벨로루시 공화국 농업식품부

교육 기관 "BELARUSIAN STATE AGRICULTURAL

기술대학"

부서 이론 역학메커니즘과 기계의 이론

이론역학

전문 학생을 위한 방법론적 복합체

74 06 농업공학

2부 1부

UDC 531.3(07) BBK 22.213ya7 T 33

편집자:

물리 및 수리 과학 후보자, 부교수 Yu. S. Biza, 후보 기술 과학, N 부교수. L. Rakova, 수석 강사. A. 타라세비치

검토자:

교육 기관 "벨로루시 국립 기술 대학"의 이론 역학과 (수장)

이론역학과 BNTU 물리 및 수리 과학 박사 A. 교수 V. Chigarev);

국립 과학 기관 연합 기계 공학 연구소의 기계 시스템 진동 보호 연구실 수석 연구원

NAS of Belarus", 기술 과학 후보자, A. M. Goman 부교수

이론 역학. 섹션 "역학": 교육

T33 방법. 복잡한. 1부 / 편집자: Yu. S. Biza, N. L. Rakova, I. A. Tarasevich. – 민스크: BGATU, 2013. – 120p.

ISBN 978-985-519-616-8.

교육 및 방법론 콤플렉스는 "이론 역학" 분야의 일부인 "역학" 섹션, 파트 1을 연구하기 위한 자료를 제공합니다. 강의과정, 공연기초자료 등이 포함되어 있습니다. 실습 수업, 독립적인 작업 및 통제를 위한 할당 및 할당 샘플 교육 활동풀타임 및 파트타임 학생.

UDC 531.3(07) BBK 22.213ya7

소개

이론역학은 물질적 운동, 평형, 상호작용의 일반법칙에 관한 과학이다.

이것은 기본적인 일반 과학 물리-수학 분야 중 하나입니다. 이는 현대 기술의 이론적 기초입니다.

다른 물리적 및 수학적 학문과 함께 이론 역학에 대한 연구는 과학적 지평을 확장하고 구체적이고 추상적 사고 능력을 개발하며 미래 전문가의 일반적인 기술 문화를 개선하는 데 도움이 됩니다.

모든 기술 분야의 과학적 기반인 이론 역학은 기술 개발에 기여합니다. 합리적인 결정농업 및 토지 매립 기계 및 장비의 작동, 수리 및 설계와 관련된 엔지니어링 업무.

역학은 고려 중인 문제의 성격에 따라 정역학, 운동학, 동역학으로 구분됩니다. 역학(Dynamics)은 적용된 힘의 영향을 받아 물질의 움직임을 연구하는 이론 역학의 한 분야입니다.

안에 교육적이고 방법론적인콤플렉스(UMK)는 강의 과정, 지휘를 위한 기본 자료가 포함된 "역학" 섹션 학습을 위한 자료를 제공합니다. 실무, 작업 및 실행 샘플 독립적인 작업풀타임 및 파트타임 학생의 교육 활동을 모니터링합니다.

안에 '역학' 섹션을 공부한 결과, 학생은 다음을 배워야 합니다. 이론적 기초역학을 배우고 역학 문제를 해결하는 기본 방법을 익히십시오.

역학 문제를 해결하는 방법을 알고, 일반 정리역학, 역학의 원리;

작용하는 힘에 따라 신체 운동의 법칙을 결정할 수 있습니다. 문제를 해결하기 위해 역학의 법칙과 정리를 적용합니다. 신체의 움직임을 제한하는 연결의 정적 및 동적 반응을 결정합니다.

"이론 역학" 분야의 커리큘럼은 "역학" 섹션 학습을 위한 36시간을 포함하여 총 136시간의 수업 시간을 제공합니다.

1. 교육 및 방법론 단지의 과학적 및 이론적 내용

1.1. 어휘

정역학(Statics)은 힘의 일반적인 원리를 제시하고 감소를 연구하는 역학의 한 부분입니다. 복잡한 시스템힘을 가장 단순한 형태로 만들고 평형 조건이 확립됩니다. 다양한 시스템힘

운동학(Kinematics)은 운동을 일으키는 이유, 즉 물체에 작용하는 힘에 관계없이 물질 물체의 움직임을 연구하는 이론 역학의 한 분야입니다.

역학(Dynamics)은 적용된 힘의 작용 하에서 물질체(점)의 움직임을 연구하는 이론 역학의 한 분야입니다.

소재 포인트– 점의 움직임의 차이가 미미한 물질적 몸체.

물체의 질량은 주어진 물체에 포함된 물질의 양에 따라 달라지며 병진 운동 중 관성의 척도를 결정하는 양의 스칼라 수량입니다.

참조 시스템은 다른 본체의 움직임을 연구하는 데 사용되는 본체와 연관된 좌표계입니다.

관성 시스템- 동역학 제1법칙과 제2법칙을 만족하는 시스템.

힘 충격은 일정 시간 동안 힘의 작용을 벡터로 측정한 것입니다.

중요한 포인트의 모멘텀 – 점의 질량과 속도 벡터의 곱과 동일한 동작의 벡터 측정값입니다.

운동에너지– 기계적 운동의 스칼라 측정.

힘의 기본 작업는 힘 벡터와 힘 적용 지점의 무한한 작은 변위 벡터의 스칼라 곱과 동일한 극미량 스칼라 수량입니다.

운동에너지– 기계적 운동의 스칼라 측정.

물질점의 운동에너지는 스칼라 에너지이다.

점의 질량과 속도의 제곱의 곱의 절반에 해당하는 양의 양입니다.

기계 시스템의 운동 에너지 - 산술 -

이 시스템의 모든 물질 지점의 운동 에너지의 합입니다.

힘은 신체의 기계적 상호작용을 측정하는 것으로, 강도와 방향을 특징으로 합니다.

1.2. 강의주제 및 내용

섹션 1. 역학 소개. 기본 개념

고전역학

Topic 1. 물질점의 역학

물질점의 역학 법칙(갈릴레오의 법칙 – 뉴턴의 법칙) 물질 점의 운동 미분 방정식. 중요한 점에 대한 역학의 두 가지 주요 문제. 역학의 두 번째 문제 해결; 적분 상수 및 초기 조건에 따른 결정.

문헌:, pp. 180-196, , pp. 12-26.

Topic 2. 물질의 상대이동 역학

재료 점의 상대적인 움직임. 점의 상대 운동에 대한 미분 방정식 휴대용 및 코리올리스 관성력. 고전 역학의 상대성 원리. 상대적인 평화의 경우.

문헌: , pp. 180-196, , pp. 127-155.

주제 3. 질량의 기하학. 기계 시스템의 질량 중심

시스템 질량. 시스템의 질량 중심과 좌표입니다.

문학:, 86-93면, 264-265면

주제 4. 강체의 관성 모멘트

축과 극에 대한 강체의 관성 모멘트입니다. 관성 반경. 평행축에 대한 관성 모멘트에 관한 정리. 일부 몸체의 축 관성 모멘트.

신체 비대칭의 특징인 관성 원심 모멘트.

문헌: , pp. 265-271, , pp. 155-173.

섹션 2. 물질점의 역학에 관한 일반 정리

기계 시스템

주제 5. 시스템의 질량 중심 운동에 관한 정리

시스템의 질량 중심 운동에 관한 정리. 시스템의 질량 중심 운동에 관한 정리의 추론.

문헌: , pp. 274-277, , pp. 175-192.

Topic 6. 머티리얼 포인트의 모멘텀

기계 시스템

재료점과 기계 시스템의 운동량. 유한한 시간 동안의 기본 충격량과 힘 충격량. 미분 및 적분 형태의 점과 시스템의 운동량 변화에 관한 정리. 운동량 보존의 법칙.

문헌: , pp. 280-284, , pp. 192-207.

Topic 7. 머티리얼 포인트의 모멘텀

중심과 축을 기준으로 한 기계 시스템

중심과 축을 기준으로 한 점의 운동량 모멘트입니다. 점의 각운동량 변화에 관한 정리. 중심과 축을 기준으로 하는 기계 시스템의 운동 모멘트입니다.

회전축을 중심으로 회전하는 강체의 운동 모멘트입니다. 시스템의 각운동량 변화에 관한 정리. 각운동량 보존의 법칙.

문헌: , pp. 292-298, , pp. 207-258.

주제 8. 일과 힘의 힘

힘의 기본 작업, 분석적 표현. 최종 경로에서 힘에 의해 수행된 작업입니다. 중력, 탄성력의 작용. 고체에 작용하는 내부 힘이 한 일의 합은 0과 같습니다. 고정된 축을 중심으로 회전하는 강체에 적용되는 힘의 작용입니다. 힘. 능률.

문헌: , pp. 208-213, , pp. 280-290.

Topic 9. 물질점의 운동에너지

기계 시스템

물질점과 기계시스템의 운동에너지. 다양한 운동 사례에서 강체의 운동 에너지를 계산합니다. Koenig의 정리. 미분 및 적분 형태의 점의 운동 에너지 변화에 관한 정리. 차동 및 적분 형태의 기계 시스템의 운동 에너지 변화에 관한 정리.

문헌: , pp. 301-310, , pp. 290-344.

주제 10. 잠재적 역장과 잠재력

역장의 개념. 잠재적 역장 및 힘 기능. 잠재적 역장에서 한 점의 최종 변위에 대한 힘의 작용. 잠재력.

문헌: , pp. 317-320, , pp. 344-347.

주제 11. 강체 역학

강체의 병진 운동에 대한 미분 방정식. 고정 축을 중심으로 한 강체의 회전 운동에 대한 미분 방정식. 물리적 진자. 강체의 평면 운동에 대한 미분 방정식.

문헌: , pp. 323-334, , pp. 157-173.

섹션 1. 역학 소개. 기본 개념

고전역학

역학(Dynamics)은 적용된 힘의 작용 하에서 물질체(점)의 움직임을 연구하는 이론 역학의 한 분야입니다.

소재 본체- 질량이 있는 몸체.

소재 포인트– 점의 움직임의 차이가 미미한 물질적 몸체. 이는 이동 중 치수를 무시할 수 있는 본체이거나 병진 이동하는 경우 유한 치수의 본체일 수 있습니다.

물질점은 동적 특성 중 일부를 결정할 때 고체가 정신적으로 분해되는 입자라고도 합니다. 재료 점의 예(그림 1): a – 태양 주위의 지구의 움직임. 지구는 물질적 지점입니다. b – 강체의 병진 운동. 단단한 몸 - 어머니

모든 점, 왜냐하면 V B = V A ; B = A A ; c - 축을 중심으로 신체의 회전.

신체의 입자는 물질적 점입니다.

관성은 적용된 힘의 영향으로 이동 속도를 더 빠르게 또는 느리게 변경하는 물질 몸체의 속성입니다.

물체의 질량은 주어진 물체에 포함된 물질의 양에 따라 달라지며 병진 운동 중 관성의 척도를 결정하는 양의 스칼라 수량입니다. 고전 역학에서 질량은 일정한 양입니다.

힘은 물체 사이 또는 물체(점)와 장(전기, 자기 등) 사이의 기계적 상호 작용을 정량적으로 측정한 것입니다.

힘은 크기, 적용점 및 방향(작용선)을 특징으로 하는 벡터량입니다(그림 2: A - 적용점, AB - 힘의 작용선).

쌀. 2

역학에는 일정한 힘과 함께 시간 t, 속도ϑ, 디스턴서 또는 이러한 양의 조합에 따라 달라질 수 있는 가변 힘도 있습니다.

F = const;

F = F(t) ;

F = F(ϑ ) ;

F = F(r) ;

F = F(t, r, ϑ) .

전기기관차; c − F = F (r) – 중심 O로부터의 반발력 또는 인력.

참조 시스템은 다른 본체의 움직임을 연구하는 데 사용되는 본체와 연관된 좌표계입니다.

관성계는 역학 제1법칙과 제2법칙을 만족하는 시스템이다. 이는 고정된 좌표계 ​​또는 균일하고 선형적으로 움직이는 시스템입니다.

역학에서의 움직임은 다른 신체와 관련하여 공간 및 시간에서 신체 위치의 변화입니다.

고전 역학의 공간은 유클리드 기하학을 따르는 3차원입니다.

시간은 모든 기준 시스템에서 동일하게 흐르는 스칼라 수량입니다.

단위계는 물리량을 측정하는 단위의 집합입니다. 모든 기계적 양을 측정하려면 길이, 시간, 질량 또는 힘의 세 가지 기본 단위로 충분합니다.

기계적 양의 다른 모든 측정 단위는 여기에서 파생됩니다. 두 가지 유형의 단위계가 사용됩니다: 국제 단위계 SI(또는 더 작은 단위 - GHS)와 기술 단위계 - ICGSS.

주제 1. 중요한 점의 역학

1.1. 물질점의 역학 법칙(갈릴레오-뉴턴 법칙)

제1법칙(관성의 법칙).

외부 영향으로부터 격리된 물질 점은 정지 상태를 유지하거나 가해진 힘으로 인해 이 상태가 변경될 때까지 균일하고 직선적으로 움직입니다.

힘이 없거나 균형 잡힌 힘 시스템의 작용 하에서 한 지점에 의해 수행되는 이동을 관성에 의한 이동이라고 합니다.

예를 들어, 매끄러운 표면(마찰력은 0)을 따라 신체가 움직이는 경우

수평 표면(그림 4: G – 체중, N – 정상 평면 반응).

G = − N이므로 G + N = 0입니다.

ϑ 0 ≠ 0이면 몸체는 같은 속도로 움직입니다. ϑ 0 = 0일 때 몸체는 정지 상태입니다(ϑ 0은 초기 속도입니다).

제2법칙(동역학의 기본법칙).

주어진 힘의 영향을 받아 점의 질량과 가속도의 곱은 이 힘의 크기와 동일하며 그 방향은 가속도의 방향과 일치합니다.

a b

수학적으로 이 법칙은 벡터 상등으로 표현됩니다.

F = 0,a 0 = 0 = ϑ 0 = const – 점이 균일하고 직선으로 이동하거나 ϑ 0 = 0 – 정지 상태입니다(관성의 법칙). 두번째

이 법을 통해 지구 표면 근처에 위치한 물체의 질량 m과 무게G .G = mg, 여기서g –

중력 가속.

제3법칙(작용과 반작용의 평등의 법칙). 두 개의 재료 점은 동일한 크기의 힘으로 서로 작용하고 연결하는 직선을 따라 향합니다.

이 점들은 반대 방향입니다.

힘 F 1 = − F 2 가 서로 다른 지점에 적용되기 때문에 힘 시스템(F 1 , F 2 )은 균형을 이루지 않습니다. 즉, (F 1 , F 2 ) ≒ 0입니다(그림 6).

상호 작용하는 점의 질량은 가속도에 반비례합니다.

네 번째 법칙(힘 작용의 독립의 법칙). 동시에 작용할 때 지점이 받는 가속도

그러나 각 힘이 개별적으로 적용될 경우 점이 받게 될 가속도의 기하학적 합과 동일한 몇 가지 힘입니다.

설명(그림 7).

t a n

1 kF n

합력 R (F 1 ,...F k ,...F n ) .

ma = R,F 1 = ma 1, ...,F k = ma k, ...,F n = ma n이므로

a = a 1 + ...+ a k + ...+ an n = ∑ a k, 즉 제4법칙은 동일합니다.

k = 1

힘을 더하는 법칙.

1.2. 물질점의 운동 미분방정식

여러 힘이 물질적 지점에 동시에 작용하도록 하십시오. 그 중에는 일정하고 가변적인 힘이 있습니다.

동역학 제2법칙을 다음과 같은 형식으로 작성해 보겠습니다.

그러면 (1.2)는 r의 미분을 포함하며 벡터 형식의 물질 점 운동의 미분 방정식 또는 물질 점 동역학의 기본 방정식입니다.

벡터 동등성 투영(1.2): - 데카르트 좌표축(그림 8, a)

자연 축에서 (그림 8, b)

mab = m0 = ∑ Fk b

k = 1

M to M oa

식 (1.3)과 (1.4)는 각각 데카르트 좌표축과 자연축에서 물질 점의 운동에 대한 미분 방정식입니다. 즉, 궤적이 다음과 같은 경우 점의 곡선 운동에 일반적으로 사용되는 자연 미분 방정식입니다. 점과 곡률 반경이 알려져 있습니다.

1.3. 중요한 점에 대한 역학의 두 가지 주요 문제와 해당 솔루션

첫 번째 (직접) 작업.

운동법칙과 점의 질량을 알고 점에 작용하는 힘을 결정합니다.

이 문제를 해결하려면 해당 지점의 가속도를 알아야 합니다. 이러한 유형의 문제에서는 이를 직접 지정하거나 점의 운동 법칙을 지정하여 이를 결정할 수 있습니다.

1. 따라서 점의 움직임이 데카르트 좌표로 지정되면

x = f 1 (t), y = f 2 (t) 및 z = f 3 (t), 그러면 가속도 예측이 결정됩니다.

질량중심의 운동에 관한 정리.기계 시스템의 운동 미분 방정식. 기계 시스템의 질량 중심 운동에 관한 정리. 질량 중심의 운동 보존 법칙.

운동량 변화에 관한 정리.재료 점의 모션 양입니다. 힘의 기본 충동. 유한한 시간 동안의 힘 충격과 이를 좌표축에 투영합니다. 미분 및 유한 형태의 물질 점의 운동량 변화에 관한 정리.

기계 시스템의 운동량. 시스템의 질량과 질량 중심의 속도를 통해 표현됩니다. 미분 및 유한 형태의 기계 시스템의 운동량 변화에 관한 정리. 기계적 운동량 보존의 법칙

(체의 개념과 가변질량점. Meshchersky의 방정식. Tsiolkovsky의 공식.)

각운동량 변화에 관한 정리.중심과 축을 기준으로 한 재료 점의 운동량 모멘트입니다. 물질점의 각운동량 변화에 관한 정리. 중앙전력. 중심력의 경우 물질점의 각운동량 보존. (섹터 속도의 개념. 면적의 법칙.)

중심과 축을 기준으로 하는 기계 시스템의 주요 운동량 모멘트 또는 운동 모멘트입니다. 회전축을 중심으로 회전하는 강체의 운동 모멘트입니다. 기계 시스템의 운동 모멘트 변화에 관한 정리. 기계 시스템의 각운동량 보존 법칙. (기계 시스템의 운동 모멘트 변화에 관한 정리 상대 운동질량 중심에 상대적입니다.)

운동에너지 변화에 관한 정리.물질점의 운동에너지. 기본적인 힘의 작용; 초등 작업의 분석적 표현. 적용 지점의 최종 변위에 대한 힘에 의해 수행되는 작업입니다. 중력, 탄성력 및 중력의 작용. 미분 및 유한 형태의 물질 점의 운동 에너지 변화에 관한 정리.

기계 시스템의 운동 에너지. 병진 운동, 고정 축을 중심으로 회전하는 동안 강체의 운동 에너지를 계산하는 공식 일반적인 경우운동(특히 평면 평행 운동). 미분 및 유한 형태의 기계 시스템의 운동 에너지 변화에 관한 정리. 고체에서 내부 힘이 행한 일의 합은 0과 같습니다. 고정 축을 중심으로 회전하는 강체에 적용되는 힘의 일과 힘.

역장의 개념. 잠재적 역장 및 힘 기능. 힘 함수를 통한 힘 투영의 표현. 동등한 잠재력을 지닌 표면. 잠재적 역장에서 한 점의 최종 변위에 대한 힘의 작용. 잠재력. 예 잠재적 힘새로운 분야: 균일 중력장과 중력장. 역학적 에너지 보존의 법칙.

강체 역학.강체의 병진 운동에 대한 미분 방정식. 고정된 축을 중심으로 한 강체의 회전에 대한 미분 방정식입니다. 물리적 진자. 강체의 평면 운동에 대한 미분 방정식.

달랑베르의 원리.중요한 점에 대한 D'Alembert의 원리; 관성력. 기계 시스템에 대한 D'Alembert의 원리. 강체 점의 관성력을 중심으로 가져오는 단계; 메인 벡터와 급소관성력.

(고정 축을 중심으로 강체를 회전하는 동안 베어링의 동적 반응 결정. 회전 축이 몸체 관성의 주요 중심축인 경우.)

가능한 움직임의 원리와 역학의 일반적인 방정식.기계 시스템에 부과된 연결입니다. 재료 지점과 기계 시스템의 가능한(또는 가상) 움직임. 시스템의 자유도 수입니다. 이상적인 연결. 가능한 움직임의 원리. 역학의 일반 방정식.

일반화된 좌표에서 시스템의 운동 방정식(라그랑주 방정식).시스템의 일반화된 좌표 일반화된 속도. 일반화된 좌표로 기본 작업을 표현합니다. 일반화된 힘과 그 계산 잠재력을 지닌 힘의 경우. 일반화된 좌표에서 시스템의 평형 조건. 일반화된 좌표계의 미분 운동 방정식 또는 제2종 라그랑주 방정식. 잠재적 힘의 경우 라그랑주 방정식; 라그랑주 함수(운동 전위).

평형 안정성의 개념. 시스템과 그 특성의 안정적인 평형 위치 근처에서 1개의 자유도를 갖는 기계 시스템의 작은 자유 진동입니다.

충격 이론의 요소.충격 현상. 충격력과 충격충격. 재료 지점에 대한 충격력의 작용. 충격에 따른 기계 시스템의 운동량 변화에 관한 정리. 고정된 표면에 대한 신체의 직접적인 중앙 충격; 탄성 및 비탄성 충격. 충격회복계수 및 실험적 결정. 두 몸체의 직접적인 중심 충돌. 카르노의 정리.

참고자료

기초적인

Butenin N.V., Lunts Ya-L., Merkin D.R.이론 역학 과정. T. 1, 2. M., 1985 및 이전 버전.

Dobronravov V.V., Nikitin N.N.이론 역학 과정. 엠., 1983.

스타진스키 V.M.이론 역학. 엠., 1980.

타그 S.M.단기 코스이론적 역학. M., 1986 및 이전 버전.

Yablonsky A. A., Nikiforova V. M.이론 역학 과정. 1부. M., 1984 및 이전 버전.

야블론스키 A.A.이론 역학 과정. 2부. M., 1984 및 이전 버전.

메셰르스키 I. V.이론 역학에 관한 문제 모음. M., 1986 및 이전 버전.

이론역학 문제집/Ed. K. S. 콜레스니코바. 엠., 1983.

추가의

Bat M. I., Dzhanelidze G. Yu., Kelzon A. S.예제와 문제의 이론 역학. 파트 1, 2. M., 1984 및 이전 버전.

이론역학 문제집/5razhnichen/so N. A., 칸 V. L., Mintzberg B. L.및 기타. 엠., 1987.

Novozhilov I. V., Zatsepin M. F.이론 역학의 일반적인 컴퓨터 기반 계산. 엠., 1986,

다음에 대한 작업 모음 교과 과정이론 역학에 대하여 / Ed. A. A. Yablonsky. M., 1985 및 이전 버전(문제 해결의 예 포함).

강의 3. 역학의 일반 정리

중요한 포인트 시스템의 역학이론역학의 중요한 분야이다. 여기에서는 유한한 자유도(시스템의 위치를 ​​결정하는 최대 독립 매개변수 수)를 갖는 기계 시스템(재료 점 시스템)의 동작에 관한 문제를 주로 고려합니다. 시스템 역학의 주요 임무는 강체와 기계 시스템의 운동 법칙을 연구하는 것입니다.

시스템의 움직임을 연구하는 가장 간단한 접근 방식은 다음과 같습니다. N중요한 포인트는 시스템의 각 개별 포인트의 움직임을 고려하는 것입니다. 이 경우 점 사이의 상호작용력을 포함하여 시스템의 각 점에 작용하는 모든 힘을 결정해야 합니다.

뉴턴의 제2법칙(1.2)에 따라 각 점의 가속도를 결정하면 각 점에 대해 2차 운동의 세 가지 스칼라 미분 법칙을 얻습니다. 3 N 전체 시스템에 대한 미분 운동 법칙.

주어진 힘과 시스템의 각 지점에 대한 초기 조건을 기반으로 기계 시스템의 운동 방정식을 찾으려면 결과로 나타나는 미분 법칙을 통합해야 합니다. 이 문제는 보편적 인력의 법칙에 따라 상호작용력의 영향을 받아만 움직이는 두 개의 물질점의 경우(이체문제)에도 어렵고, 세 개의 상호작용점의 경우(삼체문제)는 극히 어렵다. ).

따라서 해결 가능한 방정식으로 이어지는 문제를 해결하고 기계 시스템의 움직임에 대한 아이디어를 제공하는 방법을 찾는 것이 필요합니다. 미분 운동 법칙의 결과인 동역학의 일반 정리를 통해 통합 중에 발생하는 복잡성을 피하고 필요한 결과를 얻을 수 있습니다.

3. 1. 일반사항

인덱스를 사용하여 기계 시스템의 포인트에 번호를 매깁니다. 나, j, 케이등, 모든 값을 실행합니다. 1, 2, 3… N, 어디 N – 시스템의 포인트 수. 물리량관련된 케이번째 포인트는 포인트와 동일한 인덱스로 지정됩니다. 예를 들어 반경 벡터와 속도를 각각 표현합니다. 케이번째 지점.

시스템의 각 지점은 두 가지 기원의 힘에 의해 작용합니다. 첫째, 소스가 시스템 외부에 있는 힘입니다. 외부군대와 지정; 둘째, 주어진 시스템의 다른 지점에서 발생하는 힘이라고 합니다. 내부힘과 지정. 내부 힘은 뉴턴의 제3법칙을 충족합니다. 어떤 상태에서든 전체 기계 시스템에 작용하는 내부 힘의 가장 간단한 속성을 고려해 보겠습니다.

첫 번째 재산. 시스템의 모든 내부 힘(내부 힘의 주요 벡터)의 기하학적 합은 0과 같습니다..

실제로, 예를 들어 시스템의 임의의 두 지점을 고려하면 (그림 3.1), 그렇다면 그들을 위해 , 왜냐하면 작용력과 반작용의 힘은 항상 크기가 동일하며 상호 작용 지점을 연결하는 반대 방향의 작용선을 따라 작용합니다. 내부 힘의 주요 벡터는 상호 작용하는 점의 힘 쌍으로 구성됩니다.

(3.1)

두 번째 속성. 공간의 임의 지점에 대한 모든 내부 힘의 모멘트의 기하학적 합은 0과 같습니다..

힘의 모멘트와 점을 기준으로 한 시스템을 고려해 보겠습니다. 에 대한(그림 3.1). 에서 (그림 3.1). 그것은 분명하다

,

왜냐하면 두 힘은 모두 동일한 팔과 반대 방향의 벡터 모멘트를 갖습니다. 점에 대한 내부 힘의 주요 모멘트 에 대한그러한 표현식의 벡터 합으로 구성되며 0과 같습니다. 따라서,

다음으로 구성된 기계 시스템에 작용하는 외부 및 내부 힘을 보자. N전철기 (그림 3.2). 외부 힘의 합력과 모든 내부 힘의 합력을 시스템의 각 지점에 적용하면 다음과 같습니다. 케이시스템의 세 번째 지점에서 운동의 미분 방정식을 작성할 수 있습니다. 이러한 방정식은 총 1개가 있을 것입니다. N:

고정 좌표축에 대한 투영 3 N:

(3.4)

벡터 방정식(3.3) 또는 등가 스칼라 방정식(3.4)은 전체 시스템의 물질 점의 미분 운동 법칙을 나타냅니다. 모든 점이 하나의 평면이나 하나의 직선에 평행하게 이동하는 경우 첫 번째 경우의 방정식(3.4) 수는 다음과 같습니다. 2 N, 두 번째에는 N.

예시 1.두 덩어리는 블록 위에 놓인 확장 불가능한 케이블로 서로 연결됩니다. (그림 3.3). 마찰력과 블록 및 케이블의 질량을 무시하면 하중 이동 법칙과 케이블 장력이 결정됩니다.

해결책. 시스템은 동일한 축에 평행하게 움직이는 두 개의 재료 몸체(확장할 수 없는 케이블로 연결됨)로 구성됩니다. 엑스.축에 투영할 때 미분 운동 법칙을 적어 보겠습니다. 엑스모든 신체를 위해.

가속과 함께 오른쪽 무게가 떨어지게 하고, 가속과 함께 왼쪽 무게가 상승할 것입니다. 우리는 연결(케이블)에서 정신적으로 해방되고 이를 반응과 (그림 3.3). 물체가 자유롭다는 점을 고려하여 축에 투영할 때 미분 운동 법칙을 그려보겠습니다. 엑스(즉, 실 장력은 내부 힘이고 하중의 무게는 외부 힘입니다):

그리고 (몸체는 확장할 수 없는 케이블로 연결되어 있기 때문에), 우리는 다음을 얻습니다.

가속도 및 케이블 장력에 대한 방정식 풀기 티, 우리는 얻는다

.

케이블의 장력은 해당 부하의 중력과 동일하지 않습니다.

3. 2. 질량중심의 운동에 관한 정리

평면에 있는 강체와 기계 시스템은 상당히 복잡하게 움직일 수 있는 것으로 알려져 있습니다. 신체 운동과 기계 시스템에 관한 첫 번째 정리는 다음과 같이 도출될 수 있습니다. k.-l을 던지십시오. 여러 개의 단단한 물체가 서로 붙어 있는 물체. 그가 포물선으로 날아갈 것이 분명합니다. 이는 점의 움직임을 연구하면서 드러났다. 그러나 이제 그 대상은 점이 아닙니다. 포물선으로 움직이는 특정 유효 중심 주위를 비행하는 동안 회전하고 흔들립니다. 복잡한 물체의 움직임에 관한 첫 번째 정리는 특정 유효 중심이 움직이는 물체의 질량 중심이라는 것입니다. 질량 중심은 반드시 신체 자체에 위치할 필요는 없으며 신체 외부 어딘가에 있을 수도 있습니다.

정리. 기계 시스템의 질량 중심은 전체 시스템의 질량과 동일한 질량을 갖는 물질 점으로 이동하며 시스템에 작용하는 모든 외부 힘이 적용됩니다.

정리를 증명하기 위해 미분 운동 법칙(3.3)을 다음 형식으로 다시 작성합니다.

(3.5)

어디 N – 시스템의 포인트 수.

용어별로 방정식을 함께 추가해 보겠습니다.

(에이)

선택한 좌표계를 기준으로 한 기계 시스템의 질량 중심 위치는 공식 (2.1)에 의해 결정됩니다. 어디 중– 시스템의 질량. 그런 다음 평등 (a)의 왼쪽이 작성됩니다

등식(a)의 첫 번째 합은 외부 힘의 주요 벡터와 같고, 내부 힘의 속성에 따라 마지막 합은 0과 같습니다. 그런 다음 (b)를 고려하여 평등 (a)가 다시 작성됩니다.

, (3.6)

저것들. 시스템의 질량과 질량 중심의 가속도의 곱은 시스템에 작용하는 모든 외부 힘의 기하학적 합과 같습니다.

방정식(3.6)에 따르면 내부 힘은 질량 중심의 움직임에 직접적인 영향을 미치지 않습니다. 그러나 어떤 경우에는 시스템에 외부 힘이 가해지는 원인이 됩니다. 따라서 자동차의 구동륜을 회전시키는 내부 힘으로 인해 휠 림에 가해지는 외부 접착력이 작용하게 됩니다.

예시 2.수직면에 위치한 메커니즘은 수평의 매끄러운 평면에 설치되고 표면에 단단히 고정된 막대로 부착됩니다. 에게그리고 엘 (그림 3.4).

디스크 1 반경 아르 자형움직이지 않는. 디스크 2 질량 중반경 아르 자형 크랭크에 부착, 길이 아르 자형+ 아르 자형그 시점에 C 2. 크랭크는 일정하게 회전한다.

각속도. 초기에는 크랭크가 오른쪽을 차지했습니다. 수평 위치. 크랭크의 질량을 무시하고 프레임과 휠 1의 총 질량이 다음과 같을 때 바에 작용하는 최대 수평 및 수직 힘을 결정합니다. 중.또한 막대가 없을 때 메커니즘의 동작을 고려하십시오.

해결책. 시스템은 두 개의 질량( N=2 ): 프레임이 있는 고정 디스크 1과 이동식 디스크 2. 축 방향 지정 ~에고정 디스크의 무게 중심을 통해 수직으로 위쪽으로 축 엑스– 수평면을 따라.

질량 중심(3.6)의 운동에 관한 정리를 좌표 형식으로 작성해 보겠습니다.

이 시스템의 외부 힘은 다음과 같습니다: 프레임과 고정 디스크의 무게 - 마그네슘, 움직이는 디스크 무게 - mg, - 볼트의 총 수평 반력, - 평면의 일반적인 총 반력. 따라서,

그러면 운동법칙 (b)가 다시 작성됩니다.

기계 시스템의 질량 중심 좌표를 계산해 보겠습니다.

; (G)

에서 알 수 있듯이 (그림 3.4), , , (크랭크 각도), . 이 식을 (d)에 대입하고 시간에 대한 2차 도함수를 계산합니다. 티, , 에서 우리는 그것을 얻습니다

(디)

(c)와 (e)를 (b)에 대입하면 다음과 같습니다.

막대에 작용하는 수평 압력은 다음과 같은 경우 가장 크고 가장 작습니다. 코사인 = 1 따라서, 즉

메커니즘 압력 수평면때 가장 큰 값과 가장 작은 값을 갖습니다. 죄 따라서, 즉

실제로 역학의 첫 번째 문제가 해결되었습니다. 시스템의 질량 중심에 대한 알려진 운동 방정식(d)에 따라 운동에 관련된 힘이 복원됩니다.

바가 없는 경우 케이그리고 엘 (그림 3.4), 메커니즘이 수평면 위로 튀어오르기 시작할 수 있습니다. 이는 다음과 같은 경우에 발생합니다. 때, 메커니즘이 바운스되는 크랭크의 회전 각속도는 등식을 충족해야 합니다.

.

3. 3. 질량중심의 운동 보존 법칙

시스템에 작용하는 외부 힘의 주요 벡터가 0인 경우, 즉 , 다음부터(3.6)따라서 질량 중심의 가속도는 0이므로 질량 중심의 속도는 크기와 방향이 일정합니다. 특히, 초기 순간에 질량 중심이 정지해 있는 경우, 외부 힘의 주요 벡터가 0인 동안 질량 중심은 전체 시간 동안 정지해 있습니다.

이 정리에서 몇 가지 추론이 나옵니다.

· 내부 힘만으로는 시스템의 질량 중심 이동 특성을 변경할 수 없습니다.

· 시스템에 작용하는 외부 힘의 주요 벡터가 0이면 질량 중심은 정지 상태이거나 균일하고 직선으로 움직입니다.

· 특정 고정 축에 대한 시스템 외부 힘의 주요 벡터 투영이 0과 같으면 시스템 질량 중심의 속도를 이 축에 투영하는 것은 변경되지 않습니다.

· 강체에 적용된 한 쌍의 힘은 질량 중심의 움직임을 변경할 수 없습니다(강체는 질량 중심을 중심으로 회전할 수만 있습니다).

질량 중심의 운동 보존 법칙을 설명하는 예를 고려해 보겠습니다.

예시 3.두 덩어리는 블록을 통해 던져진 확장 불가능한 실로 연결됩니다. (그림 3.5), 질량이 있는 쐐기에 고정됨 중.쐐기는 매끄러운 수평면에 놓여 있습니다. 초기에는 시스템이 정지 상태였습니다. 첫 번째 하중이 일정 높이까지 낮아졌을 때 평면을 따라 쐐기의 변위를 구합니다. N.블록과 스레드의 질량을 무시합니다.

해결책.하중과 함께 쐐기에 작용하는 외부 힘은 중력이며, 마그네슘, 뿐만 아니라 매끄러운 수평 표면 N의 정상적인 반응. 결과적으로,

초기 순간에 시스템이 정지 상태였으므로 우리는 .

현재 시스템의 질량 중심 좌표를 계산해 보겠습니다. 티 1 짐의 무게가 나갈 때 g높이까지 내려갈 것이다 시간.

현재로서는:

,

어디 , , X– 각각 g, g 및 쐐기 무게의 무게 중심 좌표 중g.

순간의 쐐기가 축의 양의 방향으로 움직인다고 가정하자. 황소금액으로 엘, 하중의 무게가 높이까지 떨어지면 N.그럼 지금은

왜냐하면 쐐기와 함께 하중이 이동합니다. 엘오른쪽으로 이동하면 하중이 쐐기를 따라 위쪽으로 이동합니다. 이후 , 계산 후에 우리는 다음을 얻습니다.

.

3.4. 시스템 이동량

3.4.1. 시스템 운동량 계산

물질 점의 운동량은 점의 질량과 속도 벡터의 곱과 같은 벡터량입니다.

운동량 측정 단위 -

기계 시스템의 운동량은 시스템의 개별 지점 운동량의 벡터 합입니다.

어디 N – 시스템의 포인트 수.

기계 시스템의 운동량은 시스템의 질량으로 표현될 수 있습니다. 중그리고 질량중심의 속도. 정말,

저것들. 시스템의 운동량은 전체 시스템의 질량과 질량 중심의 속도를 곱한 것과 같습니다.방향은 방향과 같습니다 (그림 3.6)

직사각형 축에 대한 투영에서 우리는

여기서 , 는 시스템의 질량 중심 속도를 투영한 것입니다.

여기 중– 기계 시스템의 질량; 시스템이 움직일 때 변경되지 않습니다.

이러한 결과는 강체의 운동량을 계산할 때 특히 편리하게 사용할 수 있습니다.

공식 (3.7)에서 기계 시스템이 질량 중심이 고정된 방식으로 움직이는 경우 시스템의 운동량은 0으로 유지된다는 것이 분명합니다.

3.4.2. 기본 및 최대 힘 충격

시간이 지남에 따라 물질적 지점에 힘이 작용하는 현상 dt기본적인 충동을 특징으로 할 수 있습니다. 시간에 따른 총 힘 충격량 티, 또는 공식에 의해 결정되는 힘 충격

또는 축 좌표에 대한 투영에서

(3.8a)

힘 충격량의 단위는 입니다.

3.4.3. 시스템의 운동량 변화에 관한 정리

외부 및 내부 힘이 시스템의 지점에 적용되도록 합니다. 그런 다음 시스템의 각 지점에 대해 미분 운동 법칙(3.3)을 적용할 수 있습니다. :

.

시스템의 모든 점을 요약하면 다음과 같습니다.

내부 힘의 속성과 정의에 따라 우리는

(3.9)

이 방정식의 양변에 다음을 곱합니다. dt, 우리는 미분 형태의 운동량 변화에 대한 정리를 얻습니다.

, (3.10)

저것들. 기계 시스템의 차등 운동량은 기계 시스템의 지점에 작용하는 모든 외부 힘의 기본 충격량의 벡터 합과 같습니다.

0에서 시간에 따른 양변(3.10)의 적분을 계산합니다. 티, 우리는 유한 또는 적분 형태로 정리를 얻습니다.

(3.11)

좌표축에 대한 투영에서 우리는

시간에 따른 기계 시스템의 운동량 변화티는 동시에 기계 시스템의 지점에 작용하는 외부 힘의 모든 자극의 벡터 합과 같습니다.

예시 4.짐 무게 중 힘의 영향을 받아 정지 상태에서 경사면을 따라 내려옵니다. 에프, 시간에 비례: , 여기서 (그림 3.7). 이후 신체는 어떤 속도를 얻게 될까요? 티 이동 시작 후 몇 초 후, 경사면에 가해지는 하중의 미끄럼 마찰 계수가 다음과 같다면 에프.

해결책.하중에 가해지는 힘을 묘사해 보겠습니다. mg - 부하 중력, N는 평면의 정상 반력이고, 는 평면에 가해지는 하중의 미끄럼 마찰력이고, 입니다. 모든 힘의 방향은 다음과 같습니다. (그림 3.7).

축을 지향하자 엑스경사면을 따라 아래쪽으로. 축에 투영할 때 운동량 변화(3.11)에 대한 정리를 작성해 보겠습니다. 엑스:

(에이)

조건에 따르면, 왜냐하면 초기 순간에는 부하가 정지 상태였습니다. x 축에 대한 모든 힘의 충격 투영의 합은 다음과 같습니다.

따라서,

,

.

3.4.4. 운동량 보존 법칙

보존 법칙은 운동량 변화에 관한 정리의 특별한 경우로 얻어집니다. 두 가지 특별한 경우가 가능합니다.

· 시스템에 적용된 모든 외부 힘의 벡터 합이 0인 경우, 즉 , 그러면 정리로부터 다음과 같습니다 (3.9) , 무엇 ,

저것들. 시스템의 외부 힘의 주요 벡터가 0이면 시스템의 운동량은 크기와 방향이 일정합니다.

· 외력의 주요 벡터를 어떤 것에 투영하는 경우 좌표축예를 들어 0과 같습니다. 아, 즉 이면 이 축에 대한 운동량의 투영은 일정한 값입니다.

운동량 보존 법칙을 적용하는 예를 생각해 봅시다.

실시예 5.탄도 진자는 긴 실에 질량이 매달려 있는 몸체입니다. (그림 3.8).

속도로 움직이는 질량의 총알 다섯정지해 있는 몸에 부딪혀 그 안에 갇히게 되고 몸이 이탈하게 됩니다. 몸이 높이 올라갈 때 총알의 속도는 얼마입니까? 시간 ?

해결책.총알이 박힌 몸이 속도를 얻도록 하세요. 그런 다음 두 물체의 상호 작용 동안 운동량 보존 법칙을 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있습니다. .

속도는 역학적 에너지 보존 법칙을 사용하여 계산할 수 있습니다. . 그 다음에 . 그 결과 우리는

.

실시예 6. 물이 고정된 수로로 들어감 (그림 3.9)수평에 대한 각도로 속도가 변하는 가변 단면; 정사각형 단면입구의 채널; 수로 출구에서 물의 속도는 수평선과 각도를 이룹니다.

물이 수로 벽에 미치는 반응의 수평 성분을 결정합니다. 물의 밀도 .

해결책.우리는 수로 벽이 물에 미치는 반응의 수평 성분을 결정할 것입니다. 이 힘은 원하는 힘과 크기가 같고 부호가 반대입니다. (3.11a)에 따르면,

. (에이)

시간 t 동안 채널로 들어가는 액체 부피의 질량을 계산합니다.

rAV 0 값이 호출됩니다. 두 번째 질량 - 단위 시간당 파이프의 모든 부분을 흐르는 액체의 질량.

같은 시간 동안 같은 양의 물이 운하를 빠져나갑니다. 초기 및 최종 속도는 조건에 제공됩니다.

시스템(물)에 가해지는 외부 힘의 수평축에 대한 투영의 합을 결정하는 우변(a)을 계산해 보겠습니다. 유일한 수평 힘은 결과적인 벽 반력의 수평 성분입니다. 수신. 이 힘은 물이 꾸준히 움직이는 동안 일정합니다. 그렇기 때문에

. (다섯)

(b)와 (c)를 (a)에 대입하면 다음을 얻습니다.

3.5. 시스템의 운동 모멘트

3.5.1. 시스템의 추진력의 주요 순간

중심이라고 불리는 어떤 점 A를 기준으로 시스템의 질량을 갖는 점의 반경 벡터라고 하자. (그림 3.10).

점의 운동량(동적 모멘트) 센터 A를 기준으로벡터라고 불림 , 공식에 의해 결정됨

. (3.12)

이 경우 벡터는 중심을 통과하는 평면에 수직으로 향함 에이그리고 벡터 .

축을 기준으로 한 점의 운동량(동적 모멘트)이 축에서 선택한 중심에 대한 점의 운동량 순간을 이 축에 투영하는 것입니다.

중심 A에 대한 시스템의 주요 운동량 모멘트(운동 모멘트)수량이라고 합니다

(3.13)

축에 대한 시스템의 주요 운동량(운동적 모멘트)이 축에 선택된 시스템에 대한 시스템의 주요 운동량 모멘트를 이 축에 투영하는 것을 호출합니다. 중심축.

3.5.2. 회전축을 중심으로 회전하는 강체의 운동 모멘트

고정점을 맞춰보자 에 대한회전축 위에 누워 있는 몸 에 대한지, 좌표계의 원점과 함께 오오지, 축이 몸체와 함께 회전합니다. (그림 3.11). 좌표 원점을 기준으로 몸체 점의 반경 벡터를 축으로 투영하면 , , 로 표시됩니다. 우리는 0, 0, ()와 동일한 축에 신체의 각속도 벡터의 투영을 나타냅니다.

신체 시스템의 역학에 관한 일반 정리. 질량 중심의 움직임, 운동량의 변화, 주 각운동량의 변화, 운동 에너지의 변화에 ​​관한 정리. D'Alembert의 원리와 가능한 동작. 역학의 일반 방정식. 라그랑주 방정식.

강체와 신체 시스템의 역학에 관한 일반 정리

역학의 일반 정리- 이것은 기계 시스템의 질량 중심 이동에 관한 정리, 운동량 변화에 관한 정리, 주 각운동량(운동 모멘트) 변화에 관한 정리, 운동 에너지 변화에 관한 정리입니다. 기계 시스템의.

기계 시스템의 질량 중심 운동에 관한 정리

질량중심의 운동에 관한 정리.
시스템의 질량과 질량 중심의 가속도의 곱은 시스템에 작용하는 모든 외부 힘의 벡터 합과 같습니다.
.

여기서 M은 시스템의 질량입니다.
;
a C는 시스템 질량 중심의 가속도입니다.
;
v C - 시스템 질량 중심의 속도:
;
r C - 시스템 질량 중심의 반경 벡터(좌표):
;
- 시스템을 구성하는 점의 좌표(고정 중심 기준) 및 질량.

운동량 변화에 관한 정리 (운동량)

시스템의 운동량(충격)전체 시스템의 질량에 질량 중심의 속도를 곱하거나 시스템을 구성하는 개별 지점 또는 부품의 운동량(충동량의 합)을 곱한 것과 같습니다.
.

미분 형태의 운동량 변화에 관한 정리.
시스템의 운동량(운동량)의 시간 도함수는 시스템에 작용하는 모든 외부 힘의 벡터 합과 같습니다.
.

적분 형태의 운동량 변화에 관한 정리.
특정 기간 동안 시스템의 운동량(운동량) 변화는 같은 기간 동안 외부 힘의 충격량의 합과 같습니다.
.

운동량 보존 법칙 (운동량).
시스템에 작용하는 모든 외부 힘의 합이 0이면 시스템의 운동량 벡터는 일정합니다. 즉, 좌표축의 모든 투영은 일정한 값을 유지합니다.

임의의 축에 대한 외부 힘 투영의 합이 0이면 이 축에 대한 시스템의 운동량 투영은 일정합니다.

주각운동량 변화에 관한 정리(모멘트 정리)

주어진 중심 O에 대한 시스템의 주요 각운동량은 이 중심에 대한 시스템의 모든 점의 각운동량의 벡터 합과 동일한 양이라고 합니다.
.
여기서 대괄호는 교차곱을 나타냅니다.

부속 시스템

다음 정리는 기계 시스템에 관성 기준계를 기준으로 고정된 고정점 또는 축이 있는 경우에 적용됩니다. 예를 들어 구형 베어링으로 ​​고정된 본체입니다. 또는 고정된 중심 주위를 움직이는 신체 시스템입니다. 또한 본체 또는 본체 시스템이 회전하는 고정 축일 수도 있습니다. 이 경우 모멘트는 고정축에 대한 충격력과 힘의 모멘트로 이해되어야 합니다.

주각운동량 변화에 관한 정리(모멘트 정리)
고정된 중심 O에 대한 시스템의 주요 각운동량의 시간 도함수는 동일한 중심에 대한 시스템의 모든 외부 힘의 모멘트의 합과 같습니다.

주각운동량(각운동량) 보존 법칙.
주어진 고정 중심 O를 기준으로 시스템에 적용되는 모든 외부 힘의 모멘트의 합이 0이면 이 중심을 기준으로 하는 시스템의 주요 각운동량은 일정합니다. 즉, 좌표축의 모든 투영은 일정한 값을 유지합니다.

일부 고정 축에 대한 외부 힘의 모멘트 합이 0이면 이 축에 대한 시스템의 각운동량은 일정합니다.

임의 시스템

다음 정리는 보편적인 성격을 갖고 있습니다. 이는 고정식 시스템과 자유롭게 움직이는 시스템 모두에 적용됩니다. 고정 시스템의 경우 고정 지점에서의 연결 반응을 고려해야 합니다. 고정점 O 대신 시스템의 질량 중심 C를 취해야 한다는 점에서 이전 정리와 다릅니다.

질량 중심에 대한 모멘트 정리
질량 중심 C에 대한 시스템의 주요 각운동량의 시간 도함수는 동일한 중심에 대한 시스템의 모든 외부 힘의 모멘트의 합과 같습니다.

각운동량 보존의 법칙.
질량 중심 C를 기준으로 시스템에 적용되는 모든 외부 힘의 모멘트 합이 0이면 이 중심을 기준으로 시스템의 주요 운동량 모멘트는 일정합니다. 즉, 좌표축의 모든 투영은 일정한 값을 유지합니다.

몸체의 관성 모멘트

몸이 z축을 중심으로 회전하는 경우각속도 Ω z를 사용하면 z 축에 대한 각운동량(운동 모멘트)은 다음 공식에 의해 결정됩니다.
Lz = Jz Ω z ,
여기서 J z는 z 축에 대한 몸체의 관성 모멘트입니다.

z축에 대한 몸체의 관성 모멘트다음 공식에 의해 결정됩니다.
,
여기서 h k는 질량이 m k인 지점에서 z축까지의 거리입니다.
질량이 M이고 반경이 R인 얇은 고리 또는 질량이 가장자리를 따라 분포되어 있는 원통의 경우,
J z = M R 2 .
견고한 균질 링 또는 실린더의 경우,
.

슈타이너-호이겐스 정리.
Cz를 물체의 질량 중심을 통과하는 축, Oz를 물체의 질량 중심과 평행한 축으로 설정합니다. 그런 다음 이 축에 대한 몸체의 관성 모멘트는 다음 관계식으로 관련됩니다.
J 오즈 = J Cz + M a 2 ,
여기서 M은 체중이고; a는 축 사이의 거리입니다.

보다 일반적인 경우:
,
신체의 관성 텐서는 어디에 있습니까?
여기에 물체의 질량 중심에서 질량이 m k인 점까지 그려진 벡터가 있습니다.

운동에너지 변화에 관한 정리

질량 M의 몸체가 일부 축 z를 중심으로 각속도 Ω으로 병진 및 회전 운동을 수행한다고 가정합니다.
,
그런 다음 신체의 운동 에너지는 다음 공식에 의해 결정됩니다.
여기서 v C는 신체 질량 중심의 이동 속도입니다.

J Cz는 회전축과 평행한 몸체의 질량 중심을 통과하는 축에 대한 몸체의 관성 모멘트입니다. 회전축의 방향은 시간이 지남에 따라 바뀔 수 있습니다. 이 공식은 운동에너지의 순간값을 제공합니다.
미분 형태의 시스템의 운동 에너지 변화에 관한 정리.
.

일부 이동 중 시스템의 운동 에너지의 미분(증분)은 시스템에 적용되는 모든 외부 및 내부 힘의 이 이동에 대한 작업 미분의 합과 같습니다.
적분 형태의 시스템의 운동 에너지 변화에 관한 정리.
.

일부 이동 중 시스템의 운동 에너지 변화는 시스템에 적용되는 모든 외부 및 내부 힘의 이동에 대한 작업의 합과 같습니다.힘이 행한 일은
,
는 힘 벡터와 적용 지점의 극소 변위의 스칼라 곱과 같습니다.

즉, 벡터 F와 ds의 절대값과 그 사이의 각도의 코사인을 곱한 것입니다.힘의 순간이 하는 일
.

는 토크 벡터와 극소 회전 각도의 스칼라 곱과 같습니다.

d'Alembert 원리의 본질은 동역학 문제를 정역학 문제로 축소하는 것입니다. 이를 위해 시스템 본체에 특정(각) 가속도가 있다고 가정합니다(또는 미리 알고 있음). 다음으로, 역학 법칙에 따라 주어진 가속도 또는 각가속도를 생성하는 힘 및 힘의 모멘트와 크기가 같고 방향이 반대인 관성력 및/또는 관성력 모멘트가 도입됩니다.

예를 살펴보겠습니다. 신체는 병진 운동을 하며 외부 힘에 의해 작용합니다. 우리는 또한 이러한 힘이 시스템의 질량 중심의 가속도를 생성한다고 가정합니다. 질량중심의 운동에 관한 정리에 따르면, 물체에 힘이 작용하면 물체의 질량중심은 동일한 가속도를 갖게 됩니다. 다음으로 관성력을 소개합니다.
.
그 후 역학 문제는 다음과 같습니다.
.
;
.

회전 운동의 경우에도 동일한 방식으로 진행합니다. 몸체가 z축을 중심으로 회전하고 외부 힘 모멘트 M e zk 에 의해 작용하도록 합니다.
.
우리는 이러한 순간이 각가속도 ε z를 생성한다고 가정합니다.
;
.

다음으로 관성력 M И = - J z ε z의 모멘트를 소개합니다.

그 후 역학 문제는 다음과 같습니다.

정적 문제로 변합니다..
가능한 움직임의 원리

가능한 변위의 원리는 정적 문제를 해결하는 데 사용됩니다. 일부 문제에서는 평형 방정식을 구성하는 것보다 더 짧은 솔루션을 제공합니다. 이는 특히 많은 몸체로 구성된 연결이 있는 시스템(예: 스레드와 블록으로 연결된 몸체 시스템)에 해당됩니다.가능한 움직임의 원리

이상적인 연결을 갖춘 기계 시스템의 평형을 위해서는 시스템의 가능한 모든 움직임에 대해 작용하는 모든 활성 힘의 기본 작업의 합이 0이 되는 것이 필요하고 충분합니다.가능한 시스템 재배치

- 시스템에 부과된 연결이 끊어지지 않는 작은 움직임입니다.

이상적인 연결

- 시스템이 이동할 때 작업을 수행하지 않는 연결입니다. 보다 정확하게는 시스템을 이동할 때 연결 자체가 수행하는 작업량은 0입니다..
일반 동역학 방정식(D'Alembert - Lagrange 원리)
.
D'Alembert-Lagrange 원리는 D'Alembert 원리와 가능한 움직임의 원리를 결합한 것입니다. 즉, 동적 문제를 해결할 때 관성력을 도입하고 문제를 정적 문제로 축소하여 가능한 변위 원리를 사용하여 해결합니다. 달랑베르-라그랑주 원리이상적인 연결을 갖춘 기계 시스템이 움직일 때 매 순간 시스템의 가능한 모든 움직임에 적용되는 모든 활성 힘과 모든 관성력의 기본 작업의 합은 0입니다..

라그랑주 방정식

일반화된 q 좌표 1 , q 2 , ..., q n 시스템의 위치를 ​​고유하게 결정하는 n개의 수량 집합입니다.

일반화된 좌표의 수 n은 시스템의 자유도 수와 일치합니다.

일반화된 속도시간 t에 대한 일반화된 좌표의 파생물입니다.

일반화된 힘 Q 1 , Q 2 , ..., Qn .
좌표 q k가 움직임 δq k를 받는 시스템의 가능한 움직임을 생각해 봅시다.
나머지 좌표는 변경되지 않습니다. δA k를 그러한 운동 동안 외부 힘에 의해 수행된 일이라고 하자. 그 다음에
.

δAk = Qk δqk, 또는
시스템의 가능한 이동으로 인해 모든 좌표가 변경되면 해당 이동 중에 외부 힘에 의해 수행되는 작업은 다음과 같은 형식을 갖습니다. δA = Q.
1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q n δq n
.

그런 다음 일반화된 힘은 변위에 대한 작업의 부분 파생물입니다.잠재적인 힘의 경우
.

잠재력 Π를 가지고,라그랑주 방정식

일반화된 좌표에서 기계 시스템의 운동 방정식은 다음과 같습니다.
.

여기서 T는 운동에너지이다. 이는 일반화된 좌표, 속도 및 시간의 함수입니다. 따라서 편미분은 일반화된 좌표, 속도 및 시간의 함수이기도 합니다. 다음으로 좌표와 속도가 시간의 함수라는 점을 고려해야 합니다. 따라서 시간에 대한 전체 도함수를 찾으려면 복소 함수의 미분 규칙을 적용해야 합니다.
사용된 문헌:

기계 시스템에 많은 수의 재료 점이 포함되어 있거나 비병진 운동을 수행하는 절대적으로 강체()를 포함하는 경우 기계 시스템 역학의 주요 문제를 해결하기 위해 미분 운동 방정식 시스템을 사용합니다. 사실상 불가능하다고 나옵니다. 그러나 많은 엔지니어링 문제를 해결할 때 기계 시스템의 각 지점의 움직임을 별도로 결정할 필요는 없습니다. 때로는 운동 방정식 시스템을 완전히 풀지 않고도 연구 중인 운동 과정의 가장 중요한 측면에 대한 결론을 도출하는 것으로 충분할 수 있습니다. 기계 시스템의 미분 운동 방정식으로부터 얻은 이러한 결론은 일반 동역학 정리의 내용을 구성합니다. 일반 정리는 첫째, 다양한 문제에 공통적이고 미분 운동 방정식에서 정리를 도출할 때 단번에 수행되는 수학적 변환을 각 개별 사례에서 수행할 필요가 없도록 해줍니다. 둘째, 일반 정리는 명확한 물리적 의미를 갖는 기계 시스템 운동의 일반적으로 집합된 특성 간의 연결을 제공합니다. 이것들 일반적인 특성, 운동량, 각운동량, 기계 시스템의 운동 에너지 등을 호출합니다. 기계 시스템의 움직임 측정.

운동의 첫 번째 척도는 기계 시스템의 운동량입니다.

물질 점의 운동량은 점의 질량과 속도의 곱과 같은 운동의 벡터 측정값입니다.

.

기계 시스템의 운동량은 운동의 벡터 척도이며, 해당 점의 운동량의 합과 같습니다.

, (13.1)

식 (23.1)의 우변을 변환해 보겠습니다.

어디
- 전체 시스템의 질량,
- 질량 중심의 속도.

따라서, 기계 시스템의 운동량은 시스템의 전체 질량이 집중되어 있는 경우 질량 중심의 운동량과 같습니다.

.

충격력

힘과 그 작용의 기본 시간 간격의 곱
기본적인 힘의 충동이라 불린다.

권력의 충동 일정 기간 동안의 힘의 기본 충동의 적분이라고합니다

.

기계 시스템의 운동량 변화에 관한 정리

각 지점에 대해 보자
기계 시스템은 외부 힘의 결과로 작용합니다. 그리고 내부 힘의 결과 .

기계 시스템의 역학에 대한 기본 방정식을 고려해 봅시다

에 대해 항별로 방정식(13.2)을 추가합니다. N시스템의 포인트, 우리는 얻을

(13.3)

오른쪽의 첫 번째 합은 주 벡터와 같습니다. 시스템의 외부 힘. 두 번째 합은 시스템의 내부 힘의 특성으로 인해 0과 같습니다. 고려해 봅시다 왼쪽평등(13.3):

따라서 우리는 다음을 얻습니다.

, (13.4)

또는 좌표축의 투영에서

(13.5)

등식 (13.4)와 (13.5)는 기계 시스템의 운동량 변화에 대한 정리를 표현합니다.

기계 시스템의 운동량의 시간 미분은 기계 시스템의 모든 외부 힘의 주요 벡터와 같습니다.

이 정리는 또한 티 0 ~ 티:

, (13.6)

어디
, 그리고 오른쪽의 적분은 다음에 대한 외부 힘의 충격입니다.

시간 티-티 0 .

평등(13.6)은 정리를 적분 형식으로 제시합니다.

유한한 시간 동안 기계 시스템의 운동량 증가는 이 시간 동안 외부 힘의 충격량과 같습니다.

정리라고도 불린다. 운동량 정리.

좌표축에 대한 투영에서 정리는 다음과 같이 작성됩니다.

추론(운동량 보존 법칙)

1). 고려된 기간 동안 외력의 주요 벡터가 0이면 기계 시스템의 운동량은 일정합니다. 만약에
,
.

2). 고려 중인 기간 동안 임의의 축에 대한 외부 힘의 주요 벡터 투영이 0이면 이 축에 대한 기계 시스템의 운동량 투영은 일정합니다.

저것들. 만약에
저것
.