസഹമായ ഏകദേശങ്ങളാണ് a
ഈ സംഖ്യയുടെ എല്ലാ ശക്തികളേക്കാളും കുറവാണ്, അതിൻറെ സൂചകങ്ങൾ
- യുക്തിസഹമായ ഏകദേശ കണക്കുകളും ഒരു പോരായ്മയുമുണ്ട്.
A- 1 ആണെങ്കിൽ, യുക്തിരഹിതമായ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുള്ള അതിന്റെ ബിരുദം a
1 ആണ്.
ഒരു പരിധി എന്ന ആശയം ഉപയോഗിച്ച്, ഈ നിർവചനം രൂപപ്പെടുത്താൻ കഴിയും
അതിനാൽ:
യുക്തിരഹിതമായ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുള്ള പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ ശക്തി
a എന്നത് സീക്വൻസ് പ്രവണത കാണിക്കുന്ന പരിധിയാണ്
ഈ സംഖ്യയുടെ യുക്തിസഹമായ ശക്തികൾ, ഈ ശ്രേണി നൽകുന്നു
ഈ ഡിഗ്രികളുടെ സൂചകങ്ങൾ a, അതായത്.
aa \u003d ലിം aH
ബി - *
13 ഡി, കെ. ഫാറ്റ്ഷീവ്, ഐ. എസ്. സോമിൻസ്കി

യുക്തിസഹമായ സൂചകത്തോടുകൂടിയ ബിരുദം, അതിന്റെ സവിശേഷതകൾ.

എക്സ്പ്രഷൻ a n n≤0 ന് a \u003d 0 എന്ന കേസ് ഒഴികെ എല്ലാ a, n നും നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു. അത്തരം ഡിഗ്രികളുടെ ഗുണവിശേഷങ്ങൾ നമുക്ക് ഓർമ്മിക്കാം.

A, b, ഏത് സംഖ്യകൾക്കും m, n എന്നിവ തുല്യമാണ്.

A m * a n \u003d a m + n; a m: a n \u003d a m-n (a 0); (a m) n \u003d a mn; (ab) n \u003d a n * b n; (ബി ≠ 0); a 1 \u003d a; a 0 \u003d 1 (a 0).

ഇനിപ്പറയുന്ന സ്വത്തും ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു:

M\u003e n ആണെങ്കിൽ, a\u003e 1 ന് ഒരു m\u003e a n ഉം m ഉം<а n при 0<а<1.

ഈ ഉപവിഭാഗത്തിൽ, ഒരു സംഖ്യയുടെ ശക്തി എന്ന ആശയം ഞങ്ങൾ സാമാന്യവൽക്കരിക്കുന്നു, 2 പോലുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങൾക്ക് അർത്ഥം നൽകുന്നു 0.3 , 8 5/7 , 4 -1/2 അങ്ങനെ. ഒരു നിർവചനം നൽകുന്നത് സ്വാഭാവികമാണ്, അതിനാൽ യുക്തിസഹമായ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുകളുള്ള ഡിഗ്രികൾക്ക് മുഴുവൻ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുമുള്ള ഡിഗ്രികൾക്ക് തുല്യമായ ഗുണങ്ങളുണ്ട് (അല്ലെങ്കിൽ അവയുടെ ഭാഗമെങ്കിലും). പിന്നെ, പ്രത്യേകിച്ചും, സംഖ്യയുടെ ഒൻപതാം ശക്തി a ന് തുല്യമായിരിക്കണം മീ ... തീർച്ചയായും, സ്വത്താണെങ്കിൽ

(a p) q \u003d a pq

നടപ്പിലാക്കുന്നു, തുടർന്ന്

അവസാന സമത്വം എന്നതിനർത്ഥം (ഒൻപതാമത്തെ റൂട്ടിന്റെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്) അക്കമാണ് a എന്ന സംഖ്യയുടെ ഒൻപതാമത്തെ റൂട്ട് ആയിരിക്കണം മീ.

നിർവചനം.

യുക്തിസഹമായ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുള്ള a \u003d 0 എന്ന സംഖ്യയുടെ ഡിഗ്രി, ഇവിടെ m ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയും n ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയുമാണ് (n\u003e 1), സംഖ്യ

അതിനാൽ, നിർവചനം അനുസരിച്ച്

(1)

പോസിറ്റീവ് സൂചകങ്ങൾക്ക് മാത്രം 0 എന്ന സംഖ്യയുടെ ശക്തി നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു; നിർവചനം പ്രകാരം 0 ഏത് r\u003e 0 നും r \u003d 0.

യുക്തിരഹിതമായ സൂചകമുള്ള ബിരുദം.

യുക്തിരഹിതമായ നമ്പർആയി പ്രതിനിധീകരിക്കാംയുക്തിസഹ സംഖ്യകളുടെ ശ്രേണിയുടെ പരിധി: .

ആകട്ടെ. പിന്നെ യുക്തിസഹമായ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുള്ള ഡിഗ്രികളുണ്ട്. ഈ ഡിഗ്രികളുടെ ക്രമം ഒത്തുചേരുന്നുവെന്ന് തെളിയിക്കാനാകും. ഈ ശ്രേണിയുടെ പരിധി വിളിക്കുന്നു ന്യായീകരണവും യുക്തിരഹിതമായ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റും ഉള്ള ബിരുദം: .

Y \u003d 2 ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫിന്റെ നിരവധി പോയിന്റുകൾ വരയ്ക്കാം x ഒരു കാൽക്കുലേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് മൂല്യം 2 മുൻകൂട്ടി കണക്കാക്കുന്നു x വിഭാഗത്തിൽ [–2; 3] 1/4 (ചിത്രം 1, എ), തുടർന്ന് 1/8 (ചിത്രം 1, ബി) ഉപയോഗിച്ച്. 1/16, 1/32 എന്ന ഘട്ടത്തിലൂടെ മാനസികമായി അതേ നിർമ്മാണങ്ങൾ തുടരുക മുതലായവ, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പോയിന്റുകൾ ഒരു മിനുസമാർന്ന വക്രത്തിലൂടെ ബന്ധിപ്പിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണുന്നു, ഇത് ചില ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫ് പരിഗണിക്കുന്നത് സ്വാഭാവികമാണ്, നിർവചിക്കുകയും ഇതിനകം തന്നെ മുഴുവൻ നമ്പർ ലൈനിൽ വർദ്ധിക്കുകയും മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുകയും ചെയ്യുന്നു യുക്തിസഹമായ പോയിന്റുകളിൽ (ചിത്രം 1, സി). ആവശ്യത്തിന് പണിതു വലിയ സംഖ്യ ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫ് പോയിന്റുകൾ, ഈ ഫംഗ്ഷനും സമാന ഗുണങ്ങളുണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾക്ക് സ്ഥിരീകരിക്കാൻ കഴിയും (വ്യത്യാസം ഫംഗ്ഷനാണ് R കുറയുന്നു).

നിങ്ങൾക്ക് 2 അക്കങ്ങൾ നിർവചിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് ഈ നിരീക്ഷണങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നു α ഉം ഓരോ യുക്തിരഹിതത്തിനും y അതായത് y \u003d 2 സൂത്രവാക്യങ്ങൾ നിർവചിക്കുന്ന പ്രവർത്തനങ്ങൾ x ഉം തുടരും, y \u003d 2 എന്ന ഫംഗ്ഷനും x വർദ്ധിക്കുന്നു, ഒപ്പം പ്രവർത്തനം മുഴുവൻ നമ്പർ ലൈനിലും കുറയുന്നു.

എ എന്ന സംഖ്യ എങ്ങനെയെന്ന് പൊതുവായി വിവരിക്കാം α യുക്തിരഹിതമായ for a\u003e 1 ന്. Y \u003d a എന്ന ഫംഗ്ഷൻ നേടാൻ ഞങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നു x വർദ്ധിച്ചുകൊണ്ടിരുന്നു. പിന്നെ ഏതെങ്കിലും യുക്തിസഹമായ r 1 ഉം r 2 ഉം r 1<α അസമത്വങ്ങൾ നിറവേറ്റണം a r 1<а α <а r 1 .

മൂല്യങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു r 1, r 2 x- നെ സമീപിക്കുമ്പോൾ, a യുടെ അനുബന്ധ മൂല്യങ്ങൾ നമുക്ക് കാണാം r 1 ഉം ഒരു r 2 ഉം കുറച്ച് വ്യത്യാസമുണ്ടാകും. എല്ലാറ്റിനേക്കാളും വലുതായ ഒരു സംഖ്യ y മാത്രമേ ഉള്ളൂവെന്ന് തെളിയിക്കാനാകും r 1 എല്ലാ യുക്തിസഹമായ ആർ 1, ഏറ്റവും കുറഞ്ഞത് ഒരു r 2 എല്ലാ യുക്തിസഹമായ ആർ 2 ... ഈ സംഖ്യ y നിർവചനം അനുസരിച്ച് a α .

ഉദാഹരണത്തിന്, മൂല്യം 2 കണക്കാക്കുന്നു x പോയിന്റുകളിൽ x n, x` n, ഇവിടെ x n, x` n - ഒരു സംഖ്യയുടെ ദശാംശ ഏകദേശങ്ങൾ അടുത്തുള്ള x എന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തും n, x` n കെ , വ്യത്യാസം 2 ആണ് x n ഉം 2 x` n ഉം.

അന്ന് മുതൽ

അതിനാൽ

അതുപോലെ, ഇനിപ്പറയുന്ന ദശാംശ ഏകദേശങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക കുറവും അമിതവും കാരണം ഞങ്ങൾ അനുപാതങ്ങളിൽ എത്തിച്ചേരുന്നു

;

;

;

;

.

മൂല്യം കാൽക്കുലേറ്ററിൽ കണക്കാക്കുന്നത് ഇപ്രകാരമാണ്:

.

നമ്പർ a α 0 ന്<α<1. Кроме того полагают 1 α ഏതെങ്കിലും α, 0 എന്നിവയ്\u200cക്ക് \u003d 1 α\u003e 0 ന് α \u003d 0.

എക്\u200cസ്\u200cപോണൻഷ്യൽ പ്രവർത്തനം.

എപ്പോൾ a > 0, a = 1, പ്രവർത്തനം നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു y \u003d a x സ്ഥിരമല്ലാതെ. ഈ സവിശേഷതയെ വിളിക്കുന്നു എക്\u200cസ്\u200cപോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻഅടിസ്ഥാനവുമായിa.

y\u003d a x at a> 1:

അടിസ്ഥാന 0 ഉള്ള എക്\u200cസ്\u200cപോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫുകൾ< a < 1 и a \u003e 1 ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു.

അടിസ്ഥാന സവിശേഷതകൾ എക്\u200cസ്\u200cപോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ y\u003d a x 0 ന്< a < 1:

• ഫംഗ്ഷന്റെ ഡൊമെയ്ൻ മുഴുവൻ നമ്പർ ലൈനാണ്.
• പ്രവർത്തന ശ്രേണി - സ്\u200cപാൻ (0; + ) .
• ഫംഗ്ഷൻ മുഴുവൻ നമ്പർ ലൈനിൽ കർശനമായി ഏകതാനമായി വർദ്ധിക്കുന്നു, അതായത് x 1 < x 2, പിന്നെ ഒരു x 1 \u003e ഒരു x 2 .
• എപ്പോൾ x \u003d 0, പ്രവർത്തന മൂല്യം 1 ആണ്.
• എങ്കിൽ x\u003e 0, തുടർന്ന് 0< a < 1 എങ്കിൽ x < 0, то ഒരു x > 1.
TO പൊതു സവിശേഷതകൾ എക്\u200cസ്\u200cപോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ 0< a < 1, так и при a\u003e 1 ഉൾപ്പെടുന്നു:
• a x 1 a x 2 = a x 1 + x 2, എല്ലാവർക്കും x 1 ഒപ്പം x 2.
• a - x= ( a x) − 1 = 1 ax ആർക്കും x.
• na x= a

യുക്തിസഹമായ സൂചകത്തോടുകൂടിയ ബിരുദം, അതിന്റെ സവിശേഷതകൾ.

എക്സ്പ്രഷൻ a n n≤0 ന് a \u003d 0 എന്ന കേസ് ഒഴികെ എല്ലാ a, n നും നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു. അത്തരം ഡിഗ്രികളുടെ ഗുണവിശേഷങ്ങൾ നമുക്ക് ഓർമ്മിക്കാം.

A, b, ഏത് സംഖ്യകൾക്കും m, n എന്നിവ തുല്യമാണ്.

A m * a n \u003d a m + n; a m: a n \u003d a m-n (a 0); (a m) n \u003d a mn; (ab) n \u003d a n * b n; (ബി ≠ 0); a 1 \u003d a; a 0 \u003d 1 (a 0).

ഇനിപ്പറയുന്ന സ്വത്തും ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു:

M\u003e n ആണെങ്കിൽ, a\u003e 1 ന് ഒരു m\u003e a n ഉം m ഉം<а n при 0<а<1.

ഈ ഉപവിഭാഗത്തിൽ, ഒരു സംഖ്യയുടെ ശക്തി എന്ന ആശയം ഞങ്ങൾ സാമാന്യവൽക്കരിക്കുന്നു, 2 പോലുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങൾക്ക് അർത്ഥം നൽകുന്നു 0.3 , 8 5/7 , 4 -1/2 അങ്ങനെ. ഒരു നിർവചനം നൽകുന്നത് സ്വാഭാവികമാണ്, അതിനാൽ യുക്തിസഹമായ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുകളുള്ള ഡിഗ്രികൾക്ക് മുഴുവൻ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുമുള്ള ഡിഗ്രികൾക്ക് തുല്യമായ ഗുണങ്ങളുണ്ട് (അല്ലെങ്കിൽ അവയുടെ ഭാഗമെങ്കിലും). പിന്നെ, പ്രത്യേകിച്ചും, സംഖ്യയുടെ ഒൻപതാം ശക്തി a ന് തുല്യമായിരിക്കണം മീ ... തീർച്ചയായും, സ്വത്താണെങ്കിൽ

(a p) q \u003d a pq

നടപ്പിലാക്കുന്നു, തുടർന്ന്

അവസാന സമത്വം എന്നതിനർത്ഥം (ഒൻപതാമത്തെ റൂട്ടിന്റെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്) അക്കമാണ് a എന്ന സംഖ്യയുടെ ഒൻപതാമത്തെ റൂട്ട് ആയിരിക്കണം മീ.

നിർവചനം.

യുക്തിസഹമായ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുള്ള a \u003d 0 എന്ന സംഖ്യയുടെ ഡിഗ്രി, ഇവിടെ m ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയും n ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയുമാണ് (n\u003e 1), സംഖ്യ

അതിനാൽ, നിർവചനം അനുസരിച്ച്

(1)

പോസിറ്റീവ് സൂചകങ്ങൾക്ക് മാത്രം 0 എന്ന സംഖ്യയുടെ ശക്തി നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു; നിർവചനം പ്രകാരം 0 ഏത് r\u003e 0 നും r \u003d 0.

യുക്തിരഹിതമായ സൂചകമുള്ള ബിരുദം.

യുക്തിരഹിതമായ നമ്പർആയി പ്രതിനിധീകരിക്കാംയുക്തിസഹ സംഖ്യകളുടെ ശ്രേണിയുടെ പരിധി: .

ആകട്ടെ. പിന്നെ യുക്തിസഹമായ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റുള്ള ഡിഗ്രികളുണ്ട്. ഈ ഡിഗ്രികളുടെ ക്രമം ഒത്തുചേരുന്നുവെന്ന് തെളിയിക്കാനാകും. ഈ ശ്രേണിയുടെ പരിധി വിളിക്കുന്നു ന്യായീകരണവും യുക്തിരഹിതമായ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റും ഉള്ള ബിരുദം: .

Y \u003d 2 ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫിന്റെ നിരവധി പോയിന്റുകൾ വരയ്ക്കാം x ഒരു കാൽക്കുലേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് മൂല്യം 2 മുൻകൂട്ടി കണക്കാക്കുന്നു x വിഭാഗത്തിൽ [–2; 3] 1/4 (ചിത്രം 1, എ), തുടർന്ന് 1/8 (ചിത്രം 1, ബി) ഉപയോഗിച്ച്. 1/16, 1/32 എന്ന ഘട്ടത്തിലൂടെ മാനസികമായി അതേ നിർമ്മാണങ്ങൾ തുടരുക മുതലായവ, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പോയിന്റുകൾ ഒരു മിനുസമാർന്ന വക്രത്തിലൂടെ ബന്ധിപ്പിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണുന്നു, ഇത് ചില ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫ് പരിഗണിക്കുന്നത് സ്വാഭാവികമാണ്, നിർവചിക്കുകയും ഇതിനകം തന്നെ മുഴുവൻ നമ്പർ ലൈനിൽ വർദ്ധിക്കുകയും മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുകയും ചെയ്യുന്നു യുക്തിസഹമായ പോയിന്റുകളിൽ (ചിത്രം 1, സി). ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫിന്റെ മതിയായ എണ്ണം പോയിന്റുകൾ നിർമ്മിച്ച ശേഷം, ഈ ഫംഗ്ഷനും സമാന ഗുണങ്ങളുണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾക്ക് സ്ഥിരീകരിക്കാൻ കഴിയും (വ്യത്യാസം ഫംഗ്ഷനാണ് R കുറയുന്നു).

നിങ്ങൾക്ക് 2 അക്കങ്ങൾ നിർവചിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് ഈ നിരീക്ഷണങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നു α ഉം ഓരോ യുക്തിരഹിതത്തിനും y അതായത് y \u003d 2 സൂത്രവാക്യങ്ങൾ നിർവചിക്കുന്ന പ്രവർത്തനങ്ങൾ x ഉം തുടരും, y \u003d 2 എന്ന ഫംഗ്ഷനും x വർദ്ധിക്കുന്നു, ഒപ്പം പ്രവർത്തനം മുഴുവൻ നമ്പർ ലൈനിലും കുറയുന്നു.

എ എന്ന സംഖ്യ എങ്ങനെയെന്ന് പൊതുവായി വിവരിക്കാം α യുക്തിരഹിതമായ for a\u003e 1 ന്. Y \u003d a എന്ന ഫംഗ്ഷൻ നേടാൻ ഞങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നു x വർദ്ധിച്ചുകൊണ്ടിരുന്നു. പിന്നെ ഏതെങ്കിലും യുക്തിസഹമായ r 1 ഉം r 2 ഉം r 1<α അസമത്വങ്ങൾ നിറവേറ്റണം a r 1<а α <а r 1 .

മൂല്യങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു r 1, r 2 x- നെ സമീപിക്കുമ്പോൾ, a യുടെ അനുബന്ധ മൂല്യങ്ങൾ നമുക്ക് കാണാം r 1 ഉം ഒരു r 2 ഉം കുറച്ച് വ്യത്യാസമുണ്ടാകും. എല്ലാറ്റിനേക്കാളും വലുതായ ഒരു സംഖ്യ y മാത്രമേ ഉള്ളൂവെന്ന് തെളിയിക്കാനാകും r 1 എല്ലാ യുക്തിസഹമായ ആർ 1, ഏറ്റവും കുറഞ്ഞത് ഒരു r 2 എല്ലാ യുക്തിസഹമായ ആർ 2 ... ഈ സംഖ്യ y നിർവചനം അനുസരിച്ച് a α .

ഉദാഹരണത്തിന്, മൂല്യം 2 കണക്കാക്കുന്നു x പോയിന്റുകളിൽ x n, x` n, ഇവിടെ x n, x` n - ഒരു സംഖ്യയുടെ ദശാംശ ഏകദേശങ്ങൾ അടുത്തുള്ള x എന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തും n, x` n കെ , വ്യത്യാസം 2 ആണ് x n ഉം 2 x` n ഉം.

അന്ന് മുതൽ

അതിനാൽ

അതുപോലെ, ഇനിപ്പറയുന്ന ദശാംശ ഏകദേശങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക കുറവും അമിതവും കാരണം ഞങ്ങൾ അനുപാതങ്ങളിൽ എത്തിച്ചേരുന്നു

;

;

;

;

.

മൂല്യം കാൽക്കുലേറ്ററിൽ കണക്കാക്കുന്നത് ഇപ്രകാരമാണ്:

.

നമ്പർ a α 0 ന്<α<1. Кроме того полагают 1 α ഏതെങ്കിലും α, 0 എന്നിവയ്\u200cക്ക് \u003d 1 α\u003e 0 ന് α \u003d 0.

എക്\u200cസ്\u200cപോണൻഷ്യൽ പ്രവർത്തനം.

എപ്പോൾ a > 0, a = 1, പ്രവർത്തനം നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു y \u003d a x സ്ഥിരമല്ലാതെ. ഈ സവിശേഷതയെ വിളിക്കുന്നു എക്\u200cസ്\u200cപോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻഅടിസ്ഥാനവുമായിa.

y\u003d a x at a> 1:

അടിസ്ഥാന 0 ഉള്ള എക്\u200cസ്\u200cപോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫുകൾ< a < 1 и a \u003e 1 ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു.

എക്\u200cസ്\u200cപോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷന്റെ അടിസ്ഥാന സവിശേഷതകൾ y\u003d a x 0 ന്< a < 1:

• ഫംഗ്ഷന്റെ ഡൊമെയ്ൻ മുഴുവൻ നമ്പർ ലൈനാണ്.
• പ്രവർത്തന ശ്രേണി - സ്\u200cപാൻ (0; + ) .
• ഫംഗ്ഷൻ മുഴുവൻ നമ്പർ ലൈനിൽ കർശനമായി ഏകതാനമായി വർദ്ധിക്കുന്നു, അതായത് x 1 < x 2, പിന്നെ ഒരു x 1 \u003e ഒരു x 2 .
• എപ്പോൾ x \u003d 0, പ്രവർത്തന മൂല്യം 1 ആണ്.
• എങ്കിൽ x\u003e 0, തുടർന്ന് 0< a < 1 എങ്കിൽ x < 0, то ഒരു x > 1.
എക്\u200cസ്\u200cപോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്\u200cഷന്റെ പൊതു സവിശേഷതകൾ 0< a < 1, так и при a\u003e 1 ഉൾപ്പെടുന്നു:
• a x 1 a x 2 = a x 1 + x 2, എല്ലാവർക്കും x 1 ഒപ്പം x 2.
• a - x= ( a x) − 1 = 1 ax ആർക്കും x.
• na x= a

വിവര ബൂം ബയോളജിയിൽ - ഓസ്\u200cട്രേലിയയിലെ പെട്രി വിഭവത്തിലെ മൈക്രോബയൽ കോളനികൾ ചെയിൻ പ്രതികരണങ്ങൾ - രസതന്ത്രത്തിൽ ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിൽ - റേഡിയോ ആക്ടീവ് ക്ഷയം, മാറ്റം അന്തരീക്ഷമർദ്ദം ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിൽ - റേഡിയോ ആക്ടീവ് ക്ഷയം, ഉയരത്തിൽ മാറ്റം, ശരീരത്തെ തണുപ്പിക്കൽ എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച് അന്തരീക്ഷമർദ്ദത്തിലെ മാറ്റം. രക്തത്തിലേക്ക് അഡ്രിനാലിൻ പുറന്തള്ളുന്നതും അതിന്റെ നാശവും ഓരോ 10 വർഷത്തിലും വിവരങ്ങളുടെ അളവ് ഇരട്ടിയാകുന്നുവെന്നും വിവരങ്ങളുടെ അളവ് ഓരോ 10 വർഷത്തിലും ഇരട്ടിയാകുമെന്നും അവർ അവകാശപ്പെടുന്നു.

(3/5) -1 a 1 3 1/2 (4/9) 0 a * 81 (1/2) -3 a -n 36 1/2 * 8 1 / / 3 2 -3.5

എക്സ്പ്രഷൻ 2 x 2 2 \u003d 4 2 5 \u003d \u003d 1/2 1/2 \u003d 1/16 2 4/3 \u003d 32 4 \u003d, 5 \u003d 1/2 3.5 \u003d 1/2 7 \u003d 1 / (8 2) \u003d 2 / 16 2) \u003d

3 \u003d 1, ... 1; 1.7 1.73; 1.732, 1.73205; 1 ,;… ശ്രേണി 2 1 വർദ്ധിക്കുന്നു; 2 1.7; 2 1.73; 2 1.732; 2 1.73205; 2 1 ,;… ശ്രേണി പരിമിതപ്പെടുത്തുന്നു, അതിനാൽ ഒരു പരിധിയിലേക്ക് സംയോജിക്കുന്നു - മൂല്യം 2 3

ഒരാൾക്ക് π 0 നിർവചിക്കാം

10 10 18 Y \u003d a x n \\ n a\u003e 10 10 10 10 10 title \u003d "(! LANG: y \u003d a x n \\ n a\u003e 10 21 എന്ന ഫംഗ്ഷന്റെ സവിശേഷതകൾ

ഓരോ 10 വർഷത്തിലും വിവരങ്ങളുടെ അളവ് ഇരട്ടിയാകുന്നു ഓക്സ് അക്ഷത്തിൽ - ഗണിത പുരോഗതിയുടെ നിയമമനുസരിച്ച്: 1,2,3,4…. Oy അക്ഷത്തിൽ - നിയമപ്രകാരം ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി: 2 1.2 2.2 3.2 4 ... എക്\u200cസ്\u200cപോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫിനെ ഇതിനെ എക്\u200cസ്\u200cപോണന്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു (ലാറ്റിൻ എക്\u200cസ്\u200cപോണറിൽ നിന്ന് - കാണിക്കാൻ)