Équation d'une droite passant par deux points. Dans l'article" " Je vous ai promis d'examiner la deuxième façon de résoudre les problèmes présentés pour trouver la dérivée, étant donné un graphique d'une fonction et une tangente à ce graphique. Nous discuterons de cette méthode dans , ne le manquez pas ! Pourquoi dans le prochain ?

Le fait est que la formule de l'équation d'une droite y sera utilisée. Bien entendu, nous pourrions simplement montrer cette formule et vous conseiller de l’apprendre. Mais il vaut mieux expliquer d’où il vient (comment il est dérivé). C'est nécessaire ! Si vous l'oubliez, vous pouvez le restaurer rapidementne sera pas difficile. Tout est décrit ci-dessous en détail. Nous avons donc plan de coordonnées il y a deux points A(x 1;y 1) et B(x 2;y 2), une ligne droite est tracée passant par les points indiqués :

Voici la formule directe elle-même :

*C'est-à-dire qu'en remplaçant des coordonnées spécifiques de points, nous obtenons une équation de la forme y=kx+b.

**Si vous « mémorisez » simplement cette formule, il y a une forte probabilité de se confondre avec les indices lorsque X. De plus, les indices peuvent être désignés de différentes manières, par exemple :

C'est pourquoi il est important d'en comprendre le sens.

Maintenant la dérivation de cette formule. C'est très simple !

Les triangles ABE et ACF sont similaires en angle aigu (le premier signe de similitude triangles rectangles). Il en résulte que les rapports des éléments correspondants sont égaux, c'est-à-dire :

Maintenant, nous exprimons simplement ces segments par la différence des coordonnées des points :

Bien entendu, il n'y aura pas d'erreur si vous écrivez les relations des éléments dans un ordre différent (l'essentiel est de maintenir la cohérence) :

Le résultat sera la même équation de la droite. C'est tout !

Autrement dit, quelle que soit la manière dont les points eux-mêmes (et leurs coordonnées) sont désignés, en comprenant cette formule, vous trouverez toujours l'équation d'une ligne droite.

La formule peut être dérivée en utilisant les propriétés des vecteurs, mais le principe de dérivation sera le même, puisqu'il s'agira de la proportionnalité de leurs coordonnées. Dans ce cas, la même similitude des triangles rectangles fonctionne. À mon avis, la conclusion décrite ci-dessus est plus claire)).

Afficher la sortie en utilisant les coordonnées vectorielles >>>

Soit une ligne droite construite sur le plan de coordonnées passant par deux points donnés A(x 1;y 1) et B(x 2;y 2). Marquons un point arbitraire C sur la droite avec des coordonnées ( x; oui). On note également deux vecteurs :

On sait que pour les vecteurs situés sur des droites parallèles (ou sur la même droite), leurs coordonnées correspondantes sont proportionnelles, c'est-à-dire :

— on note l'égalité des rapports des coordonnées correspondantes :

Regardons un exemple :

Trouvez l'équation d'une droite passant par deux points de coordonnées (2;5) et (7:3).

Vous n’avez même pas besoin de construire la ligne droite elle-même. On applique la formule :

Il est important que vous compreniez la correspondance lors de l'établissement du ratio. Vous ne pouvez pas vous tromper si vous écrivez :

Réponse : y=-2/5x+29/5 allez y=-0,4x+5,8

Afin de vous assurer que l'équation résultante est trouvée correctement, assurez-vous de vérifier - substituez-y les coordonnées des données dans l'état des points. Les équations devraient être correctes.

C'est tout. J'espère que le matériel vous a été utile.

Cordialement, Alexandre.

P.S : je vous serais reconnaissant de me parler du site sur les réseaux sociaux.

Donnons deux points M 1 (x 1,y 1) Et M 2 (x 2, y 2). Écrivons l'équation de la droite sous la forme (5), où k coefficient encore inconnu :

Depuis le point M2 appartient à une ligne donnée, alors ses coordonnées satisfont à l'équation (5) : . En l'exprimant à partir d'ici et en la substituant dans l'équation (5), nous obtenons l'équation requise :

Si cette équation peut être réécrite sous une forme plus pratique pour la mémorisation :

(6)

Exemple.Écrivez l'équation d'une droite passant par les points M 1 (1,2) et M 2 (-2,3)

Solution. . En utilisant la propriété de proportion et en effectuant les transformations nécessaires, on obtient équation générale direct:

Angle entre deux droites

Considérons deux lignes droites l1 Et l2:

l1: , , Et

l2: , ,

φ est l'angle entre eux (). D'après la figure 4, il ressort clairement : .

D'ici , ou

À l'aide de la formule (7), vous pouvez déterminer l'un des angles entre les lignes droites. Le deuxième angle est égal à .

Exemple. Deux droites sont données par les équations y=2x+3 et y=-3x+2. trouvez l’angle entre ces lignes.

Solution. D'après les équations, il est clair que k 1 =2 et k 2 =-3. En substituant ces valeurs dans la formule (7), on trouve

. Ainsi, l'angle entre ces lignes est égal à .

Conditions de parallélisme et de perpendiculaire de deux droites

Si droit l1 Et l2 sont parallèles, alors φ=0 Et tgφ=0. de la formule (7), il s'ensuit que , d'où k2 =k1. Ainsi, la condition du parallélisme de deux droites est l’égalité de leurs coefficients angulaires.

Si droit l1 Et l2 sont perpendiculaires, alors φ = π/2, α 2 = π/2+ α 1 . . Ainsi, la condition pour la perpendiculaire de deux droites est que leurs coefficients angulaires soient inverses en grandeur et opposés en signe.

Distance d'un point à une ligne

Théorème. Si un point M(x 0, y 0) est donné, alors la distance à la ligne Ax + Bу + C = 0 est déterminée comme

Preuve. Soit le point M 1 (x 1, y 1) la base de la perpendiculaire tombant du point M à une droite donnée. Puis la distance entre les points M et M 1 :

Les coordonnées x 1 et y 1 peuvent être trouvées en résolvant le système d'équations :

La deuxième équation du système est l’équation de la droite passant par ce point M 0 est perpendiculaire à une droite donnée.

Si l'on transforme la première équation du système sous la forme :

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + Par 0 + C = 0,

alors, en résolvant, on obtient :

En substituant ces expressions dans l'équation (1), nous trouvons :

Le théorème est prouvé.

Exemple. Déterminez l'angle entre les lignes : y = -3x + 7 ; y = 2x + 1.

k 1 = -3 ; k 2 = 2 tanj= ; j = p/4.

Exemple. Montrer que les droites 3x – 5y + 7 = 0 et 10x + 6y – 3 = 0 sont perpendiculaires.

On trouve : k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, donc les droites sont perpendiculaires.

Exemple. Sont donnés les sommets du triangle A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Trouvez l'équation de la hauteur tirée du sommet C.

On retrouve l'équation du côté AB : ; 4x = 6 ans – 6 ;

2x – 3 ans + 3 = 0 ;

L'équation de hauteur requise a la forme : Ax + By + C = 0 ou y = kx + b.

k= . Alors y = . Parce que la hauteur passe par le point C, alors ses coordonnées satisfont à cette équation : d'où b = 17. Total : .

Réponse : 3x + 2a – 34 = 0.

La distance d'un point à une ligne est déterminée par la longueur de la perpendiculaire tracée du point à la ligne.

Si la ligne est parallèle au plan de projection (h | | P 1), puis afin de déterminer la distance du point UNà une ligne droite h il faut abaisser la perpendiculaire du point UNà l'horizontale h.

Considérons un exemple plus complexe, lorsque la droite prend position générale. Qu'il soit nécessaire de déterminer la distance d'un point M.à une ligne droite UN position générale.

Tâche de détermination distances entre lignes parallèles est résolu de la même manière que le précédent. Un point est pris sur une ligne et une perpendiculaire en est tracée sur une autre ligne. La longueur d’une perpendiculaire est égale à la distance entre droites parallèles.

Courbe du deuxième ordre est une droite définie par une équation du deuxième degré relative aux coordonnées cartésiennes actuelles. DANS cas général Axe 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey +F = 0,

où A, B, C, D, E, F sont des nombres réels et au moins un des nombres A 2 + B 2 + C 2 ≠0.

Cercle

Centre du cercle– c'est le lieu géométrique des points du plan équidistants d'un point du plan C(a,b).

Le cercle est donné par l'équation suivante :

Où x,y sont les coordonnées d'un point arbitraire sur le cercle, R est le rayon du cercle.

Signe de l'équation d'un cercle

1. Le terme avec x,y est manquant

2. Les coefficients pour x 2 et y 2 sont égaux

Ellipse

Ellipse est appelé le lieu géométrique des points dans un plan, la somme des distances de chacun d'eux à partir de deux points donnés de ce plan est appelée foyers (une valeur constante).

L'équation canonique de l'ellipse :

X et y appartiennent à l'ellipse.

a – demi-grand axe de l'ellipse

b – demi-petit axe de l'ellipse

L'ellipse a 2 axes de symétrie OX et OU. Les axes de symétrie d'une ellipse sont ses axes, le point de leur intersection est le centre de l'ellipse. L'axe sur lequel se situent les foyers s'appelle axe focal. Le point d'intersection de l'ellipse avec les axes est le sommet de l'ellipse.

Taux de compression (tension) : ε = s/a– l'excentricité (caractérise la forme de l'ellipse), plus elle est petite, moins l'ellipse s'étend le long de l'axe focal.

Si les centres de l'ellipse ne sont pas au centre C(α, β)

Hyperbole

Hyperbole est appelé le lieu géométrique des points dans un plan, valeur absolue les différences de distances, dont chacune à partir de deux points donnés de ce plan, appelés foyers, est une valeur constante différente de zéro.

Équation canonique de l'hyperbole

Une hyperbole a 2 axes de symétrie :

a – vrai demi-axe de symétrie

b – demi-axe de symétrie imaginaire

Asymptotes d'une hyperbole :

Parabole

Parabole est le lieu des points du plan équidistants d'un point F donné, appelé foyer, et d'une droite donnée, appelée directrice.

L'équation canonique d'une parabole :

У 2 =2рх, où р est la distance du foyer à la directrice (paramètre de la parabole)

Si le sommet de la parabole est C (α, β), alors l'équation de la parabole (y-β) 2 = 2р(x-α)

Si l'axe focal est pris comme axe des ordonnées, alors l'équation de la parabole prendra la forme : x 2 =2qу

Laissez la droite passer par les points M 1 (x 1 ; y 1) et M 2 (x 2 ; y 2). L'équation d'une droite passant par le point M 1 a la forme y-y 1 = k (x - x 1), (10,6)

Où k - coefficient encore inconnu.

Puisque la droite passe par le point M 2 (x 2 y 2), les coordonnées de ce point doivent satisfaire l'équation (10.6) : y 2 -y 1 = k (x2 - x1).

De là, nous trouvons Remplacer la valeur trouvée k dans l'équation (10.6), on obtient l'équation d'une droite passant par les points M 1 et M 2 :

On suppose que dans cette équation x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Si x 1 = x 2, alors la droite passant par les points M 1 (x 1,y I) et M 2 (x 2,y 2) est parallèle à l'axe des ordonnées. Son équation est x = x 1 .

Si y 2 = y I, alors l'équation de la droite peut s'écrire y = y 1, la droite M 1 M 2 est parallèle à l'axe des abscisses.

Équation d'une droite en segments

Laissez la droite couper l'axe Ox au point M 1 (a;0) et l'axe Oy au point M 2 (0;b). L'équation prendra la forme :
ceux.
. Cette équation s'appelle équation d'une droite en segments, car les nombres a et b indiquent quels segments la ligne coupe sur les axes de coordonnées.

Équation d'une droite passant par un point donné perpendiculaire à un vecteur donné

Trouvons l'équation d'une droite passant par un point donné Mo (x O ; y o) perpendiculaire à un vecteur non nul donné n = (A ; B).

Prenons un point arbitraire M(x; y) sur la droite et considérons le vecteur M 0 M (x - x 0; y - y o) (voir Fig. 1). Puisque les vecteurs n et M o M sont perpendiculaires, leur produit scalaire est égal à zéro : c'est-à-dire

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

L'équation (10.8) est appelée équation d'une droite passant par un point donné perpendiculaire à un vecteur donné .

Le vecteur n= (A; B), perpendiculaire à la droite, est appelé normal vecteur normal de cette ligne .

L’équation (10.8) peut être réécrite comme suit Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

où A et B sont les coordonnées du vecteur normal, C = -Ax o - Vu o est le terme libre. Équation (10.9) est l'équation générale de la droite(voir fig. 2).

Figure 1 Figure 2

Équations canoniques de la droite

,

Où
- les coordonnées du point par lequel passe la ligne, et
- vecteur de direction.

Courbes du second ordre Cercle

Un cercle est l'ensemble de tous les points du plan équidistants d'un point donné, appelé centre.

Équation canonique d'un cercle de rayon R. centré en un point
:

En particulier, si le centre du piquet coïncide avec l'origine des coordonnées, alors l'équation ressemblera à :

Ellipse

Une ellipse est un ensemble de points sur un plan dont la somme des distances de chacun d'entre eux à deux points donnés Et , appelés foyers, est une quantité constante
, supérieur à la distance entre les foyers
.

L'équation canonique d'une ellipse dont les foyers se trouvent sur l'axe Ox, et l'origine des coordonnées au milieu entre les foyers a la forme
G de un longueur du demi-grand axe ; b – longueur du demi-petit axe (Fig. 2).

Propriétés d'une droite en géométrie euclidienne.

Un nombre infini de lignes droites peuvent être tracées passant par n’importe quel point.

Passant par deux points non coïncidents, une seule ligne droite peut être tracée.

Deux lignes divergentes dans un plan se coupent en un seul point ou sont

parallèle (découle du précédent).

Dans l'espace tridimensionnel, il existe trois options pour la position relative de deux lignes :

• les lignes se croisent ;

• les lignes sont parallèles ;

• des lignes droites se croisent.

Droit doubler— courbe algébrique du premier ordre : une droite dans le système de coordonnées cartésiennes

est donnée sur le plan par une équation du premier degré (équation linéaire).

Équation générale d'une droite.

Définition. Toute droite sur le plan peut être spécifiée par une équation du premier ordre

Hache + Wu + C = 0,

et constante A, B ne sont pas égaux à zéro en même temps. Cette équation du premier ordre s’appelle général

équation d'une droite. En fonction des valeurs des constantes A, B Et AVEC Les cas particuliers suivants sont possibles :

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- une droite passe par l'origine

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (Par + C = 0)- droite parallèle à l'axe Oh

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- droite parallèle à l'axe Oh

. B = C = 0, A ≠0- la droite coïncide avec l'axe Oh

. A = C = 0, B ≠0- la droite coïncide avec l'axe Oh

L'équation d'une droite peut être représentée sous la forme sous diverses formes en fonction d'une donnée

conditions initiales.

Équation d'une droite partant d'un point et d'un vecteur normal.

Définition. Dans un système de coordonnées rectangulaires cartésiennes, un vecteur avec des composantes (A, B)

perpendiculaire à la droite donnée par l'équation

Hache + Wu + C = 0.

Exemple. Trouver l'équation d'une droite passant par un point UNE(1, 2) perpendiculaire au vecteur (3, -1).

Solution. Avec A = 3 et B = -1, composons l'équation de la droite : 3x - y + C = 0. Pour trouver le coefficient C

Remplaçons les coordonnées du point A donné dans l'expression résultante. Nous obtenons : 3 - 2 + C = 0, donc.

C = -1. Total : l'équation recherchée : 3x - y - 1 = 0.

Équation d'une droite passant par deux points.

Soit deux points dans l'espace M 1 (X 1 , oui 1 , z 1) Et M2 (x 2, y 2, z 2), Alors équation d'une droite,

en passant par ces points :

Si l’un des dénominateurs est nul, le numérateur correspondant doit être égal à zéro. Sur

plan, l’équation de la droite écrite ci-dessus est simplifiée :

Si x1 ≠x2 Et x = x1, Si x1 = x2 .

Fraction =k appelé pente direct.

Exemple. Trouvez l'équation de la droite passant par les points A(1, 2) et B(3, 4).

Solution. En appliquant la formule écrite ci-dessus, on obtient :

Équation d'une droite utilisant un point et une pente.

Si l'équation générale de la droite Hache + Wu + C = 0 conduire à :

et désigner , alors l'équation résultante s'appelle

équation d’une droite de pente k.

Équation d'une droite partant d'un point et d'un vecteur directeur.

Par analogie avec le point considérant l'équation d'une droite passant par le vecteur normal, vous pouvez entrer dans la tâche

une ligne droite passant par un point et un vecteur directeur d'une ligne droite.

Définition. Tout vecteur non nul (α1,α2), dont les composants satisfont à la condition

Aα1 + Ba2 = 0 appelé vecteur directeur d’une droite.

Hache + Wu + C = 0.

Exemple. Trouver l'équation d'une droite de vecteur directeur (1, -1) et passant par le point A(1, 2).

Solution. Nous chercherons l'équation de la droite souhaitée sous la forme : Hache + Par + C = 0. D'après la définition,

les coefficients doivent satisfaire aux conditions suivantes :

1 * A + (-1) * B = 0, soit A = B.

Alors l’équation de la droite a la forme : Hache + Ay + C = 0, ou x + y + C / A = 0.

à x = 1, y = 2 nous obtenons C/A = -3, c'est-à-dire équation requise :

x + y - 3 = 0

Équation d'une droite en segments.

Si dans l'équation générale de la droite Ах + Ву + С = 0 С≠0, alors, en divisant par -С, on obtient :

ou où

La signification géométrique des coefficients est que le coefficient a est la coordonnée du point d'intersection

droit avec axe Oh, UN b- coordonnée du point d'intersection de la ligne avec l'axe Oh.

Exemple. L'équation générale d'une droite est donnée x - y + 1 = 0. Trouvez l'équation de cette droite en segments.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Équation normale d'une droite.

Si les deux côtés de l’équation Hache + Wu + C = 0 diviser par nombre qui s'appelle

facteur de normalisation, alors on obtient

xcosφ + ysinφ - p = 0 -équation normale d'une droite.

Le signe ± du facteur de normalisation doit être choisi de telle sorte que µ*C< 0.

r- la longueur de la perpendiculaire tombée de l'origine à la droite,

UN φ - l'angle que forme cette perpendiculaire avec la direction positive de l'axe Oh.

Exemple. L'équation générale de la droite est donnée 12x - 5 ans - 65 = 0. Obligatoire d'écrire différents typeséquations

cette ligne droite.

L'équation de cette droite en segments:

L'équation de cette droite avec le coefficient de pente: (diviser par 5)

Équation d'une droite:

cos φ = 12/13 ; péché φ= -5/13 ; p = 5.

Il convient de noter que toutes les lignes droites ne peuvent pas être représentées par une équation en segments, par exemple des lignes droites,

parallèle aux axes ou passant par l'origine.

L'angle entre des lignes droites sur un plan.

Définition. Si deux lignes sont données y = k 1 X + b 1 , y = k 2 X + b 2, Que angle aigu entre ces lignes

sera défini comme

Deux droites sont parallèles si k1 = k2. Deux lignes sont perpendiculaires

Si k 1 = -1/ k 2 .

Théorème.

Direct Hache + Wu + C = 0 Et A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 parallèle lorsque les coefficients sont proportionnels

A 1 = λA, B 1 = λB. Si aussi С 1 = λС, alors les lignes coïncident. Coordonnées du point d'intersection de deux lignes

sont trouvés comme solution au système d’équations de ces droites.

L'équation d'une droite passant par un point donné perpendiculaire à une droite donnée.

Définition. Ligne passant par un point M 1 (x 1, y 1) et perpendiculaire à la ligne y = kx + b

représenté par l'équation :

Distance d'un point à une ligne.

Théorème. Si un point est donné M(x 0, oui 0), puis la distance jusqu'à la ligne droite Hache + Wu + C = 0 défini comme :

Preuve. Laissons le point M 1 (x 1, y 1)- la base d'une perpendiculaire tombée d'un point M. pour une donnée

direct. Puis la distance entre les points M. Et M1:

(1)

Coordonnées x1 Et à 1 peut être trouvé comme solution au système d’équations :

La deuxième équation du système est l'équation d'une droite passant par un point donné M 0 perpendiculairement

ligne droite donnée. Si l'on transforme la première équation du système sous la forme :

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Par 0 + C = 0,

alors, en résolvant, on obtient :

En substituant ces expressions dans l'équation (1), nous trouvons :

Le théorème est prouvé.