Ima smisla razgovarati o tome operacije s algebarskim razlomcima. S algebarskim razlomcima definirani su sljedeće radnje: zbrajanje, oduzimanje, množenje, dijeljenje i povećanje na prirodni stupanj. Štoviše, sve ove akcije su zatvorene, u smislu da se kao rezultat njihovog izvršenja dobiva algebarski razlomak. Analizirajmo svaki od njih redom.

Da, odmah je vrijedno napomenuti da su operacije s algebarskim razlomcima generalizacije odgovarajućih operacija s običnim razlomcima. Stoga se odgovarajuća pravila gotovo doslovno podudaraju s pravilima za zbrajanje i oduzimanje, množenje, dijeljenje i stepenovanje obični razlomci.

Navigacija po stranici.

Zbrajanje algebarskih razlomaka

Zbrajanje bilo kojeg algebarskog razlomka odgovara jednom od dva sljedeća slučaja: u prvom, razlomci s isti nazivnici, u drugom - s različitim. Počnimo s pravilom zbrajanja razlomaka s istim nazivnicima.

Da biste zbrali algebarske razlomke s istim nazivnicima, trebate zbrojiti brojnike, a nazivnik ostaviti istim.

Zvučno pravilo omogućuje vam da prijeđete sa zbrajanja algebarskih razlomaka na zbrajanje polinoma koji su u brojnicima. Na primjer, .

Za zbrajanje algebarskih razlomaka s različitim nazivnicima trebate postupiti prema sljedećem pravilu: dovesti ih do zajednički nazivnik, a zatim zbrojite dobivene razlomke s istim nazivnicima.

Na primjer, kada se zbrajaju algebarski razlomci i oni se prvo moraju dovesti do zajedničkog nazivnika, kao rezultat će poprimiti oblik i odnosno nakon čega se vrši zbrajanje ovih razlomaka s istim nazivnicima: .

Oduzimanje

Sljedeći korak, oduzimanje algebarskih razlomaka, izvodi se na isti način kao i zbrajanje. Ako su nazivnici izvornih algebarskih razlomaka isti, tada samo trebate oduzeti polinome u brojnicima, a nazivnik ostaviti isti. Ako su nazivnici različiti, tada se prvo provodi redukcija na zajednički nazivnik, nakon čega se oduzimaju dobiveni razlomci s istim nazivnicima.

Navedimo primjere.

Oduzmimo algebarske frakcije i , Njihovi nazivnici su isti, dakle . Rezultirajući algebarski razlomak može se dodatno smanjiti: .

Sada oduzmite razlomak od razlomka. To su algebarski razlomci s različitim nazivnicima, stoga ih prvo dovodimo do zajedničkog nazivnika, koji je u ovom slučaju 5 x (x-1) , imamo i . Ostaje napraviti oduzimanje:

Množenje algebarskih razlomaka

Algebarski razlomci se mogu množiti. Ova se radnja provodi slično množenju običnih razlomaka prema sljedećem pravilu: da biste pomnožili algebarske razlomke, morate zasebno pomnožiti brojnike, a posebno nazivnike.

Uzmimo primjer. Pomnožite algebarski razlomak s razlomkom. Prema navedenom pravilu imamo . Ostaje pretvoriti rezultirajući razlomak u algebarski razlomak, za to, u ovom slučaju, morate izvesti množenje monoma i polinoma (i u opći slučaj- množenje polinoma) u brojniku i nazivniku: .

Vrijedi napomenuti da je prije množenja algebarskih razlomaka poželjno faktorizirati polinome koji se nalaze u njihovim brojnicima i nazivnicima. To je zbog mogućnosti smanjenja rezultirajuće frakcije. Na primjer,
.

O ovoj akciji detaljnije se govori u članku.

Podjela

Prelazimo na radnje s algebarskim razlomcima. Sljedeća na redu je podjela algebarskih razlomaka. Sljedeće pravilo svodi dijeljenje algebarskih razlomaka na množenje: da biste jedan algebarski razlomak podijelili drugim, trebate prvi razlomak pomnožiti s recipročnim razlomakom drugog.

Algebarski razlomak inverzan danom razlomku je razlomak čiji su brojnik i nazivnik preuređeni. Drugim riječima, dva se algebarska razlomka smatraju međusobno inverznima ako je njihov umnožak identično jednak jedinici (po analogiji s).

Uzmimo primjer. Napravimo podjelu . Recipročna vrijednost djelitelja je . Na ovaj način, .

Za detaljnije informacije pogledajte članak spomenut u prethodnom odlomku množenje i dijeljenje algebarskih razlomaka.

Dizanje algebarskog razlomka na stepen

Konačno, prelazimo na posljednju radnju s algebarskim razlomcima - podizanje na prirodni stepen. , kao i kako smo definirali množenje algebarskih razlomaka, omogućuje nam da zapišemo pravilo za podizanje algebarskog razlomka na stepen: morate zasebno podići brojnik na ovaj stepen, a posebno nazivnik.

Pokažimo primjer ove akcije. Podignimo algebarski razlomak na drugi stepen. Prema gore navedenom pravilu imamo . Ostaje podići monom u brojniku na stepen, a također i podići polinom u nazivniku na stepen, što će dati algebarski razlomak oblika .

Rješenje ostalih karakterističnih primjera prikazano je u članku kojim se algebarski razlomak diže na stepen.

Bibliografija.

• Algebra: udžbenik za 8 ćelija. opće obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; izd. S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M. : Obrazovanje, 2008. - 271 str. : bolestan. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. 8. razred. U 14 sati 1. dio. Udžbenik za učenike obrazovne ustanove/ A. G. Mordkovich. - 11. izd., izbrisano. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za pristupnike tehničkih škola): Proc. dodatak.- M.; Viša škola, 1984.-351 str., ilustr.

Autorska prava pametnih studenata

Sva prava pridržana.
Zaštićeno zakonom o autorskim pravima. Nijedan dio www.web stranice, uključujući unutarnji materijali i izgled, ne smiju se reproducirati u bilo kojem obliku ili koristiti bez prethodnog pismenog dopuštenja nositelja autorskih prava.

Ciljevi: ponoviti pravilo za množenje običnih razlomaka i naučiti kako primijeniti ovo pravilo za množenje razlomaka; učvrstiti vještine redukcije razlomaka i svojstva stupnjeva s istim bazama tijekom vježbi.

Tijekom nastave

I. Analiza kontrolnog rada.

1. Navedite pogreške koje su učenici napravili u kontrolnom radu.

2. Riješiti zadatke koji su učenicima izazivali poteškoće.

II. usmeni rad.

1. Ponovite svojstva stupnjeva s istim bazama:

2. Prisutni kao stupanj s bazom

Ponovite osnovno svojstvo razlomka i upotrijebite ovo svojstvo za smanjenje razlomaka.

III. Objašnjenja novog gradiva.

1. Dokažimo da je jednakost

vrijedi za sve dopuštene vrijednosti varijabli, odnosno za b≠0 i d≠0.

2. Pravilo: Da biste razlomak pomnožili razlomkom, trebate pomnožiti njihove brojnike i pomnožiti nazivnike i prvi umnožak napisati kao brojnik, a drugi kao nazivnik razlomka.

3. Razmotrimo rješenje primjera 1, 2, 3 i 4 na stranicama 26-27 udžbenika.

4. Pravilo za množenje razlomaka vrijedi za umnožak tri ili više faktora.

Na primjer:

1. Riješite broj 108 (usmeno).

2. Riješite broj 109 (a, c, e) na ploči i u bilježnicama.

Učenici sami odlučuju, zatim se provjerava rješenje.

3. Riješi br. 112 (c; d; f).

Domaća zadaća: studijska točka 5 (1-4); riješiti br. 109 (b; d; f),

br. 112 (a; b; e), br. 118 (a; c; e), br. 119 (b; d), br. 120 (a; c).

Lekcija 2

Ciljevi: izvesti pravilo za podizanje razlomka na stepen i naučiti učenike da to pravilo primjenjuju pri izvođenju vježbi; učvrstiti pravilo množenja razlomaka i vještine smanjivanja razlomaka, razvijati logičko mišljenje učenika.

Tijekom nastave

I. Usmeni rad.

4. Provjerite domaća zadaća na bilježnicama selektivno.

II. Učenje novog gradiva.

1. Razmotrimo pitanje podizanja razlomka na stepen. Dokažimo to

2. Pravilo. Da biste razlomak povisili na stepen, trebate podići brojnik i nazivnik na taj stepen i prvi rezultat upisati u brojnik, a drugi u nazivnik razlomka.

3. Analiziraj rješenje primjera 5 na strani 28 udžbenika:

III. Izvođenje vježbi.

1. Usmeno riješi broj 115.

2. Samostalno riješite broj 116 uz provjeru ili komentiranje na licu mjesta.

IV. Samostalni rad (10 min).

V. Sažetak lekcije.

1. Formirajte pravilo za množenje razlomaka.

2. Formirajte pravilo za podizanje razlomka na stepen.

Domaća zadaća: naučiti pravila iz stavka 5; riješiti broj 117, broj 121 (a; d), broj 122 (a; c), broj 123 (a), broj 124, broj 130 (a; b).

Očito, brojevi s potencijama mogu se zbrajati kao i druge veličine , dodajući ih jednu po jednu s njihovim znakovima.

Dakle, zbroj a 3 i b 2 je a 3 + b 2 .
Zbroj a 3 - b n i h 5 -d 4 je a 3 - b n + h 5 - d 4 .

Izgledi iste moći istih varijabli može se dodati ili oduzeti.

Dakle, zbroj 2a 2 i 3a 2 je 5a 2 .

Također je očito da ako uzmemo dva kvadrata a, ili tri kvadrata a, ili pet kvadrata a.

Ali diplome razne varijable i raznih stupnjeva identične varijable, moraju se dodati dodavanjem njihovim znakovima.

Dakle, zbroj 2 i 3 je zbroj 2 + a 3 .

Očito je da kvadrat od a i kocka od a nisu ni dvostruko veći od kvadrata a, već dvostruko veći od a.

Zbroj a 3 b n i 3a 5 b 6 je a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Oduzimanje ovlasti se provode na isti način kao i zbrajanje, samo što se predznaci oduzimanja moraju u skladu s tim mijenjati.

Ili:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6

Množenje snage

Brojevi s potencijama mogu se množiti kao i druge veličine tako da ih se piše jedan za drugim, sa ili bez znaka množenja između njih.

Dakle, rezultat množenja a 3 s b 2 je 3 b 2 ili aaabb.

Ili:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Rezultat u posljednjem primjeru može se poredati dodavanjem istih varijabli.
Izraz će imati oblik: a 5 b 5 y 3 .

Uspoređujući nekoliko brojeva (varijabli) s potencijama, možemo vidjeti da ako se bilo koja dva od njih pomnože, onda je rezultat broj (varijabla) s potencijom jednakim iznos stupnjevi pojmova.

Dakle, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Ovdje je 5 snaga rezultata množenja, jednaka 2 + 3, zbroj potencija članova.

Dakle, a n .a m = a m+n .

Za a n , a se uzima kao faktor onoliko puta koliko je snaga n;

A m , uzima se kao faktor onoliko puta koliko je stupanj m jednak;

Tako, potencije s istim bazama mogu se pomnožiti zbrajanjem eksponenata.

Dakle, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . I x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Ili:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Pomnožite (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Odgovor: x 4 - y 4.
Pomnožite (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Ovo pravilo vrijedi i za brojeve čiji su eksponenti - negativan.

1. Dakle, a -2 .a -3 = a -5 . Ovo se može zapisati kao (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Ako se a + b pomnože s a - b, rezultat će biti a 2 - b 2: tj

Rezultat množenja zbroja ili razlike dvaju brojeva jednak je zbroju ili razlici njihovih kvadrata.

Ako se zbroj i razlika dvaju brojeva podignu na kvadrat, rezultat će biti jednak zbroju ili razlici ovih brojeva u Četvrta stupanj.

Dakle, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Podjela stupnjeva

Brojevi s potencijama mogu se podijeliti kao i drugi brojevi oduzimanjem od djelitelja ili stavljanjem u oblik razlomka.

Dakle, a 3 b 2 podijeljeno s b 2 je 3 .

Ili:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Pisanje 5 podijeljeno s 3 izgleda kao $\frac(a^5)(a^3)$. Ali ovo je jednako 2. U nizu brojeva
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
bilo koji broj se može podijeliti s drugim, a eksponent će biti jednak razlika pokazatelji djeljivih brojeva.

Prilikom dijeljenja potencija s istom bazom, oduzimaju se njihovi eksponenti..

Dakle, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . To jest, $\frac(yyy)(yy) = y$.

I a n+1:a = a n+1-1 = a n . To jest, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Ili:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Pravilo vrijedi i za brojeve sa negativan vrijednosti stupnjeva.
Rezultat dijeljenja -5 s -3 je -2.
Također, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 ili $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Potrebno je vrlo dobro ovladati množenjem i dijeljenjem potencija, budući da se takve operacije vrlo široko koriste u algebri.

Primjeri rješavanja primjera s razlomcima koji sadrže brojeve s potencijama

1. Smanjite eksponente u $\frac(5a^4)(3a^2)$ Odgovor: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Smanjite eksponente u $\frac(6x^6)(3x^5)$. Odgovor: $\frac(2x)(1)$ ili 2x.

3. Smanjite eksponente a 2 / a 3 i a -3 / a -4 i dovedite do zajedničkog nazivnika.
a 2 .a -4 je -2 prvi brojnik.
a 3 .a -3 je a 0 = 1, drugi brojnik.
a 3 .a -4 je -1, zajednički brojnik.
Nakon pojednostavljenja: a -2 /a -1 i 1/a -1 .

4. Smanjiti eksponente 2a 4 /5a 3 i 2 /a 4 i dovesti do zajedničkog nazivnika.
Odgovor: 2a 3 / 5a 7 i 5a 5 / 5a 7 ili 2a 3 / 5a 2 i 5/5a 2.

5. Pomnožite (a 3 + b)/b 4 s (a - b)/3.

6. Pomnožite (a 5 + 1)/x 2 s (b 2 - 1)/(x + a).

7. Pomnožite b 4 /a -2 s h -3 /x i a n /y -3 .

8. Podijelite a 4 /y 3 s a 3 /y 2 . Odgovor: a/y.

9. Podijelite (h 3 - 1)/d 4 s (d n + 1)/h.

Formule snage koristi se u procesu redukcije i pojednostavljenja složenih izraza, u rješavanju jednadžbi i nejednadžbi.

Broj c je n-ti stepen broja a kada:

Operacije sa stupnjevima.

1. Množenjem stupnjeva s istom bazom, njihovi se pokazatelji zbrajaju:

a ma n = a m + n .

2. U podjeli stupnjeva s istom bazom oduzimaju se njihovi pokazatelji:

3. Stupanj umnoška 2 ili više faktora jednak je umnošku stupnjeva ovih čimbenika:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Stupanj razlomka jednak je omjeru stupnjeva dividende i djelitelja:

(a/b) n = a n / b n .

5. Podižući stepen na stepen, eksponenti se množe:

(am) n = a m n .

Svaka gornja formula je točna u smjerovima s lijeva na desno i obrnuto.

na primjer. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operacije s korijenima.

1. Korijen umnoška nekoliko čimbenika jednak je umnošku korijena ovih čimbenika:

2. Korijen omjera jednak je omjeru dividende i djelitelja korijena:

3. Prilikom podizanja korijena na stepen, dovoljno je podići korijenski broj na ovaj stepen:

4. Povećamo li stupanj korijena u n jednom i u isto vrijeme podići na n th stepen je korijenski broj, tada se vrijednost korijena neće promijeniti:

5. Ako smanjimo stupanj korijena u n korijen u isto vrijeme n stupnja od radikalnog broja, tada se vrijednost korijena neće promijeniti:

Stupanj s negativnim eksponentom. Stupanj nekog broja s nepozitivnim (cjelobrojnim) eksponentom definira se kao stupanj podijeljen sa stupnjem istog broja s eksponentom jednakim apsolutna vrijednost nepozitivan pokazatelj:

Formula a m:a n = a m - n može se koristiti ne samo za m> n, ali i na m< n.

na primjer. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Za formulu a m:a n = a m - n postao pošten na m=n, potrebna vam je prisutnost nultog stupnja.

Stupanj s nultim eksponentom. Potencija svakog broja različitog od nule s eksponentom nula jednaka je jedan.

na primjer. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Stupanj s razlomkom eksponenta. Podići pravi broj a do stupnja m/n, trebate izvaditi korijen n th stupanj od m th stepena ovog broja a.

Lekcija na temu: "Pravila za množenje i dijeljenje potencija s istim i različitim eksponentima. Primjeri"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, povratne informacije, prijedloge. Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Nastavna sredstva i simulatori u internet trgovini "Integral" za 7. razred
Priručnik za udžbenik Yu.N. Makarycheva Priručnik za udžbenik A.G. Mordkovich

Svrha lekcije: naučiti kako izvoditi operacije s potencijama broja.

Za početak, prisjetimo se pojma "potencijal broja". Izraz poput $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ može se predstaviti kao $a^n$.

Vrijedi i obrnuto: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

Ova se jednakost naziva "bilježenje stupnja kao proizvoda". Pomoći će nam odrediti kako množiti i dijeliti moći.
Zapamtiti:
a- osnova diplome.
n- eksponent.
Ako n=1, što znači broj a uzeti jednom i redom: $a^n= 1$.
Ako n=0, tada je $a^0= 1$.

Zašto se to događa, možemo saznati kada se upoznamo s pravilima množenja i dijeljenja potencija.

pravila množenja

Primjer.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Ovo svojstvo je prikladno koristiti za pojednostavljenje rada pri podizanju broja na veliki stepen.
Primjer.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Ako se potencije množe s drugom bazom, ali istim eksponentom.
Za $a^n * b^n$ zapisujemo stupnjeve kao proizvod: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b )_ (m )$.
Ako zamijenimo faktore i prebrojimo rezultirajuće parove, dobivamo: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

Dakle, $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Primjer.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

pravila podjele

Dakle, potrebno je $\frac(a^n)(a^m)$, gdje n>m.

Stupnjeve zapisujemo kao razlomak:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

Sada smanjimo razlomak.

Ispada: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
Sredstva, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

Ovo svojstvo pomoći će objasniti situaciju s podizanjem broja na stepen nule. Pretpostavimo to n=m, tada je $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

Primjeri.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

b) Osnove stupnja su različite, pokazatelji su isti.
Recimo da trebate $\frac(a^n)(b^n)$. Potencije brojeva zapisujemo kao razlomak:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

Primjer.
$\frac(4^3)(2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.