155*։ Սահմանել կյանքի չափըուղիղ հատված AB ընդհանուր դիրքը(նկ. 153, ա).

Լուծում. Ինչպես հայտնի է, ցանկացած հարթության վրա ուղիղ հատվածի պրոյեկցիան հավասար է բուն հատվածին (հաշվի առնելով գծագրի մասշտաբը), եթե այն զուգահեռ է այս հարթությանը։

(նկ. 153, բ): Այստեղից հետևում է, որ գծանկարը վերափոխելով՝ անհրաժեշտ է հասնել այս հատվածի քառակուսու զուգահեռության։ V կամ քառակուսի H կամ լրացնել V, H համակարգը քառակուսին ուղղահայաց մեկ այլ հարթությամբ: V or to pl. H և միևնույն ժամանակ այս հատվածին զուգահեռ:

Նկ. 153, c-ը ցույց է տալիս լրացուցիչ S հարթության ներածություն՝ ուղղահայաց քառակուսու վրա։ H և տրված AB հատվածին զուգահեռ:

a s b s պրոյեկցիան հավասար է AB հատվածի բնական արժեքին։

Նկ. 153, d-ը ցույց է տալիս մեկ այլ տեխնիկա՝ AB հատվածը պտտվում է ուղիղ գծի շուրջ, որն անցնում է B կետով և ուղղահայաց է քառակուսու վրա: Հ, դեպի զուգահեռ դիրք

pl. V. Այս դեպքում B կետը մնում է իր տեղում, իսկ A կետը նոր դիրք է գրավում A 1: Հորիզոնը նոր դիրքում է. պրոյեկցիա ա 1 բ || x առանցք a" 1 b" պրոյեկցիան հավասար է AB հատվածի բնական չափին։

156. Հաշվի առնելով SABCD բուրգը (նկ. 154): Որոշե՛ք բուրգի AS և CS եզրերի իրական չափերը՝ օգտագործելով պրոյեկցիոն հարթությունները փոխելու մեթոդը, իսկ BS և DS եզրերը՝ պտտման եղանակով, և վերցրե՛ք պտտման առանցքը քառակուսին ուղղահայաց։ Հ.

157*։ Որոշեք հեռավորությունը A կետից մինչև BC ուղիղ գիծ (նկ. 155, ա):

Լուծում. Կետից մինչև գիծ հեռավորությունը չափվում է կետից գծված ուղղահայաց հատվածով:

Եթե ​​ուղիղ գիծը ուղղահայաց է որևէ հարթության (նկ. 155.6), ապա կետից մինչև ուղիղ գիծ հեռավորությունը չափվում է այս հարթության վրա կետի ելուստի և ուղիղ գծի կետային պրոյեկցիայի միջև հեռավորությամբ։ Եթե ​​V, H համակարգում ուղիղ գիծը ընդհանուր դիրք է զբաղեցնում, ապա պրոյեկցիոն հարթությունները փոխելով կետից ուղիղ գիծ հեռավորությունը որոշելու համար անհրաժեշտ է երկու լրացուցիչ հարթություն մտցնել V, H համակարգ։

Նախ (նկ. 155, գ) մտնում ենք քառակուսի։ S՝ BC հատվածին զուգահեռ (նոր S/H առանցքը զուգահեռ է bc պրոյեկցիայի), և կառուցիր b s c s և a s պրոյեկցիաները։ Այնուհետև (նկ. 155, դ) ներկայացնում ենք մեկ այլ քառակուսի: T՝ BC ուղիղ գծին ուղղահայաց (նոր T/S առանցքը s-ով b s-ին ուղղահայաց է): Մենք կառուցում ենք ուղիղ գծի և կետի կանխատեսումներ՝ t (b t) և a t-ով: a t և c t (b t) կետերի միջև հեռավորությունը հավասար է A կետից մինչև BC ուղիղ գիծ l հեռավորությանը:

Նկ. 155, դ, նույն առաջադրանքը կատարվում է օգտագործելով պտտման մեթոդը իր տեսքով, որը կոչվում է զուգահեռ շարժման մեթոդ: Նախ՝ BC ուղիղ գիծը և A կետը, անփոփոխ պահելով իրենց հարաբերական դիրքը, պտտվում են քառակուսին ուղղահայաց մի քանի (գծագրում չնշված) ուղիղ գծի շուրջ։ H, այնպես որ BC ուղիղը զուգահեռ է քառակուսուն: V. Սա համարժեք է A, B, C կետերը քառակուսին զուգահեռ հարթություններում տեղաշարժվելուն: Հ. Միևնույն ժամանակ, հորիզոնը. Տվյալ համակարգի պրոյեկցիան (BC + A) չի փոխվում ոչ չափի, ոչ էլ կազմաձևի մեջ, փոխվում է միայն նրա դիրքը x առանցքի նկատմամբ: Մենք տեղադրում ենք հորիզոնը: BC ուղիղ գծի պրոյեկցիան x առանցքին զուգահեռ (դիրք b 1 c 1) և որոշել a 1 պրոյեկցիան՝ մի կողմ դնելով c 1 1 1 = c-1 և a 1 1 1 = a-1, և a 1 1 1 ⊥ c 1 1 1. x-ի առանցքին զուգահեռ b"b" 1 , a"a" 1, c"c" 1 ուղիղ գծեր գծելով՝ դրանց վրա գտնում ենք ճակատը։ կանխատեսումներ b" 1, a" 1, c" 1: Այնուհետև մենք տեղափոխում ենք B 1, C 1 և A 1 կետերը V տարածքին զուգահեռ հարթություններում (նաև առանց դրանց հարաբերական դիրքերը փոխելու), որպեսզի ստացվի B 2 C 2 ⊥ քառակուսի H. Այս դեպքում ուղիղ գծի ճակատային ելուստը կլինի ուղղահայաց x,b առանցքներ 2 c" 2 = b" 1 c" 1, իսկ a" 2 պրոյեկցիան կառուցելու համար անհրաժեշտ է վերցնել b" 2 2" 2 = b" 1 2" 1, նկարել 2"a" 2 ⊥ b" 2 c" 2 և մի կողմ դրեք a" 2 2" 2 = a" 1 2" 1: Այժմ, 1-ով 2-ով և 1-ով 2-ով || x 1 մենք ստանում ենք b 2 կանխատեսումներ 2-ից և a 2-ից և ցանկալի հեռավորությունը l A կետից մինչև BC ուղիղ գիծ: A-ից մինչև BC հեռավորությունը կարելի է որոշել՝ A կետով և BC ուղիղ գծով սահմանված հարթությունը պտտելով այս հարթության հորիզոնականի շուրջը դեպի T դիրքը || pl. Հ (նկ. 155, զ).

A կետով և BC ուղիղ գծով սահմանված հարթությունում գծեք A-1 հորիզոնական գիծ (նկ. 155, g) և B կետը պտտեք դրա շուրջը: R (նշված է R h-ի կողքին գտնվող գծագրում), A-1-ին ուղղահայաց; O կետում կա B կետի պտտման կենտրոնը: Այժմ մենք որոշում ենք VO պտտման շառավիղի բնական արժեքը (նկ. 155, գ): Պահանջվող դիրքում, այսինքն, երբ pl. A կետով և BC ուղիղ գծով որոշված ​​T-ը կդառնա || pl. H, B կետը կլինի R h-ի վրա O կետից Ob 1 հեռավորության վրա (նույն հետքի R h-ի վրա կարող է լինել մեկ այլ դիրք, բայց O-ի մյուս կողմում): b 1 կետը հորիզոնն է: B կետի պրոյեկցիան այն տարածության մեջ B 1 դիրք տեղափոխելուց հետո, երբ A կետով և BC ուղիղ գծով սահմանված հարթությունը գրավել է T դիրքը։

Գծելով (նկ. 155, i) ուղիղ գիծը b 1 1, մենք ստանում ենք հորիզոնը: ուղիղ գծի պրոեկցիա մ.թ.ա., արդեն տեղակայված || pl. H-ն գտնվում է A-ի հետ նույն հարթության վրա: Այս դիրքում a-ից մինչև b 1 1 հեռավորությունը հավասար է ցանկալի l հեռավորությանը: P հարթությունը, որում ընկած են տրված տարրերը, կարելի է զուգակցել քառակուսու հետ։ H (նկ. 155, ժ), շրջադարձային քառակուսի: R նրա շուրջը հորիզոնն է: հետք. Անցնելով հարթությունը A կետով և BC ուղիղ գիծ նշելուց մինչև BC և A-1 ուղիղները (նկ. 155, l), մենք գտնում ենք այդ ուղիղ գծերի հետքերը և դրանց միջով գծում ենք P ϑ և P h հետքերը: Կառուցում ենք (նկ. 155, մ) հրապարակի հետ համակցված։ H դիրքի ճակատ. հետք - P ϑ0 .

ա կետի միջով մենք գծում ենք հորիզոնը։ ճակատային պրոյեկցիա; համակցված ճակատը անցնում է 2 կետով P h հետքի վրա P ϑ0-ին զուգահեռ: Կետ A 0 - համակցված քառակուսու հետ: H-ն A կետի դիրքն է: Նմանապես մենք գտնում ենք B կետը 0: Ուղիղ արևը համակցված է քառակուսու հետ: H դիրքն անցնում է B 0 կետով և m կետով (ուղիղ գծի հորիզոնական հետք):

Հեռավորությունը A 0 կետից մինչև B 0 C 0 ուղիղ գիծը հավասար է պահանջվող l հեռավորությանը:

Նշված կոնստրուկցիան կարող եք իրականացնել՝ գտնելով P h-ի միայն մեկ հետք (նկ. 155, n և o): Ամբողջ կոնստրուկցիան նման է հորիզոնականի շուրջ պտույտի (տես նկ. 155, g, c, i). հետքը P h հորիզոնականներից մեկն է pl. Ռ.

Այս խնդրի լուծման համար տրված մեթոդներից գծագրի վերափոխման նախընտրելի մեթոդը հորիզոնականի կամ ճակատի շուրջ պտտման մեթոդն է։

158. Տրված է SABC բուրգը (նկ. 156): Որոշեք հեռավորությունները.

ա) հիմքի B վերևից մինչև AC կողմը զուգահեռ շարժման մեթոդով.

բ) բուրգի S վերևից մինչև հիմքի BC և AB կողմերը՝ պտտվելով հորիզոնականի շուրջը.

գ) վերևից S-ից մինչև հիմքի AC կողմը` փոխելով պրոյեկցիոն հարթությունները:

159. Տրված է պրիզմա (նկ. 157): Որոշեք հեռավորությունները.

ա) AD և CF կողերի միջև՝ փոխելով նախագծման հարթությունները.

բ) BE-ի և CF-ի կողերի միջև՝ ճակատային մասի շուրջը պտտելով.

գ) AD և BE եզրերի միջև զուգահեռ շարժումով:

160. Որոշի՛ր ABCD քառանկյան իրական չափը (նկ. 158)՝ այն հավասարեցնելով քառակուսու հետ: N. Օգտագործեք միայն հարթության հորիզոնական հետքը:

161*։ Որոշեք AB և CD հատող ուղիղ գծերի միջև հեռավորությունը (նկ. 159, ա) և կառուցեք դրանց ընդհանուր ուղղահայաց ելուստները:

Լուծում. Անցման գծերի միջև հեռավորությունը չափվում է երկու գծերին ուղղահայաց հատվածով (MN) (նկ. 159, բ): Ակնհայտ է, որ եթե ուղիղ գծերից մեկը դրված է ցանկացած քառակուսու ուղղահայաց: T, ապա

երկու ուղիղներին ուղղահայաց MN հատվածը զուգահեռ կլինի քառակուսու վրա: Դրա պրոյեկցիան այս հարթության վրա ցույց կտա պահանջվող հեռավորությունը: Պրոյեկցիա ճիշտ անկյուն Menad MN n AB վրա pl. Պարզվում է նաև, որ T-ն ուղիղ անկյուն է m t n t-ի և a t b t-ի միջև, քանի որ աջ անկյան կողմերից մեկը AMN է, այն է՝ MN: հրապարակին զուգահեռ Տ.

Նկ. 159, c և d, պահանջվող հեռավորությունը l որոշվում է պրոյեկցիոն ինքնաթիռների փոփոխման մեթոդով: Նախ մենք ներկայացնում ենք լրացուցիչ քառակուսի: կանխատեսումներ S, ուղղահայաց քառակուսու վրա: H և ուղիղ գծի CD-ին զուգահեռ (նկ. 159, գ): Այնուհետև ներկայացնում ենք ևս մեկ լրացուցիչ քառակուսի։ T, ուղղահայաց քառակուսին: S և ուղղահայաց նույն ուղիղ գծին CD (նկ. 159, դ): Այժմ դուք կարող եք կառուցել ընդհանուր ուղղահայաց պրոյեկցիա՝ m t n t գծելով c t (d t) կետից, որը ուղղահայաց է a t b t պրոեկցային: m t և n t կետերը այս ուղղահայաց AB և CD ուղիղ գծերի հատման կետերի կանխատեսումներ են: Օգտագործելով m t կետը (նկ. 159, ե) մենք գտնում ենք m s a s b s-ի վրա. m s n s-ի պրոյեկցիան պետք է զուգահեռ լինի T/S առանցքին: Հաջորդը, m s-ից և n s-ից մենք գտնում ենք m և n ab-ի և cd-ի վրա, իսկ դրանցից m" և n"-ը a"b"-ի և c"d-ի վրա:

Նկ. 159, c-ը ցույց է տալիս այս խնդրի լուծումը՝ օգտագործելով զուգահեռ շարժումների մեթոդը։ Սկզբում ուղիղ գիծը տեղադրում ենք հրապարակին զուգահեռ: V՝ պրոյեկցիա c 1 d 1 || X. Այնուհետև մենք ուղիղ գծերը տեղափոխում ենք CD և AB C 1 D 1 և A 1 B 1 դիրքերից դեպի C 2 B 2 և A 2 B 2 դիրքեր այնպես, որ C 2 D 2-ը ուղղահայաց լինի H-ին. պրոյեկցիա c" 2 d" 2 ⊥ x. Պահանջվող ուղղահայաց հատվածը գտնվում է || pl. H, և, հետևաբար, m 2 n 2 արտահայտում է ցանկալի հեռավորությունը l AB-ի և CD-ի միջև: Մենք գտնում ենք պրոյեկցիաների m" 2 և n" 2-ի դիրքը a" 2 b" 2 և c" 2 d" 2-ի վրա, այնուհետև կանխատեսումները m 1 և m" 1, n 1 և n" 1, վերջապես, կանխատեսումներ m» և n», m և n:

162. Տրված է SABC բուրգը (նկ. 160): Որոշել հեռավորությունը SB եզրի և բուրգի հիմքի AC կողմի միջև և կառուցել SB-ին և AC-ին ուղղահայաց ընդհանուր ելուստները՝ օգտագործելով պրոյեկցիոն հարթությունները փոխելու մեթոդը:

163. Տրված է SABC բուրգը (նկ. 161): Որոշեք բուրգի հիմքի SH եզրի և BC կողմի միջև հեռավորությունը և զուգահեռ տեղաշարժման մեթոդով կառուցեք SX և BC ընդհանուր ուղղահայաց պրոյեկցիաները:

164*։ Որոշեք հեռավորությունը A կետից մինչև հարթություն այն դեպքերում, երբ հարթությունը նշված է. ա) BCD եռանկյունով (նկ. 162, ա); բ) հետքեր (նկ. 162, բ).

Լուծում. Ինչպես գիտեք, կետից հարթություն հեռավորությունը չափվում է կետից դեպի հարթություն գծված ուղղահայաց արժեքով: Այս հեռավորությունը նախագծված է ցանկացած տարածքի վրա: կանխատեսումները լրիվ չափով, եթե այս հարթությունը ուղղահայաց է քառակուսու վրա: կանխատեսումներ (նկ. 162, գ): Այս իրավիճակին կարելի է հասնել գծանկարը վերափոխելով, օրինակ՝ տարածքը փոխելով։ կանխատեսումներ. Ներկայացնենք pl. S (նկ. 16c, d), ուղղահայաց քառակուսու վրա: BCD եռանկյուն: Դա անելու համար մենք ծախսում ենք հրապարակում: հորիզոնական B-1 եռանկյունին և S պրոյեկցիայի առանցքը տեղադրեք b-1 ելուստին ուղղահայաց հորիզոնական: Կառուցում ենք կետի և հարթության պրոյեկցիաներ՝ a s և c s d s հատված: A s-ից մինչև c s d s հեռավորությունը հավասար է կետի l-ի ցանկալի հեռավորությանը մինչև հարթություն:

Դեպի Ռիո. 162, դ կիրառվում է զուգահեռ շարժման մեթոդը։ Մենք տեղափոխում ենք ամբողջ համակարգը այնքան ժամանակ, մինչև B-1 հորիզոնական հարթությունը դառնա V հարթությանը ուղղահայաց. b 1 1 1 պրոյեկցիան պետք է ուղղահայաց լինի x առանցքին: Այս դիրքում եռանկյան հարթությունը կդառնա ճակատային ելուստ, իսկ A կետից l հեռավորությունը կլինի pl: V առանց խեղաթյուրման.

Նկ. 162, բ հարթությունը սահմանվում է հետքերով։ Մենք ներկայացնում ենք (նկ. 162, ե) լրացուցիչ քառակուսի: S, ուղղահայաց քառակուսու վրա: P: S/H առանցքը ուղղահայաց է P h-ին: Մնացածը պարզ է գծագրից։ Նկ. 162, g խնդիրը լուծվել է մեկ շարժումով. pl. P-ն անցնում է P 1 դիրքի, այսինքն՝ դառնում է առջևի նախագծում: Հետևել. P 1h ուղղահայաց է x առանցքին: Ինքնաթիռի այս դիրքում մենք կառուցում ենք ճակատը։ հորիզոնական հետքը n" 1,n 1 կետն է: P 1ϑ հետքը կանցնի P 1x և n 1 միջով: a" 1-ից մինչև P 1ϑ հեռավորությունը հավասար է պահանջվող l հեռավորությանը:

165. Տրված է SABC բուրգը (տես նկ. 160): Զուգահեռ տեղաշարժման մեթոդով որոշեք հեռավորությունը A կետից մինչև SBC բուրգի եզրը:

166. Տրված է SABC բուրգը (տես նկ. 161): Որոշեք բուրգի բարձրությունը զուգահեռ տեղաշարժման մեթոդով:

167*։ Որոշեք AB և CD հատման գծերի միջև եղած հեռավորությունը (տես նկ. 159,ա) որպես այս գծերի միջով գծված զուգահեռ հարթությունների միջև ընկած հեռավորությունը:

Լուծում. Նկ. 163, իսկ P և Q հարթությունները միմյանց զուգահեռ են, որոնցից pl. Q-ն գծվում է AB-ին զուգահեռ CD-ի միջով, իսկ pl. P - AB-ի միջոցով քառակուսին զուգահեռ: Հ. Նման հարթությունների միջև հեռավորությունը համարվում է AB և CD ուղիղ գծերի միջև ընկած հեռավորությունը: Այնուամենայնիվ, դուք կարող եք սահմանափակվել միայն մեկ հարթություն կառուցելով, օրինակ Q, AB-ին զուգահեռ, այնուհետև որոշել առնվազն A կետից մինչև այս հարթությունը:

Նկ. 163, c-ը ցույց է տալիս Q հարթությունը, որը գծված է CD-ի միջով AB-ին զուգահեռ; «e»-ով կատարված կանխատեսումներում || ա»բ» և ce || աբ. Օգտագործելով pl-ի փոփոխման մեթոդը. կանխատեսումներ (նկ. 163, գ), մենք ներկայացնում ենք լրացուցիչ քառակուսի: S, ուղղահայաց քառակուսու վրա: V և միաժամանակ

ուղղահայաց հրապարակին Հ. S/V առանցքը գծելու համար այս հարթությունում վերցրեք ճակատային D-1: Այժմ մենք նկարում ենք S/V ուղղահայաց d"1"-ին (նկ. 163, գ): Pl. Քառակուսի վրա պատկերված կլինի Ք. S որպես ուղիղ գիծ s d s-ով: Մնացածը պարզ է գծագրից։

168. Տրված է SABC բուրգը (տե՛ս նկ. 160): Որոշեք SC և AB կողերի միջև հեռավորությունը. կանխատեսումներ, 2) զուգահեռ շարժման եղանակ.

169*։ Որոշեք զուգահեռ հարթությունների հեռավորությունը, որոնցից մեկը սահմանվում է AB և AC ուղիղ գծերով, իսկ մյուսը՝ DE և DF ուղիղ գծերով (նկ. 164, ա): Կատարեք նաև շինարարություն այն դեպքի համար, երբ ինքնաթիռները նշված են հետքերով (նկ. 164, բ):

Լուծում. Զուգահեռ հարթությունների միջև հեռավորությունը (նկ. 164, գ) կարելի է որոշել՝ մի հարթության ցանկացած կետից մյուս հարթություն ուղղահայաց գծելով: Նկ. 164, գ ներմուծվեց լրացուցիչ քառակուսի. S ուղղահայաց քառակուսու վրա: H և երկու տրված ինքնաթիռներին: S.H առանցքը ուղղահայաց է հորիզոնականին: հարթություններից մեկում գծված հորիզոնական պրոյեկցիա: Մենք կառուցում ենք այս հարթության պրոյեկցիան և մեկ այլ հարթության մի կետ՝ քառակուսու վրա: 5. d s կետի հեռավորությունը դեպի ուղիղ l s a s հավասար է զուգահեռ հարթությունների միջև անհրաժեշտ հեռավորությանը:

Նկ. 164, դ տրված է մեկ այլ շինություն (ըստ զուգահեռ շարժման մեթոդի). Որպեսզի AB և AC հատվող ուղիղներով արտահայտված հարթությունը լինի քառակուսին ուղղահայաց։ V, հորիզոն. Այս հարթության հորիզոնական պրոյեկցիան սահմանում ենք x առանցքին ուղղահայաց՝ 1 1 2 1 ⊥ x: Հեռավորությունը ճակատի միջև պրոյեկցիա d" 1 կետի D և ուղիղ գիծ a" 1 2" 1 (ինքնաթիռի առջևի պրոյեկցիան) հավասար է հարթությունների միջև պահանջվող հեռավորությանը:

Նկ. 164, e-ը ցույց է տալիս լրացուցիչ քառակուսու ներդրումը: S՝ H տարածքին և տրված P և Q հարթություններին ուղղահայաց (S/H առանցքը ուղղահայաց է P h և Q h հետքերին): Կառուցում ենք Պ–ների և Ք–ների հետքեր։ Նրանց միջև հեռավորությունը (տես նկ. 164, գ) հավասար է P և Q հարթությունների միջև ցանկալի l հեռավորությանը:

Նկ. 164, g ցույց է տալիս ինքնաթիռների շարժումը P 1 n Q 1, դեպի P 1 և Q 1 դիրքը, երբ հորիզոնը: հետքերը պարզվում են, որ ուղղահայաց են x-առանցքին: Հեռավորությունը նոր ճակատների միջև. P 1ϑ և Q 1ϑ հետքերը հավասար են ցանկալի l հեռավորությանը:

170. Հաշվի առնելով զուգահեռականի ABCDEFGH-ը (նկ. 165): Որոշեք հեռավորությունները՝ ա) զուգահեռականի հիմքերի միջև՝ լ 1; բ) ABFE և DCGH դեմքերի միջև - լ 2; գ) ADHE-ի և BCGF-l-ի երեսների միջև 3.

Այս հոդվածը խոսում է թեմայի մասին « հեռավորությունը կետից մինչև գիծ », Քննարկում է կետից ուղիղ հեռավորության սահմանումը պատկերազարդ օրինակներով՝ օգտագործելով կոորդինատային մեթոդը: Յուրաքանչյուր տեսական բլոկ վերջում ցույց է տվել նմանատիպ խնդիրների լուծման օրինակներ:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Կետից ուղիղ հեռավորությունը հայտնաբերվում է կետից կետ հեռավորությունը որոշելով: Եկեք ավելի սերտ նայենք:

Թող լինի a ուղիղ և M 1 կետ, որը չի պատկանում տվյալ ուղիղին: Դրա միջով մենք գծում ենք ուղիղ գիծ b, որը գտնվում է a ուղիղ գծին ուղղահայաց։ Ընդունենք ուղիղների հատման կետը որպես H 1։ Մենք ստանում ենք, որ M 1 H 1 ուղղահայաց է, որը M 1 կետից իջեցվել է ուղիղ a:

Սահմանում 1

Հեռավորությունը M 1 կետից ուղիղ aկոչվում է M 1 և H 1 կետերի միջև հեռավորություն:

Կան սահմանումներ, որոնք ներառում են ուղղահայաց երկարությունը:

Սահմանում 2

Հեռավորությունը կետից տողտրված կետից տրված ուղիղ գծված ուղղահայաց երկարությունն է:

Սահմանումները համարժեք են. Դիտարկենք ստորև բերված նկարը:

Հայտնի է, որ կետից մինչև ուղիղ հեռավորությունը բոլոր հնարավորներից ամենափոքրն է։ Սրան նայենք օրինակով։

Եթե ​​վերցնենք a ուղիղ գծի վրա ընկած Q կետը, որը չի համընկնում M 1 կետի հետ, ապա գտնում ենք, որ M 1 Q հատվածը կոչվում է թեք հատված՝ M 1-ից իջեցված ուղիղ a. Անհրաժեշտ է նշել, որ M 1 կետից ուղղահայացը փոքր է կետից դեպի ուղիղ գծված ցանկացած այլ թեք գծից:

Դա ապացուցելու համար դիտարկենք M 1 Q 1 H 1 եռանկյունը, որտեղ M 1 Q 1 հիպոթենուսն է: Հայտնի է, որ նրա երկարությունը միշտ ավելի մեծ է, քան ցանկացած ոտքի երկարությունը։ Սա նշանակում է, որ մենք ունենք M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Կետից ուղիղ գտնելու նախնական տվյալները թույլ են տալիս օգտագործել լուծման մի քանի մեթոդներ՝ Պյութագորասի թեորեմի միջոցով, սինուսի, կոսինուսի, անկյան շոշափողի որոշում և այլն։ Այս տեսակի առաջադրանքների մեծ մասը լուծվում է դպրոցում՝ երկրաչափության դասերի ժամանակ։

Երբ կետից ուղիղ հեռավորությունը գտնելիս հնարավոր է ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ ներմուծել, ապա կիրառվում է կոորդինատային մեթոդը։ Այս պարբերությունում մենք կքննարկենք տվյալ կետից պահանջվող հեռավորությունը գտնելու հիմնական երկու մեթոդները:

Առաջին մեթոդը ներառում է հեռավորության որոնում M 1-ից դեպի ուղիղ a ուղղահայաց գծով: Երկրորդ մեթոդը օգտագործում է a ուղիղ գծի նորմալ հավասարումը` պահանջվող հեռավորությունը գտնելու համար:

Եթե ​​հարթության վրա կա M 1 (x 1 , y 1) կոորդինատներով կետ, որը գտնվում է ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում, ուղիղ a, և դուք պետք է գտնեք M 1 H 1 հեռավորությունը, կարող եք հաշվարկը կատարել երկու: ուղիները. Եկեք նայենք նրանց:

Առաջին ճանապարհը

Եթե ​​կան H 1 կետի կոորդինատներ, որոնք հավասար են x 2, y 2, ապա կետից մինչև գիծ հեռավորությունը հաշվարկվում է M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2) բանաձևի կոորդինատներով: - y 1) 2.

Այժմ անցնենք H 1 կետի կոորդինատների որոնմանը։

Հայտնի է, որ O x y-ում ուղիղ գիծը համապատասխանում է հարթության վրա ուղիղ գծի հավասարմանը: Վերցնենք a ուղիղ գիծը գրելով նշելու մեթոդը ընդհանուր հավասարումըուղիղ գծի կամ թեքության հավասարումներ. Կազմում ենք ուղիղ գծի հավասարումը, որն անցնում է M 1 կետով ուղղահայաց տրված a ուղիղ գծին: Ուղիղ գիծը նշանակենք b տառով։ H 1-ը a և b ուղիղների հատման կետն է, ինչը նշանակում է կոորդինատները որոշելու համար անհրաժեշտ է օգտագործել այն հոդվածը, որտեղ մենք խոսում ենքերկու ուղիղների հատման կետերի կոորդինատների մասին։

Երևում է, որ M 1 (x 1, y 1) կետից մինչև a ուղիղ գիծ հեռավորությունը գտնելու ալգորիթմն իրականացվում է ըստ կետերի.

Սահմանում 3

• գտնելով A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ձև ունեցող a ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը կամ y = k 1 x + b 1 ձևով հավասարում անկյունային գործակիցով;
• ստանալով b ուղիղի ընդհանուր հավասարում, որն ունի A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 ձև կամ y = k 2 x + b 2 անկյունային գործակից ունեցող հավասարում, եթե b ուղիղը հատում է M 1 կետը և ուղղահայաց է. տրված տող a;
• H 1 կետի x 2, y 2 կոորդինատների որոշում, որը a-ի և b-ի հատման կետն է, այս նպատակով համակարգը լուծվում է. գծային հավասարումներ A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 կամ y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2;
• կետից մինչև գիծ պահանջվող հեռավորությունը հաշվարկելով M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) բանաձևով:

Երկրորդ ճանապարհ

Թեորեմը կարող է օգնել հարթության վրա տրված կետից մինչև տրված ուղիղ գծի հեռավորությունը գտնելու հարցին:

Թեորեմ

Ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգը ունի O x y ունի M 1 կետ (x 1, y 1), որից հարթության վրա գծված է ուղիղ գիծ, ​​որը տրված է հարթության նորմալ հավասարմամբ, որն ունի cos α x + cos β y ձև: - p = 0, հավասար է Գծի նորմալ հավասարման ձախ կողմում ստացված բացարձակ արժեքը, որը հաշվարկվում է x = x 1, y = y 1, նշանակում է, որ M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β. · y 1 - p.

Ապացույց

A ուղիղը համապատասխանում է հարթության նորմալ հավասարմանը, որն ունի cos α x + cos β y - p = 0 ձև, այնուհետև n → = (cos α, cos β) համարվում է a ուղիղի նորմալ վեկտորը հեռավորությունից: ծագումը a գծել p միավորներով: Անհրաժեշտ է ցուցադրել նկարի բոլոր տվյալները, ավելացնել M 1 կոորդինատներով կետ (x 1, y 1), որտեղ M 1 - O M 1 կետի շառավիղ վեկտորը → = (x 1, y 1): Անհրաժեշտ է մի կետից ուղիղ գիծ գծել, որը մենք նշում ենք M 1 H 1: Անհրաժեշտ է M 1 և H 2 կետերի M 2 և H 2 կանխատեսումները ցույց տալ O կետով անցնող ուղիղ գծի վրա n → = (cos α, cos β) ձևի ուղղության վեկտորով և նշել. վեկտորի թվային պրոյեկցիան որպես O M 1 → = (x 1, y 1) դեպի n → = (cos α , cos β) ուղղությամբ, ինչպես n p n → O M 1 → .

Տատանումները կախված են հենց M1 կետի գտնվելու վայրից: Եկեք նայենք ստորև ներկայացված նկարին:

Մենք ամրագրում ենք արդյունքները, օգտագործելով M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p բանաձեւը: Այնուհետև հավասարությունը բերում ենք այս ձևին M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p, որպեսզի ստացվի n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1:

Վեկտորների սկալյար արտադրյալը հանգեցնում է n →, O M → 1 = n → · n p n → O M 1 → = 1 · n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → ձևի փոխակերպված բանաձևի, որը կոորդինատային ձևով արտադրյալ է: n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 ձևի: Սա նշանակում է, որ մենք ստանում ենք, որ n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1: Հետևում է, որ M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p. Թեորեմն ապացուցված է.

Մենք գտնում ենք, որ հարթության վրա M 1 կետից (x 1, y 1) մինչև a ուղիղ գիծ հեռավորությունը գտնելու համար անհրաժեշտ է կատարել մի քանի գործողություններ.

Սահմանում 4

• ստանալով a cos α · x + cos β · y - p = 0 ուղիղ գծի նորմալ հավասարումը, պայմանով, որ այն առաջադրանքի մեջ չէ.
• cos α · x 1 + cos β · y 1 - p արտահայտության հաշվարկը, որտեղ ստացված արժեքը վերցնում է M 1 H 1:

Եկեք կիրառենք այս մեթոդները՝ կետից հարթություն հեռավորությունը գտնելու հետ կապված խնդիրները լուծելու համար:

Օրինակ 1

Գտե՛ք հեռավորությունը M 1 (- 1, 2) կոորդինատներով կետից մինչև 4 x - 3 y + 35 = 0 ուղիղ գիծը:

Լուծում

Եկեք կիրառենք լուծման առաջին մեթոդը.

Դա անելու համար անհրաժեշտ է գտնել b ուղղի ընդհանուր հավասարումը, որն անցնում է M 1 (- 1, 2) տրված կետով 4 x - 3 y + 35 = 0 ուղղին ուղղահայաց։ Պայմանից պարզ է դառնում, որ b ուղիղը ուղղահայաց է a-ին, ապա նրա ուղղության վեկտորն ունի (4, - 3) հավասար կոորդինատներ։ Այսպիսով, մենք հնարավորություն ունենք հարթության վրա գրել b ուղիղի կանոնական հավասարումը, քանի որ կան B տողին պատկանող M 1 կետի կոորդինատներ։ Որոշենք բ ուղիղ գծի ուղղության վեկտորի կոորդինատները. Մենք ստանում ենք, որ x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3: Ստացված կանոնական հավասարումը պետք է վերածվի ընդհանուրի: Հետո մենք ստանում ենք դա

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 · (x + 1) = 4 · (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

Գտնենք ուղիղների հատման կետերի կոորդինատները, որոնք կընդունենք որպես H 1 նշանակում։ Փոխակերպումները հետևյալ տեսքն ունեն.

4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

Վերևում գրվածից ունենք, որ H 1 կետի կոորդինատները հավասար են (- 5; 5):

Անհրաժեշտ է հաշվարկել M 1 կետից մինչև ուղիղ a հեռավորությունը: Մենք ունենք M 1 (- 1, 2) և H 1 (- 5, 5) կետերի կոորդինատները, այնուհետև դրանք փոխարինում ենք բանաձևի մեջ՝ գտնելու հեռավորությունը և ստանալ, որ

M 1 H 1 = (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 = 25 = 5

Երկրորդ լուծում.

Այլ կերպ լուծելու համար անհրաժեշտ է ստանալ ուղիղի նորմալ հավասարումը։ Մենք հաշվարկում ենք նորմալացնող գործոնի արժեքը և հավասարման երկու կողմերը բազմապատկում ենք 4 x - 3 y + 35 = 0: Այստեղից մենք ստանում ենք, որ նորմալացնող գործակիցը հավասար է - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5, իսկ նորմալ հավասարումը կլինի - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0: ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0:

Ըստ հաշվարկման ալգորիթմի, անհրաժեշտ է ստանալ գծի նորմալ հավասարումը և այն հաշվարկել x = - 1, y = 2 արժեքներով: Հետո մենք ստանում ենք դա

4 5 · - 1 + 3 5 · 2 - 7 = - 5

Դրանից մենք ստանում ենք, որ M 1 (- 1, 2) կետից մինչև տրված ուղիղ 4 x - 3 y + 35 = 0 հեռավորությունը ունի 5 = 5 արժեք:

Պատասխան. 5 .

Կարելի է տեսնել, որ այս մեթոդում կարևոր է օգտագործել գծի նորմալ հավասարումը, քանի որ այս մեթոդը ամենակարճն է։ Բայց առաջին մեթոդը հարմար է, քանի որ այն հետևողական է և տրամաբանական, թեև ունի ավելի շատ հաշվարկային միավորներ։

Օրինակ 2

Հարթության վրա կա ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ O x y կետով M 1 (8, 0) և ուղիղ y = 1 2 x + 1: Գտի՛ր տրված կետից ուղիղ գիծ հեռավորությունը:

Լուծում

Առաջին եղանակով լուծելը ներառում է թեքությամբ տրված հավասարումը հավասարման կրճատում ընդհանուր տեսարան. Գործերը պարզեցնելու համար դուք կարող եք դա անել այլ կերպ:

Եթե ​​ուղղահայաց ուղիղ գծերի անկյունային գործակիցների արտադրյալն ունի -1 արժեք, ապա լանջինՏրվածին ուղղահայաց ուղիղը y = 1 2 x + 1 ունի 2 արժեքը։ Այժմ մենք ստանում ենք M 1 (8, 0) կոորդինատներով կետով անցնող ուղիղի հավասարումը: Մենք ունենք, որ y - 0 = - 2 · (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16:

Շարունակում ենք գտնել H 1 կետի կոորդինատները, այսինքն՝ y = - 2 x + 16 և y = 1 2 x + 1 հատման կետերը։ Մենք կազմում ենք հավասարումների համակարգ և ստանում.

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 · 6 + 1 x = 6 = y = 4 x = 6 ⇒ H 1 (6, 4)

Հետևում է, որ M 1 (8, 0) կոորդինատներով կետից մինչև y = 1 2 x + 1 ուղիղ գիծը հավասար է M 1 (8, 0) կոորդինատներով ելակետից և վերջնակետից հեռավորությանը և Հ 1 (6, 4) . Եկեք հաշվարկենք և գտնենք, որ M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5:

Երկրորդ ճանապարհով լուծումը գործակից ունեցող հավասարումից նրա նորմալ ձևին անցնելն է։ Այսինքն, մենք ստանում ենք y = 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 = 0, ապա նորմալացնող գործոնի արժեքը կլինի - 1 1 2 2 + (- 1) 2 = - 2 5: Հետևում է, որ ուղիղի նորմալ հավասարումը ստանում է ձևը՝ 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0։ Հաշվարկը կատարենք M 1 8, 0 կետից մինչև ձևի ուղիղ գիծ՝ 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0։ Մենք ստանում ենք.

M 1 H 1 = - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 = - 10 5 = 2 5

Պատասխան. 2 5 .

Օրինակ 3

Անհրաժեշտ է հաշվարկել M 1 (- 2, 4) կոորդինատներով կետից մինչև 2 x - 3 = 0 և y + 1 = 0 տողերը:

Լուծում

Մենք ստանում ենք ուղիղ գծի նորմալ ձևի հավասարումը 2 x - 3 = 0:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

Այնուհետև մենք անցնում ենք M 1 - 2, 4 կետից մինչև x - 3 2 = 0 ուղիղ գծի հեռավորությունը: Մենք ստանում ենք.

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

y + 1 = 0 ուղիղ գծի հավասարումը ունի նորմալացնող գործակից, որի արժեքը հավասար է -1: Սա նշանակում է, որ հավասարումը կունենա ձև՝ y - 1 = 0: Մենք անցնում ենք M 1 (- 2, 4) կետից մինչև ուղիղ գիծ - y - 1 = 0 հեռավորության հաշվարկը: Մենք գտնում ենք, որ այն հավասար է - 4 - 1 = 5:

Պատասխան. 3 1 2 և 5.

Եկեք ավելի սերտ նայենք, թե ինչպես գտնել հեռավորությունը հարթության տվյալ կետից մինչև կոորդինատային առանցքներ O x և O y.

Ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում O առանցքը y ունի ուղիղ գծի հավասարում, որը թերի է և ունի x = 0 ձև, իսկ O x - y = 0: Հավասարումները նորմալ են կոորդինատային առանցքների համար, ապա անհրաժեշտ է գտնել M 1 x 1, y 1 կոորդինատներով կետից մինչև ուղիղների հեռավորությունը։ Դա արվում է M 1 H 1 = x 1 և M 1 H 1 = y 1 բանաձևերի հիման վրա: Եկեք նայենք ստորև ներկայացված նկարին:

Օրինակ 4

Գտե՛ք M 1 (6, - 7) կետից մինչև O x y հարթությունում գտնվող կոորդինատային գծերի հեռավորությունը։

Լուծում

Քանի որ y = 0 հավասարումը վերաբերում է O x ուղիղին, մենք կարող ենք գտնել հեռավորությունը M 1 s-ից տրված կոորդինատները, այս ուղիղ գծին օգտագործելով բանաձեւը. Մենք ստանում ենք, որ 6 = 6:

Քանի որ x = 0 հավասարումը վերաբերում է O y ուղիղ գծին, դուք կարող եք գտնել M 1-ից այս ուղիղ գծի հեռավորությունը՝ օգտագործելով բանաձևը: Հետո մենք ստանում ենք, որ - 7 = 7:

Պատասխան. M 1-ից O x հեռավորությունը ունի 6 արժեք, իսկ M 1-ից O y-ն ունի 7 արժեք:

Երբ եռաչափ տարածության մեջ ունենք M 1 կոորդինատներով կետ (x 1, y 1, z 1), անհրաժեշտ է գտնել A կետից մինչև a ուղիղ գիծ հեռավորությունը։

Դիտարկենք երկու մեթոդ, որոնք թույլ են տալիս հաշվարկել տարածության մեջ գտնվող կետից մինչև a ուղիղ գիծ հեռավորությունը: Առաջին դեպքում դիտարկվում է M 1 կետից ուղիղ հեռավորությունը, որտեղ գծի մի կետը կոչվում է H 1 և հանդիսանում է M 1 կետից a ուղիղը գծված ուղղահայաց հիմքը: Երկրորդ դեպքը ենթադրում է, որ այս հարթության կետերը պետք է փնտրել որպես զուգահեռագծի բարձրություն։

Առաջին ճանապարհը

Սահմանումից մենք ունենք, որ a ուղիղ գծի վրա գտնվող M 1 կետից հեռավորությունը M 1 H 1 ուղղահայաց երկարությունն է, այնուհետև մենք ստանում ենք այն H 1 կետի գտնված կոորդինատներով, այնուհետև գտնում ենք M 1-ի միջև եղած հեռավորությունը: x 1, y 1, z 1) և H 1 (x 1, y 1, z 1), հիմնված M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z բանաձևի վրա 1 2.

Մենք գտնում ենք, որ ամբողջ լուծումը գնում է դեպի M 1-ից a ուղիղ գծով գծված ուղղահայաց հիմքի կոորդինատները գտնելու ուղղությամբ: Դա արվում է հետևյալ կերպ. H 1 այն կետն է, որտեղ a ուղիղը հատվում է տվյալ կետով անցնող հարթության հետ:

Սա նշանակում է, որ M 1 կետից (x 1, y 1, z 1) կետից a տողից տարածության հեռավորությունը որոշելու ալգորիթմը ենթադրում է մի քանի կետեր.

Սահմանում 5

• կազմելով χ հարթության հավասարումը որպես ուղիղին ուղղահայաց գտնվող տվյալ կետով անցնող հարթության հավասարում.
• H 1 կետին պատկանող կոորդինատների (x 2, y 2, z 2) որոշում, որը a ուղիղ գծի և χ հարթության հատման կետն է.
• Կետից մինչև ուղիղ հեռավորությունը հաշվարկելով M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 բանաձևով:

Երկրորդ ճանապարհ

Պայմանից ունենք a ուղիղ գիծ, ​​ապա կարող ենք որոշել a → = a x, a y, a z ուղղության վեկտորը՝ x 3, y 3, z 3 կոորդինատներով և a-ին պատկանող որոշակի կետ M 3։ Եթե ​​ունեք M 1 (x 1, y 1) և M 3 x 3, y 3, z 3 կետերի կոորդինատները, կարող եք հաշվարկել M 3 M 1 →:

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

M 3 կետից պետք է մի կողմ դնել a → = a x, a y, a z և M 3 M 1 → = x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 վեկտորները, միացնել դրանք և ստանալ զուգահեռագիծ: գործիչ. M 1 H 1 զուգահեռագծի բարձրությունն է:

Եկեք նայենք ստորև ներկայացված նկարին:

Մենք ունենք, որ M 1 H 1 բարձրությունը պահանջվող հեռավորությունն է, ապա անհրաժեշտ է գտնել այն բանաձևով. Այսինքն, մենք փնտրում ենք M 1 H 1:

Եկեք նշանակենք զուգահեռագծի տարածքը S տառով, որը գտնվել է բանաձևով a → = (a x, a y, a z) և M 3 M 1 → = x 1 - x 3 վեկտորով: y 1 - y 3, z 1 - z 3. Տարածքի բանաձևն է S = a → × M 3 M 1 →: Նաև նկարի մակերեսը հավասար է նրա կողմերի երկարությունների և բարձրության արտադրյալին, մենք ստանում ենք, որ S = a → · M 1 H 1 a → = a x 2 + a y 2 + a z 2-ով, որը a → = (a x , a y, a z) վեկտորի երկարությունն է, որը հավասար է զուգահեռագծի կողմին։ Սա նշանակում է, որ M 1 H 1 հեռավորությունն է կետից մինչև ուղիղ: Այն հայտնաբերվել է M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → բանաձևով:

M 1 (x 1, y 1, z 1) կոորդինատներով կետից մինչև a ուղիղ գիծ հեռավորությունը գտնելու համար հարկավոր է կատարել ալգորիթմի մի քանի քայլ.

Սահմանում 6

• ուղիղ գծի ուղղության վեկտորի որոշումը a - a → = (a x, a y, a z);
• ուղղության վեկտորի երկարության հաշվարկը a → = a x 2 + a y 2 + a z 2;
• ստանալով x 3, y 3, z 3 կոորդինատները, որոնք պատկանում են a ուղիղ գծի վրա գտնվող M 3 կետին.
• M 3 M 1 → վեկտորի կոորդինատների հաշվարկը;
• գտնելով a → (a x, a y, a z) և M 3 M 1 → = x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 վեկտորների վեկտորների արտադրյալը որպես → × M 3 M 1 → = i. → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 երկարությունը ստանալու համար a → × M 3 M 1 → բանաձեւով;
• հաշվարկելով հեռավորությունը կետից մինչև ուղիղ M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Տիեզերքում տվյալ կետից մինչև տրված ուղիղ հեռավորությունը գտնելու խնդիրների լուծում

Գտե՛ք հեռավորությունը M 1 2, - 4, - 1 կոորդինատներով կետից մինչև x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ուղիղը:

Լուծում

Առաջին մեթոդը սկսվում է M 1-ով անցնող χ հարթության հավասարումը գրելով տվյալ կետին ուղղահայաց։ Մենք ստանում ենք նման արտահայտություն.

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Անհրաժեշտ է գտնել H 1 կետի կոորդինատները, որը χ հարթության հետ պայմանով նշված ուղիղին հատման կետն է։ Դուք պետք է անցնեք կանոնական հայացքից դեպի հատվողը: Այնուհետև մենք ստանում ենք ձևի հավասարումների համակարգ.

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 · (x + 1) = 2 · y 5 · (x + 1) = 2 · (z + 5) 5 · y = - 1 · (z) + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Անհրաժեշտ է հաշվարկել համակարգը x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 Քրամերի մեթոդով, ապա մենք ստանում ենք, որ.

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 - 60 = 0

Այստեղից մենք ունենք այն H 1 (1, - 1, 0):

M 1 H 1 = 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 = 11

Երկրորդ մեթոդը պետք է սկսվի կանոնական հավասարման մեջ կոորդինատների որոնմամբ: Դա անելու համար պետք է ուշադրություն դարձնել կոտորակի հայտարարներին: Այնուհետև a → = 2, - 1, 5-ը x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ուղղի ուղղության վեկտորն է: Անհրաժեշտ է հաշվարկել երկարությունը՝ օգտագործելով a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30 բանաձեւը։

Հասկանալի է, որ x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ուղիղը հատում է M 3 (- 1 , 0 , - 5) կետը, հետևաբար ունենք, որ սկզբնավորմամբ վեկտորը M 3 (- 1 , 0 , - 5) և դրա վերջը M 1 2, - 4, - 1 կետում M 3 M 1 → = 3, - 4, 4 է: Գտեք վեկտորի արտադրյալը a → = (2, - 1, 5) և M 3 M 1 → = (3, - 4, 4):

Ստանում ենք a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 j → = 16 · i → + 7 · j → - 5 · k →

մենք գտնում ենք, որ վեկտորի արտադրյալի երկարությունը հավասար է a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330:

Մենք ունենք բոլոր տվյալները ուղիղ գծի համար կետից հեռավորությունը հաշվարկելու բանաձևը օգտագործելու համար, ուստի եկեք կիրառենք այն և ստանանք.

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

Պատասխան. 11 .

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Սանկտ Պետերբուրգի պետական ​​ծովային տեխնիկական համալսարան

Համակարգչային գրաֆիկայի և տեղեկատվական սպասարկման բաժին

ԴԱՍ 3

ԳՈՐԾՆԱԿԱՆ ԱՌԱՋԱԴՐԱՆՔ ԹԻՎ 3

Կետից ուղիղ գիծ հեռավորության որոշում:

Դուք կարող եք որոշել կետի և ուղիղ գծի միջև եղած հեռավորությունը՝ կատարելով հետևյալ կառուցվածքները (տես նկ. 1).

· կետից ՀԵՏիջեցնել ուղղահայացը ուղիղ գծի վրա Ա;

· նշեք կետ TOուղղահայաց ուղիղ գծի հատում;

չափել հատվածի երկարությունը Կ.Ս, որի սկիզբը տրված կետն է, իսկ վերջը՝ նշված հատման կետը։

Նկ.1. Հեռավորությունը կետից մինչև գիծ:

Այս տեսակի խնդիրների լուծման հիմքը ճիշտ անկյան պրոյեկցիայի կանոնն է. ուղիղ անկյունը նախագծվում է առանց խեղաթյուրման, եթե նրա կողմերից առնվազն մեկը զուգահեռ է նախագծման հարթությանը(այսինքն՝ զբաղեցնում է մասնավոր պաշտոն)։ Սկսենք հենց այսպիսի դեպքից և դիտարկենք կետից հեռավորությունը որոշելու կոնստրուկցիաներ ՀԵՏդեպի ուղիղ հատված ԱԲ.

Այս առաջադրանքում փորձարկման օրինակներ չկան, և առանձին առաջադրանքները կատարելու տարբերակները ներկայացված են աղյուսակ 1 և աղյուսակ 2. Խնդրի լուծումը նկարագրված է ստորև, իսկ համապատասխան կոնստրուկցիաները ներկայացված են Նկար 2-ում։

1. Կետից մինչև որոշակի գիծ հեռավորության որոշում:

Նախ, կառուցվում են կետի և հատվածի կանխատեսումներ: Պրոյեկցիա A1B1առանցքին զուգահեռ X. Սա նշանակում է, որ հատվածը ԱԲինքնաթիռին զուգահեռ P2. Եթե ​​կետից ՀԵՏուղղահայաց նկարել ԱԲ, ապա ուղիղ անկյունը նախագծվում է առանց աղավաղման հարթության վրա P2. Սա թույլ է տալիս մի կետից ուղղահայաց նկարել C2դեպի պրոյեկցիա A2B2.

Բացվող ընտրացանկ Նկարչություն-հատված (Ոչ ոքի- Գիծ) . Տեղադրեք կուրսորը կետում C2և ամրացրեք այն որպես հատվածի առաջին կետ: Տեղափոխեք կուրսորը նորմալի ուղղությամբ դեպի հատված A2B2և դրա վրա ֆիքսեք երկրորդ կետը ակնարկի հայտնվելու պահին Նորմալ (Ուղղահայաց) . Նշեք կառուցված կետը K2. Միացնել ռեժիմը ORTHO (ՕՐԹՈ) , և կետից K2գծեք ուղղահայաց միացման գիծ, ​​մինչև այն հատվի նախագծման հետ A1 B1. Նշեք հատման կետը ըստ K1. Կետ TO, հատվածի վրա պառկած ԱԲ, կետից գծված ուղղահայաց հատման կետն է ՀԵՏ, հատվածով ԱԲ. Այսպիսով, հատվածը Կ.Սկետից մինչև գիծ պահանջվող հեռավորությունն է:

Կոնստրուկցիաներից պարզ է դառնում, որ հատվածը Կ.Սզբաղեցնում է ընդհանուր դիրք և, հետևաբար, դրա կանխատեսումները խեղաթյուրված են։ Հեռավորության մասին խոսելիս միշտ նկատի ունենք հատվածի իրական արժեքը, արտահայտելով հեռավորությունը։ Հետևաբար, մենք պետք է գտնենք հատվածի իրական արժեքը KS,պտտելով այն որոշակի դիրքի վրա, օրինակ. Կ.Ս|| P1. Կոնստրուկցիաների արդյունքը ներկայացված է Նկար 2-ում:

Նկար 2-ում ցուցադրված կոնստրուկցիաներից կարող ենք եզրակացնել՝ գծի կոնկրետ դիրքը (հատվածը զուգահեռ է. P1կամ P2) թույլ է տալիս արագորեն կառուցել կետից մինչև գիծ հեռավորության կանխատեսումները, բայց դրանք աղավաղված են:

Նկ.2. Կետից մինչև որոշակի գիծ հեռավորության որոշում:

2. Կետից ընդհանուր գիծ հեռավորության որոշում:

Սեգմենտը սկզբնական վիճակում միշտ չէ, որ որոշակի դիրք է զբաղեցնում: Ընդհանուր սկզբնական դիրքով, կետից գիծ հեռավորությունը որոշելու համար կատարվում են հետևյալ կոնստրուկցիաները.

ա) օգտագործելով գծագրության փոխակերպման մեթոդը, հատվածը փոխակերպեք ընդհանուր դիրքից որոշակիի, դա թույլ կտա կառուցել հեռավորության կանխատեսումներ (խեղաթյուրված).

բ) կրկին օգտագործելով մեթոդը, անհրաժեշտ հեռավորությանը համապատասխան հատվածը թարգմանեք որոշակի դիրքի մեջ. մենք ստանում ենք հեռավորության պրոյեկցիա իրականին հավասար մեծությամբ:

Դիտարկենք շինությունների հաջորդականությունը՝ կետից հեռավորությունը որոշելու համար Աընդհանուր դիրքի հատվածին Արև(նկ. 3):

Առաջին պտույտի ժամանակ անհրաժեշտ է ձեռք բերել հատվածի կոնկրետ դիրքը INԳ. Դա անելու համար շերտում TMRանհրաժեշտ է միացնել կետերը B2, C2Եվ A2. Օգտագործելով հրամանը Փոխել-պտտել (Փոփոխել – Պտտել) եռանկյուն В2С2А2պտտվել մի կետի շուրջ C2դեպի այն դիրքը, որտեղ նոր պրոյեկցիան է B2*C2կտեղակայվի խիստ հորիզոնական (կետ ՀԵՏանշարժ է և, հետևաբար, նրա նոր պրոյեկցիան համընկնում է սկզբնականի և նշանակման հետ C2*Եվ C1*կարող է չցուցադրվել գծագրում): Արդյունքում կստացվեն հատվածի նոր կանխատեսումներ B2*C2և միավորներ. A2*.Հաջորդը կետերից A2*Եվ B2*ուղղահայացները կատարվում են, իսկ կետերից B1Եվ Ա1հորիզոնական կապի գծեր. Համապատասխան գծերի հատումը կորոշի նոր հորիզոնական պրոյեկցիայի կետերի դիրքը՝ հատվածը B1*C1և կետեր Ա1*.

Ստացված կոնկրետ դիրքում մենք կարող ենք կառուցել հեռավորության կանխատեսումներ դրա համար՝ կետից A1*նորմալը B1*C1.Նրանց փոխհատման կետն է Կ1*.Այս կետից գծվում է ուղղահայաց միացման գիծ, ​​մինչև այն հատվում է պրոյեկցիայի հետ B2*C2.Նշված է կետ K2*.Արդյունքում ստացվել են հատվածի կանխատեսումները Ա.Կ, որը պահանջվող հեռավորությունն է կետից Ադեպի ուղիղ հատված Արև.

Հաջորդը, անհրաժեշտ է կառուցել հեռավորության կանխատեսումներ նախնական վիճակում: Դա անելու համար կետից K1*հարմար է հորիզոնական գիծ գծել, մինչև այն հատվի պրոյեկցիայի հետ В1С1և նշիր հատման կետը K1.Այնուհետև կառուցվում է կետ K2հատվածի ճակատային պրոյեկցիայի վրա և կատարվում են պրոյեկցիաներ A1K1Եվ A2K2.Կառուցումների արդյունքում ստացվել են հեռավորության պրոյեկցիաներ, սակայն հատվածի և՛ սկզբնական, և՛ նոր մասնակի դիրքում. արև,հատվածը Ա.Կզբաղեցնում է ընդհանուր դիրք, և դա հանգեցնում է նրան, որ նրա բոլոր կանխատեսումները խեղաթյուրված են։

Երկրորդ պտույտի վրա անհրաժեշտ է պտտել հատվածը Ա.Կդեպի որոշակի դիրք, որը թույլ կտա մեզ որոշել հեռավորության իրական արժեքը՝ պրոյեկցիան A2*K2**.Բոլոր կոնստրուկցիաների արդյունքը ներկայացված է Նկար 3-ում:

ԱՌԱՋԱԴՐԱՆՔ թիվ 3-1. ՀԵՏդեպի որոշակի դիրքի ուղիղ գիծ, ​​որը նշված է հատվածով ԱԲ. Պատասխանը տվեք մմ-ով (Աղյուսակ 1):Հեռացրեք պրոյեկցիոն ոսպնյակները

Աղյուսակ 1

ԱՌԱՋԱԴՐԱՆՔ թիվ 3-2.Գտեք իրական հեռավորությունը մի կետից Մհատվածի կողմից տրված ընդհանուր դիրքի ուղիղ գծի նկատմամբ ED. Պատասխանը տվեք մմ-ով (Աղյուսակ 2):

Աղյուսակ 2

Կատարված ԹԻՎ 3 ԱՌԱՋԱԴՐԱՆՔԻ ստուգում և փոխանցում։

Տրված M կետից L ուղիղ գիծ հեռավորությունը հաշվարկելու համար կարող եք օգտագործել տարբեր ուղիներ. Օրինակ, եթե վերցնենք կամայական M 0 կետ L ուղղի վրա, ապա կարող ենք որոշել M 0 M վեկտորի ուղղանկյուն պրոյեկցիան գծի նորմալ վեկտորի ուղղությամբ:Այս պրոյեկցիան, մինչև նշանը, պահանջվող հեռավորությունն է:

Կետից մինչև ուղիղ հեռավորությունը հաշվարկելու մեկ այլ եղանակ հիմնված է օգտագործման վրա գծի նորմալ հավասարում. Թող ուղիղ L տրվի նորմալ հավասարմամբ (4.23): Եթե ​​M(x; y) կետը չի գտնվում L ուղղի վրա, ապա ուղղանկյուն պրոյեկցիան pr n OM շառավիղի վեկտոր M կետը L ուղիղ գծի n միավորի նորմալ վեկտորի ուղղությանը հավասար է OM և n վեկտորների սկալյար արտադրյալին, այսինքն. x cosφ + y sinφ. Նույն պրոյեկցիան հավասար է սկզբից մինչև ուղիղ p հեռավորության գումարին և δ որոշակի արժեքին (նկ. 4.10): δ-ի արժեքը ըստ բացարձակ արժեքհավասար է M կետից ուղիղ գիծ հեռավորությանը: Ընդ որում, δ > 0, եթե M և O կետերը գտնվում են ուղիղ գծի հակառակ կողմերում, իսկ δ-ն ուղիղ գծից M կետի շեղումն է։

L ուղիղ գծից M(x; y) կետի δ շեղումը հաշվարկվում է որպես pr n OM պրոյեկցիայի և սկզբից մինչև ուղիղ գիծ p հեռավորության տարբերությունը (տես Նկար 4.10), այսինքն. δ = x cosφ + y sinφ - p.

Օգտագործելով այս բանաձևը, կարող եք նաև ստանալ p(M, L) հեռավորությունը M(x; y) կետից մինչև L ուղիղ գիծը, որը տրված է նորմալ հավասարմամբ՝ p(M, L) = |δ | = |x cosφ + y sinφ - p|.

2 Կից երկու անկյունները գումարվում են մինչև 180°

Հաշվի առնելով վերը նշված փոխակերպման ընթացակարգը գծի ընդհանուր հավասարումըիր նորմալ հավասարման մեջ մենք ստանում ենք M(x;y) կետից մինչև L ուղիղ գիծ հեռավորության բանաձևը, որը տրված է նրա ընդհանուր հավասարմամբ.

Օրինակ 4.8.Գտնենք A գագաթից դուրս եկող ABC եռանկյան AH բարձրության, AM միջինի և AD կիսորդի ընդհանուր հավասարումները: A(-1;- 3), B(7; 3), C եռանկյան գագաթների կոորդինատները: (1;7) հայտնի են։

Նախ պարզաբանենք օրինակի պայմանը. նշված հավասարումներով նկատի ունենք L AH, L AM և L AD ուղիղների հավասարումները, որոնց վրա գտնվում են նշված եռանկյան AH բարձրությունը, միջին AM և կիսադիրը AD: , համապատասխանաբար (նկ. 4.11):

L AM ուղիղ գծի հավասարումը գտնելու համար մենք օգտագործում ենք այն փաստը, որ միջնագիծը կիսում է եռանկյան հակառակ կողմը: Գտնելով BC կողմի կեսի կոորդինատները (x 1 ; y 1) x 1 = (7 + 1)/2 = 4, y 1 = (3 + 7)/2 = 5, մենք գրում ենք L-ի հավասարումը. AM ձևով երկու կետով անցնող ուղիղի հավասարումներ,(x + 1)/(4 + 1) = (y + 3)/(5 + 3): Փոխակերպումներից հետո մենք ստանում ենք միջինի ընդհանուր հավասարումը 8x - 5y - 7 = 0./p>

L AH բարձրության հավասարումը գտնելու համար մենք օգտագործում ենք այն փաստը, որ բարձրությունը ուղղահայաց է եռանկյան հակառակ կողմին: Հետևաբար, BC վեկտորը ուղղահայաց է AH բարձրությանը և կարող է ընտրվել որպես L AH ուղիղ գծի նորմալ վեկտոր: Այս ուղիղի հավասարումը ստացվում է (4.15)՝ փոխարինելով A կետի կոորդինատները և L AH ուղղի նորմալ վեկտորը.

(-6) (x + 1) + 4 (y + 3) = 0:

Փոխակերպումներից հետո մենք ստանում ենք ընդհանուր բարձրության հավասարումը 3x - 2y - 3 = 0:

L AD կիսաչափի հավասարումը գտնելու համար մենք օգտագործում ենք այն փաստը, որ AD կիսադիրը պատկանում է այն N(x; y) կետերի բազմությանը, որոնք հավասար են L AB և L AC ուղիղներից: Այս բազմության հավասարումն ունի ձև

P(N, L AB) = P(N, L AC), (4.28)

և սահմանում է երկու ուղիղ, որոնք անցնում են A կետով և կիսով չափ բաժանում անկյունները L AB և L AC տողերի միջև: Օգտագործելով երկու կետով անցնող ուղիղի հավասարումը, մենք գտնում ենք L AB և L AC ուղիղների ընդհանուր հավասարումները.

L AB: (x + 1)/(7 + 1) = (y + 3)/(3 + 3), L AC: (x + 1)/(1 + 1) = (y + 3)/(7 + 3)

Փոխակերպումներից հետո մենք ստանում ենք L AB. 3x - 4y - 9 = 0, L AC: 5x - y + 2 = 0: Մենք գրում ենք հավասարումը (4.28) օգտագործելով (4.27) բանաձևը` հաշվարկելու կետից մինչև ուղիղ հեռավորությունը: ձեւը

Եկեք փոխակերպենք այն՝ ընդլայնելով մոդուլները.

Արդյունքում մենք ստանում ենք երկու տողերի ընդհանուր հավասարումներ

(3 ± 25/√26)x + (-4 ± 5/√26)y + (-9 ± 10/√26) = 0

Դրանցից բիսեկտորի հավասարումն ընտրելու համար մենք հաշվի ենք առնում, որ եռանկյան B և C գագաթները գտնվում են ցանկալի գծի հակառակ կողմերում և, հետևաբար, փոխարինելով դրանց կոորդինատները. ձախ կողմը L AD ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը պետք է արժեքներ տա տարբեր նշաններ. Մենք ընտրում ենք վերին նշանին համապատասխան հավասարումը, այսինքն.

(3 - 25/√26)x + (-4 + 5/√26)y + (-9 - 10/√26) = 0

B կետի կոորդինատները այս հավասարման ձախ կողմում փոխարինելը բացասական արժեք է տալիս, քանի որ

(3 - 25/√26)7 + (-4 + 5/√26)3 + (-9 - 10/√26) = 21 - 12 - 9 + (-175 + 15 - 10)/√26 = -170/√26

և նույն նշանը ստացվում է C կետի կոորդինատների համար, քանի որ

(3 - 25/√26)1 + (-4 + 5/√26)7 + (-9 - 10/√26) = 3 - 28 - 9 + (-25 + 35 - 10)/√26 = -34

Հետևաբար, B և C գագաթները գտնվում են ընտրված հավասարման հետ գծի նույն կողմում, և, հետևաբար, բիսեկտորի հավասարումը.

(3 + 25/√26)x + (-4 - 5/√26)y + (-9 + 10/√26) = 0:

Կետից ուղիղ հեռավորությունը կետից ուղիղ գծված ուղղահայաց երկարությունն է։ Նկարագրական երկրաչափության մեջ այն որոշվում է գրաֆիկորեն՝ օգտագործելով ստորև տրված ալգորիթմը։

Ալգորիթմ

1. Ուղիղ գիծը տեղափոխվում է մի դիրք, որտեղ այն զուգահեռ կլինի ցանկացած պրոյեկցիոն հարթության: Այդ նպատակով օգտագործվում են ուղղանկյուն պրոյեկցիաների փոխակերպման մեթոդներ։
2. Մի կետից ուղղահայացը գծվում է ուղիղին: Այս կոնստրուկցիան հիմնված է ուղիղ անկյան պրոյեկցիայի թեորեմի վրա։
3. Ուղղահայաց երկարությունը որոշվում է նրա ելուստները վերափոխելով կամ ուղղանկյուն եռանկյունու մեթոդի կիրառմամբ:

Հետևյալ նկարը ցույց է տալիս բարդ նկարչություն M կետը և b ուղիղը սահմանված է CD հատվածով: Դուք պետք է գտնեք նրանց միջև հեռավորությունը:

Մեր ալգորիթմի համաձայն, առաջին բանը, որ պետք է անել, տողը տեղափոխելն է պրոյեկցիոն հարթությանը զուգահեռ դիրք: Կարևոր է հասկանալ, որ փոխակերպումները կատարելուց հետո կետի և գծի միջև իրական հեռավորությունը չպետք է փոխվի: Այդ իսկ պատճառով այստեղ հարմար է օգտագործել ինքնաթիռի փոխարինման մեթոդը, որը չի ներառում շարժվող ֆիգուրները տարածության մեջ։

Շինարարության առաջին փուլի արդյունքները ներկայացված են ստորև. Նկարը ցույց է տալիս, թե ինչպես է b-ին զուգահեռ լրացուցիչ դիմային P 4 հարթություն: IN նոր համակարգ(P 1, P 4) C"" 1, D"" 1, M"" 1 կետերը գտնվում են X առանցքից 1 նույն հեռավորության վրա, ինչ C"", D"", M"" X առանցքից:

Իրականացնելով ալգորիթմի երկրորդ մասը, M"" 1-ից մենք իջեցնում ենք ուղղահայաց M"" 1 N"" 1 դեպի ուղիղ գիծ b"" 1, քանի որ B-ի և MN-ի միջև MND ճիշտ անկյունը նախագծված է P հարթության վրա: 4 լրիվ չափով։ Օգտագործելով կապի գիծը՝ որոշում ենք N» կետի դիրքը և իրականացնում MN հատվածի M»N» պրոյեկցիան։

Վերջնական փուլում դուք պետք է որոշեք MN հատվածի չափը նրա կանխատեսումներից M"N" և M"" 1 N"" 1: Դրա համար մենք կառուցում ենք ուղղանկյուն եռանկյուն M"" 1 N"" 1 N 0, որի ոտքը N"" 1 N 0 հավասար է X 1 առանցքից M" և N" կետերի հեռավորության տարբերությանը (Y M 1 – Y N 1): M"" 1 N 0 եռանկյան M"" 1 N"" 1 N 0 հիպոթենուզի երկարությունը համապատասխանում է M-ից b ցանկալի հեռավորությանը:

Երկրորդ լուծում

• CD-ին զուգահեռ մենք ներկայացնում ենք նոր ճակատային հարթություն P 4: Այն հատում է P 1-ը X 1 առանցքի երկայնքով, և X 1 ∥C"D": Ինքնաթիռների փոխարինման մեթոդի համաձայն մենք որոշում ենք C"" 1, D"" 1 և M"" 1 կետերի կանխատեսումները, ինչպես ցույց է տրված նկարում:
• C"" 1 D"" 1-ին ուղղահայաց մենք կառուցում ենք լրացուցիչ հորիզոնական հարթություն P 5, որի վրա b ուղիղ գիծը նախագծված է դեպի C կետը" 2 = b" 2:
• M կետի և b տողի միջև հեռավորությունը որոշվում է կարմիրով նշված M" 2 C" 2 հատվածի երկարությամբ:

Նմանատիպ առաջադրանքներ.