Lai noteiktu trijstūra laukumu, var izmantot dažādas formulas. No visām metodēm vienkāršākais un visbiežāk izmantotais ir reizināt augstumu ar pamatnes garumu un pēc tam rezultātu dalīt ar divām. Tomēr šī metode nebūt nav vienīgā. Zemāk jūs varat izlasīt, kā atrast trīsstūra laukumu, izmantojot dažādas formulas.

Atsevišķi mēs apsvērsim metodes, kā aprēķināt noteiktu tipu trijstūra laukumu - taisnstūra, vienādsānu un vienādmalu. Katrai formulai mēs pievienojam īsu skaidrojumu, kas palīdzēs saprast tās būtību.

Universāli veidi, kā atrast trijstūra laukumu

Zemāk esošajās formulās tiek izmantoti īpaši simboli. Mēs atšifrēsim katru no tiem:

• a, b, c - skaitļa trīs malu garumi, kurus mēs apsveram;
• r ir apļa rādiuss, ko var ierakstīt mūsu trīsstūrī;
• R ir apļa rādiuss, ko var raksturot ap to;
• α - leņķa vērtība, ko veido malas b un c;
• β ir leņķis starp a un c;
• γ - leņķa vērtība, ko veido malas a un b;
• h - mūsu trīsstūra augstums, nolaists no leņķa α uz malu a;
• p - puse no a, b un c malu summas.

Ir loģiski, kāpēc ar šo metodi ir iespējams atrast trijstūra laukumu. Trijstūri var viegli pabeigt līdz paralelogramam, kurā viena trijstūra mala darbosies kā diagonāle. Paralelograma laukums tiek noteikts, reizinot tās vienas malas garumu ar tam piesaistītā augstuma vērtību. Diagonāle sadala šo parasto paralelogramu 2 identiskos trijstūros. Tāpēc ir pilnīgi acīmredzams, ka mūsu sākotnējā trijstūra laukumam jābūt vienādam ar pusi no šī papildu paralelograma laukuma.

S \u003d ½ a b sin γ

Saskaņā ar šo formulu trijstūra laukums tiek noteikts, reizinot tā divu malu garumus, tas ir, a un b, ar to izveidotā leņķa sinusu. Šī formula ir loģiski atvasināta no iepriekšējās. Ja mēs pazeminām augstumu no leņķa β uz sānu b, tad atbilstoši īpašībām taisns trīsstūris, reizinot sāna a garumu ar leņķa γ sinusu, mēs iegūstam trīsstūra augstumu, tas ir, h.

Attiecīgā skaitļa laukums tiek noteikts, reizinot pusi apļa rādiusa, ko tajā var ierakstīt, ar tā perimetru. Citiem vārdiem sakot, mēs atrodam pusperimetra reizinājumu un minētā apļa rādiusu.

S \u003d a b s / 4R

Pēc šīs formulas mums vajadzīgo vērtību var atrast, dalot figūras malu reizinājumu ar 4 ap to aprakstītā apļa rādiusiem.

Šīs formulas ir universālas, jo tās ļauj noteikt jebkura trijstūra laukumu (daudzpusīgs, vienādsānu, vienādmalu, taisnstūra). To var izdarīt ar sarežģītāku aprēķinu palīdzību, uz kuriem mēs detalizēti neaizkavēsimies.

Trijstūru laukumi ar īpašām īpašībām

Kā es varu atrast taisnstūra trijstūra laukumu? Šīs figūras īpatnība ir tā, ka tās abas puses vienlaikus ir tās augstumi. Ja a un b ir kājas, un c kļūst par hipotenūzi, tad apgabals ir šāds:

Kā atrast vienādsānu trijstūra laukumu? Tam ir divas malas ar garumu a un viena puse ar garumu b. Tādēļ tā laukumu var noteikt, dalot ar 2 sānu kvadrāta reizinājumu ar leņķa γ sinusu.

Kā atrast vienādmalu trijstūra laukumu? Tajā visu malu garums ir vienāds ar a, un visu leņķu lielums ir α. Tās augstums ir vienāds ar pusi no sānu a garuma reizinājuma ar kvadrātsakni 3. Lai atrastu regulāra trijstūra laukumu, sānu kvadrāts jāreizina ar kvadrātsakni 3 un jāsadala ar 4.

Kvadrātveida koncepcija

Jebkuras ģeometriskas figūras, jo īpaši trijstūra, laukuma jēdziens tiks saistīts ar tādu skaitli kā kvadrāts. Jebkuras ģeometriskas figūras laukuma vienībai mēs ņemsim kvadrāta laukumu, kura mala ir vienāda ar vienu. Pilnīguma labad atgādiniet divas galvenās teritoriju jēdziena īpašības ģeometriskas formas.

1. īpašums:Ja ģeometriskās formas ir vienādas, tad arī to laukumu vērtības ir vienādas.

2. īpašums: Jebkuru formu var sadalīt vairākās formās. Turklāt sākotnējā skaitļa laukums ir vienāds ar visu to veidojošo skaitļu laukumu vērtību summu.

Apskatīsim piemēru.

1. piemērs

Acīmredzot viena no trijstūra malām ir diagonāle taisnstūris , kurā vienas puses garums ir $ 5 $ (jo šūnas ir $ 5 $), bet otra - $ 6 $ (jo šūnas ir $ 6 $). Līdz ar to šī trijstūra laukums būs vienāds ar pusi no šāda taisnstūra. Taisnstūra laukums ir

Tad trijstūra laukums ir

Atbilde: $ 15 $.

Tālāk mēs apsvērsim vairākas metodes trijstūru laukumu atrašanai, proti, izmantojot augstumu un pamatni herona formulas un vienādmalu trijstūra laukums.

Kā atrast trijstūra laukumu attiecībā uz augstumu un pamatu

1. teorēma

Trijstūra laukumu var atrast kā pusi no sānu garuma reizinājuma ar augstumu, kas novilkts uz šo pusi.

Matemātiski tas izskatās šādi

$ S \u003d \\ frac (1) (2) αh $

kur $ a $ ir sānu garums, $ h $ ir tam piesaistītais augstums.

Pierādījumi.

Apsveriet trijstūri $ ABC $ ar $ AC \u003d α $. Uz šo pusi tiek novilkts augstums $ BH $, kas ir vienāds ar $ h $. Pabeigsim to līdz kvadrātam $ AXYC $, kā parādīts 2. attēlā.

Taisnstūra $ AXBH $ laukums ir $ h \\ cdot AH $, un taisnstūra $ HBYC $ laukums ir $ h \\ cdot HC $. Tad

$ S_ABH \u003d \\ frac (1) (2) h \\ cdot AH $, $ S_CBH \u003d \\ frac (1) (2) h \\ cdot HC $

Tāpēc nepieciešamais trijstūra laukums pēc īpašuma 2 ir vienāds ar

$ S \u003d S_ABH + S_CBH \u003d \\ frac (1) (2) h \\ cdot AH + \\ frac (1) (2) h \\ cdot HC \u003d \\ frac (1) (2) h \\ cdot (AH + HC) \u003d \\ frac (1) (2) αh $

Teorēma ir pierādīta.

2. piemērs

Zemāk redzamajā attēlā atrodiet trijstūra laukumu, ja šūnas laukums ir vienāds ar vienu

Šī trijstūra pamats ir $ 9 $ (jo $ 9 $ ir $ 9 $ šūnas). Augstums ir arī 9 ASV dolāri. Pēc tam ar 1. teorēmu mēs iegūstam

$ S \u003d \\ frac (1) (2) \\ cdot 9 \\ cdot 9 \u003d 40,5 $

Atbilde: 40,5 USD.

Herona formula

2. teorēma

Ja mums ir trīs trijstūra malas $ α $, $ β $ un $ γ $, tad tā laukumu var atrast šādi

$ S \u003d \\ sqrt (ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) $

šeit $ ρ $ nozīmē šī trijstūra pusperimetru.

Pierādījumi.

Apsveriet šādu attēlu:

Pēc Pitagora teorēmas no trijstūra $ ABH $ mēs iegūstam

No trīsstūra $ CBH $ pēc Pitagora teorēmas mums ir

$ h ^ 2 \u003d α ^ 2- (β-x) ^ 2 $

$ h ^ 2 \u003d α ^ 2-β ^ 2 + 2βx-x ^ 2 $

No šīm divām attiecībām mēs iegūstam vienlīdzību

$ γ ^ 2-x ^ 2 \u003d α ^ 2-β ^ 2 + 2βx-x ^ 2 $

$ x \u003d \\ frac (γ ^ 2-α ^ 2 + β ^ 2) (2β) $

$ h ^ 2 \u003d γ ^ 2 - (\\ frac (γ ^ 2-α ^ 2 + β ^ 2) (2β)) ^ 2 $

$ h ^ 2 \u003d \\ frac ((α ^ 2- (γ-β) ^ 2) ((γ + β) ^ 2-α ^ 2)) (4β ^ 2) $

$ h ^ 2 \u003d \\ frac ((α-γ + β) (α + γ-β) (γ + β-α) (γ + β + α)) (4β ^ 2) $

Tā kā $ ρ \u003d \\ frac (α + β + γ) (2) $, tad $ α + β + γ \u003d 2ρ $, līdz ar to

$ h ^ 2 \u003d \\ frac (2ρ (2ρ-2γ) (2ρ-2β) (2ρ-2α)) (4β ^ 2) $

$ h ^ 2 \u003d \\ frac (4ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) (β ^ 2) $

$ h \u003d \\ sqrt (\\ frac (4ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) (β ^ 2)) $

$ h \u003d \\ frac (2) (β) \\ sqrt (ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) $

Pēc 1. teorēmas mēs iegūstam

$ S \u003d \\ frac (1) (2) βh \u003d \\ frac (β) (2) \\ cdot \\ frac (2) (β) \\ sqrt (ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ) ) \u003d \\ sqrt (ρ (ρ-α) (ρ-β) (ρ-γ)) $

Kā jūs varat atcerēties no skolas mācību programma ģeometrijā trijstūris ir skaitlis, kas izveidots no trim segmentiem, kurus savieno trīs punkti, kuri neatrodas vienā taisnā līnijā. Trijstūris veido trīs stūrus, līdz ar to arī figūras nosaukums. Definīcija var būt atšķirīga. Trīsstūri var saukt arī par daudzstūri ar trim stūriem, arī atbilde ir pareiza. Trīsstūrus dala ar vienādu malu skaitu un leņķiem attēlos. Tātad šādus trijstūrus izšķir kā vienādmalu, vienādmalu un daudzpusīgus, kā arī attiecīgi taisnstūrveida, akūtā leņķa un negaidīta leņķa.

Trīsstūra laukuma aprēķināšanai ir daudz formulu. Izvēlieties, kā atrast trīsstūra laukumu, t.i. kuru formulu lietot, tikai jūs. Bet ir vērts atzīmēt tikai dažus apzīmējumus, kas tiek izmantoti daudzās formās trīsstūra laukuma aprēķināšanai. Tāpēc atcerieties:

S ir trijstūra laukums,

a, b, c ir trīsstūra malas,

h ir trīsstūra augstums,

R ir ierobežotā apļa rādiuss,

p ir pusperimetrs.

Šeit ir daži pamata apzīmējumi, kas var būt noderīgi, ja jūs pilnībā aizmirsāt savu ģeometrijas kursu. Zemāk tiks dotas vis saprotamākās un nesarežģītākās iespējas nezināmā un noslēpumainā trijstūra laukuma aprēķināšanai. Tas nav grūti un noderēs gan jums mājās, gan palīdzot bērniem. Atcerēsimies, kā aprēķināt trijstūra laukumu tikpat viegli kā bumbieru lobīšana:

Mūsu gadījumā trijstūra laukums ir: S \u003d ½ * 2,2 cm. * 2,5 cm. \u003d 2,75 kv.m. Atcerieties, ka platība tiek mērīta kvadrātcentimetros (cm2).

Taisnstūra trīsstūris un tā laukums.

Taisnleņķa trīsstūris ir trijstūris, kura viens leņķis ir vienāds ar 90 grādiem (tātad saukts pa labi). Taisno leņķi veido divas perpendikulāras līnijas (trijstūra gadījumā divi perpendikulāri segmenti). Taisnleņķa trīsstūrī var būt tikai viens taisns leņķis, jo jebkura trijstūra visu leņķu summa ir 180 grādi. Izrādās, ka pārējiem 2 leņķiem ir jāsadala atlikušie 90 grādi, piemēram, 70 un 20, 45 un 45 utt. Tātad, jūs atcerējāties galveno, atliek uzzināt, kā atrast taisnstūra trīsstūra laukumu. Iedomājieties, ka mums priekšā ir šāds taisnleņķa trīsstūris, un mums jāatrod tā laukums S.

1. Vieglākais veids, kā noteikt taisnstūra trīsstūra laukumu, tiek aprēķināts, izmantojot šādu formulu:

Mūsu gadījumā taisnleņķa trīsstūra laukums ir: S \u003d 2,5 cm * 3 cm / 2 \u003d 3,75 kv.m.

Principā vairs nav nepieciešams trīsstūra laukumu saskaņot citos veidos, jo ikdienas dzīvē noderēs un palīdzēs tikai šis. Bet ir arī iespējas trijstūra laukuma mērīšanai, izmantojot asus leņķus.

2. Lai izmantotu citas aprēķina metodes, jums ir jābūt kosinusu, sinusu un tangensu tabulai. Spriediet pats, šeit ir dažas iespējas, kā aprēķināt taisnstūra trīsstūra laukumus, kurus joprojām varat izmantot:

Mēs nolēmām izmantot pirmo formulu un ar maziem blotiem (mēs zīmējām piezīmju grāmatiņā un izmantojām veco lineālu un transportieri), taču mēs saņēmām pareizo aprēķinu:

S \u003d (2,5 * 2,5) / (2 * 0,9) \u003d (3 * 3) / (2 * 1,2). Mēs saņēmām šādus rezultātus: 3,6 \u003d 3,7, taču, ņemot vērā šūnu nobīdi, šo niansi mums var piedot.

Vienādsānu trijstūris un tā laukums.

Ja jūs saskaras ar uzdevumu aprēķināt vienādsānu trijstūra formulu, tad vienkāršākais veids ir izmantot galveno un, kā tiek uzskatīts, klasisko formātu trijstūra laukumam.

Bet vispirms, pirms atrodam vienādsānu trijstūra laukumu, mēs uzzināsim, kāda veida figūra tas ir. Vienādsānu trijstūris ir trīsstūris ar divām tā paša garuma malām. Šīs divas puses sauc par sānu malām, trešo pusi - par pamatu. Nejauciet vienādsānu trijstūri ar vienādmalu, t.i. regulārs trijstūris, kura visas trīs malas ir vienādas. Šādā trīsstūrī nav īpašu tendenču uz leņķiem, precīzāk uz to lielumu. Tomēr vienādsānu trijstūra leņķi pamatnē ir vienādi, bet atšķiras no leņķa starp vienādām pusēm. Tātad, jūs jau zināt pirmo un galveno formulu, atliek uzzināt, kādas citas formulas ir zināmas vienādsānu trijstūra laukumam:

Trijstūris ir viena no visbiežāk sastopamajām ģeometriskajām formām, ar kuru mēs jau iepazināmies pamatskola... Katrs students saskaras ar jautājumu, kā ģeometrijas stundās atrast trijstūra laukumu. Tātad, kādas iezīmes, kā atrast konkrētā skaitļa laukumu, var atšķirt? Šajā rakstā mēs apskatīsim pamatformulas, kas nepieciešamas šāda uzdevuma izpildei, kā arī analizēsim trijstūru veidus.

Trijstūru veidi

Trīsstūra laukumu var atrast absolūti dažādi ceļijo ģeometrijā ir izcelta vairāk nekā viena veida forma, kurā ir trīs stūri. Šie veidi ietver:

• Tumšs.
• Vienādmalu (pareizs).
• Taisnais trīsstūris.
• Vienādsānu.

Apskatīsim katru no tiem tuvāk esošie veidi trijstūri.

Šī ģeometriskā forma tiek uzskatīta par visizplatītāko ģeometrisko problēmu risināšanā. Kad rodas nepieciešamība uzzīmēt patvaļīgu trijstūri, šī opcija nāk talkā.

Akūtā leņķa trijstūrī, kā norāda nosaukums, visi leņķi ir asi un sasniedz 180 °.

Šāds trijstūris ir arī ļoti izplatīts, taču tas ir nedaudz retāk sastopams nekā akūta leņķa. Piemēram, risinot trīsstūrus (tas ir, jūs zināt vairākas tā malas un leņķus un jāatrod atlikušie elementi), dažreiz jums jānosaka, vai leņķis ir neass vai nē. Kosinuss ir negatīvs skaitlis.

Viens no leņķiem pārsniedz 90 °, tāpēc atlikušajiem diviem leņķiem var būt mazas vērtības (piemēram, 15 ° vai pat 3 °).

Lai atrastu šāda veida trijstūra laukumu, jums jāzina dažas nianses, par kurām mēs runāsim tālāk.

Regulāri un vienādsānu trijstūri

Regulārs daudzstūris ir skaitlis, kurā ietilpst n stūri, kuros visas malas un leņķi ir vienādi. Tas ir parasts trīsstūris. Tā kā visu trijstūra leņķu summa ir 180 °, katrs no trim leņķiem ir 60 °.

Regulāru trīsstūri tā īpašību dēļ sauc arī par vienādmalu.

Ir arī vērts atzīmēt, ka regulārā trīsstūrī var ierakstīt tikai vienu apli un ap to var aprakstīt tikai vienu apli, un to centri atrodas vienā punktā.

Papildus vienādmalu tipam varat atšķirt arī vienādsānu trīsstūri, kas nedaudz atšķiras no tā. Šādā trīsstūrī divas malas un divi leņķi ir vienādi viens ar otru, bet trešais - ar kuru tie ir savienoti vienādi leņķi) ir pamats.

Attēlā parādīts vienādsānu trijstūris DEF, kura leņķi D un F ir vienādi, un DF ir pamats.

Taisnais trīsstūris

Taisnleņķa trīsstūris tiek nosaukts, jo viens no tā leņķiem ir taisns, tas ir, tas ir vienāds ar 90 °. Pārējie divi leņķi sasniedz 90 °.

Visvairāk lielā puse no šāda trijstūra, kas atrodas pretī 90 ° leņķim, ir hipotenūza, bet pārējās divas tā malas ir kājas. Šāda veida trijstūriem piemērojama Pitagora teorēma:

Kāju garumu kvadrātu summa ir vienāda ar hipotenūzes garuma kvadrātu.

Attēlā parādīts taisnleņķa trīsstūris BAC ar hipotenūzu AC un kājām AB un BC.

Lai atrastu trīsstūra laukumu ar taisnu leņķi, jums tas jāzina skaitliskās vērtības viņa kājas.

Pārejam pie formulām šī skaitļa laukuma atrašanai.

Pamata formulas apgabala atrašanai

Ģeometrijā var atšķirt divas formulas, kas ir piemērotas, lai atrastu lielākās daļas trijstūru laukumu, proti, akūta leņķa, izliektiem, regulāriem un vienādsānu trijstūriem. Apskatīsim katru no tiem.

Blakus un augstumā

Šī formula ir universāla, lai atrastu skaitļa apgabalu, kuru mēs apsveram. Lai to izdarītu, pietiek zināt sānu garumu un tam piesaistītā augstuma garumu. Pati formula (puse no pamatnes un augstuma reizinājuma) izskatās šādi:

kur A ir norādītā trijstūra mala un H ir trijstūra augstums.

Piemēram, lai atrastu asā leņķa trijstūra ACB laukumu, reiziniet tā malu AB ar augstumu CD un iegūto vērtību daliet ar diviem.

Tomēr šādā veidā ne vienmēr ir viegli atrast trijstūra laukumu. Piemēram, lai izmantotu šo formulu trulajam trijstūrim, ir jāturpina viena no tā malām un tikai pēc tam jāpievelk tam augstums.

Praksē šo formulu lieto biežāk nekā citus.

Divās pusēs un stūrī

Šī formula, tāpat kā iepriekšējā, ir piemērota lielākajai daļai trijstūru, un tās nozīme ir formulas sekas laukuma atrašanai trijstūra sānos un augstumā. Tas ir, aplūkoto formulu var viegli atvasināt no iepriekšējās. Tās formulējums izskatās šādi:

S \u003d ½ * sinO * A * B,

kur A un B ir trijstūra malas, un O ir leņķis starp malām A un B.

Atgādināsim, ka leņķa sinusu var apskatīt īpašā tabulā, kas nosaukta izcilā padomju matemātiķa V.M.Bradisa vārdā.

Tagad pāriesim pie citām formulām, kas piemērotas tikai ārkārtas trijstūru veidiem.

Taisnā trijstūra laukums

Papildus universālajai formulai, kas ietver nepieciešamību zīmēt augstumu trīsstūrī, trijstūra laukumu, kurā ir taisns leņķis, var atrast pēc tā kājām.

Tātad trīsstūra laukums, kurā ir taisns leņķis, ir puse no tā kāju produkta vai:

kur a un b ir taisnleņķa trīsstūra kājas.

Regulārs trīsstūris

Šāda veida ģeometriskās figūras atšķiras ar to, ka tās laukumu var atrast tikai vienā no tās sānu norādītajā vērtībā (jo visas regulārā trijstūra malas ir vienādas). Tātad, saskaroties ar problēmu "atrast trijstūra laukumu, kad malas ir vienādas", jums jāizmanto šāda formula:

S \u003d A 2 * √3 / 4,

kur A ir vienādmalu trijstūra mala.

Herona formula

Pēdējā iespēja atrast trīsstūra laukumu ir Herona formula. Lai to izmantotu, jums jāzina trīs figūras malu garumi. Herona formula izskatās šādi:

S \u003d √p (p - a) (p - b) (p - c),

kur a, b un c ir šī trijstūra malas.

Dažreiz problēma tiek dota: "regulāra trīsstūra laukums - atrodiet tā malas garumu". IN šajā gadījumā lai atrastu regulāra trijstūra laukumu, jāizmanto mums jau zināmā formula un no tā jāgūst malas (vai tās kvadrāta) vērtība:

A 2 \u003d 4S / √3.

Eksāmena uzdevumi

GIA matemātikas problēmās ir daudz formulu. Turklāt uz rūtainā papīra bieži ir jāatrod trijstūra laukums.

Šajā gadījumā visērtāk ir uzzīmēt augstumu uz vienu no figūras malām, noteikt tā garumu pēc šūnām un izmantot universālo formulu, lai atrastu laukumu:

Tātad, izpētot rakstā izklāstītās formulas, jums nebūs problēmu atrast jebkura veida trijstūra laukumu.