Da biste odredili površinu trokuta, možete koristiti različite formule. Od svih metoda, najjednostavnija i najčešće korištena je da se visina pomnoži s duljinom baze i zatim rezultat podijeli s dva. Međutim, ova metoda je daleko od jedine. U nastavku možete pročitati kako pronaći površinu trokuta pomoću različitih formula.

Zasebno ćemo pogledati načine za izračunavanje površine određenih vrsta trokuta - pravokutnog, jednakokračnog i jednakostraničnog. Svaku formulu pratimo kratkim objašnjenjem koje će vam pomoći da shvatite njezinu bit.

Univerzalne metode za pronalaženje površine trokuta

Formule u nastavku koriste posebne oznake. Dešifrirat ćemo svaki od njih:

• a, b, c – duljine triju stranica figure koju razmatramo;
• r je polumjer kruga koji se može upisati u naš trokut;
• R je polumjer kruga koji se može opisati oko njega;
• α je veličina kuta koji čine stranice b i c;
• β je veličina kuta između a i c;
• γ je veličina kuta koji čine stranice a i b;
• h je visina našeg trokuta, spuštena od kuta α na stranu a;
• p – polovica zbroja stranica a, b i c.

Logično je jasno zašto možete pronaći područje trokuta na ovaj način. Trokut se lako može dovršiti u paralelogram, u kojem će jedna stranica trokuta djelovati kao dijagonala. Područje paralelograma nalazi se množenjem duljine jedne od njegovih stranica s vrijednošću visine nacrtane na nju. Dijagonala dijeli ovaj uvjetni paralelogram na 2 identična trokuta. Stoga je sasvim očito da površina našeg izvornog trokuta mora biti jednaka polovici površine ovog pomoćnog paralelograma.

S=½ a b sin γ

Prema ovoj formuli, površina trokuta nalazi se množenjem duljina njegovih dviju stranica, to jest a i b, sa sinusom kuta koji one čine. Ova formula je logično izvedena iz prethodne. Spustimo li visinu s kuta β na stranicu b, tada, prema svojstvima pravokutnog trokuta, kad pomnožimo duljinu stranice a sa sinusom kuta γ, dobivamo visinu trokuta, odnosno h .

Područje dotične figure nalazi se množenjem polovice polumjera kruga koji se u njega može upisati s njegovim opsegom. Drugim riječima, nalazimo umnožak polumjera i polumjera spomenute kružnice.

S= a b c/4R

Prema ovoj formuli, vrijednost koja nam je potrebna može se pronaći dijeljenjem umnoška stranica figure s 4 radijusa kruga opisanog oko njega.

Ove formule su univerzalne jer omogućuju određivanje površine bilo kojeg trokuta (razmjerni, jednakokračni, jednakostranični, pravokutni). To se može učiniti pomoću složenijih izračuna, na kojima se nećemo detaljnije zadržavati.

Površine trokuta s određenim svojstvima

Kako pronaći područje pravokutnog trokuta? Osobitost ove figure je u tome što su njene dvije strane istovremeno i visine. Ako su a i b katete, a c postaje hipotenuza, tada područje nalazimo ovako:

Kako pronaći područje jednakokračan trokut? Ima dvije stranice duljine a i jednu stranicu duljine b. Prema tome, njegova se površina može odrediti dijeljenjem s 2 umnoška kvadrata stranice a sa sinusom kuta γ.

Kako pronaći područje jednakostraničnog trokuta? U njemu je duljina svih stranica jednaka a, a veličina svih kutova α. Njegova visina jednaka je polovici umnoška duljine stranice a i kvadratnog korijena od 3. Da biste pronašli površinu pravilnog trokuta, morate kvadrat stranice a pomnožiti s kvadratnim korijenom od 3 i podijeliti s 4.

Iz suprotnog vrha) i dobiveni umnožak podijelite s dva. Ovo izgleda ovako:

S = ½ * a * h,

Gdje:
S – površina trokuta,
a je duljina njegove stranice,
h je visina spuštena na ovu stranu.

Duljina i visina stranice moraju biti prikazane u istim mjernim jedinicama. U ovom slučaju, površina trokuta će se dobiti u odgovarajućim jedinicama " ".

Primjer.
Na jednu stranicu skalenskog trokuta duljine 20 cm spuštena je okomica iz suprotnog vrha duljine 10 cm.
Potrebno je područje trokuta.
Riješenje.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).

Ako su poznate duljine bilo koje dvije stranice razmjernog trokuta i kut između njih, upotrijebite formulu:

S = ½ * a * b * sinγ,

gdje su: a, b duljine dviju proizvoljnih stranica, a γ kut između njih.

U praksi, na primjer, pri mjerenju zemljišnih parcela, korištenje gornjih formula ponekad je teško, jer zahtijeva dodatnu konstrukciju i mjerenje kutova.

Ako znate duljine sve tri stranice razmjernog trokuta, upotrijebite Heronovu formulu:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

a, b, c – duljine stranica trokuta,
p – poluopseg: p = (a+b+c)/2.

Ako je uz duljine svih stranica poznat i polumjer kružnice upisane u trokut, tada se koristi sljedeća kompaktna formula:

gdje je: r – radijus upisane kružnice (r – poluopseg).

Za izračun površine razmjernog trokuta i duljine njegovih stranica upotrijebite formulu:

gdje je: R – polumjer opisane kružnice.

Ako znate duljinu jedne od stranica trokuta i tri kuta (u načelu su dovoljna dva - vrijednost trećeg izračunava se iz jednakosti zbroja triju kutova trokuta - 180º), tada upotrijebite formula:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,

gdje je α vrijednost kuta nasuprot stranici a;
β, γ – vrijednosti preostala dva kuta trokuta.

Potreba za pronalaženjem raznih elemenata, uključujući područja trokut, pojavio se mnogo stoljeća prije Krista među učenim astronomima Drevna grčka. Kvadrat trokut može se izračunati različiti putevi koristeći različite formule. Način izračuna ovisi o tome koji elementi trokut znan.

upute

Ako iz uvjeta znamo vrijednosti dviju stranica b, c i kut koji one čine?, tada je površina trokut ABC se nalazi po formuli:
S = (bcsin?)/2.

Ako iz uvjeta znamo vrijednosti dviju stranica a, b i kut koji one ne čine?, tada je površina trokut ABC se nalazi na sljedeći način:
Pronalaženje kuta?, sin? = bsin?/a, zatim pomoću tablice odredite sam kut.
Pronalaženje kuta?, ? = 180°-?-?.
Nalazimo samu površinu S = (absin?)/2.

Ako iz uvjeta znamo vrijednosti samo triju strana trokut a, b i c, zatim područje trokut ABC se nalazi po formuli:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)), gdje je p poluopseg p = (a+b+c)/2

Ako iz uvjeta problema znamo visinu trokut h i strana na koju je ta visina spuštena, zatim površina trokut ABC prema formuli:
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.

Ako znamo značenja strana trokut a, b, c i radijus opisan u vezi s tim trokut R, zatim područje ovoga trokut ABC se određuje formulom:
S = abc/4R.
Ako su poznate tri stranice a, b, c i polumjer upisane, tada je površina trokut ABC se nalazi po formuli:
S = pr, gdje je p poluopseg, p = (a+b+c)/2.

Ako je ABC jednakostraničan, tada se površina nalazi prema formuli:
S = (a^2v3)/4.
Ako je trokut ABC jednakokračan, tada se površina određuje formulom:
S = (cv(4a^2-c^2))/4, gdje c – trokut.
Ako je trokut ABC pravokutan, tada se površina određuje formulom:
S = ab/2, gdje su a i b krakovi trokut.
Ako je trokut ABC pravokutni jednakokračni trokut, tada se površina određuje formulom:
S = c^2/4 = a^2/2, gdje je c hipotenuza trokut, a=b – krak.

Video na temu

Izvori:

• kako izmjeriti površinu trokuta

Savjet 3: Kako pronaći površinu trokuta ako je kut poznat

Za određivanje površine nije dovoljno znati samo jedan parametar (kut). tre kvadrat . Ako postoje dodatne dimenzije, tada za određivanje područja možete odabrati jednu od formula u kojoj se vrijednost kuta također koristi kao jedna od poznatih varijabli. U nastavku je navedeno nekoliko najčešće korištenih formula.

upute

Ako osim veličine kuta (γ) koji čine dvije stranice tre kvadrat , poznate su i duljine ovih stranica (A i B). kvadrat(S) figure može se definirati kao polovica umnoška duljina stranica i sinusa ovog poznatog kuta: S=½×A×B×sin(γ).

Površina trokuta - formule i primjeri rješavanja problema

Ispod su formule za pronalaženje površine proizvoljnog trokuta koji su prikladni za pronalaženje površine bilo kojeg trokuta, bez obzira na njegova svojstva, kutove ili veličine. Formule su prikazane u obliku slike, s objašnjenjima njihove primjene ili obrazloženjem njihove ispravnosti. Korespondencije su također naznačene na zasebnoj slici slovne oznake u formulama i grafički simboli na crtežu.

Bilješka . Ako trokut ima posebna svojstva(istokračan, pravokutan, jednakostraničan), možete koristiti dolje navedene formule, kao i dodatne posebne formule koje vrijede samo za trokute s ovim svojstvima:

• "Formula za područje jednakostraničnog trokuta"

Formule površine trokuta

Objašnjenja za formule:
a, b, c- duljine stranica trokuta čiju površinu želimo pronaći
r- polumjer kružnice upisane u trokut
R- polumjer kruga opisanog oko trokuta
h- visina trokuta spuštena na stranu
str- poluopseg trokuta, 1/2 zbroja njegovih stranica (opseg)
α - kut nasuprot stranici a trokuta
β - kut nasuprot stranici b trokuta
γ - kut nasuprot stranici c trokuta
h a, h b , h c- visina trokuta spuštena na stranice a, b, c

Imajte na umu da dane oznake odgovaraju gornjoj slici, tako da će vam prilikom rješavanja stvarnog geometrijskog problema biti vizualno lakše zamijeniti ispravne vrijednosti na pravim mjestima u formuli.

• Površina trokuta je polovica umnoška visine trokuta i duljine stranice za koju je ta visina spuštena(Formula 1). Ispravnost ove formule može se razumjeti logično. Visina spuštena na bazu razdvojit će proizvoljni trokut na dva pravokutna. Ako svaki od njih sastavite u pravokutnik s dimenzijama b i h, tada će očito površina ovih trokuta biti jednaka točno polovici površine pravokutnika (Spr = bh)
• Površina trokuta je polovica umnoška njegovih dviju stranica i sinusa kuta između njih(Formula 2) (pogledajte primjer rješavanja problema pomoću ove formule u nastavku). Iako se čini drugačijim od prethodnog, lako se može transformirati u njega. Spustimo li visinu s kuta B na stranicu b, ispada da je umnožak stranice a i sinusa kuta γ, prema svojstvima sinusa pravokutnog trokuta, jednak visini trokuta koji smo nacrtali , što nam daje prethodnu formulu
• Može se pronaći površina proizvoljnog trokuta kroz raditi pola polumjera kruga koji mu je upisan zbrojem duljina svih njegovih stranica(Formula 3), jednostavno rečeno, trebate pomnožiti polumjer trokuta s polumjerom upisane kružnice (ovo je lakše zapamtiti)
• Područje proizvoljnog trokuta može se pronaći dijeljenjem umnoška svih njegovih stranica s 4 radijusa kruga opisanog oko njega (Formula 4)
• Formula 5 je pronalaženje površine trokuta kroz duljine njegovih stranica i poluopsega (polovica zbroja svih njegovih stranica)
• Heronova formula(6) je prikaz iste formule bez korištenja koncepta poluperimetra, samo kroz duljine stranica
• Površina proizvoljnog trokuta jednaka je umnošku kvadrata stranice trokuta i sinusa kutova uz ovu stranu podijeljenog s dvostrukim sinusom kuta nasuprot ovoj strani (Formula 7)
• Područje proizvoljnog trokuta može se pronaći kao umnožak dvaju kvadrata kruga koji su oko njega opisani sinusima svakog od njegovih kutova. (Formula 8)
• Ako su poznate duljina jedne stranice i vrijednosti dvaju susjednih kutova, tada se površina trokuta može pronaći kao kvadrat ove stranice podijeljen dvostrukim zbrojem kotangenata ovih kutova (Formula 9)
• Ako je poznata samo duljina svake od visina trokuta (Formula 10), tada je površina takvog trokuta obrnuto proporcionalna duljinama tih visina, kao prema Heronovoj formuli
• Formula 11 vam omogućuje izračunavanje površina trokuta na temelju koordinata njegovih vrhova, koje su navedene kao (x;y) vrijednosti za svaki od vrhova. Imajte na umu da se dobivena vrijednost mora uzeti modulo, budući da koordinate pojedinačnih (ili čak svih) vrhova mogu biti u području negativnih vrijednosti

Bilješka. Slijede primjeri rješavanja geometrijskih problema za pronalaženje površine trokuta. Ako trebate riješiti geometrijski problem koji nije sličan ovdje, pišite o tome na forumu. U rješenjima, umjesto simbola " Korijen" može se koristiti funkcija sqrt(), u kojoj je sqrt simbol kvadratnog korijena, a radikalni izraz je naznačen u zagradama.Ponekad se za jednostavne radikalne izraze može koristiti simbol √

Zadatak. Odredite površinu datih dviju stranica i kut između njih

Stranice trokuta su 5 i 6 cm, a kut između njih je 60 stupnjeva. Pronađite površinu trokuta.

Riješenje.

Za rješavanje ovog problema koristimo formulu broj dva iz teorijskog dijela lekcije.
Površina trokuta može se pronaći kroz duljine dviju stranica i sinusa kuta između njih i bit će jednaka
S=1/2 ab sin γ

Budući da imamo sve potrebne podatke za rješenje (prema formuli), u formulu možemo samo zamijeniti vrijednosti iz uvjeta zadatka:
S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60

U tablici vrijednosti trigonometrijske funkcije Pronađimo i zamijenimo vrijednost sinusa 60 stupnjeva u izraz. To će biti jednako korijenu od tri puta dva.
S = 15 √3 / 2

Odgovor: 7,5 √3 (ovisno o zahtjevima učitelja, vjerojatno možete ostaviti 15 √3/2)

Zadatak. Pronađite površinu jednakostraničnog trokuta

Odredite površinu jednakostraničnog trokuta sa stranicom 3 cm.

Riješenje .

Površina trokuta može se pronaći pomoću Heronove formule:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Budući da je a = b = c, formula za površinu jednakostraničnog trokuta ima oblik:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Odgovor: 9 √3 / 4.

Zadatak. Promjena površine pri promjeni duljine stranica

Koliko će se puta povećati površina trokuta ako se stranice povećaju 4 puta?

Riješenje.

Budući da su nam dimenzije stranica trokuta nepoznate, za rješavanje problema pretpostavit ćemo da su duljine stranica jednake proizvoljni brojevi a, b, c. Zatim, da bismo odgovorili na pitanje zadatka, pronaći ćemo površinu zadanog trokuta, a zatim ćemo pronaći površinu trokuta čije su stranice četiri puta veće. Omjer površina ovih trokuta dat će nam odgovor na zadatak.

U nastavku donosimo tekstualno objašnjenje rješenja problema korak po korak. Međutim, na samom kraju, to isto rješenje je predstavljeno u prikladnijem grafičkom obliku. Zainteresirani mogu odmah sići niz rješenja.

Za rješavanje koristimo Heronovu formulu (vidi gore u teoretskom dijelu lekcije). Ovako izgleda:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(pogledajte prvi redak slike ispod)

Duljine stranica proizvoljnog trokuta zadane su varijablama a, b, c.
Ako se stranice povećaju 4 puta, tada će površina novog trokuta c biti:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(pogledajte drugi red na slici ispod)

Kao što vidite, 4 je zajednički faktor koji se može izvaditi iz zagrada iz sva četiri izraza prema Opća pravila matematika.
Zatim

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - u trećoj liniji slike
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - četvrti red

Kvadratni korijen broja 256 je savršeno izvađen, pa ga izvadimo ispod korijena
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(pogledajte peti redak slike ispod)

Da bismo odgovorili na pitanje postavljeno u problemu, samo trebamo podijeliti površinu dobivenog trokuta s površinom izvornog.
Odredimo omjere površina tako da izraze podijelimo jedan s drugim i smanjimo dobiveni razlomak.

upute

Stranke a kutovi se smatraju osnovnim elementima A. Trokut je u potpunosti definiran bilo kojim od njegovih sljedećih osnovnih elemenata: tri stranice, ili jedna stranica i dva kuta, ili dvije stranice i kut između njih. Za postojanje trokut dana s tri strane a, b, c, potrebno je i dovoljno zadovoljiti nejednadžbe koje se nazivaju nejednadžbe trokut:
a+b > c,
a+c > b,
b+c > a.

Za gradnju trokut na tri strane a, b, c, potrebno je iz točke C segmenta CB = a šestarom nacrtati krug polumjera b. Zatim na isti način iz točke B nacrtajte kružnicu polumjera jednakog stranici c. Njihova sjecišna točka A je treći vrh traženog trokut ABC, gdje su AB=c, CB=a, CA=b - stranice trokut. Problem ima , ako stranice a, b, c, zadovoljavaju nejednakosti trokut navedeno u koraku 1.

Ovako izgrađeno područje S trokut ABC s poznatim stranicama a, b, c izračunava se pomoću Heronove formule:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
gdje su a, b, c strane trokut, p – poluopseg.
p = (a+b+c)/2

Ako je trokut jednakostraničan, odnosno sve su mu stranice jednake (a=b=c).Površina trokut izračunava se formulom:
S=(a^2 v3)/4

Ako je trokut pravokutan, odnosno jedan od njegovih kutova jednak je 90°, a stranice koje ga tvore su katete, treća strana je hipotenuza. U u ovom slučaju kvadrat jednak je proizvodu kateta podijeljenom s dva.
S=ab/2

Pronaći kvadrat trokut, možete koristiti jednu od mnogih formula. Odaberite formulu ovisno o tome koji su podaci već poznati.

Trebat će vam

• poznavanje formula za određivanje površine trokuta

upute

Ako znate veličinu jedne od stranica i vrijednost visine spuštene na ovu stranu iz kuta suprotnog od nje, tada možete pronaći područje pomoću sljedećeg: S = a*h/2, gdje je S područje trokuta, a je jedna od stranica trokuta, a h - visina, do stranice a.

Poznata je metoda za određivanje površine trokuta ako su poznate njegove tri strane. To je Heronova formula. Radi pojednostavljenja njegovog snimanja uvodi se međuvrijednost - poluopseg: p = (a+b+c)/2, gdje su a, b, c - . Tada je Heronova formula sljedeća: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^½, ^ stepenovanje.

Pretpostavimo da poznajete jednu od stranica trokuta i tri kuta. Tada je lako pronaći područje trokuta: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), gdje je β kut nasuprot stranici a, a α i γ kutovi susjedni strani.

Video na temu

Bilješka

Najopćenitija formula koja je prikladna za sve slučajeve je Heronova formula.

Izvori:

Savjet 3: Kako pronaći površinu trokuta na temelju triju stranica

Određivanje površine trokuta jedan je od najčešćih problema u školskoj planimetriji. Poznavanje triju stranica trokuta dovoljno je za određivanje površine bilo kojeg trokuta. U posebnim slučajevima jednakostraničnog trokuta dovoljno je znati duljine dviju, odnosno jedne stranice.

Trebat će vam

• duljine stranica trokuta, Heronova formula, kosinusni teorem

upute

Heronova formula za površinu trokuta je sljedeća: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Ako napišemo poluopseg p, dobivamo: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c )/2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Formulu za površinu trokuta možete izvesti iz razmatranja, na primjer, primjenom kosinusnog teorema.

Prema kosinusnom teoremu, AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Koristeći uvedene oznake, oni se također mogu napisati u obliku: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Prema tome, cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Površina trokuta također se nalazi formulom S = a*c*sin(ABC)/2 pomoću dviju stranica i kuta između njih. Sinus kuta ABC može se izraziti kroz njega koristeći osnovni trigonometrijski identitet: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2). Zamjenom sinusa u formulu za površinu i ispisivanjem , možete doći do formule za površinu trokuta ABC.

Video na temu

Za popravci možda će biti potrebno izmjeriti kvadrat zidova Tako je lakše izračunati potrebnu količinu boje ili tapeta. Za mjerenja je najbolje koristiti metar ili metar. Mjerenja treba izvršiti nakon zidova bili izravnani.

Trebat će vam

• -rulet;
• -ljestve.

upute

Brojati kvadrat zidova, morate znati točnu visinu stropova, a također izmjeriti duljinu duž poda. To se radi na sljedeći način: uzmite centimetar i položite ga preko postolja. Obično centimetar nije dovoljan za cijelu dužinu, pa ga pričvrstite u kutu, a zatim odmotajte maksimalna duljina. Tu točku označite olovkom, zapišite dobiveni rezultat i na isti način provedite daljnja mjerenja, počevši od posljednje točke mjerenja.

Standardni stropovi u tipičnim - 2 metra 80 centimetara, 3 metra i 3 metra 20 centimetara, ovisno o kući. Ako je kuća izgrađena prije 50-ih, tada je najvjerojatnije stvarna visina nešto niža od naznačene. Ako kalkulirate kvadrat za popravak, onda mala zaliha neće naškoditi - razmislite na temelju standarda. Ako još trebate znati stvarna visina- uzeti mjerenja. Princip je sličan mjerenju duljine, ali trebat će vam ljestve.

Pomnožite dobivene pokazatelje - to je kvadrat tvoje zidova. Istina, kada slikarski radovi ili za to je potrebno oduzeti kvadrat vrata i prozorski otvori. Da biste to učinili, položite centimetar duž otvora. Ako govorimo o o vratima koja ćete naknadno promijeniti, a zatim ih vodite s uklonjenim okvir vrata, uzimajući u obzir samo kvadrat izravno na sam otvor. Površina prozora izračunava se duž perimetra njegovog okvira. Nakon kvadrat izračunati prozor i vrata, oduzmite rezultat od ukupne dobivene površine prostorije.

Imajte na umu da mjerenje duljine i širine prostorije provode dvije osobe, što olakšava fiksiranje centimetra ili mjerne trake i, prema tome, dobivanje točnijeg rezultata. Izvedite isto mjerenje nekoliko puta kako biste bili sigurni da su brojevi koje ste dobili točni.

Video na temu

Pronalaženje volumena trokuta uistinu je netrivijalan zadatak. Činjenica je da je trokut dvodimenzionalna figura, tj. leži potpuno u jednoj ravnini, što znači da jednostavno nema volumena. Naravno, ne možete pronaći nešto što ne postoji. Ali ne dajmo se! Možemo prihvatiti sljedeću pretpostavku: volumen dvodimenzionalne figure je njezina površina. Tražit ćemo područje trokuta.

Trebat će vam

• list papira, olovka, ravnalo, kalkulator

upute

Crtajte na komadu papira pomoću ravnala i olovke. Pažljivim ispitivanjem trokuta možete se uvjeriti da on stvarno nema trokut, jer je nacrtan na ravnini. Označite stranice trokuta: neka jedna stranica bude stranica "a", druga stranica "b", a treća stranica "c". Označite vrhove trokuta slovima "A", "B" i "C".

Izmjerite bilo koju stranicu trokuta ravnalom i zapišite rezultat. Nakon toga, vratite okomicu na izmjerenu stranu iz vrha nasuprot njoj, takva okomica će biti visina trokuta. U slučaju prikazanom na slici, okomica "h" se vraća na stranicu "c" iz vrha "A". Izmjerite dobivenu visinu ravnalom i zapišite rezultat mjerenja.

Možda će vam biti teško vratiti točnu okomicu. U ovom slučaju, trebali biste koristiti drugu formulu. Izmjerite sve stranice trokuta ravnalom. Nakon toga izračunajte poluopseg trokuta "p" zbrajanjem dobivenih duljina stranica i dijeljenjem njihovog zbroja na pola. Imajući na raspolaganju vrijednost poluperimetra, možete koristiti Heronovu formulu. Da biste to učinili, trebate izvaditi kvadratni korijen sljedećeg: p(p-a)(p-b)(p-c).

Primio si traženu vrijednost površina trokuta. Problem pronalaženja volumena trokuta nije riješen, ali kao što je gore spomenuto, volumen nije. Možete pronaći volumen koji je u biti trokut u trodimenzionalnom svijetu. Ako zamislimo da je naš izvorni trokut postao trodimenzionalna piramida, tada će volumen takve piramide biti umnožak duljine njezine baze s površinom trokuta koji smo dobili.

Bilješka

Što pažljivije mjerite, to će vaši izračuni biti točniji.

Izvori:

• Kalkulator “Sve za sve” - portal za referentne vrijednosti
• volumen trokuta u 2019

Tri točke koje jedinstveno definiraju trokut u Kartezijevom koordinatnom sustavu su njegovi vrhovi. Znajući njihov položaj u odnosu na svaku od koordinatnih osi, možete izračunati sve parametre ovoga ravna figura, uključujući i ograničeno svojim opsegom kvadrat. To se može učiniti na nekoliko načina.

upute

Za izračun površine upotrijebite Heronovu formulu trokut. Uključuje dimenzije triju strana figure, pa započnite svoje izračune s . Duljina svake stranice mora biti jednaka korijenu zbroja kvadrata duljina njezinih projekcija na koordinatne osi. Označimo li koordinate A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) i C(X₃,Y3,Z₃), duljine njihovih stranica mogu se izraziti na sljedeći način: AB = √((X₁- X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X3)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(( X₁-X3)² + (Y₁-Y3)² + (Z1-Z3)²).

Kako bismo pojednostavili izračune, uvedite pomoćnu varijablu - poluperimetar (P). Iz činjenice da je ovo polovica zbroja duljina svih stranica: P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁- Z₂)²) + √ ((X₂-X3)² + (Y₂-Y3)² + (Z₂-Z3)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y3)² + (Z₁-Z3) ²).

Na internetu možete pronaći preko 10 formula za izračunavanje površine trokuta. Mnoge od njih se koriste u problemima s poznatim stranicama i kutovima trokuta. Međutim, postoji niz složenih primjera gdje su prema uvjetima zadatka poznati samo jedna stranica i kutovi trokuta ili polumjer opisane ili upisane kružnice i još jedna karakteristika. U takvim slučajevima ne može se primijeniti jednostavna formula.

Dolje navedene formule omogućit će vam da riješite 95 posto problema u kojima trebate pronaći površinu trokuta.
Prijeđimo na razmatranje formula zajedničke površine.
Razmotrite trokut prikazan na donjoj slici

Na slici i dolje u formulama uvedene su klasične oznake svih njegovih karakteristika.
a,b,c – stranice trokuta,
R – polumjer opisane kružnice,
r – radijus upisane kružnice,
h[b],h[a],h[c] – visine nacrtane u skladu sa stranicama a,b,c.
alfa, beta, hamma – kutovi u blizini vrhova.

Osnovne formule za površinu trokuta

1. Površina je jednaka polovici umnoška stranice trokuta i visine spuštene na ovu stranicu. U jeziku formula ova se definicija može napisati na sljedeći način

Dakle, ako su poznata stranica i visina, tada će svaki učenik pronaći površinu.
Inače, iz ove formule može se izvesti jedan koristan odnos između visina

2. Ako uzmemo u obzir da se visina trokuta kroz susjednu stranicu izražava ovisnošću

Nakon prve formule površine slijede druge iste vrste

Pažljivo pogledajte formule - lako ih je zapamtiti, jer rad uključuje dvije strane i kut između njih. Ako ispravno označimo stranice i kutove trokuta (kao na gornjoj slici), dobit ćemo dva strane a,b a kut je povezan s trećim Sa (hamma).

3. Za kutove trokuta vrijedi relacija

Ovisnost vam omogućuje korištenje sljedećih formula za područje trokuta u izračunima:

Primjeri ove ovisnosti izuzetno su rijetki, ali morate zapamtiti da postoji takva formula.

4. Ako su poznata stranica i dva susjedna kuta, tada se površina nalazi prema formuli

5. Formula za površinu u smislu stranice i kotangensa susjednih kutova je sljedeća

Preuređivanjem indeksa možete dobiti ovisnosti za druge strane.

6. Donja formula površine koristi se u zadacima kada su vrhovi trokuta određeni na ravnini koordinatama. U ovom slučaju, površina je jednaka polovici determinante uzete modulo.

7. Heronova formula koristi se u primjerima s poznatim stranicama trokuta.
Najprije pronađite poluopseg trokuta

Zatim odredite područje pomoću formule

ili

Često se koristi u kodu programa kalkulatora.

8. Ako su poznate sve visine trokuta, tada se površina određuje formulom

Teško je izračunati na kalkulatoru, ali u paketima MathCad, Mathematica, Maple područje je "vrijeme dva".

9. Sljedeće formule koriste poznate polumjere upisane i opisane kružnice.

Konkretno, ako su poznati polumjer i stranice trokuta ili njegov opseg, tada se površina izračunava prema formuli

10. U primjerima gdje su dane stranice i polumjer ili promjer opisane kružnice, površina se nalazi pomoću formule

11. Sljedeća formula određuje površinu trokuta u smislu stranice i kutova trokuta.

I na kraju - posebni slučajevi:
Površina pravokutnog trokuta s katetama a i b jednakim polovici njihovog umnoška

Formula za površinu jednakostraničnog (pravilnog) trokuta=

= jedna četvrtina umnoška kvadrata stranice i korijena iz tri.