Opći teoremi o dinamici sustava tijela. Teoremi o kretanju središta mase, o promjeni količine gibanja, o promjeni glavne kutne količine gibanja, o promjeni kinetičke energije. D'Alembertova načela i mogući pokreti. Opća jednadžba dinamike. Lagrangeove jednadžbe.

Opći teoremi o dinamici krutog tijela i sustava tijela

Opći teoremi dinamike- ovo je teorem o kretanju središta mase mehanički sustav, teorem o promjeni količine gibanja, teorem o promjeni glavne kutne količine gibanja (kinetičke količine gibanja) i teorem o promjeni kinetičke energije mehaničkog sustava.

Teorem o gibanju središta mase mehaničkog sustava

Teorem o gibanju centra mase.
Umnožak mase sustava i ubrzanja njegova središta mase jednak je vektorskom zbroju svih vanjskih sila koje djeluju na sustav:
.

Ovdje je M masa sustava:
;
a C je akceleracija središta mase sustava:
;
v C - brzina centra mase sustava:
;
r C - radijus vektor (koordinate) središta mase sustava:
;
- koordinate (u odnosu na fiksni centar) i mase točaka koje čine sustav.

Teorem o promjeni količine gibanja (momenta)

Količina gibanja (impulsa) sustava jednak je umnošku mase cijelog sustava i brzine njegovog središta mase ili zbroju momenta (zbroja impulsa) pojedinačnih točaka ili dijelova koji čine sustav:
.

Teorem o promjeni količine gibanja u diferencijalnom obliku.
Vremenska derivacija količine gibanja (momenta) sustava jednaka je vektorskom zbroju svih vanjskih sila koje djeluju na sustav:
.

Teorem o promjeni količine gibanja u integralnom obliku.
Promjena količine gibanja (momenta) sustava u određenom vremenskom razdoblju jednaka je zbroju impulsa vanjskih sila u istom vremenskom razdoblju:
.

Zakon očuvanja količine gibanja (momentuma).
Ako je zbroj svih vanjskih sila koje djeluju na sustav jednak nuli, tada će vektor količine gibanja sustava biti konstantan. To jest, sve njegove projekcije na koordinatnim osima zadržat će konstantne vrijednosti.

Ako je zbroj projekcija vanjskih sila na bilo koju os nula, tada će projekcija količine gibanja sustava na tu os biti konstantna.

Teorem o promjeni glavne kutne količine gibanja (teorem momenata)

Glavni kutni moment količine gibanja sustava u odnosu na dano središte O je veličina jednaka vektorskom zbroju kutnog momenta svih točaka sustava u odnosu na to središte:
.
Ovdje uglate zagrade označavaju križni umnožak.

Priloženi sustavi

Sljedeći teorem primjenjuje se na slučaj kada mehanički sustav ima fiksnu točku ili os koja je nepomična u odnosu na inercijalni referentni okvir. Na primjer, tijelo pričvršćeno sfernim ležajem. Ili sustav tijela koja se kreću oko fiksnog središta. To može biti i nepomična os oko koje se okreće tijelo ili sustav tijela. U ovom slučaju momente treba shvatiti kao momente impulsa i sila u odnosu na nepomičnu os.

Teorem o promjeni glavne kutne količine gibanja (teorem momenata)
Vremenska derivacija glavne kutne količine gibanja sustava u odnosu na neko nepomično središte O jednaka je zbroju momenata svih vanjskih sila sustava u odnosu na isto središte.

Zakon očuvanja glavne kutne količine gibanja (kutne količine gibanja).
Ako je zbroj momenata svih vanjskih sila primijenjenih na sustav u odnosu na određeno fiksno središte O jednak nuli, tada će glavni kutni moment sustava u odnosu na to središte biti konstantan. To jest, sve njegove projekcije na koordinatnim osima zadržat će konstantne vrijednosti.

Ako je zbroj momenata vanjskih sila u odnosu na neku fiksnu os nula, tada će kutni moment sustava u odnosu na tu os biti konstantan.

Proizvoljni sustavi

Sljedeći teorem ima univerzalni karakter. Primjenjuje se i na fiksne i na pokretne sustave. Kod fiksnih sustava potrebno je voditi računa o reakcijama spojeva na fiksnim točkama. Razlikuje se od prethodnog teorema po tome što umjesto fiksne točke O treba uzeti središte mase C sustava.

Teorem momenata o središtu mase
Vremenska derivacija glavne kutne količine gibanja sustava u odnosu na središte mase C jednaka je zbroju momenata svih vanjskih sila sustava u odnosu na isto središte.

Zakon održanja kutne količine gibanja.
Ako je zbroj momenata svih vanjskih sila primijenjenih na sustav u odnosu na središte mase C jednak nuli, tada će glavni moment količine gibanja sustava u odnosu na to središte biti konstantan. To jest, sve njegove projekcije na koordinatnim osima zadržat će konstantne vrijednosti.

Moment inercije tijela

Ako tijelo rotira oko osi z s kutnom brzinom ω z, tada je njegov kutni moment (kinetički moment) u odnosu na os z određen formulom:
L z = J z ω z ,
gdje je J z moment tromosti tijela u odnosu na os z.

Moment tromosti tijela u odnosu na os z određuje se formulom:
,
gdje je h k udaljenost od točke mase m k do osi z.
Za tanak prsten mase M i polumjera R, ili cilindar čija je masa raspoređena po obodu,
J z = M R 2 .
Za čvrsti homogeni prsten ili cilindar,
.

Steiner-Huygensov teorem.
Neka je Cz os koja prolazi kroz centar mase tijela, Oz os koja je s njim paralelna. Tada su momenti tromosti tijela u odnosu na te osi povezani relacijom:
J Oz = J Cz + M a 2 ,
gdje je M tjelesna težina; a je udaljenost između osi.

U više opći slučaj :
,
gdje je tenzor tromosti tijela.
Ovdje je vektor povučen iz središta mase tijela u točku mase m k.

Teorem o promjeni kinetičke energije

Neka tijelo mase M izvodi translatorno i rotacijsko gibanje kutnom brzinom ω oko neke osi z. Tada se kinetička energija tijela određuje formulom:
,
gdje je v C brzina gibanja centra mase tijela;
J Cz je moment tromosti tijela u odnosu na os koja prolazi kroz središte mase tijela paralelno s osi rotacije. Smjer rotacijske osi može se mijenjati tijekom vremena. Ova formula daje trenutnu vrijednost kinetičke energije.

Teorem o promjeni kinetičke energije sustava u diferencijalnom obliku.
Diferencijal (prirast) kinetičke energije sustava tijekom nekog gibanja jednak je zbroju diferencijala rada na to gibanje svih vanjskih i unutarnjih sila koje djeluju na sustav:
.

Teorem o promjeni kinetičke energije sustava u integralnom obliku.
Promjena kinetičke energije sustava tijekom nekog gibanja jednaka je zbroju rada na tom gibanju svih vanjskih i unutarnjih sila koje djeluju na sustav:
.

Posao koji obavlja sila, jednak je skalarnom umnošku vektora sile i infinitezimalnog pomaka točke njezine primjene:
,
odnosno umnožak apsolutnih vrijednosti vektora F i ds s kosinusom kuta između njih.

Rad koji izvrši moment sile, jednak je skalarnom umnošku vektora momenta i infinitezimalnog kuta rotacije:
.

d'Alembertov princip

Bit d'Alembertova principa je svođenje problema dinamike na probleme statike. Za to se pretpostavlja (ili je unaprijed poznato) da tijela sustava imaju određena (kutna) ubrzanja. Zatim se uvode inercijske sile i (ili) momenti inercijskih sila koji su po veličini jednaki i suprotnog smjera silama i momentima sila koje bi, prema zakonima mehanike, stvarale zadane akceleracije ili kutne akceleracije.

Pogledajmo primjer. Tijelo se translatorno giba i na njega djeluju vanjske sile. Nadalje pretpostavljamo da te sile stvaraju akceleraciju središta mase sustava. Prema teoremu o gibanju središta mase, središte mase tijela imalo bi istu akceleraciju da na tijelo djeluje sila. Zatim uvodimo silu inercije:
.
Nakon toga, problem dinamike:
.
;
.

Za rotacijsko gibanje postupite na isti način. Neka tijelo rotira oko osi z i na njega djeluju vanjski momenti sile M e zk . Pretpostavljamo da ti momenti stvaraju kutnu akceleraciju ε z. Zatim uvodimo moment sila tromosti M I = - J z ε z. Nakon toga, problem dinamike:
.
Pretvara se u problem statike:
;
.

Princip mogućih kretanja

Za rješavanje problema statike koristi se princip mogućih pomaka. U nekim problemima daje kraće rješenje od sastavljanja jednadžbi ravnoteže. To posebno vrijedi za sustave s vezama (na primjer, sustave tijela povezanih nitima i blokovima) koji se sastoje od mnogo tijela

Princip mogućih kretanja.
Za ravnotežu mehaničkog sustava s idealnim vezama potrebno je i dovoljno da zbroj elementarnih radova svih aktivnih sila koje na njega djeluju za svako moguće kretanje sustava bude jednak nuli.

Moguće premještanje sustava- ovo je mali pokret u kojem se ne prekidaju veze nametnute sustavu.

Idealne veze- to su spojevi koji ne obavljaju rad kada se sustav kreće. Točnije, količina rada koju obavljaju same veze pri pomicanju sustava je nula.

Opća jednadžba dinamike (D'Alembert - Lagrangeov princip)

D'Alembert-Lagrangeov princip kombinacija je D'Alembertovog principa s principom mogućih gibanja. Odnosno, kod rješavanja dinamičkog problema uvodimo inercijske sile i problem svodimo na statički problem koji rješavamo na principu mogućih pomaka.

D'Alembert-Lagrangeov princip.
Kada se mehanički sustav s idealnim vezama giba, u svakom trenutku zbroj elementarnih radova svih primijenjenih aktivnih sila i svih inercijskih sila na bilo koje moguće kretanje sustava jednak je nuli:
.
Ova se jednadžba zove opća jednadžba zvučnici.

Lagrangeove jednadžbe

Generalizirane q koordinate 1, q 2, ..., q n je skup od n veličina koje jednoznačno određuju položaj sustava.

Broj generaliziranih koordinata n podudara se s brojem stupnjeva slobode sustava.

Generalizirane brzine su derivacije generaliziranih koordinata u odnosu na vrijeme t.

Generalizirane sile Q 1, Q 2, ..., Q n .
Razmotrimo moguće kretanje sustava pri kojem će koordinata q k primiti kretanje δq k. Preostale koordinate ostaju nepromijenjene. Neka je δA k rad vanjskih sila tijekom takvog gibanja. Zatim
δA k = Q k δq k , odn
.

Ako se pri mogućem gibanju sustava sve koordinate mijenjaju, tada rad vanjskih sila tijekom takvog gibanja ima oblik:
δA = Q 1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q n δq n.
Tada su generalizirane sile parcijalne derivacije rada na pomacima:
.

Za potencijalne sile s potencijalom Π,
.

Lagrangeove jednadžbe su jednadžbe gibanja mehaničkog sustava u generaliziranim koordinatama:

Ovdje je T kinetička energija. To je funkcija generaliziranih koordinata, brzina i, moguće, vremena. Stoga je njegova parcijalna derivacija također funkcija generaliziranih koordinata, brzina i vremena. Zatim, morate uzeti u obzir da su koordinate i brzine funkcije vremena. Stoga, da biste pronašli ukupnu derivaciju u odnosu na vrijeme, morate primijeniti pravilo diferencijacije složene funkcije:
.

Reference:
S. M. Targ, Kratki tečaj teorijska mehanika, "Viša škola", 2010.

Predavanje 3. Opći teoremi dinamike

Dinamika sustava materijalnih točaka je važna grana teorijske mehanike. Ovdje se uglavnom razmatraju problemi gibanja mehaničkih sustava (sustava materijalnih točaka) s konačnim brojem stupnjeva slobode - maksimalnim brojem neovisnih parametara koji određuju položaj sustava. Glavni zadatak dinamike sustava je proučavanje zakona gibanja čvrsta i mehanički sustavi.

Najjednostavniji pristup proučavanju gibanja sustava koji se sastoji od N materijalnih točaka, svodi se na razmatranje kretanja svake pojedine točke sustava. U tom slučaju moraju se odrediti sve sile koje djeluju na svaku točku sustava, uključujući i sile međudjelovanja između točaka.

Određivanjem akceleracije svake točke u skladu s drugim Newtonovim zakonom (1.2) dobivamo za svaku točku tri skalarna diferencijalna zakona gibanja drugog reda, tj. 3 N diferencijalni zakoni gibanja cijelog sustava.

Da bi se pronašle jednadžbe gibanja mehaničkog sustava na temelju zadanih sila i početnih uvjeta za svaku točku sustava, rezultirajući diferencijalni zakoni moraju se integrirati. Ovaj problem je težak čak i u slučaju dviju materijalnih točaka koje se gibaju samo pod utjecajem međudjelovanja sila prema zakonu univerzalnog privlačenja (problem dvaju tijela), a izuzetno težak u slučaju triju međusobno djelujućih točaka (problem triju tijela). ).

Stoga je potrebno pronaći metode za rješavanje problema koje bi dovele do rješivih jednadžbi i dale predodžbu o gibanju mehaničkog sustava. Opći teoremi dinamike, kao posljedica diferencijalnih zakona gibanja, omogućuju nam da izbjegnemo složenost koja nastaje tijekom integracije i dobijemo potrebne rezultate.

3. 1. Opće napomene

Točke mehaničkog sustava ćemo numerirati indeksima ja, j, k itd., koji se provlače kroz sve vrijednosti 1, 2, 3… N, Gdje N – broj bodova sustava. Fizikalne veličine povezan sa k točke su označene istim indeksom kao i točka. Na primjer, izrazite radijus vektor i brzinu k th točka.

Na svaku točku sustava djeluju sile dvaju izvora: prvo, sile čiji izvori leže izvan sustava, tzv. vanjski snage i naznačene ; drugo, sile iz drugih točaka danog sustava, tzv unutarnje snage i naznačene . Unutarnje sile zadovoljavaju treći Newtonov zakon. Razmotrimo najjednostavnija svojstva unutarnjih sila koje djeluju na cijeli mehanički sustav u bilo kojem stanju.

Prvo imanje. Geometrijski zbroj svih unutarnjih sila sustava (glavni vektor unutarnjih sila) jednak je nuli.

Doista, ako uzmemo u obzir bilo koje dvije proizvoljne točke sustava, na primjer i (Sl. 3.1), zatim za njih , jer akcijske i reakcijske sile uvijek su jednake po veličini, djeluju duž jedne linije djelovanja u suprotnom smjeru, koja povezuje točke u interakciji. Glavni vektor unutarnjih sila sastoji se od parova sila međusobno djelujućih točaka, dakle

(3.1)

Drugo svojstvo. Geometrijski zbroj momenata svih unutarnjih sila u odnosu na proizvoljnu točku u prostoru jednak je nuli.

Razmotrimo sustav momenata sila i u odnosu na točku OKO(Sl. 3.1). Iz (Sl. 3.1). jasno je da

,

jer obje sile imaju iste krake i suprotne smjerove vektorskih momenata. Glavna točka unutarnje sile u odnosu na točku OKO sastoji se od vektorske sume takvih izraza i jednaka je nuli. Stoga,

Neka vanjske i unutarnje sile djeluju na mehanički sustav koji se sastoji od N bodova (Sl. 3.2). Ako se rezultanta vanjskih sila i rezultanta svih unutarnjih sila primijeni na svaku točku sustava, tada za bilo koju k točke sustava mogu se sastaviti diferencijalne jednadžbe gibanja. Bit će ukupno takvih jednadžbi N:

a u projekcijama na nepomične koordinatne osi 3 N:

(3.4)

Vektorske jednadžbe (3.3) ili ekvivalentne skalarne jednadžbe (3.4) predstavljaju diferencijalne zakone gibanja materijalnih točaka cijelog sustava. Ako se sve točke kreću paralelno s jednom ravninom ili jednom ravnom crtom, tada će broj jednadžbi (3.4) u prvom slučaju biti 2 N, u drugom N.

Primjer 1. Dvije mase međusobno su povezane nerastezljivim kablom prebačenim preko bloka (Sl. 3.3). Zanemarujući sile trenja, kao i masa bloka i sajle, određuju zakon kretanja tereta i napetosti sajle.

Riješenje. Sustav se sastoji od dva materijalna tijela (povezana nerastegljivim kabelom) koja se kreću paralelno s istom osi X. Zapišimo diferencijalne zakone gibanja u projekcijama na os x za sve.

Neka desni uteg pada s akceleracijom, tada će lijevi uteg rasti s akceleracijom. Mentalno se oslobađamo veze (kabla) i nadomještamo je reakcijama i (Sl. 3.3). Smatrajući da su tijela slobodna, nacrtajmo diferencijalne zakone gibanja u projekciji na os x(što znači da su napetosti niti unutarnje sile, a težina tereta vanjska):

Budući da je i (tijela su povezana neistegljivim kabelom), dobivamo

Rješavanje ovih jednadžbi za ubrzanje i napetost kabela T, dobivamo

.

Imajte na umu da napetost u kabelu nije jednaka sili gravitacije odgovarajućeg tereta.

3. 2. Teorem o gibanju središta mase

Poznato je da se kruto tijelo i mehanički sustav u ravnini mogu gibati prilično složeno. Do prvog teorema o gibanju tijela i mehaničkog sustava može se doći ovako: baciti k.-l. predmet koji se sastoji od mnogo čvrstih tijela međusobno pričvršćenih. Jasno je da će letjeti u paraboli. To je otkriveno proučavanjem kretanja točke. Međutim, sada objekt nije točka. Okreće se i njiše tijekom leta oko nekog efektivnog središta koje se giba po paraboli. Prvi teorem o kretanju složenih objekata kaže da je određeni efektivni centar središte mase pokretnog objekta. Središte mase nije nužno smješteno u samom tijelu, može ležati i negdje izvan njega.

Teorema. Središte mase mehaničkog sustava kreće se kao materijalna točka s masom jednakom masi cijelog sustava, na koju djeluju sve vanjske sile koje djeluju na sustav.

Da bismo dokazali teorem, prepisujemo diferencijalne zakone gibanja (3.3) u sljedećem obliku:

(3.5)

Gdje N – broj bodova sustava.

Zbrojimo jednadžbe član po član:

(A)

Položaj središta mase mehaničkog sustava u odnosu na odabrani koordinatni sustav određen je formulom (2.1): Gdje M– masa sustava. Zatim lijeva strana bit će zapisana jednakost (a).

Prvi zbroj na desnoj strani jednakosti (a) jednak je glavnom vektoru vanjskih sila, a posljednji je, po svojstvu unutarnjih sila, jednak nuli. Tada će se jednakost (a), uzimajući u obzir (b), prepisati

, (3.6)

oni. umnožak mase sustava i akceleracije središta njegove mase jednak je geometrijskom zbroju svih vanjskih sila koje djeluju na sustav.

Iz jednadžbe (3.6) proizlazi da unutarnje sile ne utječu izravno na kretanje središta mase. Međutim, u nekim slučajevima oni su uzrok pojave vanjskih sila koje djeluju na sustav. Dakle, unutarnje sile koje pokreću pogonske kotače automobila u rotaciju uzrokuju vanjsku adhezijsku silu primijenjenu na obruč kotača da djeluje na njega.

Primjer 2. Mehanizam, smješten u okomitoj ravnini, postavljen je na vodoravnu glatku ravninu i pričvršćen na nju šipkama čvrsto pričvršćenim na površinu DO I L (Sl. 3.4).

Radijus diska 1 R nepomična. Disk 2 masa m i radijus r pričvršćena na ručicu, duž R+ r u točki C 2. Ručica se vrti konstantno

kutna brzina. U početnom trenutku ručica je zauzela desnu stranu horizontalni položaj. Zanemarujući masu koljena, odredite najveće vodoravne i okomite sile koje djeluju na poluge ako je ukupna masa okvira i kotača 1 jednaka M. Također razmotrite ponašanje mehanizma u nedostatku šipki.

Riješenje. Sustav se sastoji od dvije mase ( N=2 ): fiksni disk 1 s okvirom i pomični disk 2. Usmjerite os na kroz težište nepokretnog diska okomito prema gore, os x– duž vodoravne ravnine.

Napišimo teorem o gibanju centra mase (3.6) u koordinatnom obliku

Vanjske sile ovog sustava su: težina okvira i fiksnog diska - Mg, težina pokretnog diska – mg, - ukupna horizontalna reakcija vijaka, - normalna ukupna reakcija ravnine. Stoga,

Tada će se zakoni gibanja (b) prepisati

Izračunajmo koordinate centra mase mehaničkog sustava:

; (G)

kako se vidi iz (Sl. 3.4), , , (kut radilice), . Zamjena ovih izraza u (d) i izračunavanje druge derivacije u odnosu na vrijeme t od , , dobivamo to

(e)

Zamjenom (c) i (e) u (b), nalazimo

Horizontalni pritisak koji djeluje na šipke je najveći i najmanji kada cos = 1 prema tome, tj.

Pritisak mehanizma uključen horizontalna ravnina ima najveću i najmanju vrijednost kada grijeh prema tome, tj.

Zapravo, prvi problem dinamike je riješen: prema poznatim jednadžbama gibanja središta mase sustava (d), obnavljaju se sile koje sudjeluju u gibanju.

U nedostatku rešetki K I L (Sl. 3.4), mehanizam može početi poskakivati ​​iznad vodoravne ravnine. To će se dogoditi kada, tj. kada , slijedi da kutna brzina rotacije koljena, pri kojoj mehanizam odskače, mora zadovoljiti jednakost

.

3. 3. Zakon očuvanja gibanja centra mase

Ako je glavni vektor vanjskih sila koje djeluju na sustav jednak nuli, tj. , zatim od(3.6)slijedi da je akceleracija centra mase nula, dakle, brzina centra mase je konstantna po veličini i smjeru. Naime, ako u početnom trenutku centar mase miruje, onda ono miruje cijelo vrijeme dok je glavni vektor vanjskih sila jednak nuli.

Nekoliko korolara slijedi iz ovog teorema.

· Same unutarnje sile ne mogu promijeniti prirodu kretanja središta mase sustava.

· Ako je glavni vektor vanjskih sila koje djeluju na sustav jednak nuli, tada središte mase miruje ili se giba jednoliko i pravocrtno.

· Ako je projekcija glavnog vektora vanjskih sila sustava na neku fiksnu os jednaka nuli, tada se projekcija brzine centra mase sustava na tu os ne mijenja.

· Par sila koji djeluje na kruto tijelo ne može promijeniti kretanje njegova središta mase (može samo izazvati rotaciju tijela oko središta mase).

Razmotrimo primjer koji ilustrira zakon očuvanja gibanja središta mase.

Primjer 3. Dvije mase povezane su neprotegljivom niti probačenom kroz blok (Sl. 3.5), učvršćen na klinu s masom M. Klin leži na glatkoj horizontalnoj ravnini. U početnom trenutku sustav je mirovao. Nađite pomak klina duž ravnine kada se prvi teret spusti na visinu N. Zanemarite masu bloka i niti.

Riješenje. Vanjske sile koje djeluju na klin zajedno s teretima su gravitacija, i Mg, kao i normalna reakcija glatke horizontalne površine N. Prema tome,

Kako je u početnom trenutku sustav mirovao, imamo .

Izračunajmo koordinate središta mase sustava u i u trenutku t 1 kad teret teži g spustit će se na visinu H.

Za sada:

,

Gdje , , X– odnosno koordinate središta mase tereta težine g, g i klina težine Mg.

Pretpostavimo da se klin u trenutku giba u pozitivnom smjeru osi Vol po iznosu L, ako težina tereta padne na visinu N. Onda, na trenutak

jer tereti će se zajedno s klinom pomaknuti na L udesno, a teret će se kretati prema gore duž klina. Budući da , onda nakon izračuna dobivamo

.

3.4. Količina kretanja sustava

3.4.1. Proračun količine gibanja sustava

Količina gibanja materijalne točke vektorska je veličina jednaka umnošku mase točke i njezina vektora brzine

Jedinica mjerenja momenta -

Količina gibanja mehaničkog sustava je vektorski zbroj impulsa pojedinih točaka sustava, t.j.

Gdje N – broj bodova sustava.

Količina gibanja mehaničkog sustava može se izraziti preko mase sustava M i brzina centra mase. Stvarno,

oni. Količina gibanja sustava jednaka je umnošku mase cijelog sustava i brzine njegovog središta mase. Smjer je isti kao i smjer (Sl. 3.6)

U projekcijama na pravokutne osi imamo

gdje su , , projekcije brzine središta mase sustava.

Ovdje M– masa mehaničkog sustava; ne mijenja se kada se sustav kreće.

Ovi rezultati su posebno zgodni za korištenje pri proračunu količina gibanja krutih tijela.

Iz formule (3.7) je jasno da ako se mehanički sustav giba na način da mu središte mase ostaje nepomično, tada količina gibanja sustava ostaje jednaka nuli.

3.4.2. Elementarni i puni impuls snage

Djelovanje sile na materijalnu točku tijekom vremena dt može se okarakterizirati elementarnim impulsom. Ukupni impuls sile tijekom vremena t, ili impuls sile, određen formulom

ili u projekcijama na koordinate osi

(3.8a)

Jedinica impulsa sile je .

3.4.3. Teorem o promjeni količine gibanja sustava

Neka vanjske i unutarnje sile djeluju na točke sustava. Tada za svaku točku sustava možemo primijeniti diferencijalne zakone gibanja (3.3), imajući na umu da :

.

Zbrajanjem po svim točkama sustava dobivamo

Po svojstvu unutarnjih sila i po definiciji imamo

(3.9)

Množenje obje strane ove jednadžbe sa dt, dobivamo teorem o promjeni količine gibanja u diferencijalnom obliku:

, (3.10)

oni. diferencijalna količina gibanja mehaničkog sustava jednaka je vektorskom zbroju elementarnih impulsa svih vanjskih sila koje djeluju na točke mehaničkog sustava.

Izračunavanje integrala obiju strana (3.10) kroz vrijeme od 0 do t, dobivamo teorem u konačnom ili integralnom obliku

(3.11)

U projekcijama na koordinatne osi imat ćemo

Promjena količine gibanja mehaničkog sustava tijekom vremenat, jednak je vektorskom zbroju svih impulsa vanjskih sila koje djeluju na točke mehaničkog sustava tijekom istog vremena.

Primjer 4. Težina tereta m spušta niz nagnutu ravninu iz mirovanja pod utjecajem sile F, proporcionalno vremenu: , gdje (Sl. 3.7). Koju će brzinu tijelo postići nakon t sekundi nakon početka gibanja, ako je koeficijent trenja klizanja tereta na kosoj ravnini jednak f.

Riješenje. Oslikajmo sile koje djeluju na teret: mg – sila gravitacije tereta, N je normalna reakcija ravnine, je sila trenja klizanja tereta na ravnini i . Smjer svih sila prikazan je u (Sl. 3.7).

Usmjerimo os x duž nagnute ravnine prema dolje. Napišimo teorem o promjeni količine gibanja (3.11) u projekciji na os x:

(A)

Prema stanju, jer u početnom trenutku teret je mirovao. Zbroj projekcija impulsa svih sila na x os jednak je

Stoga,

,

.

3.4.4. Zakoni očuvanja količine gibanja

Zakoni očuvanja dobiveni su kao posebni slučajevi teorema o promjeni količine gibanja. Moguća su dva posebna slučaja.

· Ako je vektorski zbroj svih vanjskih sila koje djeluju na sustav jednak nuli, tj. , onda iz teorema slijedi (3.9) , Što ,

oni. ako je glavni vektor vanjskih sila sustava nula, tada je količina gibanja sustava konstantna po veličini i smjeru.

· Ako je projekcija glavnog vektora vanjskih sila na bilo koju koordinatna os jednaka nuli, na primjer Oh, i.e. , tada je projekcija količine gibanja na ovu os konstantna vrijednost.

Razmotrimo primjer primjene zakona o održanju količine gibanja.

Primjer 5. Balističko njihalo je tijelo s masom obješenom na dugu nit (Sl. 3.8).

Metak velike mase, kreće se velikom brzinom V i udarivši u nepokretno tijelo, zaglavi u njemu, a tijelo skrene. Kolika je bila brzina metka ako se tijelo podigne u visinu h ?

Riješenje. Neka tijelo sa zaglavljenim metkom dobije brzinu. Zatim, koristeći zakon održanja količine gibanja tijekom međudjelovanja dvaju tijela, možemo napisati .

Brzina se može izračunati pomoću zakona održanja mehaničke energije . Zatim . Kao rezultat nalazimo

.

Primjer 6. Voda ulazi u stacionarni kanal (Sl. 3.9) promjenjivi presjek s brzinom pod kutom prema horizontali; kvadrat poprečni presjek kanal na ulazu; brzina vode na izlazu iz kanala čini kut s horizontom.

Odredite horizontalnu komponentu reakcije koju voda ima na stijenke kanala. Gustoća vode .

Riješenje. Odredit ćemo horizontalnu komponentu reakcije stijenki kanala na vodu. Ta je sila jednaka po veličini i suprotnog predznaka željenoj sili. Imamo, prema (3.11a),

. (A)

Izračunavamo masu volumena tekućine koja ulazi u kanal tijekom vremena t:

Veličina rAV 0 naziva se druga masa - masa tekućine koja teče kroz bilo koji dio cijevi po jedinici vremena.

Ista količina vode napusti kanal za isto vrijeme. U uvjetu su zadane početna i konačna brzina.

Izračunajmo desnu stranu jednakosti (a), koja određuje zbroj projekcija na horizontalnu os vanjskih sila koje djeluju na sustav (vodu). Jedina horizontalna sila je horizontalna komponenta rezultantne reakcije zida Rx. Ta je sila konstantna tijekom ravnomjernog kretanja vode. Zato

. (V)

Zamjenom (b) i (c) u (a), dobivamo

3.5. Kinetički moment sustava

3.5.1. Glavni moment količine gibanja sustava

Neka je radijus vektor točke s masom sustava u odnosu na neku točku A, koja se naziva središte (Sl. 3.10).

Moment količine gibanja (kinetički moment) točke u odnosu na centar A nazvan vektor , određena formulom

. (3.12)

U ovom slučaju, vektor usmjerena okomito na ravninu koja prolazi središtem A i vektor .

Moment količine gibanja (kinetički moment) točke u odnosu na os naziva se projekcija momenta količine gibanja točke u odnosu na bilo koje središte odabrano na ovoj osi na ovu os.

Glavni moment količine gibanja (kinetički moment) sustava u odnosu na središte A naziva se količina

(3.13)

Glavni moment količine gibanja (kinetički moment) sustava u odnosu na os naziva se projekcija na ovu os glavnog momenta količine gibanja sustava u odnosu na bilo koji odabrani na ovoj osi središnja os.

3.5.2. Kinetički moment rotacije krutog tijela oko osi rotacije

Poravnajmo fiksnu točku OKO tijelo koje leži na osi rotacije OKOz, s ishodištem koordinatnog sustava Ohooz, čije će se osi okretati s tijelom (Sl. 3.11). Neka je radijus vektor točke tijela u odnosu na ishodište koordinata, njegova projekcija na os označit će se s , , . Vektorske projekcije kutna brzina tijela na istoj osi označavamo 0, 0, ().

Ministarstvo obrazovanja i znanosti Ruska Federacija

Savezna državna proračunska obrazovna ustanova visokog stručnog obrazovanja

"Kubanjsko državno tehnološko sveučilište"

Teorijska mehanika

Dio 2 dinamike

Odobreno od strane Uredničkog i izdavačkog odbora

sveučilišno vijeće kao

nastavno pomagalo

Krasnodar

UDK 531.1/3 (075)

Teorijska mehanika. Dio 2. Dinamika: udžbenik / L. I. Draiko; Kuban. država tehnol.un-t. Krasnodar, 2011. 123 str.

ISBN 5-230-06865-5

Teorijska građa je predstavljena u sažetom obliku, navedeni su primjeri rješavanja problema, od kojih većina odražava realne tehničke probleme, a pozornost je posvećena izboru racionalnog načina rješavanja.

Namijenjen prvostupnicima dopisnog i studijskog obrazovanja na daljinu u građevinarstvu, prometu i strojarstvu.

Stol 1 ilustr. 68 Bibliografija 20 naslova

Znanstveni urednik Kandidat tehničkih znanosti, izvanredni profesor. V.F.Melnikov

Recenzenti: Predstojnik Zavoda za teorijsku mehaniku i teoriju mehanizama i strojeva Kubanjskog agrarnog sveučilišta prof. F.M. Kanarev; Izvanredni profesor, Odsjek za teorijsku mehaniku, Kubansko državno tehnološko sveučilište M.E. Multih

Objavljeno odlukom Uredničkog i izdavačkog vijeća Kubanskog državnog tehnološkog sveučilišta.

Ponovno izdavanje

ISBN 5-230-06865-5 KubSTU 1998

Predgovor

Ovaj udžbenik namijenjen je izvanrednim studentima građevinarstva, prometa i strojarstva, ali ga mogu koristiti tijekom proučavanja odjeljka "Dinamika" kolegija teorijske mehanike izvanredni studenti drugih specijalnosti, kao i redovni studenti radeći samostalno.

Priručnik je sastavljen u skladu s važećim nastavnim programom kolegija Teorijska mehanika i pokriva sva pitanja glavnog dijela kolegija. Svaki dio sadrži kratku teoretsku građu, popraćenu ilustracijama i metodološkim preporukama za njezinu primjenu u rješavanju problema. Priručnik sadrži rješenja za 30 problema koji odražavaju stvarne tehničke probleme i odgovaraju testnim zadacima za neovisna odluka. Za svaki problem prikazan je proračunski dijagram koji jasno prikazuje rješenje. Oblikovanje rješenja zadovoljava uvjete za oblikovanje ispitnih radova za izvanredne studente.

Autor izražava duboku zahvalnost nastavnicima Katedre za teorijsku mehaniku i teoriju mehanizama i strojeva Kubanskog agrarnog sveučilišta za njihov veliki rad u recenziji udžbenika, kao i nastavnicima Katedre za teorijsku mehaniku Kubanskog državnog tehnološkog Sveučilištu na vrijednim komentarima i savjetima u pripremi udžbenika za tisak.

Sve kritičke primjedbe i sugestije autor će ubuduće prihvaćati sa zahvalnošću.

Uvod

Dinamika je najvažniji dio teorijske mehanike. Većina specifičnih problema s kojima se susreće u inženjerskoj praksi odnosi se na dinamiku. Koristeći se zaključcima statike i kinematike, dinamika utvrđuje opće zakonitosti gibanja materijalnih tijela pod djelovanjem primijenjenih sila.

Najjednostavniji materijalni objekt je materijalna točka. Kao materijalna točka može se uzeti materijalno tijelo bilo kojeg oblika, čije se dimenzije u razmatranom problemu mogu zanemariti. Tijelo konačnih dimenzija može se uzeti kao materijalna točka ako razlika u kretanju njegovih točaka nije značajna za dani problem. To se događa kada su dimenzije tijela male u usporedbi s udaljenostima koje pokrivaju točke tijela. Svaku česticu čvrstog tijela možemo smatrati materijalnom točkom.

Sile koje djeluju na točku ili materijalno tijelo dinamički se procjenjuju po njihovom dinamičkom utjecaju, tj. po tome kako mijenjaju karakteristike gibanja materijalnih objekata.

Kretanje materijalnih objekata tijekom vremena događa se u prostoru u odnosu na određeni referentni okvir. U klasičnoj mehanici, na temelju Newtonovih aksioma, prostor se smatra trodimenzionalnim, njegova svojstva ne ovise o materijalnim objektima koji se u njemu kreću. Položaj točke u takvom prostoru određen je s tri koordinate. Vrijeme nije povezano s prostorom i kretanjem materijalnih objekata. Smatra se istim za sve referentne sustave.

Zakoni dinamike opisuju kretanje materijalnih objekata u odnosu na apsolutne koordinatne osi, koje se konvencionalno prihvaćaju kao stacionarne. Ishodište apsolutnog koordinatnog sustava uzima se u središtu Sunca, a osi su usmjerene na udaljene, uvjetno nepomične zvijezde. Pri rješavanju mnogih tehničkih problema, koordinatne osi povezane sa Zemljom mogu se smatrati uvjetno nepokretnima.

Parametri mehaničkog gibanja materijalnih objekata u dinamici utvrđeni su matematičkim izvodima iz osnovnih zakona klasične mehanike.

Prvi zakon (zakon inercije):

Materijalna točka održava stanje mirovanja ili jednolikog i pravocrtnog gibanja sve dok je djelovanje nekih sila ne izvede iz tog stanja.

Jednoliko i pravocrtno gibanje točke naziva se gibanje po inerciji. Mirovanje je poseban slučaj gibanja po inerciji, kada je brzina točke nula.

Svaka materijalna točka ima inerciju, odnosno nastoji održati stanje mirovanja ili ravnomjernog pravocrtnog gibanja. Referentni sustav u odnosu na koji vrijedi zakon tromosti zove se inercijalni, a gibanje promatrano u odnosu na taj sustav naziva se apsolutnim. Svaki referentni sustav koji izvodi translatorno pravocrtno i jednoliko gibanje u odnosu na inercijalni sustav također će biti inercijalni sustav.

Drugi zakon (osnovni zakon dinamike):

Ubrzanje materijalne točke u odnosu na inercijski referentni okvir proporcionalno je sili koja djeluje na točku i podudara se sa silom u smjeru:
.

Iz osnovnog zakona dinamike proizlazi da sa silom
ubrzanje
. Masa točke karakterizira stupanj otpornosti točke na promjene njezine brzine, odnosno mjera je tromosti materijalne točke.

Treći zakon (Zakon akcije i reakcije):

Sile kojima dva tijela djeluju jedno na drugo jednake su veličine i usmjerene duž jedne ravne crte u suprotnim smjerovima.

Primjenjuju se sile koje se nazivaju akcija i reakcija različita tijela te stoga ne čine uravnotežen sustav.

Četvrti zakon (zakon neovisnosti sila):

Uz istovremeno djelovanje više sila, ubrzanje materijalne točke jednako je geometrijskom zbroju ubrzanja koje bi točka imala pod djelovanjem svake sile zasebno:

, Gdje
,
,…,
.

(MEHANIČKI SUSTAVI) – IV opcija

1. Osnovna jednadžba dinamike materijalne točke, kao što je poznato, izražava se jednadžbom. Diferencijalne jednadžbe gibanja proizvoljnih točaka neslobodnog mehaničkog sustava prema dva načina dijeljenja sila mogu se napisati u dva oblika:

(1) , gdje je k=1, 2, 3, … , n – broj točaka materijalnog sustava.

(2)

gdje je masa k-te točke; - radijus vektor k-te točke, - zadana (aktivna) sila koja djeluje na k-tu točku ili rezultanta svih aktivnih sila koje djeluju na k-tu točku. - rezultanta sila reakcije veze koje djeluju na k-tu točku; - rezultanta unutarnjih sila koje djeluju na k-tu točku; - rezultanta vanjskih sila koje djeluju na k-tu točku.

Pomoću jednadžbi (1) i (2) može se nastojati riješiti i prvi i drugi problem dinamike. Međutim, rješavanje drugog problema dinamike za sustav postaje vrlo komplicirano, ne samo s matematičkog gledišta, već i zato što smo suočeni s temeljnim poteškoćama. Oni se sastoje u činjenici da je i za sustav (1) i za sustav (2) značajan broj jednadžbi manji broj nepoznato.

Dakle, ako koristimo (1), tada će poznata dinamika za drugi (inverzni) problem biti i , a nepoznata će biti i . Vektorske jednadžbe bit će " n“, a nepoznati - „2n”.

Ako pođemo od sustava jednadžbi (2), onda su neke od vanjskih sila poznate. Zašto se rastati? Činjenica je da broj vanjskih sila uključuje i vanjske reakcije veza koje su nepoznate. Osim toga, . će također biti nepoznat.

Dakle, i sustav (1) i sustav (2) su NEZATVORENI. Potrebno je dodati jednadžbe, uzimajući u obzir jednadžbe veza, a možda je potrebno i nametnuti neka ograničenja na same veze. Što uraditi?

Ako pođemo od (1), tada možemo ići putem sastavljanja Lagrangeovih jednadžbi prve vrste. Ali taj put nije racionalan jer lakši zadatak(manje stupnjeva slobode), teže ga je riješiti s matematičkog gledišta.

Zatim obratimo pozornost na sustav (2), gdje su - uvijek nepoznate. Prvi korak u rješavanju sustava je eliminirati te nepoznanice. Treba imati na umu da nas u pravilu ne zanimaju unutarnje sile pri gibanju sustava, odnosno kada se sustav giba nije potrebno znati kako se koja točka sustava giba, već je dovoljno znati kako se sustav kreće kao cjelina.

Dakle, ako različiti putevi isključimo nepoznate sile iz sustava (2), tada dobivamo neke relacije, tj. pojavljuju se neke Opće karakteristike za sustav čije nam poznavanje omogućuje da prosudimo kako se sustav općenito kreće. Ove karakteristike uvode se pomoću tzv opći teoremi zvučnici. Postoje četiri takva teoreme:

1. Teorem o kretanje središta mase mehaničkog sustava;

2. Teorem o promjena količine gibanja mehaničkog sustava;

3. Teorem o promjena kinetičkog momenta mehaničkog sustava;

4. Teorem o promjena kinetičke energije mehaničkog sustava.