1
/
5
Važnost normalne distribucije u mnogim područjima znanosti (na primjer, matematička statistika i statistička fizika) proizlazi iz središnjeg graničnog teorema teorije vjerojatnosti. Ako je rezultat promatranja zbroj mnogih nasumičnih slabo međuovisnih veličina, od kojih svaka daje mali doprinos u odnosu na ukupni zbroj, tada kako se broj članova povećava, distribucija centriranog i normaliziranog rezultata teži biti normalnoj. Ovaj zakon teorije vjerojatnosti rezultira širokom distribucijom normalne distribucije, što je bio jedan od razloga za njezino ime.
Svojstva
Trenuci
Ako slučajne varijable X 1 (\displaystyle X_(1)) I X 2 (\displaystyle X_(2)) nezavisni su i imaju normalnu distribuciju s matematičkim očekivanjima μ 1 (\displaystyle \mu _(1)) I μ 2 (\displaystyle \mu _(2)) i odstupanja σ 1 2 (\displaystyle \sigma _(1)^(2)) I σ 2 2 (\displaystyle \sigma _(2)^(2)) prema tome, dakle X 1 + X 2 (\displaystyle X_(1)+X_(2)) također ima normalnu distribuciju s matematičkim očekivanjem μ 1 + μ 2 (\displaystyle \mu _(1)+\mu _(2)) i varijanca σ 1 2 + σ 2 2 . (\displaystyle \sigma _(1)^(2)+\sigma _(2)^(2).) Slijedi da se normalna slučajna varijabla može prikazati kao zbroj proizvoljnog broja neovisnih normalnih slučajnih varijabli.
Maksimalna entropija
Normalna distribucija ima najveću diferencijalnu entropiju među svim kontinuiranim distribucijama čija varijanca ne prelazi zadanu vrijednost.
Modeliranje normalnih pseudoslučajnih varijabli
Najjednostavnije metode aproksimativnog modeliranja temelje se na središnjem graničnom teoremu. Naime, zbrojite li nekoliko neovisnih identično raspodijeljenih veličina s konačnom varijancom, tada će zbroj biti raspodijeljen približno Fino. Na primjer, ako dodate 100 neovisnih kao standard ravnomjerno raspodijeljene slučajne varijable, tada će distribucija zbroja biti približno normalan.
Za programsko generiranje normalno distribuiranih pseudoslučajnih varijabli, poželjno je koristiti Box-Mullerovu transformaciju. Omogućuje vam generiranje jedne normalno raspodijeljene vrijednosti na temelju jedne ravnomjerno raspodijeljene vrijednosti.
Normalna raspodjela u prirodi i primjene
Normalna raspodjela se često nalazi u prirodi. Na primjer, sljedeće slučajne varijable dobro su modelirane normalnom distribucijom:
- odstupanje pri gađanju.
- pogreške mjerenja (međutim, pogreške nekih mjernih instrumenata nemaju normalne raspodjele).
- neke karakteristike živih organizama u populaciji.
Ova je distribucija toliko raširena jer je beskonačno djeljiva kontinuirana distribucija s konačnom varijancom. Stoga mu se neki drugi granično približavaju, primjerice binom i Poisson. Ova distribucija modelira mnoge nedeterminističke fizičke procese.
Odnos s drugim distribucijama
- Normalna distribucija je Pearsonova distribucija tipa XI.
- Omjer para nezavisnih standardnih normalno distribuiranih slučajnih varijabli ima Cauchyjevu distribuciju. Odnosno, ako je slučajna varijabla X (\displaystyle X) predstavlja odnos X = Y / Z (\displaystyle X=Y/Z)(Gdje Y (\displaystyle Y) I Z (\displaystyle Z)- neovisne standardne normalne slučajne varijable), tada će imati Cauchyjevu distribuciju.
- Ako z 1 , … , z k (\displaystyle z_(1),\ldots ,z_(k))- zajednički neovisne standardne normalne slučajne varijable, tj z i ∼ N (0 , 1) (\displaystyle z_(i)\sim N\lijevo(0,1\desno)), zatim slučajna varijabla x = z 1 2 + … + z k 2 (\displaystyle x=z_(1)^(2)+\ldots +z_(k)^(2)) ima hi-kvadrat distribuciju s k stupnjeva slobode.
- Ako je slučajna varijabla X (\displaystyle X) je podvrgnut lognormalnoj distribuciji, tada njegov prirodni logaritam ima normalnu distribuciju. Odnosno, ako X ∼ L o g N (μ , σ 2) (\displaystyle X\sim \mathrm (LogN) \lijevo(\mu ,\sigma ^(2)\desno)), To Y = ln (X) ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y=\ln \left(X\right)\sim \mathrm (N) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right )). I obrnuto, ako Y ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y\sim \mathrm (N) \lijevo(\mu ,\sigma ^(2)\desno)), To X = exp (Y) ∼ L o g N (μ , σ 2) (\displaystyle X=\exp \left(Y\right)\sim \mathrm (LogN) \left(\mu ,\sigma ^(2) \pravo)).
- Omjer kvadrata dviju standardnih normalnih slučajnih varijabli ima
Normalni zakon distribucije (često nazivan Gaussov zakon) igra izuzetno važnu ulogu u teoriji vjerojatnosti i zauzima posebno mjesto među ostalim zakonima distribucije. Ovo je zakon raspodjele koji se najčešće susreće u praksi. Glavna značajka koja razlikuje normalni zakon od drugih zakona je da je to ograničavajući zakon, kojem se drugi zakoni raspodjele približavaju pod vrlo uobičajenim tipičnim uvjetima.
Može se dokazati da zbroj dovoljno velikog broja neovisnih (ili slabo ovisnih) slučajnih varijabli, podložnih bilo kojim zakonima distribucije (podložnim nekim vrlo labavim ograničenjima), približno poštuje normalni zakon, a to je točnije, veći broj slučajnih varijabli koje se zbrajaju. Većina slučajnih varijabli koje se susreću u praksi, kao što su, na primjer, pogreške mjerenja, pogreške gađanja itd., mogu se prikazati kao zbroj vrlo velikog broja relativno malih članova - elementarnih pogrešaka, od kojih je svaka uzrokovana poseban uzrok, neovisan o drugima. Bez obzira kojim zakonima distribucije podliježu pojedinačne elementarne pogreške, značajke tih distribucija u zbroju velikog broja članova se izravnavaju, a zbroj se ispostavlja da podliježe zakonu bliskom normalnom. Glavno ograničenje nametnuto greškama sumiranja jest to da sve jednoliko igraju relativno malu ulogu u ukupnom zbroju. Ako ovaj uvjet nije ispunjen i, na primjer, jedna od slučajnih pogrešaka se pokaže oštro dominantnom u svom utjecaju na iznos u odnosu na sve ostale, tada će zakon distribucije ove prevladavajuće pogreške nametnuti svoj utjecaj na iznos i odrediti njegov glavna obilježja zakona raspodjele.
O teoremima koji uspostavljaju normalni zakon kao granicu za zbroj nezavisnih uniformno malih slučajnih članova detaljnije će se raspravljati u 13. poglavlju.
Normalni zakon distribucije karakterizira gustoća vjerojatnosti oblika:
Krivulja normalne distribucije ima simetričan izgled u obliku brežuljka (slika 6.1.1). Najveća ordinata krivulje, jednaka , odgovara točki ; Kako se udaljavate od točke, gustoća distribucije se smanjuje, a na , krivulja se asimptotski približava apscisi.
Otkrijmo značenje numeričkih parametara koji su uključeni u izraz normalnog zakona (6.1.1); Dokažimo da vrijednost nije ništa više od matematičkog očekivanja, a da je vrijednost standardna devijacija vrijednosti. Da bismo to učinili, izračunavamo glavne numeričke karakteristike količine - matematičko očekivanje i disperziju.
Korištenje promjene varijable
Lako je provjeriti da je prvi od dva intervala u formuli (6.1.2) jednak nuli; drugi je poznati Euler-Poissonov integral:
. (6.1.3)
Stoga,
oni. parametar predstavlja matematičko očekivanje vrijednosti. Taj se parametar, posebno kod problema snimanja, često naziva centar disperzije (skraćeno c.r.).
Izračunajmo varijancu količine:
.
Ponovna primjena promjene varijable
Integriranjem po dijelovima dobivamo:
Prvi član u vitičastim zagradama jednak je nuli (budući da pri opada brže nego što bilo koja snaga raste), drugi član prema formuli (6.1.3) jednak je , odakle
Prema tome, parametar u formuli (6.1.1) nije ništa više od standardne devijacije vrijednosti.
Otkrijmo značenje parametara i normalne distribucije. Iz formule (6.1.1) je odmah jasno da je središte simetrije distribucije središte disperzije. To je jasno iz činjenice da se pri obrnutom predznaku razlike izraz (6.1.1) ne mijenja. Ako promijenite središte disperzije, krivulja distribucije će se pomaknuti duž osi apscise bez promjene oblika (slika 6.1.2). Središte disperzije karakterizira položaj distribucije na apscisnoj osi.
Dimenzija centra raspršenja jednaka je dimenziji slučajne varijable.
Parametar ne karakterizira položaj, već sam oblik krivulje distribucije. Ovo je karakteristika disperzije. Najveća ordinata krivulje distribucije obrnuto je proporcionalna s; kako se povećavate, maksimalna ordinata se smanjuje. Budući da područje krivulje distribucije mora uvijek ostati jednako jedinici, kada se povećava, krivulja distribucije postaje ravnija, protežući se duž x-osi; naprotiv, kada se smanjuje, krivulja distribucije rasteže se prema gore, istovremeno se sabijajući sa strane, i postaje više igličasta. Na sl. 6.1.3 prikazuje tri normalne krivulje (I, II, III) na ; od njih krivulja I odgovara najvećoj, a krivulja III najmanjoj vrijednosti. Promjena parametra jednaka je promjeni mjerila krivulje distribucije - povećanjem mjerila duž jedne osi i istim smanjenjem duž druge.
Primjeri slučajnih varijabli raspoređenih prema normalnom zakonu su visina osobe i masa ulovljene ribe iste vrste. Normalna raspodjela znači sljedeće
: postoje vrijednosti ljudske visine, mase ribe iste vrste, koje se intuitivno percipiraju kao "normalne" (a zapravo, prosječne), au dovoljno velikom uzorku nalaze se puno češće od onih koje razlikuju prema gore ili prema dolje.
Normalna distribucija vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable (ponekad Gaussova distribucija) može se nazvati zvonastom zbog činjenice da je funkcija gustoće ove distribucije, simetrična u odnosu na srednju vrijednost, vrlo slična rezu zvona (crvena krivulja na gornjoj slici).
Vjerojatnost da naiđemo na određene vrijednosti u uzorku jednaka je površini figure ispod krivulje, au slučaju normalne distribucije to vidimo ispod vrha "zvona", što odgovara vrijednostima težeći prosjeku, površina, a time i vjerojatnost, veća je nego ispod rubova. Dakle, dobivamo isto što je već rečeno: vjerojatnost da ćete sresti osobu "normalne" visine i uhvatiti ribu "normalne" težine je veća nego za vrijednosti koje se razlikuju prema gore ili dolje. U mnogim praktičnim slučajevima, pogreške mjerenja raspoređene su prema zakonu bliskom normalnom.
Pogledajmo ponovno sliku na početku lekcije koja prikazuje funkciju gustoće normalne distribucije. Graf ove funkcije dobiven je izračunom određenog uzorka podataka u programskom paketu STATISTICA. Na njemu stupci histograma predstavljaju intervale uzorkovanih vrijednosti čija je distribucija bliska (ili, kako se u statistici obično kaže, ne razlikuje se bitno od) stvarnog grafa funkcije gustoće normalne distribucije, a to je crvena krivulja . Grafikon pokazuje da je ova krivulja doista u obliku zvona.
Normalna distribucija je vrijedna na mnogo načina jer znajući samo očekivanu vrijednost kontinuirane slučajne varijable i njezinu standardnu devijaciju, možete izračunati bilo koju vjerojatnost povezanu s tom varijablom.
Normalna distribucija također ima prednost jer je jedna od najjednostavnijih za korištenje. statistički testovi koji se koriste za provjeru statističkih hipoteza – Studentov t test- može se koristiti samo ako se uzorci podataka pridržavaju normalnog zakona distribucije.
Funkcija gustoće normalne distribucije kontinuirane slučajne varijable može se pronaći pomoću formule:
,
Gdje x- vrijednost promjenjive količine, - prosječna vrijednost, - standardna devijacija, e=2,71828... - baza prirodnog logaritma, =3,1416...
Svojstva funkcije gustoće normalne distribucije
Promjene srednje vrijednosti pomiču normalnu krivulju funkcije gustoće prema osi Vol. Ako se povećava, krivulja se pomiče udesno, ako se smanjuje, onda ulijevo.
Ako se standardna devijacija mijenja, mijenja se visina vrha krivulje. Kada standardna devijacija raste, vrh krivulje je viši, a kada se smanjuje, niži je.
Vjerojatnost normalno raspodijeljene slučajne varijable koja pada unutar zadanog intervala
Već u ovom odlomku počet ćemo rješavati praktične probleme čije je značenje naznačeno u naslovu. Pogledajmo koje mogućnosti pruža teorija za rješavanje problema. Početni koncept za izračunavanje vjerojatnosti da normalno distribuirana slučajna varijabla padne u zadani interval je kumulativna funkcija normalne distribucije.
Funkcija kumulativne normalne distribucije:
.
Međutim, problematično je dobiti tablice za svaku moguću kombinaciju srednje vrijednosti i standardne devijacije. Stoga je jedan od jednostavnih načina za izračunavanje vjerojatnosti da normalno distribuirana slučajna varijabla padne u zadani interval korištenje tablica vjerojatnosti za standardiziranu normalnu distribuciju.
Normalna distribucija naziva se standardizirana ili normalizirana., čija je sredina , a standardna devijacija je .
Standardizirana funkcija gustoće normalne distribucije:
.
Kumulativna funkcija standardizirane normalne distribucije:
.
Na slici ispod prikazana je integralna funkcija standardizirane normalne distribucije čiji je graf dobiven izračunavanjem određenog uzorka podataka u programskom paketu STATISTICA. Sam grafikon je crvena krivulja, a vrijednosti uzorka joj se približavaju.
Da biste povećali sliku, kliknite na nju lijevom tipkom miša.
Standardiziranje slučajne varijable znači prelazak s izvornih jedinica korištenih u zadatku na standardizirane jedinice. Normiranje se provodi prema formuli
U praksi su sve moguće vrijednosti slučajne varijable često nepoznate, pa se vrijednosti srednje i standardne devijacije ne mogu točno odrediti. Zamijenjeni su aritmetičkom sredinom opažanja i standardnom devijacijom s. Veličina z izražava odstupanja vrijednosti slučajne varijable od aritmetičke sredine pri mjerenju standardnih odstupanja.
Otvoreni interval
Tablica vjerojatnosti za standardiziranu normalnu distribuciju, koja se može naći u gotovo svakoj knjizi o statistici, sadrži vjerojatnosti da slučajna varijabla ima standardnu normalnu distribuciju Zće imati vrijednost manju od određenog broja z. To jest, pasti će u otvoreni interval od minus beskonačnosti do z. Na primjer, vjerojatnost da količina Z manje od 1,5, jednako 0,93319.
Primjer 1. Tvrtka proizvodi dijelove čiji je životni vijek normalno raspoređen s prosjekom od 1000 sati i standardnom devijacijom od 200 sati.
Za nasumično odabrani dio izračunajte vjerojatnost da će njegov radni vijek biti najmanje 900 sati.
Riješenje. Uvedimo prvu oznaku:
Željena vjerojatnost.
Vrijednosti slučajne varijable su u otvorenom intervalu. Ali znamo kako izračunati vjerojatnost da će slučajna varijabla poprimiti vrijednost manju od zadane, a prema uvjetima problema trebamo pronaći onu koja je jednaka ili veća od zadane. Ovo je drugi dio prostora ispod normalne krivulje gustoće (zvono). Dakle, da biste pronašli željenu vjerojatnost, potrebno je od jedinice oduzeti spomenutu vjerojatnost da će slučajna varijabla poprimiti vrijednost manju od navedenih 900:
Sada slučajnu varijablu treba standardizirati.
Nastavljamo s uvođenjem oznake:
z = (x ≤ 900)
;
x= 900 - navedena vrijednost slučajne varijable;
μ
= 1000 - prosječna vrijednost;
σ
= 200 - standardna devijacija.
Pomoću ovih podataka dobivamo uvjete problema:
.
Prema tablicama standardizirane slučajne varijable (granica intervala) z= −0,5 odgovara vjerojatnosti od 0,30854. Oduzmite ga od jedinice i dobijete ono što se traži u izjavi problema:
Dakle, vjerojatnost da će dio imati životni vijek od najmanje 900 sati je 69%.
Ova vjerojatnost se može dobiti pomoću MS Excel funkcije NORM.DIST (integralna vrijednost - 1):
P(x≥900) = 1 - P(x≤900) = 1 - NORM.DIST(900; 1000; 200; 1) = 1 - 0,3085 = 0,6915.
O izračunima u MS Excelu - u jednom od sljedećih odlomaka ove lekcije.
Primjer 2. U određenom gradu prosječni godišnji obiteljski dohodak je normalno raspodijeljena slučajna varijabla sa sredinom od 300 000 i standardnom devijacijom od 50 000. Poznato je da je prihod 40% obitelji manji od A. Pronađite vrijednost A.
Riješenje. U ovom problemu, 40% nije ništa drugo nego vjerojatnost da će slučajna varijabla uzeti vrijednost iz otvorenog intervala koja je manja od određene vrijednosti, označene slovom A.
Da biste pronašli vrijednost A, prvo sastavljamo integralnu funkciju:
Prema uvjetima problema
μ
= 300000 - prosječna vrijednost;
σ
= 50000 - standardna devijacija;
x = A- količina koju treba pronaći.
Izmišljanje jednakosti
.
Iz statističkih tablica nalazimo da vjerojatnost od 0,40 odgovara vrijednosti granice intervala z = −0,25
.
Dakle, mi stvaramo jednakost
i pronaći njegovo rješenje:
A = 287300
.
Odgovor: 40% obitelji ima prihode manje od 287.300.
Zatvoreni interval
U mnogim problemima potrebno je pronaći vjerojatnost da će normalno distribuirana slučajna varijabla uzeti vrijednost u intervalu od z 1 do z 2. Odnosno, pasti će u zatvoreni interval. Za rješavanje takvih problema potrebno je u tablici pronaći vjerojatnosti koje odgovaraju granicama intervala, a zatim pronaći razliku između tih vjerojatnosti. To zahtijeva oduzimanje manje vrijednosti od veće. Primjeri rješenja ovih uobičajenih problema su sljedeći, a od vas se traži da ih sami riješite, a zatim možete vidjeti točna rješenja i odgovore.
Primjer 3. Dobit poduzeća za određeno razdoblje je slučajna varijabla podložna normalnom zakonu raspodjele s prosječnom vrijednošću od 0,5 milijuna. a standardna devijacija 0,354. Odredite, s točnošću od dva decimalna mjesta, vjerojatnost da će dobit poduzeća biti od 0,4 do 0,6 c.u.
Primjer 4. Duljina proizvedenog dijela je slučajna varijabla raspoređena prema normalnom zakonu s parametrima μ
=10 i σ
=0,071. Odredite vjerojatnost nedostataka, točno na dvije decimale, ako dopuštene dimenzije dijela moraju biti 10±0,05.
Savjet: u ovom problemu, osim pronalaženja vjerojatnosti da slučajna varijabla padne u zatvoreni interval (vjerojatnost primanja nedefektnog dijela), trebate izvršiti još jednu radnju.
omogućuje određivanje vjerojatnosti da standardizirana vrijednost Z ne manje -z i nema više +z, Gdje z- proizvoljno odabrana vrijednost standardizirane slučajne varijable.
Približna metoda za provjeru normalnosti distribucije
Približna metoda za provjeru normalnosti distribucije vrijednosti uzorka temelji se na sljedećem svojstvo normalne distribucije: koeficijent asimetrije β
1
i koeficijent kurtoze β
2
jednaki su nuli.
Koeficijent asimetrije β
1
numerički karakterizira simetriju empirijske distribucije u odnosu na srednju vrijednost. Ako je koeficijent asimetrije nula, tada su aritmetrijska sredina, medijan i mod jednaki: a krivulja gustoće distribucije je simetrična u odnosu na srednju vrijednost. Ako je koeficijent asimetrije manji od nule (β
1
< 0
), tada je aritmetička sredina manja od medijana, a medijan je zauzvrat manji od mode () i krivulja je pomaknuta udesno (u usporedbi s normalnom distribucijom). Ako je koeficijent asimetrije veći od nule (β
1
> 0
), tada je aritmetička sredina veća od medijana, a medijan je zauzvrat veći od modusa () i krivulja je pomaknuta ulijevo (u usporedbi s normalnom distribucijom).
Kurtosis koeficijent β
2
karakterizira koncentraciju empirijske distribucije oko aritmetičke sredine u smjeru osi Joj i stupanj vrha krivulje gustoće distribucije. Ako je koeficijent kurtoze veći od nule, tada je krivulja više izdužena (u usporedbi s normalnom distribucijom) duž osi Joj(graf je šiljatiji). Ako je koeficijent kurtoze manji od nule, tada je krivulja spljoštenija (u usporedbi s normalnom distribucijom) duž osi Joj(graf je tuplji).
Koeficijent asimetrije može se izračunati pomoću funkcije MS Excel SKOS. Ako provjeravate jedan niz podataka, morate unijeti raspon podataka u jedan okvir "Broj".
Koeficijent kurtoze može se izračunati pomoću funkcije MS Excel KURTESS. Kod provjere jednog niza podataka također je dovoljno unijeti raspon podataka u jedno polje “Broj”.
Dakle, kao što već znamo, s normalnom distribucijom koeficijenti asimetrije i kurtoze jednaki su nuli. Ali što ako imamo koeficijente asimetrije od -0,14, 0,22, 0,43 i koeficijente kurtoze od 0,17, -0,31, 0,55? Pitanje je sasvim pošteno, jer u praksi imamo posla samo s približnim, oglednim vrijednostima asimetrije i kurtoze, koje su podložne nekom neizbježnom, nekontroliranom rasipanju. Stoga se ne može zahtijevati da ti koeficijenti budu striktno jednaki nuli, oni moraju biti samo dovoljno blizu nule. Ali što znači dovoljno?
Potrebno je usporediti dobivene empirijske vrijednosti s prihvatljivim vrijednostima. Da biste to učinili, morate provjeriti sljedeće nejednakosti (usporedite vrijednosti koeficijenata modula s kritičnim vrijednostima - granicama područja testiranja hipoteze).
Za koeficijent asimetrije β
1
.
) ima posebno važnu ulogu u teoriji vjerojatnosti i najčešće se koristi u rješavanju praktičnih problema. Njegova glavna značajka je da je to ograničavajući zakon, kojem se drugi zakoni raspodjele približavaju pod vrlo uobičajenim tipičnim uvjetima. Na primjer, zbroj dovoljno velikog broja neovisnih (ili slabo ovisnih) slučajnih varijabli približno se pokorava normalnom zakonu, a to je istina što je točnije što se više slučajnih varijabli zbraja.
Eksperimentalno je dokazano da su pogreške mjerenja, odstupanja u geometrijskim dimenzijama i položaju elemenata građevinske konstrukcije tijekom njihove izrade i ugradnje, te varijabilnost fizikalno-mehaničkih svojstava materijala i opterećenja koja djeluju na građevinsku konstrukciju podložni normalnom zakonu.
Gotovo sve slučajne varijable podliježu Gaussovoj distribuciji, čije je odstupanje od prosječnih vrijednosti uzrokovano velikim skupom slučajnih faktora, od kojih je svaki pojedinačno beznačajan (centralni granični teorem).
Normalna distribucija je distribucija slučajne kontinuirane varijable za koju gustoća vjerojatnosti ima oblik (slika 18.1).
Riža. 18.1. Zakon normalne distribucije na 1< a 2 .
gdje su a i parametri distribucije.
Vjerojatnostne karakteristike slučajne varijable raspodijeljene prema normalnom zakonu jednake su:
Matematičko očekivanje (18.2)
Varijanca (18.3)
Standardna devijacija (18,4)
Koeficijent asimetrije A = 0(18.5)
Višak E= 0. (18.6)
Parametar σ uključen u Gaussovu distribuciju jednak je srednjem kvadratnom omjeru slučajne varijable. Veličina A određuje položaj distribucijskog centra (vidi sl. 18.1), i vrijednost A— širina raspodjele (slika 18.2), tj. statistički raspon oko prosječne vrijednosti.
Riža. 18.2. Zakon normalne distribucije na σ 1< σ 2 < σ 3
Vjerojatnost upadanja u zadani interval (od x 1 do x 2) za normalnu distribuciju, kao i u svim slučajevima, određena je integralom gustoće vjerojatnosti (18.1), koji se ne izražava kroz elementarne funkcije i predstavlja ga posebna funkcija koja se naziva Laplaceova funkcija (integral vjerojatnosti).
Jedan od prikaza integrala vjerojatnosti:
Veličina I nazvao kvantil
Vidi se da je F(h) neparna funkcija, tj. F(-h) = -F(h) .
Vrijednosti ove funkcije izračunate su i prikazane u obliku tablica u tehničkoj i obrazovnoj literaturi.
Funkcija distribucije normalnog zakona (slika 18.3) može se izraziti preko integrala vjerojatnosti:
Riža. 18.2. Funkcija normalne distribucije.
Vjerojatnost da slučajna varijabla raspodijeljena prema normalnom zakonu padne u interval od X. do x, određuje se izrazom:
Treba napomenuti da
F(0) = 0; F(∞) = 0,5; F(-∞) = -0,5.
Pri rješavanju praktičnih problema vezanih uz distribuciju često je potrebno uzeti u obzir vjerojatnost upadanja u interval koji je simetričan u odnosu na matematičko očekivanje, ako je duljina tog intervala, tj. ako sam interval ima granicu od do , imamo:
Kod rješavanja praktičnih problema granice odstupanja slučajnih varijabli izražavaju se kroz standard, standardno odstupanje, pomnoženo s određenim faktorom koji određuje granice područja odstupanja slučajne varijable.
Uzimajući i također koristeći formulu (18.10) i tablicu F(h) (Dodatak br. 1), dobivamo
Ove formule pokazuju da ako slučajna varijabla ima normalnu distribuciju, tada je vjerojatnost njenog odstupanja od prosječne vrijednosti za najviše σ 68,27%, za ne više od 2σ je 95,45% i za ne više od 3σ - 99,73%.
Budući da je vrijednost 0,9973 blizu jedinice, smatra se da je praktički nemoguće da normalna distribucija slučajne varijable odstupi od matematičkog očekivanja za više od 3σ. Ovo pravilo, koje vrijedi samo za normalnu distribuciju, naziva se pravilo tri sigme. Vjerojatno je njegovo kršenje P = 1 - 0,9973 = 0,0027. Ovo se pravilo koristi pri utvrđivanju granica dopuštenih odstupanja tolerancija geometrijskih karakteristika proizvoda i konstrukcija.
Slučajno ako, kao rezultat eksperimenta, može poprimiti stvarne vrijednosti s određenim vjerojatnostima. Najpotpunija, sveobuhvatna karakteristika slučajne varijable je zakon distribucije. Zakon raspodjele je funkcija (tablica, grafikon, formula) koja vam omogućuje određivanje vjerojatnosti da slučajna varijabla X poprimi određenu vrijednost xi ili padne u određeni interval. Ako slučajna varijabla ima zadani zakon raspodjele, tada se kaže da je raspodijeljena prema tom zakonu ili da se pokorava tom zakonu raspodjele.
Svaki zakon distribucije je funkcija koja u potpunosti opisuje slučajnu varijablu s vjerojatnosnog gledišta. U praksi se distribucija vjerojatnosti slučajne varijable X često mora prosuđivati samo na temelju rezultata ispitivanja.
Normalna distribucija
Normalna distribucija, također nazvana Gaussova distribucija, je distribucija vjerojatnosti koja ima ključnu ulogu u mnogim područjima znanja, posebno u fizici. Fizička veličina slijedi normalnu distribuciju kada je podložna utjecaju velikog broja slučajnih šumova. Jasno je da je ova situacija izuzetno česta, pa možemo reći da je od svih distribucija normalna distribucija najčešća u prirodi – otuda joj i jedan naziv.
Normalna razdioba ovisi o dva parametra - pomaku i mjerilu, odnosno, s matematičkog gledišta, to nije jedna raspodjela, već cijela njihova porodica. Vrijednosti parametra odgovaraju vrijednostima srednje (matematičko očekivanje) i raspona (standardna devijacija).
Standardna normalna distribucija je normalna distribucija s matematičkim očekivanjem od 0 i standardnom devijacijom od 1.
Koeficijent asimetrije
Koeficijent asimetrije je pozitivan ako je desni rep distribucije duži od lijevog, a negativan u suprotnom.
Ako je distribucija simetrična u odnosu na matematičko očekivanje, tada je njezin koeficijent asimetrije jednak nuli.
Koeficijent asimetrije uzorka koristi se za testiranje distribucije na simetriju, kao i grubi preliminarni test za normalnost. Omogućuje vam da odbacite, ali vam ne dopušta da prihvatite hipotezu normalnosti.
Kurtosis koeficijent
Koeficijent kurtoze (koeficijent vršnosti) je mjera oštrine vrha distribucije slučajne varijable.
Uvodi se “minus tri” na kraju formule kako bi koeficijent kurtoze normalne distribucije bio jednak nuli. Pozitivna je ako je vrh distribucije oko matematičkog očekivanja oštar, a negativan ako je vrh gladak.
Momenti slučajne varijable
Moment slučajne varijable je numerička karakteristika raspodjele dane slučajne varijable.
