ആദ്യ ലെവൽ

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ. സമഗ്രമായ ഗൈഡ് (2019)

"എന്ന പദത്തിൽ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം"കീ എന്നത് സ്ക്വയർ എന്ന പദമാണ്. ഇതിനർത്ഥം വേരിയബിളിന് ഒരേ വേരിയബിൾ (ഒരേ x) സ്ക്വയർ ഉണ്ടായിരിക്കണം, മൂന്നാമത്തെ (വലുതും വലുതുമായ) ഡിഗ്രിയിൽ x ഉണ്ടാകരുത്.

പല സമവാക്യങ്ങളുടെയും പരിഹാരം കൃത്യമായി ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരമായി കുറയ്ക്കുന്നു.

നമുക്ക് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ഉണ്ടെന്ന് നിർണ്ണയിക്കാൻ പഠിക്കാം, മറ്റൊന്നല്ല.

ഉദാഹരണം 1

ഡിനോമിനേറ്ററിൽ നിന്ന് ഒഴിവാക്കി സമവാക്യത്തിന്റെ ഓരോ പദവും കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക

എല്ലാം ഇതിലേക്ക് നീക്കുക ഇടത് വശം   ഒപ്പം x ന്റെ അവരോഹണ ക്രമത്തിൽ അംഗങ്ങളെ ക്രമീകരിക്കുക

ഈ സമവാക്യം ചതുർഭുജമാണെന്ന് ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ആത്മവിശ്വാസത്തോടെ പറയാൻ കഴിയും!

ഉദാഹരണം 2

ഇടത്, വലത് വശങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ഇതിനാൽ ഗുണിക്കുന്നു:

ഈ സമവാക്യം യഥാർത്ഥത്തിൽ അതിൽ ഉണ്ടായിരുന്നെങ്കിലും ചതുരമല്ല!

ഉദാഹരണം 3

എല്ലാം ഇതിനാൽ ഗുണിക്കുക:

ഭയത്തോടെ? നാലാമത്തെയും രണ്ടാമത്തെയും ഡിഗ്രികൾ ... എന്നിരുന്നാലും, ഞങ്ങൾ ഒരു പകരം വയ്ക്കുകയാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് ലളിതമായ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ഉണ്ടെന്ന് കാണാം:

ഉദാഹരണം 4

അത് ആണെന്ന് തോന്നുന്നു, പക്ഷേ നമുക്ക് അടുത്തറിയാം. എല്ലാം ഇടതുവശത്തേക്ക് നീക്കുക:

നിങ്ങൾ ചുരുങ്ങിയിരിക്കുന്നു - ഇപ്പോൾ ഇത് ഒരു ലളിതമായ രേഖീയ സമവാക്യമാണ്!

ഇനിപ്പറയുന്നവയിൽ ഏത് സമവാക്യമാണ് ക്വാഡ്രാറ്റിക്, അല്ലാത്തവ എന്ന് സ്വയം നിർണ്ണയിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക:

ഉദാഹരണങ്ങൾ:

ഉത്തരങ്ങൾ:

1. സമചതുരം Samachathuram;
2. സമചതുരം Samachathuram;
3. ചതുരമല്ല;
4. ചതുരമല്ല;
5. ചതുരമല്ല;
6. സമചതുരം Samachathuram;
7. ചതുരമല്ല;
8. സമചതുരം Samachathuram.

ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ എല്ലാ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളെയും സോപാധികമായി രൂപത്തിലേക്ക് വിഭജിക്കുന്നു:

• പൂർണ്ണമായ സമവാക്യ സമവാക്യങ്ങൾ - ഗുണകങ്ങളും ഒപ്പം സ്വതന്ത്ര പദവും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലാത്ത സമവാക്യങ്ങൾ (ഉദാഹരണത്തിലെന്നപോലെ). കൂടാതെ, പൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളിൽ, നൽകി   - ഇവ സമവാക്യങ്ങളാണ്, അതിൽ ഗുണകം (ഉദാഹരണത്തിൽ നിന്നുള്ള സമവാക്യം പൂർത്തിയായി എന്ന് മാത്രമല്ല കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യുന്നു!)

• അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ   - ഗുണകം അല്ലെങ്കിൽ സ്വതന്ത്രപദം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായ സമവാക്യങ്ങൾ:

  അവ അപൂർണ്ണമാണ്, കാരണം അവയ്ക്ക് ചില ഘടകങ്ങളില്ല. എന്നാൽ സമവാക്യത്തിൽ എല്ലായ്പ്പോഴും x ചതുരം അടങ്ങിയിരിക്കണം !!! അല്ലെങ്കിൽ, ഇത് ഒരു ചതുരശ്ര ഒന്നായിരിക്കില്ല, മറിച്ച് മറ്റ് ചില സമവാക്യങ്ങളാണ്.

എന്തുകൊണ്ടാണ് നിങ്ങൾ അത്തരമൊരു വിഭജനം കൊണ്ടുവന്നത്? ഒരു എക്സ് സ്ക്വയർ ഉണ്ടെന്ന് തോന്നുന്നു, ശരി. പരിഹാര രീതികളാണ് ഈ വിഭജനത്തിന് കാരണം. അവ ഓരോന്നും കൂടുതൽ വിശദമായി പരിഗണിക്കാം.

അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

ആരംഭത്തിൽ, അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് നമുക്ക് താമസിക്കാം - അവ വളരെ ലളിതമാണ്!

അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്നവയാണ്:

1. , ഈ സമവാക്യത്തിൽ ഗുണകം.
2. , ഈ സമവാക്യത്തിൽ സ്വതന്ത്ര പദം തുല്യമാണ്.
3. , ഈ സമവാക്യത്തിൽ, ഗുണകവും സ്വതന്ത്ര പദവും തുല്യമാണ്.

1. ഒപ്പം. എക്\u200cസ്\u200cട്രാക്റ്റുചെയ്യുന്നത് എങ്ങനെയെന്ന് നമുക്കറിയാം സ്ക്വയർ റൂട്ട്ഈ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് പ്രകടിപ്പിക്കാം

പദപ്രയോഗം നെഗറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ പോസിറ്റീവ് ആകാം. ഒരു ചതുര സംഖ്യ നെഗറ്റീവ് ആകാൻ പാടില്ല, കാരണം നിങ്ങൾ രണ്ട് നെഗറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ രണ്ട് പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളെ ഗുണിച്ചാൽ, ഫലം എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയായിരിക്കും, അതിനാൽ: എങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരങ്ങളില്ല.

എങ്കിൽ, നമുക്ക് രണ്ട് വേരുകൾ ലഭിക്കും. ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ മന or പാഠമാക്കേണ്ടതില്ല. പ്രധാന കാര്യം, നിങ്ങൾ എല്ലായ്പ്പോഴും അറിയുകയും അത് കുറയ്ക്കാൻ കഴിയില്ലെന്ന് ഓർമ്മിക്കുകയും വേണം.

ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം.

ഉദാഹരണം 5:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

ഇടത്, വലത് വശങ്ങളിൽ നിന്ന് റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുക്കാൻ ഇപ്പോൾ അവശേഷിക്കുന്നു. എല്ലാത്തിനുമുപരി, വേരുകൾ എങ്ങനെ വേർതിരിച്ചെടുക്കാമെന്ന് നിങ്ങൾ ഓർക്കുന്നുണ്ടോ?

ഉത്തരം:

നെഗറ്റീവ് ചിഹ്നമുള്ള വേരുകളെക്കുറിച്ച് ഒരിക്കലും മറക്കരുത് !!!

ഉദാഹരണം 6:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

ഉത്തരം:

ഉദാഹരണം 7:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

ഓ! സംഖ്യയുടെ ചതുരം നെഗറ്റീവ് ആകരുത്, അതായത് സമവാക്യം

വേരുകളില്ല!

വേരുകളില്ലാത്ത അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾക്ക്, ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ ഒരു പ്രത്യേക ഐക്കൺ കൊണ്ടുവന്നിട്ടുണ്ട് - (ശൂന്യമായ സെറ്റ്). ഉത്തരം ഇതുപോലെ എഴുതാം:

ഉത്തരം:

അങ്ങനെ, ഈ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്. ഞങ്ങൾ റൂട്ട് എക്\u200cസ്\u200cട്രാക്റ്റുചെയ്യാത്തതിനാൽ നിയന്ത്രണങ്ങളൊന്നുമില്ല.
ഉദാഹരണം 8:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

ബ്രാക്കറ്റുകളുടെ ഘടകം:

ഈ വഴിയിൽ,

ഈ സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്.

ഉത്തരം:

അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഏറ്റവും ലളിതമായ തരം (അവയെല്ലാം ലളിതമാണെങ്കിലും അല്ലേ?). വ്യക്തമായും, ഈ സമവാക്യത്തിന് എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു റൂട്ട് മാത്രമേയുള്ളൂ:

ഇവിടെ നമുക്ക് ഉദാഹരണങ്ങളില്ലാതെ ചെയ്യാൻ കഴിയും.

സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

ഫോം സമവാക്യത്തിന്റെ സമവാക്യമാണ് പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം എന്ന് ഓർക്കുക

പൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് മുകളിലുള്ളതിനേക്കാൾ അൽപ്പം സങ്കീർണ്ണമാണ് (അൽപ്പം മാത്രം).

ഓർമ്മിക്കുക, വിവേചനം ഉപയോഗിച്ച് ഏത് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യവും പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും! പോലും അപൂർണ്ണമാണ്.

മറ്റ് മാർ\u200cഗ്ഗങ്ങൾ\u200c വേഗത്തിൽ\u200c ചെയ്യാൻ\u200c നിങ്ങളെ സഹായിക്കും, പക്ഷേ നിങ്ങൾ\u200cക്ക് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളിൽ\u200c പ്രശ്\u200cനങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ\u200c, ആരംഭിക്കുന്നതിന്, വിവേചനാധികാരം ഉപയോഗിച്ച് പരിഹാരം മനസിലാക്കുക.

1. വിവേചനം ഉപയോഗിച്ച് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം.

ഈ രീതിയിൽ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് വളരെ ലളിതമാണ്, ഓർമ്മിക്കേണ്ട പ്രധാന കാര്യം പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ക്രമവും കുറച്ച് സൂത്രവാക്യങ്ങളുമാണ്.

എങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ട് പ്രത്യേക ശ്രദ്ധ   ഒരു ചുവട് വരയ്ക്കുക. വിവേചനം () സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളുടെ എണ്ണം സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

• എങ്കിൽ, ഘട്ടത്തിലെ സമവാക്യം ഇതിലേക്ക് ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു. അങ്ങനെ, സമവാക്യത്തിന് ആകെ റൂട്ട് ഉണ്ടാകും.
• എങ്കിൽ, ഘട്ടം ഘട്ടമായുള്ള വിവേചനത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുക്കാൻ കഴിയില്ല. സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ലെന്ന് ഇത് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

നമുക്ക് നമ്മുടെ സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് തിരിച്ചുപോയി കുറച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഗണിക്കാം.

ഉദാഹരണം 9:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

ഘട്ടം 1   ഒഴിവാക്കുന്നു.

ഘട്ടം 2

വിവേചനമുള്ളവരെ ഞങ്ങൾ കാണുന്നു:

അതിനാൽ സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്.

ഘട്ടം 3

ഉത്തരം:

ഉദാഹരണം 10:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

അതിനാൽ സമവാക്യം സ്റ്റാൻഡേർഡ് രൂപത്തിലാണ് അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നത് ഘട്ടം 1   ഒഴിവാക്കുന്നു.

ഘട്ടം 2

വിവേചനമുള്ളവരെ ഞങ്ങൾ കാണുന്നു:

അതിനാൽ സമവാക്യത്തിന് ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ട്.

ഉത്തരം:

ഉദാഹരണം 11:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

അതിനാൽ സമവാക്യം സ്റ്റാൻഡേർഡ് രൂപത്തിലാണ് അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നത് ഘട്ടം 1   ഒഴിവാക്കുന്നു.

ഘട്ടം 2

വിവേചനമുള്ളവരെ ഞങ്ങൾ കാണുന്നു:

അതിനാൽ, വിവേചനത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുക്കാൻ കഴിയില്ല. സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ നിലവിലില്ല.

അത്തരം ഉത്തരങ്ങൾ എങ്ങനെ ശരിയായി എഴുതാമെന്ന് ഇപ്പോൾ നമുക്കറിയാം.

ഉത്തരം:വേരുകളില്ല

2. വിയറ്റ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം.

നിങ്ങൾ ഓർക്കുന്നുവെങ്കിൽ, കുറച്ചതായി വിളിക്കുന്ന ഒരു തരം സമവാക്യം ഉണ്ട് (a എന്ന ഗുണകം തുല്യമാകുമ്പോൾ):

അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾ വിയറ്റ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കാൻ വളരെ എളുപ്പമാണ്:

വേരുകളുടെ ആകെത്തുക നൽകി   ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം തുല്യമാണ്, വേരുകളുടെ ഉൽ\u200cപന്നം തുല്യമാണ്.

ഉദാഹരണം 12:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

ഈ സമവാക്യം വിയറ്റ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കാൻ അനുയോജ്യമാണ് .

സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളുടെ ആകെത്തുക തുല്യമാണ്, അതായത്. ഞങ്ങൾക്ക് ആദ്യ സമവാക്യം ലഭിക്കും:

ഉൽപ്പന്നം ഇതാണ്:

ഞങ്ങൾ സിസ്റ്റം രചിക്കുകയും പരിഹരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു:

• ഒപ്പം. തുക തുല്യമാണ്;
• ഒപ്പം. തുക തുല്യമാണ്;
• ഒപ്പം. തുക തുല്യമാണ്.

അവ സിസ്റ്റത്തിനുള്ള പരിഹാരമാണ്:

ഉത്തരം: ; .

ഉദാഹരണം 13:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

ഉത്തരം:

ഉദാഹരണം 14:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

സമവാക്യം നൽകിയിരിക്കുന്നു, അതിനർത്ഥം:

ഉത്തരം:

ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഇക്വയേഷനുകൾ. മിഡിൽ ലെവൽ

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം എന്താണ്?

മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ഫോമിന്റെ ഒരു സമവാക്യമാണ്, എവിടെയാണ് അജ്ഞാതം, ചില അക്കങ്ങൾ, മാത്രമല്ല.

സംഖ്യയെ ഉയർന്ന അല്ലെങ്കിൽ ആദ്യ ഗുണകം   ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം, - രണ്ടാമത്തെ ഗുണകം, ഒപ്പം - സ member ജന്യ അംഗം.

എന്തുകൊണ്ട്? കാരണം, സമവാക്യം ഉടനടി രേഖീയമാകും, കാരണം അപ്രത്യക്ഷമാകുക.

മാത്രമല്ല, അവ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാകാം. ഈ മലം സമവാക്യത്തെ അപൂർണ്ണമെന്ന് വിളിക്കുന്നു. എല്ലാ നിബന്ധനകളും നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ, അതായത്, സമവാക്യം പൂർത്തിയായി.

വിവിധ തരം ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരങ്ങൾ

അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ:

ആരംഭത്തിൽ, അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ ഞങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യും - അവ ലളിതമാണ്.

സമവാക്യങ്ങളുടെ തരം നമുക്ക് തിരിച്ചറിയാൻ കഴിയും:

I., ഈ സമവാക്യത്തിൽ ഗുണകവും സ്വതന്ത്ര പദവും തുല്യമാണ്.

II. , ഈ സമവാക്യത്തിൽ ഗുണകം.

III. , ഈ സമവാക്യത്തിൽ സ്വതന്ത്ര പദം തുല്യമാണ്.

ഇപ്പോൾ ഈ ഓരോ ഉപതരം പരിഹാരവും പരിഗണിക്കുക.

വ്യക്തമായും, ഈ സമവാക്യത്തിന് എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു റൂട്ട് മാത്രമേയുള്ളൂ:

ഒരു ചതുര സംഖ്യ നെഗറ്റീവ് ആകാൻ പാടില്ല, കാരണം നിങ്ങൾ രണ്ട് നെഗറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ രണ്ട് പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകൾ ഗുണിക്കുമ്പോൾ, ഫലം എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയായിരിക്കും. അതുകൊണ്ടു:

എങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരങ്ങളില്ല;

എങ്കിൽ, ഞങ്ങൾക്ക് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്

ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ മന or പാഠമാക്കേണ്ടതില്ല. ഓർമിക്കേണ്ട പ്രധാന കാര്യം അത് കുറവായിരിക്കരുത് എന്നതാണ്.

ഉദാഹരണങ്ങൾ:

പരിഹാരങ്ങൾ:

ഉത്തരം:

നെഗറ്റീവ് ചിഹ്നമുള്ള വേരുകളെ ഒരിക്കലും മറക്കരുത്!

സംഖ്യയുടെ ചതുരം നെഗറ്റീവ് ആകരുത്, അതായത് സമവാക്യം

വേരുകളില്ല.

പ്രശ്\u200cനത്തിന് പരിഹാരമില്ലെന്ന് ചുരുക്കമായി എഴുതാൻ, ഞങ്ങൾ ശൂന്യമായ സെറ്റ് ഐക്കൺ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഉത്തരം:

അതിനാൽ, ഈ സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്: ഒപ്പം.

ഉത്തരം:

ബ്രാക്കറ്റുകളുടെ ഘടകം:

ഘടകങ്ങളിലൊന്നെങ്കിലും പൂജ്യമാണെങ്കിൽ ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യമാണ്. ഇതിനർത്ഥം സമവാക്യത്തിന് ഇനിപ്പറയുന്ന പരിഹാരമുണ്ടാകും:

അതിനാൽ, ഈ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്: ഒപ്പം.

ഉദാഹരണം:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

തീരുമാനം:

സമവാക്യത്തിന്റെ ഇടത് വശത്ത് ഘടിപ്പിച്ച് വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക:

ഉത്തരം:

പൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ:

1. വിവേചനം

ഈ രീതിയിൽ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്, പ്രധാന കാര്യം പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ക്രമവും കുറച്ച് സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഓർമ്മിക്കുക എന്നതാണ്. വിവേചനം ഉപയോഗിച്ച് ഏത് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യവും പരിഹരിക്കാനാകുമെന്ന് ഓർമ്മിക്കുക! പോലും അപൂർണ്ണമാണ്.

റൂട്ട് ഫോർമുലയിലെ വിവേചനപരമായ റൂട്ട് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധിച്ചിട്ടുണ്ടോ? എന്നാൽ വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആകാം. എന്തുചെയ്യും? ഘട്ടം 2 ന് പ്രത്യേക ശ്രദ്ധ നൽകണം. സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളുടെ എണ്ണം വിവേചനം നമ്മെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

• എങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ട്:
• എങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് ഒരേ റൂട്ട് മാത്രമേയുള്ളൂ, പക്ഷേ വാസ്തവത്തിൽ, ഒരു റൂട്ട്:

  അത്തരം വേരുകളെ ഇരട്ട എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

• എങ്കിൽ, വിവേചനത്തിന്റെ റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്നില്ല. സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ലെന്ന് ഇത് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

എന്തുകൊണ്ട് ഇത് സാധ്യമാണ് വ്യത്യസ്ത തുക   വേരുകൾ? നമുക്ക് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥത്തിലേക്ക് തിരിയാം. ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫ് ഒരു പരാബോളയാണ്:

പ്രത്യേക സന്ദർഭത്തിൽ, ഇത് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ,. ഇതിനർത്ഥം ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ അബ്സിസ്സാ അക്ഷവുമായി (അക്ഷം) വിഭജിക്കുന്ന പോയിന്റുകളാണ്. ഒരു പരാബോള അച്ചുതണ്ടിനെ വിഭജിക്കുകയോ അല്ലെങ്കിൽ ഒന്നിൽ വിഭജിക്കുകയോ ചെയ്യരുത് (പരാബോളയുടെ ശീർഷകം അക്ഷത്തിൽ കിടക്കുമ്പോൾ) അല്ലെങ്കിൽ രണ്ട് പോയിന്റുകൾ.

കൂടാതെ, പരാബോള ശാഖകളുടെ ദിശയ്ക്ക് ഗുണകം ഉത്തരവാദിയാണ്. എങ്കിൽ, പരാബോളയുടെ ശാഖകൾ മുകളിലേക്ക് നയിക്കപ്പെടുന്നു, എങ്കിൽ - പിന്നെ താഴേക്ക്.

ഉദാഹരണങ്ങൾ:

പരിഹാരങ്ങൾ:

ഉത്തരം:

ഉത്തരം :.

ഉത്തരം:

അതിനാൽ, പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല.

ഉത്തരം :.

2. വിയറ്റ സിദ്ധാന്തം

വിയറ്റ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കുന്നത് വളരെ എളുപ്പമാണ്: സമവാക്യത്തിന്റെ സ term ജന്യ പദത്തിന് തുല്യമായ ഒരു ജോഡി സംഖ്യകൾ നിങ്ങൾ എടുക്കേണ്ടതുണ്ട്, കൂടാതെ വിപരീത ചിഹ്നത്തിനൊപ്പം എടുത്ത രണ്ടാമത്തെ ഗുണകമാണ് തുക.

വിയറ്റ സിദ്ധാന്തം മാത്രമേ പ്രയോഗിക്കാൻ കഴിയൂ എന്നത് ഓർത്തിരിക്കേണ്ടത് പ്രധാനമാണ് കുറച്ച ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ ().

കുറച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം:

ഉദാഹരണം നമ്പർ 1:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

തീരുമാനം:

ഈ സമവാക്യം വിയറ്റ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കാൻ അനുയോജ്യമാണ് . മറ്റ് ഗുണകങ്ങൾ :; .

സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളുടെ ആകെത്തുക ഇതിന് തുല്യമാണ്:

ഉൽപ്പന്നം ഇതാണ്:

ഉൽ\u200cപ്പന്നം തുല്യമായ ജോഡി സംഖ്യകൾ\u200c ഞങ്ങൾ\u200c തിരഞ്ഞെടുക്കുകയും അവയുടെ തുക തുല്യമാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു:

• ഒപ്പം. തുക തുല്യമാണ്;
• ഒപ്പം. തുക തുല്യമാണ്;
• ഒപ്പം. തുക തുല്യമാണ്.

അവ സിസ്റ്റത്തിനുള്ള പരിഹാരമാണ്:

അങ്ങനെ, നമ്മുടെ സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ.

ഉത്തരം :; .

ഉദാഹരണം നമ്പർ 2:

തീരുമാനം:

ഉൽ\u200cപ്പന്നത്തിൽ\u200c നൽ\u200cകുന്ന അത്തരം ജോഡി സംഖ്യകൾ\u200c ഞങ്ങൾ\u200c തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു, തുടർന്ന് അവയുടെ തുക തുല്യമാണോയെന്ന് പരിശോധിക്കുക:

കൂടാതെ: ആകെ നൽകുക.

കൂടാതെ: ആകെ നൽകുക. ലഭിക്കാൻ, ആരോപിക്കപ്പെടുന്ന വേരുകളുടെ അടയാളങ്ങൾ മാറ്റുക: എല്ലാത്തിനുമുപരി, ഉൽപ്പന്നം.

ഉത്തരം:

ഉദാഹരണം 3:

തീരുമാനം:

സമവാക്യത്തിന്റെ സ term ജന്യ പദം നെഗറ്റീവ് ആണ്, അതിനാൽ വേരുകളുടെ ഉൽ\u200cപ്പന്നം - നെഗറ്റീവ് നമ്പർ. വേരുകളിലൊന്ന് നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ മറ്റൊന്ന് പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ മാത്രമേ ഇത് സാധ്യമാകൂ. അതിനാൽ, വേരുകളുടെ ആകെത്തുകയാണ് അവയുടെ മൊഡ്യൂളുകളുടെ വ്യത്യാസങ്ങൾ.

ഉൽ\u200cപ്പന്നത്തിൽ\u200c നൽ\u200cകുന്ന അത്തരം ജോഡി അക്കങ്ങൾ\u200c ഞങ്ങൾ\u200c തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു, അവയുടെ വ്യത്യാസം ഇതിന് തുല്യമാണ്:

കൂടാതെ: അവയുടെ വ്യത്യാസം തുല്യമാണ് - അനുയോജ്യമല്ല;

ഒപ്പം: - അനുയോജ്യമല്ല;

ഒപ്പം: - അനുയോജ്യമല്ല;

കൂടാതെ: - അനുയോജ്യമാണ്. വേരുകളിലൊന്ന് നെഗറ്റീവ് ആണെന്ന് ഓർമ്മിക്കാൻ മാത്രം അവശേഷിക്കുന്നു. അവയുടെ ആകെത്തുക തുല്യമായിരിക്കണം എന്നതിനാൽ, ചെറിയ റൂട്ട് നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കണം :. ഞങ്ങൾ പരിശോധിക്കുന്നു:

ഉത്തരം:

ഉദാഹരണം 4:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

തീരുമാനം:

സമവാക്യം നൽകിയിരിക്കുന്നു, അതിനർത്ഥം:

സ്വതന്ത്ര പദം നെഗറ്റീവ് ആണ്, അതിനാൽ വേരുകളുടെ ഉൽപ്പന്നം നെഗറ്റീവ് ആണ്. സമവാക്യത്തിന്റെ ഒരു റൂട്ട് നെഗറ്റീവ് ആകുകയും മറ്റൊന്ന് പോസിറ്റീവ് ആകുകയും ചെയ്യുമ്പോൾ മാത്രമേ ഇത് സാധ്യമാകൂ.

ഉൽ\u200cപ്പന്നം തുല്യമായ ജോഡി സംഖ്യകൾ\u200c ഞങ്ങൾ\u200c തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു, തുടർന്ന് നെഗറ്റീവ് ചിഹ്നത്തിന് വേരുകളുണ്ടെന്ന് നിർ\u200cണ്ണയിക്കുക:

വ്യക്തമായും, വേരുകൾ മാത്രം:

ഉത്തരം:

ഉദാഹരണം നമ്പർ 5:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

തീരുമാനം:

സമവാക്യം നൽകിയിരിക്കുന്നു, അതിനർത്ഥം:

വേരുകളുടെ ആകെത്തുക നെഗറ്റീവ് ആണ്, അതായത് വേരുകളിലൊന്നെങ്കിലും നെഗറ്റീവ് ആണ്. എന്നാൽ അവരുടെ ഉൽ\u200cപ്പന്നം പോസിറ്റീവ് ആയതിനാൽ\u200c, മൈനസ് ചിഹ്നമുള്ള രണ്ട് വേരുകളും അർ\u200cത്ഥമാക്കുന്നു.

ഉൽ\u200cപ്പന്നത്തിന് തുല്യമായ ജോഡി സംഖ്യകൾ\u200c ഞങ്ങൾ\u200c തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു:

വ്യക്തമായും, വേരുകൾ അക്കങ്ങളും.

ഉത്തരം:

സമ്മതിക്കുക, ഈ മോശം വിവേചനത്തെ കണക്കാക്കുന്നതിനുപകരം വാക്കാലുള്ള വേരുകൾ കൊണ്ടുവരുന്നത് വളരെ സൗകര്യപ്രദമാണ്. വിയറ്റ പ്രമേയം കഴിയുന്നത്ര തവണ ഉപയോഗിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക.

എന്നാൽ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനും സുഗമമാക്കുന്നതിനും വിയറ്റ സിദ്ധാന്തം ആവശ്യമാണ്. ഇത് ഉപയോഗിക്കുന്നത് നിങ്ങൾക്ക് ലാഭകരമാക്കാൻ, നിങ്ങൾ പ്രവർത്തനം ഓട്ടോമാറ്റിസത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരണം. ഇതിനായി അഞ്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ കൂടി പരിഹരിക്കുക. പക്ഷേ ചതിക്കരുത്: നിങ്ങൾക്ക് വിവേചനം ഉപയോഗിക്കാൻ കഴിയില്ല! വിയറ്റയുടെ പ്രമേയം മാത്രം:

സ്വതന്ത്ര ജോലികൾക്കുള്ള ടാസ്\u200cക്കുകളുടെ പരിഹാരങ്ങൾ:

ടാസ്ക് 1. ((x) ^ (2)) - 8x + 12 \u003d 0

വിയറ്റ സിദ്ധാന്തം പ്രകാരം:

പതിവുപോലെ, ഉൽപ്പന്നം ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കൽ ആരംഭിക്കുന്നു:

തുകയ്ക്ക് അനുയോജ്യമല്ല;

: തുകയാണ് നിങ്ങൾക്ക് വേണ്ടത്.

ഉത്തരം :; .

ടാസ്ക് 2.

വീണ്ടും, ഞങ്ങളുടെ പ്രിയപ്പെട്ട വിയറ്റ സിദ്ധാന്തം: ഇത് മൊത്തത്തിൽ പ്രവർത്തിക്കണം, പക്ഷേ ഉൽപ്പന്നം തുല്യമാണ്.

പക്ഷേ, അങ്ങനെ ആയിരിക്കരുത്, പക്ഷേ, ഞങ്ങൾ വേരുകളുടെ അടയാളങ്ങൾ മാറ്റുന്നു: കൂടാതെ (മൊത്തത്തിൽ).

ഉത്തരം :; .

ടാസ്ക് 3.

ഉം ... അത് എവിടെയാണ്?

എല്ലാ നിബന്ധനകളും ഒരു ഭാഗത്ത് കൈമാറേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്:

വേരുകളുടെ ആകെത്തുക തുല്യമാണ്, ഉൽപ്പന്നം.

അതിനാൽ ഇത് നിർത്തുക! സമവാക്യം നൽകിയിട്ടില്ല. എന്നാൽ മുകളിലുള്ള സമവാക്യങ്ങളിൽ മാത്രമേ വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ബാധകമാകൂ. അതിനാൽ ആദ്യം നിങ്ങൾ സമവാക്യം കൊണ്ടുവരണം. ലീഡ് പരാജയപ്പെടുകയാണെങ്കിൽ, ഈ സംരംഭം ഉപേക്ഷിച്ച് മറ്റൊരു രീതിയിൽ തീരുമാനിക്കുക (ഉദാഹരണത്തിന്, വിവേചനത്തിലൂടെ). ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം കൊണ്ടുവരികയെന്നാൽ മുതിർന്ന ഗുണകത്തെ തുല്യമാക്കുകയെന്നതാണ് ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മപ്പെടുത്തുന്നത്:

നല്ലത്. അപ്പോൾ വേരുകളുടെ ആകെത്തുകയും തുല്യമാണ്.

ഇവിടെ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്: ഇത് ഒരു പ്രൈം നമ്പറാണ് (ട്യൂട്ടോളജിക്ക് ക്ഷമിക്കണം).

ഉത്തരം :; .

ടാസ്ക് 4.

സ member ജന്യ അംഗം നെഗറ്റീവ് ആണ്. ഇതിന്റെ പ്രത്യേകത എന്താണ്? വേരുകൾ വ്യത്യസ്ത അടയാളങ്ങളായിരിക്കുമെന്ന വസ്തുത. ഇപ്പോൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുമ്പോൾ ഞങ്ങൾ പരിശോധിക്കുന്നത് വേരുകളുടെ ആകെത്തുകയല്ല, അവയുടെ മൊഡ്യൂളുകളുടെ വ്യത്യാസമാണ്: ഈ വ്യത്യാസം തുല്യമാണ്, പക്ഷേ ഉൽപ്പന്നം.

അതിനാൽ, വേരുകൾ തുല്യമാണ്, പക്ഷേ അവയിലൊന്ന് മൈനസ്. വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം നമ്മോട് പറയുന്നത്, വേരുകളുടെ ആകെത്തുക വിപരീത ചിഹ്നമുള്ള രണ്ടാമത്തെ ഗുണകത്തിന് തുല്യമാണ്, അതായത്. അതിനാൽ, ചെറിയ റൂട്ടിന് മൈനസ് ഉണ്ടാകും: കൂടാതെ, മുതൽ.

ഉത്തരം :; .

ടാസ്ക് 5.

നിങ്ങൾ ആദ്യം എന്താണ് ചെയ്യേണ്ടത്? ശരിയായി, സമവാക്യം കൊണ്ടുവരിക:

വീണ്ടും: ഞങ്ങൾ സംഖ്യയുടെ ഘടകങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു, അവയുടെ വ്യത്യാസം ഇതിന് തുല്യമായിരിക്കണം:

വേരുകൾ തുല്യമാണ്, പക്ഷേ അവയിലൊന്ന് നെഗറ്റീവ് ആണ്. അതിൽ ഏത്? അവയുടെ ആകെത്തുക തുല്യമായിരിക്കണം, അതായത് മൈനസ് ഉള്ള ഒരു വലിയ റൂട്ട് ഉണ്ടാകും.

ഉത്തരം :; .

ചുരുക്കി പറഞ്ഞാൽ:

1. തന്നിരിക്കുന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളിൽ മാത്രമാണ് വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കുന്നത്.
2. വിയറ്റ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച്, വാമൊഴിയായി തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതിലൂടെ വേരുകൾ കണ്ടെത്താൻ കഴിയും.
3. സമവാക്യം നൽകിയിട്ടില്ലെങ്കിലോ സ്വതന്ത്ര പദത്തിന്റെ അനുയോജ്യമായ ഒരു ജോഡി ഘടകങ്ങളൊന്നും കണ്ടെത്തിയില്ലെങ്കിലോ, പൂർണ്ണസംഖ്യകളില്ല, അവ മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പരിഹരിക്കപ്പെടണം (ഉദാഹരണത്തിന്, വിവേചനത്തിലൂടെ).

3. പൂർണ്ണ ചതുരം ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്യുന്ന രീതി

അജ്ഞാതമായ എല്ലാ പദങ്ങളും സംക്ഷിപ്ത ഗുണന സൂത്രവാക്യങ്ങളിൽ നിന്നുള്ള പദങ്ങളായി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നുവെങ്കിൽ - തുകയുടെ ചതുരം അല്ലെങ്കിൽ വ്യത്യാസം - എന്നിട്ട് വേരിയബിളുകൾ മാറ്റിയ ശേഷം, സമവാക്യത്തെ തരത്തിന്റെ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യമായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം.

ഉദാഹരണത്തിന്:

ഉദാഹരണം 1:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക :.

തീരുമാനം:

ഉത്തരം:

ഉദാഹരണം 2:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക :.

തീരുമാനം:

ഉത്തരം:

AT പൊതുവായ കാഴ്ച   പരിവർത്തനം ഇതുപോലെയാകും:

ഇത് സൂചിപ്പിക്കുന്നത് :.

ഒന്നിനോടും സാമ്യമില്ലേ? ഇത് വിവേചനമാണ്! അത്രയേയുള്ളൂ, വിവേചനപരമായ ഫോർമുല ലഭിച്ചു.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഇക്വയേഷനുകൾ. പ്രധാനത്തെക്കുറിച്ച് ബ്രീഫ്

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യംഫോമിന്റെ ഒരു സമവാക്യമാണ്, ഇവിടെ അജ്ഞാതമാണ്, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ ഗുണകങ്ങളാണ് സ്വതന്ത്ര പദം.

പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം   - ഗുണകങ്ങൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലാത്ത ഒരു സമവാക്യം.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം   - ഗുണകം, അതായത്:

അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം   - ഗുണകം അല്ലെങ്കിൽ സ്വതന്ത്രപദം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായ ഒരു സമവാക്യം:

• ഗുണകം ആണെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട് :,
• ഒരു സ്വതന്ത്ര പദമാണെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് ഒരു ഫോം ഉണ്ട് :,
• if, സമവാക്യത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട് :.

1. അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു അൽഗോരിതം

1.1. ഫോമിന്റെ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം, ഇവിടെ ,:

1) അജ്ഞാതം പ്രകടിപ്പിക്കുക:,

2) പദപ്രയോഗത്തിന്റെ അടയാളം പരിശോധിക്കുക:

• എങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരമില്ല,
• എങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്.

1.2. ഫോമിന്റെ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം, ഇവിടെ ,:

1) സാധാരണ ഘടകം ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് മാറ്റുക:,

2) കുറഞ്ഞത് ഒരു ഘടകമെങ്കിലും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. അതിനാൽ, സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്:

1.3. ഫോമിന്റെ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം, ഇവിടെ:

ഈ സമവാക്യത്തിന് എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു റൂട്ട് മാത്രമേയുള്ളൂ :.

2. ഫോമിന്റെ സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു അൽഗോരിതം

2.1. വിവേചനപരമായ തീരുമാനം

1) ഞങ്ങൾ സമവാക്യത്തെ അടിസ്ഥാന രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരുന്നു :,

2) സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളുടെ എണ്ണത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്ന സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് വിവേചനത്തെ ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു:

3) സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക:

• എങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് സമവാക്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്ന വേരുകളുണ്ട്:
• എങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ട്, അത് സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തുന്നു:
• എങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ല.

2.2. വിയറ്റ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ചുള്ള പരിഹാരം

കുറച്ച ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളുടെ ആകെത്തുക (രൂപത്തിന്റെ സമവാക്യങ്ങൾ, ഇവിടെ) തുല്യമാണ്, വേരുകളുടെ ഉൽ\u200cപ്പന്നം തുല്യമാണ്, അതായത്. , ഒപ്പം.

2.3. പൂർണ്ണ ചതുര പരിഹാരം

2.5 പോളിനോമിയലുകൾക്കുള്ള വിയറ്റ ഫോർമുല (സമവാക്യങ്ങൾ) ഉയർന്ന ഡിഗ്രി

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾക്കായി വിയറ്റ് കുറച്ച സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉയർന്ന ഡിഗ്രികളുടെ പോളിനോമിയലുകൾക്കും സാധുതയുള്ളതാണ്.

പോളിനോമിയൽ അനുവദിക്കുക

P (x) \u003d a 0 x n + a 1 x n -1 + ... + a n

ഇതിന് n വ്യത്യസ്ത വേരുകളുണ്ട് x 1, x 2 ..., x n.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഇതിന് ഫോമിന്റെ ഫാക്റ്ററൈസേഷൻ ഉണ്ട്:

a 0 x n + a 1 x n-1 + ... + a n \u003d a 0 (x - x 1) (x - x 2) ... (x - x n)

ഈ സമത്വത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും ഞങ്ങൾ 0 ≠ 0 കൊണ്ട് വിഭജിച്ച് ആദ്യ ഭാഗത്ത് ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കുന്നു. ഞങ്ങൾക്ക് സമത്വം ലഭിക്കുന്നു:

xn + () xn -1 + ... + () \u003d xn - (x 1 + x 2 + ... + xn) xn -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + ... + xn -1 xn) xn - 2 + ... + (- 1) nx 1 x 2 ... xn

എന്നാൽ ഒരേ അളവിലുള്ള ഗുണകങ്ങൾ തുല്യമാണെങ്കിൽ മാത്രമേ രണ്ട് പോളിനോമിയലുകൾ തുല്യമാകൂ. അത് സമത്വം പിന്തുടരുന്നു

x 1 + x 2 + ... + x n \u003d -

x 1 x 2 + x 2 x 3 + ... + x n -1 x n \u003d

x 1 x 2 ... x n \u003d (-1) n

ഉദാഹരണത്തിന്, മൂന്നാം ഡിഗ്രിയുടെ പോളിനോമിയലുകൾക്കായി

a 0 x³ + a 1 x² + a 2 x + a 3

ഞങ്ങൾക്ക് ഐഡന്റിറ്റികൾ ഉണ്ട്

x 1 + x 2 + x 3 \u003d -

x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 \u003d

x 1 x 2 x 3 \u003d -

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളെപ്പോലെ, ഈ സൂത്രവാക്യത്തെ വിയറ്റ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഈ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഇടത് വശങ്ങൾ ഈ സമവാക്യത്തിന്റെ x 1, x 2 ..., x n വേരുകളിൽ നിന്നുള്ള സമമിതി പോളിനോമിയലുകളാണ്, കൂടാതെ വലതുവശത്ത് പോളിനോമിയൽ കോഫിഫിഷ്യന്റ് കണക്കിലെടുക്കുന്നു.

2.6 സമചതുരത്തിലേക്ക് കുറയ്ക്കാവുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ (ബൈക്വാഡ്രാറ്റിക്)

നാലാമത്തെ ഡിഗ്രിയുടെ സമവാക്യങ്ങൾ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളായി ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു:

കോടാലി 4 + ബിഎക്സ് 2 + സി \u003d 0,

biquadratic എന്ന് വിളിക്കുന്നു, മാത്രമല്ല, ≠ 0.

ഈ സമവാക്യത്തിൽ x 2 \u003d y ഇടാൻ പര്യാപ്തമാണ്, അതിനാൽ,

ay² + by + c \u003d 0

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക

y 1,2 \u003d

X 1, x 2, x 3, x 4 വേരുകൾ ഒറ്റയടിക്ക് കണ്ടെത്താൻ, y ഉപയോഗിച്ച് x മാറ്റി പകരം വയ്ക്കുക

x² \u003d

x 1,2,3,4 \u003d .

നാലാമത്തെ ഡിഗ്രി സമവാക്യത്തിന് x 1 ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഇതിന് റൂട്ട് x 2 \u003d -x 1,

ഇതിന് x 3 ഉണ്ടെങ്കിൽ, x 4 \u003d - x 3. അത്തരമൊരു സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളുടെ ആകെത്തുക പൂജ്യമാണ്.

2x 4 - 9x² + 4 \u003d 0

ദ്വിമാന സമവാക്യങ്ങളുടെ വേരുകളുടെ സമവാക്യത്തിൽ ഞങ്ങൾ സമവാക്യം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

x 1,2,3,4 \u003d ,

x 1 \u003d -x 2, x 3 \u003d -x 4 എന്നിവ അറിയുന്നത്:

x 3.4 \u003d

ഉത്തരം: x 1.2 \u003d ± 2; x 1.2 \u003d

2.7 ദ്വിമാന സമവാക്യങ്ങളുടെ അന്വേഷണം

ദ്വിമാന സമവാക്യം എടുക്കുക

കോടാലി 4 + ബിഎക്സ് 2 + സി \u003d 0,

ഇവിടെ a, b, c എന്നത് യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളാണ്, a\u003e 0. സഹായ അജ്ഞാതമായ y \u003d x² അവതരിപ്പിച്ച ശേഷം, ഞങ്ങൾ ഈ സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ പഠിക്കുകയും ഫലങ്ങൾ പട്ടികയിൽ നൽകുകയും ചെയ്യുന്നു (അനുബന്ധം നമ്പർ 1 കാണുക)

2.8 ഫോർമുല കാർഡാനോ

നിങ്ങൾ ആധുനിക പ്രതീകാത്മകത ഉപയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ, കാർഡാനോ ഫോർമുലയുടെ നിഗമനത്തിന് ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോം ഉണ്ടാകാം:

x \u003d

ഈ സൂത്രവാക്യം മൂന്നാം ഡിഗ്രിയുടെ പൊതു സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നു:

കോടാലി 3 + 3bx 2 + 3cx + d \u003d 0.

ഈ സമവാക്യം വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതും സങ്കീർണ്ണവുമാണ് (അതിൽ നിരവധി സങ്കീർണ്ണമായ റാഡിക്കലുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു). ഇത് എല്ലായ്പ്പോഴും ബാധകമല്ല, കാരണം പൂരിപ്പിക്കാൻ വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്.

F (xо) \u003d 0,\u003e 0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка . Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...

ഏറ്റവും രസകരമായ സ്ഥലങ്ങൾ 2-3 പാഠങ്ങളിൽ നിന്ന് പട്ടികപ്പെടുത്തുക അല്ലെങ്കിൽ തിരഞ്ഞെടുക്കുക. അങ്ങനെ, എലക്ടീവ് കോഴ്സുകൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നതിനും നടത്തുന്നതിനുമുള്ള പൊതുവായ വ്യവസ്ഥകൾ ഞങ്ങൾ പരിശോധിച്ചു, ഒൻപതാം ക്ലാസ് “ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും ഒരു പാരാമീറ്ററിനായി” ബീജഗണിതത്തിൽ ഒരു തിരഞ്ഞെടുപ്പ് കോഴ്സ് വികസിപ്പിക്കുമ്പോൾ ഇത് കണക്കിലെടുക്കും. അധ്യായം II "ഒരു പാരാമീറ്ററുള്ള ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും" തിരഞ്ഞെടുക്കൽ കോഴ്\u200cസ് നടത്തുന്നതിനുള്ള രീതി 1.1. സാധാരണമാണ് ...

കണക്കുകൂട്ടലിന്റെ സംഖ്യാ രീതികളിൽ നിന്നുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ. ഒരു സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ നിർണ്ണയിക്കാൻ, ആബെൽ, ഗാലോയിസ്, ലീ ഗ്രൂപ്പുകൾ മുതലായവയുടെ സിദ്ധാന്തങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവും പ്രത്യേക ഗണിതശാസ്ത്ര പദങ്ങളുടെ ഉപയോഗവും: വളയങ്ങൾ, ഫീൽഡുകൾ, ആശയങ്ങൾ, ഐസോമോർഫിസങ്ങൾ മുതലായവ ആവശ്യമില്ല. ഒൻപതാം ഡിഗ്രിയുടെ ബീജഗണിത സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾക്ക് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനും സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു സംഖ്യയിൽ നിന്ന് വേരുകൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കാനുമുള്ള കഴിവ് മാത്രമേ ആവശ്യമുള്ളൂ. വേരുകൾ ഉപയോഗിച്ച് നിർവചിക്കാം ...

മാത്ത്കാഡിലെ ഭ physical തിക അളവ് അളക്കുന്നതിനുള്ള യൂണിറ്റുകൾക്കൊപ്പം? 11. ടെക്സ്റ്റ്, ഗ്രാഫിക്, മാത്തമാറ്റിക്കൽ ബ്ലോക്കുകൾ വിശദമായി വിവരിക്കുക. പ്രഭാഷണ നമ്പർ 2. ലീനിയർ ആൾജിബ്രയുടെ പ്രശ്നങ്ങൾ, ഒരു മാത്കാഡ് പരിതസ്ഥിതിയിൽ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക എന്നിവ ലീനിയർ ആൾജിബ്രയുടെ പ്രശ്നങ്ങളിൽ, മെട്രിക്സിനൊപ്പം വിവിധ പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തേണ്ട ആവശ്യമുണ്ട്. മാട്രിക്സുള്ള ഓപ്പറേറ്റർ പാനൽ കണക്ക് പാനലിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു. ...

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾക്കായുള്ള വിയറ്റ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ രൂപീകരണവും തെളിവും. വിപരീത വിയറ്റ സിദ്ധാന്തം. ക്യൂബിക് സമവാക്യങ്ങൾക്കും അനിയന്ത്രിതമായ ക്രമത്തിന്റെ സമവാക്യങ്ങൾക്കുമായുള്ള വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ

വിയറ്റ സിദ്ധാന്തം

കുറച്ച ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ സൂചിപ്പിക്കാം
(1) .
  അപ്പോൾ വേരുകളുടെ ആകെത്തുക വിപരീത ചിഹ്നത്തിനൊപ്പം എടുത്ത ഗുണകത്തിന് തുല്യമാണ്. വേരുകളുടെ ഉൽ\u200cപ്പന്നം സ്വതന്ത്ര പദത്തിന് തുല്യമാണ്:
;
.

ഒന്നിലധികം റൂട്ട് കുറിപ്പ്

സമവാക്യത്തിന്റെ വിവേചനം (1) പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, ഈ സമവാക്യത്തിന് ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ട്. പക്ഷേ, ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഒഴിവാക്കാൻ, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സമവാക്യത്തിന് (1) രണ്ട് ഒന്നിലധികം അല്ലെങ്കിൽ തുല്യമായ വേരുകളുണ്ടെന്ന് പൊതുവായി അംഗീകരിക്കപ്പെടുന്നു:
.

ആദ്യം തെളിവ്

സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക (1). ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾക്കുള്ള സൂത്രവാക്യം പ്രയോഗിക്കുക:
;
;
.

വേരുകളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുക:
.

ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്താൻ, സമവാക്യം പ്രയോഗിക്കുക:
.
  പിന്നെ

.

പ്രമേയം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.

തെളിവ് രണ്ടാമത്

സംഖ്യകളും ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളാണെങ്കിൽ (1)
.
  ഞങ്ങൾ ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കുന്നു.

.
  അങ്ങനെ, സമവാക്യം (1) രൂപം കൊള്ളുന്നു:
.
  (1) മായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ:
;
.

പ്രമേയം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.

വിപരീത വിയറ്റ സിദ്ധാന്തം

അനിയന്ത്രിതമായ സംഖ്യകൾ ഉണ്ടാകട്ടെ. അപ്പോൾ അവ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളാണ്
,
  എവിടെ
(2) ;
(3) .

വിപരീത വിയറ്റ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ തെളിവ്

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക
(1) .
  അങ്ങനെയാണെങ്കിൽ, അവ സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളാണെന്ന് നാം തെളിയിക്കേണ്ടതുണ്ട് (1).

(1) ൽ (2), (3) എന്നിവ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക:
.
സമവാക്യത്തിന്റെ ഇടതുവശത്തുള്ള അംഗങ്ങളെ ഗ്രൂപ്പുചെയ്യുക:
;
;
(4) .

(4) ൽ പകരം വയ്ക്കുക:
;
.

(4) ൽ പകരം വയ്ക്കുക:
;
.
  സമവാക്യം തൃപ്തികരമാണ്. അതായത്, സമവാക്യത്തിന്റെ മൂലമാണ് സംഖ്യ (1).

പ്രമേയം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.

സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിനുള്ള വിയറ്റ സിദ്ധാന്തം

ഇപ്പോൾ പൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക
(5) ,
  എവിടെ, കുറച്ച് അക്കങ്ങളുണ്ട്. മാത്രമല്ല.

ഞങ്ങൾ സമവാക്യം (5) ഇതായി വിഭജിക്കുന്നു:
.
  അതായത്, മുകളിലുള്ള സമവാക്യം ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിച്ചു
,
  എവിടെ; .

പൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിനായുള്ള വിയറ്റ സിദ്ധാന്തത്തിന് ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപമുണ്ട്.

പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ സൂചിപ്പിക്കാം
.
  വേരുകളുടെ ആകെത്തുകയും ഉൽ\u200cപ്പന്നവും സൂത്രവാക്യങ്ങളാൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു:
;
.

ക്യൂബിക് സമവാക്യത്തിനുള്ള വിയറ്റയുടെ പ്രമേയം

സമാനമായ രീതിയിൽ, ക്യൂബിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ തമ്മിൽ നമുക്ക് കണക്ഷനുകൾ സ്ഥാപിക്കാൻ കഴിയും. ക്യൂബിക് സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക
(6) ,
  ഇവിടെ ,,, കുറച്ച് അക്കങ്ങളുണ്ട്. മാത്രമല്ല.
  ഈ സമവാക്യം ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്നതായി വിഭജിക്കുന്നു:
(7) ,
  എവിടെ ,,.
  ,, സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളായിരിക്കട്ടെ (7) (സമവാക്യം (6)). പിന്നെ

.

(7) സമവാക്യവുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ:
;
;
.

ഡിഗ്രി n ന്റെ സമവാക്യത്തിനുള്ള വിയറ്റ സിദ്ധാന്തം

അതേപോലെ, ഒരാൾക്ക് വേരുകൾ തമ്മിലുള്ള കണക്ഷനുകൾ കണ്ടെത്താനാകും ,, ... ,, ഒൻപതാം ഡിഗ്രിയുടെ സമവാക്യത്തിനായി
.

ഡിഗ്രി n ന്റെ സമവാക്യത്തിനായുള്ള വിയറ്റയുടെ പ്രമേയത്തിന് ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപമുണ്ട്:
;
;
;

.

ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ലഭിക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ സമവാക്യം ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപത്തിൽ എഴുതുന്നു:
.
  എന്നിട്ട് ഞങ്ങൾ ഗുണകങ്ങളെ ,,, ... എന്നതിന് തുല്യമാക്കുകയും സ term ജന്യ പദം താരതമ്യം ചെയ്യുകയും ചെയ്യുന്നു.

പരാമർശങ്ങൾ:
  I.N. ബ്രോൺസ്റ്റെയ്ൻ, കെ.ആർ. സെമെൻഡിയേവ്, ടെക്നിക്കൽ കോളേജുകളിലെ എഞ്ചിനീയർമാർക്കും വിദ്യാർത്ഥികൾക്കുമുള്ള മാത്തമാറ്റിക്സ് ഹാൻഡ്ബുക്ക്, "ഡോ", 2009.
  സെമി. നിക്കോൾസ്\u200cകി, എം.കെ. പൊട്ടപ്പോവ് മറ്റുള്ളവരും, ആൾജിബ്ര: വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങളുടെ ഗ്രേഡ് 8 നുള്ള ഒരു പാഠപുസ്തകം, മോസ്കോ, വിദ്യാഭ്യാസം, 2006.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, നിരവധി സാങ്കേതിക സമവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് നിരവധി ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ വളരെ വേഗത്തിലും വിവേചനമില്ലാതെ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു. മാത്രമല്ല, ശരിയായ പരിശീലനത്തിലൂടെ പലരും ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ വാക്കാലുള്ള, അക്ഷരാർത്ഥത്തിൽ “ഒറ്റനോട്ടത്തിൽ” പരിഹരിക്കാൻ തുടങ്ങുന്നു.

നിർഭാഗ്യവശാൽ, സ്കൂൾ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ആധുനിക ഗതിയിൽ, അത്തരം സാങ്കേതികവിദ്യകൾ മിക്കവാറും പഠിച്ചിട്ടില്ല. എന്നാൽ നിങ്ങൾ അറിയേണ്ടതുണ്ട്! ഇന്ന് നാം ഈ സാങ്കേതികതകളിലൊന്ന് പരിഗണിക്കും - വിയറ്റ സിദ്ധാന്തം. ആദ്യം, ഞങ്ങൾ ഒരു പുതിയ നിർവചനം അവതരിപ്പിക്കുന്നു.

X 2 + bx + c \u003d 0 എന്ന ഫോമിന്റെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തെ കുറച്ചതായി വിളിക്കുന്നു. ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക: x 2 ലെ ഗുണകം 1. ഗുണകങ്ങൾക്ക് മറ്റ് നിയന്ത്രണങ്ങളൊന്നുമില്ല.

1. x 2 + 7x + 12 \u003d 0 എന്നത് കുറച്ച ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യമാണ്;
2. x 2 - 5x + 6 \u003d 0 - കുറച്ചിരിക്കുന്നു;
3. 2x 2 - 6x + 8 \u003d 0 - എന്നാൽ ഇത് ഒരു നിഫിഗയല്ല, കാരണം x 2 ലെ ഗുണകം 2 ആണ്.

തീർച്ചയായും, ax 2 + bx + c \u003d 0 എന്ന ഫോമിന്റെ ഏത് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യവും കുറയ്ക്കാൻ കഴിയും - എല്ലാ ഗുണകങ്ങളെയും a കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ മതി. നമുക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും ഇത് ചെയ്യാൻ കഴിയും, കാരണം ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ നിർവചനം സൂചിപ്പിക്കുന്നത് ≠ 0 എന്നാണ്.

ശരിയാണ്, ഈ പരിവർത്തനങ്ങൾ എല്ലായ്പ്പോഴും വേരുകൾ കണ്ടെത്താൻ ഉപയോഗപ്രദമാകില്ല. അന്തിമ സമവാക്യ സ്ക്വയറിലെ എല്ലാ ഗുണകങ്ങളും പൂർണ്ണസംഖ്യയുള്ളപ്പോൾ മാത്രമേ ഇത് ആവശ്യമുള്ളൂവെന്ന് ഞങ്ങൾ ചുവടെ ഉറപ്പാക്കും. അതേസമയം, ലളിതമായ ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക:

ടാസ്ക്. ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ഇനിപ്പറയുന്നതിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുക:

1. 3x 2 - 12x + 18 \u003d 0;
2. −4x 2 + 32x + 16 \u003d 0;
3. 1.5x 2 + 7.5x + 3 \u003d 0;
4. 2x 2 + 7x - 11 \u003d 0.

ഓരോ സമവാക്യത്തെയും x 2 എന്ന വേരിയബിളിനായി ഒരു ഗുണകം കൊണ്ട് വിഭജിക്കുന്നു. ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കുന്നു:

1. 3x 2 - 12x + 18 \u003d 0 ⇒ x 2 - 4x + 6 \u003d 0 - എല്ലാം 3 ആയി വിഭജിച്ചു;
2. −4x 2 + 32x + 16 \u003d 0 ⇒ x 2 - 8x - 4 \u003d 0 - by4 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു;
3. 1.5x 2 + 7.5x + 3 \u003d 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 \u003d 0 - 1.5 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ എല്ലാ ഗുണകങ്ങളും പൂർണ്ണസംഖ്യയായി;
4. 2x 2 + 7x - 11 \u003d 0 ⇒ x 2 + 3,5x - 5.5 \u003d 0 - 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു. ഫ്രാക്ഷണൽ ഗുണകങ്ങൾ ഉയർന്നു.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, നൽകിയിരിക്കുന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾക്ക് യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൽ ഭിന്നസംഖ്യകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുമ്പോൾ പോലും പൂർണ്ണസംഖ്യ ഗുണകങ്ങൾ ഉണ്ടാകാം.

ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ പ്രധാന സിദ്ധാന്തം രൂപപ്പെടുത്തുന്നു, ഇതിനായി വാസ്തവത്തിൽ, കുറച്ച ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ ആശയം അവതരിപ്പിച്ചു:

വിയറ്റ സിദ്ധാന്തം. X 2 + bx + c \u003d 0 എന്ന ഫോമിന്റെ കുറച്ച ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. ഈ സമവാക്യത്തിന് യഥാർത്ഥ വേരുകളുണ്ടെന്ന് കരുതുക x 1, x 2. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രസ്താവനകൾ ശരിയാണ്:

1. x 1 + x 2 \u003d .b. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളുടെ ആകെത്തുക x എന്ന വേരിയബിളിന്റെ ഗുണകത്തിന് തുല്യമാണ്, വിപരീത ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് എടുത്തതാണ്;
2. x 1 x 2 \u003d സി. ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളുടെ ഉൽപ്പന്നം സ്വതന്ത്ര ഗുണകത്തിന് തുല്യമാണ്.

ഉദാഹരണങ്ങൾ. ലാളിത്യത്തിനായി, അധിക പരിവർത്തനങ്ങൾ ആവശ്യമില്ലാത്ത കുറച്ച ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ മാത്രമേ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കുകയുള്ളൂ:

1. x 2 - 9x + 20 \u003d 0 x 1 + x 2 \u003d - (−9) \u003d 9; x 1 x 2 \u003d 20; വേരുകൾ: x 1 \u003d 4; x 2 \u003d 5;
2. x 2 + 2x - 15 \u003d 0 ⇒ x 1 + x 2 \u003d −2; x 1 x 2 \u003d −15; വേരുകൾ: x 1 \u003d 3; x 2 \u003d −5;
3. x 2 + 5x + 4 \u003d 0 ⇒ x 1 + x 2 \u003d −5; x 1 x 2 \u003d 4; വേരുകൾ: x 1 \u003d −1; x 2 \u003d −4.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളെക്കുറിച്ചുള്ള കൂടുതൽ വിവരങ്ങൾ വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം നൽകുന്നു. ഒറ്റനോട്ടത്തിൽ, ഇത് സങ്കീർണ്ണമാണെന്ന് തോന്നുമെങ്കിലും, കുറഞ്ഞ പരിശീലനത്തിലൂടെ പോലും, നിങ്ങൾ വേരുകൾ “കാണാൻ” പഠിക്കുകയും അക്ഷരാർത്ഥത്തിൽ നിമിഷങ്ങൾക്കുള്ളിൽ ess ഹിക്കുകയും ചെയ്യും.

ടാസ്ക്. ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക:

1. x 2 - 9x + 14 \u003d 0;
2. x 2 - 12x + 27 \u003d 0;
3. 3x 2 + 33x + 30 \u003d 0;
4. −7x 2 + 77x - 210 \u003d 0.

വിയറ്റ സിദ്ധാന്തം അനുസരിച്ച് ഗുണകങ്ങൾ എഴുതിക്കൊണ്ട് വേരുകളെ “ഹിക്കാൻ” ശ്രമിക്കാം:

1. x 2 - 9x + 14 \u003d 0 എന്നത് തന്നിരിക്കുന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യമാണ്.
     വിയറ്റ സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, നമുക്ക് ഇവയുണ്ട്: x 1 + x 2 \u003d - (- 9) \u003d 9; x 1 · x 2 \u003d 14. വേരുകൾ 2 ഉം 7 ഉം ആണെന്ന് മനസ്സിലാക്കാൻ എളുപ്പമാണ്;
2. x 2 - 12x + 27 \u003d 0 - ഉം നൽകിയിരിക്കുന്നു.
     വിയറ്റയുടെ പ്രമേയം അനുസരിച്ച്: x 1 + x 2 \u003d - (- 12) \u003d 12; x 1 · x 2 \u003d 27. അതിനാൽ വേരുകൾ: 3 ഉം 9 ഉം;
3. 3x 2 + 33x + 30 \u003d 0 - ഈ സമവാക്യം കുറച്ചിട്ടില്ല. സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും a \u003d 3 എന്ന ഗുണകം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാണ് ഞങ്ങൾ ഇപ്പോൾ ഇത് പരിഹരിക്കുക. നമുക്ക് ലഭിക്കും: x 2 + 11x + 10 \u003d 0.
     വിയറ്റ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു: x 1 + x 2 \u003d −11; x 1 · x 2 \u003d 10 വേരുകൾ: −10, −1;
4. −7x 2 + 77x - 210 \u003d 0 - വീണ്ടും, x 2 ലെ ഗുണകം 1 ന് തുല്യമല്ല, അതായത്. സമവാക്യം കാണിച്ചിട്ടില്ല. എല്ലാം a \u003d −7 എന്ന സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കുക. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു: x 2 - 11x + 30 \u003d 0.
     വിയറ്റയുടെ പ്രമേയം അനുസരിച്ച്: x 1 + x 2 \u003d - (- 11) \u003d 11; x 1 x 2 \u003d 30; ഈ സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് വേരുകൾ to ഹിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്: 5 ഉം 6 ഉം.

മുകളിലുള്ള ന്യായവാദത്തിൽ നിന്ന്, വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം എങ്ങനെയാണ് സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം ലളിതമാക്കുന്നത് എന്ന് കാണാം. സങ്കീർണ്ണമായ കണക്കുകൂട്ടലുകളില്ല, ഗണിത വേരുകളും ഭിന്നസംഖ്യകളും ഇല്ല. വിവേചനാധികാരം പോലും (“ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക” എന്ന പാഠം കാണുക) ഞങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമില്ല.

തീർച്ചയായും, ഞങ്ങളുടെ എല്ലാ ചിന്തകളിലും ഞങ്ങൾ രണ്ട് സുപ്രധാന അനുമാനങ്ങളിൽ നിന്ന് മുന്നേറി, പൊതുവായി പറഞ്ഞാൽ, യഥാർത്ഥ ജോലികളിൽ എല്ലായ്പ്പോഴും നിറവേറ്റപ്പെടുന്നില്ല:

1. ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം കുറയുന്നു, അതായത്. x 2 ലെ ഗുണകം 1 ആണ്;
2. സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വ്യത്യസ്ത വേരുകളുണ്ട്. ബീജഗണിതത്തിന്റെ വീക്ഷണകോണിൽ, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ വിവേചനം D\u003e 0 ആണ് - വാസ്തവത്തിൽ, ഈ അസമത്വം ശരിയാണെന്ന് ഞങ്ങൾ തുടക്കത്തിൽ അനുമാനിക്കുന്നു.

എന്നിരുന്നാലും, സാധാരണ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രശ്നങ്ങളിൽ, ഈ അവസ്ഥകൾ തൃപ്തികരമാണ്. കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ ഫലമായി, ഒരു “മോശം” ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ലഭിക്കുകയാണെങ്കിൽ (x 2 ലെ ഗുണകം 1 ൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്), ഇത് പരിഹരിക്കാൻ എളുപ്പമാണ് - പാഠത്തിന്റെ തുടക്കത്തിൽ തന്നെ ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കുക. വേരുകളെക്കുറിച്ച് ഞാൻ പൊതുവെ നിശബ്ദനാണ്: ഉത്തരം ഇല്ലാത്ത ഏത് തരത്തിലുള്ള ജോലിയാണ് ഇത്? തീർച്ചയായും, വേരുകൾ ആയിരിക്കും.

ഈ വഴിയിൽ, പൊതു പദ്ധതി   വിയറ്റയുടെ പ്രമേയപ്രകാരം ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് ഇനിപ്പറയുന്നതാണ്:

1. പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥയിൽ ഇതിനകം ചെയ്തിട്ടില്ലെങ്കിൽ, മുകളിൽ പറഞ്ഞ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം കുറയ്ക്കുക;
2. തന്നിരിക്കുന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിലെ ഗുണകങ്ങൾ ഭിന്നസംഖ്യയാണെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ അത് വിവേചനത്തിലൂടെ പരിഹരിക്കുന്നു. കൂടുതൽ “സ” കര്യപ്രദമായ ”സംഖ്യകളുമായി പ്രവർത്തിക്കാൻ നിങ്ങൾക്ക് യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മടങ്ങാൻ കഴിയും;
3. സംഖ്യാ ഗുണകങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, ഞങ്ങൾ വിയറ്റ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു;
4. കുറച്ച് നിമിഷങ്ങൾക്കുള്ളിൽ വേരുകൾ to ഹിക്കാൻ കഴിയുന്നില്ലെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ വിയറ്റ പ്രമേയത്തെ ചുറ്റിപ്പിടിച്ച് വിവേചനത്തിലൂടെ പരിഹരിക്കും.

ടാസ്ക്. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക: 5x 2 - 35x + 50 \u003d 0.

അതിനാൽ, നമുക്ക് മുന്നിൽ നൽകിയിട്ടില്ലാത്ത ഒരു സമവാക്യം, കാരണം ഗുണകം a \u003d 5. എല്ലാം 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക, നമുക്ക് ലഭിക്കും: x 2 - 7x + 10 \u003d 0.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ എല്ലാ ഗുണകങ്ങളും പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ് - വിയറ്റയുടെ പ്രമേയം ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക. ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട്: x 1 + x 2 \u003d - (- 7) \u003d 7; x 1 · x 2 \u003d 10. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, വേരുകൾ എളുപ്പത്തിൽ ed ഹിക്കപ്പെടുന്നു - ഇവ 2 ഉം 5 ഉം ആണ്. വിവേചനത്തിലൂടെ വായിക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല.

ടാസ്ക്. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക: x5x 2 + 8x - 2,4 \u003d 0.

ഞങ്ങൾ നോക്കുന്നു: x5x 2 + 8x - 2,4 \u003d 0 - ഈ സമവാക്യം കുറയുന്നില്ല, a \u003d −5 എന്ന ഗുണകം കൊണ്ട് ഞങ്ങൾ ഇരുവശങ്ങളും വിഭജിക്കുന്നു. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു: x 2 - 1,6x + 0,48 \u003d 0 - ഭിന്ന ഗുണകങ്ങളുമായുള്ള സമവാക്യം.

യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മടങ്ങുകയും വിവേചനത്തിലൂടെ കണക്കാക്കുകയും ചെയ്യുന്നതാണ് നല്ലത്: x5x 2 + 8x - 2,4 \u003d 0 ⇒ D \u003d 8 2 - 4 · (−5) · (−2,4) \u003d 16 ⇒ ... x 1 \u003d 1,2; x 2 \u003d 0.4.

ടാസ്ക്. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക: 2x 2 + 10x - 600 \u003d 0.

ആരംഭിക്കുന്നതിന്, a \u003d 2 എന്ന ഗുണകം ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ എല്ലാം വിഭജിക്കുന്നു. ഇത് x 2 + 5x - 300 \u003d 0 എന്ന സമവാക്യം നൽകുന്നു.

മുകളിലുള്ള സമവാക്യം ഇതാണ്, വിയറ്റ സിദ്ധാന്തം: x 1 + x 2 \u003d −5; x 1 x 2 \u003d −300. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ to ഹിക്കാൻ പ്രയാസമാണ് - വ്യക്തിപരമായി, ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ഞാൻ ഗൗരവമായി “തൂക്കി”.

വിവേചനത്തിലൂടെ ഞങ്ങൾ വേരുകൾ അന്വേഷിക്കേണ്ടതുണ്ട്: D \u003d 5 2 - 4 · 1 · (−300) \u003d 1225 \u003d 35 2. വിവേചനാധികാരിയുടെ റൂട്ട് നിങ്ങൾ ഓർക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ, 1225: 25 \u003d 49. അതിനാൽ, 1225 \u003d 25 · 49 \u003d 5 2 · 7 2 \u003d 35 2 എന്ന് ഞാൻ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു.

വിവേചനത്തിന്റെ റൂട്ട് ഇപ്പോൾ അറിയാം, സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ പ്രയാസമില്ല. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു: x 1 \u003d 15; x 2 \u003d −20.

വിയറ്റ സിദ്ധാന്തം (കൂടുതൽ കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, വിയറ്റ പ്രമേയത്തിന്റെ വിപരീതം) ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് എടുക്കുന്ന സമയം കുറയ്ക്കുന്നു. നിങ്ങൾക്ക് മാത്രമേ ഇത് ഉപയോഗിക്കാൻ കഴിയൂ. വിയറ്റ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ എങ്ങനെ പഠിക്കാം? അല്പം ചിന്തിച്ചാൽ ഇത് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല.

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ വിയറ്റ പ്രമേയത്തിന്റെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ച് മാത്രമേ സംസാരിക്കുകയുള്ളൂ. ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ഒരു സമവാക്യമാണ്, അതിൽ a, അതായത് x² ന്റെ ഗുണകം ഒന്നിന് തുല്യമാണ്. കുറയ്ക്കാത്ത ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളും വിയറ്റ സിദ്ധാന്തത്തിന് പരിഹരിക്കാനാകും, പക്ഷേ ഇതിനകം വേരുകളിലൊന്നെങ്കിലും ഉണ്ട് - ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയല്ല. അവ to ഹിക്കാൻ പ്രയാസമാണ്.

വിയറ്റ പ്രമേയത്തിന്റെ വിപരീതം പറയുന്നു: x1, x2 അക്കങ്ങൾ അങ്ങനെയാണെങ്കിൽ

x1, x2 എന്നിവ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളാണ്

വിയറ്റ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, 4 ഓപ്ഷനുകൾ മാത്രമേ സാധ്യമാകൂ. യുക്തിയുടെ ഗതി നിങ്ങൾ ഓർക്കുന്നുവെങ്കിൽ, മുഴുവൻ വേരുകളും വളരെ വേഗത്തിൽ കണ്ടെത്താൻ നിങ്ങൾക്ക് പഠിക്കാം.

I. q ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണെങ്കിൽ,

ഇതിനർത്ഥം x1, x2 എന്നീ വേരുകൾ ഒരേ ചിഹ്നത്തിന്റെ അക്കങ്ങളാണെന്നാണ് (ഒരേ ചിഹ്നങ്ങളുള്ള സംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുമ്പോൾ മാത്രമേ പോസിറ്റീവ് സംഖ്യ പുറത്തുവരുകയുള്ളൂ).

I.a. -P ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണെങ്കിൽ,   (യഥാക്രമം, പി<0), то оба корня x1 и x2 — പോസിറ്റീവ് നമ്പറുകൾ   (അവർ ഒരേ ചിഹ്നത്തിന്റെ സംഖ്യകൾ ചേർത്ത് പോസിറ്റീവ് നമ്പർ ലഭിച്ചതിനാൽ).

I.b. -P ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയാണെങ്കിൽ,   (യഥാക്രമം, p\u003e 0), തുടർന്ന് രണ്ട് വേരുകളും നെഗറ്റീവ് അക്കങ്ങളാണ് (ഒരേ ചിഹ്നത്തിന്റെ സംഖ്യകൾ ചേർത്തു, ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യ ലഭിച്ചു).

II. Q ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയാണെങ്കിൽ,

ഇതിനർത്ഥം x1, x2 എന്നീ വേരുകൾക്ക് വ്യത്യസ്ത ചിഹ്നങ്ങളാണുള്ളത് (സംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുമ്പോൾ ഘടകങ്ങളുടെ അടയാളങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമാകുമ്പോൾ മാത്രമേ നെഗറ്റീവ് സംഖ്യ ലഭിക്കുകയുള്ളൂ). ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, x1 + x2 ഇനി ഒരു സംഖ്യയല്ല, മറിച്ച് ഒരു വ്യത്യാസമാണ് (എല്ലാത്തിനുമുപരി, അക്കങ്ങൾ ചേർക്കുമ്പോൾ വ്യത്യസ്ത പ്രതീകങ്ങൾ   ചെറിയതിൽ നിന്ന് വലിയതിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കുക). അതിനാൽ, x1, x2 എന്നിവയിൽ ഒരു റൂട്ട് എത്രമാത്രം വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നുവെന്ന് x1 + x2 കാണിക്കുന്നു, അതായത്, ഒരു റൂട്ട് മറ്റൊന്നിനേക്കാൾ എത്ര വലുതാണെന്ന് (മൊഡ്യൂലോ).

II.a. -P ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണെങ്കിൽ, (അതായത് പി<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. -P ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയാണെങ്കിൽ, (p\u003e 0), തുടർന്ന് വലിയ (മൊഡ്യൂളോ) റൂട്ട് ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്.

ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് വിയറ്റ സിദ്ധാന്തം ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം.

വിയറ്റ സിദ്ധാന്തം കുറച്ച ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക:

ഇവിടെ q \u003d 12\u003e 0; അതിനാൽ, x1, x2 എന്നീ വേരുകൾ ഒരേ ചിഹ്നത്തിന്റെ അക്കങ്ങളാണ്. അവയുടെ ആകെത്തുക -p \u003d 7\u003e 0, അതിനാൽ രണ്ട് വേരുകളും പോസിറ്റീവ് അക്കങ്ങളാണ്. 1, 12, 2, 6, 3, 4 എന്നിങ്ങനെയുള്ള സംഖ്യകൾ ഞങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു. ഇവ 3, 4 ജോഡികൾക്ക് 7 ആണ്. അതിനാൽ 3, 4 എന്നിവ സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളാണ്.

AT ഈ ഉദാഹരണം   q \u003d 16\u003e 0, അതായത് x1, x2 എന്നീ വേരുകൾ ഒരേ ചിഹ്നത്തിന്റെ അക്കങ്ങളാണ്. അവയുടെ തുക -p \u003d -10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

ഇവിടെ q \u003d -15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, തുടർന്ന് വലിയ സംഖ്യ പോസിറ്റീവ് ആണ്. അതിനാൽ, വേരുകൾ 5 ഉം -3 ഉം.

q \u003d -36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.