Paralelograms ir četrstūris, kura pretējās puses ir paralēli pāriem. Arī paralelogramam ir tādas īpašības kā pretējās puses ir vienādas, pretējie leņķi ir vienādi, visu leņķu summa ir 360 grādi.

Jums būs nepieciešams

• Ģeometrijas zināšanas.

Instrukcijas

1. Iedomājieties, ka ir dots viens no paralelograma leņķiem un vienāds ar A. Atrodiet atlikušo 3. Vērtības. Ar paralelograma īpašību pretējie leņķi ir vienādi. Tātad leņķis, kas atrodas pretī dotajam, ir vienāds ar norādīto un tā vērtība ir vienāda ar A.

2. Atrodiet atlikušos divus stūrus. Tā kā visu leņķu summa paralelogramā ir 360 grādi, un pretējie leņķi ir vienādi viens ar otru, izrādās, ka leņķis, kas pieder vienai pusei ar doto, ir (360 - 2A) / 2. Nu, vai nu pēc reformas mēs iegūstam 180 - A. Tādējādi paralelogramā divi leņķi ir vienādi ar A, bet pārējie divi leņķi ir vienādi ar 180 - A.

Piezīme!
Viena leņķa vērtība nedrīkst pārsniegt 180 grādus. Iegūtos leņķus var viegli pārbaudīt. Lai to izdarītu, saskaitiet tos un, ja kopsumma ir 360, viss tiek aprēķināts pareizi.

Noderīgs padoms
Taisnstūris un rombs ir īpašs paralelograma gadījums, tāpēc viņiem ir piemērojamas visas leņķu aprēķināšanas īpašības un metodes.

1. problēma... Viens no paralelograma leņķiem ir 65 °. Atrodiet pārējos paralelograma leņķus.

∠C \u003d ∠A \u003d 65 ° kā paralelograma pretējie leņķi.

∠A + ∠B \u003d 180 ° kā leņķi blakus paralelograma vienai pusei.

∠В \u003d 180 ° - ∠А \u003d 180 ° - 65 ° \u003d 115 °.

∠D \u003d ∠B \u003d 115 ° kā paralelograma pretējie leņķi.

Atbilde: ∠А \u003d ∠С \u003d 65 °; ∠В \u003d ∠D \u003d 115 °.

2. mērķis. Divu paralelograma leņķu summa ir 220 °. Atrodiet paralelograma leņķus.

Tā kā paralelogramam ir 2 vienādi asie leņķi un 2 vienādi tukšie leņķi, mums tiek dota divu izliektu leņķu summa, t.i. ∠В + ∠D \u003d 220 °. Tad ∠В \u003d ∠D \u003d 220 ° : 2 \u003d 110 °.

∠А + ∠В \u003d 180 ° kā leņķi blakus paralelograma vienai pusei, tādēļ ∠А \u003d 180 ° - °В \u003d 180 ° - 110 ° \u003d 70 °. Tad ∠C \u003d ∠A \u003d 70 °.

Atbilde: ∠А \u003d ∠С \u003d 70 °; ∠В \u003d ∠D \u003d 110 °.

3. mērķis. Viens no paralelograma stūriem ir 3 reizes lielāks nekā otrs. Atrodiet paralelograma leņķus.

Ļaujiet ∠A \u003d x. Tad ∠B \u003d 3x. Zinot, ka paralelograma leņķu summa, kas atrodas blakus tā vienai pusei, ir 180 °, mēs sastādīsim vienādojumu.

x \u003d 180 : 4;

Mēs iegūstam: ∠A \u003d x \u003d 45 °, un ∠B \u003d 3x \u003d 3 ∙ 45 ° \u003d 135 °.

Paralelograma pretējie leņķi ir vienādi, tāpēc

\u003dА \u003d ∠С \u003d 45 °; ∠В \u003d ∠D \u003d 135 °.

Atbilde: ∠А \u003d ∠С \u003d 45 °; ∠В \u003d ∠D \u003d 135 °.

4. problēma. Pierādīt, ka, ja četrstūrim ir divas paralēlas un vienādas malas, tad šis četrstūris ir paralelograms.

Pierādījumi.

Zīmēsim diagonāli BD un ņemsim vērā Δ ADB un Δ CBD.

AD \u003d BC pēc stāvokļa. BD puse ir izplatīta. ∠1 \u003d ∠2 kā iekšējās šķērsojošās līnijas ar paralēlām (pēc nosacījuma) līnijām AD un BC un sekundāro līniju BD. Tāpēc Δ ADB \u003d Δ CBD divās pusēs un leņķis starp tām (trijstūru vienādības 1. zīme). Vienādos trijstūros atbilstošie leņķi ir vienādi, tāpēc ∠3 \u003d ∠4. Šie leņķi ir iekšēji šķērsām taisnās līnijās AB un CD un sekundārajā BD. Tas nozīmē AB un CD līniju paralēlismu. Tādējādi noteiktā četrstūrī ABCD pretējās puses ir paralēli pāri, tāpēc pēc definīcijas ABCD ir paralelograms, kas mums bija jāpierāda.

5. mērķis. Divas paralelograma puses ir saistītas kā 2 : 5, un perimetrs ir 3,5 m. Atrodiet paralelograma sānus.

∙ (AB + AD).

Apzīmēsim vienu daļu ar x. tad AB \u003d 2x, AD \u003d 5x metri. Zinot, ka paralelograma perimetrs ir 3,5 m, mēs izveidojam vienādojumu:

2 ∙ (2x + 5x) \u003d 3,5;

2 ∙ 7x \u003d 3,5;

x \u003d 3,5 : 14;

Viena daļa ir 0,25 m. Tad AB \u003d 2 ∙ 0,25 \u003d 0,5 m; AD \u003d 5 ∙ 0,25 \u003d 1,25 m.

Pārbauda.

Paralogrammas perimetrs P ABCD \u003d 2 ∙ (AB + AD) \u003d 2 ∙ (0,25 + 1,25) = 2 ∙ 1,75 \u003d 3,5 (m).

Tā kā paralelograma pretējās puses ir vienādas, tad CD \u003d AB \u003d 0,25 m; BC \u003d AD \u003d 1,25 m.

Atbilde: CD \u003d AB \u003d 0,25 m; BC \u003d AD \u003d 1,25 m.

Tāpat kā Eiklida ģeometrijā, punkts un taisne ir galvenie plakņu teorijas elementi, tāpēc paralelograms ir viens no izliekto četrstūru galvenajiem skaitļiem. No tā, tāpat kā pavedieni no bumbas, plūst jēdzieni "taisnstūris", "kvadrāts", "rombs" un citi ģeometriskie lielumi.

Sazinoties ar

Paralelograma noteikšana

Izliekts četrstūris, sastāv no līniju segmentiem, kuru katrs pāris ir paralēls, ģeometrijā ir pazīstams kā paralelograms.

Tas, kā izskatās klasiskais paralelograms, attēlo četrstūri ABCD. Sānu malas sauc par pamatnēm (AB, BC, CD un AD), perpendikulārs, kas novilkts no jebkuras virsotnes uz pusi, kas atrodas pretī šai virsotnei, ir augstums (BE un BF), līnijas AC un BD ir diagonāles.

Uzmanību! Kvadrāts, rombs un taisnstūris ir paralelograma īpašie gadījumi.

Sāni un stūri: proporcijas

Galvenās īpašības kopumā iepriekš definējis pats apzīmējums, tos pierāda teorēma. Šīs īpašības ir šādas:

1. Pretējās puses ir identiskas pa pāriem.
2. Leņķi, kas atrodas pretī viens otram, ir vienādi pāros.

Pierādījums: Apsveriet ∆ABC un ∆ADC, ko iegūst, četrstūri ABCD dalot ar līniju AC. ∠BCA \u003d ∠CAD un ∠BAC \u003d ∠ACD, jo AC viņiem ir kopīgs ( vertikāli stūri attiecīgi BC || AD un AB || CD). No tā izriet: ∆ABC \u003d ∆ADC (otrā trijstūru vienādības zīme).

Segmenti AB un BC ∆ABC pa pāriem atbilst līnijām CD un AD ∆ADC, kas nozīmē to identitāti: AB \u003d CD, BC \u003d AD. Tātad ∠B atbilst ∠D un tie ir vienādi. Tā kā ∠A \u003d ∠BAC + ∠CAD, ∠C \u003d ∠BCA + ∠ACD, kas arī pa pāriem ir vienādi, tad ∠A \u003d ∠C. Īpašums ir pierādīts.

Figūras diagonāļu raksturojums

Galvenā iezīmešīs paralelograma līnijas: krustošanās punkts tās sadala uz pusēm.

Pierādījums: lai m. E būtu skaitļa ABCD diagonāļu AC un BD krustošanās punkts. Tie veido divus samērojamus trijstūrus - ∆ABE un ∆CDE.

AB \u003d CD, jo tie ir pretēji. Saskaņā ar līnijām un sekantu, ∠ABE \u003d ∠CDE un ∠BAE \u003d ∠DCE.

Saskaņā ar otro vienlīdzības kritēriju ∆ABE \u003d ∆CDE. Tas nozīmē, ka elementi ∆ABE un ∆CDE: AE \u003d CE, BE \u003d DE, un tajā pašā laikā tie ir proporcionālas AC un BD daļas. Īpašums ir pierādīts.

Blakus esošo stūru iezīmes

Blakus esošajām pusēm ir 180 ° leņķu summajo tie atrodas vienā un tajā pašā pusē paralēlām līnijām un secant. Četrstūrveida ABCD:

∠A + ∠B \u003d ∠C + ∠D \u003d ∠A + ∠D \u003d ∠B + ∠C \u003d 180º

Bisektora īpašības:

1. nokrituši uz vienu pusi, ir perpendikulāri;
2. pretējās virsotnēs ir paralēli bisektori;
3. trīsstūris, kas iegūts, uzzīmējot puslīniju, būs vienādsānu.

Paralelograma raksturīgo pazīmju noteikšana ar teorēmu

Šī skaitļa iezīmes izriet no tā galvenās teorēmas, kas skan šādi: četrstūri uzskata par paralelogramugadījumā, ja tā diagonāles krustojas, un šis punkts tos sadala vienādos segmentos.

Pierādījums: ievadiet E punktu četrstūra ABCD taisnes AC un BD. Tā kā ∠AED \u003d ∠BEC un AE + CE \u003d AC BE + DE \u003d BD, tad ∆AED \u003d ∆BEC (pēc pirmās trijstūru vienādības zīmes). Tas ir, ∠EAD \u003d ∠ECB. Tie ir arī AD un BC līniju iekšējie šķērsgriezuma leņķi AC. Tādējādi pēc paralēlisma definīcijas - AD || BC. Tiek parādīts arī līdzīgs līniju BC un CD īpašums. Teorēma ir pierādīta.

Aprēķina formas laukumu

Šī skaitļa laukums tiek atrasts ar vairākām metodēm,viens no vienkāršākajiem: reizinot augstumu un pamatu, uz kuru tas tiek novilkts.

Pierādījums: zīmējiet perpendikulus BE un CF no virsotnēm B un C. ∆ABE un ∆DCF ir vienādi, jo AB \u003d CD un BE \u003d CF. ABCD pēc izmēra ir vienāds ar taisnstūri EBCF, jo tie sastāv arī no samērīgiem skaitļiem: S ABE un S EBCD, kā arī S DCF un S EBCD. No tā izriet, ka šī joma ģeometriskā forma atrodas tāpat kā taisnstūris:

S ABCD \u003d S EBCF \u003d BE × BC \u003d BE × AD.

Lai noteiktu paralelograma laukuma vispārējo formulu, augstumu apzīmējam kā hbun puse ir b... Attiecīgi:

Citi veidi, kā atrast apkārtni

Platības aprēķini caur paralelograma sāniem un leņķiko viņi veido, ir otrā zināmā metode.

,

Sпр-ma - apgabals;

a un b ir tā sāni

α ir leņķis starp segmentiem a un b.

Šī metode praktiski balstās uz pirmo, bet gadījumā, ja tā nav zināma. vienmēr nogriež taisns trīsstūris, kuru parametrus nosaka trigonometriskās identitātes, tas ir. Pārveidojot relāciju, mēs iegūstam. Pirmās metodes vienādojumā nomainiet augstumu ar šo produktu un iegūstiet šīs formulas derīguma pierādījumu.

Caur paralelograma diagonālēm un leņķi ko viņi rada šķērsojot, jūs varat arī atrast apkārtni.

Pierādījums: AC un BD krustojas, veidojot četrus trijstūrus: ABE, BEC, CDE un AED. Viņu summa ir vienāda ar šī četrstūra laukumu.

Katra no šiem ∆ laukumu var atrast pēc izteiksmes, kur a \u003d BE, b \u003d AE, ∠γ \u003d ∠AEB. Tā kā, tad aprēķinos tiek izmantota viena sinusa vērtība. T.i. Tā kā AE + CE \u003d AC \u003d d 1 un BE + DE \u003d BD \u003d d 2, laukuma formula tiek samazināta līdz:

.

Pielietojumi vektoru algebrā

Šī četrstūra sastāvdaļu iezīmes ir atradušas pielietojumu vektoru algebrā, proti, divu vektoru pievienošana. Paralelograma noteikumā teikts, ka ja dotie vektori un nē kolināri, tad to summa būs vienāda ar šī skaitļa diagonāli, kuras pamati atbilst šiem vektoriem.

Pierādījums: no patvaļīgi izvēlēta sākuma - t.i. - mēs veidojam vektorus un. Pēc tam mēs izveidojam paralelogramu OACB, kur segmenti OA un OB ir malas. Tādējādi OS atrodas uz vektora vai summas.

Paralelograma parametru aprēķināšanas formulas

Identitātes tiek norādītas šādos apstākļos:

1. a un b, α - malas un leņķis starp tām;
2. d 1 un d 2, γ - diagonāles un to krustošanās punktā;
3. h a un h b - augstumi, kas nolaisti uz sāniem a un b;

Parametrs	Formula
Pušu atrašana
pa diagonālēm un starp tām esošā leņķa kosinusu
pa diagonāli un sāniem
caur augstumu un pretējo virsotni
Atrodot diagonāļu garumu
gar sāniem un starp tām esošo virsotņu izmēru

Paralelograms ir četrstūris, kurā pretējās puses ir paralēlas pāri.

Paralelogramam ir visas četrstūru īpašības, bet papildus tam tam ir savas specifiskas īpatnības... Zinot tos, mēs varam viegli atrast paralelograma abas puses un leņķus.

Paralelogrammas īpašības

1. Jebkurā paralelogramā leņķu summa, tāpat kā jebkurā četrstūrī, ir 360 °.
2. Paralelograma vidējās līnijas un tās diagonāles vienā punktā krustojas un tiek sadalītas pa pusi. Šo punktu parasti sauc par paralelograma simetrijas centru.
3. Paralelograma pretējās puses vienmēr ir vienādas.
4. Arī šim skaitlim vienmēr ir pretēji leņķi.
5. Leņķu summa, kas atrodas blakus paralelograma abām pusēm, vienmēr ir 180 °.
6. Paralelograma diagonāļu kvadrātu summa ir vienāda ar divkāršu tās divu blakus esošo kvadrātu summu. To izsaka formula:
   • d 1 2 + d 2 2 \u003d 2 (a 2 + b 2), kur d 1 un d 2 ir diagonāles, a un b ir blakus esošās puses.
7. Neasa leņķa kosinuss vienmēr ir mazāks par nulli.

Kā atrast konkrētā paralelograma leņķus, pielietojot šīs īpašības praksē? Un kādas citas formulas mums var palīdzēt šajā jautājumā? Apsveriet īpašos uzdevumus, kas nepieciešami: atrodiet paralelograma leņķus.

Paralelograma leņķu atrašana

1. gadījums ir zināms, ka ir neass leņķis. Tas ir nepieciešams, lai atrastu asu leņķi.

Piemērs: paralelogramā ABCD leņķis A ir 120 °. Atrodiet atlikušo leņķu mēru.

Lēmums: Izmantojot 5. īpašību, mēs varam atrast leņķa B mērījumu blakus uzdevumā norādītajam leņķim. Tas būs vienāds ar:

• 180 ° -120 ° \u003d 60 °

Tagad, izmantojot rekvizītu Nr. 4, mēs nosakām, ka divi atlikušie leņķi C un D ir pretēji jau atrastajiem leņķiem. Leņķis C ir pretējs leņķim A, leņķis D ir pretējs leņķim B. Tāpēc tie ir vienādi ar viņiem pa pāriem.

• Atbilde: B \u003d 60 °, C \u003d 120 °, D \u003d 60 °

2. gadījums. Sānu un diagonāļu garumi ir zināmi

Šajā gadījumā mums jāizmanto kosinusa teorēma.

Vispirms mēs varam aprēķināt nepieciešamā leņķa kosinusu, izmantojot formulu, un pēc tam, izmantojot īpašu tabulu, atrodam, ar ko pats leņķis ir vienāds.

Priekš asais leņķis formula ir:

• cosa \u003d (A² + B² - d²) / (2 * A * B), kur
• a ir nepieciešamais asais leņķis,
• A un B - paralelograma malas,
• d - mazāka pa diagonāli

Blāvam leņķim formula nedaudz mainās:

• cosß \u003d (A² + B² - D²) / (2 * A * B), kur
• ß ir neass leņķis,
• A un B - sāni,
• D - liela diagonāle

Piemērs: jums jāatrod paralelograma asais leņķis, kura malas ir 6 cm un 3 cm, un mazākā diagonāle ir 5,2 cm

Aizstājiet vērtības formulā, lai atrastu asu leņķi:

• cosa \u003d (6 2 + 3 2 - 5,2 2) / (2 * 6 * 3) \u003d (36 + 9 - 27,04) / (2 * 18) \u003d 17,96 / 36 ~ 18/36 ~ 1/2
• cosa \u003d 1/2. No tabulas mēs uzzinām, ka vēlamais leņķis ir 60 °.

Paralelograms ir četrstūris, kura pretējās puses ir paralēlas, tas ir, atrodas uz paralēlām līnijām (1. attēls).

1. teorēma. Par paralelograma sānu un leņķu īpašību. Paralelogramā pretējās puses ir vienādas, pretējie leņķi ir vienādi, un leņķu summa, kas atrodas blakus paralelograma vienai pusei, ir 180 °.

Pierādījumi. Šajā paralelogramā ABCD uzzīmējiet diagonāli AC un iegūstiet divus trijstūrus ABC un ADC (2. attēls).

Šie trijstūri ir vienādi, jo ∠ 1 \u003d ∠ 4, ∠ 2 \u003d ∠ 3 (šķērsojoši leņķi ar paralēlām līnijām), un maiņstrāvas puse ir kopīga. No vienādības Δ ABC \u003d Δ ADC izriet, ka AB \u003d CD, BC \u003d AD, ∠ B \u003d ∠ D. Leņķu, kas atrodas blakus vienai pusei, piemēram, leņķi A un D, \u200b\u200bsumma ir vienāda ar 180 ° kā viena novietots paralēlu taisnu līniju pusē. Teorēma ir pierādīta.

Komentēt. Paralelograma pretējo malu vienādība nozīmē, ka paralēlās līnijas nogrieztās paralēlās līnijas ir vienādas.

Secinājums 1. Ja divas taisnes ir paralēlas, tad visi vienas līnijas punkti atrodas vienā attālumā no otras.

Pierādījumi. Patiešām, ļaujiet || b (3. attēls).

No dažiem diviem punktiem B un C zīmēsim taisnes b perpendikulus BA un CD taisnei a. Tā kā AB || CD, tad skaitlis ABCD ir paralelograms, un tāpēc AB \u003d CD.

Attālums starp divām paralēlām taisnēm ir attālums no vienas taisnas līnijas patvaļīga punkta līdz citai taisnei.

Pēc pierādītā tas ir vienāds ar perpendikula garumu, kas novilkts no kāda paralēlās līnijas punkta uz citu līniju.

1. piemērs. Paralelograma perimetrs ir 122 cm. Viena no tās malām ir par 25 cm lielāka nekā otra. Atrodiet paralelograma sānus.

Lēmums. Pēc 1. teorēmas paralelograma pretējās puses ir vienādas. Apzīmēsim paralelograma vienu pusi ar x, otru - ar y. Pēc tam ar nosacījumu $$ \\ left \\ (\\ begin (matrica) 2x + 2y \u003d 122 \\\\ x - y \u003d 25 \\ end (matrica) \\ right. $$ Atrisinot šo sistēmu, mēs iegūstam x \u003d 43, y \u003d 18. Tātad paralelograma malas ir 18, 43, 18 un 43 cm.

2. piemērs.

Lēmums. Ļaujiet 4. attēlam izpildīt problēmas nosacījumu.

Mēs apzīmējam AB ar x un BC ar y. Pēc stāvokļa paralelograma perimetrs ir 10 cm, tas ir, 2 (x + y) \u003d 10 vai x + y \u003d 5. Trijstūra ABD perimetrs ir 8 cm. Tā kā AB + AD \u003d x + y \u003d 5, tad BD \u003d 8 - 5 \u003d 3. Tātad, BD \u003d 3 cm.

3. piemērs. Atrodiet paralelograma leņķus, zinot, ka viens no tiem ir par 50 ° lielāks nekā otrs.

Lēmums. Ļaujiet 5. attēlam atbildēt uz problēmas stāvokli.

Apzīmēsim leņķa A līdz x pakāpes pakāpi. Tad grāda mērs leņķis D ir vienāds ar x + 50 °.

Leņķi BAD un ADC ir iekšēji vienpusīgi ar paralēlām taisnām līnijām AB un DC un sekundāro AD. Tad šo nosaukto leņķu summa būs 180 °, t.i.
x + x + 50 ° \u003d 180 ° vai x \u003d 65 °. Tādējādi ∠ A \u003d ∠ C \u003d 65 °, a ∠ B \u003d ∠ D \u003d 115 °.

4. piemērs. Paralelograma malas ir 4,5 dm un 1,2 dm. No asā leņķa augšdaļas tiek novilkts bisektors. Kādas daļas viņa dala lielā puse paralelograms?

Lēmums. Ļaujiet 6. attēlam atbildēt uz problēmas stāvokli.

AE ir paralelograma asā leņķa dalītājs. Tāpēc ∠ 1 \u003d ∠ 2.