ഈ ലേഖനത്തിൽ നമ്മൾ അപൂർണ്ണമായ പരിഹാരം നോക്കും ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ.

എന്നാൽ ആദ്യം, ക്വാഡ്രാറ്റിക് എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ ആവർത്തിക്കാം. ax 2 + bx + c = 0 എന്ന രൂപത്തിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യം, ഇവിടെ x ഒരു വേരിയബിളാണ്, കൂടാതെ a, b, c എന്നീ ഗുണകങ്ങൾ ചില സംഖ്യകളാണ്, a ≠ 0 എന്നിവയെ വിളിക്കുന്നു. സമചതുരം Samachathuram. നമ്മൾ കാണുന്നതുപോലെ, x 2 ൻ്റെ ഗുണകം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ല, അതിനാൽ x അല്ലെങ്കിൽ സ്വതന്ത്ര പദത്തിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ നമുക്ക് ഒരു അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ലഭിക്കും.

അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ മൂന്ന് തരത്തിലുണ്ട്:

1) b = 0, c ≠ 0 ആണെങ്കിൽ, കോടാലി 2 + c = 0;

2) b ≠ 0, c = 0 എങ്കിൽ, കോടാലി 2 + bx = 0;

3) b = 0, c = 0 എങ്കിൽ, കോടാലി 2 = 0.

• എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് നമുക്ക് നോക്കാം ax 2 + c = 0 എന്ന രൂപത്തിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങൾ.

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, സി എന്ന സ്വതന്ത്ര പദം സമവാക്യത്തിൻ്റെ വലതുവശത്തേക്ക് നീക്കുന്നു, നമുക്ക് ലഭിക്കും

കോടാലി 2 = ‒s. a ≠ 0 ആയതിനാൽ, നമ്മൾ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും a കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു, തുടർന്ന് x 2 = ‒c/a.

‒с/а > 0 ആണെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്

x = ±√(–c/a) .

എങ്കിൽ ‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് മനസിലാക്കാൻ ശ്രമിക്കാം.

ഉദാഹരണം 1. 2x 2 ‒ 32 = 0 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

ഉത്തരം: x 1 = - 4, x 2 = 4.

ഉദാഹരണം 2. 2x 2 + 8 = 0 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

ഉത്തരം: സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരങ്ങളില്ല.

• അത് എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് നമുക്ക് നോക്കാം ax 2 + bx = 0 എന്ന രൂപത്തിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങൾ.

ax 2 + bx = 0 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ, നമുക്ക് അതിനെ ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്യാം, അതായത്, ബ്രാക്കറ്റിൽ നിന്ന് x എടുക്കുക, നമുക്ക് x(ax + b) = 0 ലഭിക്കും. കുറഞ്ഞത് ഒരു ഘടകമെങ്കിലും തുല്യമാണെങ്കിൽ ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. പൂജ്യത്തിലേക്ക്. അപ്പോൾ ഒന്നുകിൽ x = 0, അല്ലെങ്കിൽ ax + b = 0. ax + b = 0 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ax = - b, എവിടെ നിന്ന് x = - b/a ലഭിക്കും. ax 2 + bx = 0 എന്ന രൂപത്തിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യത്തിന് എപ്പോഴും x 1 = 0, x 2 = ‒ b/a എന്നീ രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്. ഈ തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരം ഡയഗ്രാമിൽ എങ്ങനെയുണ്ടെന്ന് കാണുക.

ഒരു പ്രത്യേക ഉദാഹരണത്തിലൂടെ നമ്മുടെ അറിവ് ഏകീകരിക്കാം.

ഉദാഹരണം 3. 3x 2 - 12x = 0 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

x(3x ‒ 12) = 0

x= 0 അല്ലെങ്കിൽ 3x – 12 = 0

ഉത്തരം: x 1 = 0, x 2 = 4.

• മൂന്നാമത്തെ തരം കോടാലി 2 = 0 ൻ്റെ സമവാക്യങ്ങൾവളരെ ലളിതമായി പരിഹരിച്ചിരിക്കുന്നു.

കോടാലി 2 = 0 ആണെങ്കിൽ, x 2 = 0. സമവാക്യത്തിന് x 1 = 0, x 2 = 0 എന്നീ രണ്ട് തുല്യ വേരുകളുണ്ട്.

വ്യക്തതയ്ക്കായി, നമുക്ക് ഡയഗ്രം നോക്കാം.

ഉദാഹരണം 4 പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഇത്തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ വളരെ ലളിതമായി പരിഹരിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് ഉറപ്പാക്കാം.

ഉദാഹരണം 4. 7x 2 = 0 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

ഉത്തരം: x 1, 2 = 0.

ഏത് തരത്തിലുള്ള അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യമാണ് നമുക്ക് പരിഹരിക്കേണ്ടതെന്ന് എല്ലായ്പ്പോഴും പെട്ടെന്ന് വ്യക്തമല്ല. ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കുക.

ഉദാഹരണം 5.സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

നമുക്ക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശവും ഒരു പൊതു ഡിനോമിനേറ്റർ കൊണ്ട് ഗുണിക്കാം, അതായത് 30 കൊണ്ട്

നമുക്ക് അത് വെട്ടിമാറ്റാം

5(5x 2 + 9) – 6(4x 2 – 9) = 90.

നമുക്ക് ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കാം

25x 2 + 45 – 24x 2 + 54 = 90.

സമാനമായി നൽകാം

നമുക്ക് 99 സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്ത് നിന്ന് വലത്തോട്ട് നീക്കാം, ചിഹ്നം വിപരീതമായി മാറ്റാം

ഉത്തരം: വേരുകളില്ല.

അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നുവെന്ന് ഞങ്ങൾ നോക്കി. അത്തരം ജോലികളിൽ ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ ഉണ്ടാകില്ലെന്ന് ഞാൻ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു. അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ തരം നിർണ്ണയിക്കുമ്പോൾ ശ്രദ്ധിക്കുക, അപ്പോൾ നിങ്ങൾ വിജയിക്കും.

ഈ വിഷയത്തിൽ നിങ്ങൾക്ക് ചോദ്യങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ, എൻ്റെ പാഠങ്ങൾക്കായി സൈൻ അപ്പ് ചെയ്യുക, ഞങ്ങൾ ഒരുമിച്ച് ഉണ്ടാകുന്ന പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കും.

വെബ്‌സൈറ്റ്, മെറ്റീരിയൽ പൂർണ്ണമായോ ഭാഗികമായോ പകർത്തുമ്പോൾ, ഉറവിടത്തിലേക്കുള്ള ഒരു ലിങ്ക് ആവശ്യമാണ്.

"സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക" എന്ന വിഷയം തുടരുന്നത്, ഈ ലേഖനത്തിലെ മെറ്റീരിയൽ നിങ്ങളെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് പരിചയപ്പെടുത്തും.

നമുക്ക് എല്ലാം വിശദമായി പരിഗണിക്കാം: ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ സത്തയും റെക്കോർഡിംഗും, അനുബന്ധ നിബന്ധനകൾ നിർവചിക്കുക, അപൂർണ്ണവും പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള സ്കീം വിശകലനം ചെയ്യുക സമ്പൂർണ്ണ സമവാക്യങ്ങൾ, വേരുകളുടെയും വിവേചനത്തിൻ്റെയും സൂത്രവാക്യം ഞങ്ങൾ പരിചയപ്പെടും, വേരുകളും ഗുണകങ്ങളും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം സ്ഥാപിക്കും, തീർച്ചയായും ഞങ്ങൾ പ്രായോഗിക ഉദാഹരണങ്ങൾക്ക് ഒരു ദൃശ്യ പരിഹാരം നൽകും.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം, അതിൻ്റെ തരങ്ങൾ

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യംഎന്നെഴുതിയ സമവാക്യമാണ് a x 2 + b x + c = 0, എവിടെ x- വേരിയബിൾ, a , b കൂടാതെ സി- ചില സംഖ്യകൾ, അതേസമയം എപൂജ്യമല്ല.

പലപ്പോഴും, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളെ രണ്ടാം ഡിഗ്രിയുടെ സമവാക്യങ്ങൾ എന്നും വിളിക്കുന്നു, കാരണം സാരാംശത്തിൽ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം രണ്ടാം ഡിഗ്രിയുടെ ബീജഗണിത സമവാക്യമാണ്.

വ്യക്തമാക്കാൻ ഒരു ഉദാഹരണം പറയാം നൽകിയ നിർവചനം: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, മുതലായവ. ഇവ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളാണ്.

നിർവ്വചനം 2

എ, ബി, എന്നീ സംഖ്യകൾ സിക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഗുണകങ്ങളാണ് a x 2 + b x + c = 0, ഗുണകം സമയത്ത് എ x 2-ൽ ആദ്യത്തേത്, അല്ലെങ്കിൽ സീനിയർ അല്ലെങ്കിൽ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു, b - രണ്ടാമത്തെ ഗുണകം, അല്ലെങ്കിൽ ഗുണകം x, എ സിഒരു സ്വതന്ത്ര അംഗത്തെ വിളിച്ചു.

ഉദാഹരണത്തിന്, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൽ 6 x 2 - 2 x - 11 = 0മുൻനിര ഗുണകം 6 ആണ്, രണ്ടാമത്തെ ഗുണകം − 2 , കൂടാതെ സ്വതന്ത്ര പദം തുല്യമാണ് − 11 . എപ്പോൾ ഗുണകങ്ങൾ എന്ന വസ്തുത നമുക്ക് ശ്രദ്ധിക്കാം ബികൂടാതെ/അല്ലെങ്കിൽ c നെഗറ്റീവ് ആണ്, തുടർന്ന് ഉപയോഗിക്കുക ഹ്രസ്വ രൂപംതുടങ്ങിയ റെക്കോർഡുകൾ 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, പക്ഷേ അല്ല 6 x 2 + (− 2) x + (- 11) = 0.

നമുക്ക് ഈ വശവും വ്യക്തമാക്കാം: ഗുണകങ്ങൾ ആണെങ്കിൽ എകൂടാതെ/അല്ലെങ്കിൽ ബിതുല്യമായ 1 അഥവാ − 1 , തുടർന്ന് അവർ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള സമവാക്യം എഴുതുന്നതിൽ വ്യക്തമായ പങ്കുവഹിച്ചേക്കില്ല, ഇത് സൂചിപ്പിച്ച സംഖ്യാ ഗുണകങ്ങൾ എഴുതുന്നതിൻ്റെ പ്രത്യേകതകളാൽ വിശദീകരിക്കപ്പെടുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൽ y 2 - y + 7 = 0മുൻനിര ഗുണകം 1 ആണ്, രണ്ടാമത്തെ ഗുണകം − 1 .

കുറച്ചതും കുറയ്ക്കാത്തതുമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ

ആദ്യ ഗുണകത്തിൻ്റെ മൂല്യത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളെ കുറച്ചതും കുറയാത്തതുമായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം 3

കുറച്ച ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യംമുൻനിര ഗുണകം 1 ആയ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യമാണ്. മുൻനിര ഗുണകത്തിൻ്റെ മറ്റ് മൂല്യങ്ങൾക്ക്, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം കുറയുന്നില്ല.

നമുക്ക് ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകാം: ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ x 2 - 4 · x + 3 = 0, x 2 - x - 4 5 = 0 കുറയുന്നു, അവയിൽ ഓരോന്നിലും മുൻനിര ഗുണകം 1 ആണ്.

9 x 2 - x - 2 = 0- കുറയ്ക്കാത്ത ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം, ആദ്യ ഗുണകം വ്യത്യസ്തമാണ് 1 .

കുറയാത്ത ഏത് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യവും ആദ്യ ഗുണകം (തത്തുല്യമായ പരിവർത്തനം) കൊണ്ട് ഇരുവശങ്ങളെയും ഹരിച്ചുകൊണ്ട് ഒരു കുറഞ്ഞ സമവാക്യമായി പരിവർത്തനം ചെയ്യാൻ കഴിയും. രൂപാന്തരപ്പെട്ട സമവാക്യത്തിന് നൽകിയിരിക്കുന്ന അതേ വേരുകൾ ഉണ്ടായിരിക്കും കുറയ്ക്കാത്ത സമവാക്യംഅല്ലെങ്കിൽ വേരുകളൊന്നുമില്ല.

പരിഗണന മൂർത്തമായ ഉദാഹരണംകുറയാത്ത ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് കുറഞ്ഞ ഒന്നിലേക്കുള്ള പരിവർത്തനം വ്യക്തമായി കാണിക്കാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കും.

ഉദാഹരണം 1

6 x 2 + 18 x - 7 = 0 എന്ന സമവാക്യം നൽകിയിരിക്കുന്നു . യഥാർത്ഥ സമവാക്യം കുറച്ച രൂപത്തിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

പരിഹാരം

മുകളിലുള്ള സ്കീം അനുസരിച്ച്, ഞങ്ങൾ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും ലീഡിംഗ് കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് 6 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു. അപ്പോൾ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു: (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0: 3, ഇതും സമാനമാണ്: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 - 7: 3 = 0കൂടാതെ കൂടുതൽ: (6: 6) x 2 + (18: 6) x - 7: 6 = 0.ഇവിടെ നിന്ന്: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . അങ്ങനെ, നൽകിയിരിക്കുന്നതിന് തുല്യമായ ഒരു സമവാക്യം ലഭിക്കും.

ഉത്തരം: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

പൂർണ്ണവും അപൂർണ്ണവുമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ

നമുക്ക് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ നിർവചനത്തിലേക്ക് തിരിയാം. അതിൽ ഞങ്ങൾ അത് വ്യക്തമാക്കിയിട്ടുണ്ട് a ≠ 0. സമവാക്യത്തിന് സമാനമായ ഒരു വ്യവസ്ഥ ആവശ്യമാണ് a x 2 + b x + c = 0മുതൽ കൃത്യമായി സമചതുരമായിരുന്നു a = 0അത് അടിസ്ഥാനപരമായി രൂപാന്തരപ്പെടുന്നു രേഖീയ സമവാക്യം b x + c = 0.

സന്ദർഭത്തിൽ ഗുണകങ്ങൾ ബിഒപ്പം സിപൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ് (ഇത് വ്യക്തിഗതമായും സംയുക്തമായും സാധ്യമാണ്), ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തെ അപൂർണ്ണമെന്ന് വിളിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം 4

അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം- അത്തരമൊരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം a x 2 + b x + c = 0,എവിടെയെങ്കിലും ഗുണകങ്ങളിൽ ഒന്ന് ബിഒപ്പം സി(അല്ലെങ്കിൽ രണ്ടും) പൂജ്യമാണ്.

സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം- എല്ലാ സംഖ്യാ ഗുണകങ്ങളും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലാത്ത ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ തരങ്ങൾക്ക് ഈ പേരുകൾ കൃത്യമായി നൽകിയിരിക്കുന്നത് എന്തുകൊണ്ടാണെന്ന് നമുക്ക് ചർച്ച ചെയ്യാം.

b = 0 ആകുമ്പോൾ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം രൂപം പ്രാപിക്കുന്നു a x 2 + 0 x + c = 0, അത് സമാനമാണ് a x 2 + c = 0. ചെയ്തത് c = 0ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ഇങ്ങനെ എഴുതിയിരിക്കുന്നു a x 2 + b x + 0 = 0, ഏത് തുല്യമാണ് a x 2 + b x = 0. ചെയ്തത് b = 0ഒപ്പം c = 0സമവാക്യം രൂപമെടുക്കും a x 2 = 0. നമുക്ക് ലഭിച്ച സമവാക്യങ്ങൾ സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്, അവയുടെ ഇടത് വശങ്ങളിൽ x എന്ന വേരിയബിളുള്ള ഒരു പദമോ അല്ലെങ്കിൽ ഒരു സ്വതന്ത്ര പദമോ അല്ലെങ്കിൽ രണ്ടും അടങ്ങിയിട്ടില്ല. യഥാർത്ഥത്തിൽ, ഈ വസ്തുതയാണ് ഇത്തരത്തിലുള്ള സമവാക്യത്തിന് പേര് നൽകിയത് - അപൂർണ്ണമാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്, x 2 + 3 x + 4 = 0, - 7 x 2 - 2 x + 1, 3 = 0 എന്നിവ സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളാണ്; x 2 = 0, - 5 x 2 = 0; 11 · x 2 + 2 = 0 , - x 2 - 6 · x = 0 - അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ.

അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

മുകളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന നിർവചനം ഇനിപ്പറയുന്ന തരത്തിലുള്ള അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളെ വേർതിരിച്ചറിയാൻ സഹായിക്കുന്നു:

• a x 2 = 0, ഈ സമവാക്യം ഗുണകങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു b = 0കൂടാതെ c = 0 ;
• a · x 2 + c = 0 at b = 0 ;
• a · x 2 + b · x = 0 at c = 0.

ഓരോ തരത്തിലുള്ള അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെയും പരിഹാരം നമുക്ക് തുടർച്ചയായി പരിഗണിക്കാം.

a x 2 =0 എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ പരിഹാരം

മുകളിൽ സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ, ഈ സമവാക്യം ഗുണകങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു ബിഒപ്പം സി, പൂജ്യത്തിന് തുല്യം. സമവാക്യം a x 2 = 0ഒരു തുല്യ സമവാക്യത്തിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യാൻ കഴിയും x 2 = 0, യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു എ, പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ല. സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് എന്നതാണ് വ്യക്തമായ വസ്തുത x 2 = 0ഇത് പൂജ്യമാണ് കാരണം 0 2 = 0 . ഈ സമവാക്യത്തിന് മറ്റ് വേരുകളൊന്നുമില്ല, അത് ഡിഗ്രിയുടെ ഗുണങ്ങളാൽ വിശദീകരിക്കാം: ഏത് സംഖ്യയ്ക്കും പി,പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ല, അസമത്വം സത്യമാണ് p 2 > 0, അതിൽ നിന്ന് അത് എപ്പോൾ എന്ന് പിന്തുടരുന്നു p ≠ 0സമത്വം p 2 = 0ഒരിക്കലും നേടിയെടുക്കില്ല.

നിർവ്വചനം 5

അങ്ങനെ, അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് ഒരു x 2 = 0 ഒരു അദ്വിതീയ റൂട്ട് ഉണ്ട്. x = 0.

ഉദാഹരണം 2

ഉദാഹരണത്തിന്, നമുക്ക് ഒരു അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാം − 3 x 2 = 0. ഇത് സമവാക്യത്തിന് തുല്യമാണ് x 2 = 0, അതിൻ്റെ ഒരേയൊരു റൂട്ട് x = 0, അപ്പോൾ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന് ഒരൊറ്റ റൂട്ട് ഉണ്ട് - പൂജ്യം.

ചുരുക്കത്തിൽ, പരിഹാരം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

a x 2 + c = 0 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു

വരിയിൽ അടുത്തത് അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരമാണ്, ഇവിടെ b = 0, c ≠ 0, അതായത് ഫോമിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങൾ a x 2 + c = 0. സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു വശത്ത് നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്ക് ഒരു പദത്തെ നീക്കി, ചിഹ്നത്തെ എതിർവശത്തേക്ക് മാറ്റി, സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലാത്ത ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിച്ചുകൊണ്ട് ഈ സമവാക്യം രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം:

• കൈമാറ്റം സിസമവാക്യം നൽകുന്ന വലത് വശത്തേക്ക് a x 2 = - c;
• സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും വിഭജിക്കുക എ, ഞങ്ങൾ x = - c a എന്നതിൽ അവസാനിക്കുന്നു.

ഞങ്ങളുടെ പരിവർത്തനങ്ങൾ തുല്യമാണ്, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യവും യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന് തുല്യമാണ്, ഈ വസ്തുത സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളെക്കുറിച്ചുള്ള നിഗമനങ്ങളിൽ എത്തിച്ചേരുന്നു. മൂല്യങ്ങൾ എന്താണെന്നതിൽ നിന്ന് എഒപ്പം സിപദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം - c a ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു: ഇതിന് ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നമുണ്ടാകാം (ഉദാഹരണത്തിന്, എങ്കിൽ a = 1ഒപ്പം c = 2, പിന്നെ - c a = - 2 1 = - 2) അല്ലെങ്കിൽ ഒരു പ്ലസ് ചിഹ്നം (ഉദാഹരണത്തിന്, എങ്കിൽ a = - 2ഒപ്പം c = 6, പിന്നെ - c a = - 6 - 2 = 3); കാരണം പൂജ്യമല്ല c≠ 0. എപ്പോൾ സാഹചര്യങ്ങളെക്കുറിച്ച് കൂടുതൽ വിശദമായി നമുക്ക് താമസിക്കാം - സി എ< 0 и - c a > 0 .

കേസിൽ എപ്പോൾ - സി എ< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа പിതുല്യത p 2 = - c a സത്യമാകില്ല.

എപ്പോൾ എല്ലാം വ്യത്യസ്തമാണ് - c a > 0: സ്ക്വയർ റൂട്ട് ഓർമ്മിക്കുക, x 2 = - c a എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് സംഖ്യയായിരിക്കുമെന്ന് വ്യക്തമാകും - c a, മുതൽ - c a 2 = - c a. x 2 = - c a: തീർച്ചയായും, - - c a 2 = - c a എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ മൂലവും - - c a എന്ന സംഖ്യയാണെന്ന് മനസ്സിലാക്കാൻ പ്രയാസമില്ല.

സമവാക്യത്തിന് മറ്റ് വേരുകളൊന്നും ഉണ്ടാകില്ല. വൈരുദ്ധ്യത്തിൻ്റെ രീതി ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഇത് തെളിയിക്കാം. ആരംഭിക്കുന്നതിന്, മുകളിൽ കാണുന്ന വേരുകൾക്കുള്ള നൊട്ടേഷനുകൾ നമുക്ക് നിർവചിക്കാം x 1ഒപ്പം − x 1. x 2 = - c a എന്ന സമവാക്യത്തിനും ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ടെന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം x 2, വേരുകളിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ് x 1ഒപ്പം − x 1. സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ നമുക്ക് അത് അറിയാം xഅതിൻ്റെ വേരുകൾ, ഞങ്ങൾ സമവാക്യത്തെ ന്യായമായ സംഖ്യാ സമത്വമാക്കി മാറ്റുന്നു.

വേണ്ടി x 1ഒപ്പം − x 1ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു: x 1 2 = - c a , കൂടാതെ x 2- x 2 2 = - c a . സംഖ്യാ സമത്വങ്ങളുടെ ഗുണങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഒരു ശരിയായ സമത്വ പദം മറ്റൊന്നിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ കുറയ്ക്കുന്നു, അത് നമുക്ക് നൽകും: x 1 2 - x 2 2 = 0. അവസാനത്തെ തുല്യത ഇതായി മാറ്റിയെഴുതാൻ ഞങ്ങൾ അക്കങ്ങളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ സവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) = 0. രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം പൂജ്യമാണെന്നും അതിൽ ഒരെണ്ണമെങ്കിലും പൂജ്യമാണെങ്കിൽ മാത്രം പൂജ്യമാണെന്നും അറിയാം. മുകളിൽ നിന്ന് അത് പിന്തുടരുന്നു x 1 - x 2 = 0കൂടാതെ/അല്ലെങ്കിൽ x 1 + x 2 = 0, അത് സമാനമാണ് x 2 = x 1കൂടാതെ/അല്ലെങ്കിൽ x 2 = - x 1. വ്യക്തമായ ഒരു വൈരുദ്ധ്യം ഉടലെടുത്തു, കാരണം സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് ആദ്യം സമ്മതിച്ചു x 2നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ് x 1ഒപ്പം − x 1. അതിനാൽ, സമവാക്യത്തിന് x = - c a, x = - - c a എന്നിവയല്ലാതെ വേരുകളില്ലെന്ന് ഞങ്ങൾ തെളിയിച്ചു.

മുകളിലുള്ള എല്ലാ വാദങ്ങളും നമുക്ക് സംഗ്രഹിക്കാം.

നിർവ്വചനം 6

അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം a x 2 + c = 0 x 2 = - c a എന്ന സമവാക്യത്തിന് തുല്യമാണ്:

• - c a എന്നതിൽ വേരുകളുണ്ടാകില്ല< 0 ;
• x = - c a, x = - - c a for - c a > 0 എന്നീ രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ടായിരിക്കും.

സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ നമുക്ക് നൽകാം a x 2 + c = 0.

ഉദാഹരണം 3

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം നൽകി 9 x 2 + 7 = 0.പരിഹാരം കാണേണ്ടത് അത്യാവശ്യമാണ്.

പരിഹാരം

നമുക്ക് സ്വതന്ത്ര പദത്തെ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വലതുവശത്തേക്ക് മാറ്റാം, അപ്പോൾ സമവാക്യം രൂപമെടുക്കും 9 x 2 = - 7.
തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും നമുക്ക് ഹരിക്കാം 9 , ഞങ്ങൾ x 2 = - 7 9 ൽ എത്തുന്നു. വലതുവശത്ത് ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നമുള്ള ഒരു സംഖ്യ ഞങ്ങൾ കാണുന്നു, അതിനർത്ഥം: നൽകിയിരിക്കുന്ന സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ല. അപ്പോൾ യഥാർത്ഥ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം 9 x 2 + 7 = 0വേരുകളില്ല.

ഉത്തരം:സമവാക്യം 9 x 2 + 7 = 0വേരുകളില്ല.

ഉദാഹരണം 4

സമവാക്യം പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട് − x 2 + 36 = 0.

പരിഹാരം

നമുക്ക് 36 വലത് വശത്തേക്ക് നീക്കാം: − x 2 = - 36.
നമുക്ക് രണ്ട് ഭാഗങ്ങളും വിഭജിക്കാം − 1 , നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു x 2 = 36. വലതു വശത്ത് - പോസിറ്റീവ് നമ്പർ, ഇവിടെ നിന്ന് നമുക്ക് അത് നിഗമനം ചെയ്യാം x = 36 അല്ലെങ്കിൽ x = - 36 .
നമുക്ക് റൂട്ട് എക്‌സ്‌ട്രാക്‌റ്റ് ചെയ്‌ത് അന്തിമ ഫലം എഴുതാം: അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം − x 2 + 36 = 0രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ട് x=6അഥവാ x = - 6.

ഉത്തരം: x=6അഥവാ x = - 6.

a x 2 +b x=0 എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ പരിഹാരം

മൂന്നാമത്തെ തരം അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ നമുക്ക് വിശകലനം ചെയ്യാം c = 0. അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്നതിന് a x 2 + b x = 0, ഞങ്ങൾ ഫാക്‌ടറൈസേഷൻ രീതി ഉപയോഗിക്കും. സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്തുള്ള പോളിനോമിയലിനെ നമുക്ക് ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്യാം, ബ്രാക്കറ്റിൽ നിന്ന് പൊതുവായ ഘടകം എടുത്ത് x. ഈ ഘട്ടം യഥാർത്ഥ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തെ അതിൻ്റെ തുല്യതയിലേക്ക് മാറ്റുന്നത് സാധ്യമാക്കും. x (a x + b) = 0. ഈ സമവാക്യം, ഒരു കൂട്ടം സമവാക്യങ്ങൾക്ക് തുല്യമാണ് x = 0ഒപ്പം a x + b = 0. സമവാക്യം a x + b = 0രേഖീയവും അതിൻ്റെ റൂട്ടും: x = - b a.

നിർവ്വചനം 7

അങ്ങനെ, അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം a x 2 + b x = 0രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ടാകും x = 0ഒപ്പം x = - b a.

ഒരു ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് മെറ്റീരിയൽ ശക്തിപ്പെടുത്താം.

ഉദാഹരണം 5

2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 എന്ന സമവാക്യത്തിന് ഒരു പരിഹാരം കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

പരിഹാരം

ഞങ്ങൾ അത് പുറത്തെടുക്കും xബ്രാക്കറ്റിന് പുറത്ത് നമുക്ക് x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 എന്ന സമവാക്യം ലഭിക്കും. ഈ സമവാക്യം സമവാക്യങ്ങൾക്ക് തുല്യമാണ് x = 0കൂടാതെ 2 3 x - 2 2 7 = 0. ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ ഫലമായുണ്ടാകുന്ന രേഖീയ സമവാക്യം പരിഹരിക്കണം: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ ഹ്രസ്വമായി എഴുതുക:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 അല്ലെങ്കിൽ 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 അല്ലെങ്കിൽ x = 3 3 7

ഉത്തരം: x = 0, x = 3 3 7.

വിവേചനപരമായ, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾക്കുള്ള സൂത്രവാക്യം

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾക്ക് പരിഹാരം കണ്ടെത്താൻ, ഒരു റൂട്ട് ഫോർമുലയുണ്ട്:

നിർവ്വചനം 8

x = - b ± D 2 · a, എവിടെ D = b 2 - 4 a c- ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വിവേചനം എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നവ.

x = - b ± D 2 · a എന്ന് എഴുതുന്നത് അർത്ഥമാക്കുന്നത് x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a എന്നാണ്.

ഈ ഫോർമുല എങ്ങനെയാണ് ഉരുത്തിരിഞ്ഞതെന്നും അത് എങ്ങനെ പ്രയോഗിക്കാമെന്നും മനസ്സിലാക്കുന്നത് ഉപയോഗപ്രദമാകും.

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾക്കായുള്ള ഫോർമുലയുടെ വ്യുൽപ്പന്നം

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാനുള്ള ചുമതല നമുക്ക് നേരിടാം a x 2 + b x + c = 0. നമുക്ക് തുല്യമായ നിരവധി പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്താം:

• സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കുക എ, പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ലഭിക്കും: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്തുള്ള സമ്പൂർണ്ണ ചതുരം നമുക്ക് തിരഞ്ഞെടുക്കാം:
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + സി എ
  ഇതിനുശേഷം, സമവാക്യം ഫോം എടുക്കും: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• ഇപ്പോൾ അവസാനത്തെ രണ്ട് പദങ്ങൾ വലത് വശത്തേക്ക് മാറ്റാൻ കഴിയും, ചിഹ്നം വിപരീതമായി മാറ്റുന്നു, അതിനുശേഷം നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• അവസാനമായി, അവസാന സമത്വത്തിൻ്റെ വലതുവശത്ത് എഴുതിയ പദപ്രയോഗം ഞങ്ങൾ പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നു:
  b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

അങ്ങനെ, നമ്മൾ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന് തുല്യമായ x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 എന്ന സമവാക്യത്തിൽ എത്തിച്ചേരുന്നു. a x 2 + b x + c = 0.

മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികകളിൽ അത്തരം സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം ഞങ്ങൾ പരിശോധിച്ചു (അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു). ഇതിനകം നേടിയ അനുഭവം x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളെക്കുറിച്ച് ഒരു നിഗമനത്തിലെത്തുന്നത് സാധ്യമാക്കുന്നു:

• കൂടെ b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• എപ്പോൾ b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 സമവാക്യം x + b 2 · a 2 = 0, തുടർന്ന് x + b 2 · a = 0.

ഇവിടെ നിന്ന് ഒരേയൊരു റൂട്ട് x = - b 2 · a വ്യക്തമാണ്;

• b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0, ഇനിപ്പറയുന്നവ ശരിയാകും: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 അല്ലെങ്കിൽ x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2, x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 or x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , i.e. സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്.

x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (അതിനാൽ യഥാർത്ഥ സമവാക്യം) എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ സാന്നിധ്യം അല്ലെങ്കിൽ അഭാവം b എന്ന പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ ചിഹ്നത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു എന്ന് നിഗമനം ചെയ്യാം. വലതുവശത്ത് 2 - 4 · a · c 4 · a 2 എഴുതിയിരിക്കുന്നു. ഈ പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ അടയാളം ന്യൂമറേറ്ററിൻ്റെ ചിഹ്നത്താൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു, (ഡിനോമിനേറ്റർ 4 എ 2എല്ലായ്പ്പോഴും പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കും), അതായത്, പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ അടയാളം b 2 - 4 a c. ഈ പ്രയോഗം b 2 - 4 a cപേര് നൽകിയിരിക്കുന്നു - ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വിവേചനവും ഡി എന്ന അക്ഷരവും അതിൻ്റെ പദവിയായി നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു. ഇവിടെ നിങ്ങൾക്ക് വിവേചനത്തിൻ്റെ സാരാംശം എഴുതാം - അതിൻ്റെ മൂല്യത്തെയും അടയാളത്തെയും അടിസ്ഥാനമാക്കി, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് യഥാർത്ഥ വേരുകൾ ഉണ്ടോ എന്ന് അവർക്ക് നിഗമനം ചെയ്യാം, അങ്ങനെയാണെങ്കിൽ, വേരുകളുടെ എണ്ണം എന്താണ് - ഒന്നോ രണ്ടോ.

നമുക്ക് x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 എന്ന സമവാക്യത്തിലേക്ക് മടങ്ങാം. വിവേചനപരമായ നൊട്ടേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഇത് മാറ്റിയെഴുതാം: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

നമുക്ക് നമ്മുടെ നിഗമനങ്ങൾ വീണ്ടും രൂപപ്പെടുത്താം:

നിർവ്വചനം 9

• ചെയ്തത് ഡി< 0 സമവാക്യത്തിന് യഥാർത്ഥ വേരുകളില്ല;
• ചെയ്തത് D=0സമവാക്യത്തിന് x = - b 2 · a എന്ന ഒറ്റ റൂട്ട് ഉണ്ട്;
• ചെയ്തത് ഡി > 0സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 അല്ലെങ്കിൽ x = - b 2 · a - D 4 · a 2. റാഡിക്കലുകളുടെ ഗുണങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഈ വേരുകൾ രൂപത്തിൽ എഴുതാം: x = - b 2 · a + D 2 · a or - b 2 · a - D 2 · a. കൂടാതെ, ഞങ്ങൾ മൊഡ്യൂളുകൾ വികസിപ്പിക്കുകയും ഭിന്നസംഖ്യകൾ കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യുമ്പോൾ പൊതു വിഭജനം, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

അതിനാൽ, ഞങ്ങളുടെ യുക്തിയുടെ ഫലം ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾക്കായുള്ള ഫോർമുലയുടെ ഡെറിവേഷൻ ആയിരുന്നു:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, വിവേചനം ഡിഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു D = b 2 - 4 a c.

വിവേചനം പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതായിരിക്കുമ്പോൾ രണ്ട് യഥാർത്ഥ വേരുകളും നിർണ്ണയിക്കുന്നത് ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ സാധ്യമാക്കുന്നു. വിവേചനം പൂജ്യമാകുമ്പോൾ, രണ്ട് സൂത്രവാക്യങ്ങളും പ്രയോഗിക്കുന്നത് ഒരേ റൂട്ട് നൽകും തീരുമാനം മാത്രംക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം. വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ടിനായി ഞങ്ങൾ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കാൻ ശ്രമിച്ചാൽ, എക്‌സ്‌ട്രാക്റ്റുചെയ്യേണ്ടതിൻ്റെ ആവശ്യകത നമുക്ക് നേരിടേണ്ടിവരും. സ്ക്വയർ റൂട്ട്നിന്ന് നെഗറ്റീവ് നമ്പർ, അത് നമ്മെ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾക്കപ്പുറത്തേക്ക് കൊണ്ടുപോകും. ഒരു നെഗറ്റീവ് വിവേചനത്തോടെ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് യഥാർത്ഥ വേരുകൾ ഉണ്ടാകില്ല, പക്ഷേ നമുക്ക് ലഭിച്ച അതേ റൂട്ട് ഫോർമുലകളാൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്ന ഒരു ജോടി സങ്കീർണ്ണ സംയോജന വേരുകൾ സാധ്യമാണ്.

റൂട്ട് ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം

റൂട്ട് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഉടനടി ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും, എന്നാൽ സങ്കീർണ്ണമായ വേരുകൾ കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമായി വരുമ്പോൾ ഇത് സാധാരണയായി ചെയ്യുന്നു.

മിക്ക കേസുകളിലും, ഇത് സാധാരണയായി അർത്ഥമാക്കുന്നത് സങ്കീർണ്ണമായല്ല, മറിച്ച് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ യഥാർത്ഥ വേരുകൾക്കായി തിരയുക എന്നാണ്. ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾക്കായുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതിന് മുമ്പ്, ആദ്യം വിവേചനം നിർണ്ണയിക്കുകയും അത് നെഗറ്റീവ് അല്ലെന്ന് ഉറപ്പാക്കുകയും ചെയ്യുക (അല്ലെങ്കിൽ സമവാക്യത്തിന് യഥാർത്ഥ വേരുകളില്ലെന്ന് ഞങ്ങൾ നിഗമനം ചെയ്യും), തുടർന്ന് കണക്കുകൂട്ടാൻ തുടരുക. വേരുകളുടെ മൂല്യം.

മുകളിലെ ന്യായവാദം ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഒരു അൽഗോരിതം രൂപപ്പെടുത്തുന്നത് സാധ്യമാക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം 10

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ a x 2 + b x + c = 0, അത്യാവശ്യമാണ്:

• ഫോർമുല പ്രകാരം D = b 2 - 4 a cവിവേചനപരമായ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക;
• ഡിയിൽ< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• D = 0 എന്നതിന്, x = - b 2 · a എന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഏക റൂട്ട് കണ്ടെത്തുക;
• D > 0 എന്നതിന്, x = - b ± D 2 · a എന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ രണ്ട് യഥാർത്ഥ വേരുകൾ നിർണ്ണയിക്കുക.

വിവേചനം പൂജ്യമാകുമ്പോൾ, നിങ്ങൾക്ക് x = - b ± D 2 · a എന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കാം, അത് x = - b 2 · a എന്ന ഫോർമുലയുടെ അതേ ഫലം നൽകും.

ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ

ഉദാഹരണങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരം നമുക്ക് നൽകാം വ്യത്യസ്ത അർത്ഥങ്ങൾവിവേചനം.

ഉദാഹരണം 6

സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട് x 2 + 2 x - 6 = 0.

പരിഹാരം

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ സംഖ്യാ ഗുണകങ്ങൾ നമുക്ക് എഴുതാം: a = 1, b = 2 ഒപ്പം c = - 6. അടുത്തതായി ഞങ്ങൾ അൽഗോരിതം അനുസരിച്ച് മുന്നോട്ട് പോകുന്നു, അതായത്. നമുക്ക് വിവേചനം കണക്കാക്കാൻ തുടങ്ങാം, അതിനായി ഞങ്ങൾ a, b ഗുണകങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കും ഒപ്പം സിവിവേചന സൂത്രവാക്യത്തിലേക്ക്: D = b 2 - 4 · a · c = 2 2 - 4 · 1 · (- 6) = 4 + 24 = 28 .

അതിനാൽ നമുക്ക് D > 0 ലഭിക്കും, അതായത് യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് യഥാർത്ഥ വേരുകൾ ഉണ്ടായിരിക്കും.
അവ കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ x = - b ± D 2 · a എന്ന റൂട്ട് ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു, കൂടാതെ, അനുബന്ധ മൂല്യങ്ങൾക്ക് പകരമായി, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു: x = - 2 ± 28 2 · 1. റൂട്ട് ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് ഫാക്ടർ എടുത്ത് ഭിന്നസംഖ്യ കുറച്ചുകൊണ്ട് ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കാം:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 അല്ലെങ്കിൽ x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 അല്ലെങ്കിൽ x = - 1 - 7

ഉത്തരം: x = - 1 + 7, x = - 1 - 7 .

ഉദാഹരണം 7

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട് - 4 x 2 + 28 x - 49 = 0.

പരിഹാരം

നമുക്ക് വിവേചനം നിർവചിക്കാം: D = 28 2 - 4 · (− 4) · (- 49) = 784 - 784 = 0. വിവേചനത്തിൻ്റെ ഈ മൂല്യം ഉപയോഗിച്ച്, യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന് x = - b 2 · a ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് നിർണ്ണയിക്കുന്ന ഒരു റൂട്ട് മാത്രമേ ഉണ്ടാകൂ.

x = - 28 2 (- 4) x = 3.5

ഉത്തരം: x = 3.5.

ഉദാഹരണം 8

സമവാക്യം പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട് 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

പരിഹാരം

ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ സംഖ്യാ ഗുണകങ്ങൾ ഇതായിരിക്കും: a = 5, b = 6, c = 2. വിവേചനം കണ്ടെത്തുന്നതിന് ഞങ്ങൾ ഈ മൂല്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു: D = b 2 - 4 · a · c = 6 2 - 4 · 5 · 2 = 36 - 40 = − 4 . കണക്കാക്കിയ വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആണ്, അതിനാൽ യഥാർത്ഥ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് യഥാർത്ഥ വേരുകളില്ല.

സങ്കീർണ്ണമായ വേരുകൾ സൂചിപ്പിക്കുക എന്നതാണ് ചുമതലയെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ റൂട്ട് ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കുന്നു, സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ച് പ്രവർത്തനങ്ങൾ ചെയ്യുന്നു:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 അല്ലെങ്കിൽ x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i അല്ലെങ്കിൽ x = - 3 5 - 1 5 · i.

ഉത്തരം:യഥാർത്ഥ വേരുകൾ ഇല്ല; സങ്കീർണ്ണമായ വേരുകൾ ഇപ്രകാരമാണ്: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

IN സ്കൂൾ പാഠ്യപദ്ധതിസങ്കീർണ്ണമായ വേരുകൾക്കായി തിരയാൻ ഒരു സാധാരണ ആവശ്യകതയും ഇല്ല, അതിനാൽ, പരിഹാര സമയത്ത് വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആണെന്ന് നിർണ്ണയിക്കുകയാണെങ്കിൽ, യഥാർത്ഥ വേരുകൾ ഇല്ലെന്ന് ഉത്തരം ഉടൻ എഴുതപ്പെടും.

രണ്ടാമത്തെ ഗുണകങ്ങൾക്കുള്ള റൂട്ട് ഫോർമുല

x = - b ± D 2 · a (D = b ± D 2 · a (D = b 2 - 4 · a · c) എന്ന റൂട്ട് ഫോർമുല, കൂടുതൽ ഒതുക്കമുള്ള മറ്റൊരു ഫോർമുല നേടുന്നത് സാധ്യമാക്കുന്നു, ഇത് x ൻ്റെ ഇരട്ട ഗുണകം ഉപയോഗിച്ച് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾക്ക് പരിഹാരം കണ്ടെത്താൻ ഒരാളെ അനുവദിക്കുന്നു ( അല്ലെങ്കിൽ 2 · n എന്ന രൂപത്തിൻ്റെ ഒരു ഗുണകം ഉപയോഗിച്ച്, ഉദാഹരണത്തിന്, 2 3 അല്ലെങ്കിൽ 14 ln 5 = 2 7 ln 5). ഈ ഫോർമുല എങ്ങനെയാണ് ഉരുത്തിരിഞ്ഞതെന്ന് നമുക്ക് കാണിക്കാം.

a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരം കണ്ടെത്താനുള്ള ചുമതല നമുക്ക് നേരിടാം. ഞങ്ങൾ അൽഗോരിതം അനുസരിച്ച് മുന്നോട്ട് പോകുന്നു: ഞങ്ങൾ വിവേചനം നിർണ്ണയിക്കുന്നു D = (2 n) 2 - 4 a c = 4 n 2 - 4 a c = 4 (n 2 - a c), തുടർന്ന് റൂട്ട് ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുക:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

n 2 − a · c എന്ന പദപ്രയോഗം D 1 ആയി സൂചിപ്പിക്കട്ടെ (ചിലപ്പോൾ അത് D " എന്ന് സൂചിപ്പിക്കും) തുടർന്ന് പരിഗണിക്കുന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾക്കായുള്ള രണ്ടാമത്തെ ഗുണകം 2 · n എന്ന സൂത്രവാക്യം ഫോം എടുക്കും:

x = - n ± D 1 a, ഇവിടെ D 1 = n 2 - a · c.

D = 4 · D 1, അല്ലെങ്കിൽ D 1 = D 4 എന്ന് കാണാൻ എളുപ്പമാണ്. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഡി 1 എന്നത് വിവേചനത്തിൻ്റെ നാലിലൊന്നാണ്. വ്യക്തമായും, D 1 ൻ്റെ ചിഹ്നം D യുടെ ചിഹ്നത്തിന് തുല്യമാണ്, അതായത് D 1 ൻ്റെ അടയാളം ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ സാന്നിധ്യത്തിൻ്റെയോ അഭാവത്തിൻ്റെയോ സൂചകമായി വർത്തിക്കും.

നിർവ്വചനം 11

അതിനാൽ, 2 n ൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ ഗുണകമുള്ള ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ഇത് ആവശ്യമാണ്:

• D 1 = n 2 - a · c കണ്ടെത്തുക;
• ഡി 1-ൽ< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• D 1 = 0 ആയിരിക്കുമ്പോൾ, x = - n a എന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഏക റൂട്ട് നിർണ്ണയിക്കുക;
• D 1 > 0 എന്നതിന്, x = - n ± D 1 a ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് രണ്ട് യഥാർത്ഥ വേരുകൾ നിർണ്ണയിക്കുക.

ഉദാഹരണം 9

5 x 2 - 6 x - 32 = 0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

പരിഹാരം

തന്നിരിക്കുന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ ഗുണകത്തെ നമുക്ക് 2 · (− 3) ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കാം. അപ്പോൾ നമ്മൾ നൽകിയിരിക്കുന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം 5 x 2 + 2 (− 3) x - 32 = 0 ആയി വീണ്ടും എഴുതുന്നു, ഇവിടെ a = 5, n = - 3, c = - 32.

വിവേചനത്തിൻ്റെ നാലാമത്തെ ഭാഗം നമുക്ക് കണക്കാക്കാം: D 1 = n 2 - a · c = (- 3) 2 - 5 · (- 32) = 9 + 160 = 169. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മൂല്യം പോസിറ്റീവ് ആണ്, അതായത് സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് യഥാർത്ഥ വേരുകളുണ്ട്. അനുബന്ധ റൂട്ട് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് അവ നിർണ്ണയിക്കാം:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 അല്ലെങ്കിൽ x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 അല്ലെങ്കിൽ x = - 2

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾക്കായുള്ള സാധാരണ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്തുന്നത് സാധ്യമാണ്, എന്നാൽ ഈ സാഹചര്യത്തിൽ പരിഹാരം കൂടുതൽ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതായിരിക്കും.

ഉത്തരം: x = 3 1 5 അല്ലെങ്കിൽ x = - 2 .

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ രൂപം ലളിതമാക്കുന്നു

ചിലപ്പോൾ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ രൂപം ഒപ്റ്റിമൈസ് ചെയ്യാൻ കഴിയും, ഇത് വേരുകൾ കണക്കുകൂട്ടുന്ന പ്രക്രിയ ലളിതമാക്കും.

ഉദാഹരണത്തിന്, 1200 x 2 - 4 x - 7 = 0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം 1200 x 2 - 400 x − 700 = 0 എന്നതിനേക്കാൾ കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണ്.

മിക്കപ്പോഴും, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ രൂപം ലളിതമാക്കുന്നത് അതിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചോ ഹരിച്ചോ ആണ് നടത്തുന്നത്. ഉദാഹരണത്തിന്, മുകളിൽ ഞങ്ങൾ 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0 എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ ലളിതമായ പ്രാതിനിധ്യം കാണിച്ചു, ഇരുവശങ്ങളെയും 100 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ ലഭിക്കും.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ പരസ്പരം അല്ലാത്തപ്പോൾ അത്തരമൊരു പരിവർത്തനം സാധ്യമാണ് പ്രധാന സംഖ്യകൾ. അപ്പോൾ നമ്മൾ സാധാരണയായി സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും ഏറ്റവും വലുത് കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു പൊതു വിഭജനം കേവല മൂല്യങ്ങൾഅതിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ.

ഉദാഹരണമായി, ഞങ്ങൾ 12 x 2 - 42 x + 48 = 0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ഉപയോഗിക്കുന്നു. അതിൻ്റെ ഗുണകങ്ങളുടെ കേവല മൂല്യങ്ങളുടെ GCD നമുക്ക് നിർണ്ണയിക്കാം: GCD (12, 42, 48) = GCD (GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. നമുക്ക് യഥാർത്ഥ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും 6 കൊണ്ട് ഹരിച്ച് 2 x 2 - 7 x + 8 = 0 എന്നതിന് തുല്യമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം നേടാം.

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും ഗുണിക്കുന്നതിലൂടെ, നിങ്ങൾ സാധാരണയായി ഫ്രാക്ഷണൽ കോഫിഫിഷ്യൻ്റുകളിൽ നിന്ന് മുക്തി നേടുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, അവ അതിൻ്റെ ഗുണകങ്ങളുടെ ഡിനോമിനേറ്ററുകളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സാധാരണ ഗുണിതത്താൽ ഗുണിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഓരോ ഭാഗവും LCM (6, 3, 1) = 6 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ, അത് കൂടുതൽ എഴുതപ്പെടും. ലളിതമായ രൂപത്തിൽ x 2 + 4 x - 18 = 0 .

അവസാനമായി, സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഓരോ പദത്തിൻ്റെയും അടയാളങ്ങൾ മാറ്റുന്നതിലൂടെ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ആദ്യ ഗുണകത്തിലെ മൈനസ് ഞങ്ങൾ എല്ലായ്പ്പോഴും ഒഴിവാക്കുന്നു, ഇത് ഇരുവശങ്ങളെയും − 1 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് (അല്ലെങ്കിൽ ഹരിച്ചാൽ) നേടുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് - 2 x 2 - 3 x + 7 = 0, നിങ്ങൾക്ക് അതിൻ്റെ ലളിതമായ പതിപ്പ് 2 x 2 + 3 x - 7 = 0 ലേക്ക് പോകാം.

വേരുകളും ഗുണകങ്ങളും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ വേരുകൾക്കായുള്ള ഫോർമുല, നമുക്ക് ഇതിനകം അറിയാവുന്ന, x = - b ± D 2 · a, സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ അതിൻ്റെ സംഖ്യാ ഗുണകങ്ങളിലൂടെ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു. ഈ ഫോർമുലയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, വേരുകൾക്കും ഗുണകങ്ങൾക്കുമിടയിൽ മറ്റ് ഡിപൻഡൻസികൾ വ്യക്തമാക്കാൻ ഞങ്ങൾക്ക് അവസരമുണ്ട്.

ഏറ്റവും പ്രശസ്തവും ബാധകവുമായ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തമാണ്:

x 1 + x 2 = - b a, x 2 = c a.

പ്രത്യേകിച്ചും, നൽകിയിരിക്കുന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് വേരുകളുടെ ആകെത്തുക രണ്ടാമത്തെ ഗുണകമാണ് വിപരീത ചിഹ്നം, കൂടാതെ വേരുകളുടെ ഉൽപ്പന്നം സ്വതന്ത്ര പദത്തിന് തുല്യമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, 3 x 2 - 7 x + 22 = 0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ രൂപം നോക്കുമ്പോൾ, അതിൻ്റെ വേരുകളുടെ ആകെത്തുക 7 3 ആണെന്നും വേരുകളുടെ ഗുണനം 22 3 ആണെന്നും ഉടനടി നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയും.

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളും ഗുണകങ്ങളും തമ്മിലുള്ള മറ്റ് നിരവധി കണക്ഷനുകളും നിങ്ങൾക്ക് കണ്ടെത്താനാകും. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഗുണകങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാം:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

ടെക്‌സ്‌റ്റിൽ ഒരു പിശക് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധയിൽപ്പെട്ടാൽ, അത് ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്‌ത് Ctrl+Enter അമർത്തുക

ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിലെയും ഗണിതത്തിലെയും വിവിധ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ പലപ്പോഴും ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു. "ഒരു വിവേചനത്തിലൂടെ" സാർവത്രികമായ രീതിയിൽ ഈ തുല്യതകൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് ഈ ലേഖനത്തിൽ നമ്മൾ നോക്കും. നേടിയ അറിവ് ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങളും ലേഖനത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു.

ഏത് സമവാക്യങ്ങളെക്കുറിച്ചാണ് നമ്മൾ സംസാരിക്കുന്നത്?

ചുവടെയുള്ള ചിത്രം ഒരു ഫോർമുല കാണിക്കുന്നു, അതിൽ x ഒരു അജ്ഞാത വേരിയബിളും ലാറ്റിൻ ചിഹ്നങ്ങൾ a, b, c അറിയപ്പെടുന്ന ചില സംഖ്യകളെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു.

ഈ ചിഹ്നങ്ങളിൽ ഓരോന്നിനെയും ഒരു ഗുണകം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, x സ്ക്വയർ വേരിയബിളിന് മുമ്പായി "a" എന്ന സംഖ്യ ദൃശ്യമാകുന്നു. പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ പരമാവധി ശക്തി ഇതാണ്, അതിനാലാണ് ഇതിനെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നത്. ഇതിൻ്റെ മറ്റൊരു പേര് പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട്: രണ്ടാം ഓർഡർ സമവാക്യം. മൂല്യം തന്നെ ഒരു ചതുര ഗുണകമാണ് (വേരിയബിൾ സ്ക്വയറിനൊപ്പം നിൽക്കുന്നത്), b ഒരു ലീനിയർ കോഫിഫിഷ്യൻ്റാണ് (ഇത് ആദ്യ പവറിലേക്ക് ഉയർത്തിയ വേരിയബിളിന് അടുത്താണ്), ഒടുവിൽ, c എന്ന സംഖ്യ സ്വതന്ത്ര പദമാണ്.

മുകളിലെ ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന തരം സമവാക്യം ഒരു പൊതു ക്ലാസിക്കൽ ക്വാഡ്രാറ്റിക് എക്സ്പ്രഷൻ ആണെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. ഇതിന് പുറമേ, ബി, സി എന്നീ ഗുണകങ്ങൾ പൂജ്യമാകാൻ കഴിയുന്ന മറ്റ് രണ്ടാം-ക്രമ സമവാക്യങ്ങളുണ്ട്.

പ്രശ്‌നത്തിലുള്ള സമത്വം പരിഹരിക്കുന്നതിന് ടാസ്‌ക് സജ്ജീകരിക്കുമ്പോൾ, വേരിയബിളിൻ്റെ x ൻ്റെ അത്തരം മൂല്യങ്ങൾ അത് തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നത് കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട് എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം. ഇവിടെ, നിങ്ങൾ ആദ്യം ഓർമ്മിക്കേണ്ടത് ഇനിപ്പറയുന്ന കാര്യമാണ്: X ൻ്റെ പരമാവധി ഡിഗ്രി 2 ആയതിനാൽ, ഈ തരത്തിലുള്ള പദപ്രയോഗത്തിന് 2 പരിഹാരങ്ങളിൽ കൂടുതൽ ഉണ്ടാകരുത്. ഇതിനർത്ഥം, ഒരു സമവാക്യം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, അതിനെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന x ൻ്റെ 2 മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തിയാൽ, x ന് പകരമായി 3-ാം നമ്പർ ഇല്ലെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ഉറപ്പിക്കാം, തുല്യതയും ശരിയാകും. ഗണിതത്തിലെ ഒരു സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരങ്ങളെ അതിൻ്റെ വേരുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

രണ്ടാം ഓർഡർ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ

ഈ തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് അവയെക്കുറിച്ചുള്ള ചില സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെ അറിവ് ആവശ്യമാണ്. IN സ്കൂൾ കോഴ്സ്ബീജഗണിതങ്ങൾ പരിഗണിക്കുന്നത് 4 വിവിധ രീതികൾപരിഹാരങ്ങൾ. നമുക്ക് അവയെ പട്ടികപ്പെടുത്താം:

• ഫാക്റ്ററൈസേഷൻ ഉപയോഗിച്ച്;
• ഒരു തികഞ്ഞ ചതുരത്തിനുള്ള ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച്;
• അനുബന്ധ ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് പ്രയോഗിച്ചുകൊണ്ട്;
• വിവേചന സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച്.

ആദ്യ രീതിയുടെ പ്രയോജനം അതിൻ്റെ ലാളിത്യമാണ്, എന്നിരുന്നാലും, എല്ലാ സമവാക്യങ്ങൾക്കും ഇത് ഉപയോഗിക്കാൻ കഴിയില്ല. രണ്ടാമത്തെ രീതി സാർവത്രികമാണ്, പക്ഷേ കുറച്ച് ബുദ്ധിമുട്ടാണ്. മൂന്നാമത്തെ രീതി അതിൻ്റെ വ്യക്തതയാൽ വേർതിരിച്ചിരിക്കുന്നു, എന്നാൽ ഇത് എല്ലായ്പ്പോഴും സൗകര്യപ്രദവും ബാധകവുമല്ല. അവസാനമായി, വിവേചനപരമായ സമവാക്യം ഉപയോഗിക്കുന്നത് ഏതെങ്കിലും രണ്ടാം ക്രമ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള സാർവത്രികവും ലളിതവുമായ ഒരു മാർഗമാണ്. അതിനാൽ, ഈ ലേഖനത്തിൽ നമ്മൾ അത് മാത്രം പരിഗണിക്കും.

സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ ലഭിക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല

നമുക്ക് തിരിയാം പൊതുവായ രൂപംക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം. നമുക്ക് അത് എഴുതാം: a*x²+ b*x + c =0. "ഒരു വിവേചനത്തിലൂടെ" അത് പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നതിന് മുമ്പ്, നിങ്ങൾ എല്ലായ്പ്പോഴും സമത്വം അതിൻ്റെ രേഖാമൂലമുള്ള രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരണം. അതായത്, അതിൽ മൂന്ന് പദങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കണം (അല്ലെങ്കിൽ ബി അല്ലെങ്കിൽ സി 0 ആണെങ്കിൽ അതിൽ കുറവ്).

ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു പദപ്രയോഗം ഉണ്ടെങ്കിൽ: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², നിങ്ങൾ ആദ്യം അതിൻ്റെ എല്ലാ നിബന്ധനകളും തുല്യതയുടെ ഒരു വശത്തേക്ക് നീക്കുകയും വേരിയബിൾ x അടങ്ങുന്ന നിബന്ധനകൾ ചേർക്കുകയും വേണം. അതേ ശക്തികൾ.

IN ഈ സാഹചര്യത്തിൽഈ പ്രവർത്തനം ഇനിപ്പറയുന്ന പദപ്രയോഗത്തിലേക്ക് നയിക്കും: -6*x²-4*x+8=0, ഇത് 6*x²+4*x-8=0 എന്ന സമവാക്യത്തിന് തുല്യമാണ് (ഇവിടെ നമ്മൾ ഇടതും വലതും വശങ്ങൾ ഗുണിച്ചു. -1 പ്രകാരം തുല്യത).

മുകളിലുള്ള ഉദാഹരണത്തിൽ, a = 6, b=4, c=-8. പരിഗണനയിലുള്ള സമത്വത്തിൻ്റെ എല്ലാ നിബന്ധനകളും എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരുമിച്ച് സംഗ്രഹിക്കപ്പെടുന്നു എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക, അതിനാൽ “-” ചിഹ്നം ദൃശ്യമാകുകയാണെങ്കിൽ, ഈ കേസിലെ നമ്പർ c പോലെയുള്ള അനുബന്ധ ഗുണകം നെഗറ്റീവ് ആണെന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം.

ഈ പോയിൻ്റ് പരിശോധിച്ച ശേഷം, നമുക്ക് ഇപ്പോൾ ഫോർമുലയിലേക്ക് തന്നെ പോകാം, ഇത് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ നേടുന്നത് സാധ്യമാക്കുന്നു. ചുവടെയുള്ള ഫോട്ടോയിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ തോന്നുന്നു.

ഈ പദപ്രയോഗത്തിൽ നിന്ന് കാണാൻ കഴിയുന്നതുപോലെ, രണ്ട് വേരുകൾ ലഭിക്കാൻ ഇത് നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു ("±" ചിഹ്നം ശ്രദ്ധിക്കുക). ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ബി, സി, എ എന്നീ ഗുണകങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചാൽ മതിയാകും.

ഒരു വിവേചനവാദി എന്ന ആശയം

മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികയിൽ, ഏതെങ്കിലും രണ്ടാം ക്രമ സമവാക്യം വേഗത്തിൽ പരിഹരിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്ന ഒരു ഫോർമുല നൽകിയിട്ടുണ്ട്. അതിൽ, സമൂലമായ പദപ്രയോഗത്തെ ഒരു വിവേചനം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അതായത്, D = b²-4*a*c.

ഫോർമുലയുടെ ഈ ഭാഗം എന്തിനാണ് ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്തിരിക്കുന്നത്, അതിലും ഉണ്ട് ശരിയായ പേര്? വിവേചനക്കാരൻ സമവാക്യത്തിൻ്റെ മൂന്ന് ഗുണകങ്ങളെയും ഒരൊറ്റ പദപ്രയോഗത്തിലേക്ക് ബന്ധിപ്പിക്കുന്നു എന്നതാണ് വസ്തുത. പിന്നീടുള്ള വസ്തുത അർത്ഥമാക്കുന്നത് ഇത് വേരുകളെക്കുറിച്ചുള്ള വിവരങ്ങൾ പൂർണ്ണമായും വഹിക്കുന്നു എന്നാണ്, അത് ഇനിപ്പറയുന്ന പട്ടികയിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാം:

1. D>0: സമത്വത്തിന് 2 വ്യത്യസ്ത പരിഹാരങ്ങളുണ്ട്, അവ രണ്ടും യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളാണ്.
2. D=0: സമവാക്യത്തിന് ഒരു റൂട്ട് മാത്രമേയുള്ളൂ, അത് ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയാണ്.

വിവേചനപരമായ നിർണ്ണയ ചുമതല

ഒരു വിവേചനക്കാരനെ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം എന്നതിൻ്റെ ലളിതമായ ഒരു ഉദാഹരണം പറയാം. ഇനിപ്പറയുന്ന സമത്വം നൽകട്ടെ: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

നമുക്ക് അതിനെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോമിലേക്ക് കൊണ്ടുവരാം, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, അതിൽ നിന്നാണ് നമ്മൾ തുല്യതയിലേക്ക് വരുന്നത്. : -2*x² +2*x-11 = 0. ഇവിടെ a=-2, b=2, c=-11.

ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് വിവേചനം കാണിക്കുന്നതിന് മുകളിലുള്ള ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കാം: D = 2² - 4*(-2)*(-11) = -84. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന നമ്പർ ടാസ്ക്കിനുള്ള ഉത്തരമാണ്. ഉദാഹരണത്തിൽ വിവേചനക്കാരൻ മുതൽ പൂജ്യത്തേക്കാൾ കുറവ്, അപ്പോൾ ഈ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് യഥാർത്ഥ വേരുകളില്ലെന്ന് നമുക്ക് പറയാം. അതിൻ്റെ പരിഹാരം സങ്കീർണ്ണമായ തരത്തിലുള്ള സംഖ്യകൾ മാത്രമായിരിക്കും.

ഒരു വിവേചനത്തിലൂടെ അസമത്വത്തിൻ്റെ ഒരു ഉദാഹരണം

നമുക്ക് അൽപ്പം വ്യത്യസ്തമായ തരത്തിലുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാം: തുല്യത നൽകിയാൽ -3*x²-6*x+c = 0. D>0 ആയ c യുടെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, 3 ഗുണകങ്ങളിൽ 2 എണ്ണം മാത്രമേ അറിയൂ, അതിനാൽ വിവേചനത്തിൻ്റെ കൃത്യമായ മൂല്യം കണക്കാക്കാൻ കഴിയില്ല, പക്ഷേ അത് പോസിറ്റീവ് ആണെന്ന് അറിയാം. അസമത്വം രചിക്കുമ്പോൾ ഞങ്ങൾ അവസാന വസ്തുത ഉപയോഗിക്കുന്നു: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. ഫലമായുണ്ടാകുന്ന അസമത്വം പരിഹരിക്കുന്നത് ഫലത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു: c>-3.

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന നമ്പർ നമുക്ക് പരിശോധിക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ 2 കേസുകൾക്കായി ഡി കണക്കാക്കുന്നു: c=-2, c=-4. സംഖ്യ -2 ലഭിച്ച ഫലം (-2>-3) തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു, അനുബന്ധ വിവേചനത്തിന് മൂല്യം ഉണ്ടായിരിക്കും: D = 12>0. അതാകട്ടെ, -4 എന്ന സംഖ്യ അസമത്വത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നില്ല (-4. അതിനാൽ, -3-ൽ കൂടുതലുള്ള ഏത് c സംഖ്യയും വ്യവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തും.

ഒരു സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം

വിവേചനം കണ്ടെത്തുന്നത് മാത്രമല്ല, സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതും ഉൾപ്പെടുന്ന ഒരു പ്രശ്നം നമുക്ക് അവതരിപ്പിക്കാം. -2*x²+7-9*x = 0 എന്ന സമത്വത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ, വിവേചനം അടുത്ത മൂല്യം: D = 81-4*(-2)*7= 137. അപ്പോൾ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടും: x = (9±√137)/(-4). വേരുകളുടെ കൃത്യമായ മൂല്യങ്ങൾ ഇവയാണ്; നിങ്ങൾ റൂട്ട് ഏകദേശം കണക്കാക്കിയാൽ, നിങ്ങൾക്ക് സംഖ്യകൾ ലഭിക്കും: x = -5.176, x = 0.676.

ജ്യാമിതീയ പ്രശ്നം

വിവേചനം കണക്കാക്കാനുള്ള കഴിവ് മാത്രമല്ല, അമൂർത്തമായ ചിന്താശേഷിയും ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ എഴുതാം എന്നതിനെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവും ആവശ്യമായ ഒരു പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാം.

ബോബിന് 5 x 4 മീറ്റർ നീളമുള്ള ഒരു ഡുവെറ്റ് ഉണ്ടായിരുന്നു. ഒരു തുടർച്ചയായ സ്ട്രിപ്പ് തയ്യാൻ ആൺകുട്ടി ആഗ്രഹിച്ചു മനോഹരമായ തുണി. ബോബിന് 10 m² തുണി ഉണ്ടെന്ന് അറിയാമെങ്കിൽ ഈ സ്ട്രിപ്പ് എത്ര കട്ടിയുള്ളതായിരിക്കും.

സ്ട്രിപ്പിന് x മീറ്റർ കനം ഉണ്ടായിരിക്കട്ടെ, തുടർന്ന് തുണിയുടെ വിസ്തീർണ്ണം നീണ്ട വശംപുതപ്പ് (5+2*x)*x ആയിരിക്കും, 2 നീളമുള്ള വശങ്ങൾ ഉള്ളതിനാൽ, നമുക്ക് ഇവയുണ്ട്: 2*x*(5+2*x). ചെറിയ വശത്ത്, തുന്നിച്ചേർത്ത തുണിയുടെ വിസ്തീർണ്ണം 4*x ആയിരിക്കും, ഈ 2 വശങ്ങളുള്ളതിനാൽ നമുക്ക് 8*x മൂല്യം ലഭിക്കും. പുതപ്പിൻ്റെ നീളം ആ സംഖ്യ കൊണ്ട് വർദ്ധിച്ചതിനാൽ 2*x മൂല്യം നീളമുള്ള ഭാഗത്തേക്ക് ചേർത്തുവെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. പുതപ്പിലേക്ക് തുന്നിയ തുണിയുടെ ആകെ വിസ്തീർണ്ണം 10 m² ആണ്. അതിനാൽ, നമുക്ക് തുല്യത ലഭിക്കുന്നു: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

ഈ ഉദാഹരണത്തിന്, വിവേചനം ഇതിന് തുല്യമാണ്: D = 18²-4*4*(-10) = 484. അതിൻ്റെ റൂട്ട് 22 ആണ്. ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച്, ആവശ്യമായ റൂട്ടുകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു: x = (-18±22)/( 2*4) = (- 5; 0.5). വ്യക്തമായും, രണ്ട് വേരുകളിൽ, പ്രശ്നത്തിൻ്റെ വ്യവസ്ഥകൾക്കനുസരിച്ച് 0.5 എന്ന സംഖ്യ മാത്രമേ അനുയോജ്യമാകൂ.

അങ്ങനെ, ബോബ് തൻ്റെ പുതപ്പിലേക്ക് തുന്നുന്ന തുണിയുടെ സ്ട്രിപ്പ് 50 സെൻ്റിമീറ്റർ വീതിയുള്ളതായിരിക്കും.

IN ആധുനിക സമൂഹംഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള വേരിയബിൾ അടങ്ങിയ സമവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്താനുള്ള കഴിവ് പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ പല മേഖലകളിലും ഉപയോഗപ്രദമാകും, ഇത് ശാസ്ത്രീയവും സാങ്കേതികവുമായ സംഭവവികാസങ്ങളിൽ പ്രായോഗികമായി വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കപ്പെടുന്നു. കടൽ, നദി കപ്പലുകൾ, വിമാനങ്ങൾ, മിസൈലുകൾ എന്നിവയുടെ രൂപകല്പനയിൽ ഇതിന് തെളിവുകൾ കണ്ടെത്താനാകും. അത്തരം കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ഉപയോഗിച്ച്, ഏറ്റവും കൂടുതൽ ചലനത്തിൻ്റെ പാതകൾ വ്യത്യസ്ത ശരീരങ്ങൾ, ബഹിരാകാശ വസ്തുക്കൾ ഉൾപ്പെടെ. ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരമുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ സാമ്പത്തിക പ്രവചനത്തിലും കെട്ടിടങ്ങളുടെ രൂപകൽപ്പനയിലും നിർമ്മാണത്തിലും മാത്രമല്ല, ഏറ്റവും സാധാരണമായ ദൈനംദിന സാഹചര്യങ്ങളിലും ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഹൈക്കിംഗ് ട്രിപ്പുകൾ, കായിക ഇവൻ്റുകൾ, വാങ്ങലുകൾ നടത്തുമ്പോൾ സ്റ്റോറുകളിലും മറ്റ് വളരെ സാധാരണമായ സാഹചര്യങ്ങളിലും അവ ആവശ്യമായി വന്നേക്കാം.

പദപ്രയോഗത്തെ അതിൻ്റെ ഘടക ഘടകങ്ങളായി വിഭജിക്കാം

സമവാക്യത്തിൻ്റെ അളവ് നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു പരമാവധി മൂല്യംഈ പദപ്രയോഗം ഉൾക്കൊള്ളുന്ന വേരിയബിളിൻ്റെ അളവ്. ഇത് 2 ന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, അത്തരമൊരു സമവാക്യത്തെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

നമ്മൾ സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ ഭാഷയിലാണ് സംസാരിക്കുന്നതെങ്കിൽ, സൂചിപ്പിച്ച പദപ്രയോഗങ്ങൾ, അവ എങ്ങനെ നോക്കിയാലും, എല്ലായ്പ്പോഴും ഫോമിലേക്ക് കൊണ്ടുവരാൻ കഴിയും ഇടത് വശംപദപ്രയോഗം മൂന്ന് പദങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. അവയിൽ: ax 2 (അതായത്, അതിൻ്റെ ഗുണകത്തോടുകൂടിയ ഒരു വേരിയബിൾ), bx (അതിൻ്റെ ഗുണകത്തോടുകൂടിയ ഒരു ചതുരം ഇല്ലാത്ത ഒരു അജ്ഞാതം), c (ഒരു സ്വതന്ത്ര ഘടകം, അതായത് ഒരു സാധാരണ നമ്പർ). വലതുവശത്തുള്ള ഇതെല്ലാം 0 ന് തുല്യമാണ്. അത്തരമൊരു ബഹുപദത്തിന് അതിൻ്റെ ഘടക പദങ്ങളിലൊന്ന് ഇല്ലെങ്കിൽ, കോടാലി 2 ഒഴികെ, അതിനെ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അത്തരം പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ, കണ്ടെത്താൻ എളുപ്പമുള്ള വേരിയബിളുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ ആദ്യം പരിഗണിക്കണം.

വലത് വശത്തുള്ള എക്സ്പ്രഷനിൽ രണ്ട് പദങ്ങൾ ഉള്ള വിധത്തിൽ എക്സ്പ്രഷൻ നോക്കുന്നുവെങ്കിൽ, കൂടുതൽ കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, ax 2, bx, ബ്രാക്കറ്റിനു പുറത്ത് വേരിയബിൾ സ്ഥാപിക്കുക എന്നതാണ് x കണ്ടെത്താനുള്ള എളുപ്പവഴി. ഇപ്പോൾ നമ്മുടെ സമവാക്യം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും: x(ax+b). അടുത്തതായി, ഒന്നുകിൽ x=0, അല്ലെങ്കിൽ പ്രശ്നം ഇനിപ്പറയുന്ന എക്സ്പ്രഷനിൽ നിന്ന് ഒരു വേരിയബിൾ കണ്ടെത്തുന്നതിലേക്കാണ് വരുന്നത് എന്ന് വ്യക്തമാകും: ax+b=0. ഗുണനത്തിൻ്റെ സവിശേഷതകളിൽ ഒന്ന് ഇത് നിർണ്ണയിക്കുന്നു. രണ്ട് ഘടകങ്ങളുടെ ഗുണനഫലം അവയിലൊന്ന് പൂജ്യമാണെങ്കിൽ മാത്രമേ 0യിൽ ഫലമുണ്ടാകൂ എന്ന് നിയമം പറയുന്നു.

ഉദാഹരണം

x=0 അല്ലെങ്കിൽ 8x - 3 = 0

തൽഫലമായി, നമുക്ക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ രണ്ട് വേരുകൾ ലഭിക്കും: 0, 0.375.

ഇത്തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾക്ക് ഗുരുത്വാകർഷണത്തിൻ്റെ സ്വാധീനത്തിലുള്ള ശരീരങ്ങളുടെ ചലനത്തെ വിവരിക്കാൻ കഴിയും, ഇത് കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ഉത്ഭവമായി എടുത്ത ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് നീങ്ങാൻ തുടങ്ങി. ഇവിടെ ഗണിതശാസ്ത്ര നൊട്ടേഷൻ ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപമെടുക്കുന്നു: y = v 0 t + gt 2/2. ആവശ്യമായ മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ, വലതുവശത്തെ 0 ലേക്ക് തുല്യമാക്കുന്നതിലൂടെയും സാധ്യമായ അജ്ഞാതങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിലൂടെയും, ശരീരം ഉയരുന്ന നിമിഷം മുതൽ വീഴുന്ന നിമിഷം വരെ കടന്നുപോകുന്ന സമയവും മറ്റ് നിരവധി അളവുകളും നിങ്ങൾക്ക് കണ്ടെത്താനാകും. എന്നാൽ ഞങ്ങൾ ഇതിനെക്കുറിച്ച് പിന്നീട് സംസാരിക്കും.

ഒരു എക്സ്പ്രഷൻ ഫാക്റ്ററിംഗ്

മുകളിൽ വിവരിച്ച നിയമം ഈ പ്രശ്നങ്ങൾ കൂടുതൽ പരിഹരിക്കുന്നത് സാധ്യമാക്കുന്നു ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കേസുകൾ. ഈ തരത്തിലുള്ള ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം.

X 2 - 33x + 200 = 0

ഈ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ത്രിപദംപൂർണ്ണമാണ്. ആദ്യം, നമുക്ക് എക്സ്പ്രഷൻ രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുകയും അതിനെ ഫാക്ടർ ചെയ്യുകയും ചെയ്യാം. അവയിൽ രണ്ടെണ്ണം ഉണ്ട്: (x-8), (x-25) = 0. ഫലമായി, നമുക്ക് 8 ഉം 25 ഉം രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ട്.

ഗ്രേഡ് 9 ലെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ രണ്ടാമത്തേതിൻ്റെ മാത്രമല്ല, മൂന്നാമത്തെയും നാലാമത്തെയും ഓർഡറുകളിൽ പോലും എക്സ്പ്രഷനുകളിൽ ഒരു വേരിയബിൾ കണ്ടെത്താൻ ഈ രീതിയെ അനുവദിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. ഒരു വേരിയബിൾ ഉപയോഗിച്ച് വലത് വശത്തെ ഘടകങ്ങളാക്കി മാറ്റുമ്പോൾ, അവയിൽ മൂന്നെണ്ണം ഉണ്ട്, അതായത് (x+1), (x-3), (x+) 3).

തൽഫലമായി, ഈ സമവാക്യത്തിന് മൂന്ന് വേരുകളുണ്ടെന്ന് വ്യക്തമാകും: -3; -1; 3.

സ്ക്വയർ റൂട്ട്

മറ്റൊരു കേസ് അപൂർണ്ണമായ സമവാക്യംരണ്ടാമത്തെ ക്രമം അക്ഷരങ്ങളുടെ ഭാഷയിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന ഒരു പദപ്രയോഗമാണ്, അത്തരത്തിൽ വലതുഭാഗം കോടാലി 2, c എന്നീ ഘടകങ്ങളിൽ നിന്ന് നിർമ്മിക്കപ്പെടുന്നു. ഇവിടെ, വേരിയബിളിൻ്റെ മൂല്യം ലഭിക്കുന്നതിന്, സ്വതന്ത്ര പദം വലതുവശത്തേക്ക് മാറ്റുന്നു, അതിനുശേഷം സമത്വത്തിൻ്റെ രണ്ട് വശങ്ങളിൽ നിന്നും സ്ക്വയർ റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ സാധാരണയായി സമവാക്യത്തിൻ്റെ രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ടെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. വേരിയബിൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായ, വലത് വശം നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കുമ്പോൾ എക്സ്പ്രഷനുകളുടെ വകഭേദങ്ങളുള്ള ഒരു പദവും അടങ്ങിയിട്ടില്ലാത്ത തുല്യതകൾ മാത്രമാണ് ഒഴിവാക്കലുകൾ. പിന്നീടുള്ള സന്ദർഭത്തിൽ, മേൽപ്പറഞ്ഞ പ്രവർത്തനങ്ങൾ വേരുകൾ ഉപയോഗിച്ച് നടത്താൻ കഴിയാത്തതിനാൽ, പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല. ഈ തരത്തിലുള്ള ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഗണിക്കണം.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ -4 ഉം 4 ഉം ആയിരിക്കും.

ഭൂവിസ്തൃതിയുടെ കണക്കുകൂട്ടൽ

ഇത്തരത്തിലുള്ള കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ ആവശ്യകത പുരാതന കാലത്ത് പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു, കാരണം ആ വിദൂര കാലത്തെ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ വികസനം ഭൂരിഭാഗം പ്ലോട്ടുകളുടെ പ്രദേശങ്ങളും ചുറ്റളവുകളും ഏറ്റവും കൃത്യതയോടെ നിർണ്ണയിക്കേണ്ടതിൻ്റെ ആവശ്യകതയാണ്.

ഇത്തരത്തിലുള്ള പ്രശ്‌നങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങളും നാം പരിഗണിക്കണം.

അതിനാൽ, ഒരു ദീർഘചതുരാകൃതിയിലുള്ള ഭൂമി ഉണ്ടെന്ന് പറയുക, അതിൻ്റെ നീളം വീതിയേക്കാൾ 16 മീറ്റർ കൂടുതലാണ്. സൈറ്റിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം 612 മീ 2 ആണെന്ന് നിങ്ങൾക്കറിയാമെങ്കിൽ അതിൻ്റെ നീളം, വീതി, ചുറ്റളവ് എന്നിവ നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തണം.

ആരംഭിക്കുന്നതിന്, ആദ്യം ആവശ്യമായ സമവാക്യം സൃഷ്ടിക്കാം. നമുക്ക് പ്രദേശത്തിൻ്റെ വീതി x കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കാം, അപ്പോൾ അതിൻ്റെ നീളം (x+16) ആയിരിക്കും. എഴുതിയതിൽ നിന്ന്, ഏരിയ നിർണ്ണയിക്കുന്നത് x(x+16) എന്ന പദപ്രയോഗത്തിലൂടെയാണ്, അത് നമ്മുടെ പ്രശ്നത്തിൻ്റെ വ്യവസ്ഥകൾ അനുസരിച്ച് 612 ആണ്. ഇതിനർത്ഥം x(x+16) = 612 എന്നാണ്.

സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു, ഈ പദപ്രയോഗം അതേ രീതിയിൽ ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല. എന്തുകൊണ്ട്? ഇടതുവശത്ത് ഇപ്പോഴും രണ്ട് ഘടകങ്ങൾ അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിലും, അവയുടെ ഉൽപ്പന്നം 0 ന് തുല്യമല്ല, അതിനാൽ വ്യത്യസ്ത രീതികൾ ഇവിടെ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

വിവേചനം

ആദ്യം, നമുക്ക് ആവശ്യമായ പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്താം, തുടർന്ന് രൂപംഈ പദപ്രയോഗം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും: x 2 + 16x - 612 = 0. ഇതിനർത്ഥം, മുമ്പ് വ്യക്തമാക്കിയ സ്റ്റാൻഡേർഡിന് അനുയോജ്യമായ ഒരു ഫോമിൽ ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു എക്സ്പ്രഷൻ ലഭിച്ചു എന്നാണ്, ഇവിടെ a=1, b=16, c=-612.

ഒരു വിവേചനം ഉപയോഗിച്ച് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണമാണിത്. ഇവിടെ ആവശ്യമായ കണക്കുകൂട്ടലുകൾസ്കീം അനുസരിച്ച് നിർമ്മിക്കപ്പെടുന്നു: D = b 2 - 4ac. ഈ സഹായ അളവ് ഒരു രണ്ടാം ഓർഡർ സമവാക്യത്തിൽ ആവശ്യമായ അളവുകൾ കണ്ടെത്തുന്നത് സാധ്യമാക്കുന്നു മാത്രമല്ല, അത് അളവ് നിർണ്ണയിക്കുന്നു സാധ്യമായ ഓപ്ഷനുകൾ. D>0 ആണെങ്കിൽ, അവയിൽ രണ്ടെണ്ണം ഉണ്ട്; D=0 ന് ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ട്. കേസിൽ ഡി<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

വേരുകളെക്കുറിച്ചും അവയുടെ സൂത്രവാക്യങ്ങളെക്കുറിച്ചും

ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, വിവേചനം ഇതിന് തുല്യമാണ്: 256 - 4(-612) = 2704. ഇത് സൂചിപ്പിക്കുന്നത് ഞങ്ങളുടെ പ്രശ്നത്തിന് ഉത്തരമുണ്ടെന്ന്. നിങ്ങൾക്ക് k അറിയാമെങ്കിൽ, താഴെയുള്ള ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം തുടരണം. വേരുകൾ കണക്കാക്കാൻ ഇത് നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു.

ഇതിനർത്ഥം അവതരിപ്പിച്ച സാഹചര്യത്തിൽ: x 1 =18, x 2 =-34. ഈ ധർമ്മസങ്കടത്തിലെ രണ്ടാമത്തെ ഓപ്ഷൻ ഒരു പരിഹാരമാകില്ല, കാരണം ഭൂമിയുടെ അളവുകൾ നെഗറ്റീവ് അളവിൽ അളക്കാൻ കഴിയില്ല, അതായത് x (അതായത്, പ്ലോട്ടിൻ്റെ വീതി) 18 മീറ്റർ ആണ് +16=34, ചുറ്റളവ് 2(34+ 18)=104(m2).

ഉദാഹരണങ്ങളും ചുമതലകളും

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനം ഞങ്ങൾ തുടരുന്നു. അവയിൽ പലതിൻ്റെയും ഉദാഹരണങ്ങളും വിശദമായ പരിഹാരങ്ങളും ചുവടെ നൽകും.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

നമുക്ക് സമത്വത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്തേക്ക് എല്ലാം നീക്കാം, ഒരു പരിവർത്തനം നടത്താം, അതായത്, സാധാരണയായി സ്റ്റാൻഡേർഡ് എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ തരം നമുക്ക് ലഭിക്കും, അത് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കും.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

സമാനമായവ ചേർക്കുന്നത്, ഞങ്ങൾ വിവേചനം നിർണ്ണയിക്കുന്നു: D = 49 - 48 = 1. ഇതിനർത്ഥം നമ്മുടെ സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ടായിരിക്കും എന്നാണ്. മുകളിലുള്ള ഫോർമുല അനുസരിച്ച് നമുക്ക് അവയെ കണക്കാക്കാം, അതായത് അവയിൽ ആദ്യത്തേത് 4/3 നും രണ്ടാമത്തേത് 1 നും തുല്യമായിരിക്കും.

2) ഇനി നമുക്ക് മറ്റൊരു തരത്തിലുള്ള നിഗൂഢതകൾ പരിഹരിക്കാം.

ഇവിടെ x 2 - 4x + 5 = 1 വേരുകൾ ഉണ്ടോ എന്ന് നോക്കാം? ഒരു സമഗ്രമായ ഉത്തരം ലഭിക്കുന്നതിന്, നമുക്ക് പോളിനോമിയലിനെ അനുബന്ധ സാധാരണ രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുക്കി വിവേചനം കണക്കാക്കാം. മുകളിലുള്ള ഉദാഹരണത്തിൽ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല, കാരണം ഇത് പ്രശ്നത്തിൻ്റെ സാരാംശമല്ല. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, D = 16 - 20 = -4, അതായത് യഥാർത്ഥത്തിൽ വേരുകൾ ഇല്ല.

വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം

മുകളിലുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങളും വിവേചനവും ഉപയോഗിച്ച് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്, രണ്ടാമത്തേതിൻ്റെ മൂല്യത്തിൽ നിന്ന് വർഗ്ഗമൂല്യം എടുക്കുമ്പോൾ. എന്നാൽ ഇത് എല്ലായ്പ്പോഴും സംഭവിക്കുന്നില്ല. എന്നിരുന്നാലും, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ വേരിയബിളുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ നേടുന്നതിന് നിരവധി മാർഗങ്ങളുണ്ട്. ഉദാഹരണം: വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു. 16-ആം നൂറ്റാണ്ടിൽ ഫ്രാൻസിൽ ജീവിക്കുകയും അദ്ദേഹത്തിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ കഴിവുകൾക്കും കോടതിയിലെ ബന്ധങ്ങൾക്കും നന്ദി പറയുകയും ചെയ്ത ഒരാളുടെ പേരിലാണ് അവൾക്ക് ഈ പേര് ലഭിച്ചത്. അദ്ദേഹത്തിൻ്റെ ഛായാചിത്രം ലേഖനത്തിൽ കാണാം.

പ്രശസ്ത ഫ്രഞ്ചുകാരൻ ശ്രദ്ധിച്ച പാറ്റേൺ ഇപ്രകാരമായിരുന്നു. സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ സംഖ്യാപരമായി -p=b/a ലേക്ക് കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നുവെന്നും അവയുടെ ഉൽപ്പന്നം q=c/a എന്നതിനോട് യോജിക്കുന്നുവെന്നും അദ്ദേഹം തെളിയിച്ചു.

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് നിർദ്ദിഷ്ട ജോലികൾ നോക്കാം.

3x 2 + 21x - 54 = 0

ലാളിത്യത്തിനായി, നമുക്ക് പദപ്രയോഗം രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം:

x 2 + 7x - 18 = 0

നമുക്ക് വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കാം, ഇത് നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്നവ നൽകും: വേരുകളുടെ ആകെത്തുക -7 ആണ്, അവയുടെ ഉൽപ്പന്നം -18 ആണ്. സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ -9 ഉം 2 ഉം ആണെന്ന് ഇവിടെ നിന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു. പരിശോധിച്ച ശേഷം, ഈ വേരിയബിൾ മൂല്യങ്ങൾ പദപ്രയോഗവുമായി ശരിക്കും യോജിക്കുന്നുവെന്ന് ഞങ്ങൾ ഉറപ്പാക്കും.

പരവലയ ഗ്രാഫും സമവാക്യവും

ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്ഷൻ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ എന്നിവയുടെ ആശയങ്ങൾ പരസ്പരം ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ഇതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ നേരത്തെ നൽകിയിട്ടുണ്ട്. ഇനി നമുക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ ചില കടങ്കഥകൾ കുറച്ചുകൂടി വിശദമായി നോക്കാം. വിവരിച്ച തരത്തിലുള്ള ഏത് സമവാക്യവും ദൃശ്യപരമായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം. ഒരു ഗ്രാഫ് ആയി വരച്ച അത്തരം ബന്ധത്തെ പരവലയം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അതിൻ്റെ വിവിധ തരങ്ങൾ ചുവടെയുള്ള ചിത്രത്തിൽ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.

ഏതൊരു പരവലയത്തിനും ഒരു ശീർഷകമുണ്ട്, അതായത്, അതിൻ്റെ ശാഖകൾ പുറത്തുവരുന്ന ഒരു ബിന്ദു. a>0 ആണെങ്കിൽ, അവ അനന്തതയിലേക്ക് ഉയരുന്നു, എപ്പോൾ a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

ഫംഗ്ഷനുകളുടെ വിഷ്വൽ പ്രാതിനിധ്യം ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഉൾപ്പെടെയുള്ള ഏത് സമവാക്യങ്ങളും പരിഹരിക്കാൻ സഹായിക്കുന്നു. ഈ രീതിയെ ഗ്രാഫിക്കൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. കൂടാതെ x വേരിയബിളിൻ്റെ മൂല്യം ഗ്രാഫ് ലൈൻ 0x മായി വിഭജിക്കുന്ന പോയിൻ്റുകളിലെ abscissa കോർഡിനേറ്റ് ആണ്. ഇപ്പോൾ നൽകിയിരിക്കുന്ന x 0 = -b/2a ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ശീർഷത്തിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്താനാകും. ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മൂല്യം ഫംഗ്ഷൻ്റെ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ, നിങ്ങൾക്ക് y 0 കണ്ടെത്താനാകും, അതായത്, ഓർഡിനേറ്റ് അക്ഷത്തിൽ പെടുന്ന പരാബോളയുടെ ശീർഷകത്തിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ കോർഡിനേറ്റ്.

abscissa axis ഉള്ള ഒരു പരവലയത്തിൻ്റെ ശാഖകളുടെ വിഭജനം

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് ധാരാളം ഉദാഹരണങ്ങളുണ്ട്, പക്ഷേ പൊതുവായ പാറ്റേണുകളും ഉണ്ട്. നമുക്ക് അവരെ നോക്കാം. a>0 എന്നതിനുള്ള 0x അക്ഷത്തോടുകൂടിയ ഗ്രാഫിൻ്റെ വിഭജനം 0 നെഗറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾ എടുത്താൽ മാത്രമേ സാധ്യമാകൂ എന്ന് വ്യക്തമാണ്. ഒപ്പം എ<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. അല്ലെങ്കിൽ ഡി<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

പരവലയത്തിൻ്റെ ഗ്രാഫിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾക്ക് വേരുകൾ നിർണ്ണയിക്കാനും കഴിയും. വിപരീതവും ശരിയാണ്. അതായത്, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഒരു വിഷ്വൽ പ്രാതിനിധ്യം നേടുന്നത് എളുപ്പമല്ലെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് എക്‌സ്‌പ്രെഷൻ്റെ വലതുവശം 0 ലേക്ക് തുല്യമാക്കുകയും ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുകയും ചെയ്യാം. 0x അച്ചുതണ്ടുമായി വിഭജിക്കുന്ന പോയിൻ്റുകൾ അറിയുന്നത്, ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്.

ചരിത്രത്തിൽ നിന്ന്

ചതുരാകൃതിയിലുള്ള വേരിയബിൾ അടങ്ങിയ സമവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, പഴയ കാലത്ത് അവർ ഗണിതശാസ്ത്ര കണക്കുകൂട്ടലുകൾ മാത്രമല്ല, ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങളുടെ മേഖലകൾ നിർണ്ണയിക്കുകയും ചെയ്തു. ഭൗതികശാസ്ത്രം, ജ്യോതിശാസ്ത്രം എന്നീ മേഖലകളിലെ മഹത്തായ കണ്ടെത്തലുകൾക്കും ജ്യോതിഷ പ്രവചനങ്ങൾ നടത്തുന്നതിനും പുരാതന ആളുകൾക്ക് അത്തരം കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ആവശ്യമായിരുന്നു.

ആധുനിക ശാസ്ത്രജ്ഞർ സൂചിപ്പിക്കുന്നത് പോലെ, ചതുരാകൃതിയിലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ ആദ്യമായി പരിഹരിച്ചവരിൽ ബാബിലോണിലെ നിവാസികളായിരുന്നു. നമ്മുടെ കാലഘട്ടത്തിന് നാല് നൂറ്റാണ്ടുകൾക്ക് മുമ്പ് ഇത് സംഭവിച്ചു. തീർച്ചയായും, അവരുടെ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നിലവിൽ അംഗീകരിക്കപ്പെട്ടതിൽ നിന്ന് തികച്ചും വ്യത്യസ്തവും കൂടുതൽ പ്രാകൃതവും ആയിരുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, മെസൊപ്പൊട്ടേമിയൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെ അസ്തിത്വത്തെക്കുറിച്ച് അറിയില്ലായിരുന്നു. ഏതൊരു ആധുനിക സ്കൂൾ കുട്ടിക്കും അറിയാവുന്ന മറ്റ് സൂക്ഷ്മതകളും അവർക്ക് അപരിചിതമായിരുന്നു.

ഒരുപക്ഷേ ബാബിലോണിലെ ശാസ്ത്രജ്ഞരേക്കാൾ നേരത്തെ തന്നെ, ഇന്ത്യയിൽ നിന്നുള്ള ബൗധയാമ സന്യാസി ചതുരാകൃതിയിലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ തുടങ്ങി. ക്രിസ്തുവിൻ്റെ കാലഘട്ടത്തിന് ഏകദേശം എട്ട് നൂറ്റാണ്ടുകൾക്ക് മുമ്പാണ് ഇത് സംഭവിച്ചത്. ശരിയാണ്, അദ്ദേഹം നൽകിയ രണ്ടാമത്തെ ഓർഡർ സമവാക്യങ്ങൾ, പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ, ഏറ്റവും ലളിതമായിരുന്നു. അദ്ദേഹത്തെ കൂടാതെ, ചൈനീസ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്കും പഴയ കാലത്ത് സമാനമായ ചോദ്യങ്ങളിൽ താൽപ്പര്യമുണ്ടായിരുന്നു. യൂറോപ്പിൽ, 13-ആം നൂറ്റാണ്ടിൻ്റെ തുടക്കത്തിൽ മാത്രമാണ് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ തുടങ്ങിയത്, എന്നാൽ പിന്നീട് ന്യൂട്ടൺ, ഡെസ്കാർട്ടസ് തുടങ്ങിയ മഹാനായ ശാസ്ത്രജ്ഞർ അവരുടെ കൃതികളിൽ ഉപയോഗിച്ചു.

ഈ ലേഖനം പഠിച്ച ശേഷം, ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് നിങ്ങൾ പഠിക്കുമെന്ന് ഞാൻ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു.

വിവേചനം ഉപയോഗിച്ച്, അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന്, മറ്റ് രീതികൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു, അത് "അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു" എന്ന ലേഖനത്തിൽ നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തും.

ഏത് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളെ പൂർണ്ണമെന്ന് വിളിക്കുന്നു? ഈ ax 2 + b x + c = 0 എന്ന രൂപത്തിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങൾ, ഇവിടെ ഗുണകങ്ങൾ a, b, c എന്നിവ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ല. അതിനാൽ, ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, വിവേചനപരമായ ഡി കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്.

D = b 2 - 4ac.

വിവേചനക്കാരൻ്റെ മൂല്യം അനുസരിച്ച്, ഞങ്ങൾ ഉത്തരം എഴുതും.

വിവേചനം ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയാണെങ്കിൽ (D< 0),то корней нет.

വിവേചനം പൂജ്യമാണെങ്കിൽ, x = (-b)/2a. വിവേചനം പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണെങ്കിൽ (D > 0),

തുടർന്ന് x 1 = (-b - √D)/2a, x 2 = (-b + √D)/2a.

ഉദാഹരണത്തിന്. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 - 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

ഉത്തരം: 2.

സമവാക്യം 2 പരിഹരിക്കുക x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

ഉത്തരം: വേരുകളില്ല.

സമവാക്യം 2 പരിഹരിക്കുക x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3.5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

ഉത്തരം: - 3.5; 1.

അതിനാൽ, ചിത്രം 1 ലെ ഡയഗ്രം ഉപയോഗിച്ച് സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം നമുക്ക് സങ്കൽപ്പിക്കാം.

ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ഏത് സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യവും പരിഹരിക്കാനാകും. നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതുണ്ട് സമവാക്യം സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോമിൻ്റെ ബഹുപദമായി എഴുതിയിരിക്കുന്നു

എ x 2 + bx + c,അല്ലാത്തപക്ഷം നിങ്ങൾക്ക് ഒരു തെറ്റ് സംഭവിക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, x + 3 + 2x 2 = 0 എന്ന സമവാക്യം എഴുതുമ്പോൾ, നിങ്ങൾക്ക് അത് തെറ്റായി തീരുമാനിക്കാം.

a = 1, b = 3, c = 2. പിന്നെ

D = 3 2 - 4 1 2 = 1 തുടർന്ന് സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്. ഇത് സത്യമല്ല. (മുകളിലുള്ള ഉദാഹരണം 2-ലേക്കുള്ള പരിഹാരം കാണുക).

അതിനാൽ, സമവാക്യം സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോമിൻ്റെ പോളിനോമിയല്ലെങ്കിൽ, ആദ്യം സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോമിൻ്റെ ബഹുപദമായി എഴുതണം (ഏറ്റവും വലിയ എക്‌സ്‌പോണൻ്റുള്ള മോണോമിയൽ ആദ്യം വരണം, അതായത് എ x 2 , പിന്നെ കുറവ് കൊണ്ട് – bxതുടർന്ന് സ്വതന്ത്ര അംഗവും കൂടെ.

കുറഞ്ഞ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യവും രണ്ടാം ടേമിൽ ഇരട്ട കോഫിഫിഷ്യൻ്റുള്ള ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യവും പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾക്ക് മറ്റ് ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിക്കാം. ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ നമുക്ക് പരിചയപ്പെടാം. ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൽ രണ്ടാമത്തെ പദത്തിലെ ഗുണകം തുല്യമാണെങ്കിൽ (b = 2k), അപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ചിത്രം 2 ലെ ഡയഗ്രാമിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാനാകും.

ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തെ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് എന്നതാണെങ്കിൽ ചുരുക്കി എന്ന് വിളിക്കുന്നു x 2 ഒന്നിന് തുല്യമാണ്, സമവാക്യം രൂപമെടുക്കുന്നു x 2 + px + q = 0. അത്തരമൊരു സമവാക്യം പരിഹാരത്തിനായി നൽകാം, അല്ലെങ്കിൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ എല്ലാ ഗുണകങ്ങളെയും ഗുണകം കൊണ്ട് ഹരിച്ചുകൊണ്ട് ഇത് നേടാം. എ, നിൽക്കുന്നത് x 2 .

കുറച്ച ചതുരം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഡയഗ്രം ചിത്രം 3 കാണിക്കുന്നു
സമവാക്യങ്ങൾ. ഈ ലേഖനത്തിൽ ചർച്ച ചെയ്ത സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ പ്രയോഗത്തിൻ്റെ ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം.

ഉദാഹരണം. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

3x 2 + 6x – 6 = 0.

ചിത്രം 1 ലെ ഡയഗ്രാമിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഈ സമവാക്യം പരിഹരിക്കാം.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

ഉത്തരം: –1 - √3; –1 + √3

ഈ സമവാക്യത്തിലെ x ൻ്റെ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് ഒരു ഇരട്ട സംഖ്യയാണ്, അതായത്, b = 6 അല്ലെങ്കിൽ b = 2k, എവിടെ നിന്ന് k = 3 ആണെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് കാണാൻ കഴിയും. പിന്നെ, ചിത്രം D യുടെ ഡയഗ്രാമിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം. 1 = 3 2 - 3 (- 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

ഉത്തരം: –1 - √3; –1 + √3. ഈ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിലെ എല്ലാ ഗുണകങ്ങളും 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കാനും വിഭജനം നടത്താനും കഴിയുന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക, നമുക്ക് x 2 + 2x – 2 = 0 കുറച്ച ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ലഭിക്കും.
സമവാക്യങ്ങൾ ചിത്രം 3.

D 2 = 2 2 - 4 (- 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

ഉത്തരം: –1 - √3; –1 + √3.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, വ്യത്യസ്ത സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഈ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾക്ക് ഒരേ ഉത്തരം ലഭിച്ചു. അതിനാൽ, ചിത്രം 1 ലെ ഡയഗ്രാമിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ഫോർമുലകൾ നന്നായി പഠിച്ചാൽ, നിങ്ങൾക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും ഏത് സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യവും പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും.

വെബ്‌സൈറ്റ്, മെറ്റീരിയൽ പൂർണ്ണമായോ ഭാഗികമായോ പകർത്തുമ്പോൾ, ഉറവിടത്തിലേക്കുള്ള ഒരു ലിങ്ക് ആവശ്യമാണ്.