Իսկ ինչո՞վ է այն տարբերվում շրջանագծից։ Վերցրեք գրիչ կամ գույներ և թղթի վրա գծեք սովորական շրջան: Կապույտ մատիտով ներկեք ստացված պատկերի ամբողջ կեսը: Կարմիր ուրվագիծը, որը ցույց է տալիս ձևի սահմանները, շրջան է: Բայց դրա ներսում կապույտ պարունակությունը շրջանն է:

Շրջանակի և շրջանագծի չափերը որոշվում են տրամագծով: Շրջանակը ցույց տվող կարմիր գծի վրա նշեք երկու կետ, որպեսզի դրանք միմյանց հայելային պատկերներ լինեն: Միացրեք դրանք գծով: Հատվածն անպայման կանցնի շրջանագծի կենտրոնում գտնվող կետով: Շրջանակի հակառակ մասերը միացնող այս հատվածը երկրաչափության մեջ կոչվում է տրամագիծ:

Այն հատվածը, որը չի տարածվում շրջանագծի կենտրոնով, բայց միանում է նրան հակառակ ծայրերով, կոչվում է ակորդ։ Հետևաբար, շրջանագծի կենտրոնական կետով անցնող ակորդը նրա տրամագիծն է։

Նշված է տրամագիծը Լատինական տառԴ. Դուք կարող եք գտնել շրջանագծի տրամագիծը՝ օգտագործելով այնպիսի արժեքներ, ինչպիսիք են շրջանի տարածքը, երկարությունը և շառավիղը:

Հեռավորությունը կենտրոնական կետՇրջանակի վրա գծագրված կետը կոչվում է շառավիղ և նշվում է R տառով: Շառավղի արժեքի իմացությունը օգնում է հաշվարկել շրջանագծի տրամագիծը մեկ պարզ քայլով.

Օրինակ, շառավիղը 7 սմ է, 7 սմ-ը բազմապատկում ենք 2-ով և ստանում ենք 14 սմ արժեք։

Երբեմն դուք պետք է որոշեք շրջանակի տրամագիծը միայն նրա երկարությամբ: Այստեղ անհրաժեշտ է կիրառել հատուկ բանաձև, որը կօգնի որոշել L = 2 Pi * R բանաձևը, որտեղ 2-ը հաստատուն արժեք է (հաստատուն), իսկ Pi = 3.14: Եվ քանի որ հայտնի է, որ R = D * 2, բանաձեւը կարելի է ներկայացնել այլ կերպ

Այս արտահայտությունը կիրառելի է նաև որպես շրջանագծի տրամագծի բանաձև։ Խնդրում հայտնի մեծությունները փոխարինելով՝ հավասարումը լուծում ենք մեկ անհայտով։ Ենթադրենք, երկարությունը 7 մ է, հետևաբար.

Պատասխան՝ տրամագիծը 21,98 մետր է։

Եթե ​​տարածքը հայտնի է, ապա կարելի է որոշել նաև շրջանագծի տրամագիծը։ Բանաձևը, որն օգտագործվում է այս դեպքում, այսպիսի տեսք ունի.

D = 2 * (S / Pi) * (1 / 2)

Ս - այս դեպքում ենթադրենք, որ այն հավասար է 30 քմ. մ.

D = 2 * (30 / 3, 14) * (1 / 2) D = 9, 55414

Երբ խնդրի մեջ նշված արժեքը հավասար է գնդակի ծավալին (V), տրամագիծը գտնելու համար օգտագործվում է հետևյալ բանաձևը. D = (6 V / Pi) * 1 / 3:

Երբեմն պետք է գտնել շրջանագծի տրամագիծը, որը գրված է եռանկյունու մեջ: Դա անելու համար օգտագործեք ներկայացված շրջանակի շառավիղը գտնելու բանաձևը.

R = S/p (S-ը տվյալ եռանկյան մակերեսն է, իսկ p-ը պարագիծն է, որը բաժանվում է 2-ի):

Ստացված արդյունքը կրկնապատկում ենք՝ հաշվի առնելով, որ D = 2 * R.

Հաճախ առօրյա կյանքում պետք է գտնել շրջանագծի տրամագիծը: Օրինակ, երբ որոշելով, թե ինչն է համարժեք դրա տրամագծին: Դա անելու համար հարկավոր է մատանու պոտենցիալ տիրոջ մատը թելով փաթաթել։ Նշեք երկու ծայրերի միջև շփման կետերը: Չափեք երկարությունը կետից կետ քանոնով: Ստացված արժեքը բազմապատկում ենք 3.14-ով՝ հետևելով հայտնի երկարությամբ տրամագիծը որոշելու բանաձևին։ Այսպիսով, պնդումը, որ երկրաչափության և հանրահաշվի իմացությունը կյանքում օգտակար չէ, միշտ չէ, որ ճիշտ է: Եվ սա լուրջ պատճառ է դպրոցական առարկաները ավելի պատասխանատու կերպով վերցնելու համար։

1. Ավելի դժվար է գտնել շրջագիծը տրամագծով, ուստի նախ նայենք այս տարբերակին:

Օրինակ: Գտե՛ք շրջանագծի շրջագիծը, որի տրամագիծը 6 սմ է. Մենք օգտագործում ենք վերևում գտնվող շրջանակի շրջագծի բանաձևը, բայց նախ պետք է գտնել շառավիղը: Դրա համար 6 սմ տրամագիծը բաժանում ենք 2-ի և ստանում շրջանագծի շառավիղը 3 սմ։

Դրանից հետո ամեն ինչ չափազանց պարզ է՝ բազմապատկեք Pi թիվը 2-ով և ստացված 3 սմ շառավղով։
2 * 3,14 * 3 սմ = 6,28 * 3 սմ = 18,84 սմ:

2. Հիմա նորից նայենք պարզ տարբերակին գտե՛ք շրջանագծի շրջագիծը, շառավիղը 5 սմ է

Լուծում. 5 սմ շառավիղը բազմապատկել 2-ով և բազմապատկել 3,14-ով: Մի անհանգստացեք, քանի որ բազմապատկիչների վերադասավորումը չի ազդում արդյունքի վրա, և շրջագծի բանաձևըկարող է օգտագործվել ցանկացած կարգով:

5սմ * 2 * 3,14 = 10 սմ * 3,14 = 31,4 սմ - սա է գտնվածը շրջապատ 5 սմ շառավղով!

Օնլայն շրջագծի հաշվիչ

Մեր շրջագծի հաշվիչը ակնթարթորեն կկատարի այս բոլոր պարզ հաշվարկները և լուծումը կգրի տողով և մեկնաբանություններով։ Մենք հաշվարկելու ենք 3, 5, 6, 8 կամ 1 սմ շառավղով շրջագիծը, կամ տրամագիծը 4, 10, 15, 20 դմ է, մեր հաշվիչին չի հետաքրքրում, թե որ շառավիղի արժեքը գտնելու շրջագիծը.

Բոլոր հաշվարկները կլինեն ճշգրիտ՝ փորձարկված մասնագետ մաթեմատիկոսների կողմից։ Արդյունքները կարող են օգտագործվել երկրաչափության կամ մաթեմատիկայի դպրոցական խնդիրների լուծման, ինչպես նաև շինարարության կամ տարածքների վերանորոգման և հարդարման աշխատանքներում, երբ պահանջվում են ճշգրիտ հաշվարկներ այս բանաձևով:

Հրահանգներ

Նախ՝ առաջադրանքի համար անհրաժեշտ են նախնական տվյալներ: Փաստն այն է, որ դրա վիճակը չի կարող հստակ ասել, թե ինչ շառավիղ է շրջան. Փոխարենը, խնդիրը կարող է տալ տրամագծի երկարությունը շրջան. Տրամագիծը շրջան- մի հատված, որը միացնում է երկու հակադիր կետեր շրջան, անցնելով նրա կենտրոնով։ Վերլուծելով սահմանումները շրջան, կարող ենք ասել, որ տրամագծի երկարությունը երկու անգամ մեծ է շառավղի երկարությունից։

Այժմ մենք կարող ենք ընդունել շառավիղը շրջանհավասար է R. Այնուհետեւ երկարության համար շրջանդուք պետք է օգտագործեք բանաձևը.
L = 2πR = πD, որտեղ L երկարությունն է շրջան, D - տրամագիծը շրջան, որը միշտ շառավիղից 2 անգամ է։

Նշում

Շրջանակը կարելի է մակագրել բազմանկյան մեջ կամ նկարագրել դրա շուրջը։ Ընդ որում, եթե շրջանագիծը մակագրված է, ապա բազմանկյունի կողմերի հետ շփման կետերում այն ​​կբաժանի դրանք կիսով չափ։ Ներգրված շրջանագծի շառավիղը պարզելու համար հարկավոր է բազմանկյան տարածքը բաժանել նրա պարագծի կեսով.
R = S / p.
Եթե ​​շրջանագիծը շրջագծված է եռանկյան շուրջ, ապա նրա շառավիղը հայտնաբերվում է հետևյալ բանաձևով.
R = a*b*c/4S, որտեղ a, b, c-ն տվյալ եռանկյան կողմերն են, S-ը եռանկյան մակերեսն է, որի շուրջը շրջագծված է շրջանը:
Եթե ​​ցանկանում եք նկարագրել քառանկյունի շուրջ շրջանագիծը, դա կարելի է անել, եթե բավարարվեն երկու պայման.
Քառանկյունը պետք է լինի ուռուցիկ:
Քառանկյան հակառակ անկյունների գումարը պետք է լինի 180°

Օգտակար խորհուրդ

Բացի ավանդական տրամաչափից, տրաֆարետները կարող են օգտագործվել նաև շրջան գծելու համար: Ժամանակակից տրաֆարետները ներառում են շրջանակ տարբեր տրամագծեր. Այս տրաֆարետները կարելի է ձեռք բերել ցանկացած գրասենյակային խանութում:

Աղբյուրներ:

• Ինչպե՞ս գտնել շրջանագծի շրջագիծը:

Շրջանակը փակ կոր գիծ է, որի բոլոր կետերը վրա են հավասար հեռավորությունմի կետից. Այս կետը շրջանագծի կենտրոնն է, իսկ կորի կետի և նրա կենտրոնի միջև ընկած հատվածը կոչվում է շրջանագծի շառավիղ։

Հրահանգներ

Եթե ​​ուղիղ գիծ գծված է շրջանագծի կենտրոնով, ապա դրա հատվածը շրջանագծի հետ այս ուղիղի հատման երկու կետերի միջև կոչվում է տվյալ շրջանագծի տրամագիծ։ Տրամագծի կեսը, կենտրոնից մինչև այն կետը, որտեղ տրամագիծը հատում է շրջանագիծը, շառավիղն է
շրջանակներ. Եթե ​​շրջանագիծը կտրվում է կամայական կետում, ուղղվում և չափվում, ապա ստացված արժեքը տվյալ շրջանագծի երկարությունն է։

Նկարեք մի քանի շրջանակներ տարբեր լուծումկողմնացույց. Տեսողական համեմատությունը թույլ է տալիս եզրակացնել, որ ավելի մեծ տրամագիծը ուրվագծվում է ավելի մեծ շրջանակ, սահմանափակված ավելի մեծ երկարությամբ շրջանով։ Հետևաբար, ուղիղ համեմատական ​​հարաբերություն կա շրջանագծի տրամագծի և երկարության միջև:

Իր ֆիզիկական իմաստով «շրջագծի երկարությունը» պարամետրը համապատասխանում է կոտրված գծով սահմանափակվածի: Եթե ​​b կողմով կանոնավոր n-գոնը ներգրենք շրջանագծի մեջ, ապա նման պատկերի P-ի պարագիծը հավասար է b կողմի արտադրյալին n կողմերի քանակով՝ P=b*n։ B կողմը կարող է որոշվել b=2R*Sin (π/n) բանաձևով, որտեղ R-ն այն շրջանագծի շառավիղն է, որի մեջ ներգծված է n-գոնը։

Կողմերի քանակի աճի հետ ներգծված բազմանկյան պարագիծը գնալով կմոտենա L. Р= b*n=2n*R*Sin (π/n)=n*D*Sin (π/n): L շրջագծի և D տրամագծի միջև կապը հաստատուն է: L/D=n*Sin (π/n) հարաբերակցությունը, քանի որ ներգծված բազմանկյան կողմերի թիվը ձգտում է դեպի անվերջություն, ձգտում է դեպի π թիվը, հաստատուն արժեք, որը կոչվում է «pi» և արտահայտվում է որպես անվերջ: տասնորդական. Առանց համակարգչային տեխնիկայի կիրառման հաշվարկների համար վերցված է π=3,14 արժեքը։ Շրջանակի շրջագիծը և տրամագիծը կապված են L= πD բանաձևով: Շրջանակի համար նրա երկարությունը բաժանեք π=3,14-ի։

Այն հաճախ հնչում է որպես հարթության մի մաս, որը սահմանափակված է շրջանով: Շրջանակի շրջագիծը հարթ փակ կոր է։ Բոլոր կետերը, որոնք գտնվում են կորի վրա, նույն հեռավորությունն են շրջանագծի կենտրոնից: Շրջանակում նրա երկարությունը և պարագիծը նույնն են: Ցանկացած շրջանագծի երկարության և տրամագծի հարաբերակցությունը հաստատուն է և նշվում է π = 3,1415 թվով:

Շրջանակի պարագծի որոշում

R շառավղով շրջանագծի պարագիծը հավասար է r շառավիղի արտադրյալի և π (~3,1415) թվի կրկնապատիկին:

Շրջանակի պարագծի բանաձևը

\(r\) շառավղով շրջանագծի պարագիծ.

\[ \LARGE(P) = 2 \cdot \pi \cdot r \]

\[ \LARGE(P) = \pi \cdot d \]

\(P\) – պարագիծ (շրջագիծ):

\(r\) – շառավիղ:

\(d\) – տրամագիծ.

Մենք սա կանվանենք շրջան երկրաչափական պատկեր, որը բաղկացած կլինի բոլոր այնպիսի կետերից, որոնք գտնվում են տվյալ կետից նույն հեռավորության վրա։

Շրջանակի կենտրոնմենք կանվանենք այն կետը, որը նշված է Սահմանում 1-ում:

Շրջանակի շառավիղըմենք կանվանենք այս շրջանագծի կենտրոնից մինչև նրա ցանկացած կետ հեռավորությունը:

Դեկարտյան կոորդինատային համակարգում \(xOy\) մենք կարող ենք նաև ներկայացնել ցանկացած շրջանագծի հավասարումը։ Շրջանակի կենտրոնը նշանակենք \(X\) կետով, որը կունենա \((x_0,y_0)\) կոորդինատներ: Թող այս շրջանագծի շառավիղը հավասար լինի \(τ\)-ին: Վերցնենք կամայական \(Y\) կետը, որի կոորդինատները նշում ենք \((x,y)\)-ով (նկ. 2):

Օգտագործելով մեր տրված կոորդինատային համակարգի երկու կետերի միջև հեռավորության բանաձևը, մենք ստանում ենք.

\(|XY|=\sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2) \)

Մյուս կողմից, \(|XY| \)-ը շրջանագծի ցանկացած կետից մեր ընտրած կենտրոնի հեռավորությունն է: Այսինքն, ըստ 3 սահմանման, մենք ստանում ենք, որ \(|XY|=τ\) , հետևաբար

\(\sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2)=տ \)

\((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=թ^2 \) (1)

Այսպիսով, մենք ստանում ենք, որ (1) հավասարումը շրջանագծի հավասարումն է Դեկարտյան կոորդինատային համակարգում:

Շրջագիծ (շրջանի պարագիծ)

Մենք դուրս կբերենք կամայական \(C\) շրջանագծի երկարությունը՝ օգտագործելով նրա շառավիղը, որը հավասար է \(τ\)-ին:

Մենք կդիտարկենք երկու կամայական շրջանակներ. Նրանց երկարությունները նշանակենք \(C\) և \(C"\)-ով, որոնց շառավիղները հավասար են \(τ\) և \(τ"\)-ի: Այս շրջանագծերի մեջ կգրենք կանոնավոր \(n\)-gons, որոնց պարագծերը հավասար են \(ρ\) և \(ρ"\), կողմերի երկարությունները հավասար են \(α\) և \ (α"\), համապատասխանաբար: Ինչպես գիտենք, շրջանագծի մեջ ներգծված կանոնավոր \(n\) քառակուսու կողմը հավասար է

\(α=2τsin\frac(180^0)(n) \)

Հետո մենք ստանում ենք դա

\(ρ=nα=2nτ\frac(sin180^0)(n) \)

\(ρ"=nα"=2nτ"\frac(sin180^0)(n) \)

\(\frac(ρ)(ρ")=\frac(2nτsin\frac(180^0)(n))(2nτ"\frac(sin180^0)(n))=\frac(2τ)(2τ" ) \)

Մենք հասկանում ենք, որ հարաբերությունները \(\frac(ρ)(ρ")=\frac(2τ)(2τ") \)ճշմարիտ կլինի անկախ ներգծված կանոնավոր բազմանկյունների կողմերի քանակից։ Այն է

\(\lim_(n\to\infty)(\frac(ρ)(ρ"))=\frac(2τ)(2τ") \)

Մյուս կողմից, եթե մենք անվերջ մեծացնենք ներգծված կանոնավոր բազմանկյունների կողմերի թիվը (այսինքն՝ \(n→∞\)), ապա կստանանք հավասարություն.

\(lim_(n\to\infty)(\frac(ρ)(ρ"))=\frac(C)(C") \)

Վերջին երկու հավասարություններից մենք ստանում ենք դա

\(\frac(C)(C")=\frac(2τ)(2τ") \)

\(\frac(C)(2τ)=\frac(C")(2τ") \)

Մենք տեսնում ենք, որ շրջանագծի շրջագծի և նրա կրկնակի շառավիղի հարաբերակցությունը միշտ նույն թիվն է, անկախ շրջանի ընտրությունից և նրա պարամետրերից, այսինքն.

\(\frac(C)(2τ)=const \)

Այս հաստատունը պետք է անվանել «pi» թիվը և նշանակել \(π\) : Մոտավորապես այս թիվը հավասար կլինի \(3.14\)-ին (այս թվի ճշգրիտ արժեքը չկա, քանի որ իռացիոնալ թիվ է)։ Այսպիսով

\(\frac(C)(2τ)=π \)

Ի վերջո, մենք գտնում ենք, որ շրջագիծը (շրջանի պարագիծը) որոշվում է բանաձևով

\(C=2pt\)

Այսպիսով, շրջագիծը ( Գ) կարելի է հաշվարկել հաստատունը բազմապատկելով π մեկ տրամագծով ( Դ), կամ բազմապատկելով π երկու անգամ շառավղով, քանի որ տրամագիծը հավասար է երկու շառավիղի։ Հետևաբար, շրջագծի բանաձևըկունենա հետևյալ տեսքը.

Գ = πD = 2πR

Որտեղ Գ- շրջապատ, π - մշտական, Դ- շրջանագծի տրամագիծը, Ռ- շրջանագծի շառավիղը.

Քանի որ շրջանագիծը շրջանագծի սահմանն է, շրջանագծի շրջագիծը կարելի է անվանել նաև շրջանագծի երկարություն կամ շրջանագծի պարագիծ։

Շրջանակի խնդիրներ

Առաջադրանք 1.Գտե՛ք շրջանագծի շրջագիծը, եթե նրա տրամագիծը 5 սմ է։

Քանի որ շրջագիծը հավասար է π բազմապատկենք տրամագծով, ապա 5 սմ տրամագծով շրջանագծի երկարությունը հավասար կլինի.

Գ≈ 3,14 5 = 15,7 (սմ)

Առաջադրանք 2.Գտե՛ք շրջանագծի երկարությունը, որի շառավիղը 3,5 մ է:

Նախ՝ գտե՛ք շրջանագծի տրամագիծը՝ շառավիղի երկարությունը 2-ով բազմապատկելով.

Դ= 3,5 2 = 7 (մ)

Հիմա եկեք գտնենք շրջագիծը բազմապատկելով π մեկ տրամագծով:

Գ≈ 3,14 7 = 21,98 (մ)

Առաջադրանք 3.Գտե՛ք շրջանագծի շառավիղը, որի երկարությունը 7,85 մ է:

Շրջանակի երկարությունից ելնելով գտնելու շառավիղը, անհրաժեշտ է շրջագիծը բաժանել 2-ի π

Շրջանի տարածքը

Շրջանակի մակերեսը հավասար է թվի արտադրյալին π մեկ քառակուսի շառավղով: Շրջանի տարածքը գտնելու բանաձևը:

Ս = πr 2

Որտեղ Սշրջանագծի մակերեսն է և r- շրջանագծի շառավիղը.

Քանի որ շրջանագծի տրամագիծը հավասար է շառավղից երկու անգամ, շառավիղը հավասար է տրամագծին, որը բաժանվում է 2-ի.

Շրջանի տարածքի հետ կապված խնդիրներ

Առաջադրանք 1.Գտե՛ք շրջանագծի մակերեսը, եթե նրա շառավիղը 2 սմ է։

Քանի որ շրջանագծի մակերեսը կազմում է π բազմապատկված շառավղով քառակուսիով, ապա 2 սմ շառավղով շրջանագծի մակերեսը հավասար կլինի.

Ս≈ 3,14 2 2 = 3,14 4 = 12,56 (սմ 2)

Առաջադրանք 2.Գտե՛ք շրջանագծի մակերեսը, եթե նրա տրամագիծը 7 սմ է։

Նախ՝ գտե՛ք շրջանագծի շառավիղը՝ նրա տրամագիծը բաժանելով 2-ի.

7:2=3.5 (սմ)

Այժմ եկեք հաշվարկենք շրջանագծի տարածքը բանաձևով.

Ս = πr 2 ≈ 3.14 3.5 2 = 3.14 12.25 = 38.465 (սմ 2)

Այս խնդիրը կարելի է լուծել այլ կերպ. Նախ շառավիղը գտնելու փոխարեն կարող եք օգտագործել տրամագծի միջոցով շրջանագծի տարածքը գտնելու բանաձևը.

Առաջադրանք 3.Գտե՛ք շրջանագծի շառավիղը, եթե նրա մակերեսը 12,56 մ2 է։

Շրջանակի շառավիղը իր տարածքով գտնելու համար անհրաժեշտ է բաժանել շրջանագծի տարածքը π , ապա քաղել ստացված արդյունքից Քառակուսի արմատ:

r = √Ս : π

հետևաբար, շառավիղը հավասար կլինի.

r≈ √12.56: 3.14 = √4 = 2 (մ)

Թիվ π

Մեզ շրջապատող առարկաների շրջագիծը կարելի է չափել չափիչ ժապավենի կամ պարանի (թելի) միջոցով, որի երկարությունն այնուհետև կարելի է առանձին չափել։ Բայց որոշ դեպքերում շրջագիծը չափելը դժվար է կամ գործնականում անհնար է, օրինակ՝ շշի ներքին շրջագիծը կամ պարզապես թղթի վրա գծված շրջանագծի շրջագիծը։ Նման դեպքերում դուք կարող եք հաշվարկել շրջանագծի շրջագիծը, եթե գիտեք նրա տրամագծի կամ շառավիղի երկարությունը։

Հասկանալու համար, թե ինչպես կարելի է դա անել, եկեք վերցնենք մի քանի կլոր առարկաներ, որոնց շրջագիծը և տրամագիծը կարելի է չափել: Հաշվենք երկարության և տրամագծի հարաբերակցությունը, և արդյունքում ստանում ենք հաջորդ շարքըթվեր:

Այստեղից կարելի է եզրակացնել, որ շրջանագծի երկարության և տրամագծի հարաբերակցությունը հաստատուն արժեք է յուրաքանչյուր առանձին շրջանագծի և բոլոր շրջանակների համար որպես ամբողջություն: Այս հարաբերությունը նշվում է տառով π .

Օգտագործելով այս գիտելիքները՝ դուք կարող եք օգտագործել շրջանագծի շառավիղը կամ տրամագիծը՝ գտնելու նրա երկարությունը: Օրինակ՝ 3 սմ շառավղով շրջանագծի երկարությունը հաշվարկելու համար հարկավոր է շառավիղը բազմապատկել 2-ով (այսպես ենք ստանում տրամագիծը), իսկ ստացված տրամագիծը բազմապատկել π . Արդյունքում, օգտագործելով համարը π Իմացանք, որ 3 սմ շառավղով շրջանագծի երկարությունը 18,84 սմ է։