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| Formules ar progression. Comment trouver une progression arithmétique? Exemples de progression arithmétique avec solution |
Calculateur en ligne.
|
| a n \u003d a 1 + (n-1) d |
un 1 - le premier membre de la progression arithmétique;
n - numéro de membre.
La formule relie les paramètres clés de toute progression: un n; un 1; d et n. Autour de ces paramètres et de toutes les tâches tournent en progression.
La formule du nième terme peut également être utilisée pour enregistrer une progression spécifique. Par exemple, dans la tâche, on peut dire que la progression est donnée par la condition:
a n \u003d 5 + (n-1) 2.
Une telle tâche peut également conduire à une impasse ... Il n'y a pas de série, pas de différence ... Mais, en comparant la condition à la formule, il est facile de comprendre que dans cette progression a 1 \u003d 5 et d \u003d 2.
Et c’est encore pire!) Si vous prenez la même condition: a n \u003d 5 + (n-1) · 2,oui, ouvrir les crochets et donner les mêmes? Obtenez la nouvelle formule:
a n \u003d 3 + 2n.
C'est Seulement pas général, mais pour une progression spécifique. C'est là que se cache le piège. Certaines personnes pensent que le premier terme est le trois. Bien que le premier terme soit réellement le cinq ... Un peu plus bas, nous allons travailler avec une formule modifiée.
Dans les problèmes de progression, il y a encore une notation - un n + 1. Vous l'avez deviné, c'est le membre «en plus premier» de la progression. Sa signification est simple et sans danger.) Il s’agit d’un membre d’une progression dont le nombre est supérieur au nombre n par un. Par exemple, si dans un problème nous prenons un n cinquième terme alors un n + 1 sera le sixième membre. Et le même.
Le plus souvent la désignation un n + 1 trouvé dans les formules de récurrence. N'ayez pas peur de ce mot terrible!) C'est juste une façon d'exprimer un membre d'une progression arithmétique à travers le précédent. Supposons que nous recevions une progression arithmétique sous cette forme, en utilisant une formule récurrente:
a n + 1 \u003d a n +3
a 2 \u003d a 1 + 3 \u003d 5 + 3 \u003d 8
a 3 \u003d a 2 + 3 \u003d 8 + 3 \u003d 11
Le quatrième - jusqu'au troisième, le cinquième - jusqu'au quatrième, et ainsi de suite. Et comment compter tout de suite, disons le vingtième terme, un 20 ? Mais rien!) Jusqu'à ce que le 19ème membre soit reconnu, le 20ème ne peut pas être compté. C'est la différence fondamentale entre la formule de récurrence et la formule du nième terme. Récurrent ne fonctionne que par précédent terme, et la formule du nième terme à travers le premier et permet tout de suite trouver un membre par son numéro. Sans compter la série complète de nombres dans l'ordre.
Dans une progression arithmétique, une formule de récurrence est facile à transformer en une formule régulière. Compter une paire de termes consécutifs, calculer la différence d trouver, si nécessaire, le premier membre un 1, écrivez la formule dans sa forme habituelle et travaillez avec elle. Dans le GIA, de telles tâches sont souvent trouvées.
Application de la formule du nième terme de progression arithmétique.
Pour commencer, considérons l'application directe de la formule. À la fin de la leçon précédente était la tâche:
La progression arithmétique est donnée (a n). Trouvez 121 si 1 \u003d 3 et d \u003d 1/6.
Ce problème peut être résolu sans aucune formule, simplement basée sur la signification de la progression arithmétique. Ajoutez, oui ajoutez ... Une heure ou deux.)
Et selon la formule, la décision prendra moins d’une minute. Vous pouvez chronométrer.) Décidez.
En termes de toutes les données pour utiliser la formule: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6. Il reste à comprendre ce qui est égal n Pas question! Nous devons trouver un 121. Alors nous écrivons:
S'il vous plaît prêter attention! Au lieu d'index n un nombre spécifique est apparu: 121. Ce qui est assez logique.) Nous sommes intéressés par un membre de la progression arithmétique numéro cent vingt et un. Ce sera la nôtre n C'est le sens n \u003d 121 nous substituons plus loin dans la formule, entre parenthèses. Nous substituons tous les nombres dans la formule et considérons:
a 121 \u003d 3 + (121-1) 1/6 \u003d 3 + 20 \u003d 23
C’est tout. Tout aussi rapidement, il serait possible de trouver cinq cent dix membres et mille trois membres. Nous mettons à la place n numéro d'index souhaité dans la lettre " un " et entre parenthèses, et oui, nous pensons.
Laissez-moi vous rappeler l’essence: cette formule vous permet de trouver tout membre de progression arithmétique EN SON NOMBRE " n " .
Nous résolvons la tâche plus astucieusement. Laissez-nous tomber sur ce problème:
Trouver le premier terme d'une progression arithmétique (a n) si a 17 \u003d -2; d \u003d -0,5.
Si vous avez des difficultés, je vais vous dire la première étape. Écris la formule du nième terme de la progression arithmétique! Oui oui Avec vos mains, écrivez directement dans un cahier:
| a n \u003d a 1 + (n-1) d |
Et maintenant, en regardant les lettres de la formule, nous comprenons quelles données nous avons et ce qui manque? Est disponible d \u003d -0,5il y a un dix-septième membre ... c'est ça? Si vous pensez que c'est tout, alors ne résolvez pas le problème, oui ...
Nous avons encore un numéro n! Dans la condition un 17 \u003d -2 sont cachés deux paramètres. C'est le sens du dix-septième terme (-2) et son nombre (17). I.e. n \u003d 17. Cette "bagatelle" glisse souvent au-delà de la tête, et sans elle (sans "bagatelle", pas la tête!), Le problème ne peut pas être résolu. Bien que ... sans tête non plus.)
Maintenant, vous pouvez simplement remplacer bêtement nos données dans la formule:
a 17 \u003d a 1 + (17-1) · (-0,5)
Oh oui un 17 nous savons que c'est -2. Bien, remplacez:
-2 \u003d a 1 + (17-1) · (-0,5)
C'est, en substance, tout. Il reste à exprimer le premier terme de la progression arithmétique à partir de la formule, mais à compter. La réponse sera: a 1 \u003d 6.
Une telle technique - écriture d'une formule et simple substitution de données connues - aide beaucoup dans des tâches simples. Bien sûr, il faut bien sûr être capable d’exprimer une variable à partir d’une formule, mais que faire!? Sans cette compétence, les mathématiques ne peuvent être étudiées du tout ...
Un autre casse-tête populaire:
Trouvez la différence de progression arithmétique (a n) si a 1 \u003d 2; un 15 \u003d 12.
Que faisons nous? Vous serez surpris d'écrire la formule!)
| a n \u003d a 1 + (n-1) d |
Considérez ce que nous savons: a 1 \u003d 2; a 15 \u003d 12; et (mettre en évidence spécialement!) n \u003d 15. N'hésitez pas à substituer dans la formule:
12 \u003d 2 + (15-1) d
Nous considérons l'arithmétique.)
12 \u003d 2 + 14d
d=10/14 = 5/7
C'est la bonne réponse.
Donc, tâches sur a n, a 1et d décidé. Il reste à apprendre à trouver le numéro:
Le nombre 99 est un membre de la progression arithmétique (a n), où 1 \u003d 12; d \u003d 3. Trouvez le numéro de ce membre.
Nous substituons les quantités que nous connaissons dans la formule du nième terme:
a n \u003d 12 + (n-1) 3
À première vue, il y a deux quantités inconnues: un n et n. Mais un n - ceci est un membre de la progression avec le nombre n... Et nous connaissons ce membre de la progression! C'est 99. Nous ne connaissons pas son numéro. ndonc ce nombre est nécessaire pour trouver. Remplacez le terme 99 progression par la formule:
99 \u003d 12 + (n-1)
Exprimé à partir de la formule n, nous considérons. Nous obtenons la réponse: n \u003d 30.
Et maintenant le puzzle sur le même sujet, mais plus créatif):
Déterminez si le nombre 117 est un membre de la progression arithmétique (a n):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Encore une fois, nous écrivons la formule. Quoi, il n'y a pas de paramètres? Euh ... Et pourquoi on nous donne des yeux?) Voyez-vous le premier terme de la progression? Nous voyons C'est -3,6. Vous pouvez écrire en toute sécurité: a 1 \u003d -3,6. La différence d peut être déterminé à partir d'un nombre? C’est facile si vous savez quelle est la différence de progression arithmétique:
d \u003d -2,4 - (-3,6) \u003d 1,2
Donc, la chose la plus facile à faire. Reste à composer avec un nombre inconnu n et un nombre incompréhensible 117. Dans le problème précédent, il était au moins connu que c'était un membre de la progression qui avait été donnée. Et ici on ne sait même pas… Que faire!? Bien, que faire, comment être ... Activez la créativité!)
Nous sommes supposer 117 est, après tout, un membre de notre progression. Avec numéro inconnu n. Et, comme dans la tâche précédente, essayez de trouver ce nombre. I.e. écrivez la formule (oui, oui!)) et remplacez nos nombres par:
117 \u003d -3,6 + (n-1) 1,2
Encore une fois nous exprimons de la formulen, nous considérons et obtenons:
Dingo! Le nombre s'est avéré fractionnaire! Cent un et demi. Un nombre fractionnaire en progressions n'arrive pas. Quelle est la conclusion? Oui! Numéro 117 n'est pas un membre de notre progression. Il se situe entre cent et un et cent secondes. Si le nombre s’avère naturel, c’est-à-dire un nombre entier positif, le nombre serait un membre de la progression avec le nombre trouvé. Et dans notre cas, la réponse au problème sera: non
Une tâche basée sur une vraie version de GIA:
La progression arithmétique est donnée par la condition:
a n \u003d -4 + 6,8n
Trouvez les premier et dixième membres de la progression.
Ici, la progression n'est pas définie de la manière habituelle. Une sorte de formule ... Cela arrive.) Cependant, cette formule (comme je l'ai écrit ci-dessus) - aussi la formule du nième terme de progression arithmétique! Elle permet aussi trouver un membre de la progression par son numéro.
Nous recherchons le premier terme. Celui qui pense. que le premier terme, moins quatre, est fatalement erroné!) parce que la formule du problème est modifiée. Le premier membre de la progression arithmétique en elle caché. Nous le trouverons maintenant.)
Comme dans les tâches précédentes, nous substituons n \u003d 1 dans cette formule:
a 1 \u003d -4 + 6,81 \u003d 2,8
Ici! Le premier terme est 2.8, pas -4!
De même, nous recherchons le dixième membre:
a 10 \u003d -4 + 6,810 \u003d 64
C’est tout.
Et maintenant, pour ceux qui ont lu jusqu’à ces lignes, le bonus promis.)
Supposons que, dans la difficile situation de combat du GIA ou de l'examen unifié d'État, vous avez oublié la formule utile du nième membre de la progression arithmétique. Quelque chose est rappelé, mais en quelque sorte incertain ... Soit n là ou n + 1, ou n-1 ... Comment être!?
Calme Cette formule est facile à dériver. Pas très strict, mais pour la confiance et la bonne décision, c'est assez! Pour conclure, il suffit de rappeler le sens élémentaire de la progression arithmétique et de disposer de quelques minutes. Vous avez juste besoin de dessiner une image. Pour plus de clarté.
Nous dessinons un axe numérique et marquons le premier. deuxième, troisième, etc. membres. Et marque la différence d entre les membres. Comme ceci:
Nous regardons la photo et comprenons: à quoi correspond le deuxième terme? Deuxième une chose d:
un 2 \u003d un 1 + 1 D
Quel est le troisième terme égal à? Troisième membre équivaut au premier membre plus deux d.
un 3 \u003d un 1 + 2 D
Attraper le? Je souligne sciemment certains mots en gras. Eh bien, encore un pas).
Quel est le quatrième terme égal à? Quatrième membre équivaut au premier membre plus trois d.
un 4 \u003d un 1 + 3 D
Il est temps de réaliser que le nombre de lacunes, c.-à-d. dtoujours un de moins que le numéro du membre recherché n. I.e., au nombre n, le nombre de lacunessera n-1. Par conséquent, la formule sera (pas d'options!):
| a n \u003d a 1 + (n-1) d |
En général, les images visuelles sont très utiles pour résoudre de nombreux problèmes de mathématiques. Ne négligez pas les images. Mais s’il est difficile de dessiner, alors ... seulement la formule!) De plus, la formule du nième terme vous permet de connecter tout le puissant arsenal mathématique à la solution - équations, inégalités, systèmes, etc. Vous ne pouvez pas insérer une image dans l'équation ...
Tâches pour une solution indépendante.
Pour se réchauffer:
1. En progression arithmétique (a n) a 2 \u003d 3; a 5 \u003d 5.1. Trouvez un 3.
Astuce: selon la photo, le problème est résolu en 20 secondes ... Selon la formule - cela s'avère plus difficile. Mais pour apprendre la formule, c’est plus utile.) Dans la Section 555, ce problème est résolu à la fois dans l’image et dans la formule. Sentez la différence!)
Et ce n’est plus un échauffement.)
2. En progression arithmétique (a n) a 85 \u003d 19,1; a 236 \u003d 49, 3. Trouvez un 3.
Quoi, réticence à dessiner une image?) Encore! Mieux par la formule, oui ...
3. La progression arithmétique est donnée par la condition:a 1 \u003d -5,5; a n + 1 \u003d a n +0,5. Trouvez le cent vingt cinquième membre de cette progression.
Dans cette tâche, la progression est donnée de manière récursive. Mais compter jusqu'à cent vingt-cinquième terme ... Tout le monde ne peut pas réussir un tel exploit.) Mais la formule du nième terme est à la portée de tous!
4. Étant donné une progression arithmétique (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Trouvez le numéro du plus petit membre positif de la progression.
5. Selon les termes de la tâche 4, trouvez la somme des plus petits membres positifs et des plus grands membres négatifs de la progression.
6. Le produit des cinquième et douzième membres de la progression arithmétique croissante est -2,5 et la somme des troisième et onzième membres est zéro. Trouvez un 14.
Pas la tâche la plus facile, oui ...) Ici, la méthode "sur les doigts" ne fonctionne pas. Nous devrons écrire des formules et résoudre des équations.
Réponses (dans un désordre):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Est-ce que ça a marché? C'est sympa!)
Ça ne marche pas? Ça arrive. À propos, dans la dernière quête, il y a un point subtil. Une lecture attentive de la tâche sera nécessaire. Et la logique.
La solution à tous ces problèmes est examinée en détail à la section 555. Les éléments fantasmatiques du quatrième et subtil moment du sixième et les approches générales permettant de résoudre toutes sortes de problèmes avec la formule du nième terme sont tous décrits. Je le recommande
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Au fait, j'ai quelques sites plus intéressants pour vous.)
Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et connaître votre niveau. Test avec vérification instantanée. Apprendre - avec intérêt!)
Vous pouvez vous familiariser avec les fonctions et les dérivés.
Oui, oui: la progression arithmétique n’est pas un jouet pour vous :) Eh bien, mes amis, si vous lisez ce texte, la preuve interne me dit que vous ne savez toujours pas ce qu'est la progression arithmétique, mais vous avez vraiment (non, comme ça: Oooooo!) Vous voulez savoir. Par conséquent, je ne vais pas vous tourmenter avec de longues introductions et me mettre immédiatement au travail.
Tout d’abord, quelques exemples. Considérons plusieurs ensembles de nombres:
- 1; 2; 3; 4; ...
- 15; 20; 25; 30; ...
- $ \\ sqrt (2); \\ 2 \\ sqrt (2); \\ 3 \\ sqrt (2); ... $
Qu'est-ce que tous ces ensembles ont en commun? À première vue, rien. Mais en réalité, il y a quelque chose. À savoir: chaque élément suivant diffère du précédent par le même nombre.
Jugez par vous-même. Le premier ensemble est simplement composé de numéros consécutifs, chacun suivant plus que le précédent. Dans le second cas, la différence entre les nombres adjacents est déjà de cinq, mais cette différence est toujours constante. Dans le troisième cas, les racines sont généralement. Toutefois, $ 2 \\ sqrt (2) \u003d \\ sqrt (2) + \\ sqrt (2) $ et 3 $ \\ sqrt (2) \u003d 2 \\ sqrt (2) + \\ sqrt (2) $, c.-à-d. et dans ce cas, chaque élément suivant augmente simplement de $ \\ sqrt (2) $ (et n’ayez pas peur que ce nombre soit irrationnel).
Donc: toutes ces séquences sont appelées progressions arithmétiques. Nous donnons une définition stricte:
La définition Une séquence de nombres dans laquelle chaque séquence suivante diffère de la précédente par exactement la même quantité est appelée progression arithmétique. La valeur elle-même, par laquelle les chiffres diffèrent, est appelée la différence de progression et est le plus souvent indiquée par la lettre $ d $.
Désignation: $ \\ left (((a) _ (n)) \\ right) $ - la progression elle-même, $ d $ - sa différence.
Et tout de suite quelques points importants. Tout d'abord, la progression est considérée uniquement commandé séquence de nombres: ils sont autorisés à lire strictement dans l'ordre dans lequel ils sont écrits - et rien d'autre. Vous ne pouvez pas réorganiser et échanger des numéros.
Deuxièmement, la séquence elle-même peut être finie ou infinie. Par exemple, l'ensemble (1; 2; 3) est évidemment une progression arithmétique finie. Mais si vous écrivez quelque chose dans l'esprit (1; 2; 3; 4; ...), c'est déjà une progression sans fin. Les points de suspension après les quatre, en quelque sorte, suggèrent que beaucoup de chiffres continuent. Infiniment nombreux, par exemple. :)
Je voudrais aussi noter que les progressions sont en augmentation et en diminution. Nous avons déjà vu augmenter ceux - le même ensemble (1; 2; 3; 4; ...). Voici quelques exemples de progressions décroissantes:
- 49; 41; 33; 25; 17; ...
- 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
- $ \\ sqrt (5); \\ \\ sqrt (5) -1; \\ \\ sqrt (5) -2; \\ \\ sqrt (5) -3; ... $
D'accord, d'accord: le dernier exemple peut sembler excessivement compliqué. Mais le reste, je pense, vous est clair. Par conséquent, nous introduisons de nouvelles définitions:
La définition La progression arithmétique est appelée:
- augmentant si chaque élément suivant est plus grand que le précédent;
- décroissant si, au contraire, chaque élément suivant est plus petit que le précédent.
En outre, il existe des séquences dites "stationnaires" - elles se composent du même nombre répétitif. Par exemple, (3; 3; 3; ...).
Une seule question reste à résoudre: comment distinguer une progression croissante d'une progression décroissante? Heureusement, tout dépend du signe du nombre $ d $, c.-à-d. différences de progression:
- Si $ d \\ gt 0 $, la progression augmente;
- Si $ d \\ lt 0 $, la progression diminue évidemment;
- Enfin, il y a le cas $ d \u003d 0 $ - dans ce cas, toute la progression est réduite à une séquence stationnaire de nombres identiques: (1; 1; 1; 1; 1) ... etc.
Essayons de calculer la différence $ d $ pour les trois progressions décroissantes données ci-dessus. Pour ce faire, il suffit de prendre deux éléments voisins (par exemple, le premier et le deuxième) et de soustraire du nombre à droite le nombre à gauche. Cela ressemblera à ceci:
- 41−49=−8;
- 12−17,5=−5,5;
- $ \\ sqrt (5) -1- \\ sqrt (5) \u003d - 1 $.
Comme vous pouvez le constater, dans les trois cas, la différence s’est avérée négative. Et maintenant que nous avons plus ou moins trié les définitions, il est temps de comprendre comment les progressions sont décrites et quelles sont leurs propriétés.
Membres de la formule de progression et de récurrence
Comme les éléments de nos séquences ne peuvent pas être interchangés, ils peuvent être numérotés:
\\ [\\ left (((a) _ (n)) \\ right) \u003d \\ left \\ (((a) _ (1)), \\ ((a) _ (2)), ((a) _ (3 )), ... \\ right \\) \\]
Les éléments individuels de cet ensemble sont appelés membres de progression. Ils y sont indiqués à l'aide d'un numéro: le premier membre, le deuxième membre, etc.
De plus, comme on le sait déjà, les membres voisins de la progression sont liés par la formule:
\\ [((a) _ (n)) - ((a) _ (n-1)) \u003d d \\ Rightarrow ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (n-1)) + d \\]
En bref, pour trouver le $ n $-ème terme d'une progression, vous devez connaître le $ n-1 $-ème terme et la différence $ d $. Une telle formule est appelée récurrente, car avec son aide, vous pouvez trouver n’importe quel nombre, ne connaissant que le précédent (et en fait, tous les précédents). Ceci est très gênant, il existe donc une formule plus délicate qui réduit tout calcul au premier terme et à la différence:
\\ [(((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ left (n-1 \\ right) d \\]
Vous avez sûrement déjà rencontré cette formule. Ils aiment le donner dans toutes sortes d'ouvrages de référence et de résolveurs. Et dans n'importe quel manuel de mathématiques sensé, elle fait partie des premiers.
Néanmoins, je suggère un peu de pratique.
Numéro de tâche 1. Notez les trois premiers membres de la progression arithmétique $ \\ left (((a) _ (n)) \\ right) $ if $ ((a) _ (1)) \u003d 8, d \u003d -5 $.
Solution Nous connaissons donc le premier terme $ ((a) _ (1)) \u003d 8 $ et la différence de progression $ d \u003d -5 $. Nous utilisons la formule que nous venons de donner et substituons $ n \u003d 1 $, $ n \u003d 2 $ et $ n \u003d 3 $:
\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ left (n-1 \\ right) d; \\\\ & (a) _ (1)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ left (1-1 \\ right) d \u003d ((a) _ (1)) \u003d 8; \\\\ & (a) _ (2)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ left (2-1 \\ right) d \u003d ((a) _ (1)) + d \u003d 8-5 \u003d 3; \\\\ & (a) _ (3)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ left (3-1 \\ right) d \u003d ((a) _ (1)) + 2d \u003d 8-10 \u003d -2. \\\\ \\ end (aligner) \\]
Réponse: (8; 3; -2)
C'est tout! S'il vous plaît noter: notre progression est en baisse.
Bien sûr, $ n \u003d 1 $ ne peut pas être remplacé - le premier terme nous est déjà connu. Cependant, en remplaçant l'unité, nous nous sommes assurés que même pour le premier terme, notre formule fonctionne. Dans d'autres cas, l'arithmétique était banale.
Numéro de tâche 2. Ecrivez les trois premiers termes de la progression arithmétique si son septième terme est égal à -40 et son dix-septième est égal à -50.
Solution Nous écrivons la condition du problème en termes familiers:
\\ [(((a) _ (7)) \u003d - 40; \\ quad ((a) _ (17)) \u003d - 50. \\]
\\ [\\ left \\ (\\ begin (align) & ((a) _ (7)) \u003d ((a) _ (1)) + 6d \\\\ & ((a) _ (17)) \u003d ((a) _ (1)) + 16d \\\\ \\ end (aligner) \\ droite. \\]
\\ [\\ left \\ (\\ begin (aligner) & ((a) _ (1)) + 6d \u003d -40 \\\\ & ((a) _ (1)) + 16d \u003d -50 \\\\ \\ end (aligner) \\ right. \\]
Je mets le signe du système car ces exigences doivent être satisfaites simultanément. Et maintenant, nous remarquons que si nous soustrayons la première de la seconde équation (nous avons le droit de le faire, car nous avons un système), nous obtenons ceci:
\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (1)) + 16d- \\ left (((a) _ (1)) + 6d \\ right) \u003d - 50- \\ left (-40 \\ right); \\\\ & (a) _ (1)) + 16d - ((a) _ (1)) - 6d \u003d -50 + 40; \\\\ & 10d \u003d -10; \\\\ & d \u003d -1. \\\\ \\ end (aligner) \\]
Juste comme ça, nous avons trouvé la différence de progression! Il reste à substituer le nombre trouvé dans n’importe laquelle des équations du système. Par exemple, dans le premier:
\\ [\\ begin (matrix) ((a) _ (1)) + 6d \u003d -40; \\ quad d \u003d -1 \\\\ \\ Downarrow \\\\ ((a) _ (1)) - 6 \u003d -40; \\\\ ((a) _ (1)) \u003d - 40 + 6 \u003d -34. \\\\ \\ end (matrice) \\]
Maintenant, connaissant le premier terme et la différence, il reste à trouver les deuxième et troisième termes:
\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (2)) \u003d ((a) _ (1)) + d \u003d -34-1 \u003d -35; \\\\ & (a) _ (3)) \u003d ((a) _ (1)) + 2d \u003d -34-2 \u003d -36. \\\\ \\ end (aligner) \\]
Fait! Le problème est résolu.
Réponse: (−34; −35; −36)
Faites attention à la curieuse propriété de la progression que nous avons trouvée: si nous prenons les termes $ n $ th et $ m $ th et les soustrayons l’un de l’autre, nous obtenons la différence entre la progression et le nombre $ n-m $:
\\ [(((a) _ (n)) - ((a) _ (m)) \u003d d \\ cdot \\ left (n-m \\ right) \\]
Une propriété simple mais très utile que vous devez absolument connaître - avec son aide, vous pouvez accélérer considérablement la résolution de nombreux problèmes de progressions. Voici un exemple frappant de ceci:
Numéro de tâche 3. Le cinquième membre de la progression arithmétique est 8,4 et son dixième membre est 14,4. Trouvez le quinzième membre de cette progression.
Solution Puisque $ (a) _ (5)) \u003d 8,4 $, $ ((a) _ (10)) \u003d 14,4 $ et que vous devez trouver $ ((a) _ (15)) $, notons les suivantes:
\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (15)) - ((a) _ (10)) \u003d 5d; \\\\ & (a) _ (10)) - ((a) _ (5)) \u003d 5d. \\\\ \\ end (aligner) \\]
Mais par la condition $ ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) \u003d 14.4-8.4 \u003d 6 $, donc $ 5d \u003d 6 $, d’où on obtient:
\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (15)) - 14,4 \u003d 6; \\\\ & (a) _ (15)) \u003d 6 + 14,4 \u003d 20,4. \\\\ \\ end (aligner) \\]
Réponse: 20.4
C'est tout! Nous n'avions pas besoin de créer des systèmes d'équations et de compter le premier terme et la différence - tout était décidé littéralement en quelques lignes.
Examinons maintenant un autre type de tâche: rechercher des membres négatifs et positifs d’une progression. Ce n’est un secret pour personne que si la progression augmente, si le premier terme est négatif, les termes positifs y apparaîtront tôt ou tard. Et inversement: les membres d’une progression décroissante deviendront tôt ou tard négatifs.
De plus, il est loin d'être toujours possible de tâtonner ce moment «sur le front» en triant séquentiellement les éléments. Souvent, les tâches sont structurées de manière à ce que, sans connaissance des formules, les calculs prennent plusieurs feuilles - nous nous endormions jusqu'à ce que nous trouvions la réponse. Nous allons donc essayer de résoudre ces problèmes plus rapidement.
Numéro de tâche 4. Combien de termes négatifs dans la progression arithmétique sont -38.5; -35,8; ...?
Solution Donc, $ ((a) _ (1)) \u003d - 38,5 $, $ ((a) _ (2)) \u003d - 35,8 $, d’où on trouve immédiatement la différence:
Notez que la différence est positive et que la progression augmente. Le premier terme est négatif, nous allons donc rencontrer des chiffres positifs à un moment donné. La seule question est de savoir quand cela se produira.
Essayons de savoir: combien de temps reste-t-il la négativité des termes (c'est-à-dire, à quel nombre naturel $ n $):
\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (n)) \\ lt 0 \\ Rightarrow ((a) _ (1)) + \\ left (n-1 \\ right) d \\ lt 0; \\\\ & -38.5+ \\ left (n-1 \\ right) \\ cdot 2.7 \\ lt 0; \\ quad \\ left | \\ cdot 10 \\ right. \\\\ & -385 + 27 \\ cdot \\ left (n-1 \\ right) \\ lt 0; \\\\ & -385 + 27n-27 \\ lt 0; \\\\ & 27n \\ lt 412; \\\\ & n \\ lt 15 \\ frac (7) (27) \\ Rightarrow ((n) _ (\\ max)) \u003d 15. \\\\ \\ end (aligner) \\]
La dernière ligne nécessite une clarification. Nous savons donc que $ n \\ lt 15 \\ frac (7) (27) $. D'autre part, nous ne sommes satisfaits que des valeurs entières du nombre (en outre: $ n \\ in \\ mathbb (N) $), donc le plus grand nombre autorisé est exactement $ n \u003d 15 $, et nullement 16.
Numéro de tâche 5. Dans la progression arithmétique, $ (() _ (5)) \u003d - 150, (() _ (6)) \u003d - 147 $. Trouvez le numéro du premier membre positif de cette progression.
Ce serait exactement la même tâche que la précédente, cependant, nous ne savons pas $ ((a) _ (1)) $. Mais les termes voisins sont connus: $ ((a) _ (5)) $ et $ ((a) _ (6)) $, afin que nous puissions facilement trouver la différence de progression:
De plus, nous essaierons d’exprimer le cinquième terme en termes de premier et de différence par la formule standard:
\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ left (n-1 \\ right) \\ cdot d; \\\\ & (a) _ (5)) \u003d ((a) _ (1)) + 4d; \\\\ & -150 \u003d ((a) _ (1)) + 4 \\ cdot 3; \\\\ & (a) _ (1)) \u003d - 150-12 \u003d -162. \\\\ \\ end (aligner) \\]
Nous procédons maintenant par analogie avec la tâche précédente. Nous découvrons à quel moment de notre séquence il y aura des nombres positifs:
\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (n)) \u003d - 162+ \\ left (n-1 \\ right) \\ cdot 3 \\ gt 0; \\\\ & -162 + 3n-3 \\ gt 0; \\\\ & 3n \\ gt 165; \\\\ & n \\ gt 55 \\ Rightarrow ((n) _ (\\ min)) \u003d 56. \\\\ \\ end (aligner) \\]
La solution entière minimale à cette inégalité est le nombre 56.
Remarque: dans la dernière tâche, tout se résumait à une inégalité stricte, donc l'option $ n \u003d 55 $ ne nous convient pas.
Maintenant que nous avons appris à résoudre des problèmes simples, passons aux plus complexes. Mais d'abord, étudions une autre propriété très utile des progressions arithmétiques, qui à l'avenir nous fera gagner beaucoup de temps et de cellules inégales. :)
Moyenne arithmétique et égaux
Considérons plusieurs termes consécutifs de progression arithmétique croissante $ \\ left (((a) _ (n)) \\ right) $. Essayons de les marquer sur la droite numérique:
Membres d'une progression arithmétique sur une droite numériqueJ'ai spécifiquement noté les membres arbitraires de $ ((a) _ (n-3)), ..., ((a) _ (n + 3)) $, et non de quelques dollars ((a) _ (1)). , \\ ((a) _ (2)), \\ ((a) _ (3)) $, etc. Parce que la règle, dont je parlerai maintenant, fonctionne également pour tous les «segments».
Et la règle est très simple. Rappelons la formule de récurrence et écrivons-la pour tous les membres marqués:
\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (n-2)) \u003d ((a) _ (n-3)) + d; \\\\ & (a) _ (n-1)) \u003d ((a) _ (n-2)) + d; \\\\ & (a) _ (n)) \u003d ((a) _ (n-1)) + d; \\\\ & (a) _ (n + 1)) \u003d ((a) _ (n)) + d; \\\\ & (a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (n + 1)) + d; \\\\ \\ end (aligner) \\]
Cependant, ces égalités peuvent être réécrites différemment:
\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (n-1)) \u003d ((a) _ (n)) - d; \\\\ & (a) _ (n-2)) \u003d ((a) _ (n)) - 2d; \\\\ & (a) _ (n-3)) \u003d ((a) _ (n)) - 3d; \\\\ & (a) _ (n + 1)) \u003d ((a) _ (n)) + d; \\\\ & (a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (n)) + 2d; \\\\ & (a) _ (n + 3)) \u003d ((a) _ (n)) + 3d; \\\\ \\ end (aligner) \\]
Alors quoi? Et le fait que les termes $ ((a) _ (n-1)) $ et $ ((a) _ (n + 1)) $ se trouvent à la même distance de $ ((a) _ (n)) $. Et cette distance est de $ d $. On peut en dire autant des termes $ ((a) _ (n-2)) $ et $ ((a) _ (n + 2)) $ - ils sont également supprimés de $ ((a) _ (n)) $ la même distance égale à $ 2d $. Vous pouvez continuer à l'infini, mais la photo illustre bien le sens
Les membres de la progression sont à la même distance du centre Qu'est-ce que cela signifie pour nous? Cela signifie que vous pouvez trouver $ ((a) _ (n)) $ si les numéros voisins sont connus:
\\ [(((a) _ (n)) \u003d \\ frac (((a) _ (n-1)) + ((a) _ (n + 1))) (2) \\]
Nous en avons déduit une déclaration magnifique: chaque membre d’une progression arithmétique est égal à la moyenne arithmétique des membres voisins! De plus: nous pouvons nous retirer de notre $ ((a) _ (n)) $ vers la gauche et vers la droite, non pas d’un pas, mais de $ k $ pas - et la formule restera vraie:
\\ [(((a) _ (n)) \u003d \\ frac (((a) _ (n-k)) + ((a) _ (n + k))) (2) \\]
I.e. on peut facilement trouver quelques $ ((a) _ (150)) $ si on sait $ ((a) _ (100)) $ et $ ((a) _ (200)) $, parce que $ (( a) _ (150)) \u003d \\ frac (((a) _ (100)) + ((a) _ (200))) (2) $. À première vue, il peut sembler que ce fait ne nous donne rien d’utile. Cependant, dans la pratique, de nombreuses tâches sont spécialement «affinées» pour utiliser la moyenne arithmétique. Jetez un coup d'oeil:
Numéro de tâche 6. Trouver toutes les valeurs de $ x $ pour lesquelles les nombres $ -6 ((x) ^ (2)) $, $ x + 1 $ et 14 $ + 4 ((x) ^ (2)) $ sont des membres consécutifs de la progression arithmétique (dans ordre spécifié).
Solution Puisque ces nombres sont des membres d'une progression, la condition de moyenne arithmétique est satisfaite pour eux: l'élément central $ x + 1 $ peut être exprimé en termes d'éléments voisins:
\\ [\\ begin (align) & x + 1 \u003d \\ frac (-6 ((x) ^ (2)) + 14 + 4 ((x) ^ (2))) (2); \\\\ & x + 1 \u003d \\ frac (14-2 ((x) ^ (2))) (2); \\\\ & x + 1 \u003d 7 - ((x) ^ (2)); \\\\ & ((x) ^ (2)) + x-6 \u003d 0. \\\\ \\ end (aligner) \\]
Le résultat était une équation quadratique classique. Ses racines: $ x \u003d 2 $ et $ x \u003d -3 $ - ce sont les réponses.
Réponse: -3; 2
Numéro de tâche 7. Trouvez les valeurs de $$ auxquelles les nombres $ -1; 4-3; (() ^ (2)) + 1 $ constituent une progression arithmétique (dans cet ordre).
Solution Encore une fois, nous exprimons le moyen terme par la moyenne arithmétique des membres voisins:
\\ [\\ begin (align) & 4x-3 \u003d \\ frac (x-1 + ((x) ^ (2)) + 1) (2); \\\\ & 4x-3 \u003d \\ frac (((x) ^ (2)) + x) (2); \\ quad \\ left | \\ cdot 2 \\ right. \\\\ & 8x-6 \u003d ((x) ^ (2)) + x; \\\\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 6 \u003d 0. \\\\ \\ end (aligner) \\]
Encore une fois l'équation quadratique. Et encore une fois, deux racines: $ x \u003d 6 $ et $ x \u003d 1 $.
Réponse: 1; 6
Si, en cours de résolution du problème, vous obtenez des chiffres brutaux ou si vous n'êtes pas tout à fait sûr de l'exactitude des réponses trouvées, vous disposez d'un truc merveilleux pour vérifier si nous avons résolu le problème correctement?
Supposons que dans le problème n ° 6, nous obtenions les réponses −3 et 2. Comment puis-je vérifier que ces réponses sont correctes? Substituons-les dans la condition initiale et voyons ce qui se passe. Permettez-moi de vous rappeler que nous avons trois nombres ($ -6 (() ^ (2)) $, $ + 1 $ et 14 $ + 4 (() ^ (2)) $), ce qui devrait être une progression arithmétique. Substitute $ x \u003d -3 $:
\\ [\\ begin (align) & x \u003d -3 \\ Rightarrow \\\\ & -6 ((x) ^ (2)) \u003d - 54; \\\\ & x + 1 \u003d -2; \\\\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) \u003d 50. \\ end (aligner) \\]
Vous avez les nombres -54; -2; 50, qui diffère de 52, est sans aucun doute une progression arithmétique. La même chose se passe avec $ x \u003d 2 $:
\\ [\\ begin (align) & x \u003d 2 \\ Rightarrow \\\\ & -6 ((x) ^ (2)) \u003d - 24; \\\\ & x + 1 \u003d 3; \\\\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) \u003d 30. \\ end (aligner) \\]
Encore une fois, la progression, mais avec une différence de 27. Ainsi, le problème est résolu correctement. Ceux qui le souhaitent peuvent vérifier eux-mêmes la deuxième tâche, mais je dois dire tout de suite: tout est également là.
En général, en résolvant les dernières tâches, nous avons découvert un autre fait intéressant, qui doit également être rappelé:
Si trois nombres sont tels que le second est la moyenne arithmétique du premier et du dernier, alors ces nombres forment une progression arithmétique.
En comprenant cette affirmation à l’avenir, nous pourrons littéralement «construire» les avancées nécessaires en fonction de l’état du problème. Mais avant de faire ce genre de «construction», nous devrions prêter attention à un autre fait, qui découle directement de ce qui a déjà été considéré.
Regroupement et somme d'éléments
Revenons à l’axe numérique. Nous y notons plusieurs membres de la progression, entre lesquels, peut-être. il y a beaucoup d'autres membres:
6 éléments sont marqués sur la droite numériqueEssayons d’exprimer la «queue gauche» en termes de $ ((a) _ (n)) $ et $ d $, et la «queue droite» en termes de $ ((a) _ (k)) $ et $ d $. C'est très simple:
\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (n + 1)) \u003d ((a) _ (n)) + d; \\\\ & (a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (n)) + 2d; \\\\ & (a) _ (k-1)) \u003d ((a) _ (k)) - d; \\\\ & (a) _ (k-2)) \u003d ((a) _ (k)) - 2d. \\\\ \\ end (aligner) \\]
Notez maintenant que les montants suivants sont égaux:
\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (n)) + ((a) _ (k)) \u003d S; \\\\ & (a) _ (n + 1)) + ((a) _ (k-1)) \u003d ((a) _ (n)) + d + ((a) _ (k)) - d \u003d S; \\\\ & (a) _ (n + 2)) + ((a) _ (k-2)) \u003d ((a) _ (n)) + 2d + ((a) _ (k)) - 2d \u003d S. \\ end (aligner) \\]
En termes simples, si nous prenons comme point de départ deux éléments de la progression, qui au total sont égaux à un nombre $ S $, et que nous commençons ensuite à nous éloigner de ces éléments dans des directions opposées (l'un vers l'autre ou inversement pour le retrait), alors la somme des éléments sur lesquels nous tomberons sera également égale $ S $. Ceci peut être représenté graphiquement de la manière la plus graphique possible:
Indentation égale donne des quantités égales La compréhension de ce fait nous permettra de résoudre des problèmes d’un niveau de complexité fondamentalement supérieur à ceux que nous avons envisagés plus haut. Par exemple, tels que:
Numéro de tâche 8. Déterminez la différence de progression arithmétique dans laquelle le premier terme est 66 et le produit des deuxième et douzième termes est le plus petit possible.
Solution Nous allons écrire tout ce que nous savons:
\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (1)) \u003d 66; \\\\ & d \u003d? \\\\ & (a) _ (2)) \\ cdot ((a) _ (12)) \u003d \\ min. \\ end (aligner) \\]
Nous ne connaissons donc pas la différence dans la progression de $ d $. En fait, toute la solution sera construite autour de la différence, puisque le produit $ ((a) _ (2)) \\ cdot ((a) _ (12)) $ peut être réécrit comme suit:
\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (2)) \u003d ((a) _ (1)) + d \u003d 66 + d; \\\\ & (a) _ (12)) \u003d ((a) _ (1)) + 11d \u003d 66 + 11d; \\\\ & (a) _ (2)) \\ cdot ((a) _ (12)) \u003d \\ left (66 + d \\ right) \\ cdot \\ left (66 + 11d \\ right) \u003d \\\\ & \u003d 11 \\ cdot \\ left (d + 66 \\ right) \\ cdot \\ left (d + 6 \\ right). \\ end (aligner) \\]
Pour ceux qui sont dans le réservoir: j'ai pris le facteur commun 11 de la deuxième tranche. Ainsi, le produit souhaité est une fonction quadratique par rapport à la variable $ d $. Par conséquent, nous considérons la fonction $ f \\ left (d \\ right) \u003d 11 \\ left (d + 66 \\ right) \\ left (d + 6 \\ right) $ - son graphique sera une parabole avec des branches vers le haut, car si vous ouvrez les crochets, alors nous obtenons:
\\ [\\ begin (aligner) & f \\ left (d \\ right) \u003d 11 \\ left ((d) ^ (2)) + 66d + 6d + 66 \\ cdot 6 \\ right) \u003d \\\\ & \u003d 11 (( d) ^ (2)) + 11 \\ cdot 72d + 11 \\ cdot 66 \\ cdot 6 \\ end (aligner \\]
Comme vous pouvez le constater, le coefficient avec le terme le plus élevé est 11 - il s'agit d'un nombre positif, nous avons donc affaire à une parabole avec des branches en haut:
graphique de la fonction quadratique - parabole
Remarque: cette parabole prend sa valeur minimale à son sommet avec l’abscisse $ ((d) _ (0)) $. Bien sûr, nous pouvons calculer cette abscisse selon le schéma standard (il existe la formule $ ((d) _ (0)) \u003d (- b) / (2a) \\; $), mais il serait plus raisonnable de remarquer que le sommet souhaité se situe sur l'axe symétrie de la parabole, le point $ ((d) _ (0)) $ est donc à égale distance des racines de l’équation $ f \\ left (d \\ right) \u003d 0 $:
\\ [\\ begin (align) & f \\ left (d \\ right) \u003d 0; \\\\ & 11 \\ cdot \\ left (d + 66 \\ right) \\ cdot \\ left (d + 6 \\ right) \u003d 0; \\\\ & (d) _ (1)) \u003d - 66; \\ quad ((d) _ (2)) \u003d - 6. \\\\ \\ end (aligner) \\]
C'est pourquoi je n'étais pas pressé d'ouvrir les crochets: dans la forme originale, les racines étaient très, très simples à trouver. Par conséquent, l’abscisse est égale à la moyenne arithmétique des nombres -66 et -6:
\\ [(((d) _ (0)) \u003d \\ frac (-66-6) (2) \u003d - 36 \\]
Qu'est-ce qui nous donne le numéro détecté? Avec lui, le produit requis prend la plus petite valeur (en passant, nous ne comptions toujours pas $ ((y) _ (\\ min)) $ - cela n'est pas obligatoire de notre part). Dans le même temps, ce nombre est la différence de la progression initiale, c'est-à-dire nous avons trouvé la réponse :)
Réponse: −36
Numéro de tâche 9. Entre les nombres $ - \\ frac (1) (2) $ et $ - \\ frac (1) (6) $, insérez trois nombres pour qu'ils forment, avec les nombres donnés, une progression arithmétique.
Solution En fait, nous devons faire une séquence de cinq nombres, et le premier et le dernier numéro sont déjà connus. Indiquez les nombres manquants par les variables $ x $, $ y $ et $ z $:
\\ [\\ left ((a) _ (n)) \\ right) \u003d \\ left \\ (- \\ frac (1) (2); x; y; z; - \\ frac (1) (6) \\ right \\ Notez que le nombre $ y $ est le "milieu" de notre séquence - il est équidistant des nombres $ x $ et $ z $ et des nombres $ - \\ frac (1) (2) $ et $ - \\ frac (1) ( 6) $. Et si nous ne pouvons pas obtenir $ y $ à partir des nombres $ x $ et $ z $, la situation avec les extrémités de la progression est différente. Nous rappelons la moyenne arithmétique:
Maintenant, connaissant $ y $, nous allons trouver les nombres restants. Notez que $ x $ se situe entre les nombres $ - \\ frac (1) (2) $ et le $ trouvé \u003d - \\ frac (1) (3) $. Donc
Raisonnant de la même manière, on trouve le nombre restant:
Fait! Nous avons trouvé les trois chiffres. Nous les écrivons dans la réponse dans l'ordre dans lequel ils doivent être insérés entre les nombres d'origine.
Réponse: $ - \\ frac (5) (12); \\ - \\ frac (1) (3); \\ - \\ frac (1) (4) $
Numéro de tâche 10. Entre les nombres 2 et 42, insérez plusieurs nombres qui, ensemble avec les nombres donnés, forment une progression arithmétique, s’il est connu que la somme des premier, deuxième et dernier des nombres insérés est 56.
Solution Un problème encore plus complexe, qui est toutefois résolu selon le même schéma que les précédents, par le biais de la moyenne arithmétique. Le problème est que nous ne savons pas combien de nombres spécifiques insérer. Par conséquent, pour des raisons de précision, nous supposons qu'après tout avoir inséré, il y aura exactement $ n $ nombres, le premier d'entre eux étant 2 et le dernier 42. Dans ce cas, la progression arithmétique souhaitée peut être représentée par:
\\ [\\ left (((a) _ (n)) \\ right) \u003d \\ left \\ (2; (a) _ (2)); ((a) _ (3)); ... (( a) _ (n-1)); 42 \\ right \\) \\]
\\ [(((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) \u003d 56 \\]
Notez, cependant, que les nombres $ ((a) _ (2)) $ et $ ((a) _ (n-1)) $ sont obtenus à partir des nombres 2 et 42 situés aux bords d'un pas l'un vers l'autre, c'est-à-dire . au centre de la séquence. Et cela signifie que
\\ [(((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) \u003d 2 + 42 \u003d 44 \\]
Mais alors l'expression écrite ci-dessus peut être réécrite comme suit:
{!LANG-ee02ab1773fe9bab632b0cdbd7bbec4c!}
\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) \u003d 56; \\\\ & \\ left (((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) \\ droite) + ((a) _ (3)) \u003d 56; \\\\ & 44 + ((a) _ (3)) \u003d 56; \\\\ & (a) _ (3)) \u003d 56-44 \u003d 12. \\\\ \\ end (aligner) \\]
Connaissant $ ((a) _ (3)) $ et $ ((a) _ (1)) $, on peut facilement trouver la différence de progression:
\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) \u003d 12-2 \u003d 10; \\\\ & (a) _ (3)) - ((a) _ (1)) \u003d \\ left (3-1 \\ right) \\ cdot d \u003d 2d; \\\\ & 2d \u003d 10 \\ Rightarrow d \u003d 5. \\\\ \\ end (aligner) \\]
Il ne reste plus qu'à trouver les membres restants:
\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (1)) \u003d 2; \\\\ & (a) _ (2)) \u003d 2 + 5 \u003d 7; \\\\ & (a) _ (3)) \u003d 12; \\\\ & (a) _ (4)) \u003d 2 + 3 \\ cdot 5 \u003d 17; \\\\ & (a) _ (5)) \u003d 2 + 4 \\ cdot 5 \u003d 22; \\\\ & (a) _ (6)) \u003d 2 + 5 \\ cdot 5 \u003d 27; \\\\ & (a) _ (7)) \u003d 2 + 6 \\ cdot 5 \u003d 32; \\\\ & (a) _ (8)) \u003d 2 + 7 \\ cdot 5 \u003d 37; \\\\ & (a) _ (9)) \u003d 2 + 8 \\ cdot 5 \u003d 42; \\\\ \\ end (aligner) \\]
Ainsi, dès la 9ème étape, nous arriverons à l'extrémité gauche de la séquence - le nombre 42. Au total, seuls 7 nombres ont dû être insérés: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37
Réponse: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37
Tâches de texte avec des progressions
En conclusion, je voudrais aborder quelques tâches relativement simples. Bien simples: pour la plupart des étudiants qui étudient les mathématiques à l’école et qui n’ont pas lu ce qui est écrit ci-dessus, ces tâches peuvent sembler être un geste. Néanmoins, ce sont précisément ces problèmes qui relèvent de l'examen et de l'examen en mathématiques, je vous recommande donc de vous familiariser avec eux.
Numéro de tâche 11. La brigade a fabriqué 62 pièces en janvier et 14 mois de plus que le précédent. Combien de pièces la brigade a-t-elle réalisées en novembre?
Solution De toute évidence, le nombre de pièces programmées par mois sera une progression arithmétique croissante. De plus:
\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (1)) \u003d 62; \\ quad d \u003d 14; \\\\ & ((a) _ (n)) \u003d 62+ \\ left (n-1 \\ right) \\ cdot 14. \\\\ \\ end (aligner \\]
Novembre est le 11ème mois de l'année, nous devons donc trouver $ ((a) _ (11)) $:
\\ [((a) _ (11)) \u003d 62 + 10 \\ cdot 14 \u003d 202 \\]
Par conséquent, en novembre, 202 pièces seront fabriquées.
Numéro de tâche 12. L'atelier de reliure a lié 216 livres en janvier et, le mois suivant, elle en a relié 4 de plus que le précédent. Combien de livres l'atelier a-t-il reliés en décembre?
Solution Tous les mêmes:
$ \\ begin (align) & ((a) _ (1)) \u003d 216; \\ quad d \u003d 4; \\\\ & ((a) _ (n)) \u003d 216+ \\ left (n-1 \\ right) \\ cdot 4. \\\\ \\ end (aligner) $
Décembre étant le dernier mois de l’année, nous recherchons donc $ ((a) _ (12)) $:
\\ [((a) _ (12)) \u003d 216 + 11 \\ cdot 4 \u003d 260 \\
C'est la réponse - 260 livres seront reliés en décembre.
Eh bien, si vous lisez jusqu'ici, je m'empresse de vous féliciter: vous avez réussi le «cours de jeune combattant» dans les progressions arithmétiques. Vous pouvez passer en toute sécurité à la leçon suivante, où nous étudierons la formule de la somme de la progression, ainsi que ses conséquences importantes et très utiles.
Somme de la progression arithmétique.
La somme de la progression arithmétique est simple. À la fois dans le sens et dans la formule. Mais il y a toutes sortes de tâches sur ce sujet. De élémentaire à assez solide.
D'abord, essayons de déterminer le sens et la formule de la somme. Et ensuite nous décidons. Pour le plaisir.) Le sens de la somme est simple, comme le fait de déprécier. Pour trouver la somme de la progression arithmétique, il vous suffit d’ajouter soigneusement tous ses membres. Si ces termes sont peu nombreux, vous pouvez ajouter sans aucune formule. Mais si beaucoup, ou beaucoup ... ajout est ennuyeux.) Dans ce cas, la formule enregistre.
La formule somme semble simple:
Nous comprendrons quel genre de lettres sont incluses dans la formule. Cela clarifiera beaucoup.
S n - la somme de la progression arithmétique. Résultat de l'addition de tous membres avec le premier par dernier. C'est important. Développer exactement tout membres d'affilée, sans passes ni sauts. Et justement, à partir de d'abord. Pour des tâches telles que la recherche de la somme des troisième et huitième membres, ou de la somme des cinquième au vingtième mandats, une application directe de la formule vous décevra.)
un 1 - le premier membre de la progression. Tout est clair ici, c'est juste le premier numéro de ligne.
un n - dernier membre de la progression. Le dernier numéro de la ligne. Nom pas très familier, mais, appliqué à la somme, il est très approprié. Ensuite, vous verrez par vous-même.
n - numéro du dernier membre. Il est important de comprendre que dans la formule ce nombre correspond au nombre de membres ajoutés.
Définissons le concept le dernier membre un n. Question de renvoi: quel membre sera le dernier si donné sans fin progression arithmétique?)
Pour une réponse assurée, vous devez comprendre la signification élémentaire de la progression arithmétique et ... lisez attentivement la tâche!)
Dans la tâche de trouver la somme d’une progression arithmétique, le dernier terme apparaît toujours (directement ou indirectement), qui devrait être limité. Sinon, le montant final, spécifique ça n'existe pas. Car la solution importe peu quelle progression est donnée: finie ou infinie. Peu importe la manière dont il est donné: par une série de nombres ou par la formule du nième terme.
Le plus important est de comprendre que la formule fonctionne du premier membre de la progression au membre avec un nombre n En fait, le nom complet de la formule ressemble à ceci: la somme de n premiers membres de la progression arithmétique. Le nombre de ces tout premiers membres, c’est-à-dire n, est déterminé uniquement par la tâche. Dans la mission, toutes ces informations précieuses sont souvent cryptées, oui ... Mais rien, dans les exemples ci-dessous, nous ne révélons ces secrets.)
Exemples de tâches dans la quantité de progression arithmétique.
Tout d’abord, des informations utiles:
La difficulté principale dans les tâches pour la somme de la progression arithmétique est la détermination correcte des éléments de la formule.
Les compilateurs de tâches chiffrent ces éléments avec une imagination illimitée.) L'essentiel ici est de ne pas avoir peur. Comprenant l'essence des éléments, il est assez simple de les déchiffrer. Laissez-nous examiner en détail quelques exemples. Commençons par une tâche basée sur un véritable GIA.
1. La progression arithmétique est donnée par la condition: a n \u003d 2n-3,5. Trouvez la somme des 10 premiers membres.
Bon travail Facile.) Pour déterminer le montant en fonction de la formule, que devons-nous savoir? Premier membre un 1dernier membre un noui dernier numéro de membre n
Où trouver le dernier numéro de membre n? Oui, dans le même état! Il dit: trouvez le montant 10 premiers membres. Eh bien, avec quel numéro le dernier le dixième membre?) Vous ne le croirez pas, son numéro est le dixième!) Donc, au lieu de un n nous allons substituer dans la formule un 10au lieu de n - le top dix. Je répète, le numéro du dernier membre coïncide avec le nombre de membres.
Il reste à déterminer un 1 et un 10. Ceci est facilement calculé par la formule du nième terme, qui est donnée dans l'état du problème. Vous ne savez pas comment faire cela? Visitez la leçon précédente, sans elle - pas moyen.
un 1\u003d 2 · 1 - 3,5 \u003d -1,5
un 10\u003d 2,10 - 3,5 \u003d 16,5
S n = S 10.
Nous avons découvert la signification de tous les éléments de la formule pour la somme de la progression arithmétique. Il reste à les substituer, mais à compter:
C’est tout. Réponse: 75.
Une autre tâche basée sur le GIA. Un peu plus compliqué:
2. Soit une progression arithmétique (a n) dont la différence est égale à 3,7; a 1 \u003d 2.3. Trouvez la somme des 15 premiers membres.
Écrivez immédiatement la formule somme:
Cette formule nous permet de trouver la valeur d’un membre par son numéro. Nous recherchons une substitution simple:
a 15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1
Il reste à substituer tous les éléments dans la formule de la somme de la progression arithmétique et à calculer la réponse:
Réponse: 423.
Par ailleurs, si dans la formule du montant à la place un n il suffit de substituer la formule du nième terme, on obtient:
Nous donnons des similaires, nous obtenons une nouvelle formule pour la somme des membres d'une progression arithmétique:
 |
Comme vous pouvez le constater, le nième terme n’est pas nécessaire ici un n. Dans certains problèmes, cette formule aide beaucoup, oui ... Vous pouvez vous en souvenir. Et vous pouvez simplement le retirer au bon moment, comme ici. Après tout, il faut se souvenir de la formule de la somme et de la formule du nième terme.)
Maintenant, la tâche se présente sous la forme d’un cryptage bref):
3. Trouvez la somme de tous les nombres positifs à deux chiffres qui sont des multiples de trois.
Quelle heure! Ni le premier membre, ni le dernier, ni la progression du tout ... Comment vivre!?
Vous devez penser avec votre tête et extraire de la condition tous les éléments de la somme de la progression arithmétique. Quels sont les nombres à deux chiffres - nous savons. Ils se composent de deux chiffres.) Quel numéro à deux chiffres sera premier? 10, vraisemblablement.) A le dernier nombre à deux chiffres? 99, bien sûr! Ceux à trois chiffres le suivront ...
Multiples de trois ... Euh ... Ce sont des nombres qui sont divisés en trois complètement, ici! Dix n'est pas divisé par trois, 11 n'est pas divisé ... 12 ... est divisé! Donc, quelque chose se profile. Il est déjà possible d'écrire une série en fonction de l'état du problème:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Cette série sera-t-elle une progression arithmétique? Bien sur! Chaque membre diffère strictement du précédent par trois. Si nous ajoutons 2 ou 4 au terme, disons, le résultat, c.-à-d. le nouveau nombre ne sera plus complètement divisé par 3. Avant le tas, vous pouvez déterminer immédiatement la différence de progression arithmétique: d \u003d 3. Utile!)
Donc, nous pouvons écrire en toute sécurité quelques paramètres de la progression:
Et quel sera le nombre n dernier membre? Toute personne qui pense que 99 se trompe fatalement ... Chiffres - ils vont toujours dans une rangée, et nos membres sautent sur les trois premiers. Ils ne correspondent pas.
Il y a deux solutions. Un moyen - pour le super travailleur. Vous pouvez peindre la progression, la série complète de nombres et compter le nombre de membres avec votre doigt.) La seconde façon est pour le réfléchi. Nous devons rappeler la formule du nième terme. Si nous appliquons la formule à notre problème, nous obtenons que 99 est le trentième terme de la progression. I.e. n \u003d 30.
Nous regardons la formule pour la somme de la progression arithmétique:
Nous regardons et nous réjouissons.) Nous avons retiré des conditions du problème tout le nécessaire pour calculer le montant:
un 1= 12.
un 30= 99.
S n = S 30.
Restes d'arithmétique élémentaire. Nous substituons les nombres dans la formule et considérons:
Réponse: 1665
Un autre type de casse-tête populaire:
4. Étant donné une progression arithmétique:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Trouve la somme des membres du vingtième au trente-quatrième.
Nous regardons la formule somme et ... nous sommes bouleversés.) La formule, je me souviens, considère le montant du premier membre. Et dans le problème, vous devez considérer le montant à partir du vingtième ... La formule ne fonctionnera pas.
Vous pouvez, bien sûr, peindre toute la progression de manière consécutive et ajouter des membres de 20 à 34 ans. Mais ... en quelque sorte, cela s'avère muet et long, non?)
Il existe une solution plus élégante. Nous allons diviser notre ligne en deux parties. La première partie sera du premier membre au dix-neuvième. Deuxième partie - du vingtième au trente-quatrième. Il est clair que si on calcule la somme des membres de la première partie S 1-19oui, additionnez à la somme des membres de la deuxième partie S 20-34, on obtient la somme de la progression du premier membre à la trente-quatrième S 1-34. Comme ceci:
S 1-19 + S 20-34 = S 1-34
Cela montre que trouver le montant S 20-34 peut être une simple soustraction
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19
Les deux montants du côté droit sont considérés du premier membre, c'est-à-dire la formule de somme standard leur est tout à fait applicable. Est-ce qu'on commence?
Nous obtenons les paramètres de progression à partir de la condition du problème:
d \u003d 1,5.
un 1= -21,5.
Pour calculer les sommes des 19 et 34 premiers membres, nous aurons besoin des 19e et 34e membres. Nous les considérons selon la formule du nième terme, comme dans le problème 2:
un 19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5
un 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28
Il n'y a plus rien. Sur le nombre de 34 membres, soustrayez le montant de 19 membres:
S 20-34 \u003d S 1-34 - S 1-19 \u003d 110,5 - (-152) \u003d 262,5
Réponse: 262.5
Un point important! Pour résoudre ce problème, il existe une fonctionnalité très utile. Au lieu d'un calcul direct ce dont vous avez besoin (S 20-34) nous avons compté ce qui semblerait être inutile - S 1-19. Et puis ils ont déterminé et S 20-34rejeter le résultat inutile du résultat complet. Une telle "feinte avec des oreilles" sauve souvent des tâches maléfiques.)
Dans cette leçon, nous avons examiné des problèmes pour la solution desquels il suffit de comprendre le sens de la somme de la progression arithmétique. Eh bien, vous devez connaître quelques formules.)
Conseil pratique:
Lorsque vous résolvez un problème quelconque pour la somme de la progression arithmétique, je vous recommande d'écrire immédiatement deux formules principales de ce sujet.
La formule du nième terme:
Ces formules vous diront immédiatement ce qu'il faut rechercher, dans quelle direction réfléchir pour résoudre le problème. Ça aide.
Et maintenant, les tâches pour une solution indépendante.
5. Trouvez la somme de tous les nombres à deux chiffres qui ne sont pas complètement divisibles par trois.
Cool?) La remarque est cachée dans la remarque du problème 4. La tâche 3 aidera.
6. La progression arithmétique est donnée par la condition: a 1 \u003d -5,5; a n + 1 \u003d a n +0,5. Trouvez la somme des 24 premiers membres.
Inhabituel?) Ceci est une formule récursive. Vous pouvez lire à ce sujet dans la leçon précédente. Ne pas ignorer le lien, de telles tâches dans le GIA sont souvent trouvées.
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Est-ce difficile?) La formule supplémentaire du problème 2 aidera.
Réponses (désordre): 7, 3240, 6.
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Vous pouvez vous familiariser avec les fonctions et les dérivés.
Quelqu'un se méfie du mot "progression", terme très complexe tiré des sections de mathématiques supérieures. Pendant ce temps, la progression arithmétique la plus simple est le travail d’un taximètre (où ils sont toujours restés). Et pour comprendre l'essence (et en mathématiques, rien n'est plus important que de "comprendre l'essence") d'une séquence arithmétique n'est pas si difficile, après avoir sélectionné quelques concepts élémentaires.
Séquence mathématique numérique
Par une séquence numérique, il est habituel de nommer toute série de nombres, chacun d'eux ayant son propre numéro.
et 1 est le premier membre de la séquence;
et 2 est le deuxième membre de la séquence;
et 7 est le septième membre de la séquence;
et n est le nième membre de la séquence;
Cependant, tous les nombres et nombres arbitraires ne nous intéressent pas. Nous nous concentrons sur une séquence numérique dans laquelle la valeur du nième terme est liée à son numéro de série par une dépendance qui peut être clairement formulée mathématiquement. En d'autres termes: la valeur numérique du nième nombre est une fonction de n.
a est la valeur d'un membre d'une séquence numérique;
n est son numéro de série;
f (n) est une fonction où le numéro de séquence dans la suite de nombres n est un argument.
La définition
La progression arithmétique est généralement appelée séquence numérique dans laquelle chaque terme suivant est plus grand (moins) que le précédent du même nombre. La formule du nième membre d'une séquence arithmétique est la suivante:
a n est la valeur du membre actuel de la progression arithmétique;
a n + 1 est la formule du nombre suivant;
d est la différence (un certain nombre).
Il est facile de déterminer que si la différence est positive (d\u003e 0), chaque membre suivant de la série en question sera plus grand que le précédent et une telle progression arithmétique augmentera.
Dans le graphique ci-dessous, il est facile de comprendre pourquoi la séquence numérique est appelée "croissante".
Dans les cas où la différence est négative (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
La valeur du membre spécifié
Parfois, il est nécessaire de déterminer la valeur d’un terme arbitraire et d’une progression arithmétique. Vous pouvez le faire en calculant successivement les valeurs de tous les membres de la progression arithmétique, du premier au désiré. Cependant, une telle voie n'est pas toujours acceptable si, par exemple, il est nécessaire de trouver la valeur d'un cinq millième ou huit millionième membre. Le calcul traditionnel prendra beaucoup de temps. Cependant, une progression arithmétique particulière peut être étudiée à l'aide de certaines formules. Il existe également une formule pour le nième terme: la valeur de tout membre d’une progression arithmétique peut être définie comme la somme du premier terme de la progression avec la différence de la progression multipliée par le nombre du terme recherché, réduit de un.
La formule est universelle pour la progression croissante et décroissante.
Exemple de calcul de la valeur d'un membre donné
Nous résolvons le problème suivant de trouver la valeur du nième terme d’une progression arithmétique.
Condition: il y a une progression arithmétique avec des paramètres:
Le premier membre de la séquence est 3;
La différence dans la série de chiffres est de 1,2.
Affectation: Il est nécessaire de trouver la valeur de 214 membres
Solution: pour déterminer la valeur d'un membre donné, nous utilisons la formule:
a (n) \u003d a1 + d (n-1)
En substituant les données des conditions du problème à l'expression, nous avons:
a (214) \u003d a1 + d (n-1)
a (214) \u003d 3 + 1,2 (214-1) \u003d 258,6
Réponse: Le 214ème membre de la séquence est 258.6.
Les avantages de cette méthode de calcul sont évidents: la solution complète ne prend pas plus de 2 lignes.
La somme du nombre spécifié de membres
Très souvent, dans une série arithmétique donnée, il est nécessaire de déterminer la somme des valeurs de certains de ses segments. Pour cela, il n’est pas non plus nécessaire de calculer les valeurs de chaque membre puis d’additionner. Cette méthode est applicable si le nombre de membres dont la somme doit être trouvée est faible. Dans d'autres cas, il est plus pratique d'utiliser la formule suivante.
La somme des membres de la progression arithmétique de 1 à n est égale à la somme des premier et nième membres, multipliée par le nombre du membre n et divisée en deux. Si dans la formule la valeur du nième terme est remplacée par l'expression du paragraphe précédent de l'article, on obtient:
Exemple de calcul
Par exemple, nous résolvons le problème avec les conditions suivantes:
Le premier membre de la séquence est zéro;
La différence est de 0,5.
Dans le problème, il est nécessaire de déterminer la somme des membres de la série du 56ème au 101ème.
Solution Nous utilisons la formule pour déterminer le montant de la progression:
s (n) \u003d (2 \u003ca1 + d \u003c(n-1)) \u003cn / 2
Premièrement, nous déterminons la somme des valeurs de 101 termes de la progression, en substituant dans la formule les données pour leurs conditions de notre problème:
s 101 \u003d (2 0 + 0,5 (101-1)) ∙ 101/2 \u003d 2 525
Évidemment, pour connaître la somme des termes de la progression du 56ème au 101ème, il est nécessaire de soustraire S 55 de S 101.
s 55 \u003d (2 0 + 0,5 (55-1)) ∙ 55/2 \u003d 742,5
Ainsi, la somme de la progression arithmétique pour cet exemple:
s 101 - s 55 \u003d 2 525 - 742,5 \u003d 1,782,5
Un exemple d'application pratique de la progression arithmétique
À la fin de l'article, nous revenons à l'exemple de la séquence arithmétique donnée dans le premier paragraphe - un taximètre (guichet de voiture de taxi). Considérons cet exemple.
Atterrir dans un taxi (qui comprend 3 km de parcours) coûte 50 roubles. Chaque kilomètre suivant est payé au taux de 22 roubles / km. La distance parcourue est de 30 km. Calculez le coût du voyage.
1. Nous écarterons les 3 premiers km dont le prix est compris dans le coût d'atterrissage.
30 - 3 27 km.
2. Un calcul supplémentaire n’est rien de plus qu’une analyse de la série de nombres arithmétiques.
Numéro de membre - le nombre de kilomètres (moins les trois premiers).
La valeur de membre est le montant.
Le premier terme de ce problème sera égal à 1 \u003d 50 p.
La différence de progression d \u003d 22 p.
le nombre qui nous intéresse est la valeur du (27 + 1)-ème terme de la progression arithmétique - le relevé du compteur à la fin du 27e kilomètre est de 27 999 ... \u003d 28 km.
a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644
Les calculs de données de calendrier pour une période arbitrairement longue sont basés sur des formules décrivant des séquences numériques particulières. En astronomie, la longueur de l'orbite dépend géométriquement de la distance du corps céleste au soleil. En outre, diverses séries numériques sont appliquées avec succès en statistique et dans d'autres branches des mathématiques appliquées.
Un autre type de séquence numérique est géométrique
La progression géométrique est caractérisée par des taux de changement importants, comparés aux calculs arithmétiques. Ce n’est pas un hasard si, en politique, en sociologie et en médecine, on dit souvent qu’un processus se développe de façon exponentielle afin de montrer le taux élevé de propagation d’un phénomène, par exemple une maladie lors d’une épidémie.
Le nième terme d'une série de nombres géométriques diffère du précédent en ce qu'il est multiplié par un nombre constant - le dénominateur, par exemple, le premier terme est 1, le dénominateur est 2, respectivement:
n \u003d 1: 1 2 \u003d 2
n \u003d 2: 2 2 \u003d 4
n \u003d 3: 4 2 \u003d 8
n \u003d 4: 8 2 \u003d 16
n \u003d 5: 16 2 \u003d 32,
b n est la valeur du terme courant de la progression géométrique;
b n + 1 est la formule pour le prochain terme d'une progression géométrique;
q est le dénominateur de la progression géométrique (nombre constant).
Si le graphique de progression arithmétique est une ligne droite, le graphique géométrique dessine une image légèrement différente:
Comme dans le cas de l'arithmétique, la progression géométrique a pour formule la valeur d'un terme arbitraire. Tout nième terme d'une progression géométrique est égal au produit du premier terme par le dénominateur de la progression au degré n réduit de un:
Un exemple Nous avons une progression géométrique avec le premier terme égal à 3 et le dénominateur de la progression égal à 1,5. Trouvez le 5ème membre de la progression
b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 1,5 4 \u003d 15,1875
La somme d'un nombre donné de membres est également calculée à l'aide d'une formule spéciale. La somme des n premiers termes de la progression géométrique est égale à la différence du produit du nième terme de la progression par son dénominateur et du premier terme de la progression divisé par le dénominateur réduit de un:
Si b n est remplacé à l'aide de la formule considérée ci-dessus, la valeur de la somme n des premiers membres de la série de nombres considérée prend la forme:
Un exemple La progression géométrique commence avec le premier terme égal à 1. Le dénominateur est défini sur 3. Trouvez la somme des huit premiers termes.
s8 \u003d 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) \u003d 3 280
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