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La progression arithmétique est une série de nombres dans laquelle chaque nombre est supérieur (ou inférieur) au précédent du même montant.

Ce sujet semble souvent complexe et incompréhensible. Les index des lettres, le nième terme de la progression, la différence de la progression - tout cela confond en quelque sorte, oui ... Nous allons comprendre le sens de la progression arithmétique et tout va s'arranger tout de suite.)

Le concept de progression arithmétique.

La progression arithmétique est un concept très simple et clair. J'en doute? En vain.) Voir par vous-même.

Je vais écrire une série de chiffres inachevés:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Pouvez-vous prolonger cette ligne? Quels numéros iront ensuite pour les cinq? Bref, chacun se rendra compte que les numéros 6, 7, 8, 9, etc. vont continuer.

Compliquons la tâche. Je donne une série inachevée de nombres:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Vous pouvez attraper le motif, étendre la série et appeler septième  numéro de ligne?

Si vous vous rendez compte que c'est le numéro 20, je vous en félicite! Vous avez non seulement ressenti points clés de la progression arithmétique,  mais aussi utilisé avec succès dans les affaires! Si vous n’avez pas compris, nous avons continué la lecture.

Et maintenant, nous allons traduire les points clés des sensations en mathématiques.)

Le premier point clé.

La progression arithmétique concerne les rangées de nombres.  C'est déroutant au début. Nous sommes habitués à résoudre des équations, à construire des graphiques et tout le reste ... Et ensuite, étendre la ligne, trouver le numéro de la ligne ...

Rien à craindre. Just progression est la première connaissance d'une nouvelle section de mathématiques. La section s'appelle "Lignes" et fonctionne avec des lignes de nombres et d'expressions. Habituez-vous.)

Le deuxième point clé.

Dans la progression arithmétique, n'importe quel nombre diffère de la précédente du même montant.

Dans le premier exemple, cette différence est une. Quel que soit le nombre que vous prenez, c'est un de plus que le précédent. Dans le deuxième - trois. Tout nombre est trois fois plus grand que le précédent. En fait, c’est précisément ce moment qui nous donne l’occasion d’attraper le modèle et de calculer les nombres suivants.

Le troisième point clé.

Ce moment n'est pas frappant, oui ... Mais très, très important. La voici: chaque numéro de progression est à sa place.  Il y a un premier numéro, il y a un septième, il y a un quarante-cinquième, etc. Si elles sont confondues de toute façon, le motif disparaîtra. La progression arithmétique va également disparaître. Il ne reste qu'une série de chiffres.

C’est l’essentiel.

Bien entendu, de nouveaux termes et symboles apparaissent dans le nouveau sujet. Vous devez les connaître. Sinon, vous ne comprendrez pas la tâche. Par exemple, vous devez décider quelque chose comme:

Notez les six premiers termes de la progression arithmétique (a n) si a 2 \u003d 5, d \u003d -2,5.

Inspire?) Des lettres, des indices ... Et la tâche, soit dit en passant - n’est nulle part plus simple. Vous avez juste besoin de comprendre le sens des termes et de la notation. Maintenant, nous allons maîtriser cette affaire et revenir à la tâche.

Termes et notation.

Progression arithmétique  est une série de chiffres dans lesquels chaque nombre diffère du précédent du même montant.

Cette quantité s'appelle . Nous traiterons de ce concept plus en détail.

La différence de progression arithmétique.

Différence progression arithmétique  est la valeur par laquelle un nombre quelconque de progression plus  le précédent.

Un point important. S'il vous plaît prêter attention au mot plus  Mathématiquement, cela signifie que chaque numéro de progression est obtenu en ajoutant  la différence de progression arithmétique par rapport au nombre précédent.

Pour calculer, par exemple, deuxième  numéros de ligne, il est nécessaire de le premier  le nombre ajouter  cette différence même de progression arithmétique. Pour le calcul cinquième  - la différence est nécessaire ajouter  à le quatrième  bien, etc.

Différence progression arithmétique  peut-être positif  alors chaque numéro de la série est réel plus que le précédent.  Cette progression s'appelle en augmentation.  Par exemple:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Ici, chaque numéro est obtenu en ajoutant  un nombre positif, +5 au précédent.

La différence peut être négatif  alors chaque numéro de ligne deviendra moins que le précédent.  Cette progression s’appelle (vous n’y croirez pas!) décroissant.

Par exemple:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Ici, chaque numéro est aussi obtenu en ajoutant au nombre précédent, mais déjà négatif, -5.

En passant, lorsqu’on travaille avec une progression, il est très utile de déterminer immédiatement sa nature - qu’elle augmente ou diminue. Il est très utile de naviguer dans la décision, d'identifier vos erreurs et de les corriger avant qu'il ne soit trop tard.

Différence progression arithmétique  désigné, en règle générale, par la lettre d.

Comment trouver d  ? Très simple Il est nécessaire de retirer de n'importe quel numéro de la rangée précédent  nombre. Soustraire. Soit dit en passant, le résultat de la soustraction s'appelle la "différence".)

Définir, par exemple, d  pour augmenter la progression arithmétique:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Nous prenons un nombre quelconque de séries que nous voulons, par exemple 11. Nous en soustrayons numéro précédent  c'est-à-dire 8:

C'est la bonne réponse. Pour cette progression arithmétique, la différence est de trois.

Vous pouvez le prendre exactement un nombre quelconque de progression,  parce que pour une progression spécifique d -toujours la même chose.  Au moins quelque part au début de la rangée, au moins au milieu, au moins n'importe où. Vous ne pouvez pas prendre que le tout premier numéro. Juste parce que le tout premier jour   pas de précédent.)

À propos, sachant que d \u003d 3Trouver le septième numéro de cette progression est très simple. Ajouter 3 au cinquième nombre - nous obtenons le sixième, il sera 17. Ajouter trois au sixième nombre, nous obtenons le septième nombre - vingt.

Définir d  pour diminuer la progression arithmétique:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Je me souviens que, quels que soient les signes, pour déterminer d  besoin de n'importe quel nombre prenez le précédent.  Choisissez un nombre quelconque de progressions, par exemple -7. Le précédent est le nombre -2. Puis:

d \u003d -7 - (-2) \u003d -7 + 2 \u003d -5

La différence de progression arithmétique peut être n'importe quel nombre: entier, fractionnaire, irrationnel, quelconque.

Autres termes et désignations.

Chaque numéro de ligne est appelé membre de la progression arithmétique.

Chaque membre de la progression a son numéro.  Les chiffres vont strictement dans l'ordre, sans astuces. Premier, deuxième, troisième, quatrième, etc. Par exemple, dans la progression 2, 5, 8, 11, 14, ... deux est le premier membre, cinq est le deuxième, onze est le quatrième, eh bien, vous comprenez ...) S'il vous plaît comprendre clairement - numéros eux-mêmes  il peut y avoir absolument tout, entier, fractionnaire, négatif, qui sont horribles, mais numérotation  - strictement en ordre!

Comment écrire une progression en général? Aucune question! Chaque numéro de ligne est écrit sous forme de lettre. En règle générale, la lettre est utilisée pour indiquer une progression arithmétique. un. Le numéro de membre est indiqué par l'index en bas à droite. Les membres sont écrits avec une virgule (ou un point-virgule), comme ceci:

un 1, un 2, un 3, un 4, un 5, .....

un 1est le premier numéro un 3  - troisième, etc. Rien de compliqué. Vous pouvez écrire cette série brièvement comme ceci: (a n).

Il y a des progressions fini et infini.

Ultime  progression a un nombre limité de membres. Cinq, trente huit, autant que vous voulez. Mais - un nombre fini.

Sans fin  progression - a un nombre infini de membres, comme vous pouvez le deviner.)

Vous pouvez écrire la progression finale à travers une série comme celle-ci, tous les membres et un point à la fin:

un 1, un 2, un 3, un 4, un 5.

Ou alors, s'il y a beaucoup de membres:

un 1, un 2, ... un 14, un 15.

Dans un bref enregistrement devra en outre indiquer le nombre de membres. Par exemple (pour vingt membres), comme ceci:

(a n), n \u003d 20

Une progression infinie est reconnaissable aux points de suspension situés à la fin du rang, comme dans les exemples de cette leçon.

Maintenant, vous pouvez résoudre les tâches. Les tâches sont simples, uniquement pour comprendre le sens de la progression arithmétique.

Exemples de tâches sur la progression arithmétique.

Nous analyserons en détail la tâche donnée ci-dessus:

1. Notez les six premiers membres de la progression arithmétique (a n) si a 2 \u003d 5, d \u003d -2,5.

Nous traduisons la tâche dans un langage compréhensible. Une progression arithmétique sans fin est donnée. Le deuxième numéro de cette progression est connu: a 2 \u003d 5.  La différence de progression est connue: d \u003d -2,5.  Vous devez trouver les premier, troisième, quatrième, cinquième et sixième membres de cette progression.

Par souci de clarté, j’écrirai une série en fonction des conditions du problème. Les six premiers membres, le deuxième membre étant les cinq:

un 1, 5, un 3, un 4, un 5, un 6, ....

un 3 = un 2 + d

Substitut dans l'expression a 2 \u003d 5  et d \u003d -2,5. Ne pas oublier le moins!

un 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Le troisième terme est inférieur au second. Tout est logique Si le nombre est supérieur au précédent négatif  valeur, alors le nombre lui-même sera inférieur au précédent. La progression diminue. OK, considérons.) Nous considérons le quatrième membre de notre série:

un 4 = un 3 + d

un 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

un 5 = un 4 + d

un 5=0+(-2,5)= - 2,5

un 6 = un 5 + d

un 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Ainsi, les troisième à sixième membres sont calculés. Il s'est avéré que la série suivante:

a 1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....

Reste à trouver le premier membre un 1  par la fameuse seconde. C’est un pas dans l’autre direction, à gauche.) Par conséquent, la différence de progression arithmétique d  pas besoin d'ajouter à un 2et soustraire:

un 1 = un 2 - d

un 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

C’est tout. Réponse de l'emploi:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

En chemin, je remarque que nous avons résolu cette tâche récurrent  façon. Ce mot effrayant signifie simplement à la recherche d'un membre de la progression par le numéro précédent (voisin).  D'autres manières de travailler avec la progression seront discutées plus tard.

Une conclusion importante peut être tirée de cette tâche simple.

Rappelez-vous:

Si nous connaissons au moins un membre et la différence d'une progression arithmétique, nous pouvons trouver n'importe quel membre de cette progression.

Vous en souvenez-vous? Cette conclusion simple nous permet de résoudre la plupart des problèmes du cours scolaire sur ce sujet. Toutes les tâches s'articulent autour de trois paramètres principaux: membre arithmétique de progression, différence de progression, numéro de membre de progression.  C’est tout.

Bien sûr, toute l'algèbre précédente n'est pas annulée.) Inégalités, équations et autres sont liés à la progression. Mais sur la progression elle-même  - Tout tourne autour de trois paramètres.

Par exemple, considérons certaines tâches populaires sur ce sujet.

2. Notez la progression arithmétique finale sous forme de série si n \u003d 5, d \u003d 0,4 et a 1 \u003d 3,6.

Tout est simple ici. Tout a déjà été donné. Il est nécessaire de se rappeler comment sont considérés les membres de la progression arithmétique, de compter et d'écrire. Il est conseillé de ne pas manquer les mots dans l'état de la mission: "final" et " n \u003d 5". Afin de ne pas compter jusqu’à virer au bleu complet.) Dans cette progression, il n’ya que 5 membres:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3,6 + 0,4 \u003d 4

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0,4 \u003d 4,4

un 4 = un 3 + d \u003d 4,4 + 0,4 \u003d 4,8

un 5 = un 4 + d \u003d 4,8 + 0,4 \u003d 5,2

Il reste à écrire la réponse:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Une autre tâche:

3. Déterminez si le nombre 7 est un membre de la progression arithmétique (a n) si a 1 \u003d 4,1; d \u003d 1,2.

Hmm ... Qui sait? Comment déterminer quelque chose?

Comment-comment ... Oui, écrivez la progression sous la forme d'une série et voyez si le sept est là ou pas! Nous considérons:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4.1 + 1.2 \u003d 5.3

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5,3 + 1,2 \u003d 6,5

un 4 = un 3 + d \u003d 6,5 + 1,2 \u003d 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Maintenant, on voit clairement que nous ne sommes que sept passé à travers  entre 6,5 et 7,7! Les sept ne font pas partie de notre série de chiffres et, par conséquent, les sept ne feront pas partie de la progression donnée.

La réponse est non.

Et voici le problème basé sur la version réelle de GIA:

4. Plusieurs membres successifs de la progression arithmétique sont écrits:

...; 15; x; 9; 6; ...

Ici est enregistrée une série sans fin ni début. Pas de numéro de membre, pas de différence d. Rien à craindre. Pour résoudre le problème, il suffit de comprendre le sens de la progression arithmétique. Nous regardons et comprenons qu'il est possible découvrir  de cette rangée? Quels sont les trois paramètres principaux?

Numéro de membre? Il n'y a pas un seul numéro ici.

Mais il y a trois chiffres et - attention! - mot "consécutif"  dans la condition. Cela signifie que les chiffres sont en ordre, sans lacunes. Y at-il deux dans cette rangée voisin  chiffres célèbres? Oui il y a! Ce sont 9 et 6. Par conséquent, nous pouvons calculer la différence de progression arithmétique! Nous retirons des six précédent  numéro i.e. neuf:

Resté simples bagatelles. Quel est le numéro précédent pour x? Quinze Donc X peut être facilement trouvé par simple addition. À 15 ajouter la différence de progression arithmétique:

C'est tout. La réponse est: x \u003d 12

Nous résolvons nous-mêmes les problèmes suivants. Remarque: ces tâches ne concernent pas les formules. Simplement en comprenant la signification de la progression arithmétique.) Écrivez une série avec des chiffres et des lettres, regardez et pensez.

5. Trouver le premier terme positif de la progression arithmétique si a 5 \u003d -3; d \u003d 1,1.

6. On sait que le nombre 5.5 est un membre de la progression arithmétique (a n), où 1 \u003d 1,6; d \u003d 1,3. Détermine le nombre n de ce membre.

7. On sait qu'en progression arithmétique a 2 \u003d 4; a 5 \u003d 15.1. Trouvez un 3.

8. Plusieurs membres successifs de la progression arithmétique sont écrits:

...; 15,6; x; 3,4; ...

Trouvez le terme de progression indiqué par la lettre x.

9. Le train a commencé à sortir de la gare, augmentant régulièrement de 30 mètres par minute. Quelle sera la vitesse du train dans cinq minutes? Donne la réponse en km / h.

10. On sait qu'en progression arithmétique a 2 \u003d 5; un 6 \u003d -5. Trouver un 1.

Réponses (en désarroi): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4

Est-ce que ça a marché? Génial! Vous pouvez maîtriser la progression arithmétique à un niveau supérieur dans les leçons suivantes.

Tout n'a-t-il pas fonctionné? Ce n'est pas grave. Dans la section spéciale 555, toutes ces tâches sont désassemblées. Et, bien sûr, une technique simple et pratique est décrite, qui met immédiatement en évidence la solution à ces tâches, clairement, clairement, clairement.

À propos, dans le casse-tête du train, il y a deux problèmes sur lesquels les gens trébuchent souvent. L’un est purement progressif et le second est commun à tous les problèmes de mathématiques, mais aussi de physique. C'est une traduction de dimensions de l'une à l'autre. L'article montre comment résoudre ces problèmes.

Dans cette leçon, nous avons examiné la signification élémentaire de la progression arithmétique et ses principaux paramètres. Cela suffit pour résoudre presque tous les problèmes sur ce sujet. Ajouter d  aux chiffres, écrivez un nombre, tout sera décidé.

La solution "sur les doigts" convient bien aux très petites lignes, comme dans les exemples de cette leçon. Si la série est plus authentique, les calculs sont compliqués. Par exemple, si le problème 9 de la question est remplacé cinq minutes  sur trente-cinq minutes  la tâche deviendra beaucoup plus en colère.)

Et il existe également des tâches simples par nature, mais incohérentes dans les calculs, par exemple:

La progression arithmétique est donnée (a n). Trouvez 121 si 1 \u003d 3 et d \u003d 1/6.

Et quoi, allons-nous ajouter plusieurs fois plus de 1/6?! Pouvez-vous le tuer!?

Vous pouvez). Si vous ne connaissez pas la formule simple par laquelle de telles tâches peuvent être résolues en une minute. Cette formule sera dans la prochaine leçon. Et ce problème est résolu là. Dans une minute.)

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Eh bien, chers amis, si vous lisez ce texte, la preuve interne me dit que vous ne savez toujours pas ce qu'est la progression arithmétique, mais vous avez vraiment (non, comme ça: Oooooo!) Vous voulez savoir. Par conséquent, je ne vais pas vous tourmenter avec de longues introductions et me mettre immédiatement au travail.

Tout d’abord, quelques exemples. Considérons plusieurs ensembles de nombres:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $ \\ sqrt (2); \\ 2 \\ sqrt (2); \\ 3 \\ sqrt (2); ... $

Qu'est-ce que tous ces ensembles ont en commun? À première vue, rien. Mais en réalité, il y a quelque chose. À savoir: chaque élément suivant diffère du précédent par le même nombre.

Jugez par vous-même. Le premier ensemble est simplement composé de numéros consécutifs, chacun suivant plus que le précédent. Dans le second cas, la différence entre les nombres adjacents est déjà de cinq, mais cette différence est toujours constante. Dans le troisième cas, les racines sont généralement. Toutefois, $ 2 \\ sqrt (2) \u003d \\ sqrt (2) + \\ sqrt (2) $ et 3 $ \\ sqrt (2) \u003d 2 \\ sqrt (2) + \\ sqrt (2) $, c.-à-d. et dans ce cas, chaque élément suivant augmente simplement de $ \\ sqrt (2) $ (et n’ayez pas peur que ce nombre soit irrationnel).

Donc: toutes ces séquences sont appelées progressions arithmétiques. Nous donnons une définition stricte:

La définition Une séquence de nombres dans laquelle chaque suite diffère de la précédente par exactement la même quantité est appelée progression arithmétique. La valeur elle-même, par laquelle les chiffres diffèrent, est appelée la différence de progression et est le plus souvent indiquée par la lettre $ d $.

Désignation: $ \\ left (((a) _ (n)) \\ right) $ - la progression elle-même, $ d $ - sa différence.

Et tout de suite quelques points importants. Tout d'abord, la progression est considérée uniquement commandé  séquence de nombres: ils sont autorisés à lire strictement dans l'ordre dans lequel ils sont écrits - et rien d'autre. Vous ne pouvez pas réorganiser et échanger des numéros.

Deuxièmement, la séquence elle-même peut être finie ou infinie. Par exemple, l'ensemble (1; 2; 3) est évidemment une progression arithmétique finie. Mais si vous écrivez quelque chose dans l'esprit (1; 2; 3; 4; ...), c'est déjà une progression sans fin. Les points de suspension après les quatre, en quelque sorte, suggèrent que beaucoup de chiffres continuent. Infiniment nombreux, par exemple. :)

Je voudrais aussi noter que les progressions sont en augmentation et en diminution. Nous avons déjà vu augmenter ceux - le même ensemble (1; 2; 3; 4; ...). Voici quelques exemples de progressions décroissantes:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $ \\ sqrt (5); \\ \\ sqrt (5) -1; \\ \\ sqrt (5) -2; \\ \\ sqrt (5) -3; ... $

D'accord, d'accord: le dernier exemple peut sembler excessivement compliqué. Mais le reste, je pense, vous est clair. Par conséquent, nous introduisons de nouvelles définitions:

La définition La progression arithmétique est appelée:

1. augmentant si chaque élément suivant est plus grand que le précédent;
2. décroissant si, au contraire, chaque élément suivant est plus petit que le précédent.

En outre, il existe des séquences dites "stationnaires" - elles se composent du même nombre répétitif. Par exemple, (3; 3; 3; ...).

Une seule question reste à résoudre: comment distinguer une progression croissante d'une progression décroissante? Heureusement, tout dépend du signe du nombre $ d $, c.-à-d. différences de progression:

1. Si $ d \\ gt 0 $, la progression augmente;
2. Si $ d \\ lt 0 $, la progression diminue évidemment;
3. Enfin, il y a le cas $ d \u003d 0 $ - dans ce cas, toute la progression est réduite à une séquence stationnaire de nombres identiques: (1; 1; 1; 1; 1) ... etc.

Essayons de calculer la différence $ d $ pour les trois progressions décroissantes données ci-dessus. Pour ce faire, il suffit de prendre deux éléments voisins (par exemple, le premier et le deuxième) et de soustraire du nombre à droite le nombre à gauche. Cela ressemblera à ceci:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $ \\ sqrt (5) -1- \\ sqrt (5) \u003d - 1 $.

Comme vous pouvez le constater, dans les trois cas, la différence s’est avérée négative. Et maintenant que nous avons plus ou moins trié les définitions, il est temps de comprendre comment les progressions sont décrites et quelles sont leurs propriétés.

Membres de la formule de progression et de récurrence

Comme les éléments de nos séquences ne peuvent pas être interchangés, ils peuvent être numérotés:

\\ [\\ left (((a) _ (n)) \\ right) \u003d \\ left \\ (((a) _ (1)), \\ ((a) _ (2)), ((a) _ (3 )), ... \\ right \\) \\]

Les éléments individuels de cet ensemble sont appelés membres de progression. Ils y sont indiqués à l'aide d'un numéro: le premier membre, le deuxième membre, etc.

De plus, comme on le sait déjà, les membres voisins de la progression sont liés par la formule:

\\ [(((a) _ (n)) - ((a) _ (n-1)) \u003d d \\ Rightarrow ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (n-1)) + d \\]

En bref, pour trouver le $ n $-ème terme d'une progression, vous devez connaître le $ n-1 $-ème terme et la différence $ d $. Une telle formule est appelée récurrente, car avec son aide, vous pouvez trouver n’importe quel nombre, ne connaissant que le précédent (et en fait, tous les précédents). Ceci est très gênant, il existe donc une formule plus délicate qui réduit tout calcul au premier terme et à la différence:

\\ [(((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ left (n-1 \\ right) d \\]

Vous avez sûrement déjà rencontré cette formule. Ils aiment le donner dans toutes sortes d'ouvrages de référence et de résolveurs. Et dans n'importe quel manuel de mathématiques sensé, elle fait partie des premiers.

Néanmoins, je suggère un peu de pratique.

Numéro de tâche 1. Notez les trois premiers membres de la progression arithmétique $ \\ left (((a) _ (n)) \\ right) $ if $ ((a) _ (1)) \u003d 8, d \u003d -5 $.

Solution Nous connaissons donc le premier terme $ ((a) _ (1)) \u003d 8 $ et la différence de progression $ d \u003d -5 $. Nous utilisons la formule que nous venons de donner et substituons $ n \u003d 1 $, $ n \u003d 2 $ et $ n \u003d 3 $:

\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ left (n-1 \\ right) d; \\\\ & (a) _ (1)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ left (1-1 \\ right) d \u003d ((a) _ (1)) \u003d 8; \\\\ & (a) _ (2)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ left (2-1 \\ right) d \u003d ((a) _ (1)) + d \u003d 8-5 \u003d 3; \\\\ & (a) _ (3)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ left (3-1 \\ right) d \u003d ((a) _ (1)) + 2d \u003d 8-10 \u003d -2. \\\\ \\ end (aligner) \\]

Réponse: (8; 3; -2)

C'est tout! S'il vous plaît noter: notre progression est en baisse.

Bien sûr, $ n \u003d 1 $ ne peut pas être remplacé - le premier terme nous est déjà connu. Cependant, en remplaçant l'unité, nous nous sommes assurés que même pour le premier terme, notre formule fonctionne. Dans d'autres cas, l'arithmétique était banale.

Numéro de tâche 2. Ecrivez les trois premiers termes de la progression arithmétique si son septième terme est égal à -40 et son dix-septième est égal à -50.

Solution Nous écrivons la condition du problème en termes familiers:

\\ [(((a) _ (7)) \u003d - 40; \\ quad ((a) _ (17)) \u003d - 50. \\]

\\ [\\ left \\ (\\ begin (align) & ((a) _ (7)) \u003d ((a) _ (1)) + 6d \\\\ & ((a) _ (17)) \u003d ((a) _ (1)) + 16d \\\\ \\ end (aligner) \\ droite. \\]

\\ [\\ left \\ (\\ begin (aligner) & ((a) _ (1)) + 6d \u003d -40 \\\\ & ((a) _ (1)) + 16d \u003d -50 \\\\ \\ end (aligner) \\ right. \\]

Je mets le signe du système car ces exigences doivent être satisfaites simultanément. Et maintenant, nous remarquons que si nous soustrayons la première de la seconde équation (nous avons le droit de le faire, car nous avons un système), nous obtenons ceci:

\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (1)) + 16d- \\ left (((a) _ (1)) + 6d \\ right) \u003d - 50- \\ left (-40 \\ right); \\\\ & (a) _ (1)) + 16d - ((a) _ (1)) - 6d \u003d -50 + 40; \\\\ & 10d \u003d -10; \\\\ & d \u003d -1. \\\\ \\ end (aligner) \\]

Juste comme ça, nous avons trouvé la différence de progression! Il reste à substituer le nombre trouvé dans n’importe laquelle des équations du système. Par exemple, dans le premier:

\\ [\\ begin (matrix) ((a) _ (1)) + 6d \u003d -40; \\ quad d \u003d -1 \\\\ \\ Downarrow \\\\ ((a) _ (1)) - 6 \u003d -40; \\\\ ((a) _ (1)) \u003d - 40 + 6 \u003d -34. \\\\ \\ end (matrice) \\]

Maintenant, connaissant le premier terme et la différence, il reste à trouver les deuxième et troisième termes:

\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (2)) \u003d ((a) _ (1)) + d \u003d -34-1 \u003d -35; \\\\ & (a) _ (3)) \u003d ((a) _ (1)) + 2d \u003d -34-2 \u003d -36. \\\\ \\ end (aligner) \\]

Fait! Le problème est résolu.

Réponse: (−34; −35; −36)

Faites attention à la curieuse propriété de la progression que nous avons trouvée: si nous prenons les termes $ n $ th et $ m $ th et les soustrayons l’un de l’autre, nous obtenons la différence entre la progression et le nombre $ n-m $:

\\ [(((a) _ (n)) - ((a) _ (m)) \u003d d \\ cdot \\ left (n-m \\ right) \\]

Une propriété simple mais très utile que vous devez absolument connaître - avec son aide, vous pouvez accélérer considérablement la résolution de nombreux problèmes de progressions. Voici un exemple frappant de ceci:

Numéro de tâche 3. Le cinquième membre de la progression arithmétique est 8,4 et son dixième membre est 14,4. Trouvez le quinzième membre de cette progression.

Solution Puisque $ (a) _ (5)) \u003d 8,4 $, $ ((a) _ (10)) \u003d 14,4 $ et que vous devez trouver $ ((a) _ (15)) $, notons les suivantes:

\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (15)) - ((a) _ (10)) \u003d 5d; \\\\ & (a) _ (10)) - ((a) _ (5)) \u003d 5d. \\\\ \\ end (aligner) \\]

Mais par la condition $ ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) \u003d 14.4-8.4 \u003d 6 $, donc $ 5d \u003d 6 $, d’où on obtient:

\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (15)) - 14,4 \u003d 6; \\\\ & (a) _ (15)) \u003d 6 + 14,4 \u003d 20,4. \\\\ \\ end (aligner) \\]

Réponse: 20.4

C'est tout! Nous n'avions pas besoin de créer des systèmes d'équations et de compter le premier terme et la différence - tout était décidé littéralement en quelques lignes.

Examinons maintenant un autre type de tâche: rechercher des membres négatifs et positifs d’une progression. Ce n’est un secret pour personne que si la progression augmente, si le premier terme est négatif, les termes positifs y apparaîtront tôt ou tard. Et inversement: les membres dont la progression diminue deviendront tôt ou tard négatifs.

De plus, il est loin d'être toujours possible de tâtonner ce moment «sur le front» en triant séquentiellement les éléments. Souvent, les tâches sont structurées de manière à ce que, sans connaissance des formules, les calculs prennent plusieurs feuilles - nous nous endormions jusqu'à ce que nous trouvions la réponse. Nous allons donc essayer de résoudre ces problèmes plus rapidement.

Numéro de tâche 4. Combien de termes négatifs dans la progression arithmétique sont -38.5; -35,8; ...?

Solution Donc, $ ((a) _ (1)) \u003d - 38,5 $, $ ((a) _ (2)) \u003d - 35,8 $, d’où on trouve immédiatement la différence:

Notez que la différence est positive et que la progression augmente. Le premier terme est négatif, nous allons donc rencontrer des chiffres positifs à un moment donné. La seule question est de savoir quand cela se produira.

Essayons de savoir: combien de temps reste-t-il la négativité des termes (c'est-à-dire, à quel nombre naturel $ n $):

\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (n)) \\ lt 0 \\ Rightarrow ((a) _ (1)) + \\ left (n-1 \\ right) d \\ lt 0; \\\\ & -38.5+ \\ left (n-1 \\ right) \\ cdot 2.7 \\ lt 0; \\ quad \\ left | \\ cdot 10 \\ right. \\\\ & -385 + 27 \\ cdot \\ left (n-1 \\ right) \\ lt 0; \\\\ & -385 + 27n-27 \\ lt 0; \\\\ & 27n \\ lt 412; \\\\ & n \\ lt 15 \\ frac (7) (27) \\ Rightarrow ((n) _ (\\ max)) \u003d 15. \\\\ \\ end (aligner) \\]

La dernière ligne nécessite une clarification. Nous savons donc que $ n \\ lt 15 \\ frac (7) (27) $. Par ailleurs, nous ne sommes satisfaits que des valeurs entières du nombre (en outre: $ n \\ in \\ mathbb (N) $), le plus grand nombre possible est donc exactement $ n \u003d 15 $, et nullement 16.

Numéro de tâche 5. Dans la progression arithmétique, $ (() _ (5)) \u003d - 150, (() _ (6)) \u003d - 147 $. Trouvez le numéro du premier membre positif de cette progression.

Ce serait exactement la même tâche que la précédente, cependant, nous ne savons pas $ ((a) _ (1)) $. Mais les termes voisins sont connus: $ ((a) _ (5)) $ et $ ((a) _ (6)) $, afin que nous puissions facilement trouver la différence de progression:

De plus, nous essaierons d’exprimer le cinquième terme en termes de premier et de différence par la formule standard

\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ left (n-1 \\ right) \\ cdot d; \\\\ & (a) _ (5)) \u003d ((a) _ (1)) + 4d; \\\\ & -150 \u003d ((a) _ (1)) + 4 \\ cdot 3; \\\\ & (a) _ (1)) \u003d - 150-12 \u003d -162. \\\\ \\ end (aligner) \\]

Nous procédons maintenant par analogie avec la tâche précédente. Nous découvrons à quel moment de notre séquence il y aura des nombres positifs:

\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (n)) \u003d - 162+ \\ left (n-1 \\ right) \\ cdot 3 \\ gt 0; \\\\ & -162 + 3n-3 \\ gt 0; \\\\ & 3n \\ gt 165; \\\\ & n \\ gt 55 \\ Rightarrow ((n) _ (\\ min)) \u003d 56. \\\\ \\ end (aligner) \\]

La solution entière minimale à cette inégalité est le nombre 56.

Remarque: dans la dernière tâche, tout se résumait à une inégalité stricte, donc l'option $ n \u003d 55 $ ne nous convient pas.

Maintenant que nous avons appris à résoudre des problèmes simples, passons aux plus complexes. Mais d'abord, étudions une autre propriété très utile des progressions arithmétiques, qui à l'avenir nous fera gagner beaucoup de temps et de cellules inégales. :)

Moyenne arithmétique et égaux

Considérons plusieurs termes consécutifs de progression arithmétique croissante $ \\ left (((a) _ (n)) \\ right) $. Essayons de les marquer sur la droite numérique:

J'ai spécifiquement noté les membres arbitraires de $ ((a) _ (n-3)), ..., ((a) _ (n + 3)) $, et non de quelques dollars ((a) _ (1)). , \\ ((a) _ (2)), \\ ((a) _ (3)) $, etc. Parce que la règle, dont je parlerai maintenant, fonctionne également pour tous les «segments».

Et la règle est très simple. Rappelons la formule de récurrence et écrivons-la pour tous les membres marqués:

\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (n-2)) \u003d ((a) _ (n-3)) + d; \\\\ & (a) _ (n-1)) \u003d ((a) _ (n-2)) + d; \\\\ & (a) _ (n)) \u003d ((a) _ (n-1)) + d; \\\\ & (a) _ (n + 1)) \u003d ((a) _ (n)) + d; \\\\ & (a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (n + 1)) + d; \\\\ \\ end (aligner) \\]

Cependant, ces égalités peuvent être réécrites différemment:

\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (n-1)) \u003d ((a) _ (n)) - d; \\\\ & (a) _ (n-2)) \u003d ((a) _ (n)) - 2d; \\\\ & (a) _ (n-3)) \u003d ((a) _ (n)) - 3d; \\\\ & (a) _ (n + 1)) \u003d ((a) _ (n)) + d; \\\\ & (a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (n)) + 2d; \\\\ & (a) _ (n + 3)) \u003d ((a) _ (n)) + 3d; \\\\ \\ end (aligner) \\]

Alors quoi? Et le fait que les termes $ ((a) _ (n-1)) $ et $ ((a) _ (n + 1)) $ se trouvent à la même distance de $ ((a) _ (n)) $. Et cette distance est de $ d $. On peut en dire autant des termes $ ((a) _ (n-2)) $ et $ ((a) _ (n + 2)) $ - ils sont également supprimés de $ ((a) _ (n)) $ la même distance égale à $ 2d $. Vous pouvez continuer à l'infini, mais la photo illustre bien le sens

Qu'est-ce que cela signifie pour nous? Cela signifie que vous pouvez trouver $ ((a) _ (n)) $ si les numéros voisins sont connus:

\\ [(((a) _ (n)) \u003d \\ frac (((a) _ (n-1)) + ((a) _ (n + 1))) (2) \\]

Nous en avons déduit une déclaration magnifique: chaque membre d’une progression arithmétique est égal à la moyenne arithmétique des membres voisins! De plus: nous pouvons nous retirer de notre $ ((a) _ (n)) $ vers la gauche et vers la droite, non pas d’un pas, mais de $ k $ pas - et la formule restera vraie:

\\ [(((a) _ (n)) \u003d \\ frac (((a) _ (n-k)) + ((a) _ (n + k))) (2) \\]

I.e. on peut facilement trouver quelques $ ((a) _ (150)) $ si on sait $ ((a) _ (100)) $ et $ ((a) _ (200)) $, parce que $ (( a) _ (150)) \u003d \\ frac (((a) _ (100)) + ((a) _ (200))) (2) $. À première vue, il peut sembler que ce fait ne nous donne rien d’utile. Cependant, dans la pratique, de nombreuses tâches sont spécialement «affinées» pour utiliser la moyenne arithmétique. Jetez un coup d'oeil:

Numéro de tâche 6. Trouver toutes les valeurs de $ x $ pour lesquelles les nombres $ -6 ((x) ^ (2)) $, $ x + 1 $ et 14 $ + 4 ((x) ^ (2)) $ sont des membres consécutifs de la progression arithmétique (dans ordre spécifié).

Solution Puisque ces nombres sont des membres d'une progression, la condition de moyenne arithmétique est satisfaite pour eux: l'élément central $ x + 1 $ peut être exprimé en termes d'éléments voisins:

\\ [\\ begin (align) & x + 1 \u003d \\ frac (-6 ((x) ^ (2)) + 14 + 4 ((x) ^ (2))) (2); \\\\ & x + 1 \u003d \\ frac (14-2 ((x) ^ (2))) (2); \\\\ & x + 1 \u003d 7 - ((x) ^ (2)); \\\\ & ((x) ^ (2)) + x-6 \u003d 0. \\\\ \\ end (aligner) \\]

Le résultat était une équation quadratique classique. Ses racines: $ x \u003d 2 $ et $ x \u003d -3 $ - ce sont les réponses.

Réponse: -3; 2

Numéro de tâche 7. Trouvez les valeurs de $$ auxquelles les nombres $ -1; 4-3; (() ^ (2)) + 1 $ constituent une progression arithmétique (dans cet ordre).

Solution Encore une fois, nous exprimons le moyen terme par la moyenne arithmétique des membres voisins:

\\ [\\ begin (align) & 4x-3 \u003d \\ frac (x-1 + ((x) ^ (2)) + 1) (2); \\\\ & 4x-3 \u003d \\ frac (((x) ^ (2)) + x) (2); \\ quad \\ left | \\ cdot 2 \\ right. \\\\ & 8x-6 \u003d ((x) ^ (2)) + x; \\\\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 6 \u003d 0. \\\\ \\ end (aligner) \\]

Encore une fois l'équation quadratique. Et encore une fois, deux racines: $ x \u003d 6 $ et $ x \u003d 1 $.

Réponse: 1; 6

Si, en cours de résolution du problème, vous obtenez des chiffres brutaux ou si vous n'êtes pas tout à fait sûr de l'exactitude des réponses trouvées, vous disposez d'un truc merveilleux pour vérifier si nous avons résolu le problème correctement?

Supposons que dans le problème n ° 6, nous obtenons les réponses -3 et 2. Comment puis-je vérifier que ces réponses sont correctes? Substituons-les dans la condition initiale et voyons ce qui se passe. Permettez-moi de vous rappeler que nous avons trois nombres ($ -6 (() ^ (2)) $, $ + 1 $ et 14 $ + 4 (() ^ (2)) $), ce qui devrait être une progression arithmétique. Substitute $ x \u003d -3 $:

\\ [\\ begin (align) & x \u003d -3 \\ Rightarrow \\\\ & -6 ((x) ^ (2)) \u003d - 54; \\\\ & x + 1 \u003d -2; \\\\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) \u003d 50. \\ end (aligner) \\]

Vous avez les nombres -54; -2; 50, qui diffère de 52, est sans aucun doute une progression arithmétique. La même chose se passe avec $ x \u003d 2 $:

\\ [\\ begin (align) & x \u003d 2 \\ Rightarrow \\\\ & -6 ((x) ^ (2)) \u003d - 24; \\\\ & x + 1 \u003d 3; \\\\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) \u003d 30. \\ end (aligner) \\]

Encore une fois, la progression, mais avec une différence de 27. Ainsi, le problème est résolu correctement. Ceux qui le souhaitent peuvent vérifier eux-mêmes la deuxième tâche, mais je dois dire tout de suite: tout est également là.

En général, en résolvant les dernières tâches, nous avons découvert un autre fait intéressant, qui doit également être rappelé:

Si trois nombres sont tels que le second est la moyenne arithmétique du premier et du dernier, alors ces nombres forment une progression arithmétique.

En comprenant cette affirmation à l’avenir, nous pourrons littéralement «construire» les avancées nécessaires en fonction de l’état du problème. Mais avant de faire ce genre de «construction», nous devrions prêter attention à un autre fait, qui découle directement de ce qui a déjà été considéré.

Regroupement et somme d'éléments

Revenons à l’axe numérique. Nous y notons plusieurs membres de la progression, entre lesquels, peut-être. il y a beaucoup d'autres membres:

Essayons d’exprimer la «queue gauche» en termes de $ ((a) _ (n)) $ et $ d $, et la «queue droite» en termes de $ ((a) _ (k)) $ et $ d $. C'est très simple:

\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (n + 1)) \u003d ((a) _ (n)) + d; \\\\ & (a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (n)) + 2d; \\\\ & (a) _ (k-1)) \u003d ((a) _ (k)) - d; \\\\ & (a) _ (k-2)) \u003d ((a) _ (k)) - 2d. \\\\ \\ end (aligner) \\]

Notez maintenant que les montants suivants sont égaux:

\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (n)) + ((a) _ (k)) \u003d S; \\\\ & (a) _ (n + 1)) + ((a) _ (k-1)) \u003d ((a) _ (n)) + d + ((a) _ (k)) - d \u003d S; \\\\ & (a) _ (n + 2)) + ((a) _ (k-2)) \u003d ((a) _ (n)) + 2d + ((a) _ (k)) - 2d \u003d S. \\ end (aligner) \\]

En termes simples, si nous prenons comme point de départ deux éléments de la progression, qui au total sont égaux à un nombre $ S $, et que nous commençons ensuite à nous éloigner de ces éléments dans des directions opposées (l'un vers l'autre ou inversement pour le retrait), alors la somme des éléments sur lesquels nous tomberons sera également égale  $ S $. Ceci peut être représenté graphiquement de la manière la plus graphique possible:

La compréhension de ce fait nous permettra de résoudre des problèmes d’un niveau de complexité fondamentalement supérieur à ceux que nous avons envisagés plus haut. Par exemple, tels que:

Numéro de tâche 8. Déterminez la différence de progression arithmétique dans laquelle le premier terme est 66 et le produit des deuxième et douzième termes est le plus petit possible.

Solution Nous allons écrire tout ce que nous savons:

\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (1)) \u003d 66; \\\\ & d \u003d? \\\\ & (a) _ (2)) \\ cdot ((a) _ (12)) \u003d \\ min. \\ end (aligner) \\]

Nous ne connaissons donc pas la différence dans la progression de $ d $. En fait, toute la solution sera construite autour de la différence, puisque le produit $ ((a) _ (2)) \\ cdot ((a) _ (12)) $ peut être réécrit comme suit:

\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (2)) \u003d ((a) _ (1)) + d \u003d 66 + d; \\\\ & (a) _ (12)) \u003d ((a) _ (1)) + 11d \u003d 66 + 11d; \\\\ & (a) _ (2)) \\ cdot ((a) _ (12)) \u003d \\ left (66 + d \\ right) \\ cdot \\ left (66 + 11d \\ right) \u003d \\\\ & \u003d 11 \\ cdot \\ left (d + 66 \\ right) \\ cdot \\ left (d + 6 \\ right). \\ end (aligner) \\]

Pour ceux qui sont dans le réservoir: j'ai pris le facteur commun 11 de la deuxième tranche. Ainsi, le produit souhaité est une fonction quadratique par rapport à la variable $ d $. Par conséquent, nous considérons la fonction $ f \\ left (d \\ right) \u003d 11 \\ left (d + 66 \\ right) \\ left (d + 6 \\ right) $ - son graphique sera une parabole avec des branches vers le haut, car si vous ouvrez les crochets, alors nous obtenons:

\\ [\\ begin (aligner) & f \\ left (d \\ right) \u003d 11 \\ left ((d) ^ (2)) + 66d + 6d + 66 \\ cdot 6 \\ right) \u003d \\\\ & \u003d 11 (( d) ^ (2)) + 11 \\ cdot 72d + 11 \\ cdot 66 \\ cdot 6 \\ end (aligner \\]

Comme vous pouvez le constater, le coefficient avec le terme le plus élevé est 11 - il s'agit d'un nombre positif, nous avons donc affaire à une parabole avec des branches en haut:

   graphique de la fonction quadratique - parabole

Remarque: cette parabole prend sa valeur minimale à son sommet avec l’abscisse $ ((d) _ (0)) $. Bien sûr, nous pouvons calculer cette abscisse selon le schéma standard (il existe la formule $ ((d) _ (0)) \u003d (- b) / (2a) \\; $), mais il serait plus raisonnable de remarquer que le sommet souhaité se situe sur l'axe symétrie de la parabole, le point $ ((d) _ (0)) $ est donc à égale distance des racines de l’équation $ f \\ left (d \\ right) \u003d 0 $:

\\ [\\ begin (align) & f \\ left (d \\ right) \u003d 0; \\\\ & 11 \\ cdot \\ left (d + 66 \\ right) \\ cdot \\ left (d + 6 \\ right) \u003d 0; \\\\ & (d) _ (1)) \u003d - 66; \\ quad ((d) _ (2)) \u003d - 6. \\\\ \\ end (aligner) \\]

C'est pourquoi je n'étais pas pressé d'ouvrir les crochets: dans la forme originale, les racines étaient très, très simples à trouver. Par conséquent, l’abscisse est égale à la moyenne arithmétique des nombres -66 et -6:

\\ [(((d) _ (0)) \u003d \\ frac (-66-6) (2) \u003d - 36 \\]

Qu'est-ce qui nous donne le numéro détecté? Avec lui, le produit requis prend la plus petite valeur (en passant, nous ne comptions toujours pas $ ((y) _ (\\ min)) $ - cela n'est pas obligatoire de notre part). Dans le même temps, ce nombre est la différence de la progression initiale, c'est-à-dire nous avons trouvé la réponse :)

Réponse: −36

Numéro de tâche 9. Entre les nombres $ - \\ frac (1) (2) $ et $ - \\ frac (1) (6) $, insérez trois nombres pour qu'ils forment, avec les nombres donnés, une progression arithmétique.

Solution En fait, nous devons faire une séquence de cinq nombres, et le premier et le dernier numéro sont déjà connus. Indiquez les nombres manquants par les variables $ x $, $ y $ et $ z $:

\\ [\\ left ((a) _ (n)) \\ right) \u003d \\ left \\ (- \\ frac (1) (2); x; y; z; - \\ frac (1) (6) \\ right \\ Notez que le nombre $ y $ est le "milieu" de notre séquence - il est équidistant des nombres $ x $ et $ z $ et des nombres $ - \\ frac (1) (2) $ et $ - \\ frac (1) ( 6) $. Et si nous ne pouvons pas obtenir $ y $ à partir des nombres $ x $ et $ z $, la situation avec les extrémités de la progression est différente. Nous rappelons la moyenne arithmétique:

Maintenant, connaissant $ y $, nous allons trouver les nombres restants. Notez que $ x $ se situe entre les nombres $ - \\ frac (1) (2) $ et le $ trouvé \u003d - \\ frac (1) (3) $. Donc

Raisonnant de la même manière, on trouve le nombre restant:

Fait! Nous avons trouvé les trois chiffres. Nous les écrivons dans la réponse dans l'ordre dans lequel ils doivent être insérés entre les nombres d'origine.

Réponse: $ - \\ frac (5) (12); \\ - \\ frac (1) (3); \\ - \\ frac (1) (4) $

Numéro de tâche 10. Entre les nombres 2 et 42, insérez plusieurs nombres qui, ensemble avec les nombres donnés, forment une progression arithmétique, s’il est connu que la somme des premier, deuxième et dernier des nombres insérés est 56.

Solution Un problème encore plus complexe, qui est toutefois résolu selon le même schéma que les précédents, par le biais de la moyenne arithmétique. Le problème est que nous ne savons pas combien de nombres spécifiques insérer. Par conséquent, pour des raisons de précision, nous supposons qu'après tout avoir inséré, il y aura exactement $ n $ nombres, le premier d'entre eux étant 2 et le dernier 42. Dans ce cas, la progression arithmétique souhaitée peut être représentée par:

\\ [\\ left (((a) _ (n)) \\ right) \u003d \\ left \\ (2; (a) _ (2)); ((a) _ (3)); ... (( a) _ (n-1)); 42 \\ right \\) \\]

\\ [(((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) \u003d 56 \\]

Notez, cependant, que les nombres $ ((a) _ (2)) $ et $ ((a) _ (n-1)) $ sont obtenus à partir des nombres 2 et 42 situés aux bords d'un pas l'un vers l'autre, c'est-à-dire . au centre de la séquence. Et cela signifie que

\\ [(((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) \u003d 2 + 42 \u003d 44 \\]

Mais alors l'expression écrite ci-dessus peut être réécrite comme suit:

{!LANG-ee02ab1773fe9bab632b0cdbd7bbec4c!}

\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) \u003d 56; \\\\ & \\ left (((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) \\ droite) + ((a) _ (3)) \u003d 56; \\\\ & 44 + ((a) _ (3)) \u003d 56; \\\\ & (a) _ (3)) \u003d 56-44 \u003d 12. \\\\ \\ end (aligner) \\]

Connaissant $ ((a) _ (3)) $ et $ ((a) _ (1)) $, on peut facilement trouver la différence de progression:

\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) \u003d 12-2 \u003d 10; \\\\ & (a) _ (3)) - ((a) _ (1)) \u003d \\ left (3-1 \\ right) \\ cdot d \u003d 2d; \\\\ & 2d \u003d 10 \\ Rightarrow d \u003d 5. \\\\ \\ end (aligner) \\]

Il ne reste plus qu'à trouver les membres restants:

\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (1)) \u003d 2; \\\\ & (a) _ (2)) \u003d 2 + 5 \u003d 7; \\\\ & (a) _ (3)) \u003d 12; \\\\ & (a) _ (4)) \u003d 2 + 3 \\ cdot 5 \u003d 17; \\\\ & (a) _ (5)) \u003d 2 + 4 \\ cdot 5 \u003d 22; \\\\ & (a) _ (6)) \u003d 2 + 5 \\ cdot 5 \u003d 27; \\\\ & (a) _ (7)) \u003d 2 + 6 \\ cdot 5 \u003d 32; \\\\ & (a) _ (8)) \u003d 2 + 7 \\ cdot 5 \u003d 37; \\\\ & (a) _ (9)) \u003d 2 + 8 \\ cdot 5 \u003d 42; \\\\ \\ end (aligner) \\]

Ainsi, dès la 9ème étape, nous arriverons à l'extrémité gauche de la séquence - le nombre 42. Au total, seuls 7 nombres ont dû être insérés: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Réponse: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Tâches de texte avec des progressions

En conclusion, je voudrais aborder quelques tâches relativement simples. Bien simples: pour la plupart des étudiants qui étudient les mathématiques à l’école et qui n’ont pas lu ce qui est écrit ci-dessus, ces tâches peuvent sembler être un geste. Néanmoins, ce sont précisément ces problèmes qui relèvent de l'examen et de l'examen en mathématiques, je vous recommande donc de vous familiariser avec eux.

Numéro de tâche 11. La brigade a fabriqué 62 pièces en janvier et 14 mois de plus que le précédent. Combien de pièces la brigade a-t-elle réalisées en novembre?

Solution De toute évidence, le nombre de pièces programmées par mois sera une progression arithmétique croissante. De plus:

\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (1)) \u003d 62; \\ quad d \u003d 14; \\\\ & ((a) _ (n)) \u003d 62+ \\ left (n-1 \\ right) \\ cdot 14. \\\\ \\ end (aligner \\]

Novembre est le 11ème mois de l'année, nous devons donc trouver $ ((a) _ (11)) $:

\\ [((a) _ (11)) \u003d 62 + 10 \\ cdot 14 \u003d 202 \\]

Par conséquent, en novembre, 202 pièces seront fabriquées.

Numéro de tâche 12. L'atelier de reliure a lié 216 livres en janvier et, le mois suivant, elle en a relié 4 de plus que le précédent. Combien de livres l'atelier a-t-il reliés en décembre?

Solution Tous les mêmes:

$ \\ begin (align) & ((a) _ (1)) \u003d 216; \\ quad d \u003d 4; \\\\ & ((a) _ (n)) \u003d 216+ \\ left (n-1 \\ right) \\ cdot 4. \\\\ \\ end (aligner) $

Décembre étant le dernier mois de l’année, nous recherchons donc $ ((a) _ (12)) $:

\\ [((a) _ (12)) \u003d 216 + 11 \\ cdot 4 \u003d 260 \\

C'est la réponse - 260 livres seront reliés en décembre.

Eh bien, si vous lisez jusqu'ici, je m'empresse de vous féliciter: vous avez réussi le «cours de jeune combattant» dans les progressions arithmétiques. Vous pouvez passer en toute sécurité à la leçon suivante, où nous étudierons la formule de la somme de la progression, ainsi que ses conséquences importantes et très utiles.

Progression arithmétique et géométrique

Informations théoriques

	Progression arithmétique	Progression géométrique
La définition	Progression arithmétique un n  on appelle une séquence dont chaque membre, à partir du deuxième, est égal au membre précédent ajouté au même numéro d (d  - différence de progressions)	Progression géométrique b n  on appelle une suite de nombres non nuls dont chaque membre, à partir du deuxième, est égal au terme précédent multiplié par le même nombre q (q  - dénominateur de progression)
Formule de récurrence	Pour tout naturel n a n + 1 \u003d a n + d	Pour tout naturel n b n + 1 \u003d b n ≤ q, b n ≤ 0
Formule du nième membre	a n \u003d a 1 + d (n - 1)	b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n 0
Propriété caractéristique
Somme des n premiers membres

Exemples de travaux avec commentaires

Tâche 1

En progression arithmétique ( un n) un 1 = -6, un 2

Par la formule du nième membre:

un 22 = un 1  + d (22 - 1) \u003d un 1  + 21 d

Par condition:

un 1  \u003d -6, alors un 22  \u003d -6 + 21 d.

Il faut trouver la différence de progressions:

d \u003d un 2 - un 1 = -8 – (-6) = -2

un 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

La réponse est: un 22 = -48.

Tâche 2

Trouve le cinquième terme de la progression géométrique: -3; 6; ....

1ère méthode (utilisant la formule du n-terme)

Par la formule du nième terme d'une progression géométrique:

b 5 \u003d b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Depuis b 1 = -3,

2ème méthode (en utilisant la formule de récurrence)

Puisque le dénominateur de la progression est -2 (q \u003d -2), alors:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

La réponse est: b 5 = -48.

Tâche 3

En progression arithmétique ( a n) a 74 = 34; un 76  \u003d 156. Trouvez le soixante-quinzième membre de cette progression.

Pour la progression arithmétique, la propriété caractéristique a la forme .

Il en découle:

.

Remplacez les données dans la formule:

Réponse: 95.

Tâche 4

En progression arithmétique ( a n) a n  \u003d 3n - 4. Trouve la somme des dix-sept premiers membres.

Pour trouver la somme des n premiers membres d'une progression arithmétique, deux formules sont utilisées:

.

Lequel est le plus pratique dans ce cas?

Par condition, la formule du nième terme de la progression initiale est connue ( un n) un n  \u003d 3n - 4. Vous pouvez trouver immédiatement et un 1et un 16  sans être d. Par conséquent, nous utilisons la première formule.

Réponse: 368.

Tâche 5

En progression arithmétique ( un n) un 1 = -6; un 2  \u003d -8. Trouvez le vingt deuxième membre de la progression.

Par la formule du nième membre:

a 22 \u003d a 1 + d (22 – 1) = un 1  + 21d.

Par condition, si un 1  \u003d -6, alors un 22  \u003d -6 + 21d. Il faut trouver la différence de progressions:

d \u003d un 2 - un 1 = -8 – (-6) = -2

un 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

La réponse est: un 22 = -48.

Tâche 6

Plusieurs termes consécutifs de progression géométrique sont enregistrés:

Trouvez le terme de progression indiqué par la lettre x.

En résolvant, on utilise la formule du nième terme b n \u003d b 1 ∙ q n - 1  pour les progressions géométriques. Le premier membre de la progression. Pour trouver le dénominateur de la progression q, vous devez utiliser l'un de ces membres de la progression et le diviser par le précédent. Dans notre exemple, nous pouvons prendre et diviser par. Nous obtenons que q \u003d 3. Au lieu de n, nous substituons 3 à la formule, car il est nécessaire de trouver le troisième terme de la progression géométrique donnée.

En substituant les valeurs trouvées dans la formule, nous obtenons:

.

Réponse:

Tâche 7

Parmi les progressions arithmétiques définies par la formule du nième terme, choisissez celui pour lequel la condition un 27 > 9:

Puisque la condition donnée doit être remplie pour le 27ème membre de la progression, remplacez-le 27 au lieu de n dans chacune des quatre progressions. Dans la 4ème progression on obtient:

.

Réponse: 4.

Tâche 8

En progression arithmétique un 1  \u003d 3, d \u003d -1,5. Indiquez la plus grande valeur de n pour laquelle l'inégalité tient un n > -6.

Lors de l’étude de l’algèbre dans une école polyvalente (9e année), l’un des sujets importants est l’étude des séquences numériques, qui incluent les progressions - géométriques et arithmétiques. Dans cet article, nous examinerons la progression arithmétique et des exemples de solutions.

Quelle est la progression arithmétique?

Pour comprendre cela, il est nécessaire de donner une définition de la progression considérée ainsi que les formules de base qui seront utilisées ultérieurement pour résoudre des problèmes.

On sait que dans certaines progressions algébriques, le premier terme est 6 et le septième terme est 18. Il est nécessaire de trouver la différence et de restaurer cette séquence à 7 membres.

Nous utilisons la formule pour déterminer le terme inconnu: a n \u003d (n - 1) * d + a 1. Nous y substituons les données connues de la condition, c'est-à-dire les nombres a 1 et 7, nous avons: 18 \u003d 6 + 6 * d. A partir de cette expression, on peut facilement calculer la différence: d \u003d (18 - 6) / 6 \u003d 2. La première partie du problème a donc été résolue.

Pour rétablir la séquence à 7 termes, il convient d'utiliser la définition de progression algébrique, à savoir a 2 \u003d a 1 + d, a 3 \u003d a 2 + d, etc. En conséquence, nous restaurons la séquence entière: a 1 \u003d 6, a 2 \u003d 6 + 2 \u003d 8, a 3 \u003d 8 + 2 \u003d 10, a 4 \u003d 10 + 2 \u003d 12, a 5 \u003d 12 + 2 \u003d 14, a 6 \u003d 14 + 2 \u003d 16, a 7 \u003d 18.

Exemple n ° 3: faire une progression

Nous compliquons encore plus le problème. Maintenant, il est nécessaire de répondre à la question de savoir comment trouver la progression arithmétique. Vous pouvez donner l'exemple suivant: deux nombres sont donnés, par exemple 4 et 5. Il est nécessaire de composer une progression algébrique de manière à ce que trois termes supplémentaires soient placés entre ceux-ci.

Avant de commencer à résoudre ce problème, vous devez comprendre quelle place sera attribuée aux nombres dans une progression future. Puisqu'il y aura trois termes supplémentaires entre eux, alors un 1 \u003d -4 et un 5 \u003d 5. Ceci établi, nous passons au problème, qui est similaire au précédent. Encore une fois, pour le nième terme, on utilise la formule suivante: on obtient: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Où: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2,25. Ils n'ont pas obtenu la valeur entière de la différence, mais comme il s'agit d'un nombre rationnel, les formules de progression algébrique restent les mêmes.

Maintenant, nous ajoutons la différence trouvée à un 1 et restaurons les termes manquants de la progression. On obtient: un 1 \u003d - 4, un 2 \u003d - 4 + 2,25 \u003d - 1,75, un 3 \u003d -1,75 + 2,25 \u003d 0,5, un 4 \u003d 0,5 + 2,25 \u003d 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u003d 5, ce qui coïncide avec l’état du problème.

Exemple n ° 4: le premier membre de la progression

Nous continuons à donner des exemples de progression arithmétique avec une solution. Dans tous les problèmes précédents, le premier nombre de progression algébrique était connu. Considérons maintenant une tâche de type différent: donnons deux nombres, où 15 \u003d 50 et 43 \u003d 37. Il est nécessaire de trouver le numéro par lequel cette séquence commence.

Les formules utilisées jusqu'à présent nécessitent la connaissance d'un 1 et d'un d. À la condition du problème de ces nombres, rien n'est connu. Néanmoins, nous écrivons les expressions pour chaque membre pour lesquelles des informations sont disponibles: a 15 \u003d a 1 + 14 * d et a 43 \u003d a 1 + 42 * d. Nous avons obtenu deux équations dans lesquelles 2 quantités inconnues (a 1 et d). Cela signifie que le problème est réduit à la résolution d'un système d'équations linéaires.

Le système indiqué est le plus facile à résoudre en exprimant un 1 dans chaque équation, puis en comparant les expressions résultantes. La première équation: a 1 \u003d a 15 - 14 * d \u003d 50 - 14 * d; la deuxième équation: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. En comparant ces expressions, on obtient: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, d'où la différence d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (3 décimales seulement sont données après le signe décimal).

Connaissant d, vous pouvez utiliser l’une des 2 expressions ci-dessus pour un 1. Par exemple, le premier: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Si vous avez des doutes sur le résultat, vous pouvez le vérifier, par exemple, déterminer le terme de la progression, qui est spécifié dans la condition. On obtient: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Une petite erreur est due au fait que les calculs ont été arrondis au millième.

Exemple n ° 5: montant

Considérons maintenant quelques exemples de solutions en termes de progression arithmétique.

Soit une progression numérique de la forme suivante: 1, 2, 3, 4, ...,. Comment calculer la somme de 100 de ces nombres?

Grâce au développement de la technologie informatique, ce problème peut être résolu, c'est-à-dire additionner séquentiellement tous les nombres que l'ordinateur fera dès qu'une personne appuiera sur la touche Entrée. Cependant, le problème peut être résolu dans l’esprit si vous veillez à ce que la série de nombres présentée soit une progression algébrique et que sa différence soit égale à 1. En utilisant la formule de la somme, on obtient: S n \u003d n * (a 1 + an) / 2 \u003d 100 * (1 + 100) / 2 \u003d 5050.

Il est intéressant de noter que ce problème s’appelle "gaussien", puisqu’au début du XVIIIe siècle, le célèbre Allemand, qui n’avait que 10 ans, était capable de le résoudre dans son esprit en quelques secondes. Le garçon ne connaissait pas la formule de la somme de la progression algébrique, mais il remarqua que si vous additionniez les nombres situés aux extrémités de la séquence par paires, vous obtenez toujours un résultat, à savoir 1 + 100 \u003d 2 + 99 \u003d 3 + 98 \u003d ..., et depuis. de ces sommes sera exactement 50 (100/2), alors pour obtenir la bonne réponse, il suffit de multiplier 50 par 101.

Exemple n ° 6: la somme des membres de n à m

Un autre exemple typique de la somme d’une progression arithmétique est le suivant: une série de nombres est donnée: 3, 7, 11, 15, ..., vous devez trouver à quoi la somme de ses membres de 8 à 14 sera égale.

Le problème est résolu de deux manières. Le premier consiste à rechercher des membres inconnus de 8 à 14 ans, puis leur sommation séquentielle. Comme il y a peu de termes, cette méthode ne prend pas de temps. Néanmoins, il est proposé de résoudre ce problème par la deuxième méthode, qui est plus universelle.

L'idée est d'obtenir une formule pour la somme d'une progression algébrique entre les termes m et n, où n\u003e m sont des entiers. Dans les deux cas, nous écrivons deux expressions pour la somme:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Comme n\u003e m, il est évident que la somme 2 inclut la première. La dernière conclusion signifie que si nous prenons la différence entre ces sommes et que nous y ajoutons le terme a m (dans le cas où nous prenons la différence, elle est soustraite de la somme S n), nous obtenons la réponse nécessaire au problème. Nous avons: S mn \u003d S n - S m + am \u003d n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am \u003d a 1 * (n - m) / 2 + an * n / 2 + am * (1 m / 2). Dans cette expression, il est nécessaire de remplacer les formules par n et a m. On obtient alors: S mn \u003d a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) \u003d a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

La formule résultante est quelque peu lourde, cependant, la somme S mn ne dépend que de n, m, a 1 et d. Dans notre cas, un 1 \u003d 3, d \u003d 4, n \u003d 14, m \u003d 8. En substituant ces nombres, nous obtenons: S mn \u003d 301.

Comme le montrent les solutions ci-dessus, toutes les tâches sont basées sur la connaissance de l'expression du nième terme et de la formule de la somme de l'ensemble des premiers termes. Avant de commencer à résoudre l'un de ces problèmes, il est recommandé de lire attentivement l'état, de bien comprendre ce que vous devez trouver, et de procéder ensuite à la solution.

Une autre astuce consiste à rechercher la simplicité, c'est-à-dire que si vous pouvez répondre à la question sans appliquer de calculs mathématiques complexes, vous devez le faire, car dans ce cas, la probabilité de commettre une erreur est moindre. Par exemple, dans l'exemple de progression arithmétique avec la solution n ° 6, on pourrait s'arrêter à la formule S mn \u003d n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am et diviser le problème général en sous-tâches séparées (dans ce cas, commencez par trouver les termes an et am).

En cas de doute sur le résultat, il est recommandé de le vérifier, comme cela a été fait dans certains des exemples donnés. Comment trouver la progression arithmétique, découverte. Si vous regardez, ce n’est pas si difficile.

Des problèmes de progression arithmétique existaient déjà dans l'Antiquité. Ils sont apparus et ont demandé une solution, car ils avaient un besoin concret.

Ainsi, dans l’un des papyrus de l’Égypte ancienne, qui a un contenu mathématique, Rinda papyrus (XIXe siècle av. J.-C.), contient la tâche suivante: diviser dix mesures de pain en dix personnes, à condition que la différence entre elles soit d’un huitième de la mesure ».

Et dans les travaux mathématiques des Grecs anciens, il existe des théorèmes élégants liés à la progression arithmétique. Par exemple, la gypsicule d’Alexandrie (IIe siècle, qui compila de nombreuses tâches intéressantes et ajouta le quatorzième livre au livre «Beginnings» d’Euclid), formula l’idée suivante: «Dans une progression arithmétique comportant un nombre pair de membres, la somme des membres de la seconde moitié est supérieure à la somme des membres de la première moitié 1 / 2 nombre de membres. "

La séquence an est désignée. Les numéros d'une séquence s'appellent ses membres et sont généralement indiqués par des lettres avec des index indiquant le numéro de série de ce membre (a1, a2, a3 ... lire: "un 1er", "un 2e", "un 3ème" et ainsi de suite )

La séquence peut être infinie ou finie.

Mais quelle est la progression arithmétique? Il est compris comme étant obtenu en ajoutant le terme précédent (n) avec le même nombre d, qui est la différence de la progression.

Si d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, une telle progression est considérée comme en augmentation.

Une progression arithmétique est dite finie si seuls quelques-uns de ses premiers membres sont pris en compte. Avec un très grand nombre de membres, c'est déjà une progression sans fin.

Toute progression arithmétique est donnée par la formule suivante:

an \u003d kn + b, tandis que b et k sont des nombres.

L'affirmation est absolument vraie, ce qui est le contraire: si la séquence est donnée par une formule similaire, alors c'est exactement une progression arithmétique, qui a les propriétés:

1. Chaque membre de la progression est la moyenne arithmétique du membre précédent et du suivant.
2. Inverse: si, à partir du 2e, chaque terme est la moyenne arithmétique du terme précédent et du suivant, c'est-à-dire si la condition est satisfaite, alors cette séquence est une progression arithmétique. Cette égalité est en même temps un signe de progression, c'est pourquoi on l'appelle généralement la propriété caractéristique de la progression.
     Le théorème qui reflète cette propriété est vrai de la même manière: une séquence est une progression arithmétique uniquement si cette égalité est vraie pour tout membre de la séquence, à partir de la 2e.

La propriété caractéristique pour quatre nombres quelconques de progression arithmétique peut être exprimée par la formule an + am \u003d ak + al si n + m \u003d k + l (m, n, k sont les nombres de progression).

Dans une progression arithmétique, tout terme nécessaire (Nième) peut être trouvé en utilisant la formule suivante:

Par exemple: le premier terme (a1) dans une progression arithmétique est donné et égal à trois, et la différence (d) est égale à quatre. Vous devez trouver le quarante-cinquième membre de cette progression. a45 \u003d 1 + 4 (45-1) \u003d 177

La formule an \u003d ak + d (n - k) nous permet de déterminer le nième terme d’une progression arithmétique à travers l’un quelconque de ses kèmes termes, à condition qu’il soit connu.

La somme des membres de la progression arithmétique (implique les n premiers membres de la progression finale) est calculée comme suit:

Sn \u003d (a1 + an) n / 2.

Si le premier terme est également connu, une autre formule convient au calcul:

Sn \u003d ((2a1 + d (n-1)) / 2) * n.

La somme de la progression arithmétique, qui contient n membres, est calculée comme suit:

Le choix des formules de calcul dépend des conditions des tâches et des données source.

La série naturelle de tous les nombres, tels que 1,2,3, ..., n, ... est l'exemple le plus simple de progression arithmétique.

Outre la progression arithmétique, il existe également une progression géométrique, qui possède ses propres propriétés et caractéristiques.