സാമ്പിൾ സർവേ അനുസരിച്ച്, നഗരത്തിലെ സ്ബെർബാങ്കിലെ നിക്ഷേപത്തിന്റെ വലുപ്പമനുസരിച്ച് നിക്ഷേപകരെ തരംതിരിച്ചിട്ടുണ്ട്:

നിർവ്വചിക്കുക:

1) വ്യതിയാനത്തിന്റെ പരിധി;

2) ശരാശരി നിക്ഷേപ തുക;

3) ശരാശരി രേഖീയ വ്യതിയാനം;

4) ചിതറിക്കൽ;

5) സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ;

6) സംഭാവനകളുടെ വ്യതിയാനത്തിന്റെ ഗുണകം.

പരിഹാരം:

ഈ വിതരണ ശ്രേണിയിൽ തുറന്ന ഇടവേളകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. അത്തരം ശ്രേണികളിൽ, ആദ്യ ഗ്രൂപ്പിന്റെ ഇടവേളയുടെ മൂല്യം പരമ്പരാഗതമായി അടുത്ത ഗ്രൂപ്പിന്റെ ഇടവേളയുടെ മൂല്യത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് അനുമാനിക്കപ്പെടുന്നു, അവസാന ഗ്രൂപ്പിന്റെ ഇടവേളയുടെ മൂല്യം മുമ്പത്തെ ഇടവേളയുടെ മൂല്യത്തിന് തുല്യമാണ്. ഒന്ന്.

രണ്ടാമത്തെ ഗ്രൂപ്പിന്റെ ഇടവേള മൂല്യം 200 ആണ്, അതിനാൽ, ആദ്യ ഗ്രൂപ്പിന്റെ മൂല്യവും 200 ആണ്. അവസാന ഗ്രൂപ്പിന്റെ ഇടവേള മൂല്യം 200 ആണ്, അതായത് അവസാന ഇടവേളയ്ക്കും 200 ന് തുല്യമായ മൂല്യം ഉണ്ടായിരിക്കും.

1) സവിശേഷതയുടെ ഏറ്റവും വലുതും ചെറുതുമായ മൂല്യം തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസമായി വ്യത്യാസത്തിന്റെ ശ്രേണി നിർവചിക്കുക:

സംഭാവനയുടെ വലുപ്പത്തിലുള്ള വ്യത്യാസത്തിന്റെ പരിധി 1000 റുബിളാണ്.

2) സംഭാവനയുടെ ശരാശരി വലിപ്പം നിർണ്ണയിക്കുന്നത് ഗണിത വെയ്റ്റഡ് ആവറേജിന്റെ ഫോർമുലയാണ്.

ഓരോ ഇടവേളയിലും ആട്രിബ്യൂട്ടിന്റെ വ്യതിരിക്തമായ മൂല്യം നമുക്ക് പ്രാഥമികമായി നിർണ്ണയിക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ലളിതമായ ഗണിത ശരാശരി ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച്, ഇടവേളകളുടെ മധ്യ പോയിന്റുകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു.

ആദ്യ ഇടവേളയുടെ ശരാശരി മൂല്യം ഇതിന് തുല്യമായിരിക്കും:

രണ്ടാമത്തേത് - 500, മുതലായവ.

കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ ഫലങ്ങൾ പട്ടികയിൽ ഇടാം:

നഗരത്തിലെ Sberbank ലെ ശരാശരി നിക്ഷേപം 780 റുബിളായിരിക്കും:

3) ശരാശരി രേഖീയ വ്യതിയാനം എന്നത് ആട്രിബ്യൂട്ടിന്റെ വ്യക്തിഗത മൂല്യങ്ങളുടെ കേവല വ്യതിയാനങ്ങളുടെ ഗണിത ശരാശരിയാണ്, മൊത്തം ശരാശരിയിൽ നിന്ന്:

ഇടവേള വിതരണ ശ്രേണിയിലെ ശരാശരി രേഖീയ വ്യതിയാനം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള നടപടിക്രമം ഇപ്രകാരമാണ്:

1. ഖണ്ഡിക 2 ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ, ഗണിത വെയ്റ്റഡ് ശരാശരി കണക്കാക്കുന്നു.

2. ശരാശരിയിൽ നിന്നുള്ള വേരിയന്റിന്റെ സമ്പൂർണ്ണ വ്യതിയാനങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു:

3. ലഭിച്ച വ്യതിയാനങ്ങൾ ആവൃത്തികൾ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു:

4. അടയാളം കണക്കിലെടുക്കാതെ തൂക്കമുള്ള വ്യതിയാനങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുന്നു:

5. വെയ്റ്റഡ് വ്യതിയാനങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ആവൃത്തികളുടെ ആകെത്തുക കൊണ്ട് ഹരിച്ചിരിക്കുന്നു:

കണക്കാക്കിയ ഡാറ്റയുടെ പട്ടിക ഉപയോഗിക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്:

Sberbank ക്ലയന്റുകളുടെ നിക്ഷേപത്തിന്റെ വലിപ്പത്തിന്റെ ശരാശരി രേഖീയ വ്യതിയാനം 203.2 റൂബിൾ ആണ്.

4) ഗണിത ശരാശരിയിൽ നിന്ന് ഓരോ ഫീച്ചർ മൂല്യത്തിന്റെയും ചതുരാകൃതിയിലുള്ള വ്യതിയാനങ്ങളുടെ ഗണിത ശരാശരിയാണ് ഡിസ്പർഷൻ.

ഇടവേള വിതരണ ശ്രേണിയിലെ വ്യത്യാസത്തിന്റെ കണക്കുകൂട്ടൽ ഫോർമുല അനുസരിച്ച് നടത്തുന്നു:

ഈ കേസിൽ വ്യത്യാസം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള നടപടിക്രമം ഇപ്രകാരമാണ്:

1. ഖണ്ഡിക 2 ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ, ഗണിത ഭാരമുള്ള ശരാശരി നിർണ്ണയിക്കുക).

2. ശരാശരിയിൽ നിന്നുള്ള വ്യതിയാനങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക:

3. ശരാശരിയിൽ നിന്ന് ഓരോ ഓപ്ഷന്റെയും വ്യതിയാനം സ്ക്വയർ ചെയ്യുക:

4. ചതുരത്തിലുള്ള വ്യതിയാനങ്ങളെ ഭാരത്താൽ ഗുണിക്കുക (ആവൃത്തികൾ):

5. ലഭിച്ച പ്രവൃത്തികൾ സംഗ്രഹിക്കുക:

6. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന തുക ഭാരങ്ങളുടെ (ആവൃത്തികളുടെ) ആകെത്തുക കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു:

നമുക്ക് കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ഒരു പട്ടികയിൽ ഇടാം:

എക്സൽ പ്രോഗ്രാമിനെ പ്രൊഫഷണലുകളും അമച്വർമാരും വളരെയധികം വിലമതിക്കുന്നു, കാരണം ഏത് തലത്തിലുള്ള പരിശീലനത്തിന്റെയും ഉപയോക്താവിന് ഇത് ഉപയോഗിച്ച് പ്രവർത്തിക്കാൻ കഴിയും. ഉദാഹരണത്തിന്, Excel-മായി "ആശയവിനിമയം" ചെയ്യാനുള്ള കുറഞ്ഞ കഴിവുകളുള്ള ആർക്കും ഒരു ലളിതമായ ഗ്രാഫ് വരയ്ക്കാനും മാന്യമായ ഒരു അടയാളം ഉണ്ടാക്കാനും കഴിയും.

അതേ സമയം, ഈ പ്രോഗ്രാം വിവിധ തരത്തിലുള്ള കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്താൻ പോലും നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, കണക്കുകൂട്ടൽ, എന്നാൽ ഇതിന് ഇതിനകം അല്പം വ്യത്യസ്തമായ പരിശീലനം ആവശ്യമാണ്. എന്നിരുന്നാലും, നിങ്ങൾ ഈ പ്രോഗ്രാമുമായി അടുത്ത പരിചയം ആരംഭിക്കുകയും കൂടുതൽ വിപുലമായ ഉപയോക്താവാകാൻ നിങ്ങളെ സഹായിക്കുന്ന എല്ലാ കാര്യങ്ങളിലും താൽപ്പര്യമുണ്ടെങ്കിൽ, ഈ ലേഖനം നിങ്ങൾക്കുള്ളതാണ്. ശരാശരി എന്താണെന്ന് ഇന്ന് ഞാൻ നിങ്ങളോട് പറയും സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻഎക്സലിലെ ഫോർമുല, എന്തുകൊണ്ട് ഇത് ആവശ്യമാണ്, വാസ്തവത്തിൽ, എപ്പോഴാണ് ഇത് ഉപയോഗിക്കുന്നത്. പോകൂ!

അത് എന്താണ്

നമുക്ക് സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കാം. സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു സ്ക്വയർ റൂട്ട്, ലഭ്യമായ മൂല്യങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള എല്ലാ സ്ക്വയർ വ്യത്യാസങ്ങളുടെയും ഗണിത ശരാശരിയിൽ നിന്നും അവയുടെ ഗണിത ശരാശരിയിൽ നിന്നും ലഭിച്ചതാണ്. വഴിയിൽ, ഈ മൂല്യത്തെ സാധാരണയായി ഗ്രീക്ക് അക്ഷരം "സിഗ്മ" എന്ന് വിളിക്കുന്നു. സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ യഥാക്രമം STDEV എന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ചാണ് കണക്കാക്കുന്നത്, പ്രോഗ്രാം ഉപയോക്താവിന് തന്നെ അത് ചെയ്യുന്നു.

ഉപകരണത്തിന്റെ വ്യതിയാനത്തിന്റെ അളവ് തിരിച്ചറിയുക എന്നതാണ് ഈ ആശയത്തിന്റെ സാരാംശം, അതായത്, അത് അതിന്റേതായ രീതിയിൽ, വിവരണാത്മക സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകളിൽ നിന്നുള്ള ഒരു സൂചകമാണ്. ഏത് സമയത്തും ഉപകരണത്തിന്റെ അസ്ഥിരതയിലെ മാറ്റങ്ങൾ ഇത് വെളിപ്പെടുത്തുന്നു. STDEV ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു സാമ്പിളിലെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ കണക്കാക്കാം, അതേസമയം ലോജിക്കൽ കൂടാതെ ടെക്സ്റ്റ് മൂല്യങ്ങൾഅവഗണിക്കപ്പെടുന്നു.

ഫോർമുല

സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ കണക്കാക്കാൻ സഹായിക്കുന്നു എക്സൽ ഫോർമുല, Excel-ൽ സ്വയമേവ നൽകുന്നതാണ്. അത് കണ്ടെത്തുന്നതിന്, നിങ്ങൾ Excel-ൽ ഫോർമുല വിഭാഗം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്, കൂടാതെ STDEV എന്ന പേരുള്ള ഒന്ന് തിരഞ്ഞെടുക്കുക, അതിനാൽ ഇത് വളരെ ലളിതമാണ്.

അതിനുശേഷം, ഒരു വിൻഡോ നിങ്ങളുടെ മുന്നിൽ ദൃശ്യമാകും, അതിൽ നിങ്ങൾ കണക്കുകൂട്ടലിനായി ഡാറ്റ നൽകേണ്ടതുണ്ട്. പ്രത്യേകിച്ചും, പ്രത്യേക ഫീൽഡുകളിൽ രണ്ട് സംഖ്യകൾ നൽകണം, അതിനുശേഷം പ്രോഗ്രാം സ്വയം സാമ്പിളിന്റെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ കണക്കാക്കും.

നിസ്സംശയമായും, ഗണിതശാസ്ത്ര സൂത്രവാക്യങ്ങളും കണക്കുകൂട്ടലുകളും വളരെ സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു പ്രശ്നമാണ്, മാത്രമല്ല എല്ലാ ഉപയോക്താക്കൾക്കും ഇത് കൈകാര്യം ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല. എന്നിരുന്നാലും, നിങ്ങൾ കുറച്ചുകൂടി ആഴത്തിൽ കുഴിച്ച് പ്രശ്നം കുറച്ചുകൂടി വിശദമായി മനസ്സിലാക്കിയാൽ, എല്ലാം അത്ര സങ്കടകരമല്ലെന്ന് മാറുന്നു. സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണത്തിലൂടെ നിങ്ങൾക്ക് ഇത് ബോധ്യപ്പെടുമെന്ന് ഞാൻ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു.

സഹായിക്കാൻ വീഡിയോ

X i -ക്രമരഹിതമായ (നിലവിലെ) മൂല്യങ്ങൾ;

X̅– സാമ്പിളിലെ റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ ശരാശരി മൂല്യം ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു:

അതിനാൽ, വ്യതിയാനം എന്നത് വ്യതിയാനങ്ങളുടെ ശരാശരി ചതുരമാണ് . അതായത്, ശരാശരി മൂല്യം ആദ്യം കണക്കാക്കുകയും പിന്നീട് എടുക്കുകയും ചെയ്യുന്നു ഓരോ യഥാർത്ഥ മൂല്യവും ശരാശരി മൂല്യവും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം, സമചതുരം , നൽകിയിരിക്കുന്ന പോപ്പുലേഷനിലെ മൂല്യങ്ങളുടെ എണ്ണം കൂട്ടിച്ചേർത്ത് ഹരിക്കുന്നു.

വ്യക്തിഗത മൂല്യവും ശരാശരിയും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം വ്യതിയാനത്തിന്റെ അളവിനെ പ്രതിഫലിപ്പിക്കുന്നു. ഇത് സ്‌ക്വയർ ചെയ്‌തിരിക്കുന്നതിനാൽ എല്ലാ വ്യതിയാനങ്ങളും പ്രത്യേകമായി മാറുന്നു പോസിറ്റീവ് നമ്പറുകൾപോസിറ്റീവ്, നെഗറ്റീവ് വ്യതിയാനങ്ങൾ സംഗ്രഹിക്കുമ്പോൾ അവ പരസ്പരം റദ്ദാക്കുന്നത് ഒഴിവാക്കാനും. തുടർന്ന്, ചതുരാകൃതിയിലുള്ള വ്യതിയാനങ്ങൾ നൽകി, ഞങ്ങൾ ഗണിത ശരാശരി കണക്കാക്കുന്നു.

സൂചന മാന്ത്രിക വാക്ക്"ചിതറിക്കൽ" എന്നത് ഈ മൂന്ന് വാക്കുകൾ മാത്രമാണ്: ശരാശരി - ചതുരം - വ്യതിയാനങ്ങൾ.

സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ (RMS)

ചിതറിക്കിടക്കുന്നതിന്റെ സ്ക്വയർ റൂട്ട് എടുക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് "" എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നത് ലഭിക്കും. സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ".പേരുകൾ ഉണ്ട് "സാധാരണ വ്യതിയാനം" അല്ലെങ്കിൽ "സിഗ്മ" (ഗ്രീക്ക് അക്ഷരത്തിന്റെ പേരിൽ നിന്ന് σ .). സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷന്റെ ഫോർമുല ഇതാണ്:

അതിനാൽ, വേരിയൻസ് സിഗ്മ സ്ക്വയർ, അല്ലെങ്കിൽ - സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ സ്ക്വയർ.

സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ, വ്യക്തമായും, ഡാറ്റയുടെ വ്യാപനത്തിന്റെ അളവിനെയും ചിത്രീകരിക്കുന്നു, എന്നാൽ ഇപ്പോൾ (ചിതറലിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി) യഥാർത്ഥ ഡാറ്റയുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്താം, കാരണം അവയ്ക്ക് ഒരേ അളവെടുപ്പ് യൂണിറ്റുകൾ ഉണ്ട് (ഇത് കണക്കുകൂട്ടൽ ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് വ്യക്തമാണ്). അങ്ങേയറ്റത്തെ മൂല്യങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസമാണ് വ്യതിയാനത്തിന്റെ പരിധി. സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ, അനിശ്ചിതത്വത്തിന്റെ അളവുകോലായി, പല സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ കണക്കുകൂട്ടലുകളിലും ഉൾപ്പെടുന്നു. ഇത് കൃത്യതയുടെ അളവ് സജ്ജമാക്കുന്നു വിവിധ കണക്കുകൾപ്രവചനങ്ങളും. വ്യതിയാനം വളരെ വലുതാണെങ്കിൽ, സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷനും വലുതായിരിക്കും, അതിനാൽ, പ്രവചനം കൃത്യമല്ലാത്തതായിരിക്കും, അത് പ്രകടിപ്പിക്കും, ഉദാഹരണത്തിന്, വളരെ വിശാലമായ ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളകളിൽ.

അതിനാൽ, റിയൽ എസ്റ്റേറ്റ് മൂല്യനിർണ്ണയത്തിൽ സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ ഡാറ്റ പ്രോസസ്സിംഗ് രീതികളിൽ, ചുമതലയുടെ ആവശ്യമായ കൃത്യതയെ ആശ്രയിച്ച്, രണ്ടോ മൂന്നോ സിഗ്മകളുടെ നിയമം ഉപയോഗിക്കുന്നു.

രണ്ട് സിഗ്മ നിയമവും മൂന്ന് സിഗ്മ നിയമവും താരതമ്യം ചെയ്യാൻ, ഞങ്ങൾ ലാപ്ലേസ് ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:

എഫ് - എഫ്,

ഇവിടെ Ф(x) എന്നത് ലാപ്ലേസ് ഫംഗ്‌ഷനാണ്;

കുറഞ്ഞ മൂല്യം

β = പരമാവധി മൂല്യം

s = സിഗ്മ മൂല്യം (സാധാരണ വ്യതിയാനം)

a = ശരാശരി മൂല്യം

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, അത് ഉപയോഗിക്കുന്നു സ്വകാര്യ കാഴ്ചα, β മൂല്യങ്ങളുടെ അതിരുകൾ വരുമ്പോൾ ലാപ്ലേസ് ഫോർമുലകൾ റാൻഡം വേരിയബിൾവിതരണ കേന്ദ്രത്തിൽ നിന്ന് a = M(X) ന് തുല്യമായ അകലത്തിലാണ് X ചില മൂല്യങ്ങൾ d: a = a-d, b = a+d. അഥവാ (1) ഫോർമുല (1) ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ X ന്റെ തന്നിരിക്കുന്ന ഡീവിയേഷൻ d യുടെ സംഭാവ്യത നിർണ്ണയിക്കുന്നു, അതിന്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയായ М(X) = a. ഫോർമുലയിൽ (1) നമ്മൾ തുടർച്ചയായി d = 2s, d = 3s എന്നിവ എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: (2), (3).

രണ്ട് സിഗ്മ നിയമം

ഒരു സാധാരണ വിതരണ നിയമമുള്ള ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ X ന്റെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും അതിന്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയായ M(X) = a എന്നതിൽ നിന്ന് 2സെക്കിൽ (രണ്ട് സ്റ്റാൻഡേർഡ്) കവിയാത്ത തുകയിൽ നിന്ന് വ്യതിചലിക്കുമെന്ന് ഏതാണ്ട് വിശ്വസനീയമായി (0.954 എന്ന ആത്മവിശ്വാസത്തോടെ) വാദിക്കാം. വ്യതിയാനങ്ങൾ). കോൺഫിഡൻസ് പ്രോബബിലിറ്റി (Pd) എന്നത് സോപാധികമായി വിശ്വസനീയമായി അംഗീകരിക്കപ്പെട്ട ഇവന്റുകളുടെ പ്രോബബിലിറ്റിയാണ് (അവയുടെ സാധ്യത 1 ന് അടുത്താണ്).

രണ്ട് സിഗ്മയുടെ നിയമം നമുക്ക് ജ്യാമിതീയമായി ചിത്രീകരിക്കാം. അത്തിപ്പഴത്തിൽ. 6 ഒരു വിതരണ കേന്ദ്രത്തോടുകൂടിയ ഒരു ഗാസിയൻ വക്രം കാണിക്കുന്നു a. മുഴുവൻ വക്രവും ഓക്‌സ് അച്ചുതണ്ടും പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന വിസ്തീർണ്ണം 1 (100%) ആണ്, കൂടാതെ രണ്ട് സിഗ്മ നിയമം അനുസരിച്ച് a-2s, a+2s എന്നിവയ്‌ക്കിടയിലുള്ള കർവിലീനിയർ ട്രപസോയിഡിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം 0.954 ആണ് (95.4% മൊത്തം പ്രദേശത്തിന്റെ). ഷേഡുള്ള പ്രദേശങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണം 1-0.954 = 0.046 (> മൊത്തം വിസ്തൃതിയുടെ 5%) ആണ്. ഈ വിഭാഗങ്ങളെ റാൻഡം വേരിയബിളിന്റെ ക്രിട്ടിക്കൽ ശ്രേണി എന്ന് വിളിക്കുന്നു. നിർണായക മേഖലയിൽ വീഴുന്ന ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിന്റെ മൂല്യങ്ങൾ അസംഭവ്യമാണ്, പ്രായോഗികമായി വ്യവസ്ഥാപിതമായി അസാധ്യമാണ്.

പ്രോബബിലിറ്റി സോപാധികമായി അസാധ്യമായ മൂല്യങ്ങൾറാൻഡം വേരിയബിളിന്റെ പ്രാധാന്യ നില എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഫോർമുല പ്രകാരം പ്രാധാന്യ നില കോൺഫിഡൻസ് ലെവലുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു:

ഇവിടെ q എന്നത് പ്രാധാന്യ നിലയാണ്, ശതമാനമായി പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു.

ത്രീ സിഗ്മ നിയമം

കൂടുതൽ വിശ്വാസ്യത ആവശ്യമുള്ള പ്രശ്‌നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഫോർമുല (3) അനുസരിച്ച്, ടു-സിഗ്മ റൂളിനു പകരം, കോൺഫിഡൻസ് പ്രോബബിലിറ്റി (പിഡി) 0.997 (കൂടുതൽ കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, 0.9973) ന് തുല്യമായി എടുക്കുമ്പോൾ, റൂൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. മൂന്ന് സിഗ്മ.

അതുപ്രകാരം മൂന്ന് സിഗ്മ നിയമം 0.9973 എന്ന കോൺഫിഡൻസ് ലെവലിൽ, ഇടവേളയ്ക്ക് പുറത്തുള്ള ആട്രിബ്യൂട്ട് മൂല്യങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണം നിർണായക മേഖലയായിരിക്കും (a-3s, a+3s). പ്രാധാന്യ നില 0.27% ആണ്.

മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, അതിനുള്ള സാധ്യത യഥാർത്ഥ മൂല്യംവ്യതിയാനങ്ങൾ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷന്റെ മൂന്നിരട്ടി കവിയും, വളരെ ചെറുതാണ്, അതായത് 0.0027=1-0.9973 ന് തുല്യമാണ്. അതായത് 0.27% കേസുകളിൽ മാത്രമേ ഇത് സംഭവിക്കുകയുള്ളൂ. സാധ്യതയില്ലാത്ത സംഭവങ്ങളുടെ അസാധ്യത എന്ന തത്വത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള അത്തരം സംഭവങ്ങൾ പ്രായോഗികമായി അസാധ്യമാണെന്ന് കണക്കാക്കാം. ആ. ഉയർന്ന കൃത്യതയുള്ള സാമ്പിൾ.

ഇതാണ് മൂന്ന് സിഗ്മ നിയമത്തിന്റെ സാരാംശം:

ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ സാധാരണയായി വിതരണം ചെയ്യുകയാണെങ്കിൽ, ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയിൽ നിന്നുള്ള അതിന്റെ വ്യതിയാനത്തിന്റെ കേവല മൂല്യം സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷന്റെ (RMS) മൂന്നിരട്ടി കവിയരുത്.

പ്രായോഗികമായി, ത്രീ-സിഗ്മ റൂൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പ്രയോഗിക്കുന്നു: പഠനത്തിൻ കീഴിലുള്ള റാൻഡം വേരിയബിളിന്റെ വിതരണം അജ്ഞാതമാണെങ്കിലും, മുകളിൽ പറഞ്ഞിരിക്കുന്ന വ്യവസ്ഥയിൽ പറഞ്ഞിരിക്കുന്ന വ്യവസ്ഥ പാലിക്കുകയാണെങ്കിൽ, പഠിച്ച വേരിയബിൾ സാധാരണയായി വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നുവെന്ന് അനുമാനിക്കാൻ കാരണമുണ്ട്; അല്ലെങ്കിൽ, അത് സാധാരണയായി വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നില്ല.

അനുവദനീയമായ അപകടസാധ്യതയെയും ചുമതലയെയും ആശ്രയിച്ചാണ് പ്രാധാന്യത്തിന്റെ അളവ് എടുക്കുന്നത്. റിയൽ എസ്റ്റേറ്റ് മൂല്യനിർണ്ണയത്തിനായി, രണ്ട് സിഗ്മ റൂൾ പിന്തുടർന്ന് സാധാരണയായി കുറച്ച് കൃത്യമായ സാമ്പിൾ എടുക്കും.

വിസരണം. സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ

വിസരണംമൊത്തം ശരാശരിയിൽ നിന്ന് ഓരോ ഫീച്ചർ മൂല്യത്തിന്റെയും ചതുരാകൃതിയിലുള്ള വ്യതിയാനങ്ങളുടെ ഗണിത ശരാശരിയാണ്. ഉറവിട ഡാറ്റയെ ആശ്രയിച്ച്, വ്യത്യാസം വെയിറ്റഡ് (ലളിതമായ) അല്ലെങ്കിൽ വെയ്റ്റഡ് ആകാം.

ഇനിപ്പറയുന്ന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചാണ് വിസർജ്ജനം കണക്കാക്കുന്നത്:

ഗ്രൂപ്പ് ചെയ്യാത്ത ഡാറ്റയ്ക്ക്

ഗ്രൂപ്പുചെയ്ത ഡാറ്റയ്ക്കായി

വെയ്റ്റഡ് വേരിയൻസ് കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള നടപടിക്രമം:

1. അരിത്മെറ്റിക് വെയ്റ്റഡ് ആവറേജ് നിർണ്ണയിക്കുക

2. ശരാശരിയിൽ നിന്നുള്ള വേരിയന്റ് വ്യതിയാനങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു

3. ശരാശരിയിൽ നിന്ന് ഓരോ ഓപ്ഷന്റെയും വ്യതിയാനം ചതുരമാക്കുക

4. ചതുരാകൃതിയിലുള്ള വ്യതിയാനങ്ങളെ ഭാരം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക (ആവൃത്തികൾ)

5. ലഭിച്ച പ്രവൃത്തികൾ സംഗ്രഹിക്കുക

6. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന തുക ഭാരങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു

വ്യത്യാസം നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുലയിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യാം:

- ലളിതം

വ്യത്യാസം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള നടപടിക്രമം ലളിതമാണ്:

1. ഗണിത ശരാശരി നിർണ്ണയിക്കുക

2. ഗണിത ശരാശരിയുടെ സമചതുരം

3. ഓരോ വരി ഓപ്‌ഷനും ചതുരമാക്കുക

4. സ്ക്വയറുകളുടെ ആകെ ഓപ്ഷൻ കണ്ടെത്തുക

5. ഓപ്ഷന്റെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുക അവയുടെ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കുക, അതായത്. ശരാശരി ചതുരം നിർണ്ണയിക്കുക

6. സവിശേഷതയുടെ ശരാശരി ചതുരവും ശരാശരിയുടെ ചതുരവും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം നിർണ്ണയിക്കുക

വെയ്റ്റഡ് വേരിയൻസ് നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുലയും ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുലയിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യാവുന്നതാണ്:

ആ. സവിശേഷത മൂല്യങ്ങളുടെ ചതുരങ്ങളുടെ ശരാശരിയും ഗണിത ശരാശരിയുടെ വർഗ്ഗവും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസത്തിന് തുല്യമാണ് വ്യത്യാസം. രൂപാന്തരപ്പെട്ട ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ, x-ൽ നിന്ന് ഒരു സവിശേഷതയുടെ വ്യക്തിഗത മൂല്യങ്ങളുടെ വ്യതിയാനങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു അധിക നടപടിക്രമം ഒഴിവാക്കുകയും റൗണ്ടിംഗ് വ്യതിയാനങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട കണക്കുകൂട്ടലിലെ പിശക് ഒഴിവാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

വിതരണത്തിന് നിരവധി ഗുണങ്ങളുണ്ട്, അവയിൽ ചിലത് കണക്കുകൂട്ടുന്നത് എളുപ്പമാക്കുന്നു:

1) സ്ഥിരമായ മൂല്യത്തിന്റെ വ്യാപനം പൂജ്യമാണ്;

2) ആട്രിബ്യൂട്ട് മൂല്യങ്ങളുടെ എല്ലാ വകഭേദങ്ങളും ഒരേ സംഖ്യയാൽ കുറച്ചാൽ, വ്യതിയാനം കുറയുകയില്ല;

3) ആട്രിബ്യൂട്ട് മൂല്യങ്ങളുടെ എല്ലാ വകഭേദങ്ങളും ഒരേ എണ്ണം (സമയം) കുറച്ചാൽ, വ്യതിയാനം ഒരു ഘടകം കൊണ്ട് കുറയും

സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ എസ്- വ്യതിയാനത്തിന്റെ വർഗ്ഗമൂലമാണ്:

ഗ്രൂപ്പ് ചെയ്യാത്ത ഡാറ്റയ്ക്ക്:

;

ഒരു വ്യതിയാന പരമ്പരയ്ക്കായി:

വ്യതിയാനങ്ങളുടെ ശ്രേണി, ശരാശരി രേഖീയവും ശരാശരി ചതുര വ്യതിയാനവും അളവുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അവയ്ക്ക് സമാനമായ യൂണിറ്റുകളുണ്ട് വ്യക്തിഗത മൂല്യങ്ങൾഅടയാളം.

വ്യതിചലനവും സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷനും വ്യതിയാനത്തിന്റെ ഏറ്റവും വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്ന അളവുകളാണ്. ഗണിതശാസ്ത്ര സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകളുടെ അടിത്തറയായി വർത്തിക്കുന്ന പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ മിക്ക സിദ്ധാന്തങ്ങളിലും അവ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട് എന്ന വസ്തുത ഇത് വിശദീകരിക്കുന്നു. കൂടാതെ, വ്യതിയാനം അതിന്റെ ഘടക ഘടകങ്ങളിലേക്ക് വിഘടിപ്പിക്കുകയും, പ്രഭാവം കണക്കാക്കാൻ ഒരാളെ അനുവദിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. വിവിധ ഘടകങ്ങൾഅത് സ്വഭാവത്തിന്റെ വ്യതിയാനം നിർണ്ണയിക്കുന്നു.

ലാഭം അനുസരിച്ച് ഗ്രൂപ്പുചെയ്‌ത ബാങ്കുകൾക്കായുള്ള വ്യതിയാന സൂചകങ്ങളുടെ കണക്കുകൂട്ടൽ പട്ടികയിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു.

ശരാശരി ലീനിയർ, മീഡിയൻ സ്ക്വയർ ഡീവിയേഷൻ കാണിക്കുന്നത് ആട്രിബ്യൂട്ടിന്റെ മൂല്യം, പഠനത്തിൻ കീഴിലുള്ള യൂണിറ്റുകൾക്കും ജനസംഖ്യയ്ക്കും ശരാശരി എത്രമാത്രം ചാഞ്ചാട്ടം സംഭവിക്കുന്നുവെന്ന് കാണിക്കുന്നു. അതെ, ഇൻ ഈ കാര്യം ശരാശരി മൂല്യംലാഭത്തിന്റെ അളവിലെ ഏറ്റക്കുറച്ചിലുകൾ ഇതാണ്: ശരാശരി ലീനിയർ ഡീവിയേഷൻ അനുസരിച്ച് 0.882 ദശലക്ഷം റുബിളുകൾ; സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ അനുസരിച്ച് - 1.075 ദശലക്ഷം റൂബിൾസ്. സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ എപ്പോഴും ശരാശരി ലീനിയർ ഡീവിയേഷനേക്കാൾ കൂടുതലാണ്. സ്വഭാവത്തിന്റെ വിതരണം സാധാരണ നിലയിലാണെങ്കിൽ, S, d എന്നിവ തമ്മിൽ ഒരു ബന്ധമുണ്ട്: S=1.25d, അല്ലെങ്കിൽ d=0.8S. ഗണിത ശരാശരിയുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ ജനസംഖ്യാ യൂണിറ്റുകളുടെ ഭൂരിഭാഗവും എങ്ങനെ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നുവെന്ന് സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ കാണിക്കുന്നു. വിതരണത്തിന്റെ രൂപം പരിഗണിക്കാതെ തന്നെ, 75 ആട്രിബ്യൂട്ട് മൂല്യങ്ങൾ x 2S ഇടവേളയിൽ വരും, കൂടാതെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളിൽ 89 എണ്ണം x 3S ഇടവേളയിലും (P.L. ചെബിഷേവിന്റെ സിദ്ധാന്തം) വരുന്നു.

വ്യതിയാനത്തിന്റെ വർഗ്ഗമൂലത്തെ ശരാശരിയിൽ നിന്നുള്ള സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇത് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ കണക്കാക്കുന്നു:

പ്രാഥമിക ബീജഗണിത പരിവർത്തനംസ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ ഫോർമുലകൾ അതിനെ ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു:

കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ പരിശീലനത്തിൽ ഈ ഫോർമുല പലപ്പോഴും കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണ്.

സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷനും ശരാശരി ലീനിയർ ഡീവിയേഷനും, ആട്രിബ്യൂട്ടിന്റെ നിർദ്ദിഷ്ട മൂല്യങ്ങൾ അവയുടെ ശരാശരി മൂല്യത്തിൽ നിന്ന് ശരാശരി എത്രമാത്രം വ്യതിചലിക്കുന്നുവെന്ന് കാണിക്കുന്നു. സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ എപ്പോഴും ശരാശരി ലീനിയർ ഡീവിയേഷനേക്കാൾ കൂടുതലാണ്. അവർക്കിടയിൽ ഒരു ബന്ധമുണ്ട്:

ഈ അനുപാതം അറിയുന്നത്, അറിയപ്പെടുന്ന സൂചകങ്ങളിൽ നിന്ന് അജ്ഞാതമായത് നിർണ്ണയിക്കാൻ സാധിക്കും, ഉദാഹരണത്തിന്, പക്ഷേ (ഐ കണക്കുകൂട്ടുക, തിരിച്ചും. സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ ആട്രിബ്യൂട്ട് ഏറ്റക്കുറച്ചിലിന്റെ സമ്പൂർണ്ണ വലുപ്പം അളക്കുകയും ആട്രിബ്യൂട്ട് മൂല്യങ്ങളുടെ (റൂബിൾസ്, ടൺ, വർഷങ്ങൾ മുതലായവ) അതേ യൂണിറ്റുകളിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ഇത് വ്യതിയാനത്തിന്റെ കേവല അളവുകോലാണ്.

വേണ്ടി ഇതര സവിശേഷതകൾ, ഉദാ: സാന്നിധ്യം അല്ലെങ്കിൽ അഭാവം ഉന്നത വിദ്യാഭ്യാസം, ഇൻഷുറൻസ്, വേരിയൻസ്, സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ ഫോർമുലകൾ ഇവയാണ്:

സർവ്വകലാശാലയിലെ ഒരു ഫാക്കൽറ്റിയിലെ വിദ്യാർത്ഥികളുടെ പ്രായം അനുസരിച്ച് വിതരണം ചെയ്യുന്ന ഒരു പ്രത്യേക ശ്രേണിയുടെ ഡാറ്റ അനുസരിച്ച് സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷന്റെ കണക്കുകൂട്ടൽ ഞങ്ങൾ കാണിക്കും (പട്ടിക 6.2).

പട്ടിക 6.2.

സഹായക കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ ഫലങ്ങൾ പട്ടികയുടെ 2-5 നിരകളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു. 6.2

ഒരു വിദ്യാർത്ഥിയുടെ ശരാശരി പ്രായം, വർഷങ്ങൾ, വെയ്റ്റഡ് ഗണിത ശരാശരി ഫോർമുല (നിര 2) കൊണ്ടാണ് നിർണ്ണയിക്കുന്നത്:

ശരാശരിയിൽ നിന്ന് വിദ്യാർത്ഥിയുടെ വ്യക്തിഗത പ്രായത്തിന്റെ വ്യതിയാനത്തിന്റെ സ്ക്വയറുകൾ 3-4 നിരകളിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, കൂടാതെ അനുബന്ധ ആവൃത്തികളാൽ വ്യതിചലനങ്ങളുടെ ചതുരങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ കോളം 5 ൽ ഉണ്ട്.

വിദ്യാർത്ഥികളുടെ പ്രായം, വർഷങ്ങൾ, ഫോർമുല പ്രകാരം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു (6.2):

അപ്പോൾ o \u003d l / 3.43 1.85 * oda, അതായത്. വിദ്യാർത്ഥിയുടെ പ്രായത്തിന്റെ ഓരോ നിർദ്ദിഷ്ട മൂല്യവും ശരാശരി മൂല്യത്തിൽ നിന്ന് 1.85 വർഷം കൊണ്ട് വ്യതിചലിക്കുന്നു.

വ്യതിയാനത്തിന്റെ ഗുണകം

അതിന്റെ കേവല മൂല്യത്തിൽ, സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ സ്വഭാവത്തിന്റെ വ്യതിയാനത്തിന്റെ അളവിനെ മാത്രമല്ല, വേരിയന്റുകളുടെയും ശരാശരിയുടെയും കേവല തലങ്ങളെയും ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ശരാശരി താരതമ്യം ചെയ്യാൻ സ്റ്റാൻഡേർഡ് വ്യതിയാനങ്ങൾവ്യത്യസ്‌ത ശരാശരി ലെവലുകളുള്ള വേരിയേഷൻ സീരീസ് നേരിട്ട് സാധ്യമല്ല. അത്തരമൊരു താരതമ്യം നടത്താൻ, നമ്മൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട് പ്രത്യേക ഗുരുത്വാകർഷണംഗണിത ശരാശരിയിലെ ശരാശരി വ്യതിയാനം (ലീനിയർ അല്ലെങ്കിൽ ക്വാഡ്രാറ്റിക്), ഒരു ശതമാനമായി പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു, അതായത്. കണക്കാക്കുക വ്യതിയാനത്തിന്റെ ആപേക്ഷിക സൂചകങ്ങൾ.

വ്യതിയാനത്തിന്റെ രേഖീയ ഗുണകം ഫോർമുല അനുസരിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു

വ്യതിയാനത്തിന്റെ ഗുണകം ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു:

വ്യതിയാനത്തിന്റെ ഗുണകങ്ങളിൽ, പഠനത്തിൻ കീഴിലുള്ള സ്വഭാവത്തിന്റെ വിവിധ അളവുകോലുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പൊരുത്തക്കേട് മാത്രമല്ല, ഗണിത മാർഗങ്ങളുടെ മൂല്യത്തിലെ വ്യത്യാസങ്ങളിൽ നിന്ന് ഉണ്ടാകുന്ന പൊരുത്തക്കേടും ഇല്ലാതാക്കുന്നു. കൂടാതെ, വ്യതിയാനത്തിന്റെ സൂചകങ്ങൾ ജനസംഖ്യയുടെ ഏകതാനതയുടെ ഒരു സ്വഭാവം നൽകുന്നു. വ്യതിയാനത്തിന്റെ ഗുണകം 33% കവിയുന്നില്ലെങ്കിൽ സെറ്റ് ഏകതാനമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു.

പട്ടിക പ്രകാരം. 6.2, മുകളിൽ ലഭിച്ച കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ ഫലങ്ങൾ, ഫോർമുല (6.3) അനുസരിച്ച് ഞങ്ങൾ വ്യത്യാസത്തിന്റെ ഗുണകം,% നിർണ്ണയിക്കുന്നു:

വ്യതിയാനത്തിന്റെ ഗുണകം 33% കവിയുന്നുവെങ്കിൽ, ഇത് പഠിച്ച ജനസംഖ്യയുടെ വൈവിധ്യത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ ലഭിച്ച മൂല്യം സൂചിപ്പിക്കുന്നത് പ്രായത്തിനനുസരിച്ച് വിദ്യാർത്ഥികളുടെ ജനസംഖ്യ ഘടനയിൽ ഏകതാനമാണെന്ന്. അങ്ങനെ, വ്യതിയാനത്തിന്റെ സാമാന്യവൽക്കരണ സൂചകങ്ങളുടെ ഒരു പ്രധാന പ്രവർത്തനം ശരാശരികളുടെ വിശ്വാസ്യതയുടെ വിലയിരുത്തലാണ്. കുറഞ്ഞത് c1, a2 ഒപ്പം വി, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പ്രതിഭാസങ്ങളുടെ കൂട്ടം കൂടുതൽ ഏകതാനവും ലഭിച്ച ശരാശരി കൂടുതൽ വിശ്വസനീയവുമാണ്. ഗണിതശാസ്ത്ര സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകൾ പരിഗണിക്കുന്ന "മൂന്ന് സിഗ്മകളുടെ നിയമം" അനുസരിച്ച്, സാധാരണയായി വിതരണം ചെയ്തതോ അല്ലെങ്കിൽ അവയ്ക്ക് അടുത്തുള്ളതോ ആയ ശ്രേണിയിൽ, ഗണിത ശരാശരിയിൽ നിന്നുള്ള വ്യതിയാനങ്ങൾ, ± 3-ൽ കവിയാത്ത, 1000-ൽ 997 കേസുകളിൽ സംഭവിക്കുന്നു. അങ്ങനെ, അറിയുന്നു എക്സ് കൂടാതെ a, നിങ്ങൾക്ക് വേരിയേഷൻ സീരീസിന്റെ പൊതുവായ ഒരു പ്രാരംഭ ആശയം ലഭിക്കും. എങ്കിൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, ശരാശരി വേതനകമ്പനിയിലെ ഒരു ജീവനക്കാരന്റെ തുക 25,000 റുബിളാണ്, കൂടാതെ a എന്നത് 100 റുബിളിന് തുല്യമാണ്, തുടർന്ന് വിശ്വാസ്യതയോട് അടുത്ത് സാധ്യതയുള്ളതിനാൽ, കമ്പനിയിലെ ജീവനക്കാരുടെ വേതനം (25,000 ± 3 x 100) ഉള്ളിൽ ചാഞ്ചാടുന്നതായി വാദിക്കാം, അതായത്. 24,700 മുതൽ 25,300 വരെ റൂബിൾസ്.