വെവ്വേറെ എടുത്ത ഓരോ മൂല്യവും അതിന്റെ വിതരണ പ്രവർത്തനത്താൽ പൂർണ്ണമായും നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു. കൂടാതെ, പ്രായോഗിക പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന്, നിരവധി സംഖ്യാ സവിശേഷതകൾ അറിയാൻ ഇത് മതിയാകും, ഇതിന് നന്ദി, ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിന്റെ പ്രധാന സവിശേഷതകൾ ഒരു ഹ്രസ്വ രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിക്കാൻ കഴിയും.

ഈ മൂല്യങ്ങളിൽ പ്രാഥമികമായി ഉൾപ്പെടുന്നു പ്രതീക്ഷിച്ച മൂല്യംഒപ്പം വിസരണം .

പ്രതീക്ഷിച്ച മൂല്യം- പ്രോബബിലിറ്റി തിയറിയിലെ ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിന്റെ ശരാശരി മൂല്യം. എന്ന് സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.

ഏറ്റവും ലളിതമായ രീതിയിൽഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിന്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ X (w)ആയി കണ്ടെത്തുക സമഗ്രമായലെബെസ്ഗുപ്രോബബിലിസ്റ്റിക് അളവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ആർ ഒറിജിനൽ പ്രോബബിലിറ്റി സ്പേസ്

ഒരു മൂല്യത്തിന്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയും നിങ്ങൾക്ക് കണ്ടെത്താനാകും ലെബെസ്ഗു ഇന്റഗ്രൽനിന്ന് എൻ. എസ്പ്രോബബിലിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ വഴി പി എക്സ്മാഗ്നിറ്റ്യൂഡുകൾ എക്സ്:

സാധ്യമായ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളുടെയും സെറ്റ് എവിടെയാണ് എക്സ്.

ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിന്റെ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ എക്സ്വിതരണത്തിലൂടെയാണ് പി എക്സ്. ഉദാഹരണത്തിന്, എങ്കിൽ എക്സ്- എന്നിവയിലെ മൂല്യങ്ങളുള്ള ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ f (x)- അവ്യക്തമായ ബോറൽപ്രവർത്തനം എൻ. എസ് , പിന്നെ:

എങ്കിൽ F (x)- വിതരണ പ്രവർത്തനം എക്സ്, അപ്പോൾ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ പ്രതിനിധാനം ചെയ്യാവുന്നതാണ് സമഗ്രമായലെബെസ്ഗു - സ്റ്റീൽറ്റ്ജെസ് (അല്ലെങ്കിൽ റീമാൻ - സ്റ്റീൽറ്റ്ജസ്):

കൂടാതെ, സമഗ്രത എക്സ്എന്ന അർത്ഥത്തിൽ ( * ) സമഗ്രതയുടെ പരിമിതിയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു

പ്രത്യേക സന്ദർഭങ്ങളിൽ, എങ്കിൽ എക്സ്സാധ്യതയുള്ള മൂല്യങ്ങളുള്ള ഒരു വ്യതിരിക്തമായ വിതരണമുണ്ട് x കെ, k = 1, 2,. , പിന്നെ സാധ്യതകൾ

എങ്കിൽ എക്സ്പ്രോബബിലിറ്റി ഡെൻസിറ്റി ഉള്ള തികച്ചും തുടർച്ചയായ വിതരണമുണ്ട് p (x), പിന്നെ

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുടെ അസ്തിത്വം അനുബന്ധ ശ്രേണിയുടെ അല്ലെങ്കിൽ ഇന്റഗ്രലിന്റെ സമ്പൂർണ്ണ സംയോജനത്തിന് തുല്യമാണ്.

ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിന്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുടെ സവിശേഷതകൾ.

• സ്ഥിരമായ ഒരു മൂല്യത്തിന്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ ഈ മൂല്യത്തിന് തുല്യമാണ്:

സി- സ്ഥിരമായ;

• എം = സി.എം [X]

• ക്രമരഹിതമായി എടുത്ത മൂല്യങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയുടെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ അവയുടെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്:

• സ്വതന്ത്ര ക്രമരഹിതമായി എടുത്ത അളവുകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ = അവയുടെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷകളുടെ ഉൽപ്പന്നം:

M = M [X] + M [Y]

എങ്കിൽ എക്സ്ഒപ്പം വൈസ്വതന്ത്രമായ.

പരമ്പര ഒത്തുചേരുകയാണെങ്കിൽ:

ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം.

വ്യതിരിക്ത റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ പ്രോപ്പർട്ടികൾ: അവയുടെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും പുനർനാമകരണം ചെയ്യാവുന്നതാണ് സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ; ഓരോ മൂല്യവും പൂജ്യമല്ലാത്ത സംഭാവ്യതയുമായി തുലനം ചെയ്യുക.

1. ജോഡികളെ ഒന്നായി ഗുണിക്കുക: x iഓൺ പി ഐ.

2. ഓരോ ജോഡിയുടെയും ഉൽപ്പന്നം ചേർക്കുക x i p i.

ഉദാഹരണത്തിന്, വേണ്ടി എൻ = 4 :

ഒരു ഡിസ്‌ക്രീറ്റ് റാൻഡം വേരിയബിളിന്റെ വിതരണ പ്രവർത്തനംഘട്ടം ഘട്ടമായി, ആ പോയിന്റുകളിൽ ഇത് പെട്ടെന്ന് വർദ്ധിക്കുന്നു, അതിന്റെ സാധ്യതകൾക്ക് പോസിറ്റീവ് അടയാളമുണ്ട്.

ഉദാഹരണം:ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന മൂല്യം കണ്ടെത്തുക.

വിസരണംതുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിൾ X, സാധ്യമായ മൂല്യങ്ങൾ മുഴുവൻ ഓക്സ് അച്ചുതണ്ടിൽ ഉൾപ്പെടുന്നതും തുല്യതയാൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു:

സേവന ലക്ഷ്യം. ഓൺലൈൻ കാൽക്കുലേറ്റർഒന്നുകിൽ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ രൂപകൽപ്പന ചെയ്തിരിക്കുന്നത് വിതരണ സാന്ദ്രത f (x), അല്ലെങ്കിൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്ഷൻ F (x) (ഉദാഹരണം കാണുക). സാധാരണയായി അത്തരം ജോലികളിൽ നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട് ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ, അർത്ഥം സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ, f (x), F (x) ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ പ്ലോട്ട് ചെയ്യുക.

നിർദ്ദേശം. ഉറവിട ഡാറ്റയുടെ തരം തിരഞ്ഞെടുക്കുക: സാന്ദ്രത വിതരണം f (x) അല്ലെങ്കിൽ വിതരണ പ്രവർത്തനം F (x).

വിതരണ സാന്ദ്രത f (x) നൽകിയിരിക്കുന്നു:

വിതരണ പ്രവർത്തനം F (x) നൽകിയിരിക്കുന്നു:

പ്രോബബിലിറ്റി ഡെൻസിറ്റിയാണ് തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിൾ നൽകുന്നത്
(റേലി വിതരണ നിയമം - റേഡിയോ എഞ്ചിനീയറിംഗിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നു). M (x), D (x) കണ്ടെത്തുക.

റാൻഡം വേരിയബിൾ X എന്ന് വിളിക്കുന്നു തുടർച്ചയായ അതിന്റെ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്‌ഷൻ F (X) = P (X< x) непрерывна и имеет производную.
ഒരു നിശ്ചിത ഇടവേളയിൽ ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൽ അടിക്കുന്നതിനുള്ള സാധ്യതകൾ കണക്കാക്കാൻ തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിളിന്റെ വിതരണ പ്രവർത്തനം ഉപയോഗിക്കുന്നു:
പി (α< X < β)=F(β) - F(α)
ഒരു തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിളിന് അതിന്റെ അതിരുകൾ ഈ ഇടവേളയിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ടോ ഇല്ലയോ എന്നത് പ്രശ്നമല്ല:
പി (α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
വിതരണത്തിന്റെ സാന്ദ്രത തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിളിനെ ഫംഗ്ഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു
f (x) = F ’(x), ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്.

ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഡെൻസിറ്റി പ്രോപ്പർട്ടികൾ