ഓരോ സ്വാഭാവിക സംഖ്യയും ആണെങ്കിൽ എൻ ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുത്തുക ഒരു എൻ , അപ്പോൾ അവർ പറഞ്ഞു കൊടുത്തു എന്ന് സംഖ്യാ ക്രമം :

എ 1 , എ 2 , എ 3 , . . . , ഒരു എൻ , . . . .

അതിനാൽ, ഒരു സംഖ്യാക്രമം ഒരു സ്വാഭാവിക വാദത്തിന്റെ പ്രവർത്തനമാണ്.

നമ്പർ എ 1 വിളിച്ചു ശ്രേണിയിലെ ആദ്യ അംഗം , നമ്പർ എ 2 — ക്രമത്തിലെ രണ്ടാമത്തെ അംഗം , നമ്പർ എ 3 — മൂന്നാമത്തേത് ഇത്യാദി. നമ്പർ ഒരു എൻ വിളിച്ചു n-ാം അംഗംക്രമങ്ങൾ , കൂടാതെ സ്വാഭാവിക സംഖ്യയും എൻ — അവന്റെ നമ്പർ .

രണ്ട് അയൽക്കാരിൽ നിന്ന് ഒരു എൻ ഒപ്പം ഒരു എൻ +1 അംഗ ക്രമങ്ങൾ ഒരു എൻ +1 വിളിച്ചു തുടർന്നുള്ള (നേരെ ഒരു എൻ ), എ ഒരു എൻ — മുമ്പത്തെ (നേരെ ഒരു എൻ +1 ).

ഒരു സീക്വൻസ് വ്യക്തമാക്കുന്നതിന്, ഏത് നമ്പറിലും ഒരു സീക്വൻസ് അംഗത്തെ കണ്ടെത്താൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്ന ഒരു രീതി നിങ്ങൾ വ്യക്തമാക്കേണ്ടതുണ്ട്.

കൂടെയാണ് പലപ്പോഴും ക്രമം നൽകിയിരിക്കുന്നത് nth term ഫോർമുലകൾ , അതായത്, ഒരു സീക്വൻസ് അംഗത്തെ അതിന്റെ നമ്പർ അനുസരിച്ച് നിർണ്ണയിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്ന ഒരു ഫോർമുല.

ഉദാഹരണത്തിന്,

പോസിറ്റീവ് ഒറ്റ സംഖ്യകളുടെ ഒരു ശ്രേണി ഫോർമുല വഴി നൽകാം

ഒരു എൻ= 2n- 1,

ആൾട്ടർനേറ്റ് ചെയ്യുന്നതിന്റെ ക്രമവും 1 ഒപ്പം -1 - ഫോർമുല

ബിഎൻ = (-1)എൻ +1 . ◄

ക്രമം നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയും ആവർത്തിച്ചുള്ള ഫോർമുല, അതായത്, ചിലതിൽ തുടങ്ങി, മുമ്പത്തെ (ഒന്നോ അതിലധികമോ) അംഗങ്ങളിലൂടെ, ക്രമത്തിലെ ഏതെങ്കിലും അംഗത്തെ പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന ഒരു സൂത്രവാക്യം.

ഉദാഹരണത്തിന്,

എങ്കിൽ എ 1 = 1 , എ ഒരു എൻ +1 = ഒരു എൻ + 5

എ 1 = 1,

എ 2 = എ 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

എ 3 = എ 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

എ 4 = എ 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

എ 5 = എ 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

അത് അങ്ങിനെയെങ്കിൽ a 1= 1, ഒരു 2 = 1, ഒരു എൻ +2 = ഒരു എൻ + ഒരു എൻ +1 , സംഖ്യാ ശ്രേണിയിലെ ആദ്യത്തെ ഏഴ് അംഗങ്ങളെ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ സജ്ജീകരിച്ചിരിക്കുന്നു:

a 1 = 1,

ഒരു 2 = 1,

ഒരു 3 = a 1 + ഒരു 2 = 1 + 1 = 2,

ഒരു 4 = ഒരു 2 + ഒരു 3 = 1 + 2 = 3,

ഒരു 5 = ഒരു 3 + ഒരു 4 = 2 + 3 = 5,

എ 6 = എ 4 + എ 5 = 3 + 5 = 8,

എ 7 = എ 5 + എ 6 = 5 + 8 = 13. ◄

സീക്വൻസുകൾ ആകാം ഫൈനൽ ഒപ്പം അനന്തമായ .

ക്രമം വിളിക്കുന്നു ആത്യന്തികമായ അതിന് പരിമിതമായ അംഗങ്ങൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ. ക്രമം വിളിക്കുന്നു അനന്തമായ അതിന് അനന്തമായി ധാരാളം അംഗങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ.

ഉദാഹരണത്തിന്,

രണ്ട് അക്ക സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ക്രമം:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

ഫൈനൽ.

പ്രൈം നമ്പർ സീക്വൻസ്:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

അനന്തമായ. ◄

ക്രമം വിളിക്കുന്നു വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന , അതിന്റെ ഓരോ അംഗവും, രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നത്, മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ വലുതാണെങ്കിൽ.

ക്രമം വിളിക്കുന്നു ക്ഷയിക്കുന്നു , അതിന്റെ ഓരോ അംഗവും, രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നത്, മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ കുറവാണെങ്കിൽ.

ഉദാഹരണത്തിന്,

2, 4, 6, 8, . . . , 2എൻ, . . . ഒരു ആരോഹണ ക്രമമാണ്;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /എൻ, . . . ഒരു അവരോഹണ ക്രമമാണ്. ◄

സംഖ്യ കൂടുന്നതിനനുസരിച്ച് മൂലകങ്ങൾ കുറയാത്തതോ അല്ലെങ്കിൽ, വർദ്ധിക്കാത്തതോ ആയ ഒരു ശ്രേണിയെ വിളിക്കുന്നു ഏകതാനമായ ക്രമം .

മോണോടോണിക് സീക്വൻസുകൾ, പ്രത്യേകിച്ച്, സീക്വൻസുകൾ വർദ്ധിപ്പിക്കുകയും സീക്വൻസുകൾ കുറയുകയും ചെയ്യുന്നു.

ഗണിത പുരോഗതി

ഗണിത പുരോഗതി ഒരു ശ്രേണിയെ വിളിക്കുന്നു, ഓരോ അംഗവും, രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നത്, മുമ്പത്തേതിന് തുല്യമാണ്, അതേ സംഖ്യ ചേർത്തിരിക്കുന്നു.

എ 1 , എ 2 , എ 3 , . . . , ഒരു എൻ, . . .

ഏതെങ്കിലും സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണെങ്കിൽ ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയാണ് എൻ വ്യവസ്ഥ പാലിക്കുന്നു:

ഒരു എൻ +1 = ഒരു എൻ + ഡി,

എവിടെ ഡി - കുറച്ച് നമ്പർ.

അങ്ങനെ, നൽകിയിരിക്കുന്നതിന്റെ അടുത്തതും മുമ്പത്തെ അംഗങ്ങളും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം ഗണിത പുരോഗതിഎപ്പോഴും സ്ഥിരം:

ഒരു 2 - എ 1 = ഒരു 3 - എ 2 = . . . = ഒരു എൻ +1 - ഒരു എൻ = ഡി.

നമ്പർ ഡി വിളിച്ചു ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ വ്യത്യാസം.

ഒരു ഗണിത പുരോഗതി സജ്ജീകരിക്കുന്നതിന്, അതിന്റെ ആദ്യ പദവും വ്യത്യാസവും വ്യക്തമാക്കിയാൽ മതിയാകും.

ഉദാഹരണത്തിന്,

എങ്കിൽ എ 1 = 3, ഡി = 4 , തുടർന്ന് ക്രമത്തിന്റെ ആദ്യ അഞ്ച് നിബന്ധനകൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ കാണാം:

a 1 =3,

ഒരു 2 = a 1 + ഡി = 3 + 4 = 7,

ഒരു 3 = ഒരു 2 + ഡി= 7 + 4 = 11,

ഒരു 4 = ഒരു 3 + ഡി= 11 + 4 = 15,

എ 5 = എ 4 + ഡി= 15 + 4 = 19. ◄

ആദ്യ ടേമിനൊപ്പം ഒരു ഗണിത പുരോഗതിക്കായി എ 1 വ്യത്യാസവും ഡി അവളുടെ എൻ

ഒരു എൻ = a 1 + (എൻ- 1)ഡി.

ഉദാഹരണത്തിന്,

ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ മുപ്പതാം പദം കണ്ടെത്തുക

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, ഡി = 3,

ഒരു 30 = a 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

ഒരു n-1 = a 1 + (എൻ- 2)d,

ഒരു എൻ= a 1 + (എൻ- 1)d,

ഒരു എൻ +1 = എ 1 + nd,

അപ്പോൾ വ്യക്തമായി

രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്ന ഗണിത പുരോഗതിയിലെ ഓരോ അംഗവും മുമ്പത്തേതും തുടർന്നുള്ളതുമായ അംഗങ്ങളുടെ ഗണിത ശരാശരിക്ക് തുല്യമാണ്.

എ, ബി, സി എന്നീ സംഖ്യകൾ ചില ഗണിത പുരോഗതിയുടെ തുടർച്ചയായ അംഗങ്ങളാണ്, അവയിലൊന്ന് മറ്റ് രണ്ടിന്റെയും ഗണിത ശരാശരിക്ക് തുല്യമാണെങ്കിൽ മാത്രം.

ഉദാഹരണത്തിന്,

ഒരു എൻ = 2എൻ- 7 , ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയാണ്.

നമുക്ക് മുകളിലുള്ള പ്രസ്താവന ഉപയോഗിക്കാം. നമുക്ക് ഉണ്ട്:

ഒരു എൻ = 2എൻ- 7,

ഒരു n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2എൻ- 9,

ഒരു n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2എൻ- 5.

തൽഫലമായി,

◄

അതല്ല എൻ ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ -ആം പദം വഴി മാത്രമല്ല കണ്ടെത്താനാകും എ 1 , മാത്രമല്ല മുമ്പത്തെ ഏതെങ്കിലും ഒരു കെ

ഒരു എൻ = ഒരു കെ + (എൻ- കെ)ഡി.

ഉദാഹരണത്തിന്,

വേണ്ടി എ 5 എഴുതാം

ഒരു 5 = a 1 + 4ഡി,

ഒരു 5 = ഒരു 2 + 3ഡി,

ഒരു 5 = ഒരു 3 + 2ഡി,

ഒരു 5 = ഒരു 4 + ഡി. ◄

ഒരു എൻ = ഒരു എൻ-കെ + kd,

ഒരു എൻ = ഒരു n+k - kd,

അപ്പോൾ വ്യക്തമായി

ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയിലെ ഏതൊരു അംഗവും, രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നു, അതിൽ നിന്ന് തുല്യ അകലത്തിലുള്ള ഈ ഗണിത പുരോഗതിയിലെ അംഗങ്ങളുടെ പകുതി തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.

കൂടാതെ, ഏത് ഗണിത പുരോഗതിക്കും, സമത്വം ശരിയാണ്:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

ഉദാഹരണത്തിന്,

ഗണിത പുരോഗതിയിൽ

1) എ 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (എ 9 + എ 11 )/2;

2) 28 = ഒരു 10 = ഒരു 3 + 7ഡി= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) ഒരു 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, കാരണം

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

എസ് എൻ= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ ഒരു എൻ,

ആദ്യം എൻ ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയിലെ അംഗങ്ങൾ, പദങ്ങളുടെ എണ്ണം കൊണ്ട് അങ്ങേയറ്റത്തെ പദങ്ങളുടെ പകുതി തുകയുടെ ഗുണനത്തിന് തുല്യമാണ്:

ഇതിൽ നിന്ന്, പ്രത്യേകിച്ചും, നിബന്ധനകൾ സംഗ്രഹിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണെങ്കിൽ അത് പിന്തുടരുന്നു

ഒരു കെ, ഒരു കെ +1 , . . . , ഒരു എൻ,

അപ്പോൾ മുമ്പത്തെ ഫോർമുല അതിന്റെ ഘടന നിലനിർത്തുന്നു:

ഉദാഹരണത്തിന്,

ഗണിത പുരോഗതിയിൽ 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

എസ് 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = എസ് 10 - എസ് 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

ഒരു ഗണിത പുരോഗതി നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, അളവുകൾ എ 1 , ഒരു എൻ, ഡി, എൻഒപ്പംഎസ് എൻ രണ്ട് ഫോർമുലകളാൽ ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു:

അതിനാൽ, ഈ അളവുകളിൽ മൂന്നെണ്ണത്തിന്റെ മൂല്യങ്ങൾ നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, മറ്റ് രണ്ട് അളവുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ ഈ ഫോർമുലകളിൽ നിന്ന് രണ്ട് അജ്ഞാതങ്ങളുള്ള രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിലേക്ക് സംയോജിപ്പിച്ച് നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു.

ഒരു ഗണിത പുരോഗതി ഒരു ഏകതാന ശ്രേണിയാണ്. അതിൽ:

• എങ്കിൽ ഡി > 0 , അപ്പോൾ അത് വർദ്ധിക്കുന്നു;
• എങ്കിൽ ഡി < 0 , അപ്പോൾ അത് കുറയുന്നു;
• എങ്കിൽ ഡി = 0 , അപ്പോൾ ക്രമം നിശ്ചലമായിരിക്കും.

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി ഒരു ശ്രേണിയെ വിളിക്കുന്നു, ഓരോ അംഗവും, രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിച്ച്, മുമ്പത്തേതിന് തുല്യമാണ്, അതേ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ.

ബി 1 , ബി 2 , ബി 3 , . . . , ബി എൻ, . . .

ഏതെങ്കിലും സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണെങ്കിൽ ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയാണ് എൻ വ്യവസ്ഥ പാലിക്കുന്നു:

ബി എൻ +1 = ബി എൻ · q,

എവിടെ q ≠ 0 - കുറച്ച് നമ്പർ.

അതിനാൽ, ഈ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ അടുത്ത പദത്തിന്റെ അനുപാതം മുമ്പത്തേതിന് ഒരു സ്ഥിര സംഖ്യയാണ്:

ബി 2 / ബി 1 = ബി 3 / ബി 2 = . . . = ബി എൻ +1 / ബി എൻ = q.

നമ്പർ q വിളിച്ചു ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ.

ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി സജ്ജീകരിക്കുന്നതിന്, അതിന്റെ ആദ്യ പദവും ഡിനോമിനേറ്ററും വ്യക്തമാക്കിയാൽ മതിയാകും.

ഉദാഹരണത്തിന്,

എങ്കിൽ ബി 1 = 1, q = -3 , തുടർന്ന് ക്രമത്തിന്റെ ആദ്യ അഞ്ച് നിബന്ധനകൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ കാണാം:

ബി 1 = 1,

ബി 2 = ബി 1 · q = 1 · (-3) = -3,

ബി 3 = ബി 2 · q= -3 · (-3) = 9,

ബി 4 = ബി 3 · q= 9 · (-3) = -27,

ബി 5 = ബി 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

ബി 1 ഡിനോമിനേറ്ററും q അവളുടെ എൻ -ആം പദം ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താം:

ബി എൻ = ബി 1 · q n -1 .

ഉദാഹരണത്തിന്,

ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ഏഴാമത്തെ പദം കണ്ടെത്തുക 1, 2, 4, . . .

ബി 1 = 1, q = 2,

ബി 7 = ബി 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = ബി 1 · q n -2 ,

ബി എൻ = ബി 1 · q n -1 ,

ബി എൻ +1 = ബി 1 · q n,

അപ്പോൾ വ്യക്തമായി

ബി എൻ 2 = ബി എൻ -1 · ബി എൻ +1 ,

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിലെ ഓരോ അംഗവും, രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നത്, മുമ്പത്തേതും തുടർന്നുള്ളതുമായ അംഗങ്ങളുടെ ജ്യാമിതീയ ശരാശരി (ആനുപാതികം) തുല്യമാണ്.

സംഭാഷണവും ശരിയായതിനാൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന അവകാശവാദം നിലനിൽക്കുന്നു:

a, b, c എന്നീ സംഖ്യകൾ ചില ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ തുടർച്ചയായ അംഗങ്ങളാണ്, അവയിലൊന്നിന്റെ വർഗ്ഗം മറ്റ് രണ്ടിന്റെയും ഗുണനത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ മാത്രം, അതായത്, സംഖ്യകളിൽ ഒന്ന് മറ്റ് രണ്ടിന്റെയും ജ്യാമിതീയ ശരാശരിയാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്,

ഫോർമുല നൽകിയ ക്രമം തെളിയിക്കാം ബി എൻ= -3 2 എൻ , ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയാണ്. നമുക്ക് മുകളിലുള്ള പ്രസ്താവന ഉപയോഗിക്കാം. നമുക്ക് ഉണ്ട്:

ബി എൻ= -3 2 എൻ,

ബി എൻ -1 = -3 2 എൻ -1 ,

ബി എൻ +1 = -3 2 എൻ +1 .

തൽഫലമായി,

ബി എൻ 2 = (-3 2 എൻ) 2 = (-3 2 എൻ -1 ) (-3 2 എൻ +1 ) = ബി എൻ -1 · ബി എൻ +1 ,

അത് ആവശ്യമായ ഉറപ്പ് തെളിയിക്കുന്നു. ◄

അതല്ല എൻ ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ പദം വഴി മാത്രമല്ല കണ്ടെത്താനാകും ബി 1 , മാത്രമല്ല ഏതെങ്കിലും മുൻ ടേമും ബി കെ , ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ചാൽ മതി

ബി എൻ = ബി കെ · q n - കെ.

ഉദാഹരണത്തിന്,

വേണ്ടി ബി 5 എഴുതാം

b 5 = ബി 1 · q 4 ,

b 5 = ബി 2 · q 3,

b 5 = ബി 3 · q2,

b 5 = ബി 4 · q. ◄

ബി എൻ = ബി കെ · q n - കെ,

ബി എൻ = ബി എൻ - കെ · q k,

അപ്പോൾ വ്യക്തമായി

ബി എൻ 2 = ബി എൻ - കെ· ബി എൻ + കെ

ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിലെ ഏതെങ്കിലും അംഗത്തിന്റെ ചതുരം, രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നു, അതിൽ നിന്ന് തുല്യമായ ഈ പുരോഗതിയിലെ അംഗങ്ങളുടെ ഗുണനത്തിന് തുല്യമാണ്.

കൂടാതെ, ഏതെങ്കിലും ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിക്ക്, തുല്യത ശരിയാണ്:

ബി എം· ബി എൻ= ബി കെ· ബി എൽ,

എം+ എൻ= കെ+ എൽ.

ഉദാഹരണത്തിന്,

വിസ്തൃതമായി

1) ബി 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = ബി 5 · ബി 7 ;

2) 1024 = ബി 11 = ബി 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) ബി 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = ബി 4 · ബി 8 ;

4) ബി 2 · ബി 7 = ബി 4 · ബി 5 , കാരണം

ബി 2 · ബി 7 = 2 · 64 = 128,

ബി 4 · ബി 5 = 8 · 16 = 128. ◄

എസ് എൻ= ബി 1 + ബി 2 + ബി 3 + . . . + ബി എൻ

ആദ്യം എൻ ഒരു ഡിനോമിനേറ്റർ ഉള്ള ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിലെ അംഗങ്ങൾ q ≠ 0 ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു:

പിന്നെ എപ്പോൾ q = 1 - ഫോർമുല അനുസരിച്ച്

എസ് എൻ= എൻ.ബി. 1

നമുക്ക് നിബന്ധനകൾ സംഗ്രഹിക്കണമെങ്കിൽ അത് ശ്രദ്ധിക്കുക

ബി കെ, ബി കെ +1 , . . . , ബി എൻ,

അപ്പോൾ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:

ഉദാഹരണത്തിന്,

വിസ്തൃതമായി 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

എസ് 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = എസ് 10 - എസ് 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി നൽകിയാൽ, അളവുകൾ ബി 1 , ബി എൻ, q, എൻഒപ്പം എസ് എൻ രണ്ട് ഫോർമുലകളാൽ ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു:

അതിനാൽ, ഈ അളവുകളിൽ ഏതെങ്കിലും മൂന്ന് മൂല്യങ്ങൾ നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, മറ്റ് രണ്ട് അളവുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ ഈ ഫോർമുലകളിൽ നിന്ന് രണ്ട് അജ്ഞാതങ്ങളുള്ള രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിലേക്ക് സംയോജിപ്പിച്ച് നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു.

ആദ്യ ടേമിനൊപ്പം ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിക്ക് ബി 1 ഡിനോമിനേറ്ററും q ഇനിപ്പറയുന്നവ നടക്കുന്നു monotonicity പ്രോപ്പർട്ടികൾ :

• ഇനിപ്പറയുന്ന വ്യവസ്ഥകളിൽ ഒന്ന് പാലിക്കുകയാണെങ്കിൽ പുരോഗതി വർദ്ധിക്കുന്നു:

ബി 1 > 0 ഒപ്പം q> 1;

ബി 1 < 0 ഒപ്പം 0 < q< 1;

• ഇനിപ്പറയുന്ന വ്യവസ്ഥകളിൽ ഒന്ന് പാലിക്കുകയാണെങ്കിൽ പുരോഗതി കുറയുന്നു:

ബി 1 > 0 ഒപ്പം 0 < q< 1;

ബി 1 < 0 ഒപ്പം q> 1.

അത് അങ്ങിനെയെങ്കിൽ q< 0 , അപ്പോൾ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി ചിഹ്നം-ആൾട്ടർനേറ്റിംഗ് ആണ്: അതിന്റെ ഒറ്റ-അക്ക പദങ്ങൾക്ക് അതിന്റെ ആദ്യ പദത്തിന്റെ അതേ ചിഹ്നവും ഇരട്ട-സംഖ്യയുള്ള പദങ്ങൾക്ക് വിപരീത ചിഹ്നവുമാണ്. ഒരു ഇതര ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി ഏകതാനമല്ലെന്ന് വ്യക്തമാണ്.

ആദ്യത്തേതിന്റെ ഉൽപ്പന്നം എൻ ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ നിബന്ധനകൾ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കാം:

പി എൻ= ബി 1 · ബി 2 · ബി 3 · . . . · ബി എൻ = (ബി 1 · ബി എൻ) എൻ / 2 .

ഉദാഹരണത്തിന്,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി അനന്തമായി കുറയുന്നു

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി അനന്തമായി കുറയുന്നു ഡിനോമിനേറ്റർ മോഡുലസിനേക്കാൾ കുറവുള്ള അനന്തമായ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി എന്ന് വിളിക്കുന്നു 1 , അതാണ്

|q| < 1 .

അനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി കുറയുന്ന ഒരു ശ്രേണി ആയിരിക്കണമെന്നില്ല. ഇത് കേസിന് അനുയോജ്യമാണ്

1 < q< 0 .

അത്തരമൊരു ഡിനോമിനേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച്, ക്രമം അടയാളം-ആൾട്ടർനേറ്റിംഗ് ആണ്. ഉദാഹരണത്തിന്,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

അനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുക ആദ്യത്തേതിന്റെ ആകെത്തുക വരുന്ന സംഖ്യയ്ക്ക് പേര് നൽകുക എൻ എണ്ണത്തിൽ പരിധിയില്ലാത്ത വർദ്ധനവ് ഉള്ള പുരോഗതിയുടെ നിബന്ധനകൾ എൻ . ഈ സംഖ്യ എല്ലായ്പ്പോഴും പരിമിതമാണ്, ഇത് ഫോർമുലയാൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു

ഉദാഹരണത്തിന്,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

ഗണിതവും ജ്യാമിതീയവുമായ പുരോഗതികൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം

ഗണിതവും ജ്യാമിതീയവുമായ പുരോഗതികൾ പരസ്പരം ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. നമുക്ക് രണ്ട് ഉദാഹരണങ്ങൾ മാത്രം പരിഗണിക്കാം.

എ 1 , എ 2 , എ 3 , . . . ഡി , പിന്നെ

ബി എ 1 , ബി എ 2 , ബി എ 3 , . . . ബി ഡി .

ഉദാഹരണത്തിന്,

1, 3, 5, . . . - വ്യത്യാസത്തോടുകൂടിയ ഗണിത പുരോഗതി 2 ഒപ്പം

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . ഒരു ഡിനോമിനേറ്ററുള്ള ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയാണ് 7 2 . ◄

ബി 1 , ബി 2 , ബി 3 , . . . ഒരു ഡിനോമിനേറ്ററുള്ള ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയാണ് q , പിന്നെ

ലോഗ് എ ബി 1, ലോഗ് എ ബി 2, ലോഗ് എ ബി 3, . . . - വ്യത്യാസത്തോടുകൂടിയ ഗണിത പുരോഗതി ലോഗ് എq .

ഉദാഹരണത്തിന്,

2, 12, 72, . . . ഒരു ഡിനോമിനേറ്ററുള്ള ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയാണ് 6 ഒപ്പം

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - വ്യത്യാസത്തോടുകൂടിയ ഗണിത പുരോഗതി lg 6 . ◄

എന്താണ് ഗണിതംആളുകൾ പ്രകൃതിയെയും തങ്ങളെയും നിയന്ത്രിക്കുന്നു.

സോവിയറ്റ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ, അക്കാദമിഷ്യൻ എ.എൻ. കോൾമോഗോറോവ്

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി.

ഗണിത പുരോഗതിയെക്കുറിച്ചുള്ള ടാസ്‌ക്കുകൾക്കൊപ്പം, ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി എന്ന ആശയവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ജോലികളും ഗണിതത്തിലെ പ്രവേശന പരീക്ഷകളിൽ സാധാരണമാണ്. അത്തരം പ്രശ്നങ്ങൾ വിജയകരമായി പരിഹരിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ സവിശേഷതകൾ അറിയുകയും അവ ഉപയോഗിക്കുന്നതിൽ നല്ല കഴിവുകൾ ഉണ്ടായിരിക്കുകയും വേണം.

ഈ ലേഖനം ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ പ്രധാന ഗുണങ്ങളുടെ അവതരണത്തിനായി നീക്കിവച്ചിരിക്കുന്നു. സാധാരണ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങളും ഇത് നൽകുന്നു, ഗണിതത്തിലെ പ്രവേശന പരീക്ഷകളുടെ ചുമതലകളിൽ നിന്ന് കടമെടുത്തത്.

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ പ്രധാന സവിശേഷതകൾ നമുക്ക് പ്രാഥമികമായി ശ്രദ്ധിക്കുകയും ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട സൂത്രവാക്യങ്ങളും പ്രസ്താവനകളും ഓർമ്മിക്കുകയും ചെയ്യാം., ഈ ആശയവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം.ഒരു സംഖ്യാ ശ്രേണിയെ അതിന്റെ ഓരോ സംഖ്യയും, രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നു, മുമ്പത്തേതിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, അതേ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ അതിനെ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി എന്ന് വിളിക്കുന്നു. സംഖ്യയെ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിക്ക്സൂത്രവാക്യങ്ങൾ സാധുവാണ്

, (1)

എവിടെ . ഫോർമുല (1) നെ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ പൊതു പദത്തിന്റെ ഫോർമുല എന്ന് വിളിക്കുന്നു, കൂടാതെ ഫോർമുല (2) ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ പ്രധാന സ്വത്താണ്: പുരോഗതിയിലെ ഓരോ അംഗവും അതിന്റെ അയൽ അംഗങ്ങളുടെ ജ്യാമിതീയ ശരാശരിയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു.

കുറിപ്പ്, ഈ പ്രോപ്പർട്ടി കാരണം പ്രസ്തുത പുരോഗതിയെ "ജ്യോമെട്രിക്" എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

മുകളിലുള്ള (1), (2) ഫോർമുലകൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ സംഗ്രഹിച്ചിരിക്കുന്നു:

, (3)

തുക കണക്കാക്കാൻആദ്യം ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിലെ അംഗങ്ങൾഫോർമുല ബാധകമാണ്

ഞങ്ങൾ നിയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ

എവിടെ . സൂത്രവാക്യം (6) എന്നത് ഫോർമുലയുടെ (5) സാമാന്യവൽക്കരണമാണ്.

കേസിൽ എപ്പോൾ ഒപ്പം ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിഅനന്തമായി കുറയുന്നു. തുക കണക്കാക്കാൻഅനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിലെ എല്ലാ അംഗങ്ങളിലും ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു

. (7)

ഉദാഹരണത്തിന് , ഫോർമുല (7) ഉപയോഗിച്ച് ഒരാൾക്ക് കാണിക്കാനാകും, എന്ത്

എവിടെ . , (ആദ്യത്തെ സമത്വം), , (രണ്ടാം സമത്വം) എന്നിവ നൽകിയിട്ടുള്ള ഫോർമുല (7) ൽ നിന്നാണ് ഈ തുല്യതകൾ ലഭിക്കുന്നത്.

സിദ്ധാന്തം.എങ്കിൽ, പിന്നെ

തെളിവ്. എങ്കിൽ,

സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.

"ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി" എന്ന വിഷയത്തിൽ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഗണിക്കുന്നതിലേക്ക് പോകാം.

ഉദാഹരണം 1നൽകിയിരിക്കുന്നത്: , ഒപ്പം . കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം.ഫോർമുല (5) പ്രയോഗിച്ചാൽ, പിന്നെ

ഉത്തരം: .

ഉദാഹരണം 2ഒപ്പം . കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം.മുതൽ, ഞങ്ങൾ ഫോർമുലകൾ (5), (6) ഉപയോഗിക്കുകയും സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം നേടുകയും ചെയ്യുന്നു

സിസ്റ്റത്തിന്റെ (9) രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം ആദ്യത്തേത് കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ, പിന്നെ അല്ലെങ്കിൽ. ഇതിൽ നിന്ന് താഴെ പറയുന്നു . നമുക്ക് രണ്ട് കേസുകൾ പരിഗണിക്കാം.

1. എങ്കിൽ, സിസ്റ്റത്തിന്റെ ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് (9) നമുക്കുണ്ട്.

2. എങ്കിൽ .

ഉദാഹരണം 3അനുവദിക്കുക, ഒപ്പം. കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം.ഇത് ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു (2) അത് അല്ലെങ്കിൽ . മുതൽ , പിന്നെ അല്ലെങ്കിൽ .

വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം. എങ്കിലും . കാരണം കൂടാതെ, അപ്പോൾ ഇവിടെ നമുക്ക് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം ഉണ്ട്

സിസ്റ്റത്തിന്റെ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം ആദ്യത്തേത് കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ, അല്ലെങ്കിൽ .

കാരണം, സമവാക്യത്തിന് അനുയോജ്യമായ ഒരൊറ്റ റൂട്ട് ഉണ്ട്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സിസ്റ്റത്തിന്റെ ആദ്യ സമവാക്യം സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ഫോർമുല (7) കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കും.

ഉത്തരം: .

ഉദാഹരണം 4നൽകിയത്: ഒപ്പം . കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം.അപ്പോൾ മുതൽ .

കാരണം, അപ്പോൾ അല്ലെങ്കിൽ

ഫോർമുല (2) അനുസരിച്ച്, നമുക്ക് . ഇക്കാര്യത്തിൽ, സമത്വത്തിൽ നിന്ന് (10) നമുക്ക് ലഭിക്കും അല്ലെങ്കിൽ .

എന്നിരുന്നാലും, വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം, അതിനാൽ .

ഉദാഹരണം 5എന്ന് അറിയപ്പെടുന്നു. കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം. സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, നമുക്ക് രണ്ട് തുല്യതകളുണ്ട്

മുതൽ , പിന്നെ അല്ലെങ്കിൽ . കാരണം, അപ്പോൾ.

ഉത്തരം: .

ഉദാഹരണം 6നൽകിയത്: ഒപ്പം . കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം.ഫോർമുല (5) കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കും

അപ്പോൾ മുതൽ . മുതൽ , പിന്നെ .

ഉദാഹരണം 7ഒപ്പം . കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം.ഫോർമുല (1) പ്രകാരം നമുക്ക് എഴുതാം

അതിനാൽ, ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട് അല്ലെങ്കിൽ . അത് അറിയപ്പെടുന്നു .

ഉത്തരം: .

ഉദാഹരണം 8എങ്കിൽ അനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ കണ്ടെത്തുക

ഒപ്പം .

പരിഹാരം. ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് (7) അത് പിന്തുടരുന്നുഒപ്പം . ഇവിടെ നിന്നും പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥയിൽ നിന്നും നമുക്ക് സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനം ലഭിക്കും

സിസ്റ്റത്തിന്റെ ആദ്യ സമവാക്യം ചതുരാകൃതിയിലാണെങ്കിൽ, തുടർന്ന് ലഭിക്കുന്ന സമവാക്യത്തെ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കുക, അപ്പോൾ നമുക്ക് ലഭിക്കും

അഥവാ .

ഉത്തരം: .

ഉദാഹരണം 9സീക്വൻസ് , ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി ആയ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം.അനുവദിക്കുക, ഒപ്പം. ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ പ്രധാന സ്വത്ത് നിർവചിക്കുന്ന ഫോർമുല (2) അനുസരിച്ച്, നമുക്ക് എഴുതാം അല്ലെങ്കിൽ .

ഇവിടെ നിന്ന് നമുക്ക് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ലഭിക്കും, ആരുടെ വേരുകളാണ്ഒപ്പം .

നമുക്ക് പരിശോധിക്കാം: എങ്കിൽപിന്നെ , പിന്നെ ; എങ്കിൽ , പിന്നെ , ഒപ്പം.

ആദ്യ കേസിൽ നമുക്കുണ്ട്കൂടാതെ, രണ്ടാമത്തേതിൽ - കൂടാതെ.

ഉത്തരം:, .

ഉദാഹരണം 10സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

, (11)

എവിടെയും.

പരിഹാരം. സമവാക്യത്തിന്റെ ഇടതുവശം (11) അനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുകയാണ്, അതിൽ കൂടാതെ , നൽകിയിരിക്കുന്നത്: ഒപ്പം .

ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് (7) അത് പിന്തുടരുന്നു, എന്ത് . ഇക്കാര്യത്തിൽ, സമവാക്യം (11) രൂപമെടുക്കുന്നുഅഥവാ . അനുയോജ്യമായ റൂട്ട് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യംആണ്

ഉത്തരം: .

ഉദാഹരണം 11.പി പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെ ക്രമംഒരു ഗണിത പുരോഗതി രൂപപ്പെടുത്തുന്നു, എ - ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി, അതുമായി എന്താണ് ബന്ധം. കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം.കാരണം ഗണിത ക്രമം, പിന്നെ (ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ പ്രധാന സ്വത്ത്). എന്തുകൊണ്ടെന്നാല്, പിന്നെ അല്ലെങ്കിൽ. ഇത് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്, ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി എന്നാണ്. ഫോർമുല പ്രകാരം (2), ഞങ്ങൾ അത് എഴുതുന്നു.

മുതൽ, പിന്നെ . അങ്ങനെയെങ്കിൽ, ആവിഷ്കാരംഫോം എടുക്കുന്നു അല്ലെങ്കിൽ . വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം, അങ്ങനെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന്നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു തീരുമാനം മാത്രംപ്രശ്നം പരിഗണനയിലാണ്, അതായത്. .

ഉത്തരം: .

ഉദാഹരണം 12.തുക കണക്കാക്കുക

. (12)

പരിഹാരം. തുല്യതയുടെ ഇരുവശങ്ങളും (12) 5 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് നേടുക

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗത്തിൽ നിന്ന് (12) കുറച്ചാൽ, പിന്നെ

അഥവാ .

കണക്കാക്കാൻ, ഞങ്ങൾ മൂല്യങ്ങൾ ഫോർമുലയിലേക്ക് മാറ്റി (7) നേടുകയും . അപ്പോൾ മുതൽ .

ഉത്തരം: .

ഇവിടെ നൽകിയിരിക്കുന്ന പ്രശ്നപരിഹാരത്തിന്റെ ഉദാഹരണങ്ങൾ പ്രവേശന പരീക്ഷകൾക്ക് തയ്യാറെടുക്കുന്ന അപേക്ഷകർക്ക് ഉപയോഗപ്രദമാകും. പ്രശ്നപരിഹാര രീതികളെക്കുറിച്ചുള്ള ആഴത്തിലുള്ള പഠനത്തിനായി, ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, ഉപയോഗിക്കാന് കഴിയും പഠന സഹായികൾശുപാർശ ചെയ്യുന്ന സാഹിത്യങ്ങളുടെ പട്ടികയിൽ നിന്ന്.

1. സാങ്കേതിക സർവ്വകലാശാലകളിലേക്കുള്ള അപേക്ഷകർക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ടാസ്ക്കുകളുടെ ശേഖരണം / എഡ്. എം.ഐ. സ്കാനവി. - എം.: മിർ ഐ ഒബ്രസോവാനി, 2013. - 608 പേ.

2. സുപ്രൺ വി.പി. ഹൈസ്കൂൾ വിദ്യാർത്ഥികൾക്കുള്ള ഗണിതം: അധിക വിഭാഗങ്ങൾ സ്കൂൾ പാഠ്യപദ്ധതി. – എം.: ലെനൻഡ് / യുആർഎസ്എസ്, 2014. - 216 പേ.

3. മെഡിൻസ്കി എം.എം. മുഴുവൻ കോഴ്സ് പ്രാഥമിക ഗണിതശാസ്ത്രംജോലികളിലും വ്യായാമങ്ങളിലും. പുസ്തകം 2: സംഖ്യാ ക്രമങ്ങളും പുരോഗതികളും. - എം.: എഡിറ്റസ്, 2015. - 208 പേ.

നിങ്ങൾക്ക് എന്തെങ്കിലും ചോദ്യങ്ങൾ ഉണ്ടോ?

ഒരു അധ്യാപകന്റെ സഹായം ലഭിക്കാൻ - രജിസ്റ്റർ ചെയ്യുക.

സൈറ്റിൽ, മെറ്റീരിയലിന്റെ പൂർണ്ണമായോ ഭാഗികമായോ പകർത്തിയാൽ, ഉറവിടത്തിലേക്കുള്ള ഒരു ലിങ്ക് ആവശ്യമാണ്.

ഇതിനകം പ്രവേശിച്ചു പുരാതന ഈജിപ്ത്ഗണിതശാസ്ത്രം മാത്രമല്ല, ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയും അറിയാമായിരുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, റൈൻഡ് പാപ്പിറസിൽ നിന്നുള്ള ഒരു ടാസ്ക് ഇതാണ്: “ഏഴ് മുഖങ്ങൾക്ക് ഏഴ് പൂച്ചകളുണ്ട്; ഓരോ പൂച്ചയും ഏഴ് എലികളെ തിന്നുന്നു, ഓരോ എലിയും ഏഴ് കതിർ ധാന്യം തിന്നുന്നു, ഓരോ കതിരിനും ഏഴ് അളവിലുള്ള ബാർലി വളർത്താം. ഈ ശ്രേണിയിലെ സംഖ്യകളും അവയുടെ ആകെത്തുകയും എത്ര വലുതാണ്?

അരി. 1. പുരാതന ഈജിപ്ഷ്യൻ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി പ്രശ്നം

മറ്റ് സമയങ്ങളിൽ മറ്റ് ആളുകൾക്കിടയിൽ വ്യത്യസ്ത വ്യത്യാസങ്ങളോടെ ഈ ചുമതല പലതവണ ആവർത്തിച്ചു. ഉദാഹരണത്തിന്, XIII നൂറ്റാണ്ടിൽ എഴുതിയതിൽ. പിസയിലെ ലിയോനാർഡോ (ഫിബൊനാച്ചി) എഴുതിയ "ബുക്ക് ഓഫ് അബാക്കസ്" എന്നതിൽ ഒരു പ്രശ്നമുണ്ട്, അതിൽ 7 വൃദ്ധ സ്ത്രീകൾ റോമിലേക്കുള്ള വഴിയിൽ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു (വ്യക്തമായും തീർത്ഥാടകർ), അവയിൽ ഓരോന്നിനും 7 കോവർകഴുതകളുണ്ട്, ഓരോന്നിനും 7 ബാഗുകളുണ്ട്, അവയിൽ ഓരോന്നിനും. 7 അപ്പങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, അവയിൽ ഓരോന്നിനും 7 കത്തികളുണ്ട്, അവയിൽ ഓരോന്നിനും 7 ഉറകളിലാണുള്ളത്. എത്ര ഇനങ്ങൾ ഉണ്ടെന്നാണ് പ്രശ്നം ചോദിക്കുന്നത്.

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ n അംഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുക S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1) . ഈ ഫോർമുല ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ തെളിയിക്കാനാകും: S n \u003d b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1.

നമുക്ക് S n-ലേക്ക് b 1 q n എന്ന സംഖ്യ ചേർത്ത് നേടാം:

അതിനാൽ S n (q - 1) = b 1 (q n - 1), ആവശ്യമായ ഫോർമുല നമുക്ക് ലഭിക്കും.

ഇതിനകം ആറാം നൂറ്റാണ്ടിലെ പുരാതന ബാബിലോണിലെ കളിമൺ ഗുളികകളിൽ ഒന്നിൽ. ബി.സി e., തുക 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1. ശരിയാണ്, മറ്റ് പല കേസുകളിലെയും പോലെ, ഈ വസ്തുത ബാബിലോണിയക്കാർക്ക് എവിടെയാണെന്ന് ഞങ്ങൾക്ക് അറിയില്ല .

അനേകം സംസ്കാരങ്ങളിൽ, പ്രത്യേകിച്ച്, ഇന്ത്യയിൽ, ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ദ്രുതഗതിയിലുള്ള വളർച്ച, പ്രപഞ്ചത്തിന്റെ അപാരതയുടെ ദൃശ്യ ചിഹ്നമായി ആവർത്തിച്ച് ഉപയോഗിക്കുന്നു. ചെസ്സിന്റെ രൂപത്തെക്കുറിച്ചുള്ള അറിയപ്പെടുന്ന ഇതിഹാസത്തിൽ, ഭരണാധികാരി അവരുടെ കണ്ടുപിടുത്തക്കാരന് സ്വയം ഒരു പ്രതിഫലം തിരഞ്ഞെടുക്കാനുള്ള അവസരം നൽകുന്നു, കൂടാതെ ചെസ്സ് ബോർഡിന്റെ ആദ്യ സെല്ലിൽ ഒരെണ്ണം സ്ഥാപിച്ചാൽ ലഭിക്കുന്ന ഗോതമ്പ് ധാന്യങ്ങൾ അദ്ദേഹം ആവശ്യപ്പെടുന്നു. , രണ്ടാമത്തേതിൽ രണ്ട്, മൂന്നാമത്തേതിൽ നാല്, നാലാമത്തേതിൽ എട്ട്, എന്നിങ്ങനെ ഓരോ തവണയും സംഖ്യ ഇരട്ടിയാകുന്നു. എന്ന് തമ്പുരാൻ ചിന്തിച്ചു നമ്മൾ സംസാരിക്കുന്നു, പരമാവധി, ഏകദേശം കുറച്ച് ബാഗുകൾ, പക്ഷേ അവൻ തെറ്റായി കണക്കുകൂട്ടി. ചെസ്സ് ബോർഡിന്റെ എല്ലാ 64 സ്ക്വയറുകളിലും കണ്ടുപിടുത്തക്കാരന് (2 64 - 1) ധാന്യം ലഭിച്ചിരിക്കണം, അത് 20-അക്ക സംഖ്യയായി പ്രകടിപ്പിക്കുന്നത് കാണാൻ എളുപ്പമാണ്; ഭൂമിയുടെ മുഴുവൻ ഉപരിതലവും വിതച്ചാലും, ആവശ്യമായ ധാന്യങ്ങൾ ശേഖരിക്കാൻ കുറഞ്ഞത് 8 വർഷമെടുക്കും. ഈ ഇതിഹാസം ചിലപ്പോഴൊക്കെ ചെസ്സ് കളിയിൽ മറഞ്ഞിരിക്കുന്ന പരിധിയില്ലാത്ത സാധ്യതകളെ സൂചിപ്പിക്കുന്നതായി വ്യാഖ്യാനിക്കപ്പെടുന്നു.

ഈ നമ്പർ യഥാർത്ഥത്തിൽ 20-അക്കമാണെന്നത് കാണാൻ എളുപ്പമാണ്:

2 64 \u003d 2 4 ∙ (2 10) 6 \u003d 16 1024 6 ≈ 16 1000 6 \u003d 1.6 10 19 (കൂടുതൽ കൃത്യമായ കണക്കുകൂട്ടൽ 1.84 10 19 നൽകുന്നു). എന്നാൽ ഈ നമ്പർ ഏത് അക്കത്തിലാണ് അവസാനിക്കുന്നതെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് കണ്ടെത്താൻ കഴിയുമോ എന്ന് ഞാൻ അത്ഭുതപ്പെടുന്നു?

കേവല മൂല്യത്തിൽ ഡിനോമിനേറ്റർ 1-ൽ കൂടുതലാണെങ്കിൽ ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി വർദ്ധിക്കുന്നു, അല്ലെങ്കിൽ ഒന്നിൽ കുറവാണെങ്കിൽ കുറയുന്നു. പിന്നീടുള്ള സന്ദർഭത്തിൽ, ആവശ്യത്തിന് വലിയ n എന്നതിന് q n എന്ന സംഖ്യ ഏകപക്ഷീയമായി ചെറുതാകാം. വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ അപ്രതീക്ഷിതമായി വേഗത്തിൽ വർദ്ധിക്കുമ്പോൾ, കുറയുന്ന എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ അത്രയും വേഗത്തിൽ കുറയുന്നു.

വലുത് n, ദുർബലമായ q n എന്ന സംഖ്യ പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, കൂടാതെ S n \u003d b 1 (1 - q n) / (1 - q) എന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ n അംഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുക S \u003d b 1 എന്ന സംഖ്യയിലേക്ക് അടുക്കുന്നു. / (1 - q) . (അങ്ങനെ യുക്തിസഹമായി, ഉദാഹരണത്തിന്, എഫ്. വിയറ്റ്). എസ് എന്ന സംഖ്യയെ അനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുക എന്ന് വിളിക്കുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, നിരവധി നൂറ്റാണ്ടുകളായി, എല്ലാ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെയും സംഗ്രഹത്തിന്റെ അർത്ഥം എന്താണെന്ന ചോദ്യം, അതിന്റെ അനന്തമായ പദങ്ങൾ, ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് വേണ്ടത്ര വ്യക്തമായിരുന്നില്ല.

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി കുറയുന്നത് കാണാം, ഉദാഹരണത്തിന്, സെനോയുടെ അപ്പോറിയസ് "ബിറ്റിംഗ്", "അക്കില്ലസ് ആൻഡ് ദ ടോർട്ടോയ്സ്" എന്നിവയിൽ. ആദ്യ സന്ദർഭത്തിൽ, മുഴുവൻ റോഡും (ദൈർഘ്യം 1 അനുമാനിക്കുക) 1/2, 1/4, 1/8 മുതലായവയുടെ അനന്തമായ സെഗ്‌മെന്റുകളുടെ ആകെത്തുകയാണ് എന്ന് വ്യക്തമായി കാണിക്കുന്നു. തീർച്ചയായും ഇത് ഇങ്ങനെയാണ്. പരിമിതമായ തുകയുടെ അനന്തമായ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയെക്കുറിച്ചുള്ള ആശയങ്ങളുടെ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന്. എന്നിട്ടും - ഇത് എങ്ങനെ ആകാം?

അക്കില്ലസിനെക്കുറിച്ചുള്ള അപ്പോറിയയിൽ, സ്ഥിതി കുറച്ചുകൂടി സങ്കീർണ്ണമാണ്, കാരണം ഇവിടെ പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ 1/2 ന് തുല്യമല്ല, മറിച്ച് മറ്റേതെങ്കിലും സംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, അക്കില്ലസ് v വേഗതയിൽ ഓടുന്നു, ആമ u വേഗതയിൽ നീങ്ങുന്നു, അവയ്ക്കിടയിലുള്ള പ്രാരംഭ ദൂരം l ആണ്. അക്കില്ലസ് ഈ ദൂരം l / v എന്ന സമയത്ത് ഓടും, ആമ ഈ സമയത്ത് lu / v ദൂരം നീങ്ങും. ഈ സെഗ്‌മെന്റിലൂടെ അക്കില്ലസ് ഓടുമ്പോൾ, അവനും ആമയും തമ്മിലുള്ള ദൂരം l (u / v) 2 ന് തുല്യമാകും. ആമയെ പിടിക്കുക എന്നതിനർത്ഥം ആദ്യത്തേത് ഉപയോഗിച്ച് അനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുക എന്നാണ്. l എന്ന പദവും ഡിനോമിനേറ്ററും u / v. ഈ തുക - അക്കില്ലസ് ആമയുമായി കൂടിക്കാഴ്ച നടത്തുന്ന സ്ഥലത്തേക്ക് ഓടുന്ന സെഗ്മെന്റ് - l / (1 - u / v) = lv / (v - u) ന് തുല്യമാണ്. പക്ഷേ, വീണ്ടും, ഈ ഫലത്തെ എങ്ങനെ വ്യാഖ്യാനിക്കാം, എന്തുകൊണ്ട് ഇത് അർത്ഥമാക്കുന്നു, കുറേ നാളത്തേക്ക്അത് വളരെ വ്യക്തമായിരുന്നില്ല.

ഒരു പരാബോളയുടെ ഒരു വിഭാഗത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം നിർണ്ണയിക്കുമ്പോൾ ആർക്കിമിഡീസ് ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുക ഉപയോഗിച്ചു. പരാബോളയുടെ നൽകിയിരിക്കുന്ന സെഗ്‌മെന്റിനെ കോർഡ് AB ഉപയോഗിച്ച് ഡിലിമിറ്റ് ചെയ്യാനും പരാബോളയുടെ D പോയിന്റിലെ ടാൻജെന്റ് AB ന് സമാന്തരമായിരിക്കട്ടെ. C എന്നത് AB യുടെ മദ്ധ്യബിന്ദു, E എന്നത് AC യുടെ മദ്ധ്യബിന്ദു, F എന്നത് CB യുടെ മദ്ധ്യബിന്ദു ആവട്ടെ. എ, ഇ, എഫ്, ബി പോയിന്റുകളിലൂടെ ഡിസിക്ക് സമാന്തരമായി വരകൾ വരയ്ക്കുക; പോയിന്റ് D-ൽ വരച്ച ടാൻജെന്റ്, ഈ വരികൾ K, L, M, N എന്നീ പോയിന്റുകളിൽ വിഭജിക്കട്ടെ. AD, DB എന്നീ സെഗ്‌മെന്റുകളും വരയ്ക്കാം. EL എന്ന വരി AD എന്ന വരിയെ G പോയിന്റിലും പരവലയം H എന്ന പോയിന്റിലും വിഭജിക്കട്ടെ; ലൈൻ എഫ്‌എം ക്യൂ പോയിന്റിൽ ഡിബി രേഖയെയും ആർ പോയിന്റിൽ പരവലയത്തെയും വിഭജിക്കുന്നു. കോണിക വിഭാഗങ്ങളുടെ പൊതുവായ സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, ഡിസി ഒരു പരവലയത്തിന്റെ വ്യാസമാണ് (അതായത്, അതിന്റെ അച്ചുതണ്ടിന് സമാന്തരമായ ഒരു ഭാഗം); അതും ഡി പോയിന്റിലെ ടാൻജെന്റും x, y എന്നീ കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളായി വർത്തിക്കും, അതിൽ പരാബോള സമവാക്യം y 2 \u003d 2px എന്ന് എഴുതിയിരിക്കുന്നു (x എന്നത് D-ൽ നിന്ന് ഒരു നിശ്ചിത വ്യാസത്തിന്റെ ഏതെങ്കിലും ബിന്ദുവിലേക്കുള്ള ദൂരമാണ്, y എന്നത് a യുടെ നീളമാണ്. ഈ വ്യാസം മുതൽ പരാബോളയിലെ തന്നെ ഒരു ബിന്ദു വരെ നൽകിയിരിക്കുന്ന ടാൻജെന്റിന് സമാന്തരമായ ഭാഗം).

പരവലയ സമവാക്യത്തിന്റെ ബലത്തിൽ, DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH , DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA , കൂടാതെ DK = 2DL ആയതിനാൽ KA = 4LH . KA = 2LG ആയതിനാൽ, LH = HG. പരാബോളയുടെ എഡിബി വിഭാഗത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ΔADB ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിനും AHD, DRB എന്നീ സെഗ്‌മെന്റുകളുടെ വിസ്തീർണ്ണത്തിനും തുല്യമാണ്. അതാകട്ടെ, AHD സെഗ്‌മെന്റിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം AHD ത്രികോണത്തിന്റെയും ശേഷിക്കുന്ന AH, HD വിഭാഗങ്ങളുടെയും വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്, അവയിൽ ഓരോന്നിനും ഒരേ പ്രവർത്തനം നടത്താൻ കഴിയും - ഒരു ത്രികോണമായി വിഭജിക്കുക (Δ) ഒപ്പം ശേഷിക്കുന്ന രണ്ട് സെഗ്‌മെന്റുകൾ (), മുതലായവ:

ΔAHD ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ΔALD ത്രികോണത്തിന്റെ പകുതി വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ് (അവയ്ക്ക് ഒരു പൊതു അടിത്തറ AD ഉണ്ട്, ഉയരങ്ങൾ 2 മടങ്ങ് വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു), ഇത് അതിന്റെ പകുതി വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്. ത്രികോണം ΔAKD, അതിനാൽ ത്രികോണത്തിന്റെ പകുതി വിസ്തീർണ്ണം ΔACD. അതിനാൽ, ΔAHD ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ΔACD ത്രികോണത്തിന്റെ നാലിലൊന്നിന് തുല്യമാണ്. അതുപോലെ, ΔDRB ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ΔDFB ത്രികോണത്തിന്റെ നാലിലൊന്നിന് തുല്യമാണ്. അതിനാൽ, ∆AHD, ∆DRB എന്നീ ത്രികോണങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണം ഒരുമിച്ച് എടുത്താൽ ∆ADB ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന്റെ നാലിലൊന്ന് തുല്യമാണ്. AH, HD, DR, RB എന്നീ സെഗ്‌മെന്റുകളിൽ പ്രയോഗിക്കുന്നത് പോലെ ഈ പ്രവർത്തനം ആവർത്തിക്കുന്നത് അവയിൽ നിന്ന് ത്രികോണങ്ങളും തിരഞ്ഞെടുക്കും, ഇവയുടെ വിസ്തീർണ്ണം ഒരുമിച്ച് എടുത്താൽ ΔAHD, ΔDRB എന്നീ ത്രികോണങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണത്തേക്കാൾ 4 മടങ്ങ് കുറവായിരിക്കും. ΔADB ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തേക്കാൾ 16 മടങ്ങ് കുറവാണ് ഒരുമിച്ച് എടുത്തത്. ഇത്യാദി:

അങ്ങനെ, ആർക്കിമിഡീസ് "നേർരേഖയ്ക്കും പരവലയത്തിനും ഇടയിലുള്ള എല്ലാ ഭാഗങ്ങളും ഒരേ അടിത്തറയും തുല്യ ഉയരവുമുള്ള ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ മൂന്നിൽ നാല് ഭാഗമാണെന്നും" തെളിയിച്ചു.

ഗണിതത്തോടൊപ്പം ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയും ഒരു പ്രധാന സംഖ്യാ ശ്രേണിയാണ്, അതിൽ പഠിക്കപ്പെടുന്നു സ്കൂൾ കോഴ്സ് 9-ാം ക്ലാസ്സിൽ ബീജഗണിതം. ഈ ലേഖനത്തിൽ, ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്ററും അതിന്റെ മൂല്യം അതിന്റെ ഗുണങ്ങളെ എങ്ങനെ ബാധിക്കുന്നുവെന്നും ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും.

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ നിർവ്വചനം

ആരംഭിക്കുന്നതിന്, ഈ സംഖ്യ ശ്രേണിയുടെ നിർവചനം ഞങ്ങൾ നൽകുന്നു. ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി ഒരു പരമ്പരയാണ് യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകൾ, അതിന്റെ ആദ്യ മൂലകത്തെ ഡിനോമിനേറ്റർ എന്ന് വിളിക്കുന്ന സ്ഥിരമായ ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് തുടർച്ചയായി ഗുണിച്ചാൽ രൂപം കൊള്ളുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, 3, 6, 12, 24, ... എന്ന ശ്രേണിയിലെ സംഖ്യകൾ ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയാണ്, കാരണം നമ്മൾ 3 (ആദ്യ മൂലകം) 2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ നമുക്ക് 6 ലഭിക്കും. 6 നെ 2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ നമുക്ക് ലഭിക്കും. 12, തുടങ്ങിയവ.

പരിഗണനയിലുള്ള ശ്രേണിയിലെ അംഗങ്ങളെ സാധാരണയായി AI എന്ന ചിഹ്നത്താൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, ഇവിടെ i എന്നത് ശ്രേണിയിലെ മൂലകത്തിന്റെ സംഖ്യയെ സൂചിപ്പിക്കുന്ന ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്.

ഒരു പുരോഗതിയുടെ മുകളിലുള്ള നിർവചനം ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഭാഷയിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം: an = bn-1 * a1, ഇവിടെ b എന്നത് ഡിനോമിനേറ്ററാണ്. ഈ ഫോർമുല പരിശോധിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്: n = 1 എങ്കിൽ, b1-1 = 1, നമുക്ക് a1 = a1 ലഭിക്കും. n = 2 ആണെങ്കിൽ, an = b * a1, ഞങ്ങൾ വീണ്ടും പരിഗണനയിലുള്ള സംഖ്യകളുടെ ശ്രേണിയുടെ നിർവചനത്തിലേക്ക് വരുന്നു. സമാനമായ ന്യായവാദം തുടരാം വലിയ മൂല്യങ്ങൾഎൻ.

ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ

മുഴുവൻ സംഖ്യാ ശ്രേണിക്കും ഏത് സ്വഭാവമാണ് ഉണ്ടായിരിക്കേണ്ടതെന്ന് സംഖ്യ b പൂർണ്ണമായും നിർണ്ണയിക്കുന്നു. ഡിനോമിനേറ്റർ b പോസിറ്റീവ്, നെഗറ്റീവ് ആകാം, കൂടാതെ ഒന്നോ അതിലധികമോ മൂല്യം കൂടുതലോ ഉണ്ടായിരിക്കാം. മുകളിലുള്ള എല്ലാ ഓപ്ഷനുകളും വ്യത്യസ്ത ശ്രേണികളിലേക്ക് നയിക്കുന്നു:

• b > 1. യുക്തിസഹ സംഖ്യകളുടെ വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന ഒരു പരമ്പരയുണ്ട്. ഉദാഹരണത്തിന്, 1, 2, 4, 8, ... മൂലകം a1 നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, മുഴുവൻ ശ്രേണിയും മൊഡ്യൂളിൽ മാത്രം വർദ്ധിക്കും, പക്ഷേ സംഖ്യകളുടെ അടയാളം കണക്കിലെടുത്ത് കുറയുന്നു.
• b = 1. പലപ്പോഴും അത്തരം ഒരു കേസ് ഒരു പുരോഗതി എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നില്ല, കാരണം സമാനമായ യുക്തിസഹ സംഖ്യകളുടെ ഒരു സാധാരണ ശ്രേണി ഉണ്ട്. ഉദാഹരണത്തിന്, -4, -4, -4.

തുകയ്ക്കുള്ള ഫോർമുല

അവലോകനം തുടരുന്നതിന് മുമ്പ് നിർദ്ദിഷ്ട ജോലികൾപരിഗണനയിലുള്ള പുരോഗതിയുടെ തരം ഡിനോമിനേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച്, അതിന്റെ ആദ്യ n മൂലകങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് ഒരു പ്രധാന ഫോർമുല നൽകണം. ഫോർമുല ഇതാണ്: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

പുരോഗതിയിലെ അംഗങ്ങളുടെ ഒരു ആവർത്തന ക്രമം നിങ്ങൾ പരിഗണിക്കുകയാണെങ്കിൽ ഈ പദപ്രയോഗം നിങ്ങൾക്ക് സ്വയം ലഭിക്കും. മുകളിൽ പറഞ്ഞ സൂത്രവാക്യത്തിൽ, തുക കണ്ടെത്താൻ ആദ്യത്തെ മൂലകവും ഡിനോമിനേറ്ററും മാത്രം അറിഞ്ഞാൽ മതിയെന്നതും ശ്രദ്ധിക്കുക. അനിയന്ത്രിതമായ നമ്പർഅംഗങ്ങൾ.

അനന്തമായി കുറയുന്ന ക്രമം

അതെന്താണെന്നതിന്റെ വിശദീകരണമായിരുന്നു മുകളിൽ. ഇപ്പോൾ, Sn എന്നതിന്റെ ഫോർമുല അറിഞ്ഞുകൊണ്ട്, ഈ സംഖ്യാ ശ്രേണിയിൽ പ്രയോഗിക്കാം. മോഡുലസ് 1 കവിയാത്ത ഏതൊരു സംഖ്യയും വലിയ ശക്തികളിലേക്ക് ഉയർത്തുമ്പോൾ പൂജ്യമായി മാറുന്നതിനാൽ, അതായത്, b∞ => 0 ആണെങ്കിൽ -1

ഡിനോമിനേറ്ററിന്റെ മൂല്യം പരിഗണിക്കാതെ തന്നെ (1 - b) വ്യത്യാസം എല്ലായ്പ്പോഴും പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കുമെന്നതിനാൽ, അനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി S∞ ന്റെ ആകെത്തുകയുടെ അടയാളം അതിന്റെ ആദ്യ മൂലകമായ a1 ന്റെ ചിഹ്നത്താൽ അദ്വിതീയമായി നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു.

ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ നിരവധി പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഗണിക്കും, അവിടെ നേടിയ അറിവ് നിർദ്ദിഷ്ട നമ്പറുകളിലേക്ക് എങ്ങനെ പ്രയോഗിക്കാമെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണിക്കും.

ടാസ്ക് നമ്പർ 1. പുരോഗതിയുടെയും തുകയുടെയും അജ്ഞാത ഘടകങ്ങളുടെ കണക്കുകൂട്ടൽ

ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി നൽകിയാൽ, പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ 2 ആണ്, അതിന്റെ ആദ്യ ഘടകം 3 ആണ്. അതിന്റെ 7-ഉം 10-ഉം പദങ്ങൾ എന്തായിരിക്കും, അതിന്റെ ഏഴ് പ്രാരംഭ മൂലകങ്ങളുടെ ആകെത്തുക എന്താണ്?

പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥ വളരെ ലളിതവും മുകളിൽ പറഞ്ഞ സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ നേരിട്ടുള്ള ഉപയോഗവും ഉൾപ്പെടുന്നു. അതിനാൽ, n എന്ന സംഖ്യയുള്ള മൂലകം കണക്കാക്കാൻ, ഞങ്ങൾ an = bn-1 * a1 എന്ന പദപ്രയോഗം ഉപയോഗിക്കുന്നു. 7-ാമത്തെ ഘടകത്തിന് നമുക്ക് ഉണ്ട്: a7 = b6 * a1, അറിയപ്പെടുന്ന ഡാറ്റയ്ക്ക് പകരമായി, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: a7 = 26 * 3 = 192. 10-ാമത്തെ അംഗത്തിനും ഞങ്ങൾ ഇത് ചെയ്യുന്നു: a10 = 29 * 3 = 1536.

ഞങ്ങൾ ആകെ അറിയപ്പെടുന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുകയും പരമ്പരയിലെ ആദ്യ 7 ഘടകങ്ങൾക്ക് ഈ മൂല്യം നിർണ്ണയിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട്: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

ടാസ്ക് നമ്പർ 2. പുരോഗതിയുടെ ഏകപക്ഷീയ ഘടകങ്ങളുടെ ആകെത്തുക നിർണ്ണയിക്കുന്നു

എക്സ്പോണൻഷ്യൽ പ്രോഗ്രഷൻ bn-1 * 4 ന്റെ ഡിനോമിനേറ്റർ -2 ആയിരിക്കട്ടെ, ഇവിടെ n ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്. ഈ ശ്രേണിയുടെ 5 മുതൽ 10 വരെയുള്ള മൂലകങ്ങൾ ഉൾപ്പെടെയുള്ള തുക നിർണ്ണയിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

അറിയപ്പെടുന്ന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് നേരിട്ട പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല. 2 ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ഇത് പരിഹരിക്കാനാകും വിവിധ രീതികൾ. സമ്പൂർണ്ണതയ്ക്കായി, ഞങ്ങൾ രണ്ടും അവതരിപ്പിക്കുന്നു.

രീതി 1. അതിന്റെ ആശയം ലളിതമാണ്: ആദ്യ നിബന്ധനകളുടെ രണ്ട് അനുബന്ധ തുകകൾ നിങ്ങൾ കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്, തുടർന്ന് മറ്റൊന്നിൽ നിന്ന് മറ്റൊന്ന് കുറയ്ക്കുക. ചെറിയ തുക കണക്കാക്കുക: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. ഇപ്പോൾ നമ്മൾ വലിയ തുക കണക്കാക്കുന്നു: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥ അനുസരിച്ച് കണക്കാക്കേണ്ട തുകയിൽ 5-ാമത്തേത് ഇതിനകം ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നതിനാൽ, അവസാനത്തെ എക്സ്പ്രഷനിൽ, 4 പദങ്ങൾ മാത്രമേ സംഗ്രഹിച്ചിട്ടുള്ളൂ എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. അവസാനമായി, ഞങ്ങൾ വ്യത്യാസം എടുക്കുന്നു: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

രീതി 2. അക്കങ്ങൾ മാറ്റി എണ്ണിക്കുന്നതിന് മുമ്പ്, സംശയാസ്‌പദമായ ശ്രേണിയിലെ m, n എന്നീ പദങ്ങൾക്കിടയിലുള്ള തുകയുടെ ഒരു ഫോർമുല നിങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും. ഞങ്ങൾ രീതി 1-ലെ അതേ രീതിയിൽ തന്നെ പ്രവർത്തിക്കുന്നു, തുകയുടെ പ്രതീകാത്മക പ്രതിനിധാനം ഉപയോഗിച്ച് മാത്രമേ ഞങ്ങൾ ആദ്യം പ്രവർത്തിക്കൂ. നമുക്കുള്ളത്: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . ഫലമായുണ്ടാകുന്ന എക്‌സ്‌പ്രഷനിലേക്ക് നിങ്ങൾക്ക് അറിയപ്പെടുന്ന സംഖ്യകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിച്ച് അന്തിമ ഫലം കണക്കാക്കാം: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

ടാസ്ക് നമ്പർ 3. ഡിനോമിനേറ്റർ എന്താണ്?

a1 = 2, ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ കണ്ടെത്തട്ടെ, അതിന്റെ അനന്തമായ തുക 3 ആണെങ്കിൽ, ഇത് സംഖ്യകളുടെ കുറയുന്ന ശ്രേണിയാണെന്ന് അറിയാം.

പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥ അനുസരിച്ച്, അത് പരിഹരിക്കാൻ ഏത് ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കണമെന്ന് ഊഹിക്കാൻ പ്രയാസമില്ല. തീർച്ചയായും, അനന്തമായി കുറയുന്ന പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുക. ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട്: S∞ = a1 / (1 - b). ഞങ്ങൾ ഡിനോമിനേറ്റർ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നിടത്ത് നിന്ന്: b = 1 - a1 / S∞. അറിയപ്പെടുന്ന മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റി ആവശ്യമായ നമ്പർ നേടുന്നതിന് ഇത് ശേഷിക്കുന്നു: b \u003d 1 - 2 / 3 \u003d -1 / 3 അല്ലെങ്കിൽ -0.333 (3). ഇത്തരത്തിലുള്ള സീക്വൻസിനായി, മോഡുലസ് b 1-നപ്പുറം പോകരുതെന്ന് ഓർമ്മിച്ചാൽ, നമുക്ക് ഈ ഫലം ഗുണപരമായി പരിശോധിക്കാം. നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, |-1 / 3|

ടാസ്ക് നമ്പർ 4. സംഖ്യകളുടെ ഒരു പരമ്പര പുനഃസ്ഥാപിക്കുന്നു

ഒരു സംഖ്യാ ശ്രേണിയുടെ 2 ഘടകങ്ങൾ നൽകട്ടെ, ഉദാഹരണത്തിന്, 5-ആമത്തേത് 30-നും 10-ആമത്തേത് 60-നും തുല്യമാണ്. ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ഗുണങ്ങളെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നുവെന്ന് അറിഞ്ഞുകൊണ്ട്, ഈ ഡാറ്റയിൽ നിന്ന് മുഴുവൻ ശ്രേണിയും പുനഃസ്ഥാപിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ, നിങ്ങൾ ആദ്യം അറിയപ്പെടുന്ന ഓരോ അംഗത്തിനും അനുയോജ്യമായ പദപ്രയോഗം എഴുതണം. ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട്: a5 = b4 * a1, a10 = b9 * a1. ഇപ്പോൾ നമ്മൾ രണ്ടാമത്തെ പദപ്രയോഗത്തെ ആദ്യത്തേത് കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. പ്രശ്‌നത്തിന്റെ അവസ്ഥയിൽ നിന്ന് അറിയപ്പെടുന്ന അംഗങ്ങളുടെ അനുപാതത്തിന്റെ അഞ്ചാം ഡിഗ്രി റൂട്ട് എടുത്ത് ഞങ്ങൾ ഇവിടെ നിന്ന് ഡിനോമിനേറ്റർ നിർണ്ണയിക്കുന്നു, b = 1.148698. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യയെ അറിയപ്പെടുന്ന ഒരു ഘടകത്തിനായുള്ള എക്സ്പ്രഷനുകളിലൊന്നിലേക്ക് ഞങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.

അങ്ങനെ, പുരോഗതി bn ന്റെ ഡിനോമിനേറ്റർ എന്താണെന്നും ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി bn-1 * 17.2304966 = an, ഇവിടെ b = 1.148698 ആണെന്നും ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി.

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതികൾ എവിടെയാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്?

പ്രായോഗികമായി ഈ സംഖ്യാ ശ്രേണിയുടെ പ്രയോഗം ഇല്ലായിരുന്നുവെങ്കിൽ, അതിന്റെ പഠനം തികച്ചും സൈദ്ധാന്തിക താൽപ്പര്യമായി ചുരുങ്ങും. എന്നാൽ അത്തരമൊരു അപേക്ഷയുണ്ട്.

ഏറ്റവും പ്രശസ്തമായ 3 ഉദാഹരണങ്ങൾ ചുവടെ പട്ടികപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു:

• ചടുലനായ അക്കില്ലസിന് വേഗത കുറഞ്ഞ ആമയെ പിടിക്കാൻ കഴിയാത്ത സീനോയുടെ വിരോധാഭാസം, സംഖ്യകളുടെ അനന്തമായി കുറയുന്ന ക്രമം എന്ന ആശയം ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു.
• ചെസ്സ് ബോർഡിന്റെ ഓരോ സെല്ലിലും ഗോതമ്പ് ധാന്യങ്ങൾ വെച്ചാൽ, 1-ാം സെല്ലിൽ 1 ധാന്യം, 2-ൽ 2-ൽ, 3-ന് - 3-ഉം മറ്റും, എല്ലാ സെല്ലുകളും നിറയ്ക്കാൻ 18446744073709551615 ധാന്യങ്ങൾ ആവശ്യമാണ്. പലക!
• "ടവർ ഓഫ് ഹനോയി" എന്ന ഗെയിമിൽ, ഒരു വടിയിൽ നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്ക് ഡിസ്കുകൾ പുനഃക്രമീകരിക്കുന്നതിന്, 2n - 1 പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, അതായത്, ഉപയോഗിച്ച ഡിസ്കുകളുടെ എണ്ണത്തിൽ നിന്ന് അവയുടെ എണ്ണം ഗണ്യമായി വർദ്ധിക്കുന്നു.

ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ nth അംഗത്തിന്റെ ഫോർമുല വളരെ ലളിതമായ ഒരു കാര്യമാണ്. അർത്ഥത്തിലും പൊതുവായും. എന്നാൽ nth അംഗത്തിന്റെ ഫോർമുലയ്ക്ക് എല്ലാത്തരം പ്രശ്നങ്ങളും ഉണ്ട് - വളരെ പ്രാകൃതം മുതൽ വളരെ ഗുരുതരമായവ വരെ. ഞങ്ങളുടെ പരിചയത്തിന്റെ പ്രക്രിയയിൽ, ഞങ്ങൾ തീർച്ചയായും അവ രണ്ടും പരിഗണിക്കും. ശരി, നമുക്ക് കണ്ടുമുട്ടാം?)

അതിനാൽ, തുടക്കക്കാർക്ക്, യഥാർത്ഥത്തിൽ ഫോർമുലഎൻ

അതാ അവൾ:

ബി എൻ = ബി 1 · q n -1

ഫോർമുല ഒരു ഫോർമുലയായി, അമാനുഷികമായി ഒന്നുമില്ല. എന്നതിന് സമാനമായ സൂത്രവാക്യത്തേക്കാൾ ലളിതവും ഒതുക്കമുള്ളതുമാണെന്ന് തോന്നുന്നു. സൂത്രവാക്യത്തിന്റെ അർത്ഥവും ഒരു തോന്നൽ ബൂട്ട് പോലെ ലളിതമാണ്.

ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ഏതെങ്കിലും അംഗത്തെ അതിന്റെ നമ്പർ പ്രകാരം കണ്ടെത്താൻ ഈ ഫോർമുല നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു " എൻ".

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, അർത്ഥം ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുമായുള്ള സമ്പൂർണ്ണ സാമ്യതയാണ്. n എന്ന സംഖ്യ നമുക്കറിയാം - ഈ സംഖ്യയ്ക്ക് കീഴിലുള്ള പദവും നമുക്ക് കണക്കാക്കാം. നമുക്ക് വേണ്ടത്. "q" പല തവണ കൊണ്ട് തുടർച്ചയായി ഗുണിക്കുന്നില്ല. അതാണ് മുഴുവൻ പോയിന്റ്.)

പുരോഗതികളുമായുള്ള ഈ തലത്തിലുള്ള പ്രവർത്തനത്തിൽ, ഫോർമുലയിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന എല്ലാ അളവുകളും നിങ്ങൾക്ക് ഇതിനകം വ്യക്തമായിരിക്കണമെന്ന് ഞാൻ മനസ്സിലാക്കുന്നു, എന്നാൽ ഓരോന്നും മനസ്സിലാക്കേണ്ടത് എന്റെ കടമയായി ഞാൻ കരുതുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ.

അതിനാൽ നമുക്ക് പോകാം:

ബി 1 – ആദ്യത്തേത്ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ അംഗം;

q – ;

എൻ- അംഗസംഖ്യ;

ബി എൻ – nth (എൻth)ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ അംഗം.

ഈ ഫോർമുല ഏതെങ്കിലും ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ നാല് പ്രധാന പാരാമീറ്ററുകളെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്നു - ബിഎൻ, ബി 1 , qഒപ്പം എൻ. ഈ നാല് പ്രധാന വ്യക്തികളെ ചുറ്റിപ്പറ്റിയാണ്, പുരോഗതിയിലുള്ള എല്ലാ ജോലികളും കറങ്ങുന്നത്.

"അത് എങ്ങനെ പ്രദർശിപ്പിക്കും?"- ഞാൻ ഒരു കൗതുകകരമായ ചോദ്യം കേൾക്കുന്നു ... പ്രാഥമിക! നോക്കൂ!

എന്താണ് തുല്യം രണ്ടാമത്തേത്പുരോഗതി അംഗം? ഒരു പ്രശ്നവുമില്ല! ഞങ്ങൾ നേരിട്ട് എഴുതുന്നു:

b 2 = b 1 q

പിന്നെ മൂന്നാമത്തെ അംഗം? ഒരു പ്രശ്നവുമില്ല! ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ പദത്തെ ഗുണിക്കുന്നു വീണ്ടും ഓൺq.

ഇതുപോലെ:

B 3 \u003d b 2 q

രണ്ടാമത്തെ പദം, അതാകട്ടെ, b 1 q ന് തുല്യമാണെന്നും ഈ പദപ്രയോഗം നമ്മുടെ സമത്വത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമെന്നും ഇപ്പോൾ ഓർക്കുക:

B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2

നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ബി 3 = ബി 1 ക്യു 2

ഇനി റഷ്യൻ ഭാഷയിലുള്ള നമ്മുടെ എൻട്രി വായിക്കാം: മൂന്നാമത്തേത്പദം q in കൊണ്ട് ഗുണിച്ച ആദ്യ പദത്തിന് തുല്യമാണ് രണ്ടാമത്തേത്ഡിഗ്രി. കിട്ടുമോ? ഇനിയും ഇല്ല? ശരി, ഒരു പടി കൂടി.

നാലാമത്തെ ടേം എന്താണ്? എല്ലാം ഒന്നുതന്നെ! ഗുണിക്കുക മുമ്പത്തെ(അതായത് മൂന്നാം ടേം) ക്യു:

B 4 \u003d b 3 q \u003d (b 1 q 2) q \u003d b 1 q 2 q \u003d b 1 q 3

ആകെ:

ബി 4 = ബി 1 ക്യു 3

വീണ്ടും ഞങ്ങൾ റഷ്യൻ ഭാഷയിലേക്ക് വിവർത്തനം ചെയ്യുന്നു: നാലാമത്തെപദം q in കൊണ്ട് ഗുണിച്ച ആദ്യ പദത്തിന് തുല്യമാണ് മൂന്നാമത്തേത്ഡിഗ്രി.

ഇത്യാദി. അപ്പോൾ എങ്ങനെയുണ്ട്? പാറ്റേൺ പിടിച്ചോ? അതെ! ഏത് സംഖ്യയും ഉള്ള ഏത് പദത്തിനും, തുല്യ ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം q (അതായത് ഡിനോമിനേറ്ററിന്റെ ശക്തി) എപ്പോഴും ആയിരിക്കും ആവശ്യമുള്ള അംഗത്തിന്റെ എണ്ണത്തേക്കാൾ ഒന്ന് കുറവ്എൻ.

അതിനാൽ, ഓപ്ഷനുകൾ ഇല്ലാതെ ഞങ്ങളുടെ ഫോർമുല ഇതായിരിക്കും:

b n =ബി 1 · q n -1

അത്രയേയുള്ളൂ.)

ശരി, നമുക്ക് പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാം, അല്ലേ?)

ഒരു ഫോർമുലയിൽ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നുഎൻഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ പദം.

സാധാരണ പോലെ, ഫോർമുലയുടെ നേരിട്ടുള്ള പ്രയോഗത്തോടെ നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം. ഒരു സാധാരണ പ്രശ്നം ഇതാ:

അത് അതിഗംഭീരമായി അറിയപ്പെടുന്നു ബി 1 = 512 ഒപ്പം q = -1/2. പുരോഗതിയുടെ പത്താം പദം കണ്ടെത്തുക.

തീർച്ചയായും, സൂത്രവാക്യങ്ങളില്ലാതെ ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും. ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി പോലെ. എന്നാൽ നമ്മൾ nth term എന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഊഷ്മളമാക്കേണ്ടതുണ്ട്, അല്ലേ? ഇവിടെ നമ്മൾ പിരിയുകയാണ്.

ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള ഞങ്ങളുടെ ഡാറ്റ ഇനിപ്പറയുന്നതാണ്.

ആദ്യ പദം അറിയപ്പെടുന്നു. ഇത് 512 ആണ്.

ബി 1 = 512.

പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്ററും അറിയപ്പെടുന്നു: q = -1/2.

n എന്ന പദത്തിന്റെ സംഖ്യ എത്രയാണെന്ന് കണ്ടുപിടിക്കാൻ മാത്രമേ ഇത് ശേഷിക്കുന്നുള്ളൂ. ഒരു പ്രശ്നവുമില്ല! പത്താം ടേമിൽ ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ടോ? അതിനാൽ പൊതു ഫോർമുലയിൽ n എന്നതിനുപകരം നമ്മൾ പത്ത് പകരം വയ്ക്കുന്നു.

കൂടാതെ ഗണിതശാസ്ത്രം ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം കണക്കാക്കുക:

ഉത്തരം: -1

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, പുരോഗതിയുടെ പത്താം ടേം ഒരു മൈനസുമായി മാറി. അതിശയിക്കാനില്ല: പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ -1/2 ആണ്, അതായത്. നെഗറ്റീവ്നമ്പർ. നമ്മുടെ പുരോഗതിയുടെ അടയാളങ്ങൾ മാറിമാറി വരുന്നുവെന്ന് ഇത് നമ്മോട് പറയുന്നു, അതെ.)

ഇവിടെ എല്ലാം ലളിതമാണ്. ഇവിടെ സമാനമായ ഒരു പ്രശ്നമുണ്ട്, പക്ഷേ കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ കാര്യത്തിൽ കുറച്ചുകൂടി സങ്കീർണ്ണമാണ്.

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിൽ, നമുക്കത് അറിയാം:

ബി 1 = 3

പുരോഗതിയുടെ പതിമൂന്നാം പദം കണ്ടെത്തുക.

എല്ലാം ഒന്നുതന്നെയാണ്, ഇത്തവണ മാത്രം പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ - യുക്തിരഹിതമായ. രണ്ടിന്റെ റൂട്ട്. ശരി, വലിയ കാര്യമില്ല. ഫോർമുല ഒരു സാർവത്രിക കാര്യമാണ്, അത് ഏത് സംഖ്യകളെയും നേരിടുന്നു.

ഫോർമുല അനുസരിച്ച് ഞങ്ങൾ നേരിട്ട് പ്രവർത്തിക്കുന്നു:

ഫോർമുല, തീർച്ചയായും, അത് ചെയ്യേണ്ടതുപോലെ പ്രവർത്തിച്ചു, പക്ഷേ ... ചിലർ തൂങ്ങിക്കിടക്കും. റൂട്ട് ഉപയോഗിച്ച് അടുത്തതായി എന്തുചെയ്യണം? പന്ത്രണ്ടാമത്തെ ശക്തിയിലേക്ക് ഒരു റൂട്ട് എങ്ങനെ ഉയർത്താം?

എങ്ങനെ-എങ്ങനെ ... ഏത് ഫോർമുലയും തീർച്ചയായും ഒരു നല്ല കാര്യമാണെന്ന് നിങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കേണ്ടതുണ്ട്, എന്നാൽ മുമ്പത്തെ എല്ലാ ഗണിതശാസ്ത്രത്തെയും കുറിച്ചുള്ള അറിവ് റദ്ദാക്കിയിട്ടില്ല! എങ്ങനെ ഉയർത്തും? അതെ, ഡിഗ്രികളുടെ സവിശേഷതകൾ ഓർക്കുക! നമുക്ക് റൂട്ട് മാറ്റാം ഫ്രാക്ഷണൽ ബിരുദംകൂടാതെ - ഒരു ശക്തിയെ ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്ന ഫോർമുലയിലൂടെ.

ഇതുപോലെ:

ഉത്തരം: 192

കൂടാതെ എല്ലാ കാര്യങ്ങളും.)

nth term ഫോർമുല നേരിട്ട് പ്രയോഗിക്കുന്നതിലെ പ്രധാന ബുദ്ധിമുട്ട് എന്താണ്? അതെ! എന്നതാണ് പ്രധാന ബുദ്ധിമുട്ട് ബിരുദങ്ങളുമായി പ്രവർത്തിക്കുക!അതായത്, എക്സ്പോണൻഷ്യേഷൻ നെഗറ്റീവ് നമ്പറുകൾ, ഭിന്നസംഖ്യകൾ, വേരുകൾ, സമാന ഘടനകൾ. അതുകൊണ്ട് ഇതിൽ പ്രശ്‌നങ്ങളുള്ളവർ, ബിരുദങ്ങളും അവയുടെ സ്വത്തുക്കളും ആവർത്തിക്കണമെന്ന് അടിയന്തിര അഭ്യർത്ഥന! അല്ലെങ്കിൽ, ഈ വിഷയത്തിൽ നിങ്ങൾ വേഗത കുറയ്ക്കും, അതെ ...)

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് സാധാരണ തിരയൽ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാം ഫോർമുലയുടെ ഘടകങ്ങളിലൊന്ന്ബാക്കി എല്ലാം കൊടുത്താൽ. അത്തരം പ്രശ്‌നങ്ങളുടെ വിജയകരമായ പരിഹാരത്തിനായി, പാചകക്കുറിപ്പ് ഒറ്റയും ഭയാനകവും ലളിതവുമാണ് - ഫോർമുല എഴുതുകഎൻമത്തെ അംഗം പൊതുവായ കാഴ്ച! കണ്ടീഷനിനടുത്തുള്ള നോട്ട്ബുക്കിൽ തന്നെ. എന്നിട്ട്, വ്യവസ്ഥയിൽ നിന്ന്, നമുക്ക് എന്താണ് നൽകിയിരിക്കുന്നതെന്നും എന്താണ് പോരാ എന്നു കണ്ടെത്തുന്നത്. ഞങ്ങൾ ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു ആവശ്യമുള്ള മൂല്യം. എല്ലാം!

ഉദാഹരണത്തിന്, അത്തരമൊരു നിരുപദ്രവകരമായ പ്രശ്നം.

3 ന്റെ ഡിനോമിനേറ്ററുള്ള ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ അഞ്ചാമത്തെ പദം 567 ആണ്. ഈ പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ പദം കണ്ടെത്തുക.

സങ്കീർണ്ണമായ ഒന്നുമില്ല. അക്ഷരത്തെറ്റ് അനുസരിച്ച് ഞങ്ങൾ നേരിട്ട് പ്രവർത്തിക്കുന്നു.

ഞങ്ങൾ nth ടേമിന്റെ ഫോർമുല എഴുതുന്നു!

ബി എൻ = ബി 1 · q n -1

നമുക്ക് എന്താണ് നൽകിയിരിക്കുന്നത്? ആദ്യം, പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ നൽകിയിരിക്കുന്നു: q = 3.

കൂടാതെ, നമുക്ക് നൽകിയിരിക്കുന്നു അഞ്ചാമത്തെ അംഗം: ബി 5 = 567 .

എല്ലാം? അല്ല! ഞങ്ങൾക്ക് n എന്ന സംഖ്യയും നൽകിയിരിക്കുന്നു! ഇത് അഞ്ച്: n = 5.

റെക്കോഡിലുള്ളത് നിങ്ങൾ ഇതിനകം മനസ്സിലാക്കിയിട്ടുണ്ടെന്ന് ഞാൻ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു ബി 5 = 567 രണ്ട് പാരാമീറ്ററുകൾ ഒരേസമയം മറച്ചിരിക്കുന്നു - ഇത് അഞ്ചാമത്തെ അംഗവും (567) അതിന്റെ നമ്പറും (5) ആണ്. സമാനമായ ഒരു പാഠത്തിൽ ഞാൻ ഇതിനെക്കുറിച്ച് ഇതിനകം സംസാരിച്ചു, പക്ഷേ ഇവിടെ ഓർമ്മപ്പെടുത്തുന്നത് അമിതമല്ലെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു.)

ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ഞങ്ങളുടെ ഡാറ്റ ഫോർമുലയിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

567 = ബി 1 3 5-1

ഞങ്ങൾ ഗണിതശാസ്ത്രം പരിഗണിക്കുകയും ലളിതമാക്കുകയും ലളിതമാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു രേഖീയ സമവാക്യം:

81 ബി 1 = 567

ഞങ്ങൾ പരിഹരിക്കുകയും നേടുകയും ചെയ്യുന്നു:

ബി 1 = 7

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ആദ്യ അംഗത്തെ കണ്ടെത്തുന്നതിൽ പ്രശ്നങ്ങളൊന്നുമില്ല. എന്നാൽ ഡിനോമിനേറ്റർ തിരയുമ്പോൾ qഅക്കങ്ങളും എൻഅത്ഭുതങ്ങൾ ഉണ്ടാകാം. നിങ്ങൾ അവർക്കായി തയ്യാറെടുക്കേണ്ടതുണ്ട് (ആശ്ചര്യങ്ങൾ), അതെ.)

ഉദാഹരണത്തിന്, അത്തരമൊരു പ്രശ്നം:

പോസിറ്റീവ് ഡിനോമിനേറ്ററുള്ള ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ അഞ്ചാമത്തെ പദം 162 ആണ്, ഈ പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ പദം 2 ആണ്. പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ കണ്ടെത്തുക.

ഈ സമയം ഞങ്ങൾക്ക് ആദ്യത്തെയും അഞ്ചാമത്തെയും അംഗങ്ങളെ നൽകി, പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ കണ്ടെത്താൻ ആവശ്യപ്പെടുന്നു. ഇവിടെ ഞങ്ങൾ ആരംഭിക്കുന്നു.

ഞങ്ങൾ ഫോർമുല എഴുതുന്നുഎൻഅംഗം!

ബി എൻ = ബി 1 · q n -1

ഞങ്ങളുടെ പ്രാരംഭ ഡാറ്റ ഇനിപ്പറയുന്നതായിരിക്കും:

ബി 5 = 162

ബി 1 = 2

എൻ = 5

മതിയായ മൂല്യമില്ല q. ഒരു പ്രശ്നവുമില്ല! നമുക്ക് ഇപ്പോൾ അത് കണ്ടെത്താം.) നമുക്കറിയാവുന്നതെല്ലാം ഞങ്ങൾ ഫോർമുലയിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു.

നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

162 = 2q 5-1

2 q 4 = 162

q 4 = 81

നാലാം ഡിഗ്രിയുടെ ഒരു ലളിതമായ സമവാക്യം. പക്ഷെ ഇപ്പോൾ - ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം!പരിഹാരത്തിന്റെ ഈ ഘട്ടത്തിൽ, പല വിദ്യാർത്ഥികളും ഉടനടി സന്തോഷത്തോടെ റൂട്ട് (നാലാം ഡിഗ്രി) വേർതിരിച്ചെടുക്കുകയും ഉത്തരം നേടുകയും ചെയ്യുന്നു q=3 .

ഇതുപോലെ:

q4 = 81

q = 3

എന്നാൽ പൊതുവേ, ഇത് പൂർത്തിയാകാത്ത ഉത്തരമാണ്. അല്ലെങ്കിൽ, അപൂർണ്ണമാണ്. എന്തുകൊണ്ട്? ഉത്തരം എന്നതാണ് കാര്യം q = -3 ഇതും യോജിക്കുന്നു: (-3) 4 എന്നത് 81 ആയിരിക്കും!

ശക്തി സമവാക്യമാണ് ഇതിന് കാരണം x n = എഎപ്പോഴും ഉണ്ട് രണ്ട് വിപരീത വേരുകൾചെയ്തത് പോലുംഎൻ . പ്ലസ്, മൈനസ്:

രണ്ടും യോജിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, പരിഹരിക്കൽ (അതായത്. രണ്ടാമത്തേത്ഡിഗ്രി)

x2 = 9

ചില കാരണങ്ങളാൽ നിങ്ങൾ രൂപഭാവത്തിൽ ആശ്ചര്യപ്പെടുന്നില്ല രണ്ട്വേരുകൾ x=±3? ഇവിടെയും അങ്ങനെ തന്നെ. കൂടാതെ മറ്റേതെങ്കിലും കൂടെ പോലുംബിരുദം (നാലാമത്തെ, ആറാം, പത്താം, മുതലായവ) സമാനമായിരിക്കും. വിശദാംശങ്ങൾ - എന്ന വിഷയത്തിൽ

അതുകൊണ്ടാണ് ശരിയായ തീരുമാനംഇതുപോലെ ആയിരിക്കും:

q 4 = 81

q= ±3

ശരി, ഞങ്ങൾ അടയാളങ്ങൾ കണ്ടെത്തി. ഏതാണ് ശരി - പ്ലസ് അല്ലെങ്കിൽ മൈനസ്? ശരി, തിരയലിൽ ഞങ്ങൾ പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥ വീണ്ടും വായിച്ചു അധിക വിവരം. ഇത് തീർച്ചയായും നിലവിലില്ലായിരിക്കാം, പക്ഷേ ഈ പ്രശ്നത്തിൽ അത്തരം വിവരങ്ങൾ ലഭ്യമാണ്.ഞങ്ങളുടെ അവസ്ഥയിൽ, ഒരു പുരോഗതി നൽകിയിട്ടുണ്ടെന്ന് നേരിട്ട് പ്രസ്താവിക്കുന്നു പോസിറ്റീവ് ഡിനോമിനേറ്റർ.

അതിനാൽ ഉത്തരം വ്യക്തമാണ്:

q = 3

ഇവിടെ എല്ലാം ലളിതമാണ്. പ്രശ്ന പ്രസ്താവന ഇങ്ങനെയാണെങ്കിൽ എന്ത് സംഭവിക്കുമെന്ന് നിങ്ങൾ കരുതുന്നു:

ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ അഞ്ചാമത്തെ പദം 162 ആണ്, ഈ പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ പദം 2 ആണ്. പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ കണ്ടെത്തുക.

എന്താണ് വ്യത്യാസം? അതെ! അവസ്ഥയിൽ ഒന്നുമില്ലഡിനോമിനേറ്ററിനെ കുറിച്ച് പരാമർശമില്ല. നേരിട്ടോ അല്ലാതെയോ അല്ല. ഇവിടെ പ്രശ്നം ഇതിനകം ഉണ്ടായിരിക്കും രണ്ട് പരിഹാരങ്ങൾ!

q = 3 ഒപ്പം q = -3

അതെ അതെ! പ്ലസ്, മൈനസ് എന്നിവയോടൊപ്പം.) ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി, ഈ വസ്തുത അർത്ഥമാക്കുന്നത് ഉണ്ട് എന്നാണ് രണ്ട് പുരോഗതികൾഅത് ചുമതലയ്ക്ക് അനുയോജ്യമാണ്. ഓരോന്നിനും - അതിന്റേതായ ഡിനോമിനേറ്റർ. വിനോദത്തിനായി, ഓരോന്നിന്റെയും ആദ്യ അഞ്ച് നിബന്ധനകൾ പരിശീലിച്ച് എഴുതുക.)

ഇനി അംഗസംഖ്യ കണ്ടുപിടിക്കാൻ പരിശീലിക്കാം. ഇതാണ് ഏറ്റവും ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളത്, അതെ. എന്നാൽ കൂടുതൽ ക്രിയാത്മകവും.

ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി നൽകി:

3; 6; 12; 24; …

ഈ പുരോഗതിയിൽ 768 എന്നത് ഏത് സംഖ്യയാണ്?

ആദ്യ ഘട്ടം സമാനമാണ്: ഫോർമുല എഴുതുകഎൻഅംഗം!

ബി എൻ = ബി 1 · q n -1

ഇപ്പോൾ, പതിവുപോലെ, ഞങ്ങൾക്ക് അറിയാവുന്ന ഡാറ്റ ഞങ്ങൾ അതിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. ഹോ... ചേരില്ല! ആദ്യത്തെ അംഗം എവിടെ, ഡിനോമിനേറ്റർ എവിടെ, മറ്റെല്ലാം എവിടെ?!

എവിടെ, എവിടെ ... എന്തുകൊണ്ടാണ് നമുക്ക് കണ്ണുകൾ വേണ്ടത്? കണ്പീലികൾ അടിക്കുന്നുണ്ടോ? ഇത്തവണ പുരോഗതി നേരിട്ട് ഫോമിൽ നമുക്ക് നൽകുന്നു ക്രമങ്ങൾ.നമുക്ക് ആദ്യ പദം കാണാൻ കഴിയുമോ? ഞങ്ങൾ കാണുന്നു! ഇതൊരു ട്രിപ്പിൾ ആണ് (b 1 = 3). ഡിനോമിനേറ്ററിന്റെ കാര്യമോ? ഞങ്ങൾ ഇത് ഇതുവരെ കാണുന്നില്ല, പക്ഷേ ഇത് കണക്കാക്കുന്നത് വളരെ എളുപ്പമാണ്. എങ്കിൽ, തീർച്ചയായും, നിങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുന്നു.

ഇവിടെ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കുന്നു. ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ അർത്ഥം അനുസരിച്ച്: ഞങ്ങൾ അതിലെ ഏതെങ്കിലും അംഗങ്ങളെ (ആദ്യത്തേത് ഒഴികെ) എടുത്ത് മുമ്പത്തേത് കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.

കുറഞ്ഞത് ഇതുപോലെ:

q = 24/12 = 2

മറ്റെന്താണ് നമുക്ക് അറിയാവുന്നത്? ഈ പുരോഗതിയിലെ ചില അംഗങ്ങളെയും ഞങ്ങൾക്കറിയാം, 768 ന് തുല്യമാണ്. ചില സംഖ്യയ്ക്ക് കീഴിൽ n:

ബി എൻ = 768

അവന്റെ നമ്പർ ഞങ്ങൾക്ക് അറിയില്ല, പക്ഷേ അവനെ കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ് ഞങ്ങളുടെ ചുമതല.) അതിനാൽ ഞങ്ങൾ തിരയുകയാണ്. ഫോർമുലയിൽ പകരം വയ്ക്കുന്നതിന് ആവശ്യമായ എല്ലാ ഡാറ്റയും ഞങ്ങൾ ഇതിനകം ഡൗൺലോഡ് ചെയ്തിട്ടുണ്ട്. അദൃശ്യമായി.)

ഇവിടെ ഞങ്ങൾ പകരം വയ്ക്കുന്നു:

768 = 3 2എൻ -1

ഞങ്ങൾ പ്രാഥമികമായവ ഉണ്ടാക്കുന്നു - ഞങ്ങൾ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളും മൂന്നായി വിഭജിക്കുകയും സമവാക്യം സാധാരണ രൂപത്തിൽ മാറ്റിയെഴുതുകയും ചെയ്യുന്നു: ഇടതുവശത്ത് അജ്ഞാതമായത്, വലതുവശത്ത് അറിയപ്പെടുന്നത്.

നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

2 എൻ -1 = 256

രസകരമായ ഒരു സമവാക്യം ഇതാ. നമുക്ക് "n" കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. എന്താണ് അസാധാരണമായത്? അതെ, ഞാൻ വാദിക്കുന്നില്ല. യഥാർത്ഥത്തിൽ, ഇത് ഏറ്റവും ലളിതമാണ്. അജ്ഞാതമായതിനാൽ ഇതിനെ വിളിക്കുന്നു (ഇൻ ഈ കാര്യംഈ നമ്പർ എൻ) നിൽക്കുന്നു സൂചകംഡിഗ്രി.

ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുമായി പരിചയപ്പെടുന്ന ഘട്ടത്തിൽ (ഇത് ഒമ്പതാം ക്ലാസ് ആണ്), എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ പഠിപ്പിക്കുന്നില്ല, അതെ ... ഇത് ഹൈസ്‌കൂളിനുള്ള ഒരു വിഷയമാണ്. എന്നാൽ ഭയാനകമായ ഒന്നും തന്നെയില്ല. അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കപ്പെടുമെന്ന് നിങ്ങൾക്കറിയില്ലെങ്കിലും, നമുക്ക് നമ്മുടെ കണ്ടെത്താൻ ശ്രമിക്കാം എൻലളിതമായ യുക്തിയും സാമാന്യബുദ്ധിയും വഴി നയിക്കപ്പെടുന്നു.

ഞങ്ങൾ ചർച്ച ചെയ്യാൻ തുടങ്ങുന്നു. ഇടതുവശത്ത് ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു ഡ്യൂസ് ഉണ്ട് ഒരു പരിധി വരെ. ഈ ബിരുദം എന്താണെന്ന് ഞങ്ങൾക്ക് ഇതുവരെ അറിയില്ല, പക്ഷേ ഇത് ഭയാനകമല്ല. എന്നാൽ മറുവശത്ത്, ഈ ബിരുദം 256 ന് തുല്യമാണെന്ന് ഞങ്ങൾക്ക് ഉറപ്പായി അറിയാം! ഡ്യൂസ് നമുക്ക് എത്രത്തോളം 256 നൽകുന്നു എന്ന് ഞങ്ങൾ ഓർക്കുന്നു. ഓർക്കുന്നുണ്ടോ? അതെ! എ.ടി എട്ടാമത്തേത്ഡിഗ്രികൾ!

256 = 2 8

നിങ്ങൾ ഓർത്തില്ലെങ്കിലോ പ്രശ്‌നത്തിന്റെ അളവുകൾ തിരിച്ചറിഞ്ഞിട്ടോ ആണെങ്കിൽ, അതും കുഴപ്പമില്ല: ഞങ്ങൾ രണ്ടെണ്ണം ചതുരത്തിലേക്കും ക്യൂബിലേക്കും നാലാമത്തെ ശക്തിയിലേക്കും അഞ്ചാമത്തേതും മറ്റും തുടർച്ചയായി ഉയർത്തുന്നു. തിരഞ്ഞെടുപ്പ്, വാസ്തവത്തിൽ, എന്നാൽ ഈ തലത്തിൽ, തികച്ചും ഒരു സവാരിയാണ്.

ഒരു തരത്തിൽ അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊന്ന്, നമുക്ക് ലഭിക്കും:

2 എൻ -1 = 2 8

എൻ-1 = 8

എൻ = 9

അതിനാൽ 768 ആണ് ഒമ്പതാംഞങ്ങളുടെ പുരോഗതിയിലെ അംഗം. അത്രയേയുള്ളൂ, പ്രശ്നം പരിഹരിച്ചു.)

ഉത്തരം: 9

എന്ത്? വിരസമാണോ? പ്രാഥമികം മടുത്തോ? ഞാൻ അംഗീകരിക്കുന്നു. എന്നേം കൂടി. നമുക്ക് അടുത്ത ലെവലിലേക്ക് പോകാം.)

കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ ജോലികൾ.

ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ പസിലുകൾ കൂടുതൽ പെട്ടെന്ന് പരിഹരിക്കുന്നു. വളരെ രസകരമല്ല, പക്ഷേ ഉത്തരം ലഭിക്കാൻ നിങ്ങൾ അൽപ്പം പരിശ്രമിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ഉദാഹരണത്തിന്, ഇതുപോലെ.

ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ നാലാമത്തെ പദം -24 ഉം ഏഴാമത്തെ പദം 192 ഉം ആണെങ്കിൽ അതിന്റെ രണ്ടാമത്തെ പദം കണ്ടെത്തുക.

ഇത് ഈ വിഭാഗത്തിന്റെ ഒരു ക്ലാസിക് ആണ്. പുരോഗതിയുടെ രണ്ട് വ്യത്യസ്ത അംഗങ്ങൾ അറിയപ്പെടുന്നു, എന്നാൽ ഒരു അംഗം കൂടി കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. മാത്രമല്ല, എല്ലാ അംഗങ്ങളും അയൽക്കാരല്ല. എന്താണ് ആദ്യം ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കുന്നത്, അതെ ...

എന്നതുപോലെ, അത്തരം പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രണ്ട് രീതികൾ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കുന്നു. ആദ്യ വഴി സാർവത്രികമാണ്. ബീജഗണിതം. ഏത് ഉറവിട ഡാറ്റയിലും കുറ്റമറ്റ രീതിയിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്നു. അതിനാൽ ഞങ്ങൾ അവിടെ നിന്ന് ആരംഭിക്കും.)

ഫോർമുല അനുസരിച്ച് ഞങ്ങൾ ഓരോ പദവും വരയ്ക്കുന്നു എൻഅംഗം!

ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുമായി എല്ലാം കൃത്യമായി സമാനമാണ്. ഈ സമയം മാത്രമാണ് ഞങ്ങൾ പ്രവർത്തിക്കുന്നത് മറ്റൊന്ന്പൊതു ഫോർമുല. അത്രയേയുള്ളൂ.) എന്നാൽ സാരാംശം ഒന്നുതന്നെയാണ്: ഞങ്ങൾ എടുക്കുന്നു മാറി മാറിഞങ്ങൾ ഞങ്ങളുടെ പ്രാരംഭ ഡാറ്റ nth ടേമിന്റെ ഫോർമുലയിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. ഓരോ അംഗത്തിനും - അവരുടേത്.

നാലാമത്തെ ടേമിനായി ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു:

ബി 4 = ബി 1 · q 3

-24 = ബി 1 · q 3

ഇതുണ്ട്. ഒരു സമവാക്യം പൂർത്തിയായി.

ഏഴാം ടേമിനായി ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു:

ബി 7 = ബി 1 · q 6

192 = ബി 1 · q 6

മൊത്തത്തിൽ, രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ ലഭിച്ചു അതേ പുരോഗതി .

ഞങ്ങൾ അവരിൽ നിന്ന് ഒരു സിസ്റ്റം കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നു:

അതിന്റെ ഭീമാകാരമായ രൂപം ഉണ്ടായിരുന്നിട്ടും, സിസ്റ്റം വളരെ ലളിതമാണ്. പരിഹരിക്കാനുള്ള ഏറ്റവും വ്യക്തമായ മാർഗ്ഗം സാധാരണ പകരം വയ്ക്കലാണ്. ഞങ്ങൾ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു ബി 1 മുകളിലെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്നും താഴത്തെ ഒന്നിലേക്ക് പകരമായി:

താഴത്തെ സമവാക്യത്തോടുകൂടിയ ഒരു ചെറിയ ഫിഡിംഗ് (എക്‌സ്‌പോണന്റുകളെ കുറയ്ക്കുകയും -24 കൊണ്ട് ഹരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു) ഫലം നൽകുന്നു:

q 3 = -8

വഴിയിൽ, അതേ സമവാക്യം ഒരു ലളിതമായ രീതിയിൽ എത്തിച്ചേരാം! എന്ത്? ഇപ്പോൾ ഞാൻ നിങ്ങൾക്ക് മറ്റൊരു രഹസ്യം കാണിക്കും, എന്നാൽ വളരെ മനോഹരവും ശക്തവും ഉപയോഗപ്രദമായ വഴിഅത്തരം സംവിധാനങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ. അത്തരം സംവിധാനങ്ങൾ, അവർ ഇരിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങളിൽ മാത്രം പ്രവർത്തിക്കുന്നു.കുറഞ്ഞത് ഒന്നിലെങ്കിലും. വിളിച്ചു പദ വിഭജന രീതിഒരു സമവാക്യം മറ്റൊന്നിലേക്ക്.

അതിനാൽ ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു സംവിധാനമുണ്ട്:

ഇടതുവശത്തുള്ള രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളിലും - ജോലി, വലതുവശത്ത് ഒരു നമ്പർ മാത്രം. ഇത് വളരെ നല്ല അടയാളം.) നമുക്ക് എടുത്ത് ... താഴത്തെ സമവാക്യത്തെ മുകളിലുള്ള സമവാക്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കുക! എന്താണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്, ഒരു സമവാക്യത്തെ മറ്റൊന്നുകൊണ്ട് ഹരിക്കണോ?വളരെ ലളിതം. നമ്മള് എടുക്കും ഇടത് വശം ഒരു സമവാക്യം (താഴ്ന്ന) ഒപ്പം ഞങ്ങൾ വിഭജിക്കുന്നുഅവളെ ഇടത് വശംമറ്റൊരു സമവാക്യം (മുകളിൽ). വലതുഭാഗം സമാനമാണ്: വലത് വശംഒരു സമവാക്യം ഞങ്ങൾ വിഭജിക്കുന്നുന് വലത് വശംമറ്റൊന്ന്.

മുഴുവൻ വിഭജന പ്രക്രിയയും ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

ഇപ്പോൾ, കുറച്ചതെല്ലാം കുറച്ചുകൊണ്ട്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

q 3 = -8

ഈ രീതിയെക്കുറിച്ച് എന്താണ് നല്ലത്? അതെ, കാരണം അത്തരമൊരു വിഭജന പ്രക്രിയയിൽ, മോശമായതും അസൗകര്യമുള്ളതുമായ എല്ലാം സുരക്ഷിതമായി കുറയ്ക്കുകയും പൂർണ്ണമായും നിരുപദ്രവകരമായ ഒരു സമവാക്യം നിലനിൽക്കുകയും ചെയ്യും! അതുകൊണ്ടാണ് അത് ഉണ്ടായിരിക്കേണ്ടത് വളരെ പ്രധാനമായത് ഗുണനങ്ങൾ മാത്രംസിസ്റ്റത്തിന്റെ ഒരു സമവാക്യത്തിലെങ്കിലും. ഗുണനമില്ല - കുറയ്ക്കാൻ ഒന്നുമില്ല, അതെ ...

പൊതുവേ, ഈ രീതി (സംവിധാനങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള മറ്റ് നിസ്സാരമല്ലാത്ത വഴികൾ പോലെ) ഒരു പ്രത്യേക പാഠം പോലും അർഹിക്കുന്നു. ഞാൻ തീർച്ചയായും അത് സൂക്ഷ്മമായി പരിശോധിക്കും. എന്നെങ്കിലും…

എന്നിരുന്നാലും, നിങ്ങൾ സിസ്റ്റം എങ്ങനെ പരിഹരിച്ചാലും, ഏത് സാഹചര്യത്തിലും, ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്:

q 3 = -8

പ്രശ്‌നമില്ല: ഞങ്ങൾ റൂട്ട് (ക്യൂബിക്) എക്‌സ്‌ട്രാക്‌റ്റുചെയ്‌ത് - ചെയ്തു!

എക്‌സ്‌ട്രാക്‌റ്റുചെയ്യുമ്പോൾ ഇവിടെ പ്ലസ് / മൈനസ് ഇടേണ്ട ആവശ്യമില്ല എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. ഞങ്ങൾക്ക് ഒറ്റ (മൂന്നാം) ഡിഗ്രി റൂട്ട് ഉണ്ട്. ഉത്തരം ഒന്നുതന്നെയാണ്, അതെ.

അതിനാൽ, പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ കണ്ടെത്തി. മൈനസ് രണ്ട്. മികച്ചത്! പ്രക്രിയ നടന്നുകൊണ്ടിരിക്കുന്നു.)

ആദ്യ ടേമിന് (മുകളിലെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് പറയുക) നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

മികച്ചത്! ആദ്യ പദം ഞങ്ങൾക്കറിയാം, ഡിനോമിനേറ്ററിനെ ഞങ്ങൾക്കറിയാം. പുരോഗതിയുടെ ഏതെങ്കിലും അംഗത്തെ കണ്ടെത്താൻ ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾക്ക് അവസരമുണ്ട്. രണ്ടാമത്തേത് ഉൾപ്പെടെ.)

രണ്ടാമത്തെ അംഗത്തിന്, എല്ലാം വളരെ ലളിതമാണ്:

ബി 2 = ബി 1 · q= 3 (-2) = -6

ഉത്തരം: -6

അതിനാൽ, പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ബീജഗണിത രീതി ഞങ്ങൾ ക്രമീകരിച്ചു. ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള? അധികം ഇല്ല, ഞാൻ സമ്മതിക്കുന്നു. നീണ്ടതും വിരസവുമായോ? അതെ തീർച്ചയായും. എന്നാൽ ചിലപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ജോലിയുടെ അളവ് ഗണ്യമായി കുറയ്ക്കാൻ കഴിയും. ഇതിനായി ഉണ്ട് ഗ്രാഫിക് വഴി.നല്ല പഴയതും ഞങ്ങൾക്ക് പരിചിതവുമാണ്.)

നമുക്ക് പ്രശ്നം വരയ്ക്കാം!

അതെ! കൃത്യമായി. വീണ്ടും ഞങ്ങൾ സംഖ്യാ അക്ഷത്തിൽ നമ്മുടെ പുരോഗതി ചിത്രീകരിക്കുന്നു. ഒരു ഭരണാധികാരിയായിരിക്കണമെന്നില്ല, അംഗങ്ങൾക്കിടയിൽ തുല്യ ഇടവേളകൾ നിലനിർത്തേണ്ട ആവശ്യമില്ല (വഴിയിൽ, ഇത് സമാനമാകില്ല, കാരണം പുരോഗതി ജ്യാമിതീയമാണ്!), എന്നാൽ ലളിതമായി ആസൂത്രിതമായിഞങ്ങളുടെ ക്രമം വരയ്ക്കുക.

എനിക്ക് ഇത് ഇതുപോലെ ലഭിച്ചു:

ഇനി ചിത്രം നോക്കി ചിന്തിക്കുക. എത്ര തുല്യ ഘടകങ്ങൾ "q" പങ്കിടുന്നു നാലാമത്തെഒപ്പം ഏഴാമത്തേത്അംഗങ്ങൾ? അത് ശരിയാണ്, മൂന്ന്!

അതിനാൽ, എഴുതാൻ ഞങ്ങൾക്ക് എല്ലാ അവകാശവുമുണ്ട്:

-24q 3 = 192

ഇവിടെ നിന്ന് ഇപ്പോൾ q കണ്ടെത്തുന്നത് എളുപ്പമാണ്:

q 3 = -8

q = -2

അത് കൊള്ളാം, ഡിനോമിനേറ്റർ ഇതിനകം തന്നെ ഞങ്ങളുടെ പോക്കറ്റിൽ ഉണ്ട്. ഇപ്പോൾ നമ്മൾ വീണ്ടും ചിത്രം നോക്കുന്നു: അത്തരം എത്ര ഡിനോമിനേറ്ററുകൾക്കിടയിൽ ഇരിക്കുന്നു രണ്ടാമത്തേത്ഒപ്പം നാലാമത്തെഅംഗങ്ങൾ? രണ്ട്! അതിനാൽ, ഈ അംഗങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം രേഖപ്പെടുത്താൻ, ഞങ്ങൾ ഡിനോമിനേറ്റർ ഉയർത്തും ചതുരാകൃതിയിലുള്ള.

ഇവിടെ ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു:

ബി 2 · q 2 = -24 , എവിടെ ബി 2 = -24/ q 2

ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തിയ ഡിനോമിനേറ്ററിനെ b 2 എന്ന പദപ്രയോഗത്തിലേക്ക് മാറ്റി, എണ്ണി നേടുക:

ഉത്തരം: -6

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, എല്ലാം സിസ്റ്റത്തിലൂടെയുള്ളതിനേക്കാൾ വളരെ ലളിതവും വേഗമേറിയതുമാണ്. മാത്രമല്ല, ഇവിടെ നമുക്ക് ആദ്യ പദം കണക്കാക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല! എല്ലാം.)

അത്തരമൊരു ലളിതവും ദൃശ്യപരവുമായ വഴി-വെളിച്ചം ഇതാ. എന്നാൽ ഇതിന് ഗുരുതരമായ ഒരു പോരായ്മയും ഉണ്ട്. ഊഹിച്ചോ? അതെ! പുരോഗതിയുടെ വളരെ ചെറിയ ഭാഗങ്ങൾക്ക് മാത്രമേ ഇത് നല്ലതാണ്. ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുള്ള അംഗങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം വളരെ വലുതല്ലാത്തവ. എന്നാൽ മറ്റെല്ലാ സാഹചര്യങ്ങളിലും ഒരു ചിത്രം വരയ്ക്കുന്നത് ഇതിനകം തന്നെ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്, അതെ ... അപ്പോൾ നമ്മൾ പ്രശ്നം വിശകലനപരമായി ഒരു സിസ്റ്റത്തിലൂടെ പരിഹരിക്കുന്നു.) കൂടാതെ സിസ്റ്റങ്ങൾ ഒരു സാർവത്രിക കാര്യമാണ്. ഏത് നമ്പറും കൈകാര്യം ചെയ്യുക.

മറ്റൊരു ഇതിഹാസം:

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ രണ്ടാമത്തെ പദം ആദ്യത്തേതിനേക്കാൾ 10 കൂടുതലാണ്, മൂന്നാമത്തെ പദം രണ്ടാമത്തേതിനേക്കാൾ 30 കൂടുതലാണ്. പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ കണ്ടെത്തുക.

എന്താണ് രസകരമായത്? ഒരിക്കലുമില്ല! എല്ലാം ഒന്നുതന്നെ. ഞങ്ങൾ വീണ്ടും പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥയെ ശുദ്ധമായ ബീജഗണിതത്തിലേക്ക് വിവർത്തനം ചെയ്യുന്നു.

1) ഫോർമുല അനുസരിച്ച് ഞങ്ങൾ ഓരോ പദവും വരയ്ക്കുന്നു എൻഅംഗം!

രണ്ടാമത്തെ ടേം: b 2 = b 1 q

മൂന്നാം ടേം: b 3 \u003d b 1 q 2

2) പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥയിൽ നിന്ന് അംഗങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു.

വ്യവസ്ഥ വായിക്കുന്നു: "ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ രണ്ടാമത്തെ പദത്തിന് ആദ്യത്തേതിനേക്കാൾ 10 കൂടുതലാണ്."നിർത്തുക, ഇത് വിലപ്പെട്ടതാണ്!

അതിനാൽ ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു:

ബി 2 = ബി 1 +10

ഞങ്ങൾ ഈ വാചകം ശുദ്ധമായ ഗണിതത്തിലേക്ക് വിവർത്തനം ചെയ്യുന്നു:

ബി 3 = ബി 2 +30

ഞങ്ങൾക്ക് രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ ലഭിച്ചു. ഞങ്ങൾ അവയെ ഒരു സിസ്റ്റമായി സംയോജിപ്പിക്കുന്നു:

സിസ്റ്റം ലളിതമായി തോന്നുന്നു. എന്നാൽ അക്ഷരങ്ങൾക്ക് ധാരാളം വ്യത്യസ്ത സൂചികകൾ ഉണ്ട്. രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും അംഗങ്ങൾക്ക് പകരം ആദ്യത്തെ അംഗവും ഡിനോമിനേറ്ററും മുഖേന അവരുടെ പദപ്രയോഗത്തിന് പകരം വയ്ക്കാം! വെറുതെ, അല്ലെങ്കിൽ എന്ത്, ഞങ്ങൾ അവരെ വരച്ചു?

നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

എന്നാൽ അത്തരമൊരു സംവിധാനം ഇനി ഒരു സമ്മാനമല്ല, അതെ ... ഇത് എങ്ങനെ പരിഹരിക്കും? നിർഭാഗ്യവശാൽ, സങ്കീർണ്ണമായത് പരിഹരിക്കാനുള്ള സാർവത്രിക രഹസ്യ അക്ഷരത്തെറ്റ് നോൺ-ലീനിയർഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ സംവിധാനങ്ങളൊന്നുമില്ല, ഉണ്ടാകാനും കഴിയില്ല. ഇത് അതിശയകരമാണ്! എന്നാൽ അത്തരമൊരു കടുപ്പമുള്ള നട്ട് പൊട്ടിക്കാൻ ശ്രമിക്കുമ്പോൾ ആദ്യം നിങ്ങളുടെ മനസ്സിൽ വരേണ്ടത് കണ്ടുപിടിക്കുക എന്നതാണ് കൂടാതെ സിസ്റ്റത്തിന്റെ സമവാക്യങ്ങളിലൊന്നും കുറയുന്നില്ല മനോഹരമായ കാഴ്ച, ഉദാഹരണത്തിന്, വേരിയബിളുകളിലൊന്ന് മറ്റൊന്നിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ എളുപ്പത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ അനുവദിക്കുന്നുണ്ടോ?

നമുക്ക് ഊഹിക്കാം. സിസ്റ്റത്തിന്റെ ആദ്യ സമവാക്യം രണ്ടാമത്തേതിനേക്കാൾ വളരെ ലളിതമാണ്. ഞങ്ങൾ അവനെ പീഡിപ്പിക്കും.) ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് എന്തുകൊണ്ട് ശ്രമിക്കരുത് എന്തോപ്രകടിപ്പിക്കുക എന്തെങ്കിലും?ഞങ്ങൾ ഡിനോമിനേറ്റർ കണ്ടെത്താൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നതിനാൽ q, അപ്പോൾ അത് പ്രകടിപ്പിക്കുന്നത് നമുക്ക് ഏറ്റവും പ്രയോജനപ്രദമായിരിക്കും ബി 1 വഴി q.

അതിനാൽ, നല്ല പഴയവ ഉപയോഗിച്ച് ആദ്യത്തെ സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് ഈ നടപടിക്രമം ചെയ്യാൻ ശ്രമിക്കാം:

b 1 q = b 1 +10

b 1 q - b 1 \u003d 10

b 1 (q-1) = 10

എല്ലാം! ഇവിടെ ഞങ്ങൾ പ്രകടിപ്പിച്ചു അനാവശ്യമായനമുക്ക് വേരിയബിൾ (ബി 1) വഴി ആവശ്യമായ(ക്യു). അതെ, ലഭിച്ച ഏറ്റവും ലളിതമായ പദപ്രയോഗമല്ല. ചിലതരം ഭിന്നസംഖ്യകൾ ... എന്നാൽ ഞങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം മാന്യമായ തലത്തിലാണ്, അതെ.)

സാധാരണ. എന്തുചെയ്യണം - നമുക്കറിയാം.

ഞങ്ങൾ ODZ എഴുതുന്നു (നിർബന്ധമായും!) :

q ≠ 1

ഞങ്ങൾ എല്ലാം ഡിനോമിനേറ്റർ (q-1) കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയും എല്ലാ ഭിന്നസംഖ്യകളും കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യുന്നു:

10 q 2 = 10 q + 30(q-1)

ഞങ്ങൾ എല്ലാം പത്തായി വിഭജിക്കുന്നു, ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കുക, ഇടതുവശത്ത് എല്ലാം ശേഖരിക്കുക:

q 2 – 4 q + 3 = 0

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്നത് ഞങ്ങൾ പരിഹരിച്ച് രണ്ട് വേരുകൾ നേടുന്നു:

q 1 = 1

q 2 = 3

അന്തിമ ഉത്തരം ഒന്നേയുള്ളൂ: q = 3 .

ഉത്തരം: 3

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ n-ആം അംഗത്തിന്റെ ഫോർമുലയുടെ മിക്ക പ്രശ്നങ്ങളും പരിഹരിക്കാനുള്ള വഴി എല്ലായ്പ്പോഴും സമാനമാണ്: ഞങ്ങൾ വായിക്കുന്നു ശ്രദ്ധാപൂർവ്വംപ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥയും n-ആം പദത്തിന്റെ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ മുഴുവൻ വിവർത്തനം ചെയ്യുന്നു ഉപകാരപ്രദമായ വിവരംശുദ്ധമായ ബീജഗണിതത്തിലേക്ക്.

അതായത്:

1) സമവാക്യം അനുസരിച്ച് പ്രശ്നത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന ഓരോ അംഗത്തെയും ഞങ്ങൾ വെവ്വേറെ എഴുതുന്നുഎൻമത്തെ അംഗം.

2) പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥയിൽ നിന്ന്, അംഗങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം ഞങ്ങൾ ഒരു ഗണിത രൂപത്തിലേക്ക് വിവർത്തനം ചെയ്യുന്നു. ഞങ്ങൾ ഒരു സമവാക്യം അല്ലെങ്കിൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം രചിക്കുന്നു.

3) ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യം അല്ലെങ്കിൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം ഞങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു, പുരോഗതിയുടെ അജ്ഞാത പാരാമീറ്ററുകൾ കണ്ടെത്തുക.

4) അവ്യക്തമായ ഉത്തരത്തിന്റെ കാര്യത്തിൽ, അധിക വിവരങ്ങൾ (എന്തെങ്കിലും ഉണ്ടെങ്കിൽ) തിരയുന്നതിനായി ഞങ്ങൾ പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥ ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം വായിക്കുന്നു. ODZ ന്റെ വ്യവസ്ഥകൾ (എന്തെങ്കിലും ഉണ്ടെങ്കിൽ) ഉപയോഗിച്ച് ലഭിച്ച ഉത്തരം ഞങ്ങൾ പരിശോധിക്കുന്നു.

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്ന പ്രക്രിയയിൽ മിക്കപ്പോഴും പിശകുകളിലേക്ക് നയിക്കുന്ന പ്രധാന പ്രശ്നങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ഇപ്പോൾ പട്ടികപ്പെടുത്തുന്നു.

1. പ്രാഥമിക ഗണിതശാസ്ത്രം. ഭിന്നസംഖ്യകളും നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകളും ഉള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ.

2. ഈ മൂന്ന് പോയിന്റുകളിൽ ഒരെണ്ണമെങ്കിലും പ്രശ്നമാണെങ്കിൽ, ഈ വിഷയത്തിൽ നിങ്ങൾ അനിവാര്യമായും തെറ്റിദ്ധരിക്കപ്പെടും. നിർഭാഗ്യവശാൽ... അതുകൊണ്ട് അലസത കാണിക്കരുത്, മുകളിൽ പറഞ്ഞ കാര്യങ്ങൾ ആവർത്തിക്കുക. ലിങ്കുകൾ പിന്തുടരുക - പോകുക. ചിലപ്പോൾ ഇത് സഹായിക്കുന്നു.)

പരിഷ്കരിച്ചതും ആവർത്തിച്ചുള്ളതുമായ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ.

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് പരിചിതമല്ലാത്ത അവസ്ഥയുടെ അവതരണമുള്ള രണ്ട് സാധാരണ പരീക്ഷാ പ്രശ്നങ്ങൾ നോക്കാം. അതെ, അതെ, നിങ്ങൾ ഊഹിച്ചു! അത് തിരുത്തപ്പെട്ടത്ഒപ്പം ആവർത്തിച്ചുള്ള nth അംഗത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ. ഞങ്ങൾ ഇതിനകം അത്തരം സൂത്രവാക്യങ്ങൾ നേരിടുകയും ഗണിത പുരോഗതിയിൽ പ്രവർത്തിക്കുകയും ചെയ്തിട്ടുണ്ട്. ഇവിടെ എല്ലാം സമാനമാണ്. സാരാംശം ഒന്നുതന്നെ.

ഉദാഹരണത്തിന്, OGE-ൽ നിന്നുള്ള അത്തരമൊരു പ്രശ്നം:

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി ഫോർമുലയാണ് നൽകുന്നത് ബി എൻ = 3 2 എൻ . ഒന്നാമത്തെയും നാലാമത്തെയും പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുക.

പതിവുപോലെയല്ല ഇത്തവണ പുരോഗതി ഞങ്ങൾക്ക് നൽകിയിരിക്കുന്നത്. ഒരുതരം ഫോർമുല. അതുകൊണ്ടെന്ത്? ഈ സൂത്രവാക്യം ഒരു ഫോർമുലയുംഎൻഅംഗം! Nth പദത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യം പൊതുവായ രൂപത്തിലും അക്ഷരങ്ങളിലൂടെയും വേണ്ടിയും എഴുതാമെന്ന് നമുക്കെല്ലാവർക്കും അറിയാം നിർദ്ദിഷ്ട പുരോഗതി. മുതൽ നിർദ്ദിഷ്ടആദ്യ ടേമും ഡിനോമിനേറ്ററും.

ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന പാരാമീറ്ററുകളുള്ള ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിക്ക് ഞങ്ങൾ ഒരു പൊതു പദ ഫോർമുല നൽകിയിട്ടുണ്ട്:

ബി 1 = 6

q = 2

നമുക്ക് പരിശോധിക്കാം?) n-ആം പദത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യം പൊതുവായ രൂപത്തിൽ എഴുതി അതിൽ പകരം വയ്ക്കാം. ബി 1 ഒപ്പം q. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ബി എൻ = ബി 1 · q n -1

ബി എൻ= 6 2എൻ -1

ഫാക്‌ടറൈസേഷനും പവർ പ്രോപ്പർട്ടിയും ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ലളിതമാക്കുകയും നേടുകയും ചെയ്യുന്നു:

ബി എൻ= 6 2എൻ -1 = 3 2 2എൻ -1 = 3 2എൻ -1+1 = 3 2എൻ

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, എല്ലാം ന്യായമാണ്. എന്നാൽ നിങ്ങളുമായുള്ള ഞങ്ങളുടെ ലക്ഷ്യം ഒരു നിർദ്ദിഷ്ട ഫോർമുലയുടെ ഉത്ഭവം പ്രകടിപ്പിക്കുകയല്ല. ഇത് അങ്ങനെയാണ്, ഒരു ലിറിക്കൽ ഡൈഗ്രഷൻ. പൂർണ്ണമായും മനസ്സിലാക്കാൻ വേണ്ടി.) വ്യവസ്ഥയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന സൂത്രവാക്യം അനുസരിച്ച് പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുക എന്നതാണ് ഞങ്ങളുടെ ലക്ഷ്യം. നിങ്ങൾക്കത് പിടികിട്ടിയോ?) അതിനാൽ ഞങ്ങൾ പരിഷ്കരിച്ച ഫോർമുലയുമായി നേരിട്ട് പ്രവർത്തിക്കുന്നു.

ഞങ്ങൾ ആദ്യ പദം കണക്കാക്കുന്നു. പകരക്കാരൻ എൻ=1 പൊതുവായ സൂത്രവാക്യത്തിലേക്ക്:

ബി 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

ഇതുപോലെ. വഴിയിൽ, ഞാൻ വളരെ മടിയനല്ല, ആദ്യത്തെ ടേമിന്റെ കണക്കുകൂട്ടലിനൊപ്പം ഒരിക്കൽ കൂടി ഞാൻ നിങ്ങളുടെ ശ്രദ്ധ ഒരു സാധാരണ തെറ്റിലേക്ക് ആകർഷിക്കും. ഫോർമുല നോക്കരുത് ബി എൻ= 3 2എൻ, ആദ്യത്തെ അംഗം ഒരു ട്രോയിക്കയാണെന്ന് എഴുതാൻ ഉടൻ തിരക്കുകൂട്ടുക! അതൊരു വലിയ തെറ്റാണ്, അതെ...)

ഞങ്ങൾ തുടരുന്നു. പകരക്കാരൻ എൻ=4 നാലാമത്തെ പദം പരിഗണിക്കുക:

ബി 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

അവസാനമായി, ആവശ്യമായ തുക ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു:

ബി 1 + ബി 4 = 6+48 = 54

ഉത്തരം: 54

മറ്റൊരു പ്രശ്നം.

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി വ്യവസ്ഥകളാൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു:

ബി 1 = -7;

ബി എൻ +1 = 3 ബി എൻ

പുരോഗതിയുടെ നാലാമത്തെ പദം കണ്ടെത്തുക.

ഇവിടെ ആവർത്തന ഫോർമുലയാണ് പുരോഗതി നൽകുന്നത്. ശരി, ശരി.) ഈ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കാം - ഞങ്ങൾക്കും അറിയാം.

ഇവിടെ ഞങ്ങൾ അഭിനയിക്കുന്നു. പടി പടിയായി.

1) രണ്ട് എണ്ണുന്നു തുടർച്ചയായിപുരോഗതിയുടെ അംഗം.

ആദ്യ ടേം ഇതിനകം തന്നെ ഞങ്ങൾക്ക് നൽകിയിട്ടുണ്ട്. മൈനസ് ഏഴ്. എന്നാൽ അടുത്ത, രണ്ടാമത്തെ ടേം, ആവർത്തന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് എളുപ്പത്തിൽ കണക്കാക്കാം. ഇത് എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കുന്നുവെന്ന് നിങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുന്നുവെങ്കിൽ, തീർച്ചയായും.)

ഇവിടെ നമ്മൾ രണ്ടാമത്തെ പദം പരിഗണിക്കുന്നു പ്രസിദ്ധമായ ആദ്യ പ്രകാരം:

ബി 2 = 3 ബി 1 = 3 (-7) = -21

2) പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കുന്നു

കൂടാതെ ഒരു പ്രശ്നവുമില്ല. നേരെ, പങ്കിടുക രണ്ടാമത്തേത്ഡിക്ക് ഓൺ ആദ്യത്തേത്.

നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

q = -21/(-7) = 3

3) ഫോർമുല എഴുതുകഎൻസാധാരണ രൂപത്തിലുള്ള അംഗം, ആവശ്യമുള്ള അംഗത്തെ പരിഗണിക്കുക.

അതിനാൽ, ആദ്യ പദം, ഡിനോമിനേറ്ററും നമുക്കറിയാം. ഇവിടെ ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു:

ബി എൻ= -7 3എൻ -1

ബി 4 = -7 3 3 = -7 27 = -189

ഉത്തരം: -189

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിക്കായി അത്തരം ഫോർമുലകളുമായി പ്രവർത്തിക്കുന്നത് അടിസ്ഥാനപരമായി ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമല്ല. ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ പൊതുവായ സാരാംശവും അർത്ഥവും മനസ്സിലാക്കേണ്ടത് പ്രധാനമാണ്. ശരി, ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ അർത്ഥവും മനസ്സിലാക്കേണ്ടതുണ്ട്, അതെ.) തുടർന്ന് മണ്ടത്തരങ്ങൾ ഉണ്ടാകില്ല.

ശരി, നമുക്ക് സ്വന്തമായി തീരുമാനിക്കാം?)

വളരെ പ്രാഥമിക ജോലികൾ, സന്നാഹത്തിനായി:

1. ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി നൽകിയിട്ടുണ്ട് ബി 1 = 243, ഒപ്പം q = -2/3. പുരോഗതിയുടെ ആറാമത്തെ പദം കണ്ടെത്തുക.

2. ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ പൊതുവായ പദം ഫോർമുലയാണ് നൽകിയിരിക്കുന്നത് ബി എൻ = 5∙2 എൻ +1 . ഈ പുരോഗതിയുടെ അവസാന മൂന്നക്ക അംഗത്തിന്റെ നമ്പർ കണ്ടെത്തുക.

3. ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി വ്യവസ്ഥകളാൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു:

ബി 1 = -3;

ബി എൻ +1 = 6 ബി എൻ

പുരോഗതിയുടെ അഞ്ചാമത്തെ പദം കണ്ടെത്തുക.

കുറച്ചുകൂടി സങ്കീർണ്ണമായത്:

4. ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി നൽകി:

ബി 1 =2048; q =-0,5

അതിന്റെ ആറാമത്തെ നെഗറ്റീവ് ടേം എന്താണ്?

വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതായി തോന്നുന്നത് എന്താണ്? ഒരിക്കലുമില്ല. ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ അർത്ഥത്തെക്കുറിച്ചുള്ള യുക്തിയും ധാരണയും സംരക്ഷിക്കും. ശരി, തീർച്ചയായും nth term ന്റെ ഫോർമുല.

5. ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ മൂന്നാമത്തെ പദം -14 ഉം എട്ടാമത്തെ പദം 112 ഉം ആണ്. പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ കണ്ടെത്തുക.

6. ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ഒന്നാമത്തെയും രണ്ടാമത്തെയും പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക 75 ആണ്, രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക 150 ആണ്. പുരോഗതിയുടെ ആറാമത്തെ പദം കണ്ടെത്തുക.

ഉത്തരങ്ങൾ (അരാജകത്വത്തിൽ): 6; -3888; -ഒന്ന്; 800; -32; 448.

ഏതാണ്ട് അത്രമാത്രം. എങ്ങനെ കണക്കാക്കണമെന്ന് പഠിക്കാൻ മാത്രമേ ഇത് ശേഷിക്കുന്നുള്ളൂ ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ n പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുകഅതെ കണ്ടുപിടിക്കുക ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി അനന്തമായി കുറയുന്നുഅതിന്റെ തുകയും. വളരെ രസകരവും അസാധാരണവുമായ ഒരു കാര്യം, വഴിയിൽ! പിന്നീടുള്ള പാഠങ്ങളിൽ അതിനെക്കുറിച്ച് കൂടുതൽ.)