신체 시스템의 역학에 관한 일반 정리. 질량 중심의 움직임, 운동량의 변화, 주 각운동량의 변화, 운동 에너지의 변화에 ​​관한 정리. D'Alembert의 원리와 가능한 동작. 역학의 일반 방정식. 라그랑주 방정식.

강체와 신체 시스템의 역학에 관한 일반 정리

역학의 일반 정리- 이것은 기계 시스템의 질량 중심 이동에 관한 정리, 운동량 변화에 관한 정리, 주 각운동량(운동 모멘트) 변화에 관한 정리, 운동 에너지 변화에 관한 정리입니다. 기계 시스템의.

기계 시스템의 질량 중심 운동에 관한 정리

질량중심의 운동에 관한 정리.
시스템의 질량과 질량 중심의 가속도의 곱은 시스템에 작용하는 모든 외부 힘의 벡터 합과 같습니다.
.

여기서 M은 시스템의 질량입니다.
;
a C는 시스템 질량 중심의 가속도입니다.
;
v C - 시스템 질량 중심의 속도:
;
r C - 시스템 질량 중심의 반경 벡터(좌표):
;
- 시스템을 구성하는 점의 좌표(고정 중심 기준) 및 질량.

운동량 변화에 관한 정리 (운동량)

시스템의 운동량(충격)전체 시스템의 질량에 질량 중심의 속도를 곱하거나 시스템을 구성하는 개별 지점 또는 부품의 운동량(충동량의 합)을 곱한 것과 같습니다.
.

미분 형태의 운동량 변화에 관한 정리.
시스템의 운동량(운동량)의 시간 도함수는 시스템에 작용하는 모든 외부 힘의 벡터 합과 같습니다.
.

적분 형태의 운동량 변화에 관한 정리.
특정 기간 동안 시스템의 운동량(운동량) 변화는 같은 기간 동안 외부 힘의 충격량의 합과 같습니다.
.

운동량 보존 법칙 (운동량).
시스템에 작용하는 모든 외부 힘의 합이 0이면 시스템의 운동량 벡터는 일정합니다. 즉, 좌표축의 모든 투영은 일정한 값을 유지합니다.

임의의 축에 대한 외부 힘 투영의 합이 0이면 이 축에 대한 시스템의 운동량 투영은 일정합니다.

주각운동량 변화에 관한 정리(모멘트 정리)

주어진 중심 O에 대한 시스템의 주요 각운동량은 이 중심에 대한 시스템의 모든 점의 각운동량의 벡터 합과 같은 양입니다.
.
여기서 대괄호는 교차곱을 나타냅니다.

부속 시스템

다음 정리는 기계 시스템에 관성 기준계를 기준으로 고정된 고정점 또는 축이 있는 경우에 적용됩니다. 예를 들어 구형 베어링으로 ​​고정된 본체입니다. 또는 고정된 중심을 중심으로 움직이는 신체 시스템입니다. 또한 본체 또는 본체 시스템이 회전하는 고정 축일 수도 있습니다. 이 경우 모멘트는 고정축에 대한 충격력과 힘의 모멘트로 이해되어야 합니다.

주각운동량 변화에 관한 정리(모멘트 정리)
고정된 중심 O에 대한 시스템의 주요 각운동량의 시간 도함수는 동일한 중심에 대한 시스템의 모든 외부 힘의 모멘트의 합과 같습니다.

주각운동량 보존 법칙(각운동량).
주어진 고정 중심 O를 기준으로 시스템에 적용되는 모든 외부 힘의 모멘트의 합이 0과 같으면 급소이 중심에 대한 시스템의 운동량은 일정합니다. 즉, 좌표축의 모든 투영은 일정한 값을 유지합니다.

일부 고정 축에 대한 외부 힘의 모멘트 합이 0이면 이 축에 대한 시스템의 각운동량은 일정합니다.

임의 시스템

다음 정리는 보편적인 성격을 갖고 있습니다. 이는 고정 시스템과 자유롭게 움직이는 시스템 모두에 적용됩니다. 고정 시스템의 경우 고정 지점에서의 연결 반응을 고려해야 합니다. 고정점 O 대신 시스템의 질량 중심 C를 취해야 한다는 점에서 이전 정리와 다릅니다.

질량 중심에 대한 모멘트 정리
질량 중심 C에 대한 시스템의 주요 각운동량의 시간 도함수는 동일한 중심에 대한 시스템의 모든 외부 힘의 모멘트의 합과 같습니다.

각운동량 보존의 법칙.
질량 중심 C를 기준으로 시스템에 적용되는 모든 외부 힘의 모멘트의 합이 0이면 이 중심을 기준으로 하는 시스템의 주요 운동량 모멘트는 일정합니다. 즉, 좌표축의 모든 투영은 일정한 값을 유지합니다.

몸체의 관성 모멘트

몸이 z축을 중심으로 회전하는 경우와 함께 각속도Ω z이면 z 축에 대한 각운동량(운동 모멘트)은 다음 공식에 의해 결정됩니다.
Lz = Jz Ω z ,
여기서 J z는 z 축에 대한 몸체의 관성 모멘트입니다.

z축에 대한 몸체의 관성 모멘트다음 공식에 의해 결정됩니다.
,
여기서 h k는 질량이 m k인 지점에서 z축까지의 거리입니다.
질량이 M이고 반경이 R인 얇은 고리 또는 질량이 가장자리를 따라 분포되어 있는 원통의 경우,
J z = M R 2 .
견고한 균질 링 또는 실린더의 경우,
.

슈타이너-호이겐스 정리.
Cz를 물체의 질량 중심을 통과하는 축, Oz와 평행한 축으로 설정합니다. 그런 다음 이 축에 대한 몸체의 관성 모멘트는 다음 관계식으로 관련됩니다.
J 오즈 = J Cz + M a 2 ,
여기서 M은 체중이고; a는 축 사이의 거리입니다.

더 많은 일반적인 경우 :
,
신체의 관성 텐서는 어디에 있습니까?
여기에 물체의 질량 중심에서 질량이 m k인 점까지 그려진 벡터가 있습니다.

운동에너지 변화에 관한 정리

질량 M인 몸체가 일부 축 z를 중심으로 각속도 Ω으로 병진 및 회전 운동을 수행한다고 가정합니다.
,
그런 다음 신체의 운동 에너지는 다음 공식에 의해 결정됩니다.
여기서 v C는 신체 질량 중심의 이동 속도입니다.

J Cz는 회전축과 평행한 몸체의 질량 중심을 통과하는 축에 대한 몸체의 관성 모멘트입니다. 회전축의 방향은 시간이 지남에 따라 바뀔 수 있습니다. 이 공식은 운동에너지의 순간값을 제공합니다.
미분 형태의 시스템의 운동 에너지 변화에 관한 정리.
.

적분 형태의 시스템의 운동 에너지 변화에 관한 정리.
일부 이동 중 시스템의 운동 에너지 변화는 시스템에 적용되는 모든 외부 및 내부 힘이 해당 이동에 수행된 작업의 합과 같습니다.
.

힘이 행한 일은는 힘 벡터와 적용 지점의 극소 변위의 스칼라 곱과 같습니다.
,
즉, 벡터 F와 ds의 절대값과 그 사이의 각도의 코사인을 곱한 것입니다.

힘의 순간이 하는 일는 토크 벡터와 극소 회전 각도의 스칼라 곱과 같습니다.
.

달랑베르의 원리

d'Alembert 원리의 본질은 동역학 문제를 정역학 문제로 축소하는 것입니다. 이를 위해 시스템 본체에 특정(각) 가속도가 있다고 가정합니다(또는 미리 알고 있음). 다음으로, 역학 법칙에 따라 주어진 가속도 또는 각가속도를 생성하는 힘 및 힘의 모멘트와 크기가 같고 방향이 반대인 관성력 및/또는 관성력 모멘트가 도입됩니다.

예를 살펴보겠습니다. 신체는 병진 운동을 하며 외부 힘에 의해 작용합니다. 우리는 또한 이러한 힘이 시스템의 질량 중심의 가속도를 생성한다고 가정합니다. 질량중심의 운동에 관한 정리에 따르면, 물체에 힘이 작용하면 물체의 질량중심은 동일한 가속도를 갖게 됩니다. 다음으로 관성력을 소개합니다.
.
그 후 역학 문제는 다음과 같습니다.
.
;
.

회전 운동의 경우에도 동일한 방식으로 진행합니다. 몸체가 z축을 중심으로 회전하고 외부 힘 모멘트 M e zk 에 의해 작용하도록 합니다.
.
우리는 이러한 순간이 각가속도 ε z를 생성한다고 가정합니다.
;
.

다음으로 관성력 M И = - J z ε z의 모멘트를 소개합니다.

그 후 역학 문제는 다음과 같습니다.

정적 문제로 변합니다..
가능한 움직임의 원리

가능한 변위의 원리는 정적 문제를 해결하는 데 사용됩니다. 일부 문제에서는 평형 방정식을 구성하는 것보다 더 짧은 솔루션을 제공합니다. 이는 특히 많은 몸체로 구성된 연결이 있는 시스템(예: 스레드와 블록으로 연결된 몸체 시스템)에 해당됩니다.가능한 움직임의 원리

이상적인 연결을 갖춘 기계 시스템의 평형을 위해서는 시스템의 가능한 모든 움직임에 대해 작용하는 모든 활성 힘의 기본 작업의 합이 0이 되는 것이 필요하고 충분합니다.가능한 시스템 재배치

일반 동역학 방정식(D'Alembert - Lagrange 원리)

D'Alembert-Lagrange 원리는 D'Alembert 원리와 가능한 움직임의 원리를 결합한 것입니다. 즉, 동적 문제를 해결할 때 관성력을 도입하고 문제를 정적 문제로 축소하여 가능한 변위 원리를 사용하여 해결합니다.

달랑베르-라그랑주 원리.
이상적인 연결을 갖춘 기계 시스템이 움직일 때 매 순간 시스템의 가능한 모든 움직임에 적용되는 모든 활성 힘과 모든 관성력의 기본 작업의 합은 0입니다.
.
이 방정식은 일반 방정식스피커.

라그랑주 방정식

일반화된 q 좌표 1 , q 2 , ..., q n 시스템의 위치를 ​​고유하게 결정하는 n개의 수량 집합입니다.

일반화된 좌표의 수 n은 시스템의 자유도 수와 일치합니다.

일반화된 속도시간 t에 대한 일반화된 좌표의 파생물입니다.

일반화된 힘 Q 1 , Q 2 , ..., Qn .
좌표 q k가 움직임 δq k를 받는 시스템의 가능한 움직임을 생각해 봅시다.
나머지 좌표는 변경되지 않습니다. δA k를 그러한 운동 동안 외부 힘에 의해 수행된 일이라고 가정합니다. 그 다음에
.

δAk = Qk δqk, 또는
시스템의 가능한 이동으로 인해 모든 좌표가 변경되면 해당 이동 중에 외부 힘에 의해 수행되는 작업은 다음과 같은 형식을 갖습니다. δA = Q.
1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q n δq n
.

그런 다음 일반화된 힘은 변위에 대한 작업의 부분 파생물입니다. 을 위한 잠재적 힘
.

잠재력 Π를 가지고,라그랑주 방정식

- 일반화된 좌표에서 기계 시스템의 운동 방정식은 다음과 같습니다.
.

여기서 T는 운동에너지이다. 이는 일반화된 좌표, 속도 및 시간의 함수입니다. 따라서 편미분은 일반화된 좌표, 속도 및 시간의 함수이기도 합니다. 다음으로 좌표와 속도가 시간의 함수라는 점을 고려해야 합니다. 따라서 시간에 대한 전체 도함수를 찾으려면 복소 함수의 미분 규칙을 적용해야 합니다.
사용된 문헌: SM 타르그,단기 코스

이론 역학, "고등학교", 2010.

벨로루시 공화국 농업식품부

교육 기관 "BELARUSIAN STATE AGRICULTURAL

기술대학"

이론역학과, 기계이론학과

이론역학

전문 학생을 위한 방법론적 복합체

74 06 농업공학

2부 1부

UDC 531.3(07) BBK 22.213ya7 T 33

물리 및 수리 과학 후보자, 부교수 Yu. S. Biza, 후보 기술 과학, N 부교수. L. Rakova, 수석 강사. A. 타라세비치

검토자:

교육 기관 "벨로루시 국립 기술 대학"의 이론 역학과 (수장)

이론역학과 BNTU 물리 및 수리 과학 박사 A. 교수 V. Chigarev);

국립 과학 기관 연합 기계 공학 연구소의 기계 시스템 진동 보호 연구실 수석 연구원

NAS of Belarus", 기술 과학 후보자, A. M. Goman 부교수

이론 역학. 섹션 "역학": 교육

T33 방법. 복잡한. 1부 / 편집자: Yu. S. Biza, N. L. Rakova, I. A. Tarasevich. – 민스크: BGATU, 2013. – 120p.

ISBN 978-985-519-616-8.

교육 및 방법론 콤플렉스는 "이론 역학" 분야의 일부인 "역학" 섹션 1을 연구하기 위한 자료를 제공합니다. 강의과정, 공연기초자료 등이 포함되어 있습니다. 실습 수업, 독립적인 작업 및 통제를 위한 할당 및 할당 샘플 교육 활동풀타임 및 파트타임 학생.

UDC 531.3(07) BBK 22.213ya7

소개

이론역학은 물질적 운동, 평형, 상호작용의 일반법칙에 관한 과학이다.

이것은 기본적인 일반 과학 물리-수학 분야 중 하나입니다. 이는 현대 기술의 이론적 기초입니다.

다른 물리적 및 수학적 학문과 함께 이론 역학에 대한 연구는 과학적 지평을 확장하고 구체적이고 추상적 사고 능력을 개발하며 미래 전문가의 일반적인 기술 문화를 개선하는 데 도움이 됩니다.

모든 기술 분야의 과학적 기반인 이론 역학은 기술 개발에 기여합니다. 합리적인 결정농업 및 토지 매립 기계 및 장비의 작동, 수리 및 설계와 관련된 엔지니어링 업무.

역학은 고려 중인 문제의 성격에 따라 정역학, 운동학, 동역학으로 구분됩니다. 역학(Dynamics)은 적용된 힘의 작용에 따른 물질적 신체의 움직임을 연구하는 이론 역학의 한 분야입니다.

안에 교육적이고 방법론적인콤플렉스(UMK)는 강의 과정, 지휘를 위한 기본 자료가 포함된 "역학" 섹션 학습을 위한 자료를 제공합니다. 실무, 작업 및 실행 샘플 독립적인 작업풀타임 및 파트타임 학생의 교육 활동을 모니터링합니다.

안에 '역학' 섹션을 공부한 결과, 학생은 다음을 배워야 합니다. 이론적 기초역학을 배우고 역학 문제를 해결하는 기본 방법을 익히십시오.

역학 문제를 해결하는 방법, 역학의 일반 정리, 역학의 원리를 알고 있습니다.

작용하는 힘에 따라 신체 운동의 법칙을 결정할 수 있습니다. 문제를 해결하기 위해 역학의 법칙과 정리를 적용합니다. 신체의 움직임을 제한하는 연결의 정적 및 동적 반응을 결정합니다.

"이론 역학" 분야의 커리큘럼은 "역학" 섹션 학습을 위한 36시간을 포함하여 총 136시간의 수업 시간을 제공합니다.

1. 교육 및 방법론 단지의 과학적 및 이론적 내용

1.1. 어휘

정역학은 힘의 일반적인 원리를 제시하고 감소를 연구하는 역학의 한 부분입니다. 복잡한 시스템힘을 가장 단순한 형태로 만들고 평형 조건이 확립됩니다. 다양한 시스템힘

운동학(Kinematics)은 운동을 일으키는 원인, 즉 물체에 작용하는 힘에 관계없이 물질 물체의 움직임을 연구하는 이론 역학의 한 분야입니다.

역학(Dynamics)은 적용된 힘의 작용 하에서 물질체(점)의 움직임을 연구하는 이론 역학의 한 분야입니다.

소재 포인트– 점의 움직임의 차이가 미미한 물질적 몸체.

물체의 질량은 주어진 물체에 포함된 물질의 양에 따라 달라지며 병진 운동 중 관성의 척도를 결정하는 양의 스칼라 수량입니다.

참조 시스템은 다른 본체의 움직임을 연구하는 데 사용되는 본체와 연관된 좌표계입니다.

관성 시스템- 동역학 제1법칙과 제2법칙을 만족하는 시스템.

힘 충격은 일정 시간 동안 힘의 작용을 벡터로 측정한 것입니다.

중요한 포인트의 모멘텀 – 점의 질량과 속도 벡터의 곱과 동일한 동작의 벡터 측정값입니다.

운동에너지– 기계적 운동의 스칼라 측정.

힘의 기본 작업는 힘 벡터와 힘 적용 지점의 무한한 작은 변위 벡터의 스칼라 곱과 동일한 무한소 스칼라 수량입니다.

운동에너지– 기계적 운동의 스칼라 측정.

물질점의 운동에너지는 스칼라 에너지이다.

점의 질량과 속도의 제곱의 곱의 절반에 해당하는 양의 양입니다.

기계 시스템의 운동 에너지 - 산술 -

이 시스템의 모든 물질 지점의 운동 에너지의 합입니다.

힘은 신체의 기계적 상호 작용을 측정하는 척도로 강도와 방향을 나타냅니다.

1.2. 강의주제 및 내용

섹션 1. 역학 소개. 기본 개념

고전역학

Topic 1. 물질점의 역학

물질점의 역학 법칙(갈릴레오의 법칙 – 뉴턴의 법칙) 물질 점의 운동 미분 방정식. 중요한 지점에 대한 역학의 두 가지 주요 문제. 역학의 두 번째 문제 해결; 적분 상수 및 초기 조건에 따른 결정.

문헌:, pp. 180-196, , pp. 12-26.

Topic 2. 물질의 상대운동 역학

재료 점의 상대적인 움직임. 점의 상대 운동에 대한 미분 방정식 휴대용 및 코리올리스 관성력. 고전 역학의 상대성 원리. 상대적인 평화의 경우.

문헌: , pp. 180-196, , pp. 127-155.

주제 3. 질량의 기하학. 기계 시스템의 질량 중심

시스템 질량. 시스템의 질량 중심과 좌표입니다.

문학:, 86-93면, 264-265면

주제 4. 강체의 관성 모멘트

축과 극에 대한 강체의 관성 모멘트입니다. 관성 반경. 평행축에 대한 관성 모멘트에 관한 정리. 일부 몸체의 축 관성 모멘트.

신체 비대칭의 특징인 관성 원심 모멘트.

문헌: , pp. 265-271, , pp. 155-173.

섹션 2. 물질점의 역학에 관한 일반 정리

기계 시스템

주제 5. 시스템의 질량 중심 운동에 관한 정리

시스템의 질량 중심 운동에 관한 정리. 시스템의 질량 중심 운동에 관한 정리의 추론.

문헌: , pp. 274-277, , pp. 175-192.

Topic 6. 머티리얼 포인트의 모멘텀

기계 시스템

재료점과 기계 시스템의 운동량. 유한한 시간 동안의 기본 충격량과 힘 충격량. 미분 및 적분 형태의 점과 시스템의 운동량 변화에 관한 정리. 운동량 보존의 법칙.

문헌: , pp. 280-284, , pp. 192-207.

Topic 7. 머티리얼 포인트의 모멘텀

중심과 축을 기준으로 한 기계 시스템

중심과 축을 기준으로 한 점의 운동량 모멘트입니다. 점의 각운동량 변화에 관한 정리. 중심과 축을 기준으로 하는 기계 시스템의 운동 모멘트입니다.

회전축을 중심으로 회전하는 강체의 운동 모멘트입니다. 시스템의 각운동량 변화에 관한 정리. 각운동량 보존의 법칙.

문헌: , pp. 292-298, , pp. 207-258.

주제 8. 일과 힘의 힘

힘의 기본 작업, 분석적 표현. 최종 경로에서 힘에 의해 수행된 작업입니다. 중력, 탄성력의 작용. 고체에 작용하는 내부 힘이 한 일의 합은 0과 같습니다. 고정된 축을 중심으로 회전하는 강체에 적용되는 힘의 작용입니다. 힘. 능률.

문헌: , pp. 208-213, , pp. 280-290.

Topic 9. 물질점의 운동에너지

기계 시스템

물질점과 기계시스템의 운동에너지. 다양한 운동 사례에서 강체의 운동 에너지를 계산합니다. Koenig의 정리. 미분 및 적분 형태의 점의 운동 에너지 변화에 관한 정리. 차동 및 적분 형태의 기계 시스템의 운동 에너지 변화에 관한 정리.

문헌: , pp. 301-310, , pp. 290-344.

주제 10. 잠재적 역장과 잠재력

역장의 개념. 잠재적 역장 및 힘 기능. 잠재적 역장에서 한 점의 최종 변위에 대한 힘의 작용입니다. 잠재력.

문헌: , pp. 317-320, , pp. 344-347.

주제 11. 강체 역학

강체의 병진 운동에 대한 미분 방정식. 고정 축을 중심으로 한 강체의 회전 운동에 대한 미분 방정식. 물리적 진자. 강체의 평면 운동에 대한 미분 방정식.

문헌: , pp. 323-334, , pp. 157-173.

섹션 1. 역학 소개. 기본 개념

고전역학

역학(Dynamics)은 적용된 힘의 작용 하에서 물질체(점)의 움직임을 연구하는 이론 역학의 한 분야입니다.

소재 본체- 질량이 있는 몸체.

소재 포인트– 점의 움직임의 차이가 미미한 물질적 몸체. 이는 이동 중 치수를 무시할 수 있는 본체이거나 병진 이동하는 경우 유한 치수의 본체일 수 있습니다.

머티리얼 포인트는 입자라고도 불립니다. 단단한동적 특성 중 일부를 결정할 때. 재료 점의 예(그림 1): a – 태양 주위의 지구의 움직임. 지구는 물질적 지점입니다. b – 강체의 병진 운동. 단단한 몸 - 어머니

모든 점, 왜냐하면 V B = V A ; a B = a A; c - 축을 중심으로 신체의 회전.

신체의 입자는 물질적 점입니다.

관성은 적용된 힘의 영향으로 이동 속도를 더 빠르게 또는 느리게 변경하는 물질 몸체의 속성입니다.

물체의 질량은 주어진 물체에 포함된 물질의 양에 따라 달라지며 병진 운동 중 관성의 척도를 결정하는 양의 스칼라 수량입니다. 고전 역학에서 질량은 일정한 양입니다.

힘은 물체 사이 또는 물체(점)와 장(전기, 자기 등) 사이의 기계적 상호 작용을 정량적으로 측정한 것입니다.

힘은 크기, 적용점 및 방향(작용선)을 특징으로 하는 벡터량입니다(그림 2: A - 적용점, AB - 힘의 작용선).

쌀. 2

역학에는 일정한 힘과 함께 시간 t, 속도ϑ, 디스턴서 또는 이러한 양의 조합에 따라 달라질 수 있는 가변 힘도 있습니다.

F = const;

F = F(t) ;

F = F(ϑ ) ;

F = F(r) ;

F = F(t, r, ϑ) .

전기 기관차; c − F = F (r) – 중심 O로부터의 반발력 또는 인력.

참조 시스템은 다른 본체의 움직임을 연구하는 데 사용되는 본체와 연관된 좌표계입니다.

관성계는 역학 제1법칙과 제2법칙을 만족하는 시스템이다. 이는 고정된 좌표계 ​​또는 균일하고 선형적으로 움직이는 시스템입니다.

역학에서의 움직임은 다른 신체와 관련하여 공간과 시간에서 신체의 위치가 변경되는 것입니다.

고전 역학의 공간은 유클리드 기하학을 따르는 3차원입니다.

시간은 모든 기준 시스템에서 동일하게 흐르는 스칼라 수량입니다.

단위 체계는 측정 단위의 모음입니다. 물리량. 모든 기계적 양을 측정하려면 길이, 시간, 질량 또는 힘의 세 가지 기본 단위로 충분합니다.

기계적 양의 다른 모든 측정 단위는 여기에서 파생됩니다. 두 가지 유형의 단위 체계가 사용됩니다: 국제 단위 체계 SI(또는 더 작은 단위 - GHS)와 기술 단위 체계 - ICGSS.

주제 1. 중요한 점의 역학

1.1. 물질점의 역학 법칙(갈릴레오-뉴턴 법칙)

제1법칙(관성의 법칙).

외부 영향으로부터 격리된 물질 점은 정지 상태를 유지하거나 가해진 힘으로 인해 이 상태가 변경될 때까지 균일하고 직선적으로 움직입니다.

힘이 없거나 균형 잡힌 힘 시스템의 작용 하에서 한 지점에 의해 수행되는 이동을 관성에 의한 이동이라고 합니다.

예를 들어, 매끄러운 표면(마찰력은 0)을 따라 신체가 움직이는 경우

수평 표면(그림 4: G – 체중, N – 정상 평면 반응).

G = − N이므로 G + N = 0입니다.

ϑ 0 ≠ 0이면 몸체는 같은 속도로 움직입니다. ϑ 0 = 0일 때 몸체는 정지 상태입니다(ϑ 0은 초기 속도입니다).

제2법칙(동역학의 기본법칙).

주어진 힘의 영향을 받아 점의 질량과 가속도의 곱은 이 힘의 크기와 동일하며 그 방향은 가속도의 방향과 일치합니다.

a b

수학적으로 이 법칙은 벡터 동등성으로 표현됩니다.

F = 0,a 0 = 0 = ϑ 0 = const – 점이 균일하고 직선으로 이동하거나 ϑ 0 = 0 – 정지 상태입니다(관성의 법칙). 두번째

이 법을 통해 지구 표면 근처에 위치한 물체의 질량 m과 무게G .G = mg, 여기서g –

중력 가속.

제3법칙(작용과 반작용의 평등의 법칙). 두 개의 재료 점은 동일한 크기의 힘으로 서로 작용하고 연결하는 직선을 따라 향합니다.

이 점들은 반대 방향입니다.

힘 F 1 = − F 2 가 서로 다른 지점에 적용되기 때문에 힘 시스템(F 1 , F 2 )은 균형을 이루지 않습니다. 즉, (F 1 , F 2 ) ≒ 0입니다(그림 6).

상호 작용하는 점의 질량은 가속도에 반비례합니다.

네 번째 법칙(힘의 작용 독립의 법칙). 동시에 작용할 때 지점이 받는 가속도

그러나 각 힘이 개별적으로 적용될 경우 점이 받게 될 가속도의 기하학적 합과 동일한 몇 가지 힘입니다.

설명(그림 7).

t a n

1 kF n

합력 R (F 1 ,...F k ,...F n ) .

ma = R,F 1 = ma 1, ...,F k = ma k, ...,F n = man이므로

a = a 1 + ...+ a k + ...+ an n = ∑ a k, 즉 제4법칙은 동일합니다.

k = 1

힘을 더하는 법칙.

1.2. 물질점의 운동 미분방정식

여러 힘이 물질적 지점에 동시에 작용하도록 하십시오. 그 중에는 일정하고 가변적인 힘이 있습니다.

동역학 제2법칙을 다음과 같은 형식으로 작성해 보겠습니다.

그러면 (1.2)는 r의 미분을 포함하며 벡터 형태의 물질 점 운동의 미분 방정식 또는 물질 점 동역학의 기본 방정식입니다.

벡터 동등성 투영(1.2): - 데카르트 좌표축(그림 8, a)

자연 축에서 (그림 8, b)

mab = m0 = ∑ Fk b

k = 1

M to M oa

식 (1.3)과 (1.4)는 각각 데카르트 좌표축과 자연축에서 물질 점의 운동에 대한 미분 방정식입니다. 즉, 궤적이 다음과 같은 경우 점의 곡선 운동에 일반적으로 사용되는 자연 미분 방정식입니다. 점과 곡률 반경이 알려져 있습니다.

1.3. 중요한 점에 대한 역학의 두 가지 주요 문제와 해당 솔루션

첫 번째 (직접) 작업.

운동법칙과 점의 질량을 알고 점에 작용하는 힘을 결정합니다.

이 문제를 해결하려면 해당 지점의 가속도를 알아야 합니다. 이러한 유형의 문제에서는 이를 직접 지정하거나 점의 운동 법칙을 지정하여 이를 결정할 수 있습니다.

1. 따라서 점의 움직임이 데카르트 좌표로 지정되면

x = f 1 (t), y = f 2 (t) 및 z = f 3 (t), 그러면 가속도 예측이 결정됩니다.

(기계 시스템) – IV 옵션

1. 알려진 바와 같이 재료 점의 역학에 대한 기본 방정식은 방정식으로 표현됩니다. 힘을 나누는 두 가지 방법에 따른 비자유 기계 시스템의 임의 점의 운동 미분 방정식은 두 가지 형식으로 작성될 수 있습니다.

(1) , 여기서 k=1, 2, 3, … , n – 재료 시스템의 점 수입니다.

(2)

k번째 점의 질량은 어디에 있습니까? - k 번째 지점의 반경 벡터 - k 번째 지점에 작용하는 주어진 (유효) 힘 또는 k 번째 지점에 작용하는 모든 활성 힘의 결과. - k번째 지점에 작용하는 결합 반력의 결과; - k번째 지점에 작용하는 내부 힘의 결과; - k번째 지점에 작용하는 외부 힘의 결과입니다.

방정식 (1)과 (2)를 사용하면 역학의 첫 번째 문제와 두 번째 문제를 모두 해결하려고 노력할 수 있습니다. 그러나 시스템의 동역학의 두 번째 문제를 해결하는 것은 수학적 관점뿐만 아니라 근본적인 어려움에 직면하기 때문에 매우 복잡해집니다. 이는 시스템 (1)과 시스템 (2) 모두에 대해 방정식의 수가 중요하다는 사실로 구성됩니다. 적은 수알려지지 않은.

따라서 (1)을 사용하면 두 번째(역) 문제에 대해 알려진 동역학은 과 가 되고 알 수 없는 동역학은 과 가 됩니다. 벡터 방정식은 " N"및 알 수없는 것- "2n".

방정식 (2) 시스템에서 진행하면 일부 외부 힘이 알려져 있습니다. 왜 헤어지나요? 사실 외부 힘의 수에는 알려지지 않은 연결의 외부 반응도 포함됩니다. 게다가 .

따라서 시스템 (1)과 시스템 (2)가 모두 UNCLOSED입니다. 연결 방정식을 고려하여 방정식을 추가해야 하며 연결 ​​자체에 일부 제한을 적용해야 할 수도 있습니다. 무엇을 해야 할까요?

(1)부터 시작하면 제1종 라그랑주 방정식을 구성하는 경로를 따라갈 수 있습니다. 하지만 이 길은 합리적이지 않습니다. 더 쉬운 작업(자유도가 낮을수록) 수학적 관점에서 풀기가 더 어려워집니다.

그런 다음 -가 항상 알려지지 않은 시스템 (2)에 주목해 보겠습니다. 시스템을 해결하는 첫 번째 단계는 이러한 미지수를 제거하는 것입니다. 원칙적으로 우리는 시스템이 움직일 때 내부 힘에 관심이 없다는 점, 즉 시스템이 움직일 때 시스템의 각 지점이 어떻게 움직이는 지 알 필요는 없지만 충분하다는 점을 명심해야합니다. 시스템이 전체적으로 어떻게 움직이는지 알 수 있습니다.

따라서 만약 다양한 방법으로시스템 (2)에서 알려지지 않은 힘을 제외하면 일부 관계를 얻습니다. 일반적인 특성시스템에 대한 지식을 통해 시스템이 일반적으로 어떻게 움직이는지 판단할 수 있습니다. 이러한 특성은 소위를 사용하여 도입됩니다. 일반 정리스피커. 다음과 같은 네 가지 정리가 있습니다.

1. 정리 기계 시스템의 질량 중심 이동;

2. 정리 기계 시스템의 운동량 변화;

3. 정리 기계 시스템의 운동 모멘트 변화;

4. 정리 기계 시스템의 운동 에너지 변화.

러시아 연방 교육과학부

고등 전문 교육을 위한 연방 주 예산 교육 기관

"쿠반 주립 기술 대학"

이론 역학

2부 역학

편집출판위원회 승인

대학협의회로

교육 보조

크라스노다르

UDC 531.1/3 (075)

이론 역학. 2부. 역학: 교과서 / L.I. 쿠반. 상태 technol.un.t. 크라스노다르, 2011. 123p.

ISBN 5-230-06865-5

이론적 자료는 간략한 형식으로 제시되고, 문제 해결의 예가 제공되며, 대부분 실제 기술 문제를 반영하며, 합리적인 해결 방법 선택에 주의를 기울입니다.

건설, 운송 및 기계 공학 분야의 통신 및 원격 학습 학사를 위해 설계되었습니다.

테이블 1 병. 68 참고문헌 20타이틀

과학 편집자 기술 과학 후보자, 부교수. V.F.멜니코프

검토자: Kuban Agrarian University의 이론 역학 및 기계 및 기계 이론 학과장 prof. F.M. 카나레프; Kuban State Technological University 이론 역학과 부교수 M.E. 멀티크

Kuban State Technological University의 편집 및 출판위원회의 결정에 따라 출판되었습니다.

재발행

ISBN 5-230-06865-5 KubSTU 1998

머리말

이 교과서는 건설, 운송 및 기계 공학 전문 시간제 학생을 대상으로 하지만 풀타임 학생뿐만 아니라 다른 전문 분야의 시간제 학생이 이론 역학 과정의 "역학" 섹션을 공부할 때 사용할 수 있습니다. 독립적으로 일함.

매뉴얼은 이론 역학 과정의 현재 강의 계획서에 따라 편집되었으며 과정의 주요 부분의 모든 문제를 다루고 있습니다. 각 섹션에는 문제 해결에 사용하기 위한 예시 및 방법론적 권장 사항과 함께 간략한 이론 자료가 포함되어 있습니다. 매뉴얼에는 실제 기술 문제를 반영하고 테스트 작업에 해당하는 30가지 문제에 대한 솔루션이 포함되어 있습니다. 독립적인 결정. 각 문제마다 솔루션을 명확하게 설명하는 계산 다이어그램이 제공됩니다. 솔루션의 형식은 파트타임 학생을 위한 시험지 형식 요구 사항을 충족합니다.

저자는 교과서 검토에 큰 도움을 주신 Kuban Agrarian University의 이론 역학 및 기계 및 기계 이론과의 교사들과 Kuban State Technological의 이론 역학과의 교사들에게 깊은 감사를 표합니다. 출판을 위한 교과서 준비에 대한 귀중한 의견과 조언을 제공하는 대학입니다.

앞으로 저자는 모든 비판적인 의견과 제안을 감사의 마음으로 받아들일 것입니다.

소개

역학은 이론역학의 가장 중요한 부분입니다. 엔지니어링 실무에서 직면하는 대부분의 특정 문제는 역학과 관련이 있습니다. 역학은 정역학과 운동학의 결론을 사용하여 적용된 힘의 작용 하에서 물질체의 일반적인 운동 법칙을 확립합니다.

가장 간단한 물질 객체는 물질 포인트입니다. 모든 형태의 물질적 몸체는 물질적 지점으로 간주될 수 있으며, 고려 중인 문제에서 그 크기는 무시될 수 있습니다. 유한 차원의 몸체는 주어진 문제에 대해 점의 이동 차이가 중요하지 않은 경우 중요한 점으로 간주될 수 있습니다. 이는 신체의 점들이 차지하는 거리에 비해 신체의 크기가 작을 때 발생합니다. 고체의 각 입자는 물질점으로 간주될 수 있습니다.

점이나 물질 몸체에 적용되는 힘은 동적 충격, 즉 물질 물체의 움직임 특성을 어떻게 변경하는지에 따라 동적으로 평가됩니다.

시간이 지남에 따라 물질 객체의 이동은 특정 기준 시스템을 기준으로 공간에서 발생합니다. 뉴턴의 공리에 기초한 고전 역학에서 공간은 3차원으로 간주되며 그 속성은 그 안에서 움직이는 물질적 물체에 의존하지 않습니다. 그러한 공간에서 한 점의 위치는 세 개의 좌표에 의해 결정됩니다. 시간은 공간이나 물질적 사물의 움직임과 관련이 없습니다. 모든 참조 시스템에 대해 동일한 것으로 간주됩니다.

역학 법칙은 일반적으로 고정되어 있는 것으로 간주되는 절대 좌표축을 기준으로 물질 물체의 움직임을 설명합니다. 절대 좌표계의 원점은 태양의 중심으로 간주되며 축은 조건부로 정지된 먼 별을 향합니다. 많은 기술적 문제를 해결할 때 지구에 연결된 좌표축은 조건부로 움직일 수 없는 것으로 간주될 수 있습니다.

역학에서 물질 물체의 기계적 운동 매개변수는 고전 역학의 기본 법칙에서 수학적 유도를 통해 설정됩니다.

제1법칙(관성의 법칙):

물질 점은 일부 힘의 작용으로 이 상태에서 벗어날 때까지 정지 상태 또는 균일하고 선형적인 운동 상태를 유지합니다.

점의 균일하고 선형적인 운동을 관성에 의한 운동이라고 합니다. 정지는 점의 속도가 0일 때 관성에 의한 운동의 특별한 경우입니다.

모든 재료 점에는 관성이 있습니다. 즉 정지 상태 또는 균일한 선형 운동을 유지하려고 노력합니다. 관성의 법칙이 적용되는 기준 시스템을 관성 시스템이라고 하며, 이 시스템과 관련하여 관찰되는 운동을 절대 시스템이라고 합니다. 관성 시스템에 대해 병진 직선 및 등속 운동을 수행하는 모든 참조 시스템도 관성 시스템입니다.

제2법칙(동역학 기본법칙):

관성 기준계에 대한 재료 점의 가속도는 점에 가해지는 힘에 비례하고 다음 방향의 힘과 일치합니다.
.

역학의 기본 법칙에 따르면 힘으로
가속
. 점의 질량은 속도 변화에 대한 점의 저항 정도를 나타냅니다. 즉, 물질 점의 관성을 측정한 것입니다.

제3법칙(작용과 반작용의 법칙):

두 몸체가 서로 작용하는 힘은 크기가 동일하고 반대 방향으로 하나의 직선을 따라 향합니다.

작용과 반작용이라는 힘이 적용됩니다. 다른 신체그러므로 균형 잡힌 시스템을 형성하지 못합니다.

제4법칙(힘 독립의 법칙):

여러 힘의 동시 작용으로 물질 점의 가속도는 각 힘의 개별 작용 하에서 점이 갖게 되는 가속도의 기하학적 합과 같습니다.

, 어디
,
,…,
.

식별이 가능한 경우가 많습니다 중요한 기능운동의 미분 방정식 시스템의 통합에 의존하지 않고 기계 시스템의 운동. 이는 역학의 일반 정리를 적용하여 달성됩니다.

5.1. 기본 개념 및 정의

외부 및 내부 힘.기계 시스템의 한 지점에 작용하는 모든 힘은 반드시 활성 힘이거나 결합 반응입니다. 시스템의 지점에 작용하는 전체 힘 세트는 외부 힘과 내부 힘(지수 e 및 i - 라틴어 단어 externus - 외부 및 내부 - 내부)의 두 가지 클래스로 다르게 나눌 수 있습니다. 외부 힘은 고려 중인 시스템의 일부가 아닌 점과 몸체에서 시스템의 점에 작용하는 힘입니다. 고려중인 시스템의 지점과 몸체 사이의 상호 작용력을 내부라고합니다.

이 구분은 연구자가 고려 중인 기계 시스템에 어떤 재료 지점과 몸체를 포함하는지에 따라 달라집니다. 추가 점과 몸체를 포함하여 시스템 구성을 확장하면 이전 시스템의 외부에 있던 일부 힘이 확장된 시스템의 내부가 될 수 있습니다.

내부 힘의 속성.이러한 힘은 시스템 부분 간의 상호 작용 힘이므로 작용-반작용 공리에 따라 조직된 "2개"로 내부 힘의 전체 시스템에 들어갑니다. 그러한 "둘" 각각은 강점을 가지고 있습니다

임의의 중심에 대한 주 벡터와 주 모멘트는 0과 같습니다. 내부 힘의 전체 시스템은 "2"로만 구성되므로

1) 내부 힘 시스템의 주요 벡터는 0이고,

2) 임의의 지점에 대한 내부 힘 시스템의 주요 순간은 0과 같습니다.

시스템의 질량은 다음과 같습니다. 산술합시스템을 형성하는 모든 점과 몸체의 질량:

질량 중심기계 시스템의 (관성 중심)은 기하학적 점 C이며, 반경 벡터와 좌표는 공식에 의해 결정됩니다.

시스템을 형성하는 점의 반경 벡터와 좌표는 어디에 있습니까?

균일한 중력장에 위치한 강체의 경우 질량 중심과 무게 중심의 위치가 일치하는 경우도 있지만 이는 서로 다른 기하학적 점입니다.

관성 기준 시스템과 함께 병진 이동하는 비관성 기준 시스템이 동시에 고려되는 경우가 많습니다. 좌표축(König 축)은 원점 C가 기계 시스템의 질량 중심과 지속적으로 일치하도록 선택됩니다. 정의에 따르면 질량 중심은 Koenig 축에서 고정되어 있으며 좌표 원점에 위치합니다.

시스템의 관성 모멘트축에 대한 상대적인 양은 시스템의 모든 점의 질량 mk를 축까지의 거리의 제곱으로 곱한 것과 같은 스칼라 수량입니다.

만약에 기계 시스템는 고체입니다. 12를 찾으려면 공식을 사용할 수 있습니다.

밀도, 신체가 차지하는 부피는 어디에 있습니까?