| U petom stoljeću pr starogrčki filozof Zenon iz Eleje formulirao je svoje poznate aporije, od kojih je najpoznatija aporija “Ahilej i kornjača”. Evo kako to zvuči: Recimo Ahil trči deset puta brže od kornjače i za njom je tisuću koraka. Za vrijeme koje je Ahilu potrebno da pretrči tu udaljenost, kornjača će otpuzati stotinjak koraka u istom smjeru. Kad Ahilej pretrči stotinu koraka, kornjača otpuže još deset koraka, i tako dalje. Proces će se nastaviti ad infinitum, Ahilej nikada neće sustići kornjaču. Ovo razmišljanje postalo je logičan šok za sve naredne generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Hilbert... Svi su oni na ovaj ili onaj način razmatrali Zenonove aporije. Šok je bio toliko jak da je " ... rasprave traju do danas; znanstvena zajednica još nije uspjela doći do zajedničkog mišljenja o biti paradoksa ... matematička analiza, teorija skupova, novi fizikalni i filozofski pristupi bili su uključeni u proučavanje problematike ; nijedan od njih nije postao općeprihvaćeno rješenje problema..."[Wikipedia, "Zenonova aporija". Svi shvaćaju da su prevareni, ali nitko ne shvaća u čemu se prijevara sastoji. S matematičkog gledišta Zenon je u svojim aporijama jasno pokazao prijelaz s kvantitete na . Ovaj prijelaz podrazumijeva primjenu umjesto trajnih. Koliko ja razumijem, matematički aparat za korištenje promjenjivih mjernih jedinica ili još nije razvijen, ili nije primijenjen na Zenonove aporije. Primjena naše uobičajene logike vodi nas u zamku. Mi, zbog inercije mišljenja, na recipročnu vrijednost primjenjujemo stalne jedinice vremena. S fizičke točke gledišta, ovo izgleda kao usporavanje vremena dok se potpuno ne zaustavi u trenutku kada Ahilej sustigne kornjaču. Ako vrijeme stane, Ahilej više ne može pobjeći kornjači. Okrenemo li svoju uobičajenu logiku, sve dolazi na svoje mjesto. Ahilej trči konstantnom brzinom. Svaki sljedeći segment njegovog puta je deset puta kraći od prethodnog. Sukladno tome, vrijeme utrošeno na njegovo prevladavanje je deset puta manje od prethodnog. Ako primijenimo koncept "beskonačnosti" u ovoj situaciji, tada bi bilo ispravno reći "Ahil će beskonačno brzo sustići kornjaču." Kako izbjeći ovu logičku zamku? Ostanite u konstantnim jedinicama vremena i nemojte prelaziti na recipročne jedinice. Na Zenonovom jeziku to izgleda ovako: U vremenu koje je potrebno Ahilu da pretrči tisuću koraka, kornjača će otpuzati stotinu koraka u istom smjeru. Tijekom sljedećeg vremenskog intervala jednakog prvom, Ahilej će pretrčati još tisuću koraka, a kornjača će puzati stotinu koraka. Sada je Ahilej osam stotina koraka ispred kornjače. Ovaj pristup adekvatno opisuje stvarnost bez ikakvih logičkih paradoksa. Ali to nije potpuno rješenje problema. Einsteinova izjava o neodoljivosti brzine svjetlosti vrlo je slična Zenonovoj aporiji “Ahil i kornjača”. Još uvijek moramo proučiti, promisliti i riješiti ovaj problem. A rješenje se ne mora tražiti u beskonačno velikim brojevima, već u mjernim jedinicama. Još jedna zanimljiva Zenonova aporija govori o letećoj strijeli: Strijela koja leti je nepomična, budući da u svakom trenutku vremena miruje, a budući da miruje u svakom trenutku vremena, ona uvijek miruje. U ovoj se aporiji logički paradoks prevladava vrlo jednostavno – dovoljno je pojasniti da u svakom trenutku leteća strijela miruje na različitim točkama u prostoru, što je, zapravo, gibanje. Ovdje je potrebno napomenuti još jednu stvar. Iz jedne fotografije automobila na cesti nemoguće je utvrditi ni činjenicu njegovog kretanja ni udaljenost do njega. Da biste utvrdili kreće li se automobil, potrebne su vam dvije fotografije snimljene s iste točke u različitim vremenskim točkama, ali ne možete odrediti udaljenost od njih. Da biste odredili udaljenost do automobila, potrebne su vam dvije fotografije snimljene s različitih točaka u prostoru u jednom trenutku, ali iz njih ne možete utvrditi činjenicu kretanja (naravno, i dalje su vam potrebni dodatni podaci za izračune, trigonometrija će vam pomoći ). Ono što želim istaknuti Posebna pažnja, je da su dvije točke u vremenu i dvije točke u prostoru različite stvari koje ne treba brkati, jer pružaju različite mogućnosti za istraživanje.
Srijeda, 4. srpnja 2018
Razlike između skupa i multiskupa su vrlo dobro opisane na Wikipediji. Da vidimo. Kao što možete vidjeti, "ne mogu postojati dva identična elementa u skupu", ali ako postoje identični elementi u skupu, takav skup se naziva "multiskup". Razumna bića nikada neće shvatiti takvu apsurdnu logiku. To je razina papiga koje govore i dresiranih majmuna, koji nemaju inteligenciju od riječi "potpuno". Matematičari se ponašaju kao obični treneri, propovijedajući nam svoje apsurdne ideje. Jednom davno, inženjeri koji su gradili most bili su u čamcu ispod mosta dok su ispitivali most. Ako se most sruši, osrednji inženjer umro je pod ruševinama svoje kreacije. Ako je most mogao izdržati opterećenje, talentirani inženjer izgradio je druge mostove. Koliko god se matematičari skrivali iza fraze "pamte me, ja sam u kući", odnosno "matematika proučava apstraktne pojmove", postoji jedna pupčana vrpca koja ih neraskidivo povezuje sa stvarnošću. Ova pupčana vrpca je novac. Primijenimo matematičku teoriju skupova na same matematičare. Odlično smo učili matematiku i sada sjedimo za blagajnom i dajemo plaće. Dakle, matematičar dolazi k nama po svoj novac. Izbrojimo mu cijeli iznos i poslažemo ga na stol u različite hrpe u koje stavimo novčanice istog apoena. Zatim uzmemo po jednu novčanicu iz svake hrpe i damo matematičaru njegov "matematički skup plaće". Objasnimo matematičaru da će preostale račune dobiti tek kada dokaže da skup bez identičnih elemenata nije jednak skupu s identičnim elementima. Ovdje počinje zabava. Prije svega, proradit će logika zastupnika: "Ovo se može primijeniti na druge, ali ne na mene!" Tada će nas početi uvjeravati da novčanice istog apoena imaju različite brojeve novčanica, što znači da se ne mogu smatrati istim elementima. Dobro, prebrojimo plaće u kovanicama - na kovanicama nema brojeva. Ovdje će se matematičar početi mahnito prisjećati fizike: na različitim novčićima postoji različite količine prljavština, kristalna struktura i raspored atoma svakog novčića je jedinstven... A sad imam najviše interes Pitaj: gdje je crta iza koje se elementi multiskupa pretvaraju u elemente skupa i obrnuto? Takva crta ne postoji – o svemu odlučuju šamani, znanost tu ni blizu ne laže. Pogledaj ovdje. Odabiremo nogometne stadione s istom površinom terena. Površine polja su iste – što znači da imamo multiskup. Ali ako pogledamo imena tih istih stadiona, dobivamo mnogo, jer su imena različita. Kao što vidite, isti skup elemenata je i skup i multiskup. Što je točno? I tu matematičar-šaman-šarpist vadi asa aduta iz rukava i počinje nam pričati ili o skupu ili o multiskupu. U svakom slučaju, on će nas uvjeriti da je u pravu. Da bismo razumjeli kako moderni šamani operiraju s teorijom skupova, povezujući je sa stvarnošću, dovoljno je odgovoriti na jedno pitanje: po čemu se elementi jednog skupa razlikuju od elemenata drugog skupa? Pokazat ću vam, bez ikakvih "zamislivo kao nejedna cjelina" ili "nezamislivo kao jedinstvena cjelina".
Nedjelja, 18.03.2018
Zbroj znamenki broja je ples šamana s tamburom, koji nema veze s matematikom. Da, na satovima matematike nas uče pronaći zbroj znamenki broja i njime se služiti, ali oni su zato šamani, da svoje potomke pouče svojim vještinama i mudrosti, inače će šamani jednostavno izumrijeti. Trebate li dokaz? Otvorite Wikipediju i pokušajte pronaći stranicu "Zbroj znamenki broja." Ona ne postoji. Ne postoji formula u matematici koja se može koristiti za pronalaženje zbroja znamenki bilo kojeg broja. Uostalom, brojke jesu grafički simboli, uz pomoć kojeg pišemo brojeve, a jezikom matematike zadatak zvuči ovako: “Nađi zbroj grafičkih simbola koji predstavljaju bilo koji broj.” Matematičari ne mogu riješiti ovaj problem, ali šamani to mogu lako. Shvatimo što i kako radimo da bismo pronašli zbroj znamenki zadanog broja. I tako, neka nam je broj 12345. Što treba učiniti da se pronađe zbroj znamenki tog broja? Razmotrimo sve korake redom. 1. Zapišite broj na komad papira. Što smo učinili? Broj smo pretvorili u grafički simbol broja. Ovo nije matematička operacija. 2. Jednu dobivenu sliku režemo na nekoliko slika koje sadrže pojedinačne brojeve. Rezanje slike nije matematička operacija. 3. Pretvorite pojedinačne grafičke simbole u brojeve. Ovo nije matematička operacija. 4. Zbrojite dobivene brojeve. Ovo je matematika. Zbroj znamenki broja 12345 je 15. Ovo su "tečajevi krojenja i šivanja" koje podučavaju šamani a kojima se služe matematičari. Ali to nije sve. S matematičkog gledišta nije svejedno u kojem brojevnom sustavu zapisujemo broj. Dakle, u različitim sustavima U računici će zbroj znamenki istog broja biti različit. U matematici se brojevni sustav označava kao indeks s desne strane broja. S velikim brojem 12345, ne želim zavaravati glavu, razmislimo o broju 26 iz članka o. Zapišimo ovaj broj u binarnom, oktalnom, decimalnom i heksadecimalnom brojevnom sustavu. Nećemo svaki korak promatrati pod mikroskopom; to smo već učinili. Pogledajmo rezultat. Kao što vidite, u različitim brojevnim sustavima zbroj znamenki istog broja je različit. Ovaj rezultat nema nikakve veze s matematikom. To je isto kao da ste odredili površinu pravokutnika u metrima i centimetrima, dobili biste potpuno drugačije rezultate. Nula izgleda isto u svim brojevnim sustavima i nema zbroj znamenki. To je još jedan argument u prilog tome da. Pitanje za matematičare: kako se u matematici označava nešto što nije broj? Što, za matematičare ne postoji ništa osim brojeva? Šamanima to mogu dopustiti, ali znanstvenicima ne. Stvarnost nisu samo brojke. Dobiveni rezultat treba smatrati dokazom da su brojevni sustavi mjerne jedinice za brojeve. Uostalom, ne možemo uspoređivati brojeve s različitim mjernim jedinicama. Ako iste radnje s različitim mjernim jedinicama iste veličine dovode do različite rezultate nakon što ih usporediš, znači da to nema nikakve veze s matematikom. Što je prava matematika? Ovo je kada rezultat matematička operacija ne ovisi o veličini broja, korištenoj mjernoj jedinici i tko izvodi radnju.
|
| Znak na vratima |
Otvara vrata i kaže: Oh! Nije li ovo ženski WC?
- Mlada žena! Ovo je laboratorij za proučavanje nedefilske svetosti duša tijekom njihova uzašašća na nebo! Oreol na vrhu i strelica prema gore. Koji drugi WC?
Žensko... Oreol na vrhu i strelica prema dolje su muški.
Ako vam takvo dizajnersko djelo bljesne pred očima nekoliko puta dnevno,
Onda ne čudi da iznenada nađete čudnu ikonu u svom automobilu:
Osobno se trudim vidjeti minus četiri stupnja kod osobe koja kaki (jedna slika) (kompozicija od više slika: znak minus, broj četiri, oznaka stupnjeva). I ne mislim da je ova cura budala koja ne zna fiziku. Ona samo ima jak stereotip percepcije grafičkih slika. A matematičari nas tome stalno uče. Evo primjera.
1A nije "minus četiri stupnja" ili "jedan a". Ovo je "čovjek koji kaki" ili broj "dvadeset šest" u heksadecimalnom zapisu. Oni ljudi koji stalno rade u ovom sustavu brojeva automatski percipiraju broj i slovo kao jedan grafički simbol.
\[(\Large(\text(Free trapezoid)))\]
Definicije
Trapez je konveksni četverokut kojemu su dvije stranice paralelne, a druge dvije stranice nisu paralelne.
Paralelne stranice trapeza zovu se njegove osnovice, a druge dvije stranice zovu se njegove bočne stranice.
Visina trapeza je okomica povučena iz bilo koje točke jedne osnovice na drugu osnovicu.
Teoremi: svojstva trapeza
1) Zbroj kutova na stranici je \(180^\circ\) .
2) Dijagonale dijele trapez na četiri trokuta od kojih su dva slična, a druga dva jednake veličine.
Dokaz
1) Zato što \(AD\paralela BC\), tada su kutovi \(\kut BAD\) i \(\kut ABC\) jednostrani za te pravce i transverzalu \(AB\), dakle, \(\kut BAD +\kut ABC=180^\krug\).
2) Zato što \(AD\paralela BC\) i \(BD\) su sekante, tada \(\kut DBC=\kut BDA\) leže poprečno.
Također \(\kut BOC=\kut AOD\) kao okomit.
Dakle, pod dva kuta \(\trokut BOC \sim \trokut AOD\).
Dokažimo to \(S_(\trokut AOB)=S_(\trokut COD)\). Neka je \(h\) visina trapeza. Zatim \(S_(\trokut ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\trokut ACD)\). Zatim: \
Definicija
Sredina trapeza je segment koji povezuje središta stranica.
Teorema
Srednjica trapeza paralelna je s osnovicama i jednaka je njihovom poluzbroju.
Dokaz*
1) Dokažimo paralelizam.
Povucimo kroz točku \(M\) ravnu liniju \(MN"\paralelno AD\) (\(N"\u CD\) ). Zatim, prema Talesovoj teoremi (od \(MN"\paralelno AD\paralelno BC, AM=MB\)) točka \(N"\) je sredina segmenta \(CD\). To znači da će se točke \(N\) i \(N"\) poklapati.
2) Dokažimo formulu.
Napravimo \(BB"\perp AD, CC"\perp AD\) . Neka \(BB"\cap MN=M", CC"\cap MN=N"\).
Zatim, prema Thalesovom teoremu, \(M"\) i \(N"\) su središta odsječaka \(BB"\) odnosno \(CC"\). To znači da je \(MM"\) srednja linija \(\trokuta ABB"\) , \(NN"\) srednja linija \(\trokuta DCC"\) . Zato: \
Jer \(MN\paralela AD\paralela BC\) i \(BB", CC"\perp AD\), tada su \(B"M"N"C"\) i \(BM"N"C\) pravokutnici. Prema Thalesovom teoremu, iz \(MN\paralel AD\) i \(AM=MB\) slijedi da je \(B"M"=M"B\) . Dakle, \(B"M"N"C "\) i \(BM"N"C\) su jednaki pravokutnici, dakle, \(M"N"=B"C"=BC\) .
Tako:
\
\[=\dfrac12 \lijevo(AB"+B"C"+BC+C"D\desno)=\dfrac12\lijevo(AD+BC\desno)\]
Teorem: svojstvo proizvoljnog trapeza
Središta osnovica, sjecište dijagonala trapeza i sjecište produžetaka bočnih stranica leže na istoj ravnici.
Dokaz*
Preporuča se da se upoznate s dokazom nakon proučavanja teme "Sličnost trokuta".
1) Dokažimo da točke \(P\) , \(N\) i \(M\) leže na istom pravcu.
Nacrtajmo ravnu liniju \(PN\) (\(P\) je sjecište produžetaka bočnih stranica, \(N\) je sredina \(BC\)). Neka siječe stranicu \(AD\) u točki \(M\) . Dokažimo da je \(M\) polovište \(AD\) .
Razmotrite \(\trokut BPN\) i \(\trokut APM\) . Oni su slični u dva kuta (\(\kut APM\) – općenito, \(\kut PAM=\kut PBN\) kao odgovarajući na \(AD\paralela BC\) i \(AB\) sekanta). Sredstva: \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]
Razmotrite \(\trokut CPN\) i \(\trokut DPM\) . Oni su slični kod dva kuta (\(\kut DPM\) – općenito, \(\kut PDM=\kut PCN\) kao korespondencija kod \(AD\paralela BC\) i \(CD\) sekansa). Sredstva: \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]
Odavde \(\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)\). Ali \(BN=NC\) dakle \(AM=DM\) .
2) Dokažimo da točke \(N, O, M\) leže na istom pravcu.
Neka je \(N\) polovište \(BC\) i \(O\) točka presjeka dijagonala. Nacrtajmo ravnu liniju \(NO\) , ona će sijeći stranicu \(AD\) u točki \(M\) . Dokažimo da je \(M\) polovište \(AD\) .
\(\trokut BNO\sim \trokut DMO\) uz dva kuta (\(\kut OBN=\kut ODM\) koji leže unakrsno na \(BC\paralelni AD\) i \(BD\) sekanti; \(\kut BON=\kut DOM\) kao okomit). Sredstva: \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]
Također \(\trokut CON\sim \trokut AOM\). Sredstva: \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]
Odavde \(\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)\). Ali \(BN=CN\) dakle \(AM=MD\) .
\[(\Veliki(\text(Istokračni trapez)))\]
Definicije
Trapez se naziva pravokutnim ako mu je jedan kut prav.
Trapez se naziva jednakokračan ako su mu stranice jednake.
Teoremi: svojstva jednakokračnog trapeza
1) Jednakokračni trapez ima jednake kutove pri osnovici.
2) Dijagonale jednakokračnog trapeza su jednake.
3) Dva trokuta koje tvore dijagonale i baza su jednakokračni.
Dokaz
1) Promotrimo jednakokračni trapez \(ABCD\) .
Iz vrhova \(B\) i \(C\) spustimo okomice \(BM\) odnosno \(CN\) na stranicu \(AD\). Budući da \(BM\perp AD\) i \(CN\perp AD\) , tada \(BM\parallel CN\) ; \(AD\paralela BC\) , tada je \(MBCN\) paralelogram, dakle \(BM = CN\) .
Razmotrimo pravokutne trokute \(ABM\) i \(CDN\) . Kako su im hipotenuze jednake, a krak \(BM\) jednak kraku \(CN\) , onda su ti trokuti jednaki, dakle \(\kut DAB = \kut CDA\) .
2) 
Jer \(AB=CD, \kut A=\kut D, AD\)- opći, zatim prema prvom znaku. Prema tome, \(AC=BD\) .
3) Zato što \(\trokut ABD=\trokut ACD\), zatim \(\kut BDA=\kut CAD\) . Dakle, trokut \(\trokut AOD\) je jednakokračan. Slično se dokazuje da je \(\trokut BOC\) jednakokračan.
Teoremi: znakovi jednakokračnog trapeza
1) Ako trapez ima jednake kutove pri osnovici, onda je jednakokračan.
2) Ako trapez ima jednake dijagonale, onda je jednakokračan.
Dokaz
Razmotrimo trapez \(ABCD\) takav da je \(\kut A = \kut D\) .
Dovršimo trapez do trokuta \(AED\) kao što je prikazano na slici. Budući da je \(\kut 1 = \kut 2\) , tada je trokut \(AED\) jednakokračan i \(AE = ED\) . Kutovi \(1\) i \(3\) jednaki su kao odgovarajući kutovi za paralelne pravce \(AD\) i \(BC\) i sekantu \(AB\). Slično, kutovi \(2\) i \(4\) su jednaki, ali \(\kut 1 = \kut 2\), tada \(\kut 3 = \kut 1 = \kut 2 = \kut 4\), dakle, trokut \(BEC\) je također jednakokračan i \(BE = EC\) .
Eventualno \(AB = AE - BE = DE - CE = CD\), odnosno \(AB = CD\), što je i trebalo dokazati.
2) Neka \(AC=BD\) . Jer \(\trokut AOD\sim \trokut BOC\), tada njihov koeficijent sličnosti označavamo kao \(k\) . Onda ako \(BO=x\) , tada \(OD=kx\) . Slično \(CO=y \Rightarrow AO=ky\) .
Jer \(AC=BD\) , zatim \(x+kx=y+ky \Rightarrow x=y\) . To znači da je \(\trokut AOD\) jednakokračan i \(\kut OAD=\kut ODA\) .
Dakle, prema prvom znaku \(\trokut ABD=\trokut ACD\) (\(AC=BD, \kut OAD=\kut ODA, AD\)- Općenito). Dakle, \(AB=CD\) , zašto.
U ovom ćemo članku pokušati prikazati svojstva trapeza što je moguće potpunije. Posebno ćemo govoriti o opći znakovi i svojstvima trapeza, kao i o svojstvima upisanog trapeza i o trapezu upisanoj kružnici. Dotaknut ćemo se i svojstava jednakokračnog i pravokutni trapez.
Primjer rješavanja problema pomoću razmatranih svojstava pomoći će vam da ga razvrstate po mjestima u glavi i bolje zapamtite gradivo.
Trapez i sve-sve-sve
Za početak, ukratko se prisjetimo što je trapez i koji su drugi koncepti povezani s njim.
Dakle, trapez je četverokutna figura, čije su dvije stranice paralelne jedna s drugom (to su baze). A to dvoje nije paralelno - ovo su strane.
U trapezu se visina može spustiti – okomito na osnovice. Nacrtane su središnja linija i dijagonale. Također je moguće povući simetralu iz bilo kojeg kuta trapeza.
Oko razna svojstva, povezan sa svim tim elementima i njihovim kombinacijama, sada ćemo govoriti.
Svojstva dijagonala trapeza
Da bi vam bilo jasnije, dok čitate, skicirajte trapez ACME na komad papira i nacrtajte dijagonale u njemu.
- Ako pronađete središta svake od dijagonala (nazovimo te točke X i T) i spojite ih, dobit ćete segment. Jedno od svojstava dijagonala trapeza je da isječak HT leži na središnjoj crti. A njezina se duljina može dobiti dijeljenjem razlike baza s dva: HT = (a – b)/2.
- Pred nama je isti trapezoid ACME. Dijagonale se sijeku u točki O. Pogledajmo trokute AOE i MOK koje čine odsječci dijagonala zajedno s osnovicama trapeza. Ovi su trokuti slični. Koeficijent sličnosti k trokuta izražava se omjerom osnovica trapeza: k = AE/KM.
Omjer površina trokuta AOE i MOK opisuje se koeficijentom k 2 .
- Isti trapez, iste dijagonale koje se sijeku u točki O. Samo ćemo ovaj put razmotriti trokute koje su segmenti dijagonala činili zajedno sa stranicama trapeza. Površine trokuta AKO i EMO jednake su veličine – površine su im jednake.
- Drugo svojstvo trapeza uključuje konstrukciju dijagonala. Dakle, ako stranice AK i ME nastavite u smjeru manje baze, tada će se prije ili kasnije presjeći u određenoj točki. Zatim povucite ravnu liniju kroz sredinu baza trapeza. Ona siječe baze u točkama X i T.
Ako sada produžimo pravac XT, tada će on zajedno spajati sjecište dijagonala trapeza O, točku u kojoj se sijeku produžeci stranice i središta osnovica X i T.
- Kroz sjecište dijagonala povući ćemo isječak koji će spajati osnovice trapeza (T leži na manjoj osnovici KM, X na većoj AE). Sjecište dijagonala dijeli ovaj segment u sljedećem omjeru: TO/OX = KM/AE.
- Sada ćemo kroz točku sjecišta dijagonala povući segment paralelan s bazama trapeza (a i b). Točka sjecišta će ga podijeliti na dva jednaka dijela. Pomoću formule možete pronaći duljinu segmenta 2ab/(a + b).
Svojstva srednje crte trapeza
Nacrtajte srednju liniju u trapezu paralelno s njegovim bazama.
- Duljina središnje crte trapeza može se izračunati zbrajanjem duljina baza i njihovim dijeljenjem na pola: m = (a + b)/2.
- Ako nacrtate bilo koji segment (na primjer visinu) kroz obje baze trapeza, srednja linija će ga podijeliti na dva jednaka dijela.
Svojstvo simetrale trapeza
Odaberite bilo koji kut trapeza i nacrtajte simetralu. Uzmimo, na primjer, kut KAE našeg trapeza ACME. Nakon što ste sami dovršili konstrukciju, lako možete provjeriti da simetrala odrezuje od baze (ili njenog nastavka na ravnoj liniji izvan same figure) segment iste duljine kao i stranica.
Svojstva kutova trapeza
- Koji god od dva para kutova susjednih strani odaberete, zbroj kutova u tom paru uvijek je 180 0: α + β = 180 0 i γ + δ = 180 0.
- Spojimo polovišta osnovica trapeza segmentom TX. Sada pogledajmo kutove na osnovicama trapeza. Ako je zbroj kutova za bilo koji od njih 90 0, duljina segmenta TX može se lako izračunati na temelju razlike u duljinama baza, podijeljenih na pola: TX = (AE – KM)/2.
- Ako se kroz stranice kuta trapeza povuku paralelne crte, one će stranice kuta dijeliti na proporcionalne segmente.
Svojstva jednakokračnog (jednakostraničnog) trapeza
- U jednakokračnom trapezu kutovi na svakoj osnovici su jednaki.
- Sada ponovno izgradite trapez kako biste lakše zamislili o čemu govorimo. Pažljivo pogledajte bazu AE - vrh suprotne baze M projicira se na određenu točku na pravcu koji sadrži AE. Udaljenost od vrha A do točke projekcije vrha M i središnje crte jednakokračnog trapeza jednake su.
- Nekoliko riječi o svojstvu dijagonala jednakokračnog trapeza - njihove su duljine jednake. Također su i kutovi nagiba ovih dijagonala prema osnovici trapeza isti.
- Samo oko jednakokračnog trapeza može se opisati kružnica, jer je zbroj nasuprotnih kutova četverokuta 180 0 - preduvjet za to.
- Svojstvo jednakokračnog trapeza slijedi iz prethodnog odlomka - ako se u blizini trapeza može opisati kružnica, ona je jednakokračna.
- Iz obilježja jednakokračnog trapeza slijedi svojstvo visine trapeza: ako se njegove dijagonale sijeku pod pravim kutom, tada je duljina visine jednaka polovici zbroja osnovica: h = (a + b)/2.
- Ponovno povucite segment TX kroz središta baza trapeza - u jednakokračnom trapezu on je okomit na baze. I ujedno je TX os simetrije jednakokračnog trapeza.
- Ovaj put spustite visinu sa suprotnog vrha trapeza na veću osnovicu (nazovimo je a). Dobit ćete dva segmenta. Duljina jednog može se pronaći ako se duljine baza zbroje i podijele na pola: (a + b)/2. Drugi dobijemo kada od veće baze oduzmemo manju i dobivenu razliku podijelimo s dva: (a – b)/2.
Svojstva trapeza upisanog u krug
Budući da već govorimo o trapezu upisanom u krug, zadržimo se na ovom pitanju detaljnije. Konkretno, gdje je središte kruga u odnosu na trapez. I ovdje se preporučuje da odvojite vrijeme da uzmete olovku i nacrtate ono o čemu će biti riječi u nastavku. Tako ćete brže razumjeti i bolje zapamtiti.
- Položaj središta kruga određen je kutom nagiba dijagonale trapeza na njegovu stranu. Na primjer, dijagonala se može protezati od vrha trapeza pod pravim kutom na stranu. U tom slučaju veća baza siječe središte opisane kružnice točno po sredini (R = ½AE).
- Dijagonala i stranica mogu se sastajati i pod oštar kut– tada je središte kruga unutar trapeza.
- Središte opisane kružnice može biti izvan trapeza, iza njegove veće osnovice, ako postoji tupi kut između dijagonale trapeza i stranice.
- Kut koji čine dijagonala i velika osnovica trapeza ACME (upisani kut) je polovica središnjeg kuta koji mu odgovara: MAE = ½ MOE.
- Ukratko o dva načina određivanja polumjera opisane kružnice. Prva metoda: pažljivo pogledajte svoj crtež - što vidite? Lako možete primijetiti da dijagonala dijeli trapez na dva trokuta. Polumjer se može pronaći omjerom stranice trokuta i sinusa suprotnog kuta, pomnoženog s dva. Na primjer, R = AE/2*sinAME. Na sličan način, formula se može napisati za bilo koju stranicu obaju trokuta.
- Druga metoda: pronađite polumjer opisane kružnice kroz područje trokuta kojeg tvore dijagonala, stranica i baza trapeza: R = AM*ME*AE/4*S AME.
Svojstva trapeza opisanog krugu
Možete uklopiti krug u trapez ako je ispunjen jedan uvjet. Više o tome pročitajte u nastavku. A zajedno ova kombinacija figura ima niz zanimljivih svojstava.
- Ako je krug upisan u trapez, duljina njegove središnje linije može se lako pronaći zbrajanjem duljina stranica i dijeljenjem rezultirajućeg zbroja na pola: m = (c + d)/2.
- Za trapez ACME, opisan oko kruga, zbroj duljina baza jednak je zbroju duljina stranica: AK + ME = KM + AE.
- Iz ovog svojstva osnovica trapeza slijedi obrnuta tvrdnja: u trapez se može upisati kružnica čiji je zbroj osnovica jednak zbroju stranica.
- Diralište kružnice polumjera r upisane u trapez dijeli stranicu na dva segmenta, nazovimo ih a i b. Polumjer kruga može se izračunati pomoću formule: r = √ab.
- I još jedna nekretnina. Da ne bude zabune, nacrtajte i sami ovaj primjer. Imamo dobri stari trapez ACME, opisan oko kruga. Sadrži dijagonale koje se sijeku u točki O. Trokuti AOK i EOM koje čine odsječci dijagonala i bočnih stranica su pravokutni.
Visine ovih trokuta, spuštene na hipotenuze (tj. bočne stranice trapeza), podudaraju se s polumjerima upisane kružnice. A visina trapeza podudara se s promjerom upisane kružnice.
Svojstva pravokutnog trapeza
Trapez se naziva pravokutnim ako mu je jedan kut prav. I njegova svojstva proizlaze iz ove okolnosti.
- Pravokutni trapez ima jednu stranicu okomitu na osnovicu.
- Visina i bočna stranica trapeza uz pravi kut, su jednaki. To vam omogućuje izračunavanje površine pravokutnog trapeza (opća formula S = (a + b) * h/2) ne samo kroz visinu, već i kroz stranu koja je uz pravi kut.
- Za pravokutni trapez relevantna su opća svojstva dijagonala trapeza koja su već opisana.
Dokazi nekih svojstava trapeza
Jednakost kutova na osnovici jednakokračnog trapeza:
- Vjerojatno ste već pogodili da će nam ovdje opet trebati AKME trapez - nacrtajte jednakokračni trapez. Iz vrha M povuci ravnu liniju MT, paralelnu sa stranicom AK (MT || AK).
Dobiveni četverokut AKMT je paralelogram (AK || MT, KM || AT). Kako je ME = KA = MT, ∆ MTE je jednakokračan i MET = MTE.
AK || MT, dakle MTE = KAE, MET = MTE = KAE.
Gdje je AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.
Q.E.D.
Sada to dokazujemo na temelju svojstva jednakokračnog trapeza (jednakost dijagonala). trapez ACME je jednakokračan:
- Prvo, nacrtajmo ravnu liniju MX – MX || KE. Dobivamo paralelogram KMHE (baza – MX || KE i KM || EX).
∆AMX je jednakokračan jer je AM = KE = MX, a MAX = MEA.
MH || KE, KEA = MXE, dakle MAE = MXE.
Pokazalo se da su trokuti AKE i EMA međusobno jednaki, jer su AM = KE i AE zajedničke stranice dvaju trokuta. I također MAE = MXE. Možemo zaključiti da je AK = ME, a iz toga slijedi da je trapez AKME jednakokračan.
Pregledajte zadatak
Osnovice trapeza ACME su 9 cm i 21 cm, bočna stranica KA, jednaka 8 cm, s manjom osnovicom zaklapa kut od 150 0 . Morate pronaći područje trapeza.
Rješenje: Iz vrha K spustimo visinu na veću osnovicu trapeza. I počnimo promatrati kutove trapeza.
Kutovi AEM i KAN su jednostrani. To znači da ukupno daju 180 0. Stoga je KAN = 30 0 (na temelju svojstva trapeznih kutova).
Razmotrimo sada pravokutni ∆ANC (vjerujem da je ova točka očigledna čitateljima bez dodatnih dokaza). Iz njega ćemo pronaći visinu trapeza KH - u trokutu je to krak koji leži nasuprot kutu od 30 0. Stoga je KH = ½AB = 4 cm.
Područje trapeza nalazimo pomoću formule: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.
Pogovor
Ako ste pažljivo i zamišljeno proučavali ovaj članak, niste bili previše lijeni da olovkom u rukama nacrtate trapezoide za sva zadana svojstva i analizirate ih u praksi, trebali ste dobro savladati materijal.
Naravno, ovdje ima mnogo informacija, raznolikih i ponekad čak i zbunjujućih: nije tako teško pomiješati svojstva opisanog trapeza sa svojstvima upisanog. Ali i sami ste vidjeli da je razlika ogromna.
Sada imate detaljan sažetak svega opća svojstva trapezi. Kao i specifična svojstva i karakteristike jednakokračnog i pravokutnog trapeza. Vrlo je praktičan za pripremu za testove i ispite. Isprobajte sami i podijelite link sa svojim prijateljima!
web stranice, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvor je obavezna.
Održavanje vaše privatnosti važno nam je. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte naše prakse privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.
Prikupljanje i korištenje osobnih podataka
Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.
Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.
U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako možemo koristiti takve podatke.
Koje osobne podatke prikupljamo:
- Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu E-mail itd.
Kako koristimo vaše osobne podatke:
- Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da Vas kontaktiramo i informiramo jedinstvene ponude, promocije i druga događanja te nadolazeća događanja.
- S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
- Osobne podatke također možemo koristiti u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
- Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.
Otkrivanje informacija trećim stranama
Podatke koje smo dobili od vas ne otkrivamo trećim stranama.
Iznimke:
- Po potrebi - sukladno zakonu, sudskom postupku, u suđenje, i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela u Ruskoj Federaciji - otkriti vaše osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnosne svrhe, provedbu zakona ili druge javne svrhe.
- U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo primjenjivoj trećoj strani nasljedniku.
Zaštita osobnih podataka
Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.
Poštivanje vaše privatnosti na razini tvrtke
Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo standarde privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo prakse privatnosti.
U ovom ćemo članku pokušati prikazati svojstva trapeza što je moguće potpunije. Posebno ćemo govoriti o općim karakteristikama i svojstvima trapeza, te svojstvima upisanog trapeza i trapezu upisane kružnice. Dotaknut ćemo se i svojstava jednakokračnog i pravokutnog trapeza.
Primjer rješavanja problema pomoću razmatranih svojstava pomoći će vam da ga razvrstate po mjestima u glavi i bolje zapamtite gradivo.
Trapez i sve-sve-sve
Za početak, ukratko se prisjetimo što je trapez i koji su drugi koncepti povezani s njim.
Dakle, trapez je četverokutna figura, čije su dvije stranice paralelne jedna s drugom (to su baze). A to dvoje nije paralelno - ovo su strane.
U trapezu se visina može spustiti – okomito na osnovice. Nacrtane su središnja linija i dijagonale. Također je moguće povući simetralu iz bilo kojeg kuta trapeza.
Sada ćemo govoriti o različitim svojstvima povezanim sa svim tim elementima i njihovim kombinacijama.
Svojstva dijagonala trapeza
Da bi vam bilo jasnije, dok čitate, skicirajte trapez ACME na komad papira i nacrtajte dijagonale u njemu.
- Ako pronađete središta svake od dijagonala (nazovimo te točke X i T) i spojite ih, dobit ćete segment. Jedno od svojstava dijagonala trapeza je da isječak HT leži na središnjoj crti. A njezina se duljina može dobiti dijeljenjem razlike baza s dva: HT = (a – b)/2.
- Pred nama je isti trapezoid ACME. Dijagonale se sijeku u točki O. Pogledajmo trokute AOE i MOK koje čine odsječci dijagonala zajedno s osnovicama trapeza. Ovi su trokuti slični. Koeficijent sličnosti k trokuta izražava se omjerom osnovica trapeza: k = AE/KM.
Omjer površina trokuta AOE i MOK opisuje se koeficijentom k 2 .
- Isti trapez, iste dijagonale koje se sijeku u točki O. Samo ćemo ovaj put razmotriti trokute koje su segmenti dijagonala činili zajedno sa stranicama trapeza. Površine trokuta AKO i EMO jednake su veličine – površine su im jednake.
- Drugo svojstvo trapeza uključuje konstrukciju dijagonala. Dakle, ako stranice AK i ME nastavite u smjeru manje baze, tada će se prije ili kasnije presjeći u određenoj točki. Zatim povucite ravnu liniju kroz sredinu baza trapeza. Ona siječe baze u točkama X i T.
Ako sada produžimo pravac XT, tada će on zajedno spajati sjecište dijagonala trapeza O, točku u kojoj se sijeku produžeci stranice i središta osnovica X i T.
- Kroz sjecište dijagonala povući ćemo isječak koji će spajati osnovice trapeza (T leži na manjoj osnovici KM, X na većoj AE). Sjecište dijagonala dijeli ovaj segment u sljedećem omjeru: TO/OX = KM/AE.
- Sada ćemo kroz točku sjecišta dijagonala povući segment paralelan s bazama trapeza (a i b). Točka sjecišta će ga podijeliti na dva jednaka dijela. Pomoću formule možete pronaći duljinu segmenta 2ab/(a + b).
Svojstva srednje crte trapeza
Nacrtajte srednju liniju u trapezu paralelno s njegovim bazama.
- Duljina središnje crte trapeza može se izračunati zbrajanjem duljina baza i njihovim dijeljenjem na pola: m = (a + b)/2.
- Ako nacrtate bilo koji segment (na primjer visinu) kroz obje baze trapeza, srednja linija će ga podijeliti na dva jednaka dijela.
Svojstvo simetrale trapeza
Odaberite bilo koji kut trapeza i nacrtajte simetralu. Uzmimo, na primjer, kut KAE našeg trapeza ACME. Nakon što ste sami dovršili konstrukciju, lako možete provjeriti da simetrala odrezuje od baze (ili njenog nastavka na ravnoj liniji izvan same figure) segment iste duljine kao i stranica.
Svojstva kutova trapeza
- Koji god od dva para kutova susjednih strani odaberete, zbroj kutova u tom paru uvijek je 180 0: α + β = 180 0 i γ + δ = 180 0.
- Spojimo polovišta osnovica trapeza segmentom TX. Sada pogledajmo kutove na osnovicama trapeza. Ako je zbroj kutova za bilo koji od njih 90 0, duljina segmenta TX može se lako izračunati na temelju razlike u duljinama baza, podijeljenih na pola: TX = (AE – KM)/2.
- Ako se kroz stranice kuta trapeza povuku paralelne crte, one će stranice kuta dijeliti na proporcionalne segmente.
Svojstva jednakokračnog (jednakostraničnog) trapeza
- U jednakokračnom trapezu kutovi na svakoj osnovici su jednaki.
- Sada ponovno izgradite trapez kako biste lakše zamislili o čemu govorimo. Pažljivo pogledajte bazu AE - vrh suprotne baze M projicira se na određenu točku na pravcu koji sadrži AE. Udaljenost od vrha A do točke projekcije vrha M i središnje crte jednakokračnog trapeza jednake su.
- Nekoliko riječi o svojstvu dijagonala jednakokračnog trapeza - njihove su duljine jednake. Također su i kutovi nagiba ovih dijagonala prema osnovici trapeza isti.
- Samo oko jednakokračnog trapeza može se opisati kružnica, jer je zbroj nasuprotnih kutova četverokuta 180 0 - preduvjet za to.
- Svojstvo jednakokračnog trapeza slijedi iz prethodnog odlomka - ako se u blizini trapeza može opisati kružnica, ona je jednakokračna.
- Iz obilježja jednakokračnog trapeza slijedi svojstvo visine trapeza: ako se njegove dijagonale sijeku pod pravim kutom, tada je duljina visine jednaka polovici zbroja osnovica: h = (a + b)/2.
- Ponovno povucite segment TX kroz središta baza trapeza - u jednakokračnom trapezu on je okomit na baze. I ujedno je TX os simetrije jednakokračnog trapeza.
- Ovaj put spustite visinu sa suprotnog vrha trapeza na veću osnovicu (nazovimo je a). Dobit ćete dva segmenta. Duljina jednog može se pronaći ako se duljine baza zbroje i podijele na pola: (a + b)/2. Drugi dobijemo kada od veće baze oduzmemo manju i dobivenu razliku podijelimo s dva: (a – b)/2.
Svojstva trapeza upisanog u krug
Budući da već govorimo o trapezu upisanom u krug, zadržimo se na ovom pitanju detaljnije. Konkretno, gdje je središte kruga u odnosu na trapez. I ovdje se preporučuje da odvojite vrijeme da uzmete olovku i nacrtate ono o čemu će biti riječi u nastavku. Tako ćete brže razumjeti i bolje zapamtiti.
- Položaj središta kruga određen je kutom nagiba dijagonale trapeza na njegovu stranu. Na primjer, dijagonala se može protezati od vrha trapeza pod pravim kutom na stranu. U tom slučaju veća baza siječe središte opisane kružnice točno po sredini (R = ½AE).
- Dijagonala i stranica mogu se sastajati i pod oštrim kutom - tada je središte kružnice unutar trapeza.
- Središte opisane kružnice može biti izvan trapeza, iza njegove veće osnovice, ako postoji tupi kut između dijagonale trapeza i stranice.
- Kut koji čine dijagonala i velika osnovica trapeza ACME (upisani kut) je polovica središnjeg kuta koji mu odgovara: MAE = ½ MOE.
- Ukratko o dva načina određivanja polumjera opisane kružnice. Prva metoda: pažljivo pogledajte svoj crtež - što vidite? Lako možete primijetiti da dijagonala dijeli trapez na dva trokuta. Polumjer se može pronaći omjerom stranice trokuta i sinusa suprotnog kuta, pomnoženog s dva. Na primjer, R = AE/2*sinAME. Na sličan način, formula se može napisati za bilo koju stranicu obaju trokuta.
- Druga metoda: pronađite polumjer opisane kružnice kroz područje trokuta kojeg tvore dijagonala, stranica i baza trapeza: R = AM*ME*AE/4*S AME.
Svojstva trapeza opisanog krugu
Možete uklopiti krug u trapez ako je ispunjen jedan uvjet. Više o tome pročitajte u nastavku. A zajedno ova kombinacija figura ima niz zanimljivih svojstava.
- Ako je krug upisan u trapez, duljina njegove središnje linije može se lako pronaći zbrajanjem duljina stranica i dijeljenjem rezultirajućeg zbroja na pola: m = (c + d)/2.
- Za trapez ACME, opisan oko kruga, zbroj duljina baza jednak je zbroju duljina stranica: AK + ME = KM + AE.
- Iz ovog svojstva osnovica trapeza slijedi obrnuta tvrdnja: u trapez se može upisati kružnica čiji je zbroj osnovica jednak zbroju stranica.
- Diralište kružnice polumjera r upisane u trapez dijeli stranicu na dva segmenta, nazovimo ih a i b. Polumjer kruga može se izračunati pomoću formule: r = √ab.
- I još jedna nekretnina. Da ne bude zabune, nacrtajte i sami ovaj primjer. Imamo dobri stari trapez ACME, opisan oko kruga. Sadrži dijagonale koje se sijeku u točki O. Trokuti AOK i EOM koje čine odsječci dijagonala i bočnih stranica su pravokutni.
Visine ovih trokuta, spuštene na hipotenuze (tj. bočne stranice trapeza), podudaraju se s polumjerima upisane kružnice. A visina trapeza podudara se s promjerom upisane kružnice.
Svojstva pravokutnog trapeza
Trapez se naziva pravokutnim ako mu je jedan kut prav. I njegova svojstva proizlaze iz ove okolnosti.
- Pravokutni trapez ima jednu stranicu okomitu na osnovicu.
- Visina i stranica trapeza uz pravi kut su jednake. To vam omogućuje izračunavanje površine pravokutnog trapeza (opća formula S = (a + b) * h/2) ne samo kroz visinu, već i kroz stranu koja je uz pravi kut.
- Za pravokutni trapez relevantna su opća svojstva dijagonala trapeza koja su već opisana.
Dokazi nekih svojstava trapeza
Jednakost kutova na osnovici jednakokračnog trapeza:
- Vjerojatno ste već pogodili da će nam ovdje opet trebati AKME trapez - nacrtajte jednakokračni trapez. Iz vrha M povuci ravnu liniju MT, paralelnu sa stranicom AK (MT || AK).
Dobiveni četverokut AKMT je paralelogram (AK || MT, KM || AT). Kako je ME = KA = MT, ∆ MTE je jednakokračan i MET = MTE.
AK || MT, dakle MTE = KAE, MET = MTE = KAE.
Gdje je AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.
Q.E.D.
Sada to dokazujemo na temelju svojstva jednakokračnog trapeza (jednakost dijagonala). trapez ACME je jednakokračan:
- Prvo, nacrtajmo ravnu liniju MX – MX || KE. Dobivamo paralelogram KMHE (baza – MX || KE i KM || EX).
∆AMX je jednakokračan jer je AM = KE = MX, a MAX = MEA.
MH || KE, KEA = MXE, dakle MAE = MXE.
Pokazalo se da su trokuti AKE i EMA međusobno jednaki, jer su AM = KE i AE zajedničke stranice dvaju trokuta. I također MAE = MXE. Možemo zaključiti da je AK = ME, a iz toga slijedi da je trapez AKME jednakokračan.
Pregledajte zadatak
Osnovice trapeza ACME su 9 cm i 21 cm, bočna stranica KA, jednaka 8 cm, s manjom osnovicom zaklapa kut od 150 0 . Morate pronaći područje trapeza.
Rješenje: Iz vrha K spustimo visinu na veću osnovicu trapeza. I počnimo promatrati kutove trapeza.
Kutovi AEM i KAN su jednostrani. To znači da ukupno daju 180 0. Stoga je KAN = 30 0 (na temelju svojstva trapeznih kutova).
Razmotrimo sada pravokutni ∆ANC (vjerujem da je ova točka očigledna čitateljima bez dodatnih dokaza). Iz njega ćemo pronaći visinu trapeza KH - u trokutu je to krak koji leži nasuprot kutu od 30 0. Stoga je KH = ½AB = 4 cm.
Područje trapeza nalazimo pomoću formule: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.
Pogovor
Ako ste pažljivo i zamišljeno proučavali ovaj članak, niste bili previše lijeni da olovkom u rukama nacrtate trapezoide za sva zadana svojstva i analizirate ih u praksi, trebali ste dobro savladati materijal.
Naravno, ovdje ima mnogo informacija, raznolikih i ponekad čak i zbunjujućih: nije tako teško pomiješati svojstva opisanog trapeza sa svojstvima upisanog. Ali i sami ste vidjeli da je razlika ogromna.
Sada imate detaljan prikaz svih općih svojstava trapeza. Kao i specifična svojstva i karakteristike jednakokračnog i pravokutnog trapeza. Vrlo je praktičan za pripremu za testove i ispite. Isprobajte sami i podijelite link sa svojim prijateljima!
blog.site, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvorni izvor je obavezna.
