Drugi znak jednakosti trokuta

Ako su stranica i dva susjedna kuta jednog trokuta jednaki stranici i dvama susjednim kutovima drugog trokuta, tada su ti trokuti sukladni.

MN = PR N = RM = P

Kao i kod dokaza prvog predznaka, potrebno je provjeriti je li to dovoljno da trokuti budu jednaki, mogu li se potpuno spojiti?

1. Kako je MN = PR, onda su ti segmenti spojeni ako su spojene njihove krajnje točke.

2. Kako je N = R i M = P, zrake \(MK\) i \(NK\) će se preklapati sa zrakama \(PT\), odnosno \(RT\).

3. Ako se zrake podudaraju, tada se njihove sjecišne točke \(K\) i \(T\) podudaraju.

4. Svi vrhovi trokuta su spojeni, odnosno Δ MNK i Δ PRT su potpuno poravnati, što znači da su jednaki.

Treći znak jednakosti trokuta

Ako su tri stranice jednog trokuta redom jednake trima stranicama drugog trokuta, tada su takvi trokuti sukladni.

MN = PR KN = TR MK = PT

Pokušajmo ponovno spojiti trokute Δ MNK i Δ PRT preklapanjem i pobrinimo se da odgovarajuće jednake stranice jamče da su odgovarajući kutovi tih trokuta jednaki i da će se potpuno poklapati.

Spojimo, na primjer, identične segmente \(MK\) i \(PT\). Pretpostavimo da se točke \(N\) i \(R\) ne poklapaju.

Neka je \(O\) polovište segmenta \(NR\). Prema ovom podatku MN = PR, KN = TR. Trokuti \(MNR\) i \(KNR\) su jednakokračni sa zajedničkom osnovicom \(NR\).

Prema tome, njihovi medijani \(MO\) i \(KO\) su visine, što znači da su okomiti na \(NR\). Pravci \(MO\) i \(KO\) se ne poklapaju jer točke \(M\), \(K\), \(O\) ne leže na istom pravcu. Ali kroz točku \(O\) pravca \(NR\) može se povući samo jedan pravac okomit na nju. Došli smo do kontradikcije.

Dokazano je da se vrhovi \(N\) i \(R\) moraju poklapati.

Treći znak nam omogućuje da trokut nazovemo vrlo snažnom, stabilnom figurom, ponekad to kažu trokut - kruta figura . Ako se duljine stranica ne mijenjaju, ne mijenjaju se ni kutovi. Na primjer, četverokut nema to svojstvo. Stoga su razne potpore i utvrde napravljene trokutasto.

Ali ljudi već dugo ocjenjuju i ističu osobitu stabilnost, postojanost i savršenstvo broja \(3\).

O tome govore bajke.

Tu susrećemo “Tri medvjeda”, “Tri vjetra”, “Tri praščića”, “Tri druga”, “Tri brata”, “Tri sretnika”, “Tri zanatlije”, “Tri princa”, “Tri prijatelja”, “Tri heroja” itd.

Tu se daju “tri pokušaja”, “tri savjeta”, “tri upute”, “tri susreta”, ispunjavaju se “tri želje”, treba izdržati “tri dana”, “tri noći”, “tri godine”, proći kroz "tri države", "tri podzemna kraljevstva", izdržati "tri testa", ploviti kroz "tri mora".

Kaže se da su dva trokuta sukladna ako se mogu spojiti preklapanjem. Slika 1 prikazuje jednake trokute ABC i A 1 B 1 C 1. Svaki od ovih trokuta može se postaviti jedan na drugi tako da su potpuno kompatibilni, odnosno da su im vrhovi i stranice kompatibilni u paru. Jasno je da će se i kutovi ovih trokuta podudarati u parovima.

Dakle, ako su dva trokuta sukladna, tada su elementi (tj. stranice i kutovi) jednog trokuta jednaki elementima drugog trokuta. Imajte na umu da u jednakim trokutima naspram odgovarajućih jednakih stranica(tj. preklapanje kada se preklapa) leže jednaki kutovi i natrag: Jednake stranice leže nasuprot, odnosno jednakih kutova.

Tako, na primjer, u jednakim trokutima ABC i A 1 B 1 C 1, prikazanim na slici 1, nasuprot jednakih stranica AB i A 1 B 1 leže jednaki kutovi C i C 1. Jednakost trokuta ABC i A 1 B 1 C 1 označit ćemo na sljedeći način: Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1. Ispada da se jednakost dvaju trokuta može utvrditi usporedbom nekih njihovih elemenata.

Teorem 1. Prvi znak jednakosti trokuta. Ako su dvije stranice i kut između njih jednog trokuta redom jednaki dvjema stranicama i kutu između njih drugog trokuta, tada su takvi trokuti sukladni (slika 2).

Dokaz. Promotrimo trokute ABC i A 1 B 1 C 1, u kojima je AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1 ∠ A = ∠ A 1 (vidi sliku 2). Dokažimo da je Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 .

Kako je ∠ A = ∠ A 1, tada se trokut ABC može superponirati na trokut A 1 B 1 C 1 tako da vrh A bude poravnat s vrhom A 1, a stranice AB i AC redom su superponirane na zrake A 1 B 1 i A 1 C 1 . Budući da je AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, tada će stranica AB biti poravnata sa stranicom A 1 B 1, a stranica AC će biti poravnata sa stranicom A 1 C 1; posebno će se točke B i B 1, C i C 1 podudarati. Prema tome, stranice BC i B 1 C 1 će se poravnati. Dakle, trokuti ABC i A 1 B 1 C 1 potpuno su kompatibilni, što znači da su jednaki.

Teorem 2 se dokazuje na sličan način metodom superpozicije.

Teorem 2. Drugi znak jednakosti trokuta. Ako su stranica i dva susjedna kuta jednog trokuta redom jednaki stranici i dvama susjednim kutovima drugog trokuta, tada su takvi trokuti sukladni (slika 34).

Komentar. Na temelju teorema 2 utvrđuje se teorem 3.

Teorem 3. Zbroj bilo koja dva unutarnja kuta trokuta manji je od 180°.

Teorem 4 slijedi iz posljednjeg teorema.

Teorem 4. Vanjski kut trokut je veći od bilo kojeg unutarnji kut, ne uz njega.

Teorem 5. Treći znak jednakosti trokuta. Ako su tri stranice jednog trokuta jednake trima stranicama drugog trokuta, tada su takvi trokuti sukladni ().

Primjer 1. U trokutima ABC i DEF (sl. 4)

∠ A = ∠ E, AB = 20 cm, AC = 18 cm, DE = 18 cm, EF = 20 cm Usporedi trokute ABC i DEF. Koliki je kut u trokutu DEF jednak kutu U?

Riješenje. Ovi su trokuti jednaki prema prvom predznaku. Kut F trokuta DEF jednak je kutu B trokuta ABC, budući da ti kutovi leže nasuprot jednakih stranica DE i AC.

Primjer 2. Odsječci AB i CD (slika 5) sijeku se u točki O, koja je sredina svakog od njih. Kolika je duljina dužine BD ako je dužina AC 6 m?

Riješenje. Trokuti AOC i BOD su jednaki (prema prvom kriteriju): ∠ AOC = ∠ BOD (vertikalno), AO = OB, CO = OD (po uvjetu).
Iz jednakosti ovih trokuta slijedi da su im stranice jednake, tj. AC = BD. No kako je prema uvjetu AC = 6 m, onda je BD = 6 m.

Za dva trokuta postoje tri znaka jednakosti. U ovom članku ćemo ih razmotriti u obliku teorema, a također ćemo dati njihove dokaze. Da biste to učinili, imajte na umu da će brojke biti jednake u slučaju kada se potpuno preklapaju.

Prvi znak

Teorem 1

Dva će trokuta biti jednaka ako su dvije stranice i kut između njih u jednom od trokuta jednaki dvjema stranicama i kutu koji leži između njih u drugom.

Dokaz.

Promotrimo dva trokuta $ABC$ i $A"B"C"$, u kojima je $AB=A"B"$, $AC=A"C"$ i $∠A=∠A"$ (slika 1).

Spojimo visine $A$ i $A"$ ovih trokuta. Budući da su kutovi na tim vrhovima međusobno jednaki, stranice $AB$ i $AC$ će se preklapati, odnosno zrake $A"B" $ i $A"C" $. Budući da su ove stranice po parovima jednake, stranice $AB$ i $AC$ koincidiraju sa stranicama $A"B"$ i $A"C"$, pa su stoga i vrhovi $B$ i $B"$ , $C$ i $C"$ bit će isti.

Stoga će se stranica BC potpuno podudarati sa stranicom $B"C"$. To znači da će se trokuti potpuno preklapati, što znači da su jednaki.

Teorem je dokazan.

Drugi znak

Teorem 2

Dva će trokuta biti jednaka ako su dva kuta i njihova zajednička stranica jednog od trokuta jednaki dvama kutovima i njihovoj zajedničkoj stranici u drugom.

Dokaz.

Promotrimo dva trokuta $ABC$ i $A"B"C"$, u kojima je $AC=A"C"$ i $∠A=∠A"$, $∠C=∠C"$ (slika 2) .

Spojimo stranice $AC$ i $A"C"$ ovih trokuta, tako da će visine $B$ i $B"$ ležati na istoj njegovoj strani. Budući da su kutovi na tim stranicama po paru jednaki jedna drugu, tada će se stranice $AB$ i $BC$ preklapati, redom, sa zrakama $A"B"$ i $B"C"$. Prema tome, i točka $B$ i točka $B"$ bit će sjecišta spojenih zraka (to je, na primjer, zraka $AB$ i $BC$). Kako zrake mogu imati samo jednu sjecišnu točku, točka $B$ će se poklapati s točkom $B"$. To znači da će se trokuti potpuno preklapati, što znači da su jednaki.

Teorem je dokazan.

Treći znak

Teorem 3

Dva će trokuta biti jednaka ako su tri stranice jednog trokuta jednake trima stranicama drugog.

Dokaz.

Promotrimo dva trokuta $ABC$ i $A"B"C"$, u kojima je $AC=A"C"$, $AB=A"B"$ i $BC=B"C"$ (slika 3).

Dokaz.

Spojimo stranice $AC$ i $A"C"$ ovih trokuta, tako da visine $B$ i $B"$ leže na njegovim suprotnim stranama. Zatim ćemo razmotriti tri različita slučaja rezultirajućeg rasporeda ovih vrhova.Mi ćemo ih razmotriti na slikama.

Prvi slučaj:

Kako je $AB=A"B"$, jednakost $∠ABB"=∠AB"B$ će biti istinita. Isto tako, $∠BB"C=∠B"BC$. Tada, kao zbroj, dobivamo $∠B=∠B"$

Drugi slučaj:

Kako je $AB=A"B"$, jednakost $∠ABB"=∠AB"B$ će biti istinita. Isto tako, $∠BB"C=∠B"BC$. Tada, kao razliku, dobivamo $∠B=∠B"$

Stoga su prema teoremu 1 ovi trokuti jednaki.

Treći slučaj:

Kako je $BC=B"C"$, jednakost $∠ABC=∠AB"C$ bit će istinita

Stoga su prema teoremu 1 ovi trokuti jednaki.

Teorem je dokazan.

Ogledni zadaci

Primjer 1

Dokažite jednakost trokuta na donjoj slici

Treći kriterij jednakosti trokuta na tri strane formuliran je u obliku teorema.

Teorema : Ako su tri stranice jednog trokuta redom jednake trima stranicama drugog trokuta, tada su takvi trokuti sukladni.

Dokaz. Promotrimo ΔABC i ΔA 1 B 1 C 1 za koje je AB = A 1 B 1 , AC = A 1 C 1 , BC = B 1 C 1 . Dokažimo da je ΔABC=ΔA 1 B 1 C 1

Neka su ABC i A 1 B 1 C 1 trokuti s AB=A 1 B 1 , AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 . Naložimo ∆ABC na ∆A 1 B 1 C 1 tako da se vrh A podudara s A 1, a vrhovi B i B 1, a vrhovi C i C 1 budu na suprotnim stranama pravca A 1 B 1. Moguća su tri slučaja: 1) zraka C 1 C prolazi unutar kuta A 1 C 1 B 1 (slika a)); 2) zraka C 1 C podudara se s jednom od stranica tog kuta (slika b)); zraka C 1 C prolazi izvan kuta A 1 C 1 B 1 (slika c)). Razmotrimo prvi slučaj. Kako su prema uvjetima teorema stranice AC i A 1 C 1, BC i B 1 C 1 jednake, onda su trokuti A 1 C 1 C i B 1 C 1 C jednakokračni. Po teoremu o svojstvu kutova jednakokračan trokutÐl = Ð2, Ð3 = Ð4, dakle ÐA 1 CB 1 = =ÐA 1 C 1 B 1 . Dakle, AC=A 1 C 1, BC=B 1 C 1, RS = RS 1. Dakle, trokuti ABC i A 1 B 1 C 1 jednaki su prema prvom znaku jednakosti trokuta.

Pisati na ploču:

dano:ΔABC, ΔA 1 B 1 C 1 , AB=A 1 B 1 , AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1

Dokazati:ΔABC=ΔA 1 B 1 C 1

Dokaz. Naložimo ∆ABC na ∆A 1 B 1 C 1 tako da A → A 1, i B → B 1, a C i C 1 budu na suprotnim stranama pravca A 1 B 1. Razmotrimo slučaj. zraka C 1 C prolazi unutar RA 1 C 1 B 1 (slika a)).

AC = A 1 C 1, BC = B 1 C 1 ═> ΔA 1 C 1 C i ΔB 1 C 1 C - jednaki. ═> Ðl = Ð2, Ð3 = Ð4 (prema prirodi kutova jednak je Δ), ═> ÐA 1 CB 1 =ÐA 1 C 1 B 1 ═> AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 , ÐS = RS 1 ═>

ΔABC=ΔA 1 B 1 C 1 prema prvom znaku jednakosti trokuta.

2.Romb. Definicija, svojstva, znakovi.

Romb je vrsta četverokuta.

Definicija: Romb je paralelogram u kojem su sve stranice jednake.

Na slici je prikazan paralelogram ABCD s AB=BC=CD=DA. Po definiciji, ovaj paralelogram je romb. AC i VD su dijagonale romba. Kako je romb paralelogram, za njega vrijede sva svojstva i karakteristike paralelograma.

Svojstva:

1) U rombu su suprotni kutovi jednaki (ÐA=ÐC, ÐB=ÐD)

2) Dijagonale romba dijele se popola točkom presjeka. (BO=OD, AO=OC)

3) Dijagonale romba su međusobno okomite, a kutovi su mu raspolavljani. (AS DV, ‌‌ABO=RUVS, ADO=RODC, ‌‌rBSO=RDSO, RDAO=RVAO) ( posebno svojstvo)

4) Zbroj kutova uz jednu stranicu jednak je 180 0 (ÐA+ÐB= ÐC+ÐD=ÐB+ÐC=ÐA+ÐD=180 0)

znakovi romb:

1) Ako su dijagonale paralelograma međusobno okomite, onda je taj paralelogram romb.

2) Ako dijagonala paralelograma raspolavlja njegove kutove, tada je paralelogram romb.

3) Ako su sve stranice paralelograma jednake, onda je to romb.

Pisanje na ploču.

Svojstva:

1) ÐA=ÐC, ÐB=ÐD 2) BO=OD, AO=OC

3) AC DV, ‌‌AABO=RUVS, ADO=RODC, ‌‌rBSO=RDSO, RDAO=RVAO

4) ÐA+ÐB= ÐC+ÐD=ÐB+ÐC=ÐA+ÐD=180 0

Obratne tvrdnje su znakovi romb:

1 ) Ako je ABCD paralela m, a AC DB, tada je ABCD romb.

2) Ako je ABCD paralela, a AC i DB simetrale, tada je ABCD romb.

3) Ako je ABCD paralela, a AC=DB i BC=AD, tada je ABCD romb.

Zadatak.